tobit与选择性样本
tobit模型的拟合优度
tobit模型的拟合优度以tobit模型的拟合优度为题，进行创作一、什么是tobit模型拟合优度？Tobit模型是一种用于处理存在截断（censored）或右侧截断（right-censored）数据的统计模型。
在某些情况下，我们无法观测到完整的数据，而是只能观测到其上限或下限。
Tobit模型通过最大似然估计来估计模型参数，并评估模型对数据的拟合程度，即拟合优度。
评估tobit模型的拟合优度主要使用两个指标：似然比比较和贝叶斯信息准则（BIC）。
1. 似然比比较：通过比较拟合tobit模型和只包含截断值的模型，计算似然比统计量。
如果统计量显著不为零，即拟合tobit模型比只包含截断值的模型更好，说明tobit模型对数据的拟合程度较好。
2. BIC：贝叶斯信息准则是一种模型选择准则，它考虑了模型的复杂度和拟合优度。
BIC值越小，说明模型对数据的拟合越好。
三、如何提高tobit模型的拟合优度？1. 改进模型：可以尝试不同的变量组合或添加交互项，以提高模型的拟合优度。
此外，还可以考虑使用其他统计模型来拟合数据，例如零膨胀模型或混合效应模型。
2. 增加样本量：增加样本量可以提高模型的拟合优度。
如果可能的话，可以尝试收集更多的数据以提高模型的准确性。
3. 检查模型假设：检查模型的假设是否合理，例如正态分布假设、线性关系假设等。
如果假设不成立，可以考虑使用非参数方法或拟合其他适合的模型。
四、结语Tobit模型的拟合优度是评估模型对数据的拟合程度的重要指标。
通过比较似然比统计量和BIC值，可以评估模型的拟合程度并进行模型选择。
通过改进模型、增加样本量和检查模型假设，可以进一步提高tobit模型的拟合优度。
在实际应用中，我们应该根据具体问题和数据情况选择合适的评估指标和改进方法，以获得更好的拟合结果。
tobit模型
y xi i
* i
i ~ N (0, )
2
y yi 0
* i
if y 0 if y 0
* i * i
2、Tobit模型
2.2第二类Tobit模型
y x1i 1 1i
* 1i
y x2i 2 2i
* 2i
y2i
* y2 i 0
if if
if y1*i 0 * if y1 i 0 if if if if
* y1 i 0
* y1 i 0
* y1 i 0 * y1 i 0
i 1,2,....,n
* y3 i 0
2、Tobit模型
2.5 第五类Tobit模型
* y1 i x1i 1 1i * y2 i x2i 2 2i * y3 i x3i 3 3i
y2i
y3i
* y2 i 0
if if
if if
* y1 i 0 * y1 i 0
i 1,2,....,n
* y3 i 0
* y1 i 0
* y1 i 0
3、Tobit模型变量的概率分布（基本模型）
y xi 0 xi P( yi 0) P( y 0) P( ) xi xi ( ) 1 ( )
* i * i
1 P( yi ) P( y ) e 2
* i
yi x i 2
2 2
4、Tobit模型的最大似然估计（基本模型）
yi x i 2
2 2
1 L e 2 yi 0
1 (
[Tobit模型估计方法与应用的关系]模型估计
![[Tobit模型估计方法与应用的关系]模型估计](https://img.taocdn.com/s3/m/686204385627a5e9856a561252d380eb62942364.png)
[Tobit模型估计方法与应用的关系]模型估计人们为了纪念Tobin对这类模型的贡献，把被解释变量取值有限制、存在选择行为的这类模型称之为Tobit模型。
这类模型实际上包含两种方程，一种是反映选择问题的离散数据模型；一种是受限制的连续变量模型。
第二种模型往往是文献中人们更感兴趣的部分。
本文试图从一些经典文献著作的简单介绍中，向有兴趣用这个方法分析这类问题的研究者们提供一个参考，为做实证分析的研究者们提供一个分析此类问题的方法。
本文的结构安排如下：第二部分介绍Tobit模型的分类与结构，概括了Tobit模型的特点以及其与两部模型的区别，按照不同的特征对Tobit模型进行了分类。
第三部分介绍Tobit模型的估计与应用，按照Tobit模型的特征从三个方面介绍了每种模型的估计：一是关于非联立方程的Tobit模型估计；二是关于联立方程的Tobit模型的估计，这两类文献的估计方法主要是针对截面数据或者时间序列数据；三是关于面板Tobit模型的估计。
第四部分是简要的结论，指出Tobit模型的发展方向。
二、Tobit模型：概念与分类Tobit模型也称为样本选择模型、受限因变量模型，是因变量满足某种约束条件下取值的模型。
这种模型的特点在于模型包含两个部分，一是表示约束条件的选择方程模型；一种是满足约束条件下的某连续变量方程模型。
研究感兴趣的往往是受限制的连续变量方程模型，但是由于因变量受到某种约束条件的制约，忽略某些不可度量(即：不是观测值，而是通过模型计算得到的变量)的因素将导致受限因变量模型产生样本选择性偏差。
两部模型(two-partmodel)与Tobit模型有很大的相似之处，也是研究受限因变量问题的模型；但是这两种模型在模型结构形式、估计方法、假设条件等方面也存在一定的区别。
Tobit模型的估计方法与模型结构形式有密切关系，不同类型的模型估计方法存在较大的差异，本文按照三种属性特征对Tobit模型进行了分类。
tobit与选择性样本
0(
xi
)xi
(
xi
)
.
17
3、 x k对于y的边际影响
E(y| xk
x)(x/)k
结论：在数据存在截取的情况下，x k 对于y的
边际影响通过两个渠道产生作用：首先影
响 ( x )，即观测值是否被截取的概率，其次 是通过 影响y*的大小，从而影响被观察到
的y值的大小。当
于
k
时(x，) 边1 际影响等
由于我们面对的是断尾数据，因此考虑 E(y2|y11,x) 是有意义的。
E(y2| y1 1,x)E(y2*| y1* 0,x)
E(x222| x111 0) x22E(2|1 x11)
因为 21
.
37
所以
E(y2| y11,x)x22E(1|1x11) x22E(1|1x11)x22 ((xx1111)) x2212(x11)
i~N (0,2) Pri (xi)P ri (x i)1 (x i) (x i)
即 P ri(y0|xi)(xi) P ryi(0|xi)1(xi)
.
14
（2）当 yi 0 时的条件期望
其中， (.) Ratio）
(.)
(.)
为逆米尔斯比（Inverse Mills
.
15
E(yi | yi 0,xi) E(xii | yi 0,xi)
我们可以对截取数据进行tobit回归，得到系数 的一致估计结果。步骤：
第一，用全部数据采用probit模型，估计 ，, 代 入得到 的估计值。
第二，用y>0的数据，进行y对x和 的OLS估计，
得到系数的一致估计。
.
23
+ 如果样本观测值不是以0为界，而是以某一个数值 a为界，则有
Tobit模型估计方法与应用
Tobit模型估计方法与应用一、本文概述本文旨在全面探讨Tobit模型估计方法及其应用。
Tobit模型，也称为截取回归模型或受限因变量模型，是一种广泛应用于经济学、社会学、生物医学等领域的统计模型。
该模型主要处理因变量在某一范围内被截取或受限的情况，例如，当因变量只能取正值或只能在某一特定区间内变动时。
本文首先将对Tobit模型的基本理论进行阐述，包括模型的设定、参数的估计方法以及模型的检验等方面。
随后，文章将详细介绍Tobit模型在各个领域中的应用案例，包括工资水平、耐用消费品需求、医疗支出等方面的研究。
通过这些案例，我们将展示Tobit模型在处理受限因变量问题时的独特优势和应用价值。
文章还将对Tobit模型的发展趋势和前景进行展望，以期为相关领域的研究提供有益的参考和启示。
二、Tobit模型的基本原理Tobit模型，也称为受限因变量模型或截取回归模型，是一种广泛应用于经济学、社会学、生物医学等领域的统计模型。
该模型主要处理因变量受到某种限制或截取的情况，例如因变量只能取正值、只能在某个区间内取值等。
Tobit模型的基本原理基于最大似然估计法，通过构建似然函数来估计模型的参数。
截取机制：在Tobit模型中，因变量的取值受到某种截取机制的限制。
这种截取机制可以是左截取、右截取或双侧截取。
左截取意味着因变量只能取大于某个阈值的值，右截取则意味着因变量只能取小于某个阈值的值，而双侧截取则限制了因变量的取值范围在两个阈值之间。
潜在变量：在Tobit模型中，通常假设存在一个潜在变量（latent variable），它是没有受到截取限制的因变量。
潜在变量与观察到的因变量之间的关系由截取机制决定。
潜在变量通常假设服从某种分布，如正态分布。
最大似然估计：在给定截取机制和潜在变量分布的假设下，可以通过构建似然函数来估计Tobit模型的参数。
似然函数反映了观察到的数据与模型参数之间的匹配程度。
通过最大化似然函数，可以得到模型参数的估计值。
tobit与选择性样本
假定 yi* xii i ~N(0,2)
观察到：
yi
xii,当y*i
0,当y*i 0
0
2、y的条件期望
在截取的条件下，y的条件期望不再与y*相同
。 yi （1） 的概率yi 分 0布
首先看一下
的概率：
Pyri (0|xi)Pyri* (0|xi)Pxri(i0|xi) Pri (xi)
Tobit模型与样本选择模型
Tobit模型
简单来说，当因变量在正值上连续但是还有 很多机会取值为0，可以使用tobit模型。
文献中有把tobit模型分为五类的说法。
Type I Tobit
假设B*是预算约束下效用最大化得出的 牛肉消费量
Type II Tobit
Type III tobit model
(.)
为逆米尔斯比（
Inverse Mills Ratio）
E(yi | yi 0,xi) E(xii | yi 0,xi)
xi E(i
| i
xi)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xi
E(i
|
i
xi)
xi
(xi) 1(xi)
xi
E(x| xc) ((cc))
第I类Tobit模型：在零值左截取 的回归模型
1、模型：James Tobin在1958年的文章 “estimation of relationships for limited dependent variables”中，以家 庭耐用消费品为例，讨论了当因变量y在0 点被左截取的时候，如何估计x对y的影响 。因此把在零值左截取的回归模型称为第I 类Tobit模型，是最简单的一种情形。
二元选择模型
对y i 取期望，E （y i ） = :- + X i（2）\ P ( y i = 1) = P i wP( y i = 0) = 1 - p i 则E(y i ) = 1 (P i ) + 0 (1 - P i ) = P i由（2）和（3）式有（y i 的样本值是0或1，而预测值是概率。
）以P i = - 0.2 + 0.05 X i 为例，说明X i 每增加一个单位，则采用第一种选择的概率增加 现在分析Tobit 模型误差的分布。
由 Tobit 模型（1）有，⑶⑷0.05。
R1 ―口 - “ , u = y i - a - P X i = *住严-取,y i =1y i =0E(U i ) = (1- : - : X i ) P i + (- : - : X i ) (1 - P i ) = P i - : - ： X i 由(4)式，有二元选择摸型如果回归模型的解释变量中含有定性变量，则可以用虚拟变量处理之。
在实际经济问题中，被解释变量 也可能是 定性变量。
如通过一系列解释变量的观测值观察人们对某项动议的 态度，某件事情的成功和失败等。
当被解释变量为定性变量时怎样建立模型呢？这就是要介 绍的二元选择模型或多元选择模型，统称离散选择模型。
这里主要介绍 Tobit （线性概率）模型，Probit （概率单位）模型和 Logit 模型。
1. Tobit （线性概率）模型 Tobit 模型的形式如下，其中U i 为随机误差项，X i 为定量解释变量。
y i 为二元选择变量。
此模型由 年提出，因此得名。
如利息税、机动车的费改税问题等。
设James Tobin 1958（若是第一种选择）1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2330340350360370380E(U i ) = p i -圧-!：：i X i = 0因为y i 只能取0, 1两个值，所以，E(u i 2) = (1- : - - X i )2 p i + (- : - - X i )2 (1 - p)=(1- :- - X i )2 (: +1：, X i ) + (:- +1「X i )2(1 -:■ - !：:; X i ), (依据 ⑷式)=(1- : -:X i ) ( :- + : X i ) = p i (1 - p i ),(依据⑷式)=E(y i ) [1- E(y i )]上两式说明，误差项的期望为零，方差具有异方差。
Tobit模型估计方法与应用(二)
Tobit模型估计方法与应用(二)周华林李雪松2012-10-25 10:12:04 来源：《经济学动态》(京)2012年5期第105〜119页三、Tobit模型的估计I：非联立方程模型1.Tobit模型的MLE 1974年之前的文献对Tobit模型的估计都是采用了MLE这种方法的特点是估计过程比较复杂，计算相当繁琐，而且需要选择一个合理的初始值，但是用这种方法估计出来的结果具有较好的性质，估计值的有效性较好。
Tobin(1958)采用MLE并给出选择初始值的方法，Heckman(1974将Tobit模型扩展成联立(simultaneous)系统方程，沿袭了Tobin(1958)及Gronau(1974)的MLETobin(1958)关注了被解释变量有下限、上限或者存在极限值这类问题的研究，后来人们把具有这种特征的问题研究的模型称为Tobit模型。
Tobin认为受限因变量的重点主要有两个方面，一是受限因变量和别的变量之间的关系，另一是这种关系的假设检验问题。
在这样的问题的研究中，解释变量不仅影响受限变量的概率，也影响非受限因变量的规模大小。
对于这类问题，如果不考虑非受限因变量的解释，而是只考虑受限因变量或是非受限因变量的概率问题，那么Probit分析就能提供一个合适的统计模型；如果不关注观测值的限制性，只是要解释某些变量，多元回归分析也是一种合适的统计技术。
不过，当因变量的信息是有用的时候，丢失这些信息显然会使得研究丧失效率。
Tobin以不同家庭的不同行为选择问题为例，建立了如下受限因变量模型。
假设W是受限因变量，具有下限L：Y=p 0+p l X 1+(JA 十・・+2L [L Y-€<L w= I Y -L YYML相应的概率分布函数为*a I a J其中Z&）足标准正态密度函数&何是标准iF 态分布函数。
对该模型Tobin 提出用MLE 估计似然函数•并用牛顿调七祇附）迭代法求解似然函数最大 值时的欧拉方程.得到受限因变厳模型的估计值口 过程如下。
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假定 yi* xii i ~N(0,2)
观察到：
yi
xii,当y*i
0,当y*i 0
0
2、y的条件期望
在截取的条件下，y的条件期望不再布
首先看一下
的概率：
Py ri (0|xi)Py ri* (0|xi)Pxri(i0|xi) Pri (xi)
。
第一类Tobit模型的估计
（在零值左截取的回归模型，是截取模型中 最简单的一种情形）
1、ols估计有偏且不一致。
1.估1如计果，只正对确yi的 0模型应的该yi数为x据i进(行xi简)e单i 的OLS 若遗漏掉中间部分，则还会导致残差项与解
释变量相关，出现内生性问题。 1.2若对全部数据进行OLS估计，问题会更严
注意：若不考虑截取数据情况下的最大似然估计等 价于最小二乘估计。对于实际的截取数据，如果 采用OLS估计，将得到有偏的估计结果。
上述似然函数的假设：截取数据中不可观测的部分 和可观测部分具有相同的分布。如果这一条件得 不到满足，最大似然估计将遇到困难。这时可使 用heckman两步估计。
3、Tobit 回归（也称为heckman两阶段法， 或Heckit法，这种方法广泛运用于由于样 本选择导致的断尾数据分析中）
重，因为x y之间的正确模型为：
E(yi|xi) x ixi(x i)
2、Tobit ML估计
ln L y i 0 2 1 ln (2) ln2 (y i 2 X i)2 y i 0 ln 1 X i
• 该似然函数由两部分组成，一部分对应于没有限 制的观测值，是经典回归部分；一部分对应于受 到限制的观测值。
Type IV tobit model
Type V Tobit model
“截取”变量的分布与密度函数
1、从下截取 ymayx *c(,) 已知
Py r ( c)c f(y)d y 1 F (c)
根据条件概率公式 PrA( |B)PrA( B) P rB()
F ( y |y c ) P Y r y ;Y ( c ) P c r Y ( y ) F ( y ) F ( c ) P Y r c )( P Y r c )( 1 F ( c )
• 这是一个非标准的似然函数，它实际上是离散分 布与连续分布的混合。
若对上式进行再参数化,令/,1/
可得: lL n Y i 0 1 2 (l 2n ) l( n 2 (Y i X i )2 Y 0 l i 1 n ( ( X i ))
对上式极大化，应用牛顿法求解，然后求得原参数 的估计量。
0(
xi
)xi
(
xi
)
3、 x k 对于y的边际影响
E(y| xk
x)(x/)k
结论：在数据存在截取的情况下，x k 对于y的
边际影响通过两个渠道产生作用：首先影
响 ( x ) ，即观测值是否被截取的概率 ，其次 是通过 影响y*的大小，从而影
响被观察到的y值的大小。(x当 ) 1
时，边际k 影响等于
式中：
E (y|yc)c y 1 fF (y ()c) d yc 1 yF (y f(c ))dy
对于从上截取的情形：
容E易(y|判y断c)出c ：yFE f((cy( ))y d|yy c ) E ( y ) E ( y |y c )
3、标准正态分布随机变量的截取期望
xi E(i
|i
xi)
xi
E(i
|
i
xi)
xi
(xi) 1(xi)
xi
(xi)
(xi)
xi
(xi)
(3) y i 的期望（不同于上面的条件期望。
有些文献中称为无条件期望，以区别于上
面的条件期望）
E(yi | x) Pr(y*0).E(yi | yi 0, xi)
Pr(y*0).E(yi | yi 0, xi)
Tobit模型与样本选择模型
Tobit模型
简单来说，当因变量在正值上连续但是还有 很多机会取值为0，可以使用tobit模型。
文献中有把tobit模型分为五类的说法。
Type I Tobit
假设B*是预算约束下效用最大化得出的 牛肉消费量
Type II Tobit
Type III tobit model
经验分析中随机扰动项经常被假定服从正态 分布。
（1）当 x~N(0,1) 汇PE2(3x7|xc) (c)
1(c)
，证明过程见靳云
（2x）~N推(0,广2) 当
E(x|xc，)E(x|xc)1 (c()c)
E(x| xc) ((cc))
第I类Tobit模型：在零值左截取 的回归模型
1、模型：James Tobin在1958年的文章 “estimation of relationships for limited dependent variables”中，以家 庭耐用消费品为例，讨论了当因变量y在0 点被左截取的时候，如何估计x对y的影响 。因此把在零值左截取的回归模型称为第I 类Tobit模型，是最简单的一种情形。
f(y| yc) f(y) F(c)
2、截取变量的条件期望
当不存在截取时，
E(y) yf(y)dy
当存在从下截取时，
E (y ) E (y |y c )P .y * r c ( ) E (y |y c )P .y * r c ( )
E (y |y c )P .y * r c ( ) c .Py * r c ( )
i~N (0,2) Pri (xi)P ri (x i)1 (x i) (x i)
即 Pri(y0|xi)(xi) Pryi(0|xi)1(xi)
（2）当 yi 0
时的条件期望
其中，
(.)
(.)
(.)
为逆米尔斯比（
Inverse Mills Ratio）
E(yi | yi 0,xi) E(xii | yi 0,xi)
密度函数为 f(y| yc) f(y) 1F(c)
根据
Py r ( c)c f(y)d y 1 F (c)
可以验证：c f (y|y c )d y c 1 fF (y () y )d y 1 1 F F ( (c c ) ) 1
（2）从上截取 当 ymiyn*(c,)
F(y| yc)F(y) F(c)