最新7.1选择性样本模型
7.1条件概率与全概率公式- 2020-2021学年人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册讲义
1.定义：条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P()三者之间“知二求一”的关系一般地，设A ，B 为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P()=为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，简称条件概率.2. 条件概率的定义设A 、B 是两个事件，且P(B)>0,则称()(|)()P AB P A B P B为在事件B 发生的条件下,事件A 的条件概率.若事件B 已发生, 则为使 A 也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A 中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B 已发生, 故B 变成了新的样本空间 , 于是有了以上公式3. 条件概率的计算 1) 用定义计算:2)从加入条件后可用缩减样本空间法1.定义:由条件概率的定义，对任意两个事件A 与B ,若P(A)>0，则()()()P AB P A P B A =,我们称上式为概率的乘法公式.2.性质：设P(A)>0，则,)()()|(B P AB P B A P =P (B )>0一般地条件概率与无条件概率 之间的大小无确定关系若，条件概率 无条件概率（1）()1P A Ω=（2）如果B 与C是两个互斥事件，则()()()()P B C A P B A P C A ⋃=+ （3）设B 和B 互为对立事件，则()()1P B A P B A =-1.全概率公式 一般地，设12,,n A A A 是一组两两互斥的事件，12n A A A ⋃⋃⋃=Ω，且()0i P A ＞，1,2,,i n =，则对任意的事件B ⊆Ω,有()()()1niii P B P A P B A ==∑我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一由条件概率的定义：若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB)定理若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3)全概率公式全概率就是表示达到某个目的有多种方式(或者造成某种结果有多种原因),求达到目的的概率是多少(或者造成这种结果的概率是多少).2. 贝叶斯公式 设12,,n A A A 是一组两两互斥的事件，12n A A A ⋃⋃⋃=Ω，且()0i P A ＞，1,2,,i n =，则对任意的事件B ⊆Ω，()0P B ＞，有()i P A B =()()()i i P A P B A P B =()()()()1i i nkkk P A P B A P A P B A =∑，1,2,,i n =全概率公式、贝叶斯公式它们是加法公式和乘法公式的综合运用，同学们可通过进一步的练习去掌握它们.值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作“贝叶斯统计”.可见贝叶斯公式的影响.全概率公式. 全概率公式的基本思想是把一个未知的复杂事件分解为若干个已知的简单事件再求解，而这些简单事件组成一个 互不相容事件组 ,使得某个未知事件A 与这组互不相容事件中至少个同时发生 ,故在应眉此全慨率公式时,关键是要找到一个合适的S 的一个划分.例题1.《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经后天八卦图（含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦），每一卦由三根线组成( 表示一根阳线， 表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，记事件 A = “两卦的六根线中恰有两根阳线”， B = “有一卦恰有一根阳线”，则 P(A|B)= （ ）,A. 15B. 16C. 17D. 314【答案】 B【解析】由八卦图可知，八卦中全为阳线和全为阴线的卦各有一个， 两阴一阳和两阳一阴的卦各有三个，而事件A 所包含的情况可分为两种， 即第一种是取到的两卦中一个为两阳一阴，另一个为全阴； 第二种是两卦中均为一阳两阴；而事件 A ∩B 中只包含后者， 即： P(A ∩B)=C 32C 82=328,事件 B 的概率 P(B)=1−C 52C 82=914 ，所以 P(A|B)=328914=16故答案为：B例题2.已知某种产品的合格率是 90% ，合格品中的一级品率是 20% .则这种产品的一级品率为（ ） A. 18% B. 19% C. 20% D. 21% 【答案】 A【解析】设事件A 为合格品，事件B 为一级品，则 P(A)=90%,P(B|A)=20% 所以 P(B)=P(A)P(B|A)=90%×20%=18% 故答案为：A例题3.某种电子元件用满3000小时不坏的概率为 34 ，用满8 000小时不坏的概率为 12 ，现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，还能用满8000小时的概率是（）A.34B.23C.12D.13【答案】 B【解析】记事件A“用满3000小时不坏”，P(A)=34记事件B“用满8000小时不坏，P(B)=12∵B⊂A，∴P(AB)=P(B)=1 2则P(B|A)=P(AB)P(A)=1234=12×43=23故答案为：B例题4.某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在M处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在N处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分.测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮.甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在M处和N处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如图表：若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.（1）求甲同学通过测试的概率；（2）在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率.【答案】（1）解：甲同学两分球投篮命中的概率为510+410+310+610+7105=0.5，甲同学三分球投篮命中的概率为110+0+110+210+1105=0.1，设甲同学累计得分为X，则P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=0.9×0.5×0.5+0.1×0.5+0.1×0.5×0.5=0.3，所以，甲同学通过测试的概率为0.3（2）解：乙同学两分球投篮命中率为210+410+310+510+6105=0.4，乙同学三分球投篮命中率为110+210+310+110+3105=0.2 .设乙同学累计得分为Y，则P(Y=4)=0.8×0.4×0.4=0.128，P(Y=5)=0.2×0.4+0.2×0.6×0.4=0.128，设“甲得分比乙得分高”为事件A，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件B，则P(AB)=P(X=5)⋅P(Y=4)=0.075×0.128=0.0096，P(B)=[P(X=4)+P(X=5)]⋅[P(Y=4)+P(Y=5)]=0.0768，由条件概率公式可得P(A|B)=P(AB)P(B)=0.00960.0768=18【解析】（1）分别求出甲同学两分球投篮命中的概率和甲同学三分球投篮命中的概率，设甲同学累计得分为X，则P（X≥4）=P（X=4）+P（X=5），由此能求出甲同学通过测试的概率；（2）乙同学两分球投篮命中的概率为0.4，三分球投篮命中的概率为0.2，设乙同学累计得分为Y，求出P（Y=4）=0.128，P（Y=5）=0.128，设“甲得分比乙得到高”为事件A，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件B，则P（AB）=P（X=5）•P（X=4），P（B）=[P（X=4）+P（X=5）]•[P（Y=4）+P（Y=5）]，由条件概率得：P(A|B)=P(AB)P(B)=0.00960.0768=18。
高中数学新教材选择性必修第三册《7.1条件概率与全概率公式》课件
10
方法二 这个问题还可以这样理解：第一次取到白球， 则只剩9个球，其中5个白球，4个黑球，在这个前提下， 第二次取到黑球的概率是94.
规律方法 (1)对于古典概型的概率求法要搞清楚基本事件 总数. (2)条件概率的定义揭示了P(A)，P(AB)及P(B|A)三者之间的 关系，反映了“知二求一”的互化关系.
计算AB发生的概率，而P(A|B)表示在缩小的样本空间ΩB中，计算
A发生的概率.用古典概型公式，
则
AB中样本点数
P(A|B)＝
，
AB中样本点数
ΩB中样本点数
P(AB)＝
.
Ω中样本点数
7.1.2全概率公式
[学习目标] 1.理解全概率公式和贝叶斯公式. 2.会利用公式解决一些简单的实际问题.
全概率公式和贝叶斯公式主要用于 计算比较复杂事件的概率, 它们实质上 是加法公式和乘法公式的综合运用.
综合运用
加法公式
乘法公式
P(A+B)=P(A)+P(B) P(AB)= P(A)P(B|A)
A、B互斥
P(A)>0
例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有
1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱
装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意
摸出一球，求取得红球的概率. 解：记 Ai={球取自i号箱 },
将数据代入计算得: P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14.
于是 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+
P(A3)P(B |A3)
=0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.45
高中语文统编版选择性必修下册7.1《风景谈》(共19张ppt)
“民族的精神”在课文中指的是怎样的精神?课文是怎样加以表现的?
“民族的精神”在课文中指的是： 对内反对黑暗势力的统治，对外反对外来民族的侵略和压 迫的精神。 课文中着意写的是一个号兵和一个荷枪的战士在朝霞中的 雄姿，他们的神态是那样的严肃、坚决、勇敢，具有高度 的警觉，给人以希望、信心和力量。 课文正是通过这两个战士形象的塑造，典型而又形象地表 现了我们民族的精神。
延河夕照，赞美了知识分子的崇高革命理想和 革命斗争精神——生命力。
分析风景
· 文章题目为《风景谈》,请说说作者描摹的六处风景的精神内涵，谈一 谈作者认为什么样的“风景”才是“真的风景”。
石洞雨景，突出知识青年丰富崇高的精神 生活——孜孜不倦、勤奋、内在精神生活充实 、生命力。
桃林小憩，赞美了解放区人民的高尚情趣 ——生命力、高尚的精神生活。
③“北国晨号”中用“晨风中吹着喇叭的红绸子”、□战士枪尖的刺刀 闪着寒光”、 “粉红的霞色”等来烘托民族精神化身的两个战士的形象，抒发 了作者对英雄战士由衷敬仰之情，所以既是“物”烘托“人”,同时也是“景 ”烘托“情”。
课文赏析
④“沙漠驼铃”中用沙漠的“纯然一色”来烘托“那一 杆长方形腥红大旗”,是驼队的出现显得格外庄严和妩媚 ,这是色彩的烘托；用“热空气在作哄哄的火响”来烘托 驼铃的“丁当、丁当”的声音，使人倍感铃声的和谐动人 ,这是声音的烘托。
初中时我们曾学过茅盾的散 文《白杨礼赞》,那篇散文曾以 它崇高的境界和强烈的感情激动
过我们的心。今天，我们再来学 习一篇和它并称为姊妹篇的作品
《风景谈》。
作 者 简 界
茅盾(1896—1981),原名沈德鸿，字雁冰。浙江桐乡县乌镇人 ,我国现代杰出的革命作家、文化活动家和社会活动家。僧积 极参加“五四”运动和早期共产主义运动；长期从事革命文学 活动，曾与鲁迅、郭沫若等人为我国革命文艺和文化运动奠定 了基础。
数学人教A版选择性必修第三册7.1.1条件概率课件(1)
每次实验中有可能产生，有可能不产生的事
件
0≤P(A)≤1
事件A包含于事件B
事件A产生，则事件B一定产生
A⊆B P(A)≤P(B)
事件A与B的并(和)事件
事件A与事件B至少有一个产生
A∪B(或A＋B)
P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B)
事件A与B的交(积)事件
事件A与事件B同时产生
A∩B(或AB)
非团员
9
6
合计
25
20
事件B：“选到男生”
男生
女生
团员
16
14
合计
30
15
45
事件A：“选到团员”
n(B)=25
n(Ω)=45
n(A)=30
在班级里随机选择一个做代表.
(1)选到男生的概率是多少？
(2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？
“在事件A产生的条件下，事件B产生”的概率：
此时相当于以A为样本空间来考虑事件B产生的概率；
n( AB ) 1
P( B | A)
n( A) 3
用b表示男孩，g表示女孩，
则两个小孩的性别构成的样本空间Ω={bb, gg, bg, gb}，且所有样本点是等可能的.
事件A：“选择的家庭中有女孩”，则A={ gg, bg, gb}，
事件B：“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则B={bb}.
新知1：条件概率的计算公式
10 10 9 5
(2)记事件B为“最后一位为偶数”，
1 4 1 2
P( A B) P( A1 A1 A2 B) P( A1 B) P( A1 A2 B)
新人教版高中数学选择性必修第三册7.1 条件概率与全概率公式
.
解析 (1)从这批产品中随便地取一件,则这件产品恰好是次品的概率是 81 = 27 .
1 200 400
(2)设A:取出的产品是甲厂生产的,B:取出的产品为次品,
则由已知可得P(A)= 500 ,P(AB)= 25 ,所以这件产品恰好是甲厂生产的次品的概
1 200
1 200
率是P(B|A)= P(AB) = 1 .
第七章 随机变量及其散布
1 |利用定义求条件概率 农历五月初五是我国的传统节日——端午节,这一天,馨馨的妈妈煮了9个粽子,其 中4个大枣馅、3个腊肉馅、2个豆沙馅,馨馨随机选取两个粽子.
第七章 随机变量及其散布
1.若已知馨馨取到的两个粽子的馅不同,则取到的两个粽子分别是大枣馅和豆沙馅
的概率是多少?
P(A) P(D)
+
P(B) P(D)
=
C620 12 180
+
C620 12 180
=
13 58
.
C620
C620
所以他获得优秀的概率是 13 .
58
第七章 随机变量及其散布
4 |乘法公式及其应用 乘法公式的特点及注意事项 1.知二求一:若P(A)>0,则已知P(A),P(B|A),P(AB)中的两个值就可以求得第三个值; 若P(B)>0,则已知P(B),P(A|B),P(AB)中的两个值就可以求得第三个值. 2.P(B)与P(B|A)的区分在于两者产生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上 一般也不同.
多少?
提示:用C表示事件“取到的两个粽子为同一种馅”,D表示事件“取到的两个粽子
都为腊肉馅”,
则P(C)=
C24
C32 C92
第四讲选择性模型
)
ρi = corr(ε1i ,ωi )
人民大学，2010 年秋，赵忠
16
E[ y0i | Ii = 0] = x0iβ0 + E[ε0i | ωi ≤ −wiγ ]
= x0i β0 − ρiσ λ0 0i
λ0i
=
φ(−wiγ ) Φ(−wiσ )
ρi = corr(ε0i ,ωi )
有偏：如果 ρi ≠ 0, ρi ≠ 0,并且wi与xi相关。
人民大学，2010 年秋，赵忠
3
数据：假设只有当 Ii = 1时，才有 yi 和 xi 的数据；但是 Ii 和 zi 对所有的人都可以观测到。
对（1）OLS，可以吗？有偏还是无偏？
E[ yi | Ii = 1] = xiβ + E[εi |υi > −ziδ ]
= xiβ + ρσλi ,
其中λi
= xiβ − ρσλ0i
λ0i
=
φ(−ziδ ) Φ(−ziδ )
E[ yi | Ii ] = xiβ + α Ii + ρσ [Iiλ1i + (Ii −1)λ0i ]
人民大学，2010 年秋，赵忠
22
（二）估计
1、MLE 2、2－Step 3、I.V.
I.V.
y = xβ + ε, 如果E[x 'ε ] ≠ 0 ⇒ βl OLS有偏如果有一工具变量z，满足：
用 probit 估计（2），得到δ
用 OLS 估计（1）中 Ii = 1的部分，
其中，λ i
=
φ (− zi δ ) 1− Φ(−ziδ)
可估计出βl和ρmσ 。
“Heckman Lambda Technique”
选择性必修第三册7.1.1条件概率课件(人教版)(1)
（2）样本空间不同，在P(B|A)中，事件A成为样本
空间；在P（AB）中，样本空间仍为
因而有
P( B A) P( AB)
。
典例在5道题中有3道代数题和2道几何题,每次从中随机抽出1道题,
抽出的题不再放回.（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率;
（2）第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率.
＝ ＝ .
15
15
10
PA 4 8
1
2
15
1.若 P( A | B) ， P( A) ，则事件 A 与 B 的关系是( C )
3
3
A.事件 A 与 B 互斥
B.事件 A 与 B 对立
C.事件 A 与 B 相互独立
D.事件 A 与 B 互斥又相互独立
2 1
P
(
A
)
1
P
(
A
)
1
P( A | B) ， 事件 A 与 B 相互独立.故选 C.
P(A)=P(A1)+P( A2)= P(A1)+P()P(A2|)= + × =
因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为 .
(2)设B=“最后1位密码为偶数”，则P(A|B)=P(A1|B)+P( A2|B)=
+
因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为 .
n() 20 10
（2）“第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题”的概率就是
事件 A 产生的条件下，事件 B 产生的概率.又 P ( A)
高中数学选择性必修三 数7 1 1 条件概率教学设计
7.1.1 条件概率本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第三册》，第七章《随机变量及其分布列》，本节课主本节课主要学习条件概率.学生已经学习了有关概率的一些基础知识，对一些简单的概率模型（如古典概型、几何概型）已经有所了解。
条件概率是学生接触到的又一个全新的概率模型。
一方面，它是对古典概型计算方法的巩固，另一方面，为后续研究独立事件打下良好基础。
这一概念比较抽象，学生较难理解。
遇到具体问题时，学生常因分不清是P （B |A ）还是P （AB ）而导致出错。
基于此，在本节的教学中，应特别注意对于条件概率概念的生成，借助图示形象直观地展现条件概率概念的生成过程。
重点：运用条件概率的公式解决简单的问题 难点：条件概率的概念多媒体AB ，包含了样本点数n (AB )=16.根据古典概型知识可知：P （B|A ） =n(AB)n(A)=1630=815.问题2. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选一个家庭，那么（1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？（2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？观察两个小孩的性别，用b 表示男孩，g 表示女孩,则样本空间Ω={bb,bg,gb,gg },且所有样本点是等可能的.用A 表示事件“选择家庭中有女孩” ，B 表示事件“选择家庭中两个孩子都是女孩” ，A ={bg,gb,gg }, B ={gg }.（1） 根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率 P(B) =n(B)n(Ω)=14.（2）“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩” 的概率就是在“事件A 发生的条件下，事件B 发生” 的概率，记为P （B|A ） ，此时A 成为样本空间，事件B 就是积事件AB ，根据古典概型知识可知 P （B|A ） =n(AB)n(A)=13.分析：求P （B|A ）的一般思想因为已经知道事件A 必然发生，所以只需在A 发生的范围内考虑问题，即现在的样本空间为A.因为在事件A 发生的情况下事件B 发生，等价于事件A 和事件 B 同时发生，即AB 发生.所以事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率 P （B|A ） =n(AB)n(A).为了把这个式子推广到一般情形，不妨记原来的样本空间为W ，则有A A B问题1. 如何判断条件概率?题目中出现“在已知……前提下关键词,表明这个前提已成立或条件已发生问题2. P(B|A)与P(A|B)的区别是什么P（AB）=P（A）P（B|A）.我们称上式为概率的乘法公式（multiplication formula）.条件概率的性质条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质. 设P（A）>0，则（1）P（Ω|A）=1；（2）如果B和C是两个互斥事件，则P（BUC |A）=P（B | A）+P （C | A）；（3）设B和B̅互为对立事件，则P（B̅|A）=1−P（B|A）.三、典例解析例1.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求:(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.分析:如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件，那么问题(1)就是积事件的概率，问题(2)就是条件概率.可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率;也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率.解法1：设A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”。
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第7章说明
• 这些模型与方法，无论在计量经济学理论方面还是在实际 应用方面，都具有重要意义。但是，这些模型都形成了各 自丰富的内容体系，甚至是计量经济学的新分支学科，模 型方法的数学过程较为复杂。
• 本章只介绍其中最简单的模型，以了解这些模型理论与方 法的概念与思路。
二、“截断”问题的计量经济学模型
1 ()
1
(
)
1 ()
a P ( a ) 1 ( ) 1 ( )
ξ服从正态 分布
Φ是标准 正பைடு நூலகம்分 布条件 概率函
数
3、截断被解释变量数据模型的最大似然估计
yi Xii i ~N(0,2)
yi Xi ~N(Xi,2)
f(yi)11 ((((yai X Xii))// ))
lnLn 2(ln(2)ln2)212
人均收入 6090 6200 6330 6450 6570 6700 6840 7010 7170 7350 7500 7670 7840 8000 8190 8350 8500 8690 8830
人均消费 3900 3950 4000 4030 4080 4130 4000 4200 4160 4210 4325 4385 4450 4500 4865 4880 4890 4920 4970
2、截断分布 f(a)P(f( )a)
α为随机变量ξ分布范围内的 一个常数
f(c)P(f()c)b 1(b 1a d)b 1c ba c
如果ξ服从均匀分布U(a, b)，但是它只能在(c, b)内取得样本观测值，那么取得每一个样本
观测值的概率
f ( a) f () P( a)
(2 2 ) 1 2 e()2 /(22 )
OLS估计：将样本看为不受任何限制下随机抽取的样本
Y i 6 0 4 . 9 3 0 . 5 0 8 3 X i i 1 , 2 ,, 5 7 R 2 0 . 9 7 7 7
ML估计：将样本看为在消费水平大于1000元、小于5000
元的特定人群中随机抽取的样本
截断点 选择
估计方法选择
样本类 型选择
2、“归并”变量的正态分布
• 由于原始被解释变量y*服从正态分布，有
4、例7.1.1:城镇居民消费模型
人均收入 1120 1310 1300 1430 1500 1670 2100 2370 2530 2790 2980 3200 3460 3630 3880 4040 4210 4390 4520
人均消费 1020 1150 1145 1230 1275 1385 1660 1840 1950 2110 2240 2380 2550 2660 2700 2730 2720 2850 2800
2 i
i
i)
(1(i ))
y iy i a E ( y iy i a ) u i X i(i) u i
V a r ( u i) 2 ( 1 i 2 ii) 2 ( 1 i)
• 由于被解释变量数据的截断问题，使得原模型变 换为包含一个非线性项模型。
• 如果采用OLS直接估计原模型：
Y i 5 5 6 . 7 0 0 . 5 1 9 4 X i i 1 , 2 ,, 5 7 R 2 0 . 9 7 7 5
5、为什么截断被解释变量数据模型不能采用 普通最小二乘估计
• 对于截断被解释变量数据计量经济学模型，如果 仍然把它看作为经典的线性模型，采用OLS估计， 会产生什么样的结果？
– 实际上忽略了一个非线性项； – 忽略了随机误差项实际上的异方差性。 – 这就造成参数估计量的偏误，而且如果不了解解释变
量的分布，要估计该偏误的严重性也是很困难的。
三、“归并”问题的计量经济学模型
1、思路
• 以一种简单的情况为例，讨论“归并”问题的计 量经济学模型。即假设被解释变量服从正态分布， 其样本观测值以0为界，凡小于0的都归并为0， 大于0的则取实际值。如果y*以表示原始被解释变 量，y以表示归并后的被解释变量，那么则有：
人均收入 4640 4750 4800 4810 4990 5070 5130 5210 5300 5390 5450 5500 5570 5630 5690 5770 5860 5930 6000
人均消费 2900 2980 2970 3050 3200 3100 3175 3200 2450 3230 3310 3500 3510 3590 3600 3650 3720 3850 3800
n
(yi
i1
Xi)2
i n1ln1a Xi
l n 2 Li n12 12y i (y 2 i X 2 i 4 X i)i2 X i2i2ii n1gi 0
i(a X i)
i (i)( 1 (i) )
• 求解该1阶极值条件，即可以得到模型的参数估计 量。
• 由于这是一个复杂的非线性问题，需要采用迭代 方法求解，例如牛顿法。
1、思路
• 如果一个单方程计量经济学模型，只能从“掐头” 或者“去尾”的连续区间随机抽取被解释变量的 样本观测值，那么很显然，抽取每一个样本观测 值的概率以及抽取一组样本观测值的联合概率， 与被解释变量的样本观测值不受限制的情况是不 同的。
• 如果能够知道在这种情况下抽取一组样本观测值 的联合概率函数，那么就可以通过该函数极大化 求得模型的参数估计量。
• 因为yi只能在大于a的范围内取得观测值，那么yi 的条件均值为：
E(yi yi a) yi(yi yi a)dyi
a
Xi 1 ((a(( a XX i)i/)/))
E (y iy i a ) X i (i)
i
Xi
E(yi yi
Xi
a)
d i di
i Xi
(
i2i
i
)
(1
y0 yy*
当y* 0 当y* 0
y*~N(,2)
• 单方程线性“归并”问题的计量经济学模型为：
yyiim Xiax y(i*,0i)
i ~N(0,2)
•如果能够得到yi的概率密度函数，那么就可以方便 地采用最大似然法估计模型，这就是研究这类问题
的思路。
•由于该模型是由Tobin于1958年最早提出的，所以 也称为Tobin模型。