2021届四川省成都市高新区高三第三次阶段性考试数学(理)试题(解析版)
2021届四川省成都市高三毕业班摸底测试数学(理)试题(解析版)
1
2
3
4y13来自46由表中数据得到的回归直线方程为 .则当x＝8时， 的值为_____.
【答案】12.3
【解析】求得样本中心点（ ， ），代入线性回归方程，求得 ，即可得回归方程，将x＝8代入回归方程可得答案.
【详解】
依题意， ， ，
线性回归方程 过样本中心点（ ， ），
则 ，解得 ，故回归方程为 ，
（1）请补全各年龄段人数频率分布直方图，并求出各年龄段频数分布表中 , 的值；
（2）现从年龄在 段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动.应社区要求，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，求选取的2名发言者中恰有1名年龄在 段中的概率.
【答案】（1）直方图见解析， ， ；（2） .
【解析】（1）首先计算出第三组的频率，除以组距即可得到第三组直方图的高，从而可以补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图即可得到 ， 的值.
（2）首先利用分层抽样得到以 段中抽取 人， 段中抽取 人，列出从 名代表中人选 名作交流发言的所有可能情况，再利用古典概型公式即可得到答案.
【详解】
（1）∵第三组的频率为 ，
【点睛】
此题考查由几何体的三视图求几何体的表面积，解题的关键是还原几何体，属于基础题
10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝k（x+1）与曲线 （θ为参数）在第一象限恰有两个不同的交点，则实数k的取值范围为（）
A．（0，1）B．（0， ）C．[ ，1）D．
【答案】D
【解析】对曲线 的参数方程消参求得普通方程，利用导数求得直线与曲线相切时直线的斜率以及临界状态对应直线的斜率，即可容易求得结果.
6．已知离心率为2的双曲线 与椭圆 有公共焦点，则双曲线的方程为（）
2023届四川省成都市高三下学期三诊热身考试数学(理)试题【含答案】
2023届四川省成都市高三下学期三诊热身考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，则集合（ ）{}2230,A x x x B N=--<=∣A B = A ．B ．C ．D ．{0}{0,1}{0,1,2}{1,2,3}【答案】C【分析】先解出集合A 再求.A B ⋂【详解】由得，.{}{}2230|13,A x x x x x B N =--<=-<<=∣{0,1,2}A B ⋂=故选：C【点睛】集合的交、并、补运算：(1)离散型的数集用韦恩图；(2) 连续型的数集用数轴．2．人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法，是提供全国基本人口数据的主要来源．根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作，人口普查资料是制定人口政策的依据和前提．截止目前，我国共进行了七次人口普查，下图是这七次普查的全国人口及年均增长率情况，下列说法正确的是（ ）A ．年均增长率逐次减小B ．年均增长率的极差是1.08%C ．这七次普查的人口数逐次增加，且第四次增幅最小D ．第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大【答案】D【分析】增幅其实就是增长率，不是增长量。
增长率为正的时候，总人口都是增加的；增长率为负的时候，总人口才减少。
看图，排除错误选项即可.【详解】对于A 选项，由图可知第三次增幅最大，之后增幅减小，所以年增长率是先增后减的，故A 错；对于B 选项，极差为，故B 错；2.09%0.53% 1.56%-=对于C 选项，第七次增幅最小，故C 错；对于D 选项，第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大，故正确故选：D3．已知平面，，直线，满足，，则“”是“”的（ ）αβm n m α⊂n β⊂//m n //αβA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】利用平面与平面的位置关系判断充分条件和平面平面平行的性质定理判断必要条件.【详解】，，若，则或相交，故不充分；m α⊂n β⊂//m n //αβ若，由面面平行的性质定理得平行或异面 ，故不必要；//αβm n ，故选：D【点睛】本题主要考查以直线、平面的位置关系为载体的逻辑条件判断，属于基础题.4．已知函数的图象如图所示，则函数的图象为（ ）()f x ()()g x f x =-A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性及判断函数正负即可得解.x -≤【详解】因为，所以为偶函数，其图象关于轴对称，()()g x g x -=()g x y 排除C 与D .又，所以：x -≤()()0g x f x =-≤故选：B.5．下列关于统计概率知识的判断，正确的是（ ）A ．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，1x 2x 21s ，且已知，则总体方差22s 12x x =222121()2s s s =+B ．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r 越接近于1C ．已知随机变量X 服从正态分布，若，则2(,)N μσ()()151P X P X ≥-+≥=2μ=D ．回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点ˆˆˆy bx a =+(,x y 【答案】C【分析】A 选项，根据均值和方差的定义，通过两层的均值和方差表示出总体的均值和方差，然后进行判断；B 选项，根据相关系数的定义进行判断；C 选项，根据正态曲线的性质进行判断；D 选项，根据回归直线的性质进行判断.【详解】解：对于A ，设2层数据分别记为，因为，1212,,,;,,,m nx x x x x x 12x x =所以总体样本平均数为，所以121112mx nx mx nx x x x m n m n ++====++，()()()()222222112211111111,mm n ni i j j i i j j s x x x x s x x x x m m n n =====-=-=-=-∑∑∑∑所以总体方差，()()222111m ni j i j s x x x x m n ==⎡⎤=-+-⎢⎥+⎣⎦∑∑()22121ms ns m n =++2212m n s s m n m n =+++只有当时，才成立，A 错误；m n =()2221212s s s =+对于B ，相关性越强，越接近于，B 错误；r1对于C ，若，则，C 正确；()()151P X P X ≥-+≥=()()511(5),22P X P X μ+-≥-=<∴==对于D ，回归直线恒过样本点的中心，可以不过任一个样本点，D 错误.ˆˆˆy bx a =+()x y 故选：C6．设等比数列中，使函数在时取得极值，则的值是{}n a 37,a a ()3223733f x x ax a x a =+++=1x -05a（ ）A ．B C ．D．±±【答案】D【分析】由极值点和极值可构造方程组求得，代回验证可知满足题意；结合等比数列37,a a 3729a a =⎧⎨=⎩性质可求得结果.【详解】由题意知：，()23736f x x a x a '=++在处取得极值，，()f x =1x -0()()23733711301360f a a a f a a '⎧-=-+-+=⎪∴⎨-=-+=⎪⎩解得：或；3713a a =⎧⎨=⎩3729a a =⎧⎨=⎩当，时，，31a =73a =()()22363310f x x x x '=++=+≥在上单调递增，不合题意；()f x \R 当，时，，32a =79a =()()()23129313f x x x x x '=++=++当时，；当时，；∴()(),31,x ∈-∞--+∞ ()0f x ¢>()3,1x ∈--()0f x '<在上单调递增，在上单调递减，()f x \()(),3,1,-∞--+∞()3,1--是的极小值点，满足题意；1x ∴=-()f x，又与同号，253718a a a ∴==5a 37,a a 5a ∴=故选：D.7．欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该ie cos isin x x x =+i x ∈R 公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）A ．为虚数B ．函数不是周期函数πie i()e x f x =C ．若D ．i e x 2π3x =ππi i 34e e ⋅【答案】D【分析】A 选项，根据题意计算出，A 错误；B 选项，由是周期函数，得到答案；iπe 1=-sin ,cos x xC 选项，根据欧拉公式得到C 错误；D 选项，计算出1cos ,sin 2x x ==，得到共轭复数.ππ34e e =+⋅【详解】A 选项，，为实数，A 错误；πie cos πisin π1+=-=B 选项，，由于是最小正周期为的函数，所以i()e cos isin x f x x x ==+sin ,cos x x 2π是周期函数，B 错误；i ()e cos isin x f x x x ==+C 选项，由题意得，所以cos isin x x +1cos ,sin 2x x ==又时，C 错误；2π3x =1cos ,sin 2x x =-=D选项，ππi i 34ππππe e cos isin cos isin 133442⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎭⋅⎭+⎝⎝+⎝⎭⎭，=，D 正确.故选：D8．如图，已知三棱锥的侧棱长均为2，，，点D 在线段-P ABC 35APB BPC ︒∠=∠=50APC ︒∠=上，点在线段上，则周长的最小值为（ ）PA E PC BDE△A ．B ．4C ．D ．6【答案】A【分析】作三棱锥的侧面展开图，结合两点之间线段最短的结论及余弦定理可求-P ABC的最小值.BDE △【详解】如图，将三棱锥的侧面展开，则周长的最小值与展开图中的线段相等.BDE △12B B 在中，，12PB B △12122,353550120PB PB B PB ∠===++=在中，根据余弦定理可得：12PB B △2221212122cos120B B PB PB PB PB =+-⋅，22122222122⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以12B B =即周长的最小值为BDE △故选：A.9．已知函数（，，）的部分图象如图所示.若()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>0πϕ<<，则的值为（ ）π6625f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭22sin cos 22αα-A ．B ．C ．D ．354535-45-【答案】C【分析】根据题意，结合图像性质求出解析式，再根据诱导公式与二倍角公式，即可求解.【详解】根据题意，结合图像易知，，，因此，2A =254312T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭22T πω==因为函数图像过点，所以，2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭242sin 233f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，，由，解得，故.4232k ππϕπ+=-+Z k ∈0πϕ<<6πϕ=()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又因为，所以，即，π6625f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭62sin 2cos 365ππαα⎛⎫++== ⎪⎝⎭3cos 5α=因此.223sin cos cos 225ααα-=-=-故选：C.10．设，给出下列四个结论：①；②；③，④10a b c >>>>11ac bc >c c ba ab >()()11a b c c <--.其中正确结论有（ ）()()log log +>+b a a c b c A ．个B ．个C ．个D ．个1234【答案】B【分析】直接利用不等式的性质和对数函数以及指数函数的性质的应用对①②③④进行判断.【详解】由题意，，所以对于①，，故，所以①错误；对于②，取10a b c >>>>ac bc >11ac bc <，则，，故②错误；对于③，因为，13,2,2a b c ===c ba =cab c c baab <011c <-<且，所以，故③正确；对于④，，所以a b >()()11abc c <--1+>+>a c b c ，故④正确.()()log log log ()+>+>+a b b a c b b c c 故选：B.11．在四面体中，，，两两垂直且为球心，2为半A BCD -AB AC AD AB AC AD ===C 径的球与该四面体每个面的交线的长度和的值为（ ）2O A ．B ．C ．D ．56ππ43π32π【答案】D【分析】设球与的边CD 、AD 分别交于点M 、N ，与的边AB 、CB 分别交于点2O Rt ACD Rt ABC H 、G ，求出球与该四面体四个面的交线的长度，即得解.2O【详解】解：因为四面体中，两两垂直，且A BCD -,,AB AC AD AB AC AD ===由题意知、为等腰直角三角形，且C 为球心，2为半Rt ACD Rt ABC AB AC AD ===径作一个球，2O 设球与的边CD 、AD 分别交于点M 、N ，2O Rt ACD 如图1；与的边AB 、CB 分别交于点H 、G ，Rt ABC如图2；易得，，cos ACN ∠6ACN π∠=tan 16AN AC π=⋅=所以∠NCM =∠ACD -∠ACN =，所以弧MN 的长，4612πππ-=2126MNππ=⨯=同理，弧. 6GHπ=在内，如图3，因为AH =AN =1，∠HAN =，则，ABD △2π122HNππ=⨯=又如图4，易知弧GM 是以顶点C 为圆心，2为半径，圆心角为，则，所以球3π2233GMππ=⨯=面与该四面体的每个面的交线的长度和为.2366232πππππ+++=故选：D.12．已知函数，若函数恰有5个零点()2e ,02,0x x xf x x x x ⎧≤=⎨-+>⎩22()3[()]()2()g x f x mf x m m =--∈R ，且，，则的取值范围是12345,,,,x x x x x 12345x x x x x <<<<()()34f x f x =()()()13322f x f x f x ++-（ ）A ．B ．31,00,2e e ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21,00,3e e ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．D ．32e ,00,2e 3⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22e ,00,3e 3⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【分析】将看成整体解出或，作出的大致图象，将式子化为()f x ()f x m =2()3mf x =-()f x ，然后转化为的范围进行分()()()()()()()()1331341322222f x f x f x f x f x f x f x f x ++-=++=+m 类讨论即可判断.【详解】当时，，此时，，0x ≤()e x f x x =()()1e xf x x '=+令，解得：，令，解得：，()0f x ¢>10x -<<()0f x '<1x <-可得在上单调递减且恒负，在上单调递增且恒负，且，()f x (),1-∞-()1,0-()11e f -=-当时，，作出的大致图象如图所示，0x >()()22211f x x x x =-+=--+()f x 函数恰有5个零点，22()3[()]()2()g x f x mf x m m =--∈R 12345,,,,x x x x x 等价于方程有5个不同的实数根，223[()]()20f x mf x m --=解得：或，，该方程有5个根，()f x m=()23mf x =-0m ≠且，则，，()()34f x f x =342x x +=()()()125f x f x f x ==当时，，0m <()()()1251,0e f x f x f x m ⎛⎫===∈- ⎪⎝⎭，故，()()342(0,1)3m f x f x ==-∈1,0e m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭所以()()()()()()()()1331341322222f x f x f x f x f x f x f x f x ++-=++=+；4222,0333e m m m ⎛⎫=-=∈- ⎪⎝⎭当时，，0m >()()()12521,03e f x f x f x m ⎛⎫===-∈- ⎪⎝⎭，故，()()34(0,1)f x f x m ==∈30,2e m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以()()()()()()()()1331341322222f x f x f x f x f x f x f x f x ++-=++=+，42120,33e m m m ⎛⎫=-+=∈ ⎪⎝⎭综上：的取值范围是：.()()()13322f x f x f x ++-21,00,3e e ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是对的理解，将看成一个，解223()()20f x mf x m --=()f x t 出其值，然后通过图象分析，转化为直线与图象的交点情况.12,y t y t ==二、填空题13．已知向量，，，且、、三点共线，则_______(),12=OA k ()4,5=OB (),10=-OC k A B C k =【答案】23-【分析】先求出的坐标，再根据、、三点共线求出的值.,AB BC A B C k 【详解】由题得，(4,7)AB OB OA k =-=--，(4,5)BC OC OB k =-=--因为、、三点共线，A B C 所以，=AB BC λ 所以，(4)57(4)0k k -⋅+--=所以.23k =-故答案为：23-【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和共线向量，考查三点共线，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．已知实数满足，的取值范围是______．,x y ()2221x y +-=ω=【答案】[]1,2【分析】设，，利用向量夹角坐标运算可求得，利用圆的切线的求(),a x y =(b =2cos ωθ=法可求得所在直线倾斜角的范围，从而确定的范围，进而求得的范围.(),a x y =θω【详解】由圆的方程知：点在以为圆心，为半径的圆上，(),x y ()0,21设，，与的夹角为，，(),a x y =(b = a bθcos 2ωθ∴=即；2cos ωθ=设直线与圆相切，则圆心到直线距离，y kx =()2221x y +-=1d ==解得：，k =结合图象可知：所在直线倾斜角为，(),a x y =π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦又所在直线倾斜角为，，(b =π3π0,3θ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，则.1cos ,12θ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦[]1,2ω∈故答案为：.[]1,2【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆位置关系的综合应用问题，解题关键是能够利用平面向量夹角公式将所求式子转化为两向量夹角余弦值取值范围的求解问题，采用数形结合的方式来进行求解.15．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中诗篇《李白沽酒》里记载：“今携一壶酒，游春郊外走，逢朋加一倍，人店饮斗九”意思是说，李白去⋯郊外春游时，带了一壶酒，遇见朋友，先到酒店里将壶中的酒增加一倍（假定每次加酒不会溢出），再饮去其中的3升酒．那么根据这个规则，若李白酒壶中原来有酒升，将李白在第00(3)a a >家店饮酒后所剩酒量记为升，则__（用和表示）．(1,)n n n N ∈︒ n a n a =0a n 【答案】升023(12)n na +-【分析】由题干递推列式，找寻规律，并根据规律计算即可.【详解】解：李白在第家店饮酒后所剩酒量记为升，(1,)n n n N ∈︒ n a 则第一家店饮酒后所剩酒量为升，1023a a =-第二家店饮酒后所剩酒量为升，22100232(23)323(12)a a a a =-=--=-+第三家店饮酒后所剩酒量为升，323202323(122)a a a =-=-++第四家店饮酒后所剩酒量为升，4234302323(1222)a a a =-=-+++⋯第家店饮酒后所剩酒量为n 升．211000122323(1222)2323(12)12nnn nn n n n a a a a a ---=-=-+++⋯+=-⨯=+--故答案为：升．023(12)n na +-16．已知双曲线G 的方程，其左、右焦点分别是，，已知点P 坐标为，双曲221169x y -=1F 2F ()4,2线G 上点，满足，则______．()00,Q x y ()000,0x y >>11211121QF PF F F PF QF F F ⋅⋅=12F PQ F PQS S-=△△【答案】8【分析】设的内切圆与三边分别相切于，利用切线长相等求得内切圆圆心横坐标为，12Q FF ,,D E G a 又由得在的平分线上，进而得到即为内心，应用双曲线的定义求11211121QF PF F F PF QF F F ⋅⋅= P 12QF F ∠P 得面积差即可.【详解】如图，设的内切圆与三边分别相切于，可得，又由双12Q FF ,,D E G 1122,,QD QG F D F E F E F G===曲线定义可得，则，又1228QF QF a -==()1212122QD DF QG GF DF GF EF EF a +-+=-=-=，解得，则点横坐标为，即内切圆圆心横坐标为.122EF EF c +=1EF a c=+E a a 又，可得，化简得11211121QF PF F F PF QF F F ⋅⋅=11121112121cos cos QF PF PF Q F F PF PF F QF F F ⋅∠⋅∠= ，即，112cos cos PF Q PF F ∠=∠112PF Q PF F ∠=∠即是的平分线，由于，，可得即为的内心，且半径为2，则1PF 12QF F ∠()4,2P 4a =P 12Q FF r .121211()28822F PQ F PQS Sr QF QF -=-=⨯⨯=△△故答案为：8.【点睛】本题关键点在于先利用切线长定理求得内切圆圆心横坐标为，再由12Q FF a 得到在的平分线上，结合的横坐标为进而得到即为内心，利用11211121QF PF F F PF QF F F ⋅⋅=P 12QF F ∠P a P 双曲线定义及面积公式即可求解.三、解答题17．在中，角的对边分别为，且.ABC ∆、、A B C a b c、、2sin 02AA += （Ⅰ）求角的大小；A（Ⅱ）若的周长.ABC ∆R ABC ∆【答案】（1）;（2）3A π=3【分析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得结合范围，可求tan A =0A π<<的值；(2)由正弦定理可求 ,利用余弦定理可得,解得的值,可求周长.A a 260c -=c【详解】（1）2sin 02AA +=，∴1cos sin 02AA -+=即sin 0A A =又tan A ∴=0A π<<3A π∴=（2）2sin a R A =2sin π33a R A ∴===ABC ∆1sin 2bc A ∴=bc 4=2222cos a b c bc A=+- 229b c bc ∴+-=2()9391221b c cb ∴+=+=+=b c ∴+=3a b c ++=【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另2222cos a b c bc A =+-222cos 2b c a A bc +-=外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以30,45,60o o o便在解题中直接应用.18．2020年上半年受新冠疫情的影响，国内车市在上半年累计销量相比去年同期有较大下降.国内多地在3月开始陆续发布促进汽车消费的政策，开展汽车下乡活动，这也是继2009年首次汽车下乡之后开启的又一次大规模汽车下乡活动.某销售商在活动的前2天大力宣传后，从第3天开始连续统计了6天汽车销售量（单位：辆）如下表：y 第天x 345678销售量（单位：辆）y 172019242427（1）从以上6天中随机选取2天，求这2天的销售量均在20辆以上（含20辆）的概率.（2）根据上表中前4组数据，求关于的线性回归方程.y x ˆˆˆybx a =+（3）用（2）中的结果计算第7、8天所对应的，再求与当天实际销售量的差，若差值的绝ˆyˆy y 对值都不超过1，则认为求得的线性回归方程“可行”，若“可行”则能通过此回归方程预测以后的销售量.请根据题意进行判断，（2）中的结果是否可行？若可行，请预测第9天的销售量；若不可行，请说明理由.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为：ˆˆˆybx a =+1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx ybay bx xnx ==-⋅==--∑∑【答案】（1）；（2）；（3）可行，29.25ˆ211yx =+【分析】（1）先确定6天中销售量均在20辆以上（含20辆）有4天，再根据组合以及古典概型概率公式求结果；（2）先求均值，再代入公式求，即得结果；ˆˆ,b a （3）根据回归直线方程确定对应的，再根据定义判断是否“可行”，最后代入得结果.ˆy9x =【详解】（1）6天中销售量均在20辆以上（含20辆）有4天，242662155C P C ===（2）3456172019244.5,2044x y ++++++====41317420519624370i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑4222221345686ii x==+++=∑23704 4.52028644ˆ.5b-⨯⨯==-⨯202ˆ 4.511a=-⨯=所以ˆ211yx =+（3）由（2）知，时，，25-24=1；7x =141125y =+=时，，27-27=08x =161127y =+=所以求得的线性回归方程“可行”时，9x =181129y =+=【点睛】本题考查古典概型概率公式、线性回归方程及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.19．如图所示多面体ABCDEF 中，平面平面ABCD ，平面ABCD ，是正三角形，ADE ⊥CF ⊥ADE四边形ABCD 是菱形，，2AB =CF =.3BAD π∠=(1)求证：平面ABCD ；EF (2)求二面角的正弦值.E AF C --【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由面面垂直的性质定理与线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，用坐标法计算面面角正弦值即可.【详解】（1）证明：取中点，连接，AD N NE NC ､因为是正三角形，ADE所以,2sin60EN AD EN ⊥=⋅=因为平面平面平面，平面平面ADE ⊥,ABCD EN ⊂ADE ADE ABCD AD =所以平面，又因为平面，EN ⊥ABCD CF ⊥ABCD 所以，又因为，EN CF ∥EN CF =所以四边形是平行四边形，所以，ENCF EF NC ∥又因为平面平面，NC ⊂,ABCD EF ⊄ABCD 所以平面.EF ABCD （2）连接交于，取中点，连接，AC BD ､O AF M OM 所以，因为平面，所以平面，OM CF ∥CF ⊥ABCD OM ⊥ABCD 因为平面，所以，OA OB ⊂､ABCD ,OM OA OM OB ⊥⊥又因为四边形是菱形，所以，ABCD OA OB ⊥所以两两垂直，OA OB OM ､､建立如图所示的空间直角坐标系，，)()()()(11,0,1,0,,0,1,0,,0,,22AB C D N E F ⎫---⎪⎪⎭，(1,2AF AE ⎛=-=- ⎝ 设平面的法向量为，AEF (),,m x y z=，令0102AF m AE m y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩()1,2,x m == 平面的法向量为，AFC ()0,1,0n =设二面角的大小为，E AF C --θcos θ==所以二面角E AF C --20．已知为坐标原点，点在椭圆上，椭圆的左右焦点分别为O 12P ⎫⎪⎭2222:1(0)x y C a b a b +=>>C，且12,F F 12F F =(1)求椭圆的标准方程；C (2)若点在椭圆上，原点为的重心，证明：的面积为定值.012,,P P P C O 012P PP012P PP 【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据焦距可确定在椭圆上，代入方程解方程组可得答案.c =12P ⎫⎪⎭（2）设直线的方程为，和椭圆联立，整理得到根与系数的关系式，继而根据重心性12PPy kx m =+质表示出坐标为，代入椭圆方程得到参数之间的关系式，从而再表示出三角形0P2282(,1414km mk k -++的高,根据面积公式表示出的面积，将参数间的关系式代入化简即可证明.012P PP【详解】（1）由椭圆的左右焦点分别为，且C 12,F F 12F F =可知：，即① ，c =223a b =+将代入方程得： ②，12P ⎫⎪⎭2222:1(0)x y C a b a b +=>>223114a b +=① ②联立解得 ，224,1a b ==② 故椭圆的标准方程为.2214x y +=（2）证明：设，000111222(,),(,),(,)P x y P x y P x y 当直线 斜率不存在时，即 ，12PP12x x =由原点为的重心，可知O 012P PP 0120120,033x x x y y y++++==故可得此时有 ，该点在椭圆上，则 ，01,0)P x （-22114x =不妨取，则有，或，11x=012(2,0),(1,PP P -012(2,0),(1,P P P -则此时012132P P P S =⨯=当直线 斜率存在时，不妨设方程为 ，12PP12PP y kx m =+则联立 ，整理得：，2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2221+4)8440k x kmx m ++-=（且需满足 ，22222(8)16(14)(1)16(41)0km k m k m ∆=-+-=+->则，212122284(1),1414km m x x x x k k --+==++所以，121222()214my y k x x m k +=+-=+由原点为的重心知， ，O 012P PP012012(),()x x x y y y =-+=-+故坐标为 ，代入到中，0P 2282(,1414km m k k -++2214x y +=化简得： ，即 ，222282()4(41414km m k k -+=++22414m k =+又原点为的重心，故到直线的距离为原点到直线距离的3倍，O 012P PPP 12PPO 12PP所以，d =而1212|||x x PP =-==，因此0121211||22P P P S PP d =⨯⨯===综合上述可知：的面积为定值.012P PP【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及重心性质的应用，以及椭圆内的特殊三角形面积问题，运算量比较复杂而且计算量较大，解决本题的关键是设出直线方程，要利用重心性质表示出一个点的坐标并代入椭圆方程中，找到两参数之间的关系式，然后三角形面积的表示这点并不困难，表示的方法也比较常规，但需要计算时十分细心还要有耐心.21．已知函数.()ln 1a x a f x x +-=(1)求在处的切线方程；()f x ()()1,1f (2)（i ）若恒成立，求的取值范围；()1xf x x ≤-a （ii ）当时，证明：.1a =()()()212323192224f f n n n n f +++<+-+ 【答案】(1)2y x a =+-(2)（i ）；（ii ）证明见解析[]0,1【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；()1f ()1f '（2）（i ）由题意可得，设，其中，对实数的取值进行分ln 0x a x a --≥()ln h x x a x a=--0x >a 类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，在、的情况下，验证在()h x ()0,∞+0a =0a <()0h x ≥上能否恒成立，在时，可得出，求出实数的取值范围，综合即可得解；()0,∞+0a >()min 0h x ≥a （ii ）当时，；结合（i ）中所求，可得，在时，直接验证结1a =()2ln f n nn n =22ln 1112n n n ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭2n =论即可；在时，利用不等式进行适度放缩，结合裂项求和，即可容易证明.3n ≥【详解】（1）解：因为，则，其中，()ln 1a x a f x x +-=()()22ln 11ln ax a x a a x x f x x x ⋅-+--'==0x >所以，，，()11f a =-()11f '=所以，函数在点处的切线方程为，即.()f x ()()1,1f ()11y a x --=-2y x a =+-（2）解：（i ），可得.()ln 11xf x a x a x =+-≤-ln 0x a x a --≥令，其中，则.()ln h x x a x a=--0x >()1a x ah x x x -'=-=①当时，，合乎题意；0a =()0h x x =>②当时，由基本不等式可得，a<0()()112a a a a ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦当且仅当时，等号成立，1a =-，当且仅当时，等号成立，221331244a a a ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭12a =-所以，，()1112221313e e e 1e 04e 4a a a a aa h a a a a a a +++-⎛⎫⎛⎫=-+-=-++<-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，不恒成立，不合乎题意；()0h x ≥③当时，，0a >()1a x a h x x x -'=-=当时，，此时函数单调递减，0x a <<()0h x '<()h x 当时，，此时函数单调递增，x a >()0h x '>()h x 所以，，可得，解得.()()min ln ln 0h x h a a a a a a a ==--=-≥ln 0≤a 01a <≤综上所述，实数的取值范围是；a []0,1（ii ）当时，，所以.1a =()ln x f x x =()2ln f n n n n =由（i ）知：，即，所以.()1xf x x ≤-ln 1x x ≤-ln 11x x x ≤-令，得，即，所以.2x n =222ln 11n nn ≤-222ln 11n n n ≤-22ln 1112n n n ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭当时，，则，显然，结论成立；2n =()2ln 224f =1193222248n n +-=+ln213448<<当时，3n ≥()()()22222223ln2ln3ln 11111112323223f f f n n n n n ⎛⎫+++=+++≤-+-++- ⎪⎝⎭ ()()()222111111111112232434451n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫=--+++<--++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⨯⨯⨯+⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦()1111111112434451n n n ⎡⎤⎛⎫=--+-+-++- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦，结论成立.()171111911912121211222224n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦因此，当时，成立.2n ≥()()()212323192224f f n n n n f +++<+-+ 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f x g x >()()f x g x <（或），进而构造辅助函数；()()0f x g x ->()()0f x g x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极xOy O x 1C坐标方程为，曲线的极坐标方程为.2cos ρθ=2C ρ=(1)写出曲线的参数方程；2C (2)设是曲线上的动点，是曲线上的动点，求之间距离的最大值.A 1CB 2C ,A B 【答案】(1)，（为参数）.2cos :2sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩ϕ1【分析】（1）利用极坐标和直角坐标方程的互化公式和二倍角公式可得的直角坐标方程为2C ，再根据圆锥曲线参数方程可得的参数方程为，（为参数）；2214y x +=2C cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩ϕ（2）根据题意可得之间距离的最大值为点到圆心的距离的最大值再加上半径，根据二次,A B B 1C 函数性质即可求得最大值.【详解】（1）根据曲线的极坐标方程为可得，2C ρ=，即，()2226cos 8ρθ+=22828x y +=所以曲线的直角坐标方程为；2C 2214y x +=根据圆锥曲线参数方程定义可得，曲线的参数方程为，（为参数）.2C cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩ϕ（2）由曲线的极坐标方程为可得，1C 2cos ρθ=曲线的直角坐标方程为，其圆心，半径；1C ()2211x y -+=()11,0C 1r =由题意可得设，()cos ,2sin B ϕϕ易知之间距离的最大值为点到圆心的距离的最大值再加上半径，,A B B 1C即，1max 11AB BC r =+==由二次函数性质可知，当时，；1cos 3ϕ=-max 1AB =所以,A B 123． 已知函数.()211f x x x =-++（1）解不等式；()6f x ≤（2）记函数的最小值为，若，且，求()()1g x f x x =++m ,,a b c ∈R 230a b c m ++-=的最小值.222a b c ++【答案】（1）；（2）.{}22x x -≤≤914【分析】（1）利用零点分界法即可求解.（2）利用绝对值三角函数不等式可得，进而可得，再利用柯西不等式即可求解.3m =233a b c ++=【详解】解：（1）或或，()161216x f x x x ≤-⎧≤⇔⎨---≤⎩1121216x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++≤⎩122116x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++≤⎩解得，即不等式的解集为.22x -≤≤()6f x ≤{}22x x -≤≤（2），()()1212221223g x f x x x x x x =++=-++≥---=当且仅当时取等号，∴.()()21220x x -+≤3m =故.233a b c ++=由柯西不等式，()()()2222222123239a b c a b c ++++≥++=整理得，222914a b c ++≥当且仅当，即，，时等号成立.123a b c ==314a =614b =914c =所以的最小值为.222a b c ++914【点睛】本题考查了分类讨论解不等式、绝对值三角不等式、柯西不等式，属于基础题.。
2020-2021学年四川省成都市高考数学三诊试卷(理科)及答案解析
四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知田径队有男运动员56人，女运动员42人，若按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出14人参加比赛，则抽到女运动员的人数为（）A．2 B．4 C．6 D．82．命题“∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x”的否定是（）A．∀x∉（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x B．∀x0∉（﹣1，+∞），ln（x0+1）＜x0C．∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）≥x D．∃x0∈（﹣1，+∞），ln（x0+1）≥x03．已知复数z=﹣i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A．3 B．C．2 D．14．已知α，β是空间中两个不同的平面，m为平面β内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知向量，满足=2，•=﹣3，则在方向上的投影为（）A．B． C．D．6．某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品需用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过8h．若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为（）A．24万元B．22万元C．18万元D．16万元7．执行如图所示的程序框图，若依次输入m=，n=0.6﹣2，p=，则输出的结果为（）A．B．C．0.6﹣2 D．8．某学校食堂旱餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择．已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为（）A．144 B．132 C．96 D．489．定义在（1，+∞）上的函数f（x）同时满足：①对任意的x∈（1，+∞）恒有f（3x）=3f（x）成立；②当x∈（1，3]时，f（x）=3﹣x．记函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），若函数g（x）恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．（2，3）B．[2，3）C．D．10．已知O为坐标原点，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0）（c＞0），以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A，B，O三点，且（+）=0，若关于x的方程ax2+bx﹣c=0的两个实数根分别为x1和x2，则以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形二、填空题：（大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：sin65°cos35°﹣sin25°sin35°= ．12．一块边长为8cm的正方形铁板按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足为底面中心的四棱锥）形容器，O为底面ABCD的中心，则侧棱SC与底面ABCD所成角的余弦值为．13．已知椭圆C：+=1（0＜n＜16）的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为10，则n的值为．14．若直线2ax+by﹣1=0（a＞﹣1，b＞0）经过曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心，则+的最小值为．15．函数f（x）=（a＞0，b＞0），因其图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，我们把函数f（x）的图象与y轴的交点关于原点的对称点称为函数f（x）的“囧点”，以函数f（x）的“囧点”为圆心，与函数f （x）的图象有公共点的圆，皆称函数f（x）的“囧圆”，则当a=b=1时，有下列命题：①对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞成立；∈（，），使f（x0）＜tanx0成立；②存在x③函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是；④函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2π．其中的正确命题有（写出所有正确命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A满足f（A）=1+，若a=3，sinB=2sinC，求b的值．17．如图，在三棱台DEF﹣ABC中，已知底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，FC⊥底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求证：平面ABED∥平面GHF；（2））若BC=CF=AB=1，求二面角A﹣DE﹣F的余弦值．18．某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如表：语言表达能力一般良好优秀人数逻辑思维能力一般 2 2 1良好 4 m 1优秀 1 3 n由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为．（1）从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；（2）从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列及其均值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且3S n+a n﹣3=0，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，求T n=，求使T n≥成立的n 的最小值．20．已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；②求|PQ|的最小值．21．已知函数f（x）=e x，其中e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设函数g（x）=（x2+ax﹣2a﹣3）f（x），a∈R．试讨论函数g（x）的单调性；（2）设函数h（x）=f（x）﹣mx2﹣x，m∈R，若对任意，且x1＞x2都有x2h（x1）﹣x1h （x2）＞x1x2（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围．四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知田径队有男运动员56人，女运动员42人，若按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出14人参加比赛，则抽到女运动员的人数为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】分层抽样方法．【分析】先求出每个个体被抽到的概率，再用女运动员的人数乘以此概率，即得所求．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，则样本中女运动员的人数为42×=6．故选：C．2．命题“∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x”的否定是（）A．∀x∉（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x B．∀x0∉（﹣1，+∞），ln（x0+1）＜x0C．∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）≥x D．∃x0∈（﹣1，+∞），ln（x0+1）≥x0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x”的否定是：“∃x0∈（﹣1，+∞），ln（x0+1）≥x0”，故选：D．3．已知复数z=﹣i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A．3 B．C．2 D．1【考点】复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的公式得答案．【解答】解：∵z=﹣i=，∴|z|=．故选：A．4．已知α，β是空间中两个不同的平面，m为平面β内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面β内的一条直线，且m⊥α，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥α，所以不一定能得到m⊥α，所以“α⊥β”是“m⊥α”的必要不充分条件．故选B．5．已知向量，满足=2，•=﹣3，则在方向上的投影为（）A．B． C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可．【解答】解：∵||=2，•（﹣）=﹣3，∴•﹣=•﹣22=﹣3，∴•=1，∴向量在方向上的投影为=．故选：C．6．某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品需用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过8h．若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为（）A．24万元B．22万元C．18万元D．16万元【考点】简单线性规划．【分析】根据条件建立不等式组即线性目标函数，利用图象可求该厂的日利润最大值．【解答】解：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，工厂获得的利润为z又已知条件可得二元一次不等式组：目标函数为z=3x+4y，由，可得，利用线性规划可得x=6，y=1时，此时该厂的日利润最大为z=3×6+4=22万元，故选：B．7．执行如图所示的程序框图，若依次输入m=，n=0.6﹣2，p=，则输出的结果为（）A．B．C．0.6﹣2 D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得该流程图的作用是求出m、n、p中的最小数，化简比较三个数即可得解．【解答】解：根据题意，该流程图的作用是求出m、n、p中的最小数，并将此最小的数用变量x表示并输出，由于，m==，n=0.6﹣2=，p==，可得，＞＞，即：n＞m＞p．故选：A．8．某学校食堂旱餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择．已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为（）A．144 B．132 C．96 D．48【考点】计数原理的应用．【分析】分类讨论：甲选花卷，则有2人选同一种主食，剩下2人选其余主食；甲不选花卷，其余4人中1人选花卷，方法为4种，甲包子或面条，方法为2种，其余3人，有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，或没有人选甲选的主食，相加后得到结果【解答】解：分类讨论：甲选花卷，则有2人选同一种主食，方法为C42C31=18，剩下2人选其余主食，方法为A22=2，共有方法18×2=36种；甲不选花卷，其余4人中1人选花卷，方法为4种，甲包子或面条，方法为2种，其余3人，若有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，方法为3A22=6；若没有人选甲选的主食，方法为C32A22=6，共有4×2×（6+6）=96种，故共有36+96=132种，故选：B．9．定义在（1，+∞）上的函数f（x）同时满足：①对任意的x∈（1，+∞）恒有f（3x）=3f（x）成立；②当x∈（1，3]时，f（x）=3﹣x．记函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），若函数g（x）恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．（2，3）B．[2，3）C．D．【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=3m+1﹣x，x∈（3m，3m+1]，在直角坐标系中画出f（x）的图象和直线y=k（x﹣1），根据函数的图象、题意、斜率公式求出实数k的范围．【解答】解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（3x）=3f（x）成立，所以f（t）=3f（），取x∈（3m，3m+1]，则∈（1，3]，因为当x∈（1，3]时，f（x）=3﹣x，所以f（）=3﹣，则f（x）=…=3m f（）=3m+1﹣x，且y=k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，在直角坐标系中画出f（x）的图象和直线y=k（x﹣1）：因为函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），且函数g（x）恰好有两个零点，所以f（x）的图象和直线y=k（x﹣1）恰好由两个交点，由图得，直线y=k（x﹣1）处在两条红线之间，且过（3，6）的直线取不到，因，，所以k的范围是[，3），故选：D．10．已知O为坐标原点，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0）（c＞0），以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A，B，O三点，且（+）=0，若关于x的方程ax2+bx﹣c=0的两个实数根分别为x1和x2，则以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用向量的加减运算和数量积的性质可得|AF|=|AO|，△AOF为等腰直角三角形，求得渐近线的斜率，进而得到c=a，方程ax2+bx﹣c=0即为x2+x﹣=0，求得两根，求得平方，运用余弦定理，即可判断三角形的形状．【解答】解：由（+）=0，可得（+）•（﹣）=0，即有2﹣2=0，即|AF|=|AO|，△AOF为等腰直角三角形，可得∠AOF=45°，由渐近线方程y=±x，可得=1，c=a，则关于x的方程ax2+bx﹣c=0即为x2+x﹣=0，即有x1x2=﹣，x1+x2=﹣1，即有x12+x22=1+2＜4，可得以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是钝角三角形．故选：A．二、填空题：（大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：sin65°cos35°﹣sin25°sin35°= ．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用诱导公式、两角而和的余弦公式，求得所给式子的值．【解答】解：sin65°cos35°﹣sin25°sin35°=cos25°cos35°﹣sin25°sin35°=cos（25°+35°）=cos60°=，故答案为：．12．一块边长为8cm的正方形铁板按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足为底面中心的四棱锥）形容器，O为底面ABCD的中心，则侧棱SC与底面ABCD所成角的余弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】连接OC，则∠SCO为侧棱SC与底面ABCD所成角，根据图1可知棱锥底面边长为6，斜高为4，从而棱锥的侧棱长为5．于是cos∠SCO=．【解答】解：由图1可知四棱锥的底面边长为6，斜高为4．∴棱锥的侧棱长为5．连接OC，∵SO⊥平面ABCD，∴∠SCO为侧棱SC与底面ABCD所成的角．∵AB=BC=6，∴OC=AC=3．∴cos∠SCO==．故答案为：．13．已知椭圆C：+=1（0＜n＜16）的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为10，则n的值为12 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|=16﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值，代入|BF2|+|AF2|=16﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于10，列式求n的值．【解答】解：由0＜n＜16可知，焦点在x轴上，由过F1的直线l交椭圆于A，B两点，由椭圆的定义可得|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=16，即有|BF2|+|AF2|=16﹣|AB|．当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|===，即为10=16﹣，解得n=12．故答案为：12．14．若直线2ax+by﹣1=0（a＞﹣1，b＞0）经过曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心，则+的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心为，可得：a+b=1．（a＞﹣1，b＞0）．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心为，∴+b﹣1=0，化为：a+b=1（a＞﹣1，b＞0）．∴+=（a+1+b）=≥=，当且仅当a=2﹣3，b=4﹣2时取等号．故答案为：．15．函数f（x）=（a＞0，b＞0），因其图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，我们把函数f（x）的图象与y轴的交点关于原点的对称点称为函数f（x）的“囧点”，以函数f（x）的“囧点”为圆心，与函数f （x）的图象有公共点的圆，皆称函数f（x）的“囧圆”，则当a=b=1时，有下列命题：①对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞成立；∈（，），使f（x0）＜tanx0成立；②存在x③函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是；④函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2π．其中的正确命题有②③④（写出所有正确命题的序号）．【考点】函数的图象．【分析】利用特殊值法，研究函数的值域，单调性，和零点问题，以及导数的几何意义，利用数形结合的方法进行判断．【解答】解：当a=1，b=1时，函数f（x）=，①当x=时，f（）==﹣2，=2，故f（x）＞不成立，故①不正确；=时，f（）=＜0，tan=1，故存在x0∈（，），使f（x0）＜tanx0成立，故②正②当x确；③则函数f（x）=与y轴交于（0，﹣1）点，则“囧点”坐标为（0，1），设y=lnx，则y′=，设切点为（x0，lnx0），∴切线的斜率k=，当“囧点”与切点的连线垂直切线时，距离最短，∴•=﹣1，解得x0=1，∴切点坐标为（1，0），故函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是=，故③正确，④令“囧圆”的标准方程为x2+（y﹣1）2=r2，令“囧圆”与f（x）=图象的左右两支相切，则切点坐标为（，）、（﹣，）、此时r=；令“囧圆”与f（x）=图象的下支相切则切点坐标为（0，﹣1）此时r=2，故函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2π，故④正确，综上所述：其中的正确命题有②③④，故答案为：②③④三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A满足f（A）=1+，若a=3，sinB=2sinC，求b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【分析】（1）由诱导公式与辅助角公式得到f（x）的解析式，由此得到单调增区间．（2）由f（A）=1+，得A=，由恒等式得到B=，所以得到b．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+．=sin2x+sin（2x+）+．=2sin（2x+）+，由﹣+2kπ≤2x+≤2kπ+，得：﹣+kπ≤x≤kπ+，（k∈Z），∴函数f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，kπ+]，（k∈Z）．（2）∵f（A）=1+，∴A=，∵sinB=2sinC=2sin（﹣B），∴cosB=0，即B=，∴由正弦定理得：=，∴b=．17．如图，在三棱台DEF﹣ABC中，已知底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，FC⊥底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求证：平面ABED∥平面GHF；（2））若BC=CF=AB=1，求二面角A﹣DE﹣F的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面平行的判定．【分析】（1）推导出四边形BHFE是平行四边形，从而BE∥HF，从而∥平面GHF，BE∥平面GHF，由此能证明平面ABED∥平面GHF．（2）以C为原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣F的余弦值．【解答】证明：（1）由已知得三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，∴，∵G，H分别为AC，BC的中点．，∴AB∥GH，EF∥BH，EF=BH，∴四边形BHFE是平行四边形，∴BE∥HF，∵AB⊄平面GHF，HF⊂平面GHF，∴AB∥平面GHF，BE∥平面GHF，又AB∩BE=B，AB，BE⊂平面ABED，∴平面ABED∥平面GHF．解：（2）由已知，底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，即AC⊥BC，又FC⊥底面ABC，∴以C为原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，取AB=2，由BC=CF=，得BC=CF=1，AC=，则A（），C（0，0，0），B（0，1，0），F（0，0，1），E（0，，1），D（，0，1），平面DEF的一个法向量=（0，0，1），设平面ABED的法向量=（x，y，z），，=（﹣，），由，取x=2，得=（2，2），cos＜＞===，由图形得二面角A﹣DE﹣F的平面角是钝角，∴二面角A﹣DE﹣F的余弦值为﹣．18．某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如表：语言表达能力一般良好优秀人数逻辑思维能力一般 2 2 1良好 4 m 1优秀 1 3 n由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为．（1）从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；（2）从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列及其均值．【考点】离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有（6+n）名，由题意得，从而n=2，m=4，由此利用对立事件概率计算公式能求出从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑能力优秀的学生．（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及E（X）．【解答】解：（1）用A表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”，∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有（6+n）名，∴P（A）=，解得n=2，∴m=4，用B表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑能力优秀的学生”，∴P（B）=1﹣=．（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，∵20名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有名，∴P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：X 0 1 2PE（X）==．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且3S n+a n﹣3=0，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，求T n=，求使T n≥成立的n 的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过3S n+a n﹣3=0与3S n﹣1+a n﹣1﹣3=0作差，进而可知数列{a n}是首项为、公比为的等比数列，利用公式计算即得结论；（2）通过（1）及3S n+a n﹣3=0计算可知b n=﹣n﹣1，裂项可知=﹣，进而并项相加即得结论．【解答】解：（1）∵3S n+a n﹣3=0，∴当n=1时，3S1+a1﹣3=0，即a1=，又∵当n≥2时，3S n﹣1+a n﹣1﹣3=0，∴3a n+a n﹣a n﹣1=0，即a n=a n﹣1，∴数列{a n}是首项为、公比为的等比数列，故其通项公式a n=•=3•；（2）由（1）可知，1﹣S n+1=a n+1=，∴b n==﹣n﹣1，∵==﹣，∴T n==﹣+﹣+…+﹣=﹣，由T n≥可知，﹣≥，化简得：≤，解得：n≥2016，故满足条件的n的最小值为2016．20．已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；②求|PQ|的最小值．【考点】轨迹方程．【分析】（1）利用一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，建立方程，即可求曲线C的方程；（2）①设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），与抛物线方程联立，利用韦达定理可求点P，Q的坐标，进而可确定直线PQ的方程，即可得到结论．②由①|PQ|2=（2k﹣）2+（2k+）2=4[（k2+）2+（k2+）﹣2]，换元利用基本不等式求|PQ|的最小值．【解答】解：（1）设圆心C（x，y），则x2+4=（x﹣2）2+y2，化简得y2=4x，∴动圆圆心的轨迹的方程为y2=4x．（2）①设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由题意可设直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），与y2=4x联立得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．△=（2k2+4）2﹣4k4=16k2+16＞0，x1+x2=2+，y1+y2=k（x1+x2﹣2）=．所以点P的坐标为（1+，）．由题知，直线l2的斜率为﹣，同理可得点Q的坐标为（1+2k2，﹣2k）．当k≠±1时，有1+≠1+2k2，此时直线PQ的斜率k PQ=．所以，直线PQ的方程为y+2k=（x﹣1﹣2k2），整理得yk2+（x﹣3）k﹣y=0，于是，直线PQ恒过定点E（3，0）；当k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点E（3，0）．综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）．②由①|PQ|2=（2k﹣）2+（2k+）2=4[（k2+）2+（k2+）﹣2]，记k2+=t∵k2+≥2，∴t≥2，∴|PQ|2=4[（t+）2﹣]，∴t=2，即k=±1时，|PQ|的最小值为4．21．已知函数f（x）=e x，其中e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设函数g（x）=（x2+ax﹣2a﹣3）f（x），a∈R．试讨论函数g（x）的单调性；（2）设函数h（x）=f（x）﹣mx2﹣x，m∈R，若对任意，且x1＞x2都有x2h（x1）﹣x1h （x2）＞x1x2（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）先求函数g（x）的解析式，求导，根据a的取值，分别解关于x的不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0即可；（2）根据已知条件将其转化成，+x1＞+x2，且x1＞x2，构造辅助函数F（x）=﹣（m﹣1）x﹣1，求导，分离变量求得m≤+1，在x∈[，2]上恒成立，构造辅助函数，求导，利用函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得m的取值范围．【解答】解：（1）g（x）=e x（x2+ax﹣2a﹣3），a∈R．∴g′（x）=e x[x2+（a+2）x﹣a﹣3]，=a（x﹣1）（x+a+3），当a=﹣4时，g′（x）=a（x﹣1）2≥0，∴g（x）在R上单调递减，当a＞﹣4时，由g′（x）＞0，解得x＜﹣a﹣3或x＞1，∴g（x）在（﹣∞，﹣a﹣3），（1，+∞）上单调递增，由g′（x）＞0，解得﹣a﹣3＜x＜1，∴g（x）在（﹣a﹣3，1）上单调递减；当a＜﹣4时，由g′（x）＞0，解得x＜1或x＞﹣a﹣3，∴g（x）在（﹣∞，1），（﹣a﹣3，+∞）上单调递增，由g′（x）＞0，解得1＜x＜﹣a﹣3，∴g（x）在（1，﹣a﹣3）上单调递减，综上所述：当a=﹣4时，g（x）在R上单调递减；当a＞﹣4时，g（x）在（﹣∞，﹣a﹣3），（1，+∞）上单调递增，在（﹣a﹣3，1）上单调递减；当a＜﹣4时，g（x）在（﹣∞，1），（﹣a﹣3，+∞）上单调递增，在（1，﹣a﹣3）上单调递减．（2）h（x）=f（x）﹣mx2﹣x=e x﹣mx2﹣x，，∴x2h（x1）﹣x1h（x2）＞x1x2（x2﹣x1），∴﹣＞x2﹣x1，不等式﹣＞x2﹣x1，等价于+x1＞+x2，且x1＞x2，记F（x）==﹣（m﹣1）x﹣1，∴F（x）在[，2]上单调递增，F′（x）=﹣（m﹣1）≥0在x∈[，2]上恒成立，m≤+1，在x∈[，2]上恒成立，记P（x）=+1，∴P′（x）=＞0，∴P（x）在[，2]上单调递增，P（x）min=P（）=1﹣2．∴实数m的取值范围为（﹣∞，1﹣2]．。
2021-2022学年四川省普通高中高三上学期第三次联考数学试卷(理科)(含答案解析)
2021-2022学年四川省普通高中高三上学期第三次联考数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设复数z=(2+i)(1−3i)，则z的实部与虚部之和为()A. 0B. −10C. 5D. 102.已知集合A={x|m<x<m+5}，B={x|−3<x<7}，若A∪B={x|−3<x<8}，则A∩B=()A. {x|2<x<7}B. {x|−3<x<2}C. {x|3<x<7}D. {x|−3<x<3}3.“tanα>0”是“α为锐角”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.截至2021年11月15日，《长津湖》的票房已超56亿，该片突出了革命先烈的牺牲精神，也更加显示出如今和平生活的来之不易，某影院记录了观看此片的70位观众的年龄，其中年龄位于区间[10,20)的有10位，位于区间[20,30)的有20位，位于区间[30,40)的有25位，位于区间[40,50]的有15位，则这70位观众年龄的中位数约为()A. 34B. 33C. 32D. 315.若曲线y=x3+ax在点(1,a+1)处的切线方程为y=7x+m，则m=()A. 3B. −3C. 2D.−26.执行如图所示的程序框图，若输出的S=8，则输入的k可能为()A. 9B. 5C. 4D. 37. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积S =(a 2+b 2−c 2)sin2C ，则cosC =( )A. ±√24B. √24C. ±14D. 148.函数f(x)=sin(2x −2−x )在[−π2,π2]上的图象大致为( )A.B.C.D.9.设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n +n}是公比为2的等比数列，且a 1=1，则a 8=( )A. 255B. 257C. 127D. 12910. 在矩形ABCD 中，AB =√3AD =3，DC⃗⃗⃗⃗⃗ =4MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 234B. 5C. 194D. 411. 投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲、乙每次投壶投中的概率分别为12,13，每人每次投壸相互独立．若约定甲投壶2次，乙投壶3次，投中次数多者胜，则甲最后获胜的概率为( )A. 23B. 527C. 13D. 102712. 已知1.584<log 23<1.585，1.5843≈3.97，1.5853≈3.98.设a =log 2(log 34)，b =log 3(log 42)，c =log 4(log 23)，则( )A. b <a <cB. b <c <aC. a <c <bD. c <b <a二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. (x 3−2x )4的展开式中的常数项等于______．14. 若x ，y 满足约束条件{y +2≥0x +y −3≤03x −2y +6≥0，则3x −y 的最小值为______．15. 已知函数f(x)=tan x2，现有下列四个命题： ①f(x)的最小正周期为2π； ②曲线y =f(x)关于点(π,0)对称； ③若f(α)=12，则tanα=−43；④若f(2α)=2，则sin(α−π4)=13sin(α+π4)． 其中所有真命题的编号是______．16. 设直线x =t(0≤t ≤2)与函数y =x 3的图象交于点A ，与直线y =3x −4交于点B ，则|AB|的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 春见柑橘的学名是春见，俗称耙耙柑，2001年从中国柑橘研究所引进，广泛种植于四川、重庆、江西等地．四川省某个春见柑橘种植基地随机选取并记录了8棵春见柑橘树未使用新技术时的年产量(单位：千克)和使用了新技术后的年产量的数据的变化，得到如下表格： 未使用新技术时的8棵春见柑橘树的年产量使用了新技术后的8棵春见柑橘树的年产量已知该基地共有40亩地，每亩地有55棵春见柑橘树．(1)根据这8棵春见柑橘树年产量的平均值，估计该基地使用了新技术后，春见柑橘年总产量比未使用新技术时增加的百分比；(2)已知使用新技术后春见柑橘的成本价为每千克5元，市场销售价格为每千克10元．若该基地的所有春见柑橘有八成按照市场价售出，另外两成只能按照市场价的八折售出，试估计该基地使用新技术后春见柑橘的年总利润是多少万元．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面为直角梯形，CD//AB ，AD ⊥AB ，且PA =AD ，E 为PD 的中点． (1)证明：AE ⊥平面PCD ．(2)若AD =CD =12AB ，求二面角B −PC −D 的大小．19. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，从下面①②③中任意选择两个作为条件，证明另外个成立． ①a 3=9；②S n =n(a n −n +1)； ③数列{1a n a n+1}的前n 项和为n10n+25．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点恰为椭圆D ：x 24+y 23=1长轴的端点，且C 的短轴长为2． (1)求C 的方程；(2)若直线l 与直线y =2x −1平行，且l 与C 交于A ，B 两点，M(1,0)，求MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．21. 已知函数f(x)=ax 2−(1+2a)x +lnx ． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a =0时，证明：e x x>710−x 2−2f(x)．22. 在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=−4cosθ，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ．(1)写出曲线C的一个参数方程；(2)设P为曲线C上的一个动点，P到x轴，y轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值．23. 已知函数f(x)=|x−3|．(1)求不等式f(x)<|3x−1|的解集．(2)若函数g(x)=f(2x)−2|x−6|的最大值为m，证明：(x2+y2+z4)(1x2+1y2+1z4)≥m．参考答案及解析1.答案：A解析：∵z=(2+i)(1−3i)=2+3−5i=5−5i，∴z的实部为5，虚部为−5，∴z的实部与虚部之和为0．故选：A．根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．2.答案：C解析：集合A={x|m<x<m+5}，B={x|−3<x<7}，若A∪B={x|−3<x<8}，则m+5=8，解答m=3，所以A={x|3<x<8}，所以A∩B={x|3<x<7}，故选：C．由并集运算可求得m的值，从而可得集合A，再利用交集运算求解即可．本题主要考查集合的交集和并集运算，考查运算求解能力，属于基础题．3.答案：B解析：若“α为锐角”，则“tanα>0”成立，反之，不一定成立．故选：B．直接利用三角函数的符号和充分条件和必要条件的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的值，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4.答案：C解析：根据中位数的定义，利用区间端点判断中位数在[30,40)内，×25=35，设中位数是x，则10+20+x−3010解得x=32，所以这70位观众年龄的中位数约为32．故选：C．根据中位数的定义，利用区间端点计算中位数即可． 本题考查了中位数的计算问题，是基础题．5.答案：D解析：由y =x 3+ax ，得y′=3x 2+a ，又曲线y =x 3+ax 在点(1,a +1)处的切线方程为y =7x +m ， ∴{3+a =7a +1=7+m ，解得{a =4m =−2．∴m =−2． 故选：D ．求出原函数的导函数，由题意可得关于a 与m 的方程组，求解得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．6.答案：D解析：由S =k3=8，得k =24，则输入的k 的可能为12，6，3，⋅⋅⋅， ∴结合选项知：D 符合要求， 故选：D ．根据输出结果可得输出时k =24，结合执行逻辑确定输入k 的可能值，即可知答案． 本题考查程序框图，考查学生分析问题的能力，属于容易题．7.答案：A解析：因为S =(a 2+b 2−c 2)sin2C ， 所以12absinC =2abcosC ⋅2sinCcosC ， 又sinC ≠0，所以cos 2C =18，解得cosC =±√24．故选：A ．利用三角形的面积公式，余弦定理，二倍角的正弦公式化简已知等式即可求解cosC 的值． 本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，二倍角的正弦公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8.答案：B解析：f(−x)=sin(2−x −2x )=−sin(2x −2−x )=−f(x) 所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除CD ；令t =2x −2−x 在(0,π2)递增，且x =0时，t =0， x =1时，t =2−12=32， f(1)=sin 32>0，所以y =sin(2x −2−x )在(0,π2)大于0， 排除A ， 故选：B ．根据函数图象的对称性判断函数的图象特点，以及函数值的单调性即可得到结论． 本题考查函数的图象分析，注意分析函数的奇偶性、单调性，属于基础题．9.答案：C解析：数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n +n}是公比为2的等比数列，且a 1=1， ∴S 1+1=2，∴S n +n =2n ，∴S n =2n −n ，∴a 8=S 8−S 7=(28−8)−(27−7)=127． 故选：C ．由数列{S n +n}是公比为2的等比数列，且a 1=1，得到S n +n =2n ，从而S n =2n −n ，再由a 8=S 8−S 7，能求出结果．本题考查等比数列的运算，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：A解析：解：建立如图所示的直角坐标系，则A(0,0)，B(3,0)，D(0,√3)，C(3,√3)， 因为DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以M(94,√3)，P(3,√3λ)，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(94,√3)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,√3λ−√3)， 又AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3)⋅(3,√3λ)=3λ=2， 所以λ=23则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =94×3+√3(√3λ−√3)=3λ+154=234． 故选：A ．。
2021年四川省成都七中高考数学三诊试卷(理科)(附详解)
2021年四川省成都七中高考数学三诊试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 集合A ={x ∈N|x 2−2x ≤3}，B ={x|2x ≥2}，则A ∩B 等于( )A. {0,1，2，3}B. {1,2，3}C. [0,3]D. [1,3]2. 若复数z 满足z +2+i =(3−i)(1+2i)，则z 的模为( )A. 5B. 3C. √5D. √33. 空间中两条直线l ，m 和平面α，在下列条件中，能得到l//m 的是( )A. l ，m 与α所成角相等B. 1，m 在α内的射影分别为l′，m′，且l′//m′C. l ⊥α，m ⊥αD. l//α，m//α4. 为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x(万元) 8.2 8.6 10.0 11.2 12 支出y(万元)7.407.508.008.50m但是统计员不小心丢失了一个数据(用m 代替)，在数据丢失之前得到回归直线方程为y ̂=0.76x +0.4，则m 的值等于( )A. 8.60B. 8.80C. 9.25D. 9.525. 函数f(x)=e x +1e x −1的图象大致为( )A.B.C.D.6. 已知sin2α=13，α∈(0,π4)，则sinα−cosα=( )A. √63B. −√63C. 23D. −237. 从1，2，3，4，5中选出三个不同的数字组成一个三位数，则这个三位数是3的倍数的概率为( )A. 320B. 310C. 25D. 158. 若lna =−1，e b =√2，3c =ln3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >c >bB. b >c >aC. c >b >aD. a >b >c9. 已知不等式组{x −y ≥0x +y −1≤0x ≥0构成的平面区域为D ，命题p ：对∀(x,y)∈D ，都有2x −y ≥0，q ：∃(x,y)∈D ，使得2x −y >2，则下列命题中为真命题的是( )A. p ∧qB. (￢p)∧(￢q)C. (￢p)∧qD. p ∧(￢q)10. 抛物线y 2=2x 的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足分别为C ，D ，且|CF|=2|DF|，则直线l 的斜率等于( )A. 2B. 12C. 43D. 3411. 已知函数f(x)=x +cos(π2+2x)，下列对于函数f(x)性质的描述，错误的是( )A. x =π6是f(x)的极小值点 B. f(x)的图象关于点(π2,π2)对称 C. f(x)有且仅有三个零点D. 若f(x)区间[a,b]上递增，则b −a 的最大值为π12. 已知双曲线4x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 是双曲线右支上一点，满足MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，点N 是线段F 1F 2上一点，满足F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λF 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .现将△MF 1F 2沿MN 折成直二面角F 1−MN −F 2，若使折叠后点F 1，F 2距离最小，则λ=( )A. 15B. 25C. 35D. 45二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (x −2x )5的二项展开式中，x 3的系数是______.(用数字作答)14. 点P 是直线y =kx −4上一动点，过点P 作圆C ：x 2+y 2−2y =0的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，若四边形PACB 面积的最小值为2，则实数k 的值为______ ． 15. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 成等差数列，则sin 2A +sin 2C −sinAsinC = ______ ．16. 已知函数f(x)={|xx−1|,x <1x 2−6x +9,x ≥1，若方程f(x)=a 有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则1x 1+1x 2+1x 3+1x 4的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1=2，且a 1，a 3，a 9成等比数列．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)数列{b n }满足b 1=12，1b n−1bn−1=a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．18. 经研究发现，A 疾病在老年人中发病率较高，已知某养老院的男女比例为3：2，为了解A 疾病在该养老院的发病情况，按性别用分层抽样的方法抽取100位老人作为样本，对这100位老人是否患有A 疾病进行了统计，其条形图如图所示． (Ⅰ)完成下列的2×2列联表，并判断有没有90%的把握认为患A 疾病与性别有关？ (Ⅱ)已知治疗A 疾病所需的费用为每人800元，若打了该疾病的预苗，则可将发病率降为5%，打预苗的费用为每人200元，用样本的频率来估计总体的概率，从经济的角度判断是否需要给该养老院的老人打该疾病的预苗，并说明理由．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ．19.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB=90°，CA=CB=√2，AA1=√3，D是棱A1B1的中点，E在棱BB1上，且AD⊥EC1．(Ⅰ)在棱BC上是否存在点F，满足EF//平面ADC1，若存在，求出BF的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求平面DEC1与平面AEF所成锐二面角的余弦值．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，且离心率为√22．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线l：y=x+m与椭圆交于A，B两点，AB的中垂线交椭圆于C，D两点，M 为CD 的中点，若cos∠AMB =−513，求实数m 的值．21. 已知函数f(x)=x −1x −mlnx ，g(x)=x +1x −(lnx)m ，其中x >0，m ∈R ．(Ⅰ)若函数f(x)无极值，求m 的取值范围；(Ⅱ)当m 取(Ⅰ)中的最大值时，求函数g(x)的最小值；(Ⅲ)若不等式(1+1n )n−a ≤e 对任意的n ∈N ∗恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1+2ty =t(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosθ． (Ⅰ)求直线l 和曲线C 交点的直角坐标；(Ⅱ)设点A 的极坐标为(2,π3)，点B 是曲线C 上的点，求△AOB 面积的最大值．23.设函数f(x)=|x+3|+|x−1|，x∈R，不等式f(x)<6的解集为M．(Ⅰ)求M；(Ⅱ)当a2∈M，b2∈M时，证明：|ab+2|>√2|a+b|．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合A={x∈N|x2−2x≤3}={x∈N|−1≤x≤3}={0,1，2，3}，B={x|2x≥2}={x|x≥1}，∴A∩B={1,2，3}．故选：B．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵z+2+i=(3−i)(1+2i)=3+6i−i−2i2=5+5i，∴z=3+4i，则|z|=|3+4i|=√32+42=5．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】C【解析】解：在正方体中，底面为平面α，AD1为l，DA1为m，满足l，m与α所成角相等，但是l，m的相交直线，所以A不正确；在正方体中，底面为平面α，AD1为l，CB1为m，1，m在α内的射影分别为l′，m′，且l′//m′，但是l，m是异面直线，所以B不正确；l⊥α，m⊥α，由直线与平面垂直的性质，可知l//m，所以C正确；l//α，m//α，反例上底面上的两条相交直线，满足条件，推不出l//m，所以D不正确；故选：C．反例判断A；反例判断B；直线与平面垂直的性质判断C；反例判断D．本题考查空间直线与平面的位置关系的应用，直线与直线的位置关系的判断，是中档题．4.【答案】A【解析】解：由题意可知：x −=15(8.2+8.6+10+11.2+12)=10，y −=7.4+7.5+8+8.5+m5=m+31.45，所以m+31.45=0.76×10+0.4，解得m =8.60．故选：A ．利用回归直线，经过样本中心，转化求解即可．本题考查回归直线方程的应用，是基本知识的考查，基础题．5.【答案】D【解析】解：函数的定义域为{x|x ≠0}， f(−x)=e −x +1e −x −1=1+e x 1−e x=−f(x)，即f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A ，C f(x)=e x +1e x −1=e x −1+2e x −1=1+2e x −1，当x >0时，f(x)>1，排除B ， 故选：D ．求出函数的定义域，判断函数的奇偶性和对称性，利用分式函数的性质，求出函数的取值范围进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，结合函数的取值范围进行判断是解决本题的关键，是基础题．6.【答案】B【解析】解：∵sin2α=13，α∈(0,π4)，∴sinα<cosα， 则sinα−cosα=−√(sinα−cosα)2=−√1−sin2α=−√63，故选：B ．由题意利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，计算求得sinα−cosα=−√(sinα−cosα)2 的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：试验发生包含的所有事件是从5个数选三个进行排列共有A 53种结果， 而满足条件的事件可以分别是列举出由(1,2，3)，(2,3，4)，(3,4，5)，(1,3，5)组成的三位数是3的倍数有4A33个，∴P=4A33A53=25，故选：C．求出所有可能的结果，再求出满足条件的事件的个数，从而求出满足条件的概率即可．本题考查了古典概型问题，考查数字的特征，是基础题．8.【答案】A【解析】解：a=1e =lnee，b=ln22=ln44,c=ln33，设f(x)=lnxx ，f′(x)=1−lnxx2，则x≥e时，f′(x)≤0，∴f(x)在[e,+∞)上单调递减，∴f(e)>f(3)>f(4)，即lnee >ln33>ln44，∴a>c>b．故选：A．根据条件可得出a=lnee ,b=ln44,c=ln33，然后设f(x)=lnxx，根据导数符号即可判断f(x)在[e,+∞)上单调递减，这样即可得出a，b，c的大小关系．本题考查的对数的定义，对数的运算性质，构造函数解决问题的方法，根据导数符号判断函数单调性的方法，考查了计算能力，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：不等式组{x−y≥0x+y−1≤0x≥0构成的平面区域为D，如图所示：故A (1,0)，B(12,12)，O(0,0)， 所以z =2x −y 的值域为[0,2]， 故命题p 为真命题，命题q 为假命题；故：p ∧q 为假命题，(￢p)∧(￢q)为假命题，(￢p)∧q 为假命题，p ∧(￢q)为真命题． 故选：D ．直接利用线性规划问题的应用和真值表的应用确定A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：线性规划问题，真值表的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，抛物线y 2=2x 的焦点为F(12,0)，准线方程为x =−12， 则C(−12,y 1)，D(−12,y 2)，直线CF 的斜率为y 1−1=−y 1，直线DF 的斜率为−y 2， 设直线AB 的方程为x =my +12，代入抛物线的方程y 2=2x ，可得y 2−2my −1=0， 可得y 1y 2=−1，①由|CF|=2|DF|，可得√1+y 12=2√1+y 22，② 由①②可得y 1=2，y 2=−12，则A(2,2)，可得2=2m +12，解得m =34， 则直线AB 的斜率为43． 故选：C ．求得抛物线的焦点和准线方程，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得C ，D 的坐标，设直线AB 的方程为x =my +12，与抛物线的方程联立，可得y 1y 2=−1，再由两点的距离公式可得y 1，y 2的关系，解方程可得y 1，y 2，A 的坐标，可得直线l 的斜率．本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：f(x)=x+cos(π2+2x)=x−sin2x，对于A：f′(x)=1−2cos2x，令f′(x)=0，解得：x=kπ±π6，k=0时，x=±π6，当0<x<π6时，f′(x)<0，当x∈(π6,π4)时，f′(x)>0，故x=π6是函数的极小值点，故A正确；对于B：设x1+x2=π，则x2=π−x1，f(x2)=π−x1−sin(2π−2x1)=π−x1+sin2x1=π−f(x1)，故f(x1)+f(x2)=π，故f(x)的图象关于点(π2,π2)对称，故B正确；对于C：结合图像，y=x和y=sin2x的交点有且只有3个，故C正确；对于D：结合A得：f(x)在(π6,5π6)时，f′(x)>0，b−a的最大值为5π6−π6=2π3，故D错误；故选：D．求出函数的导数，根据函数的单调性判断A，设x1+x2=π，则x2=π−x1，代入函数的解析式，得到f(x1)+f(x2)=π，判断B，结合图像判断C，根据函数的单调性判断D．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及数形结合思想，转化思想，是中档题．12.【答案】C【解析】解：易知双曲线4x 2−y 23=1中，c 2=14+3=134，则|F 1F 2|=2c =√13，又MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a =1,|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(2c)2=13，∴|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，如图，设∠NMF 2=θ，F 2G ⊥MN ，F 1H ⊥MN ，则MG =2cosθ,GF 2=2sinθ,F 1H =3sin(π2−θ)=3cosθ,MH =3cos(π2−θ)=3sinθ，∴F 1F 2=GF 22+GH 2+F 1H 2=4sin 2θ+(2cosθ−3sinθ)2+9cos 2θ=13(sin 2θ+cos 2θ)−12sinθcosθ=13−6sin2θ，由三角函数知识可知，当θ=π4时，F 1F 2取得最小值，此时MN 为△MF 1F 2的角平分线，由角平分线性质可知，此时F 1N NF 2=MF 1MF 2=32，则F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =35F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：C ．依题意，易知|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，作图，设∠NMF 2=θ，F 2G ⊥MN ，F 1H ⊥MN ，则F 1F 2=13−6sin2θ，可知当θ=π4时，即MN 为△MF 1F 2的角平分线时，F 1F 2取得最小值，由此即可得解．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，将F 1F 2用θ表示是解决本题的关键，属于难题．13.【答案】−10【解析】解：T r+1=C 5r ⋅x 5−r ⋅(−2x )r =(−2)r ⋅C 5r⋅x 5−2r ， 令5−2r =3得r =1，所以x 3的系数为(−2)1⋅C 51=−10．故答案为−10利用二项展开式的通项公式求出展开式中第r +1项，令x 的指数为3得解． 本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．14.【答案】±2【解析】解：圆C ：x 2+y 2−2y =0的圆心(0,1)，半径是r =1，由圆的性质知：S 四边形PACB =2S △PBC ，四边形PACB 的最小面积是2，∴S △PBC 的最小值S =1=12rd(d 是切线长)∴d 最小值=2，圆心到直线的距离就是PC 的最小值， 所以：√12+22=√1+k 2， 解得：k =±2． 故答案为：±2．利用已知条件，画出图形，通过四边形的面积，转化为点到直线的距离公式求出结果． 本题考查的知识要点：点到直线的距离公式的应用，考查学生分析问题解决问题的数学素养，是中档题．15.【答案】34【解析】解：△ABC 中，内角A ，B ，C 成等差数列， 所以A +C =2B ，由A +B +C =π，得B =π3， 所以cosB =a 2+c 2−b 22ac=12，化简得a 2+c 2−ac =b 2，由正弦定理得sin 2A +sin 2C −sinAsinC =sin 2B =(√32)2=34．故答案为：34．根据三角形内角成等差数列求出角B 的值，再利用正弦、余弦定理求出sin 2A +sin 2C −sinAsinC 的值．本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．16.【答案】(83,114)【解析】解：作出函数f(x)的图象如右图所示，不妨设x 1<x 2<x 3<x 4，可知x 1<0，0<x 2<1，2<x 3<3，3<x 4<4，且|x 1x 1−1|=|x 2x2−1|,x 3+x 4=6，∴x 1x 1−1=−x 2x 2−1，化简可得1x1+1x 2=2，∴1x 1+1x 2+1x 3+1x 4=1x 3+16−x 3+2，设g(x)=1x +16−x +2=6−x 2+6x +2,2<x <3， ∵2<x <3， ∴8<−x 2+6x <9， ∴83<6−x 2+6x+2<114，即1x 1+1x 2+1x 3+1x 4的取值范围为(83,114)． 故答案为：(83,114)．作出函数f(x)的图象，分析可知，x 1<0，0<x 2<1，2<x 3<3，3<x 4<4，且|x 1x 1−1|=|x 2x2−1|,x 3+x 4=6，由此可得1x 1+1x 2+1x 3+1x 4=1x 3+16−x 3+2，构造函数g(x)=1x+16−x +2=6−x 2+6x+2,2<x <3，求出该函数的值域即可．本题考查函数零点与方程根的关系，把所求代数式转化为只含一个参数的代数式，再构造函数求值域是解答本题的关键，考查转化思想，函数思想，数形结合思想，降元思想等，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)设数列{a n }的公差为d(d ≠0)，由a 1=2，且a 1，a 3，a 9成等比数列，得(2+2d)2=2×(2+8d)， 又d ≠0，解得d =2． ∴a n =2+2(n −1)=2n ； (Ⅱ)由b 1=12，1b n−1bn−1=a n =2n ，得1b n−1bn−1=2n ， 1b n−1−1b n−2=2(n −1)， 1b n−2−1bn−3=2(n −2)，...1b 3−1b 2=2×3，1b 2−1b 1=2×2，累加得：1b n−1b 1=2[n +(n −1)+...+2]=2×(n+2)(n−1)2=(n +2)(n −1)，则1b n=n 2+n −2+2=n(n +1)，b n =1n(n+1)=1n −1n+1(b 1=12适合)．∴数列{b n }的前n 项和S n =(1−12)+(12−13)+...+(1n −1n+1)=1−1n+1=nn+1．【解析】(Ⅰ)设数列{a n }的公差为d(d ≠0)，由已知列式求得公差，则数列{a n }的通项公式可求；(Ⅱ)把数列{a n }的通项公式代入1b n−1bn−1=a n ，利用累加法求得数列{b n }的通项公式，再由裂项相消法求数列{b n }的前n 项和S n ．本题考查等差数列的通项公式与前n 项和，考查等比数列的性质，训练了累加法求数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由条形图可以得到未患A 疾病的男性为：40人，女性为：25人， 已知养老院的男女比例为3：2，所以男性为：60人，女性为：40人， 则完成2×2列联表，所以K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(20×25−40×15)260×40×35×65≈0.18<2.706，故没有90%的把握认为患A 疾病与性别有关．(Ⅱ)设针对A 疾病打了该疾病预苗的花费为X 元，针对A 疾病没打疫苗的花费为Y 元， 则X 的分布列为：所以EX =2×95+50=240元； 则Y 的分布列为：Y 0 800P6510035100所以EY =8×35=280元； EX <EY ，故从经济的角度判断应该要给该养老院的老人打该疾病的预苗．故答案为：(Ⅰ)列联表见解析，故没有90%的把握认为患A 疾病与性别有关．(Ⅱ)从经济的角度判断应该要给该养老院的老人打该疾病的预苗．【解析】(Ⅰ)由图及比例可计算男女人数和患病人数，可完成2×2列联表，计算观测值并判断有没有90%的把握认为患A 疾病与性别有关．(Ⅱ)设针对A 疾病打了该疾病预苗的花费为X 元，针对A 疾病没打疫苗的花费为Y 元，列出分布列并计算期望可判断是否需要给该养老院的老人打该疾病的预苗． 本题考查独立性检验的运用，考查分布列及期望，属于中档题． 19.【答案】解：(Ⅰ)因为ABC −A 1B 1C 1是三棱柱，AA 1⊥平面ABC ，ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱，所以C 1C ⊥CA ，C 1C ⊥CB ，又因为∠ACB =90°，所以CA 、CB 、CC 1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，因为AD ⊥EC 1，所以∠A 1AD =∠B 1DE ，B 1E =B 1D ⋅tan∠B 1DE =B 1D ⋅tan∠A 1AD =B 1D ⋅A 1D A 1A =1⋅√3=√33， 设BF =t ，则F(0,√2−t,0)，E(0,√2,2√33)，FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,t ，2√33)， DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22,−√22,−√3)，DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,−√22,0)，设平面ADC 1的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，x)， {DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =√22x −√22y −√3z =0DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−√22x −√22y =0，令y =−√3，m ⃗⃗⃗ =(√3,−√3,√2)， 要使EF//平面ADC 1，只要FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−√3t +2√63=0，解得t =2√23， 故在棱BC 上存在点F ，满足EF//平面ADC 1，BF 的值为2√23．(Ⅱ)由(Ⅰ)知FE⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√23,2√33)，FA⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,−√23,0)， 设平面AEF 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)，{FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2√23y +2√33z =0FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =√2x −√23y =0，令y =3，n⃗ =(1,3，−√6)， DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,−√22,0)，EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√2,√33)，设平面DEC 1的法向量为k⃗ =(u,v ，w)， {DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅k ⃗ =−√22u +√22v =0EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅k ⃗ =−√2v +√33w =0，令w =√6，k ⃗ =(1,1，√6)， 所以平面DEC 1与平面AEF 所成锐二面角的余弦值为|k ⃗ ⋅n ⃗⃗ ||k ⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=22√2⋅4=√28．【解析】(Ⅰ)由EF//平面ADC 1得EF 方向向量和平面ADC 1的法向量数量积为零，列方程求解；(Ⅱ)用向量数量积计算二面角的余弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由题意，{2a =4ca =√22a 2=b 2+c 2，解得a =2,b =√2．∴椭圆方程为x 24+y 22=1；(Ⅱ)直线l ：y =x +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{y =x +m x 24+y 22=1，得3x 2+4mx +2m 2−4=0．△=16m 2−12(2m 2−4)=−8m 2+48>0，得−√6<m <√6． x 1+x 2=−4m 3，x 1x 2=2m 2−43，∴AB 的中点N(−2m 3,m 3)，∵CD 是AB 的垂直平分线，∴CD ：y −m 3=−(x +2m 3)，即y =−x −m3．联立{y =−x −m3x 24+y 22=1，得3x 2+4m 3x +2m 29−4=0．设C(x 3,y 3)，D(x 4,y 4)， ∴x 3+x 4=−4m 9，x 3x 4=2m 227−43，∴CD 的中点M(−2m 9,−m9).∵cos∠AMB =−513，∴cos∠NMB =2√1313， 得sin∠NMB =3√1313，则tan∠NMB =32．∴|BN||MN|=32， ∵|AB|=√2|x 1−x 2|=√2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2⋅√16m 29−8m 2−163=43√6−m 2，∴|BN|=12|AB|=23√6−m 2|MN|=√(−2m 9+2m 3)2+(−m 9−m3)2=4√29|m|， 由23√6−m 24√23=32，解得m =±√11419．【解析】(Ⅰ)由题意可得关于a ，b ，c 的方程组，求解可得a 与b 的值，则椭圆方程可求；(Ⅱ)直线l ：y =x +m ，与椭圆方程联立求得AB 的中点N 坐标，得到CD 所在直线方程，与椭圆方程联立求得CD 中点坐标，然后求出|BN|、|MN|，再由cos∠AMB =−513，可得|BN||MN|=32，代入可得关于m 的方程，求解得答案．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=x −1x −mlnx(x >0)，则f′(x)=1+1x2−m x=x 2−mx+1x 2，由题意可得，方程x 2−mx +1=0在区间(0,+∞)上无根或有两个相等的根， 即方程m =x +1x 在区间(0,+∞)上无根或有两个相等的根， 所以m ≤2；(Ⅱ)当m =2时，f(x)=x −1x −2lnx(x >0)，g(x)=x +1x −(lnx)2， 由(Ⅰ)可知，f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(1)=0，当0<x <1时，f(x)=x −1x −2lnx <f(1)=0，可得x −1x <2lnx <0 当x >1时，f(x)=x −1x −2lnx >f(1)=0，可得x −1x >2lnx >0， 所以当x >0时，|x −1x |≥|2lnx|=|lnx 2|， 令x 2=μ>0，不等式|√μ√μ≥|lnμ|，平方可得μ+1μ−2≥(lnμ)2， 故当μ>0时，不等式μ+1μ−(lnμ)2≥2成立，当μ=1时取等号， 所以当x =1时，函数g(x)取最小值2； (Ⅲ)(1+1n )n−a ≤e 对任意的n ∈N ∗恒成立，等价于(n −a)ln(1+1n )≤1对任意的n ∈N ∗恒成立， 等价于a ≥n −1ln(1+1n)对任意的n ∈N ∗恒成立，令t =1+1n ∈(1,2]，则a ≥1t−1−1lnt 对任意的(1,2]恒成立， 令ℎ(t)=1t−1−1lnt ，则ℎ′(t)=t+1t−(lnt)2−2(t−1)2(lnt)2，由(Ⅱ)可知，t +1t −(lnt)2−2≥0，即ℎ′(t)≥0， 所以ℎ(t)在(1,2]上单调递增，则当t =2时，ℎ(t)取得最大值为ℎ(2)=1−1ln2， 所以a ≥1−1ln2，故实数a 的取值范围为[1−1ln2,+∞)．【解析】(Ⅰ)将函数f(x)无极值问题，转化为方程x 2−mx +1=0在区间(0,+∞)上无根或有两个相等的根，即方程m =x +1x 在区间(0,+∞)上无根或有两个相等的根，求解即可；(Ⅱ)当m 在(Ⅰ)中的最大值时，先证明x >0时，|x −1x |≥|2lnx|=|lnx 2|，由换元法，求出g(x)的最小值即可．(Ⅲ)先对不等式进行转化，再进行换元，得到ℎ(t)的函数，利用导数研究ℎ(t)的取值情况，得到ℎ(t)的最大值，即可得到答案．本题考查了利用导数研究函数的极值与最值，利用导数求解不等式恒成立问题，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于难题．22.【答案】解：(Ⅰ)由{x =−1+2ty =t(t 为参数)，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为x −2y +1=0，由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，则x 2−2x +y 2=0，联立{x −2y +1=0x 2−2x +y 2=0，解得{x =1y =1或{x =15y =35． ∴直线l 和曲线C 交点的直角坐标为(1,1)或(15,35)； (Ⅱ)如图，A(2,π3)=(1,√3)，则|OA|=2，OA所在直线的斜率为√3，设斜率为√3且与圆x2−2x+y2=0相切的直线方程为：y=√3x+m，即√3x−y+m=0，由(1,0)到直线的距离为1，可得|√3+m|2=1，解得m=2−√3或m=−2−√3，由图可知，取m=−2−√3时，切点B到OA：y=√3x的距离最大，为|2+√3|2=1+√32．∴△AOB面积的最大值为12×2×(1+√32)=1+√32．【解析】(Ⅰ)由已知求得直线l与曲线C的直角坐标方程，联立求解即可得到直线l和曲线C交点的直角坐标；(Ⅱ)写出A的直角坐标，求出|OA|及OA所在直线的斜率，再求出与OA平行且与曲线C相切的直线方程，求得曲线C上的点到OA的最大距离，代入三角形面积公式求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)当x<−3时，f(x)<6即为−2x−2<6，解得−4<x<−3；当−3≤x≤1时，f(x)<6即为4<6恒成立；当x>1时，f(x)<6即为2x+2<6，解得1<x<2；综上，M={x|−4<x<2}；(Ⅱ)证明：当a2∈M，b2∈M时，0≤a2<2，0≤b2<2，要证|ab+2|>√2|a+b|，只需证明(ab+2)2>2(a+b)2，即证a2b2+4ab+4>2a2+4ab+2b2，只需证a2b2−2a2−2b2+4>0，只需证(a2−2)(b2−2)>0，又a2−2>0，b2−2>0，故(a2−2)(b2−2)>0，即得证．【解析】(Ⅰ)分x<−3，−3≤x≤1及x>1讨论，去掉绝对值符号解不等式即可；(Ⅱ)易知0≤a2<2，0≤b2<2，利用分析法可知，要证|ab+2|>√2|a+b|，只需证(a2−2)(b2−2)>0，而这显然成立，即可得证．本题考查绝对值不等式的解法，考查利用分析法证明不等式，考查运算求解能力及逻辑推理能力，属于基础题．。
四川省成都市高新区2021届高三12月上学期第三次阶段性考试数学(理)试题 Word版含答案
成都市高新区2020－2021学年高2018级高三第三次阶段质量检测数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z 满足(1)2z i +=，i 为虚数单位，则=z （ ▲ ）A ．1B ．1i -C ．2D ．1i + 2.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≤*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则AB 中元素的个数为（ ▲ ）A ．2B ．3C ．4D ．63.5(x -的展开式中，第4项的系数为（ ▲ ）A ．80-B ．80C ．40D ．40-4. 在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，7825a a =+，则11S =（ ▲ ）A ．55B ．11C ．50D ．605.已知P 是边长为2的正方形ABCD 内（包含边界）的一点，则AP⋅的最大值是（ ▲ ）A ．2B ．3C ．4D ．6. 已知x ，y 满足不等式组22y xx y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ▲ ）A ．2B ．3C ．4D ．67. 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ▲ ）A ．若//m n ，//m α，则//n αB ．若m n ⊥，n α⊂，则m α⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，n α⊥，则m n ⊥ 8. 已知0.513sin1,log 4,3a b c ===则（ ▲ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<9.已知(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，则||PQ 的最大值为（▲ ）A B ．2 C ．4 D ．10. 命题函数()sin 2f x x ω=的最小正周期为π的充要条件是1ω=；命题:q 定义域为R 的函数()g x 满足()+()=0g x g x -，则函数()g x 的图象关于y 轴对称.则下列命题为真命题的是（ ▲ ）A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝11. 已知1a >，若直线4y x =-分别()x f x a =与()log a g x x =的交点横坐标为,m n ，则11m n+的取值范围是（ ▲ ） A ．(1,)+∞ B ．7(,)2+∞C ．(4,)+∞D ．9(,)2+∞12. 如图，一张矩形纸的长、宽分别为23a ，6a ，四条边的中点分别是A ，B ，C ，D ，现将其沿图中虚线折起，使得1M ，2M ，3M ，4M 四点重合为一点M ，从而得到一个多面体，关于该多面体有下述四个结论： ①该多面体是六面体； ②点M 到棱AC 的距离为6a ； ③平面ABD ⊥平面AMC ； ④该多面体外接球的直径为30a ， 其中所有正确结论有（ ▲ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知函数2tan ()1tan xf x x=-，()f x 的最小正周期是▲.14.已知数列{}n a 的前n 项和21nn S =-，则n a =▲.15. 若对任意,a b 满足0a b t <<<，都有ln ln b a a b <，则t 的最大值为▲.16. 已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，若双曲线的左支上存在一点P ，使得2PF 与双曲线的一条渐近线垂直于点H ，且22PH HF =，则此双曲线的离心率为▲.三、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分12分)在ABC ∆中，7a =，8b =，1cos 7B =-. （1）求A ∠； （2）求ABC ∆的面积.18．(本小题满分12分)共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某市有统计数据显示，2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示．若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁－39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”．已知在“经常使用单车用户”中有56是“年轻人”．图1 共享单车用户年龄等级分布 图2共享单车使用频率分布（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列22⨯列联表，并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？年轻人 非年轻人 合计 经常使用单车用户 120 不常使用单车用户 80 合计16040200（2）将（1）“年轻人”人数为随机变量X ，求X 的分布列与期望．()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 0k2.0722.7063.8415.0246.635其中，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AD DC ⊥，//AB DC ，222AB AD CD ===，点E 是PB 的中点.（Ⅰ）线段PA 上是否存在一点G ，使得点,,,D C E G 共面，存在请证明，不存在请说明理由； （Ⅱ）若2PC =，求二面角P AC E --的余弦值.20.（本小题满分12分）如图，抛物线2:2C y px =的焦点为F ，抛物线上一定点(1,2)Q .过焦点F 的直线（不经过点Q ）与抛物线交于,A B 两点，与准线l 交于点M . （1）若MB AB 2=，求直线AB 的斜率；（2）记,,QA QB QM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，问是否存在常数λ，使得123k k k λ+=成立？若存在λ，求出λ的值；若不存在，说明理由.21．(本小题满分12分)已知函数()sin f x x ax =-，()=ln 1xg x x x e -+， 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数.（1）当(0,)x π∈，()0f x <恒成立，求a 的取值范围； （2）当0a =时，记()()()h x f x g x =+，求证：对任意()0,x ∈+∞，()0h x <恒成立.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做题的第一题记分.作答时请将答题纸上所选题目对应题号后的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆14cos C ρθ=：（0ρ≥），直线1sin 2l ρθ=：. （1）若点1(,)3A πρ在圆1C 上，求1ρ的值；（2）以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，已知直线2:l y 与1C 、1l 在第一象限的交点分别为,M N ，求||MN 的值. 23、（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲 已知,,a b c 为正数，且满足 1.a b c ++=证明： （1）1119a b c++≥； （2）8.27ac bc ab abc ++-≤2020－2021学年高2018级高三第三次阶段质量检测数学试卷（理科）参考答案一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分． BCAAC DDDBB AC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.2π 14. 12n n a -= 15.e .三、解答题：本大题共6个小题，共70分. 17．(本小题满分12分)解：（1）ABC 中，7a =，8b =，1cos 7B =-.所以：sin B ==，……2分利用正弦定理得：sin sin a b A B =，解得：sin A =，……4分 由于1cos 7B =-，所以：2B ππ<<， 利用三角形内角和，所以：3A π∠=；……6分（2）利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，解得：3c =.……9分所以：1sin 632ABC S ac B ==△.……12分 18．(本小题满分12分)年轻人 非年轻人 合计 经常使用共享单车 100 20 120 不常使用共享单车60 20 80 合计16040200∴22200(100206020) 2.083 2.0721208016040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，……5分即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关．……6分（2）由（1）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为10012002=， 即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为12，……8分∵1~(3,)2X B ，0,1,2,3X =∴311(0)(1)28P X ==-=，123113(1)()()228P X C ==⋅⋅=3(2)8P X ==，1(3)8P X ==，……10分X X0 1 2 3P18 38 38 18∴X 的数学期望()322E X =⨯=．……12分 19．(本小题满分12分) 证明：（Ⅰ）存在PA 的中点G 满足条件。
四川省成都市高新区2021届高三上学期第三次阶段性考试数学(理)(1)
D． p (q)
11. 已知 a 1，若直线 y 4 x 分别 f (x) a x 与 g(x) loga x 的交点横坐标为 m, n ，则
1
1
的取值范围是（
▲
）
mn
A． (1, )
B． ( 7 , ) 2
C． (4, )
D． ( 9 , ) 2
1
12. 如图，一张矩形纸的长、宽分别为 2 3a ， 6a ，四条边的中点分别是 A ， B ，C ， D ， 现将其沿图中虚线折起，使得 M1 ， M 2 ， M 3 ， M 4 四点重合为一点 M ，从而得到一个多面
C．40
D． 40
4. 在等差数列{an}中， Sn 为其前 n 项和， 2a7 a8 5 ，则 S11 （ ▲ ）
A． 55
B．11
C． 50
D． 60
5.已知 P 是边长为 2 的正方形 ABCD 内（包含边界）的一点，则 AP AB 的最大值是（ ▲ ）
A．2
B．3
C．4
D． 2 2
5
不足 5 次的称为“不常使用单车用户”．已知在“经常使用单车用户”中有 是“年轻人”．
6
图 1 共享单车用户年龄等级分布
图 2 共享单车使用频率分布
2
（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取 一个容量为 200 的样本，请你根据图表中的数据，补全下列 2 2 列联表，并根据列联表的独 立性检验，判断是否有 85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？
0.10
0.050
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
【物理】四川省成都市高新区2021届高三上学期第三次阶段性考试试题
四川省成都市高新区2021届高三上学期
第三次阶段性考试试题
二、选择题:本题共８小题,每小题６分。
在每小题给出的四个选项中,第14-18题只有一项符合题目要求,第１９-２１题有多项符合题目要求.全部选对的得６分,选对但不全的得３分，有选错的得0分。
14.下列说法正确的是
A．做匀速圆周运动的物体，加速度不变
B. 只要合外力为零，则物体的机械能守恒
C. 法拉第引入电场线，形象直观地描述电场
D. 如图1所示，t时间内恒力F对物体的冲量为Ft cosθ
15. 如图所示，甲、乙两物体零时刻开始从同一地点向同一方向做直线运动，位移－时间图像，则在0～t1时间内
A.甲、乙均做加速运动
B.甲经过的路程比乙小
C.甲、乙位移相同
D.甲的速度总比乙大
16.三段不可伸长轻绳ac、bd、cd，其中a、b端悬于天花板，c点挂一质量为m的小球，在竖直平面内过d点作用一拉力F，如图3所示，保持静止，已知cd绳水平。
则F的最小值为。
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（2）由（1）的列联表可知，经常使用单车的“非年轻人”的概率，即可利用独立重复试验求解随机变量 取每个数值的概率，列出分布列，求解数学期望.
【详解】（1）补全的列联表如下：
年轻人
非年轻人
合计20
不常使用共享单车
60
故y′＝ ≥0，解得0<x≤e，
故t的最大值是e.
故答案为： ．
【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，解题关键是把问题转化为新函数 在 上递增，方法是构造法．
16．已知双曲线C： （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，若双曲线的左支上存在一点P，使得 与双曲线的一条渐近线垂直于点H，且 ，则此双曲线的离心率为______.
（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.
20．如图，抛物线 ： 的焦点为 ，抛物线上一定点 ．过焦点 的直线（不经过点 ）与抛物线交于 ， 两点，与准线 交于点 ．
0.027
0.001．
∴ 的数学期望 ．
【点睛】本题主要考查了 列联表,独立性检验，二项分布，二项分布的期望，属于中档题.
19．如图，在四棱锥 中， 底面 ， 是直角梯形， ， ， ，点 是 的中点．
（Ⅰ）线段 上是否存在一点 ，使得点 ， ， ， 共面，存在请证明，不存在请说明理由；
（Ⅱ）若 ，求二面角 的余弦值．
【答案】
【分析】先化简函数f(x)，再利用三角函数的周期公式求解.
【详解】由题得 ，
所以函数的最小正周期为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查和角的正切和正切函数的周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
14．已知数列 的前 项和 ，则 ______.
【答案】
【分析】分 ， 两种情况，由 求解.
【答案】（Ⅰ）存在 的中点 满足条件.证明见解析；（Ⅱ） .
【分析】（Ⅰ）取 的中点 ，连接 ， ，根据平行的传递性，证明 ，即可证明四点共面；
（Ⅱ）取 的中点 ，连结 ，以点 为坐标原点，分别以 、 、 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，根据向量夹角公式，即可求出结果.
故选:A
11．已知 ，若直线 分别 与 的交点横坐标为 ， ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设直线 分别与 与 的交点分别为 ， ，由反函数图象关于直线 对称，推出 ， ， ，且 ，再由基本不等式，即可得出答案．
【详解】根据题意可得，设直线 分别与 与 的交点分别为 ， ，
200
使用共享单车情况与年龄列联表
（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量 ，求 的分布列与期望．
参考数据：独立性检验界值表
0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
其中， ，
【答案】（1）列联表见解析，有 的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关；（2）分布列见解析，数学期望为 ．
（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列 列联表，并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？
年轻人
非年轻人
合计
经常使用单车用户
120
不常使用单车用户
80
合计
160
40
， ，
.
故选：D.
9．已知 ， ，则 的最大值为（）
A． B．2C．4D．
【答案】B
【分析】由两点的距离公式表示 ，再运用两角差的余弦公式化简，利用余弦函数的值域求得最值.
【详解】∵ ， ，
∴
.
∵ ，∴ .
故选B.
【点睛】本题综合考查两点的距离公式、同角三角函数的平方关系、两角差的余弦公式和余弦的值域，属于中档题.
【详解】当 时， ，
当 时， ，
而 适合上式，
所以
故答案为：
15．若对任意a，b满足0<a<b<t，都有blna<alnb，则t的最大值为________.
【答案】e
【分析】不等式变形为 ，只要 在 上为增函数即可．
【详解】因为0<a<b<t，blna<alnb，
所以 ，
令y＝ ，x∈(0，t)，则函数在(0，t)上单调递增，
长方体的外接球直径是长方体的体对角线，
设长方体的三边长分别为 ，则
，可得 ，
该多面体外接球的直径为 ，故④正确.
所以结论②③④正确，共3个.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够根据题意，得出折叠之后的几何体，并依托于一个长方体画出其图象，再进行位置关系的证明，以及求值.
二、填空题
13．已知函数 ， 的最小正周期是___________.
（1）若 ，求直线 的斜率；
（2）记 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，问是否存在常数 ，使得 成立？若存在 ，求出 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在， .
【分析】（1）先将 代入抛物线方程，求解抛物线的方程，设 的中点为点 ，直线 的倾斜角为 ，根据题意可得 ， ，得 ，得 的斜率为 ；
（2）设直线 的方程为 ， ， ， ，然后分别表示出 ， 及 ，然后联立直线 与抛物线方程，得出 ， ，假设 成立，将 ， 及 的表达式代入，再将 ， 的值代入求解 的值.
【答案】 .
【分析】设出双曲线的焦点和一条渐近线方程，求得 到渐近线的距离，可得 ， ，由直角三角形的锐角三角函数和三角形的余弦定理，化简可得 ，再由离心率公式可得所求值.
【详解】设双曲线C： （ ， ）的左、右焦点分别为：
， ，
一条渐近线方程为 ，
可得 到渐近线的距离为 ， ，
则 ， ，
在直角三角形 中， ，
【详解】由题意， 中的元素满足 ，且 ，
由 ，得 ，
所以满足 的有 ，
故 中元素的个数为4.
故选：C.
【点晴】
本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
3． 的展开式中，第4项的系数为（）
A． B．80C．40D．
【答案】A
【分析】用二项式展开式的通项公式代入计算即可.
【详解】解： ，
20
80
合计
160
40
200
于是 ， ， ， ，
∴ ，
即有 的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关．
（2）由（1）的列联表可知，
经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为 ，
即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1，
∵ ，
∴ ，
， ，
∴ 的分布列为
0
1
2
3
0.729
0.243
对于C，若 ， ，可得 或 ，故C错误;
对于D，若 ，由线面平行的性质定理可得过m的平面β与α的交线1与m平行，又 ，可得 ，则 ，故D正确.
故选：D
8．已知 ， ， ，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数、对数函数和正弦函数的单调性求出 的范围即可判断.
【详解】 ， ，
， ，
在 中，可得
，
化为 ，即有 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查三角形的余弦定理和锐角三角函数的定义，考查方程思想和运算能力，属于中档题.
三、解答题
17．在 中， ， ， .
（1）求 ；
（2）求 的面积.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）直接利用正弦定理求出结果.
①该多面体是六面体；②点 到棱 的距离为 ；
③平面 平面 ；④该多面体外接球的直径为 ，
其中所有正确结论有（）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用图形翻折，结合勾股定理，可确定该多面体是以A，B，C，D为顶点的三棱锥，利用线面垂直，判定面面垂直，即可得出结论.
【详解】结论①中，长、宽分别为 ， ，
∴ ， ，
设 为平面 的一个法向量，
则 ，所以 ，不妨取 ，则 ，
所以 ；
设 为平面 的一个法向量，
则 ，所以 ，取 ，则 ， ，所以
∴ ，
又因为所求二面角为锐角，所以二面角 的余弦值为 .
【点睛】方法点睛：
立体几何体中空间角的求法：
（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；
2021届四川省成都市高新区高三第三次阶段性考试数学（理）试题
一、单选题
1．复数 满足 ， 为虚数单位，则 （）
A．1B． C．2D．
【答案】B
【分析】根据复数除法运算法则即可求解.
【详解】 ，
.
故选：B.
2．已知集合 ， ，则 中元素的个数为（）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】采用列举法列举出 中元素的即可.
10．命题 ：函数 的最小正周期为 的充要条件是 ；命题 ：定义域为 的函数 满足 ，则函数 的图象关于 轴对称.则下列命题为真命题的是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先判断命题 的真假性，再判断复合命题的真假.