第4章动态数列2

12
50.5 45
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
52 51.5 50.4 55.5 53 58.4 57 59.2 58 60.5
三项移动平均yc
- 49.2 49.5 51.3 52.5 53 55.6 56.1 58.2 58.1 59.2 -
∴ 趋势值项数=原数列项数-移动平均项数+1 =12-3+1=10
第四章 动态数列
第四节 长期趋势的测定与预测
动态数列反映现象的发展变化，是由多种复 杂因素共同作用的结果。影响因素按其性质和作 用大致可以归纳为4种：
长期趋势（T） 季节变动（S） 循环变动（C） 不规则变动（I）
动态数列的经典模式： 加法模式：当4种变动因素呈现出相互独立的关系时 Y=T+S+C+I
平均增加值(万元)
第一季度 49.2
第二季度 52.5
上表也可看出其逐期增长的趋势。
第三季度 56.1
第四季度 59.2
注意：
1. 同一数列前后时间间隔应当一致，以便于比较； 2. 时间间隔的长短，应根据具体现象的性质和特点
而定，以能显示现象变化趋势为宜。
三、移动平均法
仍用上例资料：
月份 增加值y(万元)
-
由联立方程也可直接推导出：
b
nty t y nt2 (t)2
ty t2
a
y
bt
y
n
b
t
n
y
n
上例资料代入b、a公式得：
(t 0)
b
12 326.4 12 572
0.57
a
651 12
54.25
若预测明年二月份增加值，则 yc 54.25 0.57 15 62.8(万元)
㈡ 抛物线方程
注1：修匀程度的大小，与原数列移动平均项数多
少有关。修匀的项数越多，效果越好，即趋势线越位 平滑。
注2：移动平均法所取项数的多少，应视资料的特
点而定。 如有循环周期，当移动平均的时期长度等于周期长
度或其整数倍数时，可以把周期的波动完全抹掉。 例，季度资料可四项移动平均；各年月资料，可十
二项移动平均；五年一周期，可五项移动平均。
其中，Y、T是总量指标，S、C、I是对长期趋势所产生的 偏差，或是正值、或是负值。
乘法模式：当4种变动因素呈现出相互独立的关系时 Y=T*S*C*I
其中，Y、T是总量指标，S、C、I是比率，用百分数表示。
一、长期趋势测定与预测的意义
长期趋势就是指某一现象在一个相当长的时期
内持续发展变化的趋势。(向上或向下变化)
当现象的发展，其二级增长量大体上相等时。
例 逐期增长量： 50 69 90 110
二级增长量： 19 21 20 则给该资料配合抛物线方程
该方程的一般形式为：
yc a bt ct2 (a、b、c均为未定参数) 同样用求偏导数的方法，导出以下联立方程组：
y Na b t c t2
ty a t b t2 c t 3
y Na
ty
b
t2
仍用上例资料：
t -11 -9 -7 -5 -3 -1
1 3 5 7 9 11 合计
y 50.5 45 52 51.5 50.4 55.5 53 58.4 57 59.2 58 60.5 651.0

ty -555.5 -405 -364 -257.5 -151.2
-55.5 53 175.2 285 414.4 522 665.5 326.4
注3：若采用奇数项移动平均(如上例“三项”)，
则平均值是对准在奇项的居中时间处。一次可得趋势 值；
若采用偶数项移动平均，则平均值也居中，因未对 准原来的时间，还要再进行两项“移正平均”。
一般都用奇数项移动平均。
注4：修匀后的数列，较原数列项数少。(在进行统
计分析时，若需要两端数据，则此法不宜使用)
( y yc )2 min y 实际值，即原数列值
yc 趋势值或理论值 现主要介绍配合直线方程，抛物线方程及指数曲线方程。
㈠ 直线方程
当现象的发展，其逐期增长量大体上相等时。
该方程的一般形式为：
yc a bt
a 截距； b 直线的斜率
设 V y (a bt )2 min
V 2 y (a bt ) 0
测定长期趋势的目的主要有三个： 把握现象的趋势变化； 从数量方面研究现象发展的规律性，探求
合适趋势线；
为测定季节变动的需要。
长期趋势的类型基本有二种： 直线趋势； 非直线趋势，即趋势曲线。
测定长期趋势常用的主要方法有： 间隔扩大法； 移动平均法； 最小平方法。
二、间隔扩大法
月份 增加值
某工厂某年各月增加值完成情况
单位：万元
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
50.5 45 52 51.5 50.4 55.5 53 58.4 57 59.2 58 60.5
通过扩大时间间隔，编制成如下新的动态数列：
第一季度
增加值(万元)
147.5
第二季度 157.4
第三季度 168.4
第四季度 177.7
由月资料整理的季度资料，趋势明显是不断增长的，原来的月资 料则表现出波动。将季度资料也可改用间隔扩大平均数编制成如 下数列：
趋势值项数 = 原数列项数 – 移动平均项数 + 1（？)
图示
65 60 55 50 45 40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
由此可见，该厂的增加值趋势是上升的。
原始资料 三项移动后的趋势 四项移动后的趋势
四、最小平方法
即对原有动态数列配合一条适当的趋势线来进行修匀。 这条趋势线可以是直线，也可以是曲线；这条趋势线 必须满足最基本的要求。即：
a
V 2 y (a bt ) t 0
b
联立方程组为： ( y a bt ) 0 ( y a bt ) t 0
y Na b t
ty
a
t
b
t
2
为使计算方便，可设t：
奇数项： L 3， 2， 1，0，1，2，3，L
偶数项： L 5， 3， 1，1，3，5，L
这样使 t 0，即上述方程组可简化为：
t 2
y
a t2
b t3
t2
yc
逐期增长量
121 47.98
-
81 49.12
-5.5
49 50.26
7
25 51.40
-0.5
9 52.54
-0.9
1 53.68
5.1
1 54.82
-2.5
9 55.96
5.4
25 57.10
-1.4
49 58.24
2.2
81 59.38
-1.2
121 60.52
2.5
572 651.00