高考数学(理)一轮复习检测：《导数在生活中的优化问题举例》
高考数学真题分类汇编 考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例 理(含解析)
考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1. （2013·辽宁高考理科·Ｔ12）设函数()f x 满足22()2(),(2).8x e e x f x xf x f x '+==则x>0时,f(x)（ ）.A 有极大值，无极小值 .B 有极小值，无极大值 .C 既有极大值又有极小值 .D 既无极大值也无极小值【解题指南】结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极值问题。
【解析】选D.由题意知2332()2()()x x e f x e x f x f x x x x -¢=-=， x 2x 22g(x)e 2x f (x),g '(x)e 2x f '(x)4xf (x 2(()2())22(1).)x x xx e x f x xf x e e e x x则令¢==--+=-=-=--由()0g x ¢=得2x =,当2x =时,222min ()2208e g x e =-创= 即()0g x ³,则当0x >时,3()()0g x f x x¢=?, 故()f x 在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值.2. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ12）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ11）相同已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=0),1ln(0,2)(2x x x x x x f ，若ax x f ≥|)(|，则a 的取值范围是（ ）A.]0,(-∞B. ]1,(-∞C. ]1,2[-D. ]0,2[-【解题指南】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象，利用|)(|x f 在)0,0(处的切线为制定参数的标准.【解析】选D.画出函数y=|f(x)|的图象如图所示,当0≤x 时，x x x f x g 2|)(|)(2-==，22)(-='x x g ，2)0(-='g ，故2-≥a .当0>x 时，)1ln(|)(|)(+==x x f x g ，11)(+='x x g 由于)(x g 上任意点的切线斜率都要大于a ，所以0≤a ，综上02≤≤-a .3. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ11）与(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T10)相同设已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）A.0x R ∃∈，0()0f x =B.函数()y f x =的图象是中心对称图形C.若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D.若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=【解析】选C.结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.A 项,因为函数f(x)的值域为R,所以一定存在x 0∈R,使f(x 0)=0,A 正确.B 项,假设函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为(m,n),按向量(,)a m n =--r 将函数的图象平移,则所得函数y=f(x+m)-n 是奇函数,所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,化简得(3m+a)x 2+m 3+am 2+bm+c-n=0.上式对x ∈R 恒成立,故3m+a=0,得m=-3a ,n=m 3+am 2+bm+c=f 3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为,33aa f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故y=f(x)的图象是中心对称图形,B 正确.C 项,由于()f x '=3x 2+2ax+b 是二次函数,f(x)有极小值点x 0,必定有一个极大值点x 1,若x 1<x 0,则f(x)在区间(-∞,x 0)上不单调递减,C 错误.D 项,若x 0是极值点,则一定有0()0f x '=.故选C.4.（2013·安徽高考文科·Ｔ10）已知函数32()=+a +bx+f x x x c 有两个极值点1x ，2x ，若112()=f x x x <，则关于x 的方程23(())+2a ()+=0f x f x b 的不同实根个数是 ( )A.3B.4C. 5D.6【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x 1或f(x)=x 2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.【解析】选A 。
2020年高考数学一轮复习第二章第12节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
2020年高考数学一轮复习第二章第12节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例1.(2018·广东高考)函数f (x )＝( ( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞) 解析：f (x )＝(x －3)·e x ，f ′(x )＝e x (x －2)＞0， ∴x ＞2.∴f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)． 答案：D2.假设函数h (x )＝2x －k x ＋k3在(1，＋∞)上是增函数，那么实数k 的取值范畴是 ( )A ．[－2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，2]解析：因为h ′(x )＝2＋k x 2，因此h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋kx2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，因此k ∈[－2，＋∞)． 答案：A3．函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上差不多上减函数，那么函数y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调减区间为________．解析：依照题意a ＜0，b ＜0.由y ＝ax 3＋bx 2＋5，得y ′＝3ax 2＋2bx ， 令y ′＜0，可得x ＞0或x ＜－2b3a ，故所求减区间为(－∞，－2b3a )和(0，＋∞)．答案：(－∞，－2b3a)和(0，＋∞)4．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)．假设曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求： (1)a 的值；(2)函数f (x )的单调区间． 解：(1)因f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，因此f ′(x )＝3x 2＋2ax －9 ＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32－9－a 23. 即当x ＝－a 3时，f ′(x )取得最小值－9－a 23.因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，即该切线的斜率为－12，因此－9－a 23＝－12，即a 2＝9.解得a ＝±3，由题设a <0，因此a ＝－3. (2)由(1)知a ＝－3，因此f (x )＝x 3－3x 2－9x －1， f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3. 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(－∞，－1)上为增函数； 当x ∈(－1,3)时，f ′(x )<0， 故f (x )在(－1,3)上为减函数；当x ∈(3，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(3，＋∞)上为增函数．由此可见，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(－1,3)．5.(文)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，因此f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意有f ′(－3)＝0，因此3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，由此解得a ＝5. 答案：D(理)设a ∈R ，假设函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，那么 ( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1 C ．a ＞－1e D ．a ＜－1e解析：由y ′＝(e x ＋ax )′＝e x ＋a ＝0得e x ＝－a ， 即x ＝ln(－a )＞0⇒－a ＞1⇒a ＜－1. 答案：A6.假设函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，那么实数a 的取值范畴是 ( )A ．(－2,2)B ．[－2,2]C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞) 解析：由f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)， 且当x ＜－1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0.因此当x ＝－1时函数f (x )有极大值，当x ＝1时函数f (x )有极小值．要使函数f (x )有3个不同的零点，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＞0，f (1)＜0.解之得－2＜a ＜2. 答案：A7．函数y ＝sin2x －x ，x ∈[－π2，π2]的最大值是________，最小值是________．解析：∵y ′＝2cos2x －1＝0，∴x ＝±π6.而f (－π6)＝－32＋π6，f (π6)＝32－π6，端点f (－π2)＝π2，f (π2)＝－π2，因此y 的最大值是π2，最小值是－π2.答案：π2 －π28．(文)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线l 只是第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l 的距离为1010，假设x ＝23时，y ＝f (x )有极值， (1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值． 解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0. ① 当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，那么f ′(23)＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0. ② 由①②解得a ＝2，b ＝－4.设切线l 的方程为y ＝3x ＋m . 由原点到切线l 的距离为1010，那么|m |32＋1＝1010， 解得m ＝±1.∵切线l 只是第四象限，∴m ＝1. 由于切点的横坐标为x ＝1，∴f (1)＝4. ∴1＋a ＋b ＋c ＝4，∴c ＝5； (2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， ∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，得x ＝－2，x ＝23.f (x )和f ′(x )的变化情形如下表：∴f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝13， 在x ＝23处取得极小值f (23)＝9527.又f (－3)＝8，f (1)＝4，∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.(理)函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx －2的图象在与x 轴交点处的切线方程是y ＝5x －10. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝f (x )＋13mx ，假设g (x )的极值存在，求实数m 的取值范畴以及函数g (x )取得极值时对应的自变量x 的值．解：(1)由，切点为(2,0)，故有f (2)＝0，即4b ＋c ＋3＝0. ① f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ，由，f ′(2)＝12＋8b ＋c ＝5.得8b ＋c ＋7＝0. ② 联立①、②，解得c ＝1，b ＝－1， 因此函数解析式为f (x )＝x 3－2x 2＋x －2. (2)g (x )＝x 3－2x 2＋x －2＋13mx ，g ′(x )＝3x 2－4x ＋1＋m3，令g ′(x )＝0.当函数有极值时，Δ≥0，方程3x 2－4x ＋1＋m3＝0有实根，由Δ＝4(1－m )≥0，得m ≤1.①当m ＝1时，g ′(x )＝0有实根x ＝23，在x ＝23左右两侧均有g ′(x )＞0，故函数g (x )无极值．②当m ＜1时，g ′(x )＝0有两个实根， x 1＝13(2－1－m )，x 2＝13(2＋1－m )，当x 变化时，g ′(x )、g (x )的变化情形如下表：故在m 当x ＝13(2－1－m )时g (x )有极大值； 当x ＝13(2＋1－m )时g (x )有极小值．9.对任意实数x ，都有f (－x ) f ′(x )>0，g ′(x )>0，那么x <0时 ( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0解析：由题意知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数．当x ＞0时，f (x )，g (x )都单调递增，那么当x ＜0时，f (x )单调递增，g (x )单调递减，即f ′(x )＞0，g ′(x )＜0. 答案：B10．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，总营业收入R 与年产量x 的关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x ＞400)，那么总利润最大时，每年生产的产品是 ( ) A ．100 B ．150 C ．200 D ．300 解析：由题意得，总成本函数为C ＝C (x )＝20 000＋100x ， 因此总利润函数为 P ＝P (x )＝R (x )－C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000 (0≤x ≤400)，60 000－100x (x ＞400)，而P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x (0≤x ≤400)，－100 (x ＞400)，令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时，P 最大． 答案：D11．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的选项是 ( )解析：关于图A 来讲，抛物线为函数f (x )，直线为f ′(x )；关于图B 来讲，上凸的曲线为函数f (x )，下凹的曲线为f ′(x )；关于图C 来讲，下面的曲线为函数f (x )，上面的曲线f ′(x )．只有图D 不符合题设条件． 答案：D12．(2018·南通模拟)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值，(1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；(2)假设对x ∈[－1,2]，不等式f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范畴． 解：(1)f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由f ′(－23)＝129－43a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝－12，b ＝－2，f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，函数f (x )的单调区间如下表：因此函数f (x )的递增区间是(－∞，－23)与(1，＋∞)，递减区间(－23，1)；(2)f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f (－23)＝2227＋c 为极大值，而f (2)＝2＋c ，那么f (2)＝2＋c 为最大值，要使f (x )＜c 2，x ∈[－1,2]恒成立，那么只需要c 2＞f (2)＝2＋c ，得c ＜－1，或c ＞2.。
高三数学第一轮复习课时作业(14)用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例
课时作业(十四) 第14讲 用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例时间：35分钟 分值：80分基础热身1．函数y ＝ln xx的最大值为( )A.1e B ．e C ．e 2D.1032．已知x ≥0，y ≥0，x ＋3y ＝9，则x 2y 的最大值为( ) A ．36 B ．18 C ．25 D ．423．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间关系可近似地用如下函数给出：y ＝－18t 3－34t 2＋36t －6294.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是( ) A ．6时 B ．7时 C ．8时 D ．9时4．设正三棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( )A.4V B ．23V C.34V D.12V能力提升5．已知函数f (x )＝1－xx ＋ln x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值和最小值之和是( )A ．0B ．1－ln2C ．ln2－1D ．1＋ln26．2011·哈三中三模 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋1(x ≤0)，e ax(x >0)在－2,2上的最大值为2，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫ln22，＋∞B.⎣⎡⎦⎤0，ln22 C ．(－∞，0 D.⎝⎛⎦⎤－∞，ln227．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则使行驶每公里的费用总和最小时，此轮船的航行速度为( )A ．20公里小时B ．25公里小时C ．19公里小时D ．18公里小时图K14－18．2011·江苏四市联考 今有一块边长为a 的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按图K14－1那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大，x 值应为( )A ．a B.2a 3 C.a 2 D.a69．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x t 与每吨产品的价格p (元t)之间的关系式为：p ＝24 200－15x 2，且生产x t 的成本为R ＝50 000＋200x (元)．则该厂每月生产________ t 产品才能使利润达到最大．(利润＝收入─成本)10．2011·潮州模拟 在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为________时它的面积最大． 11．2011·宁化模拟 如图K14－2，用半径为R 的圆铁皮，剪一个圆心角为a 的扇形，制成一个圆锥形的漏斗，则圆心角a 取________时，漏斗的容积最大．12．(13分)已知曲线C 1：y ＝ax 2＋b 和曲线C 2：y ＝2b ln x (a ，b ∈R )均与直线l ：y ＝2x 相切． (1)求实数a ，b 的值；(2)设直线x ＝t (t >0)与曲线C 1，C 2及直线l 分别相交于点M ，N ，P ，记f (t )＝|MP |－|NP |，求f (t )在区间(0，e(e 为自然对数的底数)上的最大值．难点突破13．(12分)2011·长沙模拟 广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产，按国际惯例以美元为结算货币，依据以往加工生产的数据统计分析，若加工产品订单的金额为x 万美元，可获得的加工费近似地为12ln(2x ＋1)万美元，受美联储货币政策的影响，美元贬值，由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx 万美元(其中m 为该时段美元的贬值指数，m ∈(0,1))，从而实际所得的加工费为f (x )＝12ln(2x ＋1)－mx (万美元)．(1)若某时期美元贬值指数m ＝1200，为确保企业实际所得加工费随x 的增加而增加，该企业加工产品订单的金额x 应在什么范围内？(2)若该企业加工产品订单的金额为x 万美元时共需要的生产成本为120x 万美元，己知该企业加工生产能力为x ∈10,20(其中x 为产品订单的金额)，试问美元的贬值指数m 在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．课时作业(十四)【基础热身】 1．A 解析 令y ′＝(ln x )′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx2＝0，得x ＝e ，当x >e 时，y ′<0；当x <e 时，y ′>0，故y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e.2．A 解析 令f (x )＝x 2y ＝x 2⎝⎛⎭⎫3－x3，x ∈0,9，令f ′(x )＝6x －x 2＝0，得x ＝0或x ＝6，可以验证x ＝6时f (x )有最大值36.3．C 解析 y ′＝－38t 2－32t ＋36＝－38(t ＋12)(t －8)，令y ′＝0得t ＝－12(舍去)或t ＝8，当6≤t <8时，y ′>0，当8<t <9时，y ′<0，∴当t ＝8时，y 有最大值．4．C 解析 设底面边长为x ，则高为h ＝4V3x2， ∴S 表＝3×4V 3x2·x ＋2×34x 2＝43V x ＋32x 2， ∴S ′表＝－43Vx2＋3x ，令S ′表＝0，得x ＝34V .经检验知，当x ＝34V 时S 表取得最小值． 【能力提升】5．B 解析 对f (x )求导得f ′(x )＝x －1x2.(1)若x ∈⎣⎡⎭⎫12，1，则f ′(x )<0；(2)若x ∈(1,2，则f ′(x )>0，故x ＝1是函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的唯一的极小值点，也就是最小值点，故f (x )min ＝f (1)＝0；又f ⎝⎛⎭⎫12＝1－ln2，f (2)＝－12＋ln2，所以f ⎝⎛⎭⎫12－f (2)＝32－2ln2＝lne 3－ln162，因为e 3>2.73＝19.683>16，所以f ⎝⎛⎭⎫12－f (2)>0，即f ⎝⎛⎭⎫12>f (2)，即函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上最大值是f ⎝⎛⎭⎫12.综上知函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上最大值是1－ln2，最小值是0.即f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值和最小值之和是1－ln2.6．D 解析 当x ≤0时，f ′(x )＝6x 2＋6x ，函数的极大值点是x ＝－1，极小值点是x ＝0，当x ＝－1时，f (x )＝2，故只要在(0,2上e ax ≤2即可，即ax ≤ln2在(0,2上恒成立，即a ≤ln2x 在(0,2上恒成立，故a ≤ln22.7．A 解析 设船速度为x (x >0)时，燃料费用为Q 元，则Q ＝kx 3，由6＝k ×103可得k ＝3500，∴Q ＝3500x 3，∴总费用y ＝⎝⎛⎭⎫3500x 3＋96·1x ＝3500x 2＋96x ，y ′＝6500x －96x 2，令y ′＝0得x ＝20，当x ∈(0,20)时，y ′<0，此时函数单调递减，当x ∈(20，＋∞)时，y ′>0，此时函数单调递增，∴当x ＝20时，y 取得最小值，∴此轮船以20公里小时的速度行驶每公里的费用总和最小．8．D 解析 折成盒子后底面正三角形的边长为a －2x ⎝⎛⎭⎫0<x <a 2，高为h ＝x ·tan30°＝33x ，设容积为V ，则V ＝Sh ＝12(a －2x )2sin60°·33x ， ＝x 3－ax 2＋a 24x ，V ′＝3x 2－2ax ＋a 24，令V ′＝0得x ＝a6或x ＝a 2(舍去)，当0<x <a 6时，V ′>0；当a 6<x <a2时，V ′<0.∴x ＝a 6时，V 最大＝a 3216－a 336＋a 324＝4a 3216＝a 354.9．200 解析 每月生产x 吨时的利润为f (x )＝24200－15x 2x －(50000＋200x )＝－15x 3＋24000x －50000(x ≥0)．由f ′(x )＝－35x 2＋24000＝0得x 1＝200，x 2＝－200，舍去负值．f (x )在0，＋∞)内有唯一的极大值点，也是最大值点．10.32R 解析 设圆内接等腰三角形的底边长为2x ，高为h ，那么h ＝R ＋R 2－x 2，解得x 2＝h (2R －h )，于是内接三角形的面积为S ＝x ·h ＝(2Rh －h 2)·h ＝2Rh 3－h 4，从而S ′＝12(2Rh 3－h 4)－12(2Rh 3－h 4)′＝12(2Rh 3－h 4)－12(6Rh 2－4h 3)＝h 2(3R －2h )(2R －h )h3， 令S ′＝0，解得h ＝32R ，由于不考虑不存在的情况，所以在区间(0,2R )上列表如下：由此表可知，当x ＝2R 时，等腰三角形面积最大．11.263π 解析 解法一：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么由r 2＋h 2＝R 2，Ra ＝2πr ，代入V ＝13πr 2h ，得V ＝13π·⎝⎛⎭⎫Ra 2π2·R 2－⎝⎛⎭⎫Ra 2π2＝R312π·a 4－a 64π2，再令T (a )＝a 4－a 64π2，求它的导数得T ′(a )＝4a 3－3a52π2，令T ′(a )＝0.即4a 3－3a 52π2＝0，求得a ＝263π，检验，当0<a <236π时，T ′(a )>0；当263π<a <2π时，T ′(a )<0，所以当a ＝263π时，T (a )取得极大值，并且这个极大值就是最大值，且T (a )取得最大值时，V 也就取得最大值，所以当a ＝263π时，漏斗的容积最大．解法二：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么r 2＋h 2＝R 2，因此V (r )＝13πr 2h ＝13πr 2·R 2－r2＝13πR 2r 4－r 6(0<r <R )．令T (r )＝R 2r 4－r 6，求它的导数T ′(r )＝4R 2r 3－6r 5.再令T ′(r )＝0，即4R 2r 3－6r 5＝0，求得r ＝63R ，可以检验当r ＝63R 时，T (r )取得最大值，也就是当r ＝63R 时，V (r )取得最大值．再把r ＝63R 代入Ra ＝2πr 得a ＝263π.所以当a ＝263π时，漏斗的容积最大． 12．解答 (1)设曲线C 1，C 2与直线l 相切的切点分别是(t 1，at 21＋b )，(t 2,2b ln t 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧2at 1＝2，2bt 2＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝1a ，t 2＝b ，所以切线分别是：y －1a－b ＝2⎝⎛⎭⎫x －1a ，y －2b ln b ＝2(x －b )，两切线都过原点，则－1a －b ＝－2a ，－2b ln b ＝－2b ，所以a ＝1e，b ＝e.(2)f (t )＝⎝⎛⎭⎫t 2e ＋e －2t －(2t －2eln t )＝t2e －4t ＋2eln t ＋e ，f ′(t )＝2e t －4＋2et≥0，所以f (t )在t ∈(0，e 上单调递增， 所以f (t )max ＝f (e)＝0.【难点突破】13．解答 (1)由已知m ＝1200， f (x )＝12ln(2x ＋1)－x200，其中x >0， ∴f ′(x )＝12x ＋1－1200＝199－2x200(2x ＋1).由f ′(x )>0，即199－2x >0，解得0<x <99.5，即加工产品订单金额x ∈(0,99.5)(单位：万美元)，该企业的加工费随x 的增加不断增长．(2)依题设，企业加工生产不出现亏损，则当x ∈10,20时，都有12ln(2x ＋1)－mx ≥120x ，由12ln(2x ＋1)－mx ≥120x ，得120＋m ≤ln(2x ＋1)2x. 令g (x )＝ln(2x ＋1)2x ，x ∈10,20，则g ′(x )＝22x ＋1·x －ln(2x ＋1)2x2＝2x －(2x ＋1)ln(2x ＋1)2x 2(2x ＋1). 令h (x )＝2x －(2x ＋1)ln(2x ＋1)，则h ′(x )＝2－⎣⎡⎦⎤2ln(2x ＋1)＋(2x ＋1)22x ＋1＝－2ln(2x ＋1)<0，可知h (x )在10,20上单调递减． 从而h (20)≤h (x )≤h (10)，又h (10)＝20－21ln21<21(1－ln21)<0. 故可知g (x )在10,20上单调递减，因此g (x )min ＝ln4140，即m ≤ln4140－120.故当美元的贬值指数m ∈⎝⎛⎦⎤0，ln41－240时，该企业加工生产不会亏损．。
2013届高三数学(理)一轮复习方案课件【人教A版】第14讲用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例
第14讲 │ 要点探究
当x∈[1,10m－1]时，随B型号电视机投放金额x的增加，农 民得到的补贴逐渐增加；当x∈(10m－1,9]时，随B型号电视机 投放金额x的增加，农民得到的补贴逐渐减少． ③当10m－1≥9，即m≥1时，y在[1,9]上是增函数，随B型号 电视机投放金额x的增加，农民得到的补贴逐渐增加．
第14讲 │ 要点探究
变式题 [2011· 龙岩质检] 某食品厂进行蘑菇的深加工，
每千克蘑菇的成本20元，并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常 数，且2≤t≤5)，设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元 (25≤x≤40)，根据市场调查，销售量q与ex成反比，当每公斤蘑 菇的出厂价为30元时，日销售量为100 kg. (1)求该厂的每日利润y元与每千克蘑菇的出厂价x元的函 数关系式； (2)若t＝5，当每千克蘑菇的出厂价x为多少时，该厂的利 润y最大，并求最大值．
第14讲 │ 要点探究
m 1 (2)y′＝ － ，由y′＝0，得x＝10m－1. x＋1 10 ①当10m－1≤1，即0<m≤0.2时，y′≤0，y在[1,9]上是减函 数，随B型号电视机投放金额x万元的增加，农民得到的补贴逐 渐减少． ②当1<10m－1<9，即0.2<m<1时，在区间[1,10m－1)上， y′>0，在区间(10m－1,9]上，y′<0.
第14讲 │ 知识梳理
第14讲 │ ห้องสมุดไป่ตู้题思考 问题思考
► 问题1 求闭区间上可导函数的最值，不需要判断极值 )
是极大值或极小值．(
第14讲 │ 问题思考
[答案]对
[解析] 求闭区间上可导函数的最值，对函数极值是极大 还是极小，可不再判断，直接与端点的函数值比较即可．
一轮复习课时训练§2.11：导数在研究函数中的应用和生活中优化问题举例
第二章§11：导数在研究函数中的应用和生活中优化问题举例(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间50分钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．使函数f(x)＝x ＋2cosx 在[0，π2]上取最大值的x 为A ．0B ．π6C ．π3D ．π22．已知a>0，则x 0满足关于x 的方程ax ＝b 的充要条件是A ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0B ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0C ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0D ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 03．已知R 上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x)>0的解集为A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1,2)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)4．若a>2，则函数f(x)＝13x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上恰好有A ．0个零点B ．1个零点C ．2个零点D ．3个零点5．已知函数f(x)＝x 3＋bx 2＋cx ＋d(b ，c ，d 为常数)，当k ∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时， f(x)－k ＝0只有一个实数根；当k ∈(0,4)时，f(x)－k ＝0有3个相异实根，现给出 下列4个命题：①函数f(x)有2个极值点；②函数f(x)有3个极值点；③f(x)＝4和 f ′(x)＝0有一个相同的实根；④f(x)＝0和f ′(x)＝0有一个相同的实根．其中正确 命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1没有极值，则a的取值范围为________．7．若函数f(x)的导函数为f′(x)＝－x(x＋1)，则函数g(x)＝f(log a x)(0<a<1)的单调递减区间是________．8．在一块正三角形的铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一个正三棱柱，尺寸如图所示．当x为________时，正三棱柱的体积最大，最大值是________．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知某工厂生产x件产品的成本为C＝25 000＋200x＋140x2(元)，问：(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知函数f(x)＝x3＋2x2＋x－4，g(x)＝ax2＋x－8.(1)求函数f(x)的极值；(2)若对任意的x∈[0，＋∞)都有f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：f ′(x)＝1－2sinx ，当f ′(x)＝0时，解得x ＝π6，从而可以求得函数f(x)在[0，π2]上的递增区间为[0，π6]，递减区间为[π6，π2]，所以f(x)取最大值时x 为π6.答案：B2．解析：设函数f(x)＝12ax 2－bx ，∴f ′(x)＝ax －b ，由已知可得f ′(x 0)＝ax 0－b ＝0，又因为a>0，所以可知x 0是函数的极小值点，也是最小值点．由最小值定义可知C 项正确． 答案：C3．解析：据题意观察函数的图象，由函数的单调性与导数之间的关系可得，当－1<x<1时，f ′(x)<0；当x>1或x<－1时，f ′(x)>0，故(x 2－2x －3)f ′(x)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3>0f ′(x )>0或⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x －3<0，f ′(x )<0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x<－1或x>3x<－1或x>1或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x<3－1<x<1⇔x<－1或x>3或－1<x<1. 答案：D4．解析：f ′(x)＝x 2－2ax ，由a>2，所以在(0,2a)上，f(x)单调递减，所以f(x)在区间(0,2)也是单调递减．因为f(0)＝1，f(2)＝83－4a ＋1＝11－12a 3<0，根据根的存在性定理知道在区间(0,2)上有1个零点．答案：B5．解析：利用数形结合可知①③④正确．答案：C二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：f ′(x)＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，当原函数没有极值时，Δ＝36a 2－36(a ＋2)≤0， 解得－1≤a ≤2. 答案：[－1,2]7．解析：由f ′(x)＝－x(x ＋1)≤0得x ≤－1或x ≥0，即f(x)的递减区间为(－∞，－1]或 [0，＋∞)，f(x)的递增区间为[－1,0]．∵0<a<1，∴y ＝log a x 在(0，＋∞)上为减函数． ∴g(x)＝f(log a x)(0<a<1)单调递减时－1≤log a x ≤0，∴1≤x ≤1a .∴g(x)的减区间为[1，1a ]．答案：[1，1a]8．解析：由图可知体积y ＝34(a －2x)2×33x ＝14x(a －2x)2(0<x<a2)，所以 y ′＝14(a －2x)(a －6x)＝0时，解得x ＝a 6或x ＝a 2(舍)，所以当x ＝a6时取最大值，且为a 354.答案：a 6 a 354三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知某工厂生产x 件产品的成本为C ＝25 000＋200x ＋140x 2(元)，问：(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ 解：(1)设平均成本为y 元，则y ＝25 000＋200x ＋140x 2x ＝25 000x ＋200＋x40，y ′＝－25 000x 2＋140，令y ′＝0得x ＝1 000.当在x ∈(0，1 000)时y ′<0； 在x ∈(1 000，＋∞)时y ′>0，故当x ＝1 000时，y 取最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品．(2)利润函数为S ＝500x －(25 000＋200x ＋x 240)＝300x －25 000－x 240，S ′＝300－x20，令S ′＝0，得x ＝6 000，当在x ∈(0,6 000)时S ′>0；在x ∈(6 000，＋∞)时S ′<0，故当x ＝6 000时，S 取最大值，因此，要使利润最大，应生产6 000件产品．10.（本小题满分18分（1）小问8分，（2）小问10分）已知函数f(x)＝x 3＋2x 2＋x －4，g(x)＝ax 2＋x －8. (1)求函数f(x)的极值；(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)都有f(x)≥g(x)，求实数a 的取值范围． 解：(1)f ′(x)＝3x 2＋4x ＋1，令f ′(x)＝0，解得：x 1＝－1或x 2＝－13.当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下：∴当x ＝－1时，f(x)取得极大值为－4；当x ＝－13时，f(x)取得极小值为－11227.(2)设F(x)＝f(x)－g(x)＝x 3＋(2－a)x 2＋4.F(x)≥0在[0，＋∞)恒成立⇔F(x)min ≥0，x ∈[0，＋∞)． ①若2－a ≥0，显然F(x)min ＝4>0； ②若2－a<0，F ′(x)＝3x 2＋(4－2a)x ， 令F ′(x)＝0，解得x ＝0，x ＝2a －43，当0<x<2a －43时，F ′(x)<0.当x>2a －43时，F ′(x)>0.∴当x ∈[0，＋∞)，F(x)min ＝F(2a －43)≥0，即(2a －43)3＋(2－a)(2a －43)2＋4≥0，整理得－4(a －2)327＋4≥0.解不等式得：a ≤5，∴2<a ≤5. 综上所述a 的取值范围为(－∞，5]．。
2016届高考数学理一轮复习练习2.15用导数解决生活中的优化问题
第十五节 用导数解决生活中的优化问题1.把长100 cm 的铁丝分成两段，各围成一个正方形，当两正方形面积之和最小时，两段长分别为( )A ．20 cm ，80 cmB ．40 cm ，60 cmC ．50 cm ，50 cmD ．30 cm ，70 cm 解析：设一段长为x ，则另一段长为100－x ，∴S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 42＝116[x 2＋(100－x)2]＝116(2x 2－200x ＋10 000)． 令S′＝0，得116(4x －200)＝0，∴x ＝50.故选C. 答案：C2．已知一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则圆柱的侧面积最大值为( ) A ．2πr 2 B ．3πr 2 C ．4πr 2D.12πr 2解析：设圆柱高h, 圆柱底半径x ，则(2x)2＋h 2＝(2r)2； S 侧＝2πxh ＝2πx 4r 2－4x 2，令y ＝S 侧2＝16π2(－x 4＋r 2x 2)， y ′ ＝0得唯一极值点x ＝22r ，所以h ＝2r. 所以S 侧最大值2πr 2，故选A. 答案：A3．进货原价为80元的商品400个，按90元一个售出时，可全部卖出．已知这种商品每个涨价一元，其销售数就减少20个，所获得利润最大时售价应为( )A ．90元B ．95元C ．100元D ．105元解析：设售价为90＋x 元时利润为y ，此时售量为400－20x.y ＝f(x)＝(90＋x)(400－20x)－(400－20x)×80＝20(20－x)(10＋x)， 求导得：y′＝20(－2x ＋10)，令y′＝0，得x ＝5，所以当x ＝5时，y max ＝4 500(元)，即售价为95元时获利最大，其最大值为4 500元，故选B.答案：B4．用长为90 cm 、宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图)，当容器的容积最大时，该容器的高为( )A ．8 cmB ．9 cmC ．10 cmD ．12 cm解析：设容器的高为x cm ，容器的容积为V(x) cm 3， 则V(x)＝(90－2x)(48－2x)x ＝4x 3－276x 2＋4 320x(0<x<24)， ∵V ′(x)＝12x 2－552x ＋4 320， 由V′(x)＝12x 2－552x ＋4 320＝0⇒ x 2－46x ＋360＝0，解得x 1＝10，x 2＝36(舍去)．∵当0<x<10时，V ′(x)>0；当10<x<24时，V ′(x)<0，∴当x ＝10时，V(x)在区间()0，24内有唯一极值，且取极大值． ∴容器高x ＝10 cm 时，容器容积V(x)最大．故选C. 答案：C5．有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s 的速度离开墙脚滑动，当其下端离开墙脚1.4 m 时，梯子上端下滑的速度为____________．解析：设经时间t 秒梯子上端下滑s 米，则s ＝5－25－9t 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤t ≤53， 当下端移开1.4 m 时，t 0＝1.43＝715， 又s′＝－12 (25－9t 2)－12·(－9·2t)＝9t 25－9t 2， 所以s′(t 0)＝9×715×125－9×⎝ ⎛⎭⎪⎫7152＝0.875(m/s)．答案：0.875 m/s6．在直径为d 的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________(强度与bh 2成正比，其中h 为矩形的长，b 为矩形的宽)．解析：如图为圆木的横截面， ∵b 2＋h 2＝d 2， ∴bh 2＝b(d 2－b 2)． 设f(b)＝b(d 2－b 2)， ∴f ′(b)＝－3b 2＋d 2. 令f′(b)＝0，由于b ＞0，∴b ＝33d ， 且在⎝⎛⎭⎪⎫0，33d 上f′(b)＞0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫33d ，d 上，f ′(b)＜0. ∴函数f(b)在b ＝33d 处取得极大值，也是最大值，即抗弯强度最大，此时长h ＝63d.答案：63d 7．高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4 500元/台．当笔记本电脑销售价为6 000元/台时，月销售量为a 台．市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月销售量减少的百分率为x 2.记销售价提高的百分率为x 时，电脑企业的月利润是y 元．(1)写出月利润y 与x 的函数关系式；(2)如何确定这种笔记本电脑的销售价，可使得该公司的月利润最大？解析：(1)依题意，销售价提高后变为6 000(1＋x)元/台，月销售量为a(1－x 2)台， 则y ＝a(1－x 2)[6 000(1＋x)－4 500]， 即y ＝1 500a(－4x 3－x 2＋4x ＋1)，0<x<1. (2)由(1)知y′＝1 500a(－12x 2－2x ＋4)， 令y′＝0，得6x 2＋x －2＝0， 解得x ＝12或x ＝－23(舍去)．当0<x<12时，y ′>0；当12<x<1时，y ′<0.故当x ＝12时，y 取得最大值．此时销售价为6 000×32＝9 000(元)．故笔记本电脑的销售价为9 000元/台时，该公司的月利润最大．8．如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在AB 的延长线上，N 在AD 的延长线上，且对角线MN 过C 点．已知AB ＝3米，AD ＝2米．(1)设AN ＝x(单位：米)，要使花坛AMPN 的面积大于32平方米，求x 的取值范围； (2)若x∈[3，4) (单位：米)，则当AM ，AN 的长度分别是多少时，花坛AMPN 的面积最大？并求出最大面积．解析：由于DN AN ＝DC AM ，则AM ＝3x x －2，故S AMPN ＝AN·AM＝3x2x －2.(1)由S AMPN ＞32得3x2x －2＞32，因为x ＞2，所以3x 2－32x ＋64＞0，即(3x －8)(x －8)＞0， 从而2＜x ＜83或x ＞8，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83∪(8，＋∞)． (2)令y ＝3x 2x －2，则y′＝6x （x －2）－3x 2（x －2）2＝3x （x －4）（x －2）2，因为当x∈[3，4)时，y ′＜0，所以函数y ＝3x2x －2在[3，4)上为单调递减函数，从而当x ＝3时，y ＝3x2x －2取得最大值，即花坛AMPN 的面积最大为27平方米，此时AN ＝3米，AM ＝9米．9．某商场预计2016年从1月起前x 个月顾客对某种商品的需求总量P(x)(单位：件)与月份x 的近似关系是：P(x)＝12x(x ＋1)(41－2x)(x≤12且x∈N *)．(1)写出第x 月的需求量f(x)的表达式； (2)若第x 月的销售量g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）－21x ，1≤x<7，x 2e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－10x ＋96，7≤x ≤12，(x∈N *)． (单位：件)，每件利润q(x)元与月份x 的近似关系为：q(x)＝1 000ex －6x ，该商场销售该商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(参考数据：e 6≈403)解析：(1)当x ＝1时，f(1)＝P(1)＝39；当x≥2时，f(x)＝P(x)－P(x －1)＝12x(x ＋1)(41－2x)－12(x －1)x(43－2x)＝－3x 2＋42x.又f(1)＝－3×12＋42×1＝39， ∴f(x)＝－3x 2＋42x(x≤12，x ∈N *)．(2)h(x)＝q(x)·g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3 000e x －6（7－x ），1≤x<7，1 000e 6⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－10x 2＋96x ，7≤x ≤12， h ′(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3 000e x －6（6－x ），1≤x ＜7，1 000e 6（x －8）（x －12），7≤x ≤12，(x∈N *)．∵当1≤x≤6时，h ′(x)≥0，当6<x<7时，h ′(x)<0， ∴当1≤x<7且x∈N *时，h(x)max ＝h(6)＝3 000.∵当7≤x≤8时，h ′(x)≥0，当8<x≤12时，h ′(x)≤0，∴当7≤x≤12且x∈N *时，h(x)max ＝h(8)＝1 000×8963e 6≈1 000×8963×403≈741<3 000. 综上所述，预计第6个月的月利润达到最大，最大月利润为3 000元．。
高考数学考点11导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例.docx
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考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1. （2013·辽宁高考理科·Ｔ12）设函数()f x 满足22()2(),(2).8x e e x f x xf x f x '+==则x>0时,f(x)（ ）.A 有极大值，无极小值 .B 有极小值，无极大值 .C 既有极大值又有极小值 .D 既无极大值也无极小值【解题指南】结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极值问题。
【解析】选D.由题意知2332()2()()x x e f x e x f x f x x x x -¢=-=， x 2x 22g(x)e 2x f (x),g '(x)e 2x f '(x)4xf (x 2(()2())22(1).)x x xx e x f x xf x e e e x x则令¢==--+=-=-=--由()0g x ¢=得2x =,当2x =时,222min ()2208e g x e =-创= 即()0g x ³,则当0x >时,3()()0g x f x x ¢=?, 故()f x 在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值.2. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ12）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ11）相同已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=0),1ln(0,2)(2x x x x x x f ，若ax x f ≥|)(|，则a 的取值范围是（ ）A.]0,(-∞B. ]1,(-∞C. ]1,2[-D. ]0,2[- 【解题指南】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象，利用|)(|x f 在)0,0(处的切线为制定参数的标准.【解析】选D.画出函数y=|f(x)|的图象如图所示,当0≤x 时，x x x f x g 2|)(|)(2-==，22)(-='x x g ，2)0(-='g ，故2-≥a .当0>x 时，)1ln(|)(|)(+==x x f x g ，11)(+='x x g 由于)(x g 上任意点的切线斜率都要大于a ，所以0≤a ，综上02≤≤-a .3. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ11）与(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T10)相同设已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） A.0x R ∃∈，0()0f x =B.函数()y f x =的图象是中心对称图形C.若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D.若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=【解析】选C.结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.A 项,因为函数f(x)的值域为R,所以一定存在x 0∈R,使f(x 0)=0,A 正确.B 项,假设函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为(m,n),按向量(,)a m n =--r将函数的图象平移,则所得函数y=f(x+m)-n 是奇函数,所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,化简得(3m+a)x 2+m 3+am 2+bm+c-n=0.上式对x ∈R恒成立,故3m+a=0,得m=-3a,n=m 3+am 2+bm+c=f 3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为,33aa f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故y=f(x)的图象是中心对称图形,B 正确.C 项,由于()f x '=3x 2+2ax+b 是二次函数,f(x)有极小值点x 0,必定有一个极大值点x 1,若x 1<x 0,则f(x)在区间(-∞,x 0)上不单调递减,C 错误.D 项,若x 0是极值点,则一定有0()0f x '=.故选C.4.（2013·安徽高考文科·Ｔ10）已知函数32()=+a +bx+f x x x c 有两个极值点1x ，2x ，若112()=f x x x <，则关于x 的方程23(())+2a ()+=0f x f x b 的不同实根个数是 ( ) A.3 B.4 C. 5 D.6【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x 1或f(x)=x 2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.【解析】选A 。
高考数学考点10导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例.docx
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考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T12)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)【解题指南】根据xf′(x)-f(x)<0,构造函数g(x)=f(x)x ,对函数g(x)=f(x)x求导,利用其单调性及奇偶性确定f(x)>0成立的x的取值范围.【解析】选A.记函数()()f xg xx=，则''2()()()xf x f xg xx-=，因为当0x>时，'()()0xf x f x-<，故当0x>时，'()0g x<所以g(x)在(0,+∞)上单调递减;又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数,故函数g(x)是偶函数,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,且g(-1)=g(1)=0.当0<x<1时,g(x)>0,则f(x)>0;当x<-1时,g(x)<0,则f(x)>0,综上所述,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).2.（2015·安徽高考文科·T10）函数()32f x ax bx cx d=+++的图像如图所示，则下列结论成立的是（）A.a>0,b<0,c>0,d>0B.a>0,b<0,c<0,d>0C.a<0,b<0,c<0,d>0D.a>0,b>0,c>0,d<0【解题指南】结合图像的特征及导函数的性质进行判断。
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第3讲 导数在生活中的优化问题举例
1．从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的
盒子，则盒子容积的最大值为( )
A．12 cm3 B．72 cm3 C．144 cm3 D．160 cm3
2．要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为( )
A.33 cm B.10 33 cm
C.16 33 cm D.20 33 cm
3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－
1
3
x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
4．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( )
A．f(0)＋f(2)＜2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)＞2f(1)
5．某厂生产某种产品x件的总成本C(x)＝1200＋275x3(单位：万元)，又知产品单价的平方
与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为( )元时总利润
最大．( )
A．10 B．25 C．30 D．40
6．已知函数f(x)＝13x3＋ax2－bx＋1(a，b∈R)在区间[－1,3]上是减函数，则a＋b的最小值
是( )
A.23 B.32 C．2 D．3
7．(2012年福建)已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a
其中正确结论的序号是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
8．(2012年重庆)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图
象如图K4-3-1，则下列结论中一定成立的是( )
图K4-3-1
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
9．如图K4-3-2，抛物线y＝－x2＋9与x轴交于两点A，B，点C，D在抛物线上(点C在
第一象限)，CD∥AB.记|CD|＝2x，梯形ABCD的面积为S.
(1)求面积S以x为自变量的函数式；
(2)若|CD||AB|≤k，其中k为常数，且0
10．(2013年新课标Ⅰ)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y
＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.
(1)求a，b，c，d的值；
(2)若当x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．
第3讲 导数在生活中的优化问题举例
1．C 2.D 3.C
4．C 解析：依题意，当x≥1时，f′(x)≥0，函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数；当x＜1
时，f′(x)≤0，f(x)在(－∞，1)上是减函数，故f(x)当x＝1时取得最小值，即有f(0)≥f(1)，
f(2)≥f(1)．所以f(0)＋f(2)≥2f(1)．
5．B 解析：设单价为q>0，由题意q2＝kx，当x＝100时，q＝50，∴k＝q2x＝502×100
＝250 000.∴q2x＝250 000，q＝500x.∴总利润y＝xq－C(x)＝x·500x－1200＋275x3.令y′＝
500·12 x－275·3x2＝0，解得x＝25.当0
总利润最大．
6．C 解析：f′(x)＝x2＋2ax－b在[－1,3]上有f′(x)≤0，
∴ f－1≤0，f3≤0.∴ 2a＋b≥1，6a－b≤－9.设 u＝2a＋b≥1，v＝b－6a≥9，
设a＋b＝mu＋nv＝m(2a＋b)＋n(－6a＋b)＝(2m－6n)a＋(m＋n)b，对照参数：2m－6n＝1，
m＋n＝1，解得m＝78，n＝18，∴a＋b＝78u＋
1
8
v≥2，则a＋b的最小值为2.
7．C 解析：f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a
由图f(1)＝1－6＋9－abc＝4－abc>0，f(3)＝27－54＋27－abc＝－abc<0，且f(0)＝－abc
＝f(3)<0，
所以f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0.
图D69
8．D 解析：由图象可知当x<－2时，y＝(1－x)f′(x)>0，此时，f′(x)>0，函数单调递
增，当－2
函数单调递增．所以函数f(x)有极大值f(－2)，极小值f(2)．
9．解：(1)依题意，得点C的横坐标为x，
点C的纵坐标为yC＝－x2＋9.
点B的横坐标xB满足方程－x2B＋9＝0，
解得xB＝3，或xB＝－3(舍去)．
所以S＝12(|CD|＋|AB|)·yC＝12(2x＋2×3)(－x2＋9)＝(x＋3)(－x2＋9)． (2)由 0 ①若1<3k，即13 ②若1≥3k，即0
由点C在第一象限，得0
令f′(x)＝0，得x＝1.
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ↗ 极大值 ↘
所以当x＝1时，f(x)取得最大值，且最大值为f(1)＝32.
所以f(x)的最大值为f(3k)＝27(1＋k)(1－k2)．
综上所述，当13≤k<1时，S的最大值为32；当0
而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，
故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.
从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)．
设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2，
则F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)．
由题设，可得F(0)≥0，即k≥1.
令F′(x)＝0，得x1＝－lnk，x2＝－2.
①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)
＞0.即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．
而F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.
故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．
②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e－2)．
从而当x＞－2时，F′(x)＞0，
即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．
而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，
即f(x)≤kg(x)恒成立．
③若k＞e2，则F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.
从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．
综上所述，k的取值范围是[1，e2]．