第七章 传递函数矩阵的矩阵分式描述
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第五六讲(预习版)
Copyright (c) Qianchuan Zhao
11
Discussion
Strict proper G(s) may have non-proper Smith-McMillan form The reason is that unimodular matrix may introduce poles at s=∞.
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Discussion
Smith-McMillan form is obtained by reducing the elements of
λ1(s) d(s) 1 O Λ(s) = λ r (s) d(s) d(s) 0
s (s + 1)2 (s + 2)2 G(s) = −s 2 (s + 2) s 2 (s + 2) −s (s + 2)2
Rank G(s)=2
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U(s)G(s)V( s) 1 = 2 (s + 1) s 0 (s + 1)2 (s + 2)2 −s 1 2 (s + 2) 0 2 s (s + 2) s 2 2 1 (s 1) − + (s + 2) −s 0 1 2 (s + 2)
s (s + 1)2 (s + 2)2 = 0
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13
Discussion
• Obtain irreducible MFD through Smith-McMillan form of G(s) Let M(s)=U(s)G(s)V(s)=Ε(s)ΨR-1(s) where
绪论
创建英国第一个专门的物理实验 室;建立了麦克斯韦方程组; 主要成就： 创立了经典电动力学;预言了电磁 波的存在;提出了光的电磁说。 代表作品： 《电磁学通论》 Harbin Engineering University
出生日期： 1831年06月13日 逝世日期： 1879年11月5日 职业： 物理学家
Harbin Engineering University
3 公因子和最大公因子
公因子的定义
• 相同列数的两个多项式矩阵间可以定义右公因子(是多项式 矩阵).假定N(s)和D(s)列数相同,若 N ( s) N ( s) R( s)
D(s) D (s) R(s) 则R(s)称为N(s)和D(s)的右公因子.
认识他们吗？？
Edward John Routh ：1831年1月20日出 生在加拿大的魁北克。
Routh 11岁那年回到英国，在de Morgan指导下学 习数学。在剑桥学习的毕业考试中，他获得第一名。并 得到了“Senior Wrangler”的荣誉称号。 毕业后Routh开始从事私人数学教师的工作。从 1855年到1888年Routh教了600多名学生，其中有27位获 得“SEnior Wrangler”称号。建立了无可匹敌的业绩。
Harbin Engineering University
哈罗德·史蒂芬·布莱克( Harold Stephen Black)
Harold Stephen Black (April 14, 1898 – December 11, 1983) was an American electrical engineer, who revolutionized the field of applied electronics by inventing the negative feedback amplifier in 1927. To some, his invention is considered the most important breakthrough of the twentieth century in the field of electronics, since it has a wide area of application. However, a negative feedback amplifier can be unstable such that it may oscillate. Once the stability problem is solved, the negative feedback amplifier is extremely useful in the field of electronics. Black published a famous paper, Stabilized feedback amplifiers, in 1934.
出生日期： 1831年06月13日 逝世日期： 1879年11月5日 职业： 物理学家
Harbin Engineering University
3 公因子和最大公因子
公因子的定义
• 相同列数的两个多项式矩阵间可以定义右公因子(是多项式 矩阵).假定N(s)和D(s)列数相同,若 N ( s) N ( s) R( s)
D(s) D (s) R(s) 则R(s)称为N(s)和D(s)的右公因子.
认识他们吗？？
Edward John Routh ：1831年1月20日出 生在加拿大的魁北克。
Routh 11岁那年回到英国，在de Morgan指导下学 习数学。在剑桥学习的毕业考试中，他获得第一名。并 得到了“Senior Wrangler”的荣誉称号。 毕业后Routh开始从事私人数学教师的工作。从 1855年到1888年Routh教了600多名学生，其中有27位获 得“SEnior Wrangler”称号。建立了无可匹敌的业绩。
Harbin Engineering University
哈罗德·史蒂芬·布莱克( Harold Stephen Black)
Harold Stephen Black (April 14, 1898 – December 11, 1983) was an American electrical engineer, who revolutionized the field of applied electronics by inventing the negative feedback amplifier in 1927. To some, his invention is considered the most important breakthrough of the twentieth century in the field of electronics, since it has a wide area of application. However, a negative feedback amplifier can be unstable such that it may oscillate. Once the stability problem is solved, the negative feedback amplifier is extremely useful in the field of electronics. Black published a famous paper, Stabilized feedback amplifiers, in 1934.
线性系统原理
d11(s) d21(s) d22 (s) DH (s) = M M O d p1(s) d p2 (s) L d pp (s)
d L11(s) d L12 (s) L d L1q (s) d L22 (s) L d L2q (s) DLH (s) = O M d Lqq (s)
−1
为G(s)的任意两个不可简
约右MFD 必存在：D1(s) = D2(s)U(s)， N1(s) = N2(s)U(s) 所以D1(s)和D2(s)具有相同的列埃尔米特形 D 导出
−1 −1 −1
H
(s)
。
−1
N 1(s) D1 (s) = N 1H (s) D H (s), N 2(s) D 2 (s) = N 2 H (s) D H (s)
9.1 史密斯-麦克米伦形
实质：有理分式矩阵的一种重要的规范型， 是在多项式矩阵的史密斯型基础上提出的。 作用：为定义和分析多输入多输出线性时不 变系统传递函数矩阵的极点和零点提供重 要概念性和理论性工具。
9.1 史密斯-麦克米伦形
史密斯-麦克米伦形及其构造原理
结论9.1 G(s)为q×p有理分式矩阵， rankG(s)=r≤min{q，p}，则必存在q×q和p×p单 模矩阵U(s)和V(s)，使
C.将上式等式两边乘以1/d(s)，可以导出
s 2 2 (s +1) (s + 2) Λ( s) M (s) = = U ( s)G ( s)V ( s) = d ( s) 0 2 2 ( s + 2) s (s +1) 2 2 (s +1) (s + 2) 0
导出任一不可简约MFD： ( s) = N ( s) D −1 ( s ) G
d L11(s) d L12 (s) L d L1q (s) d L22 (s) L d L2q (s) DLH (s) = O M d Lqq (s)
−1
为G(s)的任意两个不可简
约右MFD 必存在：D1(s) = D2(s)U(s)， N1(s) = N2(s)U(s) 所以D1(s)和D2(s)具有相同的列埃尔米特形 D 导出
−1 −1 −1
H
(s)
。
−1
N 1(s) D1 (s) = N 1H (s) D H (s), N 2(s) D 2 (s) = N 2 H (s) D H (s)
9.1 史密斯-麦克米伦形
实质：有理分式矩阵的一种重要的规范型， 是在多项式矩阵的史密斯型基础上提出的。 作用：为定义和分析多输入多输出线性时不 变系统传递函数矩阵的极点和零点提供重 要概念性和理论性工具。
9.1 史密斯-麦克米伦形
史密斯-麦克米伦形及其构造原理
结论9.1 G(s)为q×p有理分式矩阵， rankG(s)=r≤min{q，p}，则必存在q×q和p×p单 模矩阵U(s)和V(s)，使
C.将上式等式两边乘以1/d(s)，可以导出
s 2 2 (s +1) (s + 2) Λ( s) M (s) = = U ( s)G ( s)V ( s) = d ( s) 0 2 2 ( s + 2) s (s +1) 2 2 (s +1) (s + 2) 0
导出任一不可简约MFD： ( s) = N ( s) D −1 ( s ) G
第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述
1
MFD的特性
（1）MFD的实质 类同于单输入单输出线性定常系统
的传递函数的分式表示，多输入多输出线性定常系统 传递函数矩阵的MFD实质上也是G(s)的分式化表示。 称D(s)和DL(s)为G(s)的分母矩阵，N(s)和NL(s)为
G(s)的分子矩阵。
G(s) N(s)D (s)
-1
-1 DL (s)NL (s)
-1 2 1
2s 1 2s2 s 1
N(s)D-1 (s)为 非 真 。
结论8.11 [行既约左MFD真性严真性判据]
对左MFD D -1 N L (s)为q p阵， L (s) N(s), D L (s)为q q阵且为行既约，
则D -1 为真，当且仅当 L (s)N(s)
（4）不同次数MFD的扩展构造 对 q p 的传递函数矩阵G(s)， N(s)D-1 (s) 为其 中一个右MFD，而W(s)为任一 p p 非奇异 矩阵，定义
N(s) N(s) W (s), D (s) D(s) W (s) 则 N(s) D -1 (s) 也 为G(s)的 一 个 右 MFD， 且 有 degdet D(s) degdetD(s)
并 使D (s)为 列 既 约 。 则 N(s)D-1 (s)为 真 ， 当 且 仅 当
cj N(s) cj D (s)
j 1,2,...p
j 1,2,...p
则N(s)D-1 (s)为 严 真 ， 当 且 仅 当
cj N(s) cj D (s)
cj为所示矩阵第 j列的列次数。
定义8.2 对传递函数矩阵G(s)，称G(s)为真，当且仅当非零常阵）
称G(s)为严真，当且仅当
MFD的特性
（1）MFD的实质 类同于单输入单输出线性定常系统
的传递函数的分式表示，多输入多输出线性定常系统 传递函数矩阵的MFD实质上也是G(s)的分式化表示。 称D(s)和DL(s)为G(s)的分母矩阵，N(s)和NL(s)为
G(s)的分子矩阵。
G(s) N(s)D (s)
-1
-1 DL (s)NL (s)
-1 2 1
2s 1 2s2 s 1
N(s)D-1 (s)为 非 真 。
结论8.11 [行既约左MFD真性严真性判据]
对左MFD D -1 N L (s)为q p阵， L (s) N(s), D L (s)为q q阵且为行既约，
则D -1 为真，当且仅当 L (s)N(s)
（4）不同次数MFD的扩展构造 对 q p 的传递函数矩阵G(s)， N(s)D-1 (s) 为其 中一个右MFD，而W(s)为任一 p p 非奇异 矩阵，定义
N(s) N(s) W (s), D (s) D(s) W (s) 则 N(s) D -1 (s) 也 为G(s)的 一 个 右 MFD， 且 有 degdet D(s) degdetD(s)
并 使D (s)为 列 既 约 。 则 N(s)D-1 (s)为 真 ， 当 且 仅 当
cj N(s) cj D (s)
j 1,2,...p
j 1,2,...p
则N(s)D-1 (s)为 严 真 ， 当 且 仅 当
cj N(s) cj D (s)
cj为所示矩阵第 j列的列次数。
定义8.2 对传递函数矩阵G(s)，称G(s)为真，当且仅当非零常阵）
称G(s)为严真，当且仅当
线性系统理论(绪论)
008
绪论
5、线性系统理论的研究对象
p研究对象为线性系统：
实际系统理想化模型， 可用线性微分方程或差分方程来描述。 p研究动态系统，动力学系统：
用一组微分方程或差分方程来描述，
对系统的运动和各种性质给出严格和定量的数学描述。 数学方程具有线性属性时，则为线性系统，满足叠加性。
009
绪论
例：某系统的数学描述为L，任意两个输入变量 u1和
u2以及任意两个有限常数 c1和 c2，必有： L ( c1u1 + c 2 u 2 ) = c1 L (u1 ) + c 2 L (u 2 )
数学处理上的简便性，可使用的数学工具： 数学变换（傅里叶变换，拉普拉斯变换）、线性代数 实际系统——非线性的，有条件地线性化。
线性定常系统——方程中每个系数均为常数。
故设计方法为试行错误法，无法得到“最好的设计”。
给定传递函数
闭环特性分析
与给定指标比较
004
绪论
1950年代 , 是控制理论的“混乱时期”。
1960年代 , 产生了“现代控制理论”（状态空间法）。 庞特里亚金极大值原理 贝尔曼 动态规划法 可控、可观性理论
卡尔曼
极点配置
观测器
内模原理 至1970年代前半期，为状态空间法的全盛时期。
1895年，赫尔维茨稳定性分析——代数判据。
1945年， 波特频率法。 1948年，伊万思根轨迹法。
至此，古典控制理论（传递函数法）体系确定。
003
补
补
补
绪论
2、古典控制理论的局限性
①局限于线性定常系统：难以解决非线性、时变系统等问题。 ②采用输入/输出描述（传函），忽视了系统结构的内在特性， 难以解决多输入多输出系统（耦合）。 ③处理方法上，只提供分析方法，而不是综合方法。
线性系统课件传递函数矩阵的零极点
r (s)
r (s)
0
0
diag ii ((ss))
0
0
0
0
定义： Szp {s | s C,i (s) 0, i (s) 0, i 1,2,, r}
则 Szp 是G(s)的有限极点和零点的集合。
diag{i i}可表为
M (s) diag{(s )1( ) ,,(s )r ( )}
（3）对零点，不存在如（2）所述的“一致性”，尽管有时相 同。
（4）若s=是G(s)的零点，则必有
rankN(s) |s rankG(s)
rankB(s) |s rankG(s)
但不一定rankG(s= )<rankG(s).
如：
s2
G(s)
s
3
0
0
1
s 2
G(s)的零点为s=-2, rankG(-2)=rankG(s) 因此，不能误把rankG(s)降秩与否作为判断G(s)零点的依据。
使E(s)降秩的s值 使N (s)降秩的s值
而
G(s)的极点 i (s) 0的根,i 1,2,r
det r (s) 0的根 det D(s) 0的根
对左不可简约MFD有同样的结论。 2. G(s)严格真时，对应的状态空间描述{A,B,C}能控，能观
则
G(s)的极点 det(sI A) 0的根 G(s)的零点 使sICA B0 降秩的s值
三. 传递函数矩阵的零极点的性质
1. 关于极点
SISO系统：考虑具有正则传递函数g(s)及不可简约实现
—{A,b,c,d}的单变量系统
定理：数是g(s)的极点的充分必要条件是，存在一个初 始状态 x0 ，使得系统的零输入响应
多输入多输出系统传递函数矩阵
多输入多输出系统传递函数矩阵
多输入多输出系统传递函数矩阵是指将一个多变量系统的所有输入和输出以矩阵形式表示的传递函数。
在控制系统设计中，我们经常会遇到多输入多输出系统的问题，因此需要有一种有效的方法来描述和分析这种系统。
对于一个n输入n输出的系统，传递函数矩阵H(s)可以表示为： H(s) = [H11(s) H12(s) ... H1n(s)]
[H21(s) H22(s) ... H2n(s)]
[... ... ... ]
[Hn1(s) Hn2(s) ... Hnn(s)]
其中，Hij(s)表示第i个输出对第j个输入的传递函数。
传递函数矩阵可以简化多输入多输出系统的分析和设计过程，使得我们可以更方便地进行控制器设计和系统优化。
同时，传递函数矩阵也可以用于描述多个子系统之间的相互作用，帮助我们更好地理解系统的整体行为。
在实际应用中，我们可以使用矩阵运算来计算传递函数矩阵，并根据需要对其进行简化或扩展。
通过对传递函数矩阵的分析，我们可以找到系统的稳定性、响应速度、误差等特性，从而选择合适的控制策略和参数来实现系统的控制和优化。
- 1 -。
第六章传递函数矩阵的实现理论
能控形实现的维数？
⎡0 ⎢1 ⎢ A = ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
0 0 0 0 ⎤ 0 0 0 − 2⎥ ⎥ 1 0 0 − 7⎥ ⎥ 0 1 0 − 9⎥ 0 0 1 − 5⎥ ⎦
⎡0 ⎢3 ⎢ B = ⎢5 ⎢ ⎢2 ⎢ ⎣0
4⎤ 6⎥ ⎥ 4⎥ ⎥ 1⎥ 0⎥ ⎦
C = [0 0 0 0 1]
（6-1）
或简写为（A，B，C，E）是其传递函数矩阵 G ( s ) 的一个实现， 如果两者为外部等价即成立关系式：
C(sI − A)−1 B + E = G(s)
（6-2）
传递函数矩阵 G ( s ) 的实现（A，B，C，E）的结构复杂程 度可由其维数表征。一个实现的维数规定为其系统矩阵A的维 数，即有
L O
0 q ⎤ −α 1 I q ⎥ ⎥ , M ⎥ ⎥ −α l −1 I q ⎥ ⎦ lq × lq Iq ⎤ ⎦
q × lq
⎡ P0 ⎤ ⎢ P ⎥ B0 = ⎢ 1 ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ P ⎣ l −1 ⎦ lq × p
(6-9)
而真传递函数矩阵 G ( s ) 的能观形实现为 ( A0 , B0 , C0 , E ) 。 例：试建立
co = [0, L, 0, 1]
（6-5）
这时A阵的规模不可能再减小了，因为再减小就不可能得出 传递函数的分母是 n 次多项式的结果。 6.1.2 传递函数矩阵的实现 考虑以有理分式矩阵描述给出的真 q × p 传递函数矩阵 G ( s )
G(s) = (gij (s)), i = 1,L, q j = 1,L, p
（6-4）
能观测规范形实现 式（6-3）所示标量传递函数 g(s)的严真部分n(s)/d(s)的 4 能观测规范形实现具有形式：