四川省成都市2020届高三数学零模考试试题文(含解析)
四川省成都市高2021届2020年高三零诊数学试卷(文科、理科)
四川省成都市高2021届2020年高三零诊数学试卷(文科、理科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 $A=\{x|0<x<2\}$，$B=\{x|x\geq1\}$，则 $A\capB=$A) $\{x|0<x\leq1\}$ (B) $\{x|0<x<1\}$ (C) $\{x|1\leqx<2\}$ (D) $\{x|0<x<2\}$2.复数 $z=2i/(2-i)$（$i$ 为虚数单位）在复平面内对应的点位于A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限3.已知函数 $f(x)=\begin{cases} |x-1|。
& x\leq 1 \\ e^{\ln x}。
& x>0 \end{cases}$，则 $f(f(2))=$A) 0 (B) 1 (C) $e^{-1}$ (D) 24.为了加强全民爱眼意识，提高民族健康素质，1996年，卫生部、教育部、XXX等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6日为“全国爱眼日”。
某校高二（1）班有40名学生，学号为01到40，现采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日”宣传活动。
已知随机数表中第6行至第7行的各数如下：xxxxxxxx39 xxxxxxxx82 xxxxxxxx78 xxxxxxxx38xxxxxxxx48 xxxxxxxx15 xxxxxxxx77 xxxxxxxx17 xxxxxxxx92 若从随机数表第6行第9列的数开始向右数，则抽取的第5名学生的学号是A) 17 (B) 23 (C) 35 (D) 375.“$k=223$” 是“直线 $y=kx+2$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 相切”的A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件6.已知离心率为2的双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ （$a>0,b>0$）与椭圆$\dfrac{y^2}{84}+\dfrac{x^2}{ab}=1$ 有公共焦点，则双曲线的方程为A) $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ (B)$\dfrac{x^2}{b^2}-\dfrac{y^2}{a^2}=1$ (C) $x^2-a^2y^2=b^2$ (D) $y^2-a^2x^2=b^2$7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果 $S$ 为A) $-1$ (B) $\dfrac{2}{\sqrt{2}}$ (C) 0 (D) $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$8.设函数 $f(x)$ 的导函数是 $f'(x)$。
四川省成都市2020届高三数学第一次诊断考试试题文
四川省成都市2020 届高三数学第一次诊疗考试一试题文本试卷分选择题和非选择题两部分。
第I 卷( 选择题)1 至 2页，第II 卷 ( 非选择题)3 至 4 页，共 4 页，满分150 分，考试时间120 分钟。
注意事项1.答题前，务势必自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的地点上。
2.答选择题时，一定使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需变动，用橡皮擦擦洁净后，再选涂其余答案标号。
3.答非选择题时，一定使用 0.5 毫米黑色署名笔，将答案书写在答题卡规定的地点上。
4.全部题目一定在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，只将答题卡交回。
第 I 卷( 选择题，共 60 分)一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
1. 若复数 z1与 z2＝－ 3－ i(i为虚数单位)在复平面内对应的点对于实轴对称，则(A) － 3－ i (B)－3＋i(C)3＋i(D)3－iz1＝2.已知会合 A＝ { － l ， 0，m}， B＝ {l ， 2} 。
若 A∪ B＝ { － l ， 0，1， 2} ，则实数 m的值为(A) － l 或 0 (B)0或1(C)－l或2(D)l或23.若，则 tan2 θ＝(A)(B)(C)(D)4.已知命题 p：，则为(A)(B)(C)(D)5. 某校随机抽取100 名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00 名同学的得分都在 [50 ， 100] 内，按得分分红 5 组： [50 ， 60) ，[60 ， 70) ，[70 ， 80) ， [80 ，90) ， [90 ，100] ，获得如下图的频次散布直方图。
则这100 名同学的得分的中位数为(A)72.5 (B)75 (C)77.5 (D)806.设等差数列 {a n} 的前 n 项和为 S n，且 a n≠0，若 a5＝ 3a3，则(A)(B)(C)(D)7.已知α，β是空间中两个不一样的平面， m，n 是空间中两条不一样的直线，则以下说法正确的是(A) 若 m∥α， n∥β，且α∥β，则 m∥ n (B) 若 m∥α， n∥β，且α⊥β，则 m∥ n(C) 若 m⊥α， n∥β，且α∥β，则 m⊥ n (D) 若 m⊥α， n∥β且α⊥β，则 m⊥ n8. 将函数 y＝ sin(4x － ) 图象上全部点的横坐标伸长到本来的 2 倍 ( 纵坐标不变 ) ，再把所得图象向左平移个单位长度，获得函数f(x) 的图象，则函数 f(x) 的分析式为(A)f(x) ＝ sin(2x ＋ ) (B)f(x) ＝ sin(2x － )(C)f(x) ＝ sin(8x ＋ ) (D)f(x) ＝ sin(8x － )9. 已知抛物线 y2＝ 4x 的焦点为F，M，N是抛物线上两个不一样的点。
2020年四川省成都市高考数学一模试卷(文科)
2020 年四川省成都市高考数学一模试卷（文科）一、单选题（共 12 小题）1.若复数 z 1 与 z 2＝﹣3﹣i （i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则 z 1＝（）A ．﹣3iB ．﹣3+iC ．3+iD ．3﹣i2.已知集合 A ＝{﹣l ，0，m ），B ＝{l ，2}，若 A ∪B ＝{﹣l ，0，1，2}，则实数 m 的值为（）A ．﹣l 或 0B ．0 或 1C ．﹣l 或 2D ．l 或 23.若A ．﹣ ，则 tan2θ＝（ ）B ．C ．﹣D ．4.已知命题 p ：∀x ∈R ，2x ﹣x 2≥1，则￢p 为（）A ．∀x ∉R ，2x ﹣x 2＜1C ．∀x ∈R ，2x ﹣x 2＜1B ．D ．5.某校随机抽取 100 名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这 l00 名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成 5 组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图则这 100 名同学的得分的中位数为（）A ．72.5B ．75C ．77.5D ．806.设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且 a n ≠0，若 a 5＝3a 3，则＝（ ）|A ．B ．C ．D ．7.已知 α，β 是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A ．若 m ∥α，n ∥β，且 α∥β，则 m ∥nB ．若 m ∥α，n ∥β，且 α⊥β，则 m ∥nC ．若 m ⊥α，n ∥β，且 α∥β，则 m ⊥nD ．若 m ⊥α，n ∥β 且 α⊥β，则 m ⊥n8.将函数 y ＝sin （4x ﹣）图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移A ．C ．个单位长度，得到函数 f （x ）的图象，则函数 f （x ）的解析式为（ ）B ．D ．9.已知抛物线 y 2＝4x 的焦点为 F ，M ，N 是抛物线上两个不同的点．若MF|+|NF|＝5，则线段 MN 的中点到y 轴的距离为（） A ．3B ．C ．5D ．10.已知A ．a ＞b ＞c ，则（ ）B ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a11.已知直线 y ＝kx 与双曲线 C ：（a ＞0，b ＞0）相交于不同的两点 A ，B ，F 为双曲线 C 的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b （O 为坐标原点），则双曲线 C 的离心率为（）A ．B ．C ．2D ．12.已知定义在 R 上的函数 f （x ）满足 f （2﹣x ）＝f （2+x ），当 x ≤2 时，f （x ）＝xe x ．若关于 x 的方程 f （x ）＝k （x ﹣2）+2 有三个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（）A ．（﹣1，0）∪（0，1）C ．（﹣e ，0）∪（0，e ） B ．（﹣1，0）∪（1，+∞）D ．（﹣e ，0）∪（e ，+∞）|二、填空题（共4小题）13.已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为．14.设正项等比数列{an}满足a4＝81，a2+a3＝36，则a n＝．15.已知平面向量，满足||＝2，|＝，且⊥（﹣），则向量与的夹角的大小为．16.如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，边P1P2，P2P3的中点分别为B，C现将△AP1△B，BP2C，△CP3A分别沿AB，BC，CA折起使点P1，P2，P3重合，重合后记为点P，得到三棱锥P﹣ABC．则三棱锥P﹣ABC的外接球体积为三、解答题（共7小题）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（Ⅰ）求sinA的值；．（Ⅱ）若△ABC的面积为，且sinB＝3sinC，求△ABC的周长18.某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．（Ⅰ）完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；属于“追光族”属于“观望族”合计女性员工男性员工x + 2合计100（Ⅱ）已知被抽取的这 l00 名员工中有 6 名是人事部的员工，这 6 名中有 3 名属于“追光族”现从这 6名中随机抽取 3 名，求抽取到的 3 名中恰有 1 名属于“追光族”的概率．附：K 2＝ ，其中 n ＝a +b +c +d ．P （K 2≥k 0）k 00.152.0720.102.7060.053.8410.0255.024 0.0106.635 0.0057.8790.00110.82819.如图，在四棱锥 P ﹣ABCD 中，AP ⊥平面 PBC ，底面 ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60°，E ，F 分别为 BC ，CD 的中点．（Ⅰ）证明：BC ⊥平面 P AE ；（Ⅱ）点 Q 在棱 PB 上，且，证明：PD ∥平面 QAF ．20.已知函数 f （x ）＝（a ﹣1）lnx +x + ，a ∈R ，f'（x ）为函数 f （x ）的导函数．（Ⅰ）讨论函数 f （x ）的单调性；（Ⅱ）当 a ＝2 时，证明 f （x ）﹣f'（x ）≤x + 对任意的 x ∈[1，2]都成立．21.已知椭圆 C ：+y 2＝1 的右焦点为 F ，过点 F 的直线（不与 x 轴重合）与椭圆 C 相交于 A ，B 两点，直线 l ：x ＝2 与 x 轴相交于点 H ，E 为线段 FH 的中点，直线 BF 与直线 l 的交点为 D ．（Ⅰ）求四边形 OAHB （O 为坐标原点）面积的取值范围；（Ⅱ）证明直线 AD 与 x 轴平行．22.在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P 是曲线 C 1： 2 （y ﹣2）＝4 上的动点，将 OP 绕点 O 顺时针旋转 90°得到 OQ ，设点 Q 的轨迹为曲线 C 2 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线 C 1，C 2 的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，点M（3，），射线≥0）与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积．23.已知函数f（x）＝|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥4﹣|2x+l|；（Ⅱ）若＝2（m＞0，n＞0），求证：m+n≥|x+|﹣f（x）．2020年四川省成都市高考数学一模试卷（文科）参考答案一、单选题（共12小题）1.【分析】由已知可得复数z与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1可求．1【解答】解：∵复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1＝﹣3+i．故选：B．【知识点】复数代数形式的乘除运算2.【分析】因为A∪B＝{﹣l，0，1，2}，A，B本身含有元素﹣1，0，1，2，根据元素的互异性m≠﹣1，0，求出m即可．【解答】解：集合A＝{﹣l，0，m），B＝{l，2}，A∪B＝{﹣l，0，1，2}，因为A，B本身含有元素﹣1，0，1，2，所以根据元素的互异性，m≠﹣1，0即可，故m＝1或2，故选：D．【知识点】并集及其运算3.【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：若，则tanθ＝，则tan2θ＝＝﹣，故选：C．【知识点】二倍角的正弦4.【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题p：∀x∈R，2x﹣x2≥1，则￢p为．，故选：D．【知识点】命题的否定5.【分析】由频率分布直方图求出[50，70）的频率为0.4，[70，80）的频率为0.4，由此能求出这100名同学的得分的中位数．【解答】解：由频率分布直方图得：[50，70）的频率为：（0.010+0.030）×10＝0.4，[70，80）的频率为：0.040×10＝0.4，）∴这 100 名同学的得分的中位数为：70+＝72.5．故选：A ．【知识点】频率分布直方图6.【分析】将 S 9，S 5 转化为用 a 5，a 3 表达的算式即可得到结论．【解答】 解：依题意，＝＝，又＝3，∴＝ ×3＝ ，故选：D ．【知识点】等差数列7.【分析】 由考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案．【解答】 解：由 m ∥α，n ∥β，且 α∥β，得 m ∥n 或 m 与 n 异面，故 A 错误；由 m ∥α，n ∥β，且 α⊥β，得 m ∥n 或 m 与 n 相交或 m 与 n 异面，故 B 错误； 由 m ⊥α，α∥β，得 m ⊥β，又 n ∥β，则 m ⊥n ，故 C 正确；由 m ⊥α，n ∥β 且 α⊥β，得 m ∥n 或 m 与 n 相交或 m 与 n 异面，故 D 错误． 故选：C ．【知识点】命题的真假判断与应用8.【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【解答】 解：函数 y ＝sin （4x ﹣y ＝sin （2x ﹣）的图象，再把所得图象向左平移）图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到个单位长度，得到函数 f （x ）＝sin （2x + ）的图象，故选：A ．【知识点】函数 y=Asin （ωx+φ 的图象变换9.【分析】抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求 出结果即可．【解答】 解：由抛物线方程得，准线方程为：x ＝﹣1，设 M （x ，y ），N （x'，y'），由抛物线的性质得，MF +NF ＝x +x '+p ＝x +x'+2＝5，中点的横坐标为 ，线段MN的中点到y轴的距离为：，故选：B．【知识点】抛物线的简单性质10.【分析】利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a，b的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c＜1．【解答】解：∵a＝＝，b＝＝，∴1＜a＜b．c＝ln＜1．∴c＜a＜b．故选：C．【知识点】对数值大小的比较11.【分析】取双曲线的右焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AF'BF为平行四边形，运用双曲线的定义和平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，以及离心率公式可得所求值．【解答】解：设|BF|＝m，则|AF|＝3|BF|＝3m，取双曲线的右焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AF'BF为平行四边形，可得|AF'|＝|BF|＝m，设A在第一象限，可得3m﹣m＝2a，即m＝a，由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得（2b）2+（2c）2＝2（a2+9a2），．化为c2＝3a2，则e＝＝故选：B．【知识点】双曲线的简单性质12.【分析】本题根据题意先利用一阶导数分析当x≤2时，f（x）＝xe x．的函数单调性及图象，然后根据f（2﹣x）＝f（2+x）可知函数f（x）关于x＝2对称．即可画出函数y＝f（x）的大致图象．一次函数y＝k（x﹣2）+2很明显是恒过定点（2，2），则只要考查斜率k的变动情况，当k＝1时，y＝f（x）与y＝k（x﹣2）+2正好在原点处相切，再根据数形结合法可得k的取值范围，当x＞2时也同理可得．【解答】解：由题意，当x≤2时，f（x）＝xe x．f′（x）＝（x+1）e x．①令f′（x）＝0，解得x＝﹣1；②令f′（x）＜0，解得x＜﹣1；③令f′（x）＞0，解得﹣1＜x≤2．∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，2]上单调递增，在x＝﹣1处取得极小值f（﹣1）＝﹣．且f（0）＝0；x→﹣∞，f（x）→0．又∵函数f（x）在R上满足f（2﹣x）＝f（2+x），∴函数f（x）的图象关于x＝2对称．∴函数y＝f（x）的大致图象如下：而一次函数y＝k（x﹣2）+2很明显是恒过定点（2，2）．结合图象，当k＝0时，有两个交点，不符合题意，当k＝1时，有两个交点，其中一个是（0，0）．此时y＝f（x）与y＝k（x﹣2）+2正好相切．∴当0＜k＜1时，有三个交点．同理可得当﹣1＜k＜0时，也有三个交点．实数k的取值范围为：（﹣1，0）∪（0，1）．故选：A．【知识点】函数的零点与方程根的关系二、填空题（共4小题）13.【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）1由 z ＝x +2y 得 y ＝﹣ x + z ，平移直线 y ＝﹣ x + z ，由图象可知当直线 y ＝﹣ x + z 经过点 A 时，直线 y ＝﹣ x + z 的截距最大，此时 z 最大．由，解得 A （2，2），代入目标函数 z ＝x +2y 得 z ＝2×2+2＝6故答案为：6．【知识点】简单线性规划14.【分析】将已知条件转化为基本量 a 1，q 的方程组，解方程组得到 a 1，q ，进而可以得到 a n ．【解答】 解：依题意解得，∴a n ＝，＝3•3n ﹣＝3n ，故答案为：3n ．【知识点】等比数列的通项公式15.【分析】 由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出向量 与 的夹角的大小．【解答】 解：∵平面向量 ， 满足| |＝2， ＝∴ •（ ﹣ ）＝ • ﹣＝0，∴ ＝设向量 与 的夹角的大小为 θ，则 2•，且 ⊥（ ﹣ ），．•cos θ＝3，求得cosθ＝故答案为：，故θ＝．，【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系、数量积表示两个向量的夹角16.【分析】根据题意，得折叠成的三棱锥P﹣ABC三条侧棱P A、PB、PC两两互相垂直，可得三棱锥P﹣ABC的外接球的直径等于以P A、PB、PC为长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合AP＝2、BP＝CP＝1算出外接球的半径R＝，结合球的体积公式即可算出三棱锥P﹣ABC的外接球的体积．【解答】解：根据题意，得三棱锥P﹣ABC中，AP＝2，BP＝CP＝1∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的直径2R＝可得三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R＝＝根据球的表面积公式，得三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为＝＝故答案为．【知识点】球的体积和表面积三、解答题（共7小题）17.【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可求cosA的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sinA的值．（Ⅱ）利用三角形的面积公式可求bc的值，由正弦定理化简已知等式可得解得b，c的值，根据余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周长．b＝3c，【解答】解：（Ⅰ）∵∴由余弦定理可得2bccosA＝∴cosA＝，，bc，∴在△ABC中，sinA＝（Ⅱ）∵△ABC的面积为＝．，即bcsinA＝bc＝，∴bc＝6，又∵sinB＝3sinC，由正弦定理可得b＝3c，∴b＝3，c＝2，则a2＝b2+c2﹣2bccosA＝6，∴a＝，∴△ABC的周长为2+3+．【知识点】余弦定理18.【分析】（Ⅰ）由题意填写列联表．计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅱ）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意填写2×2列联表如下；女性员工男性员工合计属于“追光族”202040属于“观望族”402060合计6040100由表中数据，计算K2＝＝≈2.778＜3.841，所以没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（Ⅱ）设人事部的这6名员工3名“追光族”分别为“a、b、c”，3名“观望族”分别为“D、E、F”；现从这6名中随机抽取3名，所有可能事件为：abc、abD、abE、abF、acD、acE、acF、aDE、aDF、aEF、bcD、bcE、bcF、bDE、bDF、bEF、cDE、cDF、cEF、DEF共20种；其中抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的事件为：aDE、aDF、aEF、bDE、bDF、bEF、cDE、cDF、cEF共9种；故所求的概率为P＝．【知识点】独立性检验19.【分析】（Ⅰ）连接AC，先证明BC⊥AE，再利用线面垂直的性质可证BC⊥AP，进而根据线面垂直的判定定理即可证明BC⊥平面P AE；（Ⅱ）连接BD交AF于点M，连接QM，由，根据已知可求，可证PD∥QM，进而根据线面平行的判定定理即可证明PD∥平面QAF．【解答】证明：（Ⅰ）如图，连接AC，∵底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形，∵E为BC的中点．∴BC⊥AE，又∵AP⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，∴BC⊥AP，∵AP∩AE＝A，AP，AE⊂平面P AE，∴BC⊥平面P AE；（Ⅱ）连接BD交AF于点M，连接QM，∵F为CD的中点，∴在底面ABCD中，∴，，1∴，∴在△BPD 中，PD ∥QM ，又∵QM ⊂平面 QAF ，PD ⊄平面 QAF ， ∴PD ∥平面 QAF ．【知识点】直线与平面垂直的判定、直线与平面平行的判定20.【分析】（Ⅰ）求出导数，讨论 a 的取值范围，求出单调区间；（Ⅱ）a ＝2 时，令 h （x ）＝lnx ﹣ ，根据导数求出 h （x ）的单调性，即可证明．【解答】 解：（Ⅰ）f ′（x ）＝＝ ＝ ，因为 x ＞0，a ∈R ，所以当 a ≥0 时，x +a ＞0，函数 f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当﹣1＜a ＜0 时，0＜﹣a ＜1，函数 f （x ）在（0，﹣a ）上单调递增，在（﹣a ，1）上单调递 减，在（1，+∞）上单调递增；当 a ＝﹣1 时，f ′（x ）＝≥0，函数 f （x ）在（0，+∞）上单调递增；当 a ＜﹣1 时，﹣a ＞1，函数 f （x ）在（0，1）上单调递增，在（ ，﹣a ）上单调递减，在（﹣ a ，+∞）上单调递增．（Ⅱ）当 a ＝2 时，f （x ）＝lnx +x + ，则 f ′（x ）＝ ，x ∈[1，2]，所以 f （x ）﹣f ′（x ）﹣x ﹣ ＝lnx ﹣，令 h （x ）＝lnx ﹣，则 h ′（x ）＝ ＝ ，令 u （x ）＝x 2+x ﹣4，因为函数 u （x ）在[1，2]上单调递增，u （1）＜0，u （2）＞0， 所以存在唯一的 x 0∈（1，2），使得 h ′（x 0）＝0， 因为当 x ∈（1，x 0）时，h ′（x 0）＜0，当 x ∈（x 0，2）时，h ′（x 0）＞0， 所以函数 h （x ）在（1，x 0）上单调递减，在（x 0，2）上单调递增，又因为h（1）＝0，h（2）＝ln2﹣1＜0，所以h（x）max＝0，即f（x）﹣f′（x）≤x+对任意的x∈[1，2]都成立．【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数求闭区间上函数的最值21.【分析】（I）令直线AB：x＝my+1（m∈R），联立解方程组，代入四边形OAHB面积S，利用基本不等式求出范围；（II）求出直线BE的方程y＝，求出y D，根据（I）的韦达定理，代入求出y D＝y1，得到证明．【解答】解：（I）由F（1，0），令直线AB：x＝my+1（m∈R），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去x，得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，因为＝△4m2+4（m2+2）＞0，，，所以＝＝，所以四边形OAHB面积S＝，令t＝，∴S＝，当且仅当t＝1，即m＝0时，取等号，所以四边形OAHB面积S∈（0，]；（II）证明：∵H（2，0），F（1，0），∴E（，0），∴直线BE的斜率k＝，直线BE的方程为y＝，令x＝2得，，由（I）得，，，所以y1+y2＝2my，，代入得：＝ ，∴直线 AD 与 x 轴平行．【知识点】直线与椭圆的位置关系22.【分析】（Ⅰ）由题意，点 Q 的轨迹是以（2，0）为圆心，以 2 为半径的圆，写出其普通方程，再 结合 ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得曲线 C 1，C 2 的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，设 A ，B 的极径分别为 ρ1，ρ2，求得|AB|＝|ρ1﹣ρ2|，再求出 M （3，）到射线≥0）的距离 h ＝ ，代入三角形面积公式求△MAB 的面积．【解答】 解：（Ⅰ）由题意，点 Q 的轨迹是以（2，0）为圆心，以 2 为半径的圆，则曲线 C 2：（x ﹣2）2+y 2＝4，∵ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ＝4cos θ，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ＝4sin θ；（Ⅱ）在极坐标系中，设 A ，B 的极径分别为 ρ1，ρ2，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝4|又∵M （3，）到射线∴△MAB 的面积 S ＝|＝ ．≥0）的距离 h ＝．．【知识点】简单曲线的极坐标方程23.【分析】（I ）原不等式可化为：|x ﹣3|≥4﹣|2x+1|，即|2x +1|+|x ﹣3|≥4，分段讨论求出即可；（II ）根据绝对值的性质求出|x + |﹣f （x ）≤ ，m+n，证明即可．【解答】 解：（I ）原不等式可化为：|x ﹣3|≥4﹣|2x+1|，即|2x +1|+|x ﹣3|≥4，当 x ≤时，不等式﹣2x ﹣1﹣x +3≥4，解得 x ，故 x ；当﹣ ＜x ＜3 时，不等式 2x +1﹣x +3≥4，解得 x ≥0，故 0≤x ＜3；当 x ≥3 时，不等式 2x +1+x ﹣3≥4，解得 x ≥0，故 x ≥3；综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣ ]∪[0，+∞）；（II ）因为 f （x ）＝|x ﹣3|，所以|x + |﹣f （x ）＝||x + |﹣|x ﹣3|≤|x + ﹣x+3|＝ ，当且仅当（x + ）（x +3）≥0，且|x +|≥|x ﹣3|时，取等号，又 ＝2（m ＞0，n ＞0），所以（m+n）（）≥（1+2）2＝9，当且仅当m＝2n时，取得等号，故m+n，所以m+n≥|x+|﹣f（x）成立．【知识点】绝对值不等式的解法、不等式的证明。
2020年四川省高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年四川省高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是A. A C φ⋂=B. A C C ⋃=C. B C B ⋂=D. A B C =2. 若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z= A. i B. i - C. 2iD. 2i -3. 若1sin()43x π-=，则sin 2x = A.79B. 79-C.13D. 13-4. 在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，若向该矩形内随机投一点P ，那么使ABP ∆与ADP ∆ 的面积都小于4的概率为 A.136B.112C.19D.495. 在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A. 66B. 132C. -66D. -1326. 设函数2()23f x x x =--，若从区间[2,4]-上任取一个实数x ，则所选取的实数x 满足()0f x ≤的概率为A.12B.13C.23D.147. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α,m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m8. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则 =aA. 2B.26C. 25D. 19. 函数ln ()xf x x=的图象大致为 A. B.C. D.10.已知函数532sin 2064y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，则12x x =+ A.43πB.23π C.3π D.6π 11.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为 A.81500π B. 9100π C. 925πD. π412. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分別为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A B ．22 D -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省成都市2020届高三第二次诊断性检测数学试题(文)(解析版)
四川省成都市2020届高三第二次诊断性检测数学试题（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位)，则z 的虚部为（ ） A. iB. i -C.1- D. 1『答案』C『解析』由已知，22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，故z 的虚部为1-. 故选：C.2. 设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则()UM N ⋂=（ ）A. {}|2x x >B. {}|1x x ≥C. {}|12x x <<D. {}|2x x ≥『答案』A 『解析』由已知，{|1}UM x x =≥，又{}|2N x x =>，所以{|2}U M N x x ⋂=>.故选：A.3. 某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ） A. 20B. 50C. 40D. 60『答案』B『解析』由题意，30=150015001000n⨯+，解得50n =.故选：B.4. 曲线3y x x =-在点()1,0处的切线方程为（ ） A. 20x y -= B. 220x y +-= C. 220x y ++=D. 220x y --=『答案』D『解析』由已知，'231y x =-，故切线的斜率为12x y ='=，所以切线方程为2(1)y x =-， 即220x y --=. 故选：D.5. 已知锐角α满足2sin21cos2 ,αα=-则tan α=（ ） A.12B. 1C.2D.4『答案』C『解析』由已知，24sin cos 2sin ααα=，因α为锐角，所以sin 0α≠，2cos sin αα=， 即tan α=2. 故选：C.6. 函数())cos lnf x x x =⋅在[1,1]-的图象大致为（ ）A. B.C. D.『答案』B『解析』因为())cos()lnf x x x =-=-⋅)cos lnx x ⋅+cos cos )()x x x f x =⋅=-=-，故()f x 为奇函数，排除C 、D ；又(1)cos11)0f =⋅<，排除A. 故选：B.7. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A. 16B. 48C. 96D. 128『答案』B『解析』第一次循环：12(11)4,2S i =+==；第二次循环：242(12)16,3S i =++==； 第三次循环：3162(13)48,4S i =++==，退出循环，输出的S 为48. 故选：B.8. 已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A. ,4x k k Z ππ=-∈B. +,4x k k Z ππ=∈C. 1,2x k k Z π=∈ D. 1+,24x k k Z ππ=∈ 『答案』C『解析』由已知，()cos2f x x =，令2,π=∈x k k Z ，得1,2x k k Z π=∈. 故选：C.9. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点,P Q 分别为1111,A D D C 的中点，在平面ABCD 中，过AB 的中点M 作平面DPQ 的平行线交直线BC 于,N 则BNBC的值为（ ）A.13B.12C. 1D.23『答案』B 『解析』如图因为PQ ∥11A C ，11A C ∥AC ，故PQ ∥AC ，所以当N 为BC 中点时，MN ∥AC ，所以MN ∥PQ ，又MN ⊄平面DPQ ，PQ ⊂平面DPQ ，由线面平行的判定定理可知，MN ∥平面DPQ .此时12BN BC =. 故选：B.10. 如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是()()12,0,,0,F c F c -直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点.若12,3BF F π∠=则双曲线C 的离心率为（ ）A.2B.C.D.『答案』A『解析』由已知，得(,)22c bc B a -，过B 作x 轴的垂线，垂足为T ，故12cFT =， 又12,3BF F π∠=所以1tan 3BT FT π==，即22bcb ac a == 所以双曲线C的离心率2e ==.故选：A.11. 已知EF 为圆()()22111x y -++=的一条直径，点(),M x y 的坐标满足不等式组10,230,1.x y x y y -+≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩则ME MF ⋅的取值范围为（ ） A. 9,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []4,13C. []4,12D. 7,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦『答案』D『解析』作出可行域如图所示设圆心为(1,1)T -，则()()ME MF MT TE MT TF ⋅=+⋅+=22()()MT TE MT TE MT TE +⋅-=-21MT =-,过T 作直线10x y -+=的垂线，垂足为B ，显然TB MT TA ≤≤，又易得(2,1)A -，所以MA ==2TB ==， 故ME MF ⋅271[,12]2MT =-∈. 故选：D.12. 已知函数()() ln ,x xf xg x xe x-==.若存在120,,,()x x R ∈∞∈+使得()()120f x g x =<成立，则12x x 的最小值为（ ）A.1-B. 2e- C. 22e-D. 1e-『答案』D『解析』()'21ln ,xf x x-=易知()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,+)∞上单调递减，同理， ()'1ex xg x -=，易得()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,+)∞上单调递减，又存在 120,,,()x x R ∈∞∈+使得()()120f x g x =<成立，则12(0,1),(,0)x x ∈∈-∞， 12ln 0,0x x <<，且12112ln 1 ln ln 0e ex x x x x x ==<，又()g x 在(,1)-∞上单调递增， 故12ln x x =，所以1211ln x x x x =，令()ln h x x x =，则'()ln 1h x x =+，易知，()h x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,1)e上单调递增，故min 11()()e eh x h ==-. 故选：D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分）13. 已知函数()1,02,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则()()1f f -=___________．『答案』2『解析』由已知，1(1)2f -=，()()11()22f f f -==.故答案为：2.14. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,2,3B a b π===则ABC的面积为___________．『解析』由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即2342c c =+-，解得1c =，故ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==.故答案为：215. 设直线:1l y x =-与抛物线()220y px p =>相交于,A B 两点，若弦AB 的中点的横坐标为2,则p 的值为___________．『答案』1『解析』联立直线:1l y x =-与抛物线22y px =，得2220y py p --=，则122y y p +=，又12122422y y x x +=+-=-=，故22p =，1p =. 故答案为：1.16. 已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球O 的表面上.若球O 的表面积为28,π则该三棱柱的侧面积为___________．『答案』36『解析』由已知，2428R ππ=，解得R =，如图所示，设底面等边三角形中心为1O ， 直三棱柱的棱长为x，则1O A x =，112O O x =，故2222117O A O O OA R +===，即22734x x +=，解得x =2336x =.故答案为：36.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知{}n a 是递增的等比数列，11,a =且23432,,2a a a 成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设*21221,log log n n n b n N a a ++=∈⋅.求数列{}n b 的前n 项和n S解：()I 设数列{}n a 的公比为.q 由题意及11a =，知1q >.23432,,2a a a 成等差数列，34232a a a ∴=+. 2332q q q ∴=+，即2320-+=q q . 解得2q或1q =(舍去).2q ∴=.∴数列{}n a 的通项公式为12n na .()II ()21221111log log 11n n n b a a n n n n ++===-⋅++1111112231n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n =-+ 1n n =+ 18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，PO ⊥平面,,ABCD M E 分别为,AB BC 的中点.（Ⅰ）求证:平面PAC ⊥平面PBD ； （Ⅱ）若3,PE =求三棱锥B PEM -的体积. 解：()I ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥PO ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD .PO AC ∴⊥,OP BD ⊂平面,PBD且OP BD O ⋂=，AC ∴⊥平面 ,PBD又AC ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面,PBD()II )设三棱锥P BEM -的高为h .1.3B PEM P BEM BEMV V Sh --∴==⨯连接OE ，PO ⊥平面ABCD ，OE ⊂平面ABCD ，PO OE ∴⊥.2,3OE PE ==，h OP ∴==111223323P BEM BEMV Sh -=⨯=⨯⨯⨯∴=19. 某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司2013年至2019年的年利润y 关于年份代号x 的统计数据如下表(已知该公司的年利润与年份代号线性相关):（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2020年(年份代号记为8)的年利润； （Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由()I 中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A 级利润年，否则称为B 级利润年.将()I 中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2015年至2020年这6年中随机抽取2年，求恰有1年为A 级利润年的概率.参考公式:()()()121,niii nii x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑解：()I 根据表中数据，计算可得()()714,43,140iii x y x x y y ===--=∑又()27128ii x x =-=∑()()()712715iii ii x x y y b x x ==--∴==-∑∑a y bx =- 435423a ∴=-⨯=y ∴关于x 的线性回归方程为523y x =+.将代8x =入，582363y ∴=⨯+=(亿元)∴该公司2020年的年利润的预测值为63亿元.()II 由()I 可知2015 年至2020年的年利润的估计值分别为38,43,48,53,58,63(单位:亿元)， 其中实际利润大于相应估计值的有2年.故这6年中，被评为A 级利润年有2年，分别记为12,A A ； 评为B 级利润年的有4年，分别记为1234,,,B B B B从2015至2020年中随机抽取2年，总的情况分别为:121112131421222324121314,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B A B A B B B B B B B 232434,,B B B B B B ，共计15种情况.其中恰有一年为A 级利润年情况分别为:1112131421,,,,A B A B A B A B A B ，222324,,A B A B A B 共有8种情况.记“从2015至2020年这6年的年利润中随机抽取2年，恰有一年为A 级利润年”的概率为P ，.故所求概率815P =20. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为()()121,0,1,0F F -，点(P 在椭圆E 上. （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设直线:1()l x my m R =+∈与椭圆E 相交于,A B 两点，与圆222x y a +=相交于,C D两点，当2AB CD ⋅的值为l 的方程.解：()I 21,P ⎛ ⎝⎭在椭圆上， 122PF PF a ∴+=.又12,22PF PF ===12PF PF ∴+= ，则a =2221,,c b a c ==-1b ∴=故所求椭圆E 的标准方程为2212x y +=.()II 设()()1122,,,A x y B x y联立22122x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x ，得()222210m y my ++-=. 2880,m ∴∆=+>12222m y y m +=-+，12212y y m =-+ )212212m AB y m +=-=+∴设圆222x y +=的圆心O 到直线l 的距离为d ，则d =CD ∴==))2222222121214122m m m AB CD m m m +++∴⋅=⋅⋅=+++2AB CD ⋅= )22212m m +∴=+解得1m =±.经验证1m =±符合题意.故所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=. 21. 已知函数()2ln f x x mx m x =--，其中0m >.（Ⅰ）若1m =，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）设()()g x f x mx =+.若()1g x x>在(1,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围. 解：()I 当1m =时，()2ln .f x x x x =--则()2'12121x x f x x x x--=--=，0x >令()'0,fx =解得112x =-(舍去)，21x =. 当()0,1x ∈时，()'0f x <()f x ∴在()0,1上单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>()f x ∴在(1,)+∞上单调递增，()f x 的极小值为()10f =，无极大值.()II ()2ln g x x m x =-若()1g x x>在(1,)+∞上恒成立，即21ln 0x m x x-->在(1,)+∞上恒成立. 构造函数()21ln ,1G x x m x x x=-->， 则()3'221212m x mx G x x x x x -+=-+=令()321,1H x x mx x =-+>.()'26H x x m ∴=-()i 若6,m ≤可知()'0H x >恒成立.()H x ∴在(1,)+∞上单调递增. ()()13H x H m ∴>=-. ①当30,m -≥即03m <≤时，()0H x >在(1,)+∞上恒成立，即()'0G x >在(1,)+∞上恒成立. ()()10G x G ∴>=在(1,)+∞上恒成立，03m ∴<≤满足条件.②当30m <即36m <≤时，()()130,21720H m H m =-<=->，∴存在唯一的()01,2,x ∈使得()00H x =.当()01,x x ∈时，()0,H x <即()'0G x <()G x ∴在()01,x 单调递减.()()10G x G ∴<=，这与()0G x >矛盾.()ii 若6,m >由()'0,H x =可得1x =舍去)，2x =易知()H x在⎛ ⎝上单调递减. ()()130H x H m ∴<=-<在⎛ ⎝上恒成立，即()'0G x <在⎛ ⎝上恒成立. ()G x ∴在⎛ ⎝上单调递减. ()()10G x G ∴<=在⎛ ⎝上恒成立，这与()0G x >矛盾.综上，实数m 的取值范围为(]0,3.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22x m y m⎧=⎨=⎩(m 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin cos 10ρθρθ-+=. （Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程； （Ⅱ）已知点()2,1,P 设直线l 与曲线C 相交于,M N 两点，求11PM PN+的值. 解：()I 由cos ,sin ,x y ρθρθ== 可得直线l 的直角坐标方程为10.x y --= 由曲线C 的参数方程，消去参数,m 可得曲线C 的普通方程为24y x =.()II 易知点()2,1P 在直线l 上，直线l的参数方程为2212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数). 将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程，并整理得2140t --=.设12,t t是方程2140t --=的两根，则有121214t t t t +==-.21222121111111t t t PM PN t t t t t t t +∴+=+===-47==23. 已知函数()13f x x x =-++. （Ⅰ）解不等式()6f x ≥；（Ⅱ）设()22,g x x ax =-+其中a 为常数.若方程()()f x g x =在(0,)+∞上恰有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围. 解：()I 原不等式即136x x -++≥.①当1≥x 时，化简得226x +≥.解得2x ≥；②当31x -<<时，化简得46≥.此时无解； ③当3x ≤-时，化简得226x --≥.解得4x ≤-.综上，原不等式的解集为(,4][2,)-∞-+∞()II 由题意()22,14,01x x f x x +≥⎧=⎨<<⎩， 设方程()()f x g x =两根为()1212,x x x x <.①当211x x >≥时，方程2222x ax x -+=+等价于方程222a x x=++.易知当51,2a ⎤⎥⎦∈，方程222a x x =++在(1,)+∞上有两个不相等的实数根.此时方程224x ax -+=在()0,1上无解.51,2a ⎤∴⎥⎦∈满足条件.②当1201x x 时，方程224x ax -+=等价于方程42a x x=+， 此时方程42a x x=+在()0,1上显然没有两个不相等的实数根.③当1201x x <<≤时，易知当5,2a ⎛⎫+∞ ⎝∈⎪⎭，方程42a x x=+在()0,1上有且只有一个实数根. 此时方程2222x ax x -+=+在[1,)+∞上也有一个实数根.5,2a ⎛⎫∴+∞ ⎝∈⎪⎭满足条件.综上，实数a 的取值范围为1,)+∞.。
2020届四川省成都市数学高三模拟试题(word档含答案)
10.已知抛物线 的焦点 是椭圆 （ ）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于 、 两点，若 是正三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
抛物线 ，即
焦点为 ，故 ，
为正三角形，则边长为
故 ，
故选
11.已知函数 ，则 的图象大致为（ ）
16.如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，且 ， ，异面直线 与 所成角为 ，点 ， ， ， 都在同一个球面上，则该球的表面积为____
三、解答题
17.在 中，角 ， ， 所对 边分别为 ， ， .满足 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的大小.
18.中央政府为了对应因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15～65的人群中随机调查50人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：
【解析】
依题意有 , ，由正弦定理得 ，解得 .
16.如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，且 ， ，异面直线 与 所成角为 ，点 ， ， ， 都在同一个球面上，则该球的表面积为____
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得 ，∠CDO=30°，可得 的长，结合 可得三棱锥O-BCD外接球半径R的值，可得其表面积.
5.若 ， ， 满足 ， ， .则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用指数函数和对数函数的单调性即可比较大小.
【详解】 ， ， ，
【解析】四川省成都市2020届高三零模考试数学(文)试题
成都市2020届高中毕业班摸底考试数学试卷（文科） 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数1iz i =+（其中i 为虚数单位）的虚部是 （ ） A. 12- B. 12i C. 12D. 12i -【答案】C试题分析：(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i -+====+++-，则虚部为，故选. 考点：复数的运算、复数的实部与虚部.2.若集合{1234}A =，，，，{}260B x x x =--≤，则A B =I （ ） A. {1} B. {12}， C. {2,3} D. {12,3}， 【答案】D{}60,23,1,2,3x x x A B Q --≤∴-≤≤⋂=,选D .3.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（ ）A. 甲所得分数的极差为22B. 乙所得分数的中位数为18C. 两人所得分数的众数相等D. 甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 【答案】D【分析】根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果.【详解】甲的最高分为33，最低分为11，极差为22，A 正确；乙所得分数的中位数为18，B 正确；甲、乙所得分数的众数都为22，C 正确；甲的平均分为11151720222224323319699x ++++++++==甲，乙的平均分为8111216182022223116099x ++++++++==乙，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D 错误，故选D.【点睛】本题考查了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计算的，属于基础题型.4.若实数,x y 满足约束条件220,10,0.x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（）A. 0B. 2C. 4D. 6【答案】A 【分析】画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z 的最大值．【详解】作出实数x ，y 满足约束条件220100x y x y +-⎧⎪-⎨⎪⎩„……表示的平面区域，如图所示．由2z x y =-可得1122y x z =-，则12z -表示直线1122y x z =-在y 轴上的截距，纵截距越大，z 越小．作直线20x y -=，然后把该直线向可行域平移，当直线经过点B 时，12z -最大，z 最小．由2201x y x +-=⎧⎨=⎩可得1(1,)2B ，此时0z =，故选A ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ） A. 1 B. 3C. 6D. 9【答案】D 【分析】首先根据对数运算法则，可知()31212log ...12a a a =，再根据等比数列的性质可知()6121267.....a a a a a =，最后计算67a a 的值.【详解】由3132312log log log 12a a a +++=L ，可得31212log 12a a a =L ，进而可得()6121212673a a a a a ==L ，679a a ∴= .【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.6.设函数()f x 的导函数为()f x '，若()1ln 1xf x e x x=+-，则()1f '=（） A. 3e - B. 2e -C. 1e -D. e【答案】C 【分析】先求出()f x '，即可求出()1f '的值.【详解】由题得()21=ln x xe f x e x x x '+-，所以()211==e 111e f '--. 故选C【点睛】本题主要考查函数求导，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 7.ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ．若向量(),cos m a A =-r，()cos n C c =-r ，且0m n ⋅=r r，则角A 的大小为（）A.6π B.4π C.3π D.2π 【答案】B 【分析】利用数量积结合正弦定理转化为三角函数问题，通过两角和的公式化简得到角A 的方程，得解．【详解】由0m n =r rg得，0(,cos )(cos )cos )cos a A C c a C c A =--=--g ，由正弦定理得，sin cos cos sin cos 0A C B A C A +=，化为sin()cos 0A C B A +=，即sin cos 0B B A =， 由于sin 0B ≠，∴cos A =()0,A π∈∴4A π=，故选B ．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积和正弦定理，考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.执行如图所示的程序框图，则输出的m 的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S 的值并输出变量m 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】模拟程序的运行，可得 开始 0S =1m =① 1122100⨯=< 2m =② 12122210100⨯+⨯=< 3m = ③ 12312223234100⨯+⨯+⨯=< 4m = ④ 12341222324298100⨯+⨯+⨯+⨯=< 5m =⑤ 123451222324252258100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=>6m =故选B ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.若矩形ABCD 的对角线交点为O '，周长为410，四个顶点都在球O 的表面上，且3OO '=，则球O 的表面积的最小值为（）A.3223πB.6423πC. 32πD. 48π【答案】C 【分析】首先利用矩形求出外接圆的小圆半径，进一步利用基本不等式求出球的半径，进一步求出球的表面积的最小值．【详解】如图，设矩形ABCD 的两邻边分别为a ，b ，则210a b +=，且外接圆O 'e 的半径22a b r +=．由球的性质得，OO '⊥平面ABCD ，所以球O 的半径2222(3)34a b R r +=++由均值不等式得，2222a ba b ++„222()202a b a b ++=…， 所以222220(3)33844a b R r +=+++…，当且仅当10a b ==所以球O 的表面积的最小值为2432R ππ=， 故选C ．【点睛】本题考查的知识要点：球的表面积公式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 10.已知函数()()221xf x x a x e =++，则“2a =()f x 在-1x =处取得极小值”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】求出原函数的导函数，分析函数()f x 在1x =-处取得极小值时的a 的范围，再由充分必要条件的判定得答案．【详解】解：若()f x 在1x =-取得极小值，2222()[(2)1](1)(1)x x f x x a x a e x x a e '=++++=+++．令()0f x '=，得1x =-或21x a =--．①当0a =时，2()(1)0xf x x e '=+…． 故()f x 在R 上单调递增，()f x 无最小值；②当0a ≠时，211a --<-，故当21x a <--时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当211a x --<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增． 故()f x 在1x =-处取得极小值．综上，函数()f x 在1x =-处取得极小值0a ⇔≠．∴“a =()f x 在1x =-处取得极小值”的充分不必要条件．故选A ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查充分必要条件的判定，属于中档题．11.已知双曲线2222C :1(0,b 0)x y a a b-=>>的左、右焦点分别为()10F c－，，()20F c ，，点N 的坐标为23c,2b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足24MF MN b >+，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A. 3⎛ ⎝B.C. 131,(5,)3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭UD. (1,5)(13,)+∞U【答案】C 【分析】首先根据双曲线的定义，212MF MF a =+，转化为124MF MN a b ++>，即()1min24MFMNa b ++>，根据数形结合可知，当点1,,M F N 三点共线时，1MF MN+最小，转化为不等式23242b a b a+>，最后求离心率的范围.【详解】由已知可得212MF MF a -=，若2||4MF MN b +>，即1|||24MF MN a b ++>‖，左支上的点M 均满足2||4MF MN b +>， 如图所示，当点M 位于H 点时，1||MF MN +最小，故23242b a b a +>，即22348b a ab +>, 223840,(2)(23)0b ab a a b a b ∴-+>∴-->,23a b ∴>或222,49a b a b <∴>或22224,913a b c a <∴<或22135,1c c a a >∴<<或5,ca >∴双曲线C 的离心率的取值范围为131,(5,)⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭U .【点睛】本题考查离心率的取值范围的问题，属于中档题型，意在考查化归和计算能力，关键是根据几何关系分析1|||MF MN +‖的最小值，转化为,a b 的代数关系，最后求ca的范围. 12.若关于x 的不等式ln 10x x kx k -++>在()1,+∞内恒成立，则满足条件的整数k 的最大值为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C 【分析】根据题意即可得出函数(1)y xlnx x =>的图象恒在直线(1)1y k x =--的上方，当直线(1)1y k x =--与函数(1)y xlnx x =>相切时，可设切点为0(x ，0)y ，从而可以得出()000000111y x lnx y k x lnx k =⎧⎪=--⎨⎪+=⎩①②③，联立三式即可得出01k x =-，根据01x >即可得出0k >，再根据③即可得出1k >，从而得出整数k 的最大值为2．【详解】关于x 的不等式10xlnx kx k -++>在(1,)+∞内恒成立， 即关于x 的不等式(1)1xlnx k x >--在(1,)+∞内恒成立， 即函数(1)y xlnx x =>的图象恒在直线(1)1y k x =--的上方．当直线(1)1y k x =--与函数(1)y xlnx x =>相切时，设切点为0(x ，0)y ，则()000000111y x lnx y k x lnx k =⎧⎪=--⎨⎪+=⎩①②③，由①②得，000(1)1x lnx k x =--，把③代入得00(1)(1)1x k k x -=--，化简得01x k =+．由01x >得，0k >．又由③得011k lnx =+>．即相切时整数2k …． 因此函数(1)y xlnx x =>的图象恒在直线(1)1y k x =--的上方时，整数k 的最大值为2． 故选C ．【点睛】本题主要考查基本初等函数的求导公式，积的导数的求导公式，考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13.某公司一种新产品的销售额y 与宣传费用x 之间的关系如表：已知销售额y 与宣传费用x 具有线性相关关系，并求得其回归直线方程为$9y bx=+$，则b $的值为__________． 【答案】6.5 【分析】由表中数据计算平均数，代入回归直线方程中求得回归系数． 【详解】由表中数据，计算0123425x ++++==，10152030351102255y ++++===，又归直线方程为ˆˆ9y bx =+过样本中心点(2,22)得， ˆ2229b=+， 解得13ˆ 6.52b ==． 故答案为6.5．【点睛】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题． 14.已知曲线C ：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．若点P 在曲线C 上运动，点Q 为直线l ：20x y +-=上的动点，则PQ 的最小值为__________．【分析】先表示出曲线C 上的点到直线距离，再利用三角函数的图像和性质求|PQ|的最小值. 【详解】表示曲线2cos ,:(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）上任意点(2cos ,sin )P θθ到直线:20l x y +-的距离d ==当sin()1θα+=时，||min min PQ d ===故答案为5【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．15.已知()f x 是定义在(),ππ-上的奇函数，其导函数为()f x '，4f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且当()0,x π∈时，()()sin cos 0f x x f x x '+>．则不等式()sin 1f x x <的解集为__________．【答案】,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】令()()sin F x f x x =，根据据已知条件及导函数符号与函数单调性的关系判断出()sin f x x 的单调性，根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集． 【详解】令()()sin (0)F x f x x x π=<<， 则()()sin ()cos 0(0)F x f x x f x x x π''=+><<，所以()()sin F x f x x =在(0,)π上为单调递增，且()()sin 1444F f πππ==，所以()()sin ()4F x f x x F π=<，解得04x π<<．由()f x 是定义在(,)ππ-上的奇函数得，()()sin()()sin F x f x x f x x f -=--=-⋅-=（x)sinx=F(x)所以()()sin F x f x x =在(,)ππ-为偶函数，且(0)(0)sin 00F f == 所以不等式()sin 1f x x <的解集为(),44ππ-，故答案为(),44ππ-．【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．16.已知抛物线C ：20)2(y px p =＞的焦点为F ，准线为l ．过点F 作倾斜角为120︒的直线与准线l 相交于点A ，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且43AB =，则抛物线C 的标准方程为__________． 【答案】22y x = 【分析】设出直线AF 的方程，与抛物线方程联立，消去x ，解方程求得p 的值，再写出抛物线C 的标准方程．【详解】由题得直线AF的方程为)2p y x =-，从而()2pA -；由22)2y pxp y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x ，2220py +=，解得y p或y =（舍去），从而1()6B p p ； 由4||3AB =43， 解得1p =，所以抛物线C 的标准方程为22y x =．故答案为22y x =．【点睛】本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题． 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知函数()32133f x x mx nx =+++，其导函数()f x '的图象关于y 轴对称，()213f =-．（Ⅰ）求实数,m n 的值；（Ⅱ）若函数()y f x λ=-的图象与x 轴有三个不同的交点，求实数λ的取值范围． 【答案】（Ⅰ）0m =，4n =-（Ⅱ）725,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（Ⅰ）根据导函数()f x '的图象关于y 轴对称求出m 的值，再根据()213f =-求出n 的值；（Ⅱ）问题等价于方程()f x λ=有三个不相等的实根，再求出函数f(x)的单调性和极值，分析得解.【详解】解：（Ⅰ）()22f x x mx n '=++.Q 函数()f x '的图象关于y 轴对称，0m ∴=.又()121333f n =++=-，解得4n =-. 0m ∴=，4n =-.（Ⅱ）问题等价于方程()f x λ=有三个不相等的实根时，求λ的取值范围. 由（Ⅰ），得()31433f x x x =-+.()24f x x '∴=-. 令()0f x '=，解得2x =±.Q 当2x <-或2x >时，()0f x '>，()f x ∴(),2-∞-，()2+∞，上分别单调递增. 又当22x -<<时，()0f x '<，()f x ∴在()2,2-上单调递减. ()f x ∴的极大值为()2523f -=，极小值为()723f =-. ∴实数λ的取值范围为725,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，数形结合思想是数学中的一种重要的思想，通过数形结合将本题转化为函数图象的交点，可以直观形象的解决问题．18.为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A ，B ，C 三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：A 类行业：85，82，77，78，83，87；B 类行业：76，67，80，85，79，81；C 类行业：87，89，76，86，75，84，90，82．（Ⅰ）计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数；（Ⅱ）若从抽取的A 类行业这6个单位中，再随机选取3个单位进行某项调查，求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．【答案】（Ⅰ）A ，B ，C 三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.（Ⅱ）45【分析】第一问利用分层抽样的概念直接计算即可；第二问是古典概率模型，先列出所有的基本事件，然后再找出3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位所包含基本事件的个数，即可求出3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率． 【详解】（Ｉ）由题意，得抽取的A ，B ，C 三类行业单位个数之比为3:3:4. 由分层抽样的定义，有A 类行业的单位个数为32006010⨯=， B 类行业的单位个数为32006010⨯=，C 类行业的单位个数为42008010⨯=，故该城区A ，B ，C 三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.（Ⅱ）记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件M . 这3个单位的考核数据情形有{}85,82,77，{}85,82,78，{}85,82,83，{}85,82,87，{}85,77,78，{}85,77,83，{}85,77,87，{}85,78,83，{}85,78,87，{}85,83,87，{}82,77,78，{}82,77,83，{}82,77,87，{}82,78,83，{}82,78,87，{}82,83,87，{}77,78,83，{}77,78,87，{}77,83,87，{}78,83,87，共20种.这3个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有{}85,82,83，{}85,82,87，{}85,83,87，{}82,83,87，共4种，没有都是“非星级”环保单位的情形，故这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共4种， 故所求概率()441205P M =-=. 【点睛】本题主要考查分层抽样及古典概型问题，属基础题．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，AB AD =，PA PD ⊥，AD CD ⊥，60BAD ∠=o ，M ，N 分别为AD ，PA 的中点．（Ⅰ）证明：平面BMN P 平面PCD ； （Ⅱ）若6AD =，求三棱锥P BMN -的体积． 【答案】（Ⅰ）证明见解+析；93【分析】第一问先证明BM ∥平面PCD ，MN ∥平面PCD ，再根据面面平行的判定定理证明平面BMN P 平面PCD ．第二问利用等积法可得13P BMN B PMN PMN V V S BM --∆==⋅，分别求出PMN ∆的面积和BM 的长度即可解决问题．【详解】（Ⅰ）连接BD ，∴AB AD =，60BAD ∠=o ，∴ABD ∆为正三角形. ∵M 为AD 的中点，∴BM AD ⊥.∵AD CD ⊥，,CD BM ⊂平面ABCD ，∴BM CD P . 又BM ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴BM ∥平面PCD . ∵M ，N 分别为AD ，PA 的中点，∴MN PD P .又MN ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，∴MN ∥平面PCD . 又,BM MN ⊂平面BMN ，BM MN M =I ， ∴平面BMN P 平面PCD.（Ⅱ）在（Ⅰ）中已证BM AD ⊥.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，BM ⊂平面ABCD ，∴BM ⊥平面PAD . 又6AD =，60BAD ∠=o ，∴33BM =在PAD ∆中，∵PA PD =，PA PD ⊥，∴2322PA PD AD ===∵M ，N 分别为AD ，PA 的中点， ∴PMN ∆的面积(21119324424PMNPAD S S ∆∆==⨯⨯=， ∴三棱锥P BMN -的体积13P BMN B PMN PMN V V S BM --∆==⋅19933334=⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定和性质，等积法求三棱锥的体积问题，属中等难度题．20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为()13,0F -，)23,0F ，且经过点13,2A ⎫⎪⎭．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点0(4)B ，作一条斜率不为0的直线l 与椭圆C 相交于P Q ，两点，记点P 关于x 轴对称的点为P '．证明：直线P Q '经过x 轴上一定点D ，并求出定点D 的坐标．【答案】（Ⅰ）2214x y +=（Ⅱ）证明见解+析，直线P Q '经过x 轴上定点D ，其坐标为()1,0【分析】（Ⅰ）由已知结合椭圆定义求得a ，再求得b ，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由题意，设直线l 的方程为4(0)x my m =+≠，再设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，则1(P x '，1)y -．联立直线方程与椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，求出P Q '所在直线方程，取0y =求得x 值，即可证明直线P Q '经过x 轴上一定点D ，并求出定点D 的坐标． 【详解】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，可知122a AF AF =+142==. 解得2a=. 又2221b a =-=，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （Ⅱ）由题意，设直线l 的方程为()40x my m =+≠. 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()11,P x y '-.由22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，可得()2248120m y my +++=. ()216120m ∆=->Q ，212m ∴>. 12284m y y m -∴+=+，122124y y m =+. ()21212121P Q y y y y k x x m y y '++==--Q ，∴直线P Q '的方程为()()211121y y y y x x m y y ++=--.令0y =，可得()211124m y y x my y y -=+++.121224my y x y y ∴=+=+22122244441884m m m m m m ⋅++=+=--+.()1,0D ∴. ∴直线P Q '经过x 轴上定点D ，其坐标为()1,0.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.已知函数()1xxxf x ae e =--，其中0a >． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）若函数()f x 有唯一零点，求a 的值．【答案】(1) 10x y -+=；(2) 1a = 【分析】（1）根据题意求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；（2）问题等价于关于x 的方程1(1)x x x a e e =+有唯一的解时，求a 的值．令1()(1)x xxg x e e =+，求得()g x 的导数，以及单调性和极值，结合图象和已知条件可得a 的值； 【详解】解：（1）当2a =时，()21xx xf x e e=--， 所以()12xx xf x e e-'=-， 所以()0211f '=-=． 又()0211f =-=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y x -=， 即10x y -+=．（2）问题等价于关于x 的方程11x xx a e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有唯一的解时，求a 的值．令()11x x x g x e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()212xxx e g x e --'=．令()12xh x x e =--，则()20xh x e '=--<，()h x ∴在(),-∞+∞上单调递减．又()00h =，∴当(),0x ∈-∞时，()0h x >，即()0g x '>，()g x ∴在(),0-∞上单调递增；当()0,x ∈+∞时，()0h x <，即()0g x '<，()g x ∴在()0,∞+上单调递减． ()g x ∴的极大值为()01g =．∴当(],0x ∈-∞时，()(],1g x ∈-∞；当()0,x ∈+∞时，()()0,1g x ∈．又0a >，∴当方程11x x x a e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有唯一的解时，1a =．综上，当函数()f x 有唯一零点时，a 的值为1．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查换元法和构造函数法，以及化简运算能力，属于中档题．22.在直角坐标系xOy 中，过点()1,1P 的直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11||||PA PB +的最小值．【答案】（Ⅰ）2240x y x +-= 【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程，并整理得()22sin 2cos 20t t αα+--=，再利用直线参数方程t 的几何意义求出11||||PA PB +的最小值． 【详解】解：（Ⅰ）4cos ρθ=Q ，24cos ρρθ∴=. 由直角坐标与极坐标的互化关系222x y ρ=+，cos x ρθ=.∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=.（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程，并整理得()22sin 2cos 20t t αα+--=.()22sin 2cos 80αα∆=-+>Q ，∴可设12,t t 是方程的两个实数根，则122cos 2sin t t αα+=-，1220t t =-<.11PA PB ∴+=121212121211t t t t t t t t t t +-+====≥=4πα=时，等号成立. 11PA PB∴+. 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，考查直线参数方程t 的几何意义，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．。
成都市2020届高中毕业班第三次诊断性检测文科数学试卷及答案
成都市2020届高中毕业班第三次诊断性检测数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，只将答题卡交回。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}0,A x =，{}0,2,4B =．若A B ⊆，则实数x 的值为 (A )0或2 (B )0或4 (C )2或4 (D )0或2或42.若复数z 满足25zi i =+(i 为虚数单位)，则z 在复平面上对应的点的坐标为 (A )(2,5) (B )(2,5)- (C )(5,2)- (D )(5,2)-3.命题“0x ∃∈R ，20010x x -+≤”的否定是(A )0x ∃∈R ，20010x x -+>(B )x ∀∈R ，210x x -+≤ (C )0x ∃∈R ，20010x x -+≥(D )x ∀∈R ，210x x -+> 4.如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是(A ) (B ) (C ) (D ) 5.已知函数()22x x f x -=-，则2(log 3)f =(A )2 (B )83(C )3(D )1036.已知实数,x y 满足102050x y x y -≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为(A )4 (B )6 (C )8(D )107.为迎接大运会的到来，学校决定在半径为202m 的半圆形空地O 的内部修建一矩形观赛场地ABCD ，如图所示．则观赛场地的面积最大值为(A )400m 2 (B )4002m 2(C )600m 2 (D )800m 2 8.在等比数列{}n a 中，已知19n n n a a +=，则该数列的公比是 (A )3- (B )3 (C )3±(D )99.已知函数3()3f x x x =-，则“1a >”是“()(1)f a f >-”的(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件10.已知12,F F 是双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的左，右焦点，经过点2F 且与x 轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A ，且1264F AF ππ≤∠≤．则该双曲线离心率的取值范围是(A )[5,7] (B )[5,13] (C )[3,13] (D )[7,3]11.在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，P 在底面ABC 上的投影为AC 的中点D ，1DP DC ==．有下列结论：①三棱锥P ABC -的三条侧棱长均相等；②PAB ∠的取值范围是(,)42ππ；③若三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为23π；④若AB BC =，E 是线段PC 上一动点，则DE BE +的最小．其中所有正确结论的编号是 (A )①② (B )②③ (C )①②④ (D )①③④12.已知函数()sin()1(0,01)4f x A x A πωω=+-><<的图象经过点，且将图象向左平移3π个长度单位后恰与原图象重合．若对任意的12,[0,]x x t ∈，都有122()()f x f x ≥成立，则实数t 的最大值是(A )34π (B )23π (C )712π (D )2π第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13.已知向量(1,)a λ=，(2,3)b =，且a b ⊥，则实数λ的值为________． 14.某实验室对小白鼠体内两项指标进行研究，连续五次实验所测得的这两项指标数据如下表：已知y 与x 具有线性相关关系，利用上表中的五组数据求得回归直线方程为y bx a =+．若下一次实验中170x =，利用该回归直线方程预测得117y =，则b 的值为________． 15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，510S =，且{}nS n是等差数列．则12310a a a a ++++的值为________．16.已知点F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，经过点F 且倾斜角为4π的直线与抛物线相交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点M ．则4pFM的值为________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分)某公司为加强对销售员的考核与管理，从销售部门随机抽取了 2019 年度某一销售小组的月均销售额，该小组各组员 2019 年度的月均销售额(单位：万元)分别为：3.35，3.35，3.38，3.41，3.43，3.44，3.46，3.48，3.51，3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70． (Ⅰ)根据公司人力资源部门的要求，若月均销售额超过 3.52 万元的组员不低于全组人数的65%，则对该销售小组给予奖励，否则不予奖励．试判断该公司是否需要对抽取的销售小组发放奖励； (Ⅱ)从该销售小组月均销售额超过3.60万元的销售员中随机抽取2名组员，求选取的2名组员中至少有1名月均销售额超过3.68万元的概率．18.(本小题满分12分) 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且()sin()()(sin sin )a c A B a b A B -+=-+．(Ⅰ)求角B 的大小； (Ⅱ)若4b =，求a c +的最大值．19.(本小题满分12分) 如图，在多面体ABCDEF 中，ADEF 为矩形，ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，2BC =，4AD =，且AB BD ⊥，平面ADEF ⊥平面ABCD ，,M N 分别为,EF CD 的中点． (Ⅰ)求证：//MN 平面ACF ；(Ⅱ)若2DE =，求多面体ABCDEF 的体积．20.(本小题满分12分)已知函数()ln xm e f x x e=-，其中m ∈R ．(Ⅰ)当1m =时，求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)当2m =时，证明：()0f x >．21.(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的左焦点1(3,0)F -，点3(1,)Q 在椭圆C 上.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)经过圆22:5O x y +=上一动点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别记为,A B ，直线,PA PB 分别与圆O 相交于异于点P 的,M N 两点．(ⅰ)当直线,PA PB 的斜率都存在时，记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ．求证：121k k =-；(ⅱ)求ABMN 的面积的取值范围．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
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7.
△ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a,
b,
c
．若向量
m
a,
cos
A ，
n
cos C,
2b c
，且
m
n
0
，则角
A
的大小为（）
A. 6
B. 4
C. 3
D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
利用数量积结合正弦定理转化为三角函数问题，通过两角和的公式化简得到角 A 的方程，得
解． 【详解】由 m n 0 得，
A.
13 , 3
5
C. 1,
13 3
(
5, )
【答案】C
B. ( 5, 13) D. (1, 5) ( 13, )
【解析】
【分析】
首先根据双曲线的定义，
MF2
MF1
2a
，转化为
MF1
MN
2a 4b
，即
MF1 MN min 2a 4b ，根据数形结合可知，当点 M , F1, N 三点共线时，
2
”是“函数
f
x 在
x
-1 处取得极小
值”的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
求出原函数的 导函数，分析函数 f (x) 在 x 1 处取得极小值时的 a 的范围，再由充分必要条
件的判定得答案．
【详解】解：若 f (x) 在 x 1 取得极小值，
四川省成都市 2020 届高三数学零模考试试题 文（含解析）
第Ⅰ卷（选择题共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
z i 1.复数 1 i （其中 i 为虚数单位）的虚部是 （ ）
1 A. 2
1 i
B. 2
所以
4
4
，当且仅当 a b 10 时，等号成立．
所以球 O 的表面积的最小值为 4 R2 32 ，
故选 C ．
【点睛】本题考查的知识要点：球的表面积公式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生
的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
f x
10.已知函数
x2 a2x 1 ex ，则“ a
z
，则
1 2
z
表示直线
y
1 2
x
1 2
z
在
y
轴上的截距，纵截距越
大， z 越小．
作直线
x
2
y
0
，然后把该直线向可行域平移，当直线经过点
B
时，
1 2zBiblioteka 最大，z最小．
由
x x
2 1
y
2
0
可得
B(1,
1) 2
，此时
z
0
，
故选 A ．
【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关
因此函数 y xlnx(x 1) 的图象恒在直线 y k(x 1) 1 的上方时，整数 k 的最大值为 2．
故选 C ．
【点睛】本题主要考查基本初等函数的求导公式，积的导数的求导公式，考查直线和曲线的
位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡上．
r a2 b2
径
2．
由球的性质得， OO 平面 ABCD ，所以球 O 的半径 R
( 3)2 r2
3 a2 b2 4．
a b „ a2 b2
a2 b2… (a b)2 20
由均值不等式得， 2
2 ，所以
2
，
R ( 3)2 r2 3 a2 b2 … 3 20 8
13.某公司一种新产品的销售额 y 与宣传费用 x 之间的关系如表：
x乙
8
11 12
16
18 9
20
22
22
31
160 9
，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D 错误，故选 D.
【点睛】本题考查了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计算的，
属于基础题型.
x 2 y 2 0,
x 1 0,
4.若实数 x, y 满足约束条件 y 0.
OO 3 ，则球 O 的表面积的最小值为（）
32 2 A. 3
【答案】C
64 2 B. 3
C. 32
D. 48
【解析】
【分析】 首先利用矩形求出外接圆的小圆半径，进一步利用基本不等式求出球的半径，进一步求出球
的表面积的最小值．
【详解】如图，设矩形 ABCD 的两邻边分别为 a ， b ，则 a b 2 10 ，且外接圆 O 的半
【详解】关于 x 的不等式 xlnx kx k 1 0 在 (1, ) 内恒成立，
即关于 x 的不等式 xlnx k(x 1) 1在 (1, ) 内恒成立，
即函数 y xlnx(x 1) 的图象恒在直线 y k(x 1) 1 的上方．
当直线 y k(x 1) 1 与函数 y xlnx(x 1) 相切时，设切点为 (x0 ， y0 ) ，
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算 S 的值并输出变量 m 的值，模
拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】模拟程序的运行，可得
开始
S 0
m 1
①
1 21 2 100
m2
②
1 21 2 22 10 100
m3
③
1 21 2 22 3 23 34 100
1 C. 2
1i D. 2
【答案】C
【解析】
z i i(1 i) 1 i 1 1 i 试题分析： 1 i (1 i)(1 i) 2 2 2 ，则虚部为 ，故选 .
考点：复数的运算、复数的实部与虚部.
2.若集合 A {1，，2， 3 4} ， B x x2 x 6 0 ，则 A B （ ）
4a2
8ab
,
3b2 8ab 4a2 0,(2a b)(2a 3b) 0 ,
2a
3b
或 2a
b, 4a 2
9b2
或 4a2
b2 ,9c2
13a2
c2
或
5a2 ,1
c a
13 3或
c a
5,
双曲线
C
的离心率的取值范围为
1,
13 3
(
5, )
.
【点睛】本题考查离心率的取值范围的问题，属于中档题型，意在考查化归和计算能力，关
，则 z x 2 y 的最小值为（）
A. 0
B. 2
C. 4
【答案】A
D. 6
【解析】
【分析】
画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出 z 的最大值．
x 2 y 2„ 0
x 1… 0
【详解】作出实数 x ， y 满足约束条件 y… 0
表示的平面区域，如图所示．
由
z
x
2
y
可得
y
1 2
x
1 2
6
，最后计算 a6a7 的值.
【详解】由 log3 a1 log3 a2 log3 a12 12 ，
可得 log3 a1a2 a12 12 ，进而可得 a1a2 a12 a6a7 6 312 ，
a6a7 9 .
【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和
A. {1}
B. {1，2}
C. {2,3}
D. {1，2,3}
【答案】D
【解析】
x
x
6
0,
2
x
3,
A
B
1,
2,
3 ,选
D
.
3.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员 9 场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（
）
A. 甲所得分数的极差为 22 B. 乙所得分数的中位数为 18 C. 两人所得分数的众数相等 D. 甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数
键．
5.已知等比数列
an
的各项均为正数，若
log3
a1
log3
a2
log3
a12
12
，则
a6a7 ＝（
）
A. 1
B. 3
C. 6
D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据对数运算法则，可知 log3 a1a2...a12 12 ，再根据等比数列的性质可知
a1a2.....a12
a6a7
【答案】D
【解析】
【分析】
根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果.
【详解】甲的最高分为 33，最低分为 11，极差为 22，A 正确；乙所得分数的中位数为
18，B 正确；甲、乙所得分数的众数都为 22，C 正确；甲的平均分为
x甲
11 15
17
20
22 9
22
24
32
33
196 9
，乙的平均分为
MF1
MN
3b2 最小，转化为不等式 2a
2a 4b
，最后求离心率的范围.
【详解】由已知可得
MF2
MF1
2a
，若
MF2
| MN | 4b
，