13 传递函数矩阵及离散系统
现代控制理论第3章传递函数矩阵的结构特性
现代控制理论第3章传递函数矩阵的结构特性控制理论是现代科学技术的重要组成部分，它主要研究如何通过合理的方式对动力系统进行控制。
传递函数是控制理论中的一个重要概念，它是描述控制系统中输入和输出之间关系的数学模型。
在现代控制理论中，传递函数矩阵作为传递函数的扩展，是一种描述多输入多输出系统的数学模型，具有一些特殊的结构特性。
首先，传递函数矩阵的维度决定了系统的输入和输出的数量。
设系统的输入和输出分别为u和y，传递函数矩阵的维度为p×m，其中p是输出的数量，m是输入的数量。
这意味着系统的输出是由m个输入共同作用决定的，而系统的输出也会影响到m个输入。
传递函数矩阵的维度结构清晰明确，可以直观地反映系统的复杂性和耦合程度。
其次，传递函数矩阵可以通过分块矩阵的形式表示。
在传递函数矩阵中，每个元素都是一个标量传递函数，表示输入对应输出的单一影响。
将传递函数矩阵按照行和列的方式进行分块，可以更好地表示系统的结构和功能，方便进行系统分析和设计。
例如，可以将传递函数矩阵按照行进行分块，每个分块表示一个输出对所有输入的传递函数，即系统的局部传递函数。
这种分块的方式有助于分析系统的稳定性、可控性和可观性等性质。
第三，传递函数矩阵具有可乘性和可加性。
传递函数矩阵之间可以进行乘法和加法运算，得到的结果仍然是一个传递函数矩阵。
这使得系统的复杂行为可以通过简单的计算表达出来。
例如，两个传递函数矩阵相乘可以表示两个系统级联的结果，即一个系统的输出作为另一个系统的输入，从而形成一个新的系统。
传递函数矩阵的可乘性和可加性为系统分析和设计提供了便利。
最后，传递函数矩阵具有一些特殊结构，如分数阶传递函数矩阵和时滞传递函数矩阵等。
分数阶传递函数矩阵是一类常见的非整数阶动力系统的数学模型，广泛应用于控制系统、信号处理和通信系统等领域。
时滞传递函数矩阵描述的是系统的输入和输出之间存在一定的延迟，这在实际控制系统中是常见的现象。
对于这些特殊结构的传递函数矩阵，需要采用不同的方法进行分析和设计，以满足系统要求。
自动控制原理离散系统知识点总结
自动控制原理离散系统知识点总结自动控制原理中的离散系统是指在时间域和数值范围上都是离散的系统。
在离散系统中，信号是以离散时间点的形式传递和处理的。
本文将对自动控制原理离散系统的知识点进行总结，包括离散系统的概念、离散信号与离散系统的数学表示、离散系统的稳定性分析与设计等。
一、离散系统的概念与特点离散系统是指系统输入、输出和状态在时间上都是以离散的方式存在的系统。
与连续系统相比，离散系统具有以下特点：1. 离散时间：离散系统的输入、输出和状态是在离散时间点上采样得到的，而不是连续的时间信号。
2. 离散数值：离散系统的输入、输出和状态都是以离散数值的形式存在的，而不是连续的模拟数值。
二、离散信号与离散系统的数学表示离散信号是指在离散时间点上采样得到的信号。
离散系统可以通过离散信号的输入与输出之间的关系进行描述。
常见的离散系统数学表示方法有差分方程和离散时间传递函数。
1. 差分方程表示：差分方程是通过离散时间点上的输入信号和输出信号之间的关系来描述离散系统的。
差分方程可以是线性的或非线性的，可以是时不变的或时变的。
2. 离散时间传递函数表示：离散时间传递函数描述了离散系统输入与输出之间的关系，类似于连续时间传递函数。
离散时间传递函数可以通过Z变换得到。
三、离散系统的稳定性分析与设计离散系统的稳定性是指系统的输出在有限时间内收敛到有限范围内，而不是无限增长或震荡。
离散系统的稳定性分析与设计是自动控制原理中的重要内容。
1. 稳定性分析：离散系统的稳定性可以通过判断系统的极点位置来进行分析。
若系统的所有极点都位于单位圆内，则系统是稳定的；若存在至少一个极点位于单位圆外，则系统是不稳定的。
2. 稳定性设计：若离散系统不稳定，可以通过调整系统的参数或设计控制器来实现稳定性。
常见的稳定性设计方法包括PID控制器调整、根轨迹设计等。
四、离散系统的性能指标与优化离散系统的性能指标与优化是指通过调整控制器参数或控制策略，使离散系统的性能得到优化。
传递函数矩阵分析
令 ： R(s) 是 gcrd ， 则 D(s) D(s)R(s), N (s) N (s)R(s) ， 代 入
X(s)D(s)+Y(s)N(s)=I：
X (s)D(s) Y (s)N (s) R(s) I ，所以 R1(s) = X (s)D(s) Y (s)N (s) 存在
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其它性质：
（1）Q(s)为单模阵 Q(s)非奇异；
（2）同维单模阵相乘必为单模阵；
（3）Q(s)为单模阵 Q1(s) 位单模阵；
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三、初等变换
对一个多项式 N(s)
1． 矩阵中任意两行互换，i,j 两行互换，相当于对 N(s)
左乘下述阵：
1
1
0 1
（ 2 ） N(s),D(s) 任 何 其 他 公 因 式 R1(s) 满 足 ：
R(s)=W(s)R1(s)；
gcld（左）：是 gcrd 的对偶。
3． gcrd 的构造
方法：将
D(s) N (s)
经初等变换
R(s)
0
，即
U(s)
D(s) N (s)
R(s)
0
，
U(s)为单模阵。
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传递函数矩阵分析传递函数矩阵matlab传递函数矩阵传递函数分析multisim传递函数分析传递函数开环传递函数matlab传递函数闭环传递函数传递函数的定义
传递函数矩阵分析
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§1 多项式阵 一、多项式
D(s) d n s n d n1s n1 d1s d0 多项式加减乘仍为多项式，多项式除可能不是多项式， 多项式的集合不能构成一个域。 多项式的阶次 degD(s)=n,即为最高项的次数， d n =1 称为首一多项式。
离散传递函数
离散传递函数离散传递函数是指一个系统在离散时间下的输入和输出之间的关系，通常用差分方程的形式表示。
它描述了系统对输入信号做出响应的方式，是数字信号处理中非常重要的概念。
离散传递函数可以用以下公式表示：H(z) = Y(z) / X(z)其中，H(z) 是系统的离散传递函数，Y(z) 是系统的输出序列，X(z) 是系统的输入序列。
离散传递函数与连续传递函数类似，都是描述系统响应特性的数学模型。
它们之间最大的不同在于时间域上是否连续。
连续传递函数是用微分方程来描述系统响应特性，在时间域上是连续的；而离散传递函数则是用差分方程来描述系统响应特性，在时间域上是离散的。
在数字信号处理中，我们通常使用 Z 变换来描述离散信号和系统。
Z 变换将一个离散序列转换为一个复杂变量 z 的多项式形式。
通过对 Z 变换后得到的多项式进行因式分解，我们可以得到离散传递函数 H(z) 的表达式。
需要注意的是，在实际应用中，我们通常会对 Z 变换后得到的多项式进行一些简化处理，以便更好地描述系统的响应特性。
例如，可以使用极点和零点来表示系统的频率响应特性。
离散传递函数在数字信号处理中有着广泛的应用。
它可以用来描述数字滤波器、数字控制系统、数字信号处理算法等各种离散系统的响应特性。
通过对离散传递函数进行分析，我们可以了解系统对不同频率分量的输入信号做出的响应，并且可以根据需要对系统进行优化设计。
总之，离散传递函数是数字信号处理中非常重要的概念，它描述了离散时间下输入和输出之间的关系。
通过对离散传递函数进行分析和优化设计，我们可以实现各种数字信号处理算法和系统。
传递函数是矩阵
传递函数是矩阵
传递函数是一个重要的概念，在控制系统中扮演着至关重要的角色。
它描述了输入和输出之间的关系，是描述系统行为的一种方式。
在很多情况下，传递函数可以被表示为矩阵的形式。
在控制系统中，传递函数是一个表示输入和输出之间关系的函数。
它通常用于描述线性时不变系统的动态响应。
传递函数可以被表示为一个分子多项式除以一个分母多项式的比率。
例如，传递函数可以表示为：
H(s) = Y(s) / X(s)
其中，Y(s) 是输出，X(s) 是输入，s 是复变量。
在许多情况下，传递函数可以被表示为矩阵的形式。
这种表示方式称为矩阵传递函数。
矩阵传递函数是一个矩阵，它描述了输入和输出之间的关系。
它可以被用于描述多输入多输出系统的动态响应。
例如，一个三输入三输出系统的传递函数可以表示为一个 $3 times
3$ 的矩阵：
H(s) = [H11(s) H12(s) H13(s); H21(s) H22(s) H23(s); H31(s) H32(s) H33(s)]
其中，每个元素都是一个传递函数。
矩阵传递函数的优势在于它可以被用于分析和设计多输入多输
出系统。
例如，可以使用矩阵传递函数来分析系统的稳定性、性能和鲁棒性。
此外，矩阵传递函数还可以被用于设计控制器，以优化系统的性能。
总之，传递函数是控制系统中的一个重要概念，它描述了输入和输出之间的关系。
在许多情况下，传递函数可以被表示为矩阵的形式，这种表示方式被称为矩阵传递函数。
矩阵传递函数可以被用于分析和设计多输入多输出系统，是控制系统工程师必须掌握的知识。
现代控制理论-传递矩阵
λi Pi = APi
称pi为特征向量。
4. 4 状态方程的线性变换
选取不同的状态变量有不同形式的状态方程， 两组状态变量之间存在着线性变换。
x& = Ax + bu y = cx
x = px
x& = Ax + bu y = cx
= G(s)U(s) 【传递函数矩阵】
对于多输入多输出系统，初始条件为零时，输出 的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为传递函数矩 阵，简称传递矩阵。
这里： G(s) = C(sI − A)−1B + D
(sI − A)−1 = adj[sI − A] sI − A
对于r维输入m维输出系统：
⎡Y1(s)⎤ ⎡G11(s) G12(s) L G1r(s)⎤⎡U1(s)⎤
b) 若A阵为友矩阵，且有n个互不相同的实数特 征值λi
⎡0 1 0 L 0 ⎤
⎢ ⎢
0
01
⎥ ⎥
A=⎢ ⎢ ⎢
O
⎥
1
⎥ ⎥
⎢⎣−a0 −a1 L
−an−1 ⎥⎦
sI − A = 0
λi
3
2011-3-10
则下边的范德蒙特矩阵使A对角化
⎡1 1 L 1⎤
⎢ ⎢
λ1
λ2
L
λn
⎥ ⎥
P
=
⎢ ⎢ ⎢
λ12 M
P变换，
变换矩阵： p = [ p1 p2 L pn ]
x = px x& = px& = Ax + bu = Apx + bu
x& = p−1Apx + p−1bu = Ax + bu
离散传递函数
离散传递函数中的特定函数1. 定义离散传递函数（Discrete Transfer Function）是一种用于描述离散系统的数学模型。
离散系统是指系统的输入和输出在时间上是离散的，即只在某些特定的时间点上才有定义。
离散传递函数是系统的输入和输出之间的关系。
它通常表示为一个比值表示，其输出是输入序列经过系统后得到的输出序列的比值。
离散传递函数可以使用不同的数学表达形式，其中最常见的形式是有理多项式，表示为G(z) = N(z) / D(z)，其中N(z)和D(z)分别是分子和分母多项式。
2. 用途离散传递函数在控制系统理论和信号处理中广泛应用。
它们用于表示和分析离散系统的动态特性，并用于设计和调整控制器和滤波器。
离散传递函数可以用来预测系统的输出，根据已知的输入序列和系统参数，可以计算系统的输出序列。
这对于系统的建模和仿真非常有用。
离散传递函数还可以用于分析系统的稳定性和性能。
通过分析传递函数的特性，可以确定系统是否会产生不稳定的振荡，并评估系统对不同频率和幅度的输入的响应。
在控制系统中，离散传递函数用于设计和调整控制器。
通过根据系统的响应特性确定控制器的参数，可以实现对系统的精确控制。
3. 工作方式离散传递函数的工作方式可以通过以下步骤来解释：1.输入序列的表示：离散系统的输入通常表示为一个离散的序列，记作u(k)，其中k表示时间步长。
输入序列可以是一个预先定义的信号，也可以是系统的输出反馈。
2.输出序列的计算：根据离散传递函数的定义，将输入序列u(k)代入传递函数，计算得到输出序列的离散表达式，记作y(k)。
3.系统的响应计算：根据系统的传递函数和输入序列，可以计算系统的输出序列y(k)。
这涉及到将传递函数中的分子和分母多项式进行展开和计算。
4.系统的性能分析：通过分析离散传递函数的特性，可以评估系统的性能，例如稳定性、上升时间、峰值时间、超调量等等。
这些特性可以通过解析传递函数的根和极点来计算。
离散系统的传递函数
离散系统的传递函数1. 介绍在控制理论中，离散系统的传递函数是描述系统输入与输出之间关系的一种数学工具。
它能够用来描述离散时间系统的动态特性和稳定性，并且可以用于设计和分析离散控制系统。
2. 离散系统的基本概念在理解离散系统的传递函数之前，我们需要先了解一些与离散系统相关的基本概念。
2.1 离散信号离散信号是在离散时间点上定义的信号。
它与连续信号相对，连续信号是在连续时间上定义的信号。
在离散系统中，输入和输出信号往往是离散信号。
2.2 离散时间系统离散时间系统是指输入和输出信号都在离散时间点上进行采样的系统。
离散时间系统可以用差分方程来描述。
2.3 传递函数传递函数是用来描述系统输入与输出之间关系的一种函数。
对于连续时间系统，传递函数通常用拉普拉斯变换来表示。
而对于离散时间系统，传递函数则用Z变换来表示。
3. 离散系统的传递函数离散系统的传递函数是用Z变换来表示系统输入与输出之间关系的函数。
它可以以分数形式表示，也可以以多项式形式表示。
3.1 分数形式的传递函数分数形式的传递函数是用分数多项式表示的。
分子多项式表示系统的输出与输入之间的关系，分母多项式表示系统零点和极点的位置。
3.2 多项式形式的传递函数多项式形式的传递函数是用多项式系数表示的。
这种表示方式更加直观，能够清晰地看出系统的动态特性。
4. 离散系统的稳定性离散系统的稳定性是指系统在输入信号有界的情况下，输出信号是否有界。
在离散系统中，判断稳定性可以通过传递函数的零点和极点来进行。
4.1 零点和极点的关系离散系统的稳定性与传递函数的零点和极点之间存在关系。
如果一个离散系统的零点都在单位圆内，极点都在单位圆外，那么该系统是稳定的。
4.2 稳定性的判断方法根据离散系统的传递函数，我们可以通过以下方法来判断系统的稳定性： 1. 判断传递函数的极点是否在单位圆内。
2. 判断传递函数的零点是否在单位圆内。
如果传递函数的极点都在单位圆内，零点都在单位圆外，则系统是稳定的；反之，如果存在极点在单位圆外或者零点在单位圆内，系统是不稳定的。
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待定系数为：
0 b3 1 b2 a20 2 b1 a10 a21
3 b0 a00 a11 a22
系统状态方程为
x1(k 1) 0 1 0 x1(k) 1
x2
(k
1)
0
0
1
x2
(k
0 1 0
G
0
0
1
a0 a1 a2
输出方程
x1(k)
y(k) 1 0 0x2 (k)
x3 (k )
或者 y(k) Cx(k) 其中 C 1 0 0
0
H
0
b0
推广到n阶线性定常差分方程所描述的系统
综上所示，传递函数（矩阵）和状态空间表达式这两种描述各 有所长，在系统分析和设计中都得到广泛应用。
1.4 离散系统的数学描述
1.4.1 状态空间表达式
1. 差分方程中不含有输入量差分项 首先，考察三阶差分方程
y(k 3) a2 y(k 2) a1 y(k 1) a0 y(k) b0u(k)
2）传递函数仅适用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定 常系统中应用，也可以在时变系统中应用。
3）对于数学模型不明的线性定常系统，难以建立状态空间表达式； 用实验法获得频率特性，进而可以获得传递函数。
4）传递函数仅适用于单入单出系统；状态空间表达式可用于多入 多出系统的描述。
5）传递函数只能给出系统的输出信息；而状态空间表达式不仅给 出输出信息，还能够提供系统内部状态信息。
z 0.4
z 1
z
1 0.3
1
0 1
(
z
0.8)( z
z
0.5)
(z 0.8)( z 0.5)
对于SISO线性定常离散系统
x(k 1) Gx(k) hu(k)
y(k) Cx(k) du(k)
求系统传递函数。
解： g(s) CsI A 1b 1 16s
1 1 0 s 5 1
s 1
s 5 1
1
1 adj6
det6s
s 5 1
0 1
1
s 5
1
s
6 2
5s
0
4
3
x
1
0u
1 1 2 0 1
1 0 0 y 0 0 1 x
求系统的传递函数矩阵。
解
s 1 0 1 0 0
Gyu(s)
CsI
A 1
B
1 0
0 0
0 1
0 1
s4 1
3
s 2
A 1b
adjsI detsI
AA b
输出量对输入量的传递函数（即：传递函数）
g yu (s)
CsI
A 1b
d
C
adjsI detsI
A A
b
d
例1-5 系统状态方程式为
x
0 6
1 5
x
0 1u
y 1 1x
y(k) Cx(k) Du(k)
1.4.2 脉冲传递函数（矩阵） 对线性定常离散系统状态空间表达式进行 z 变换
zx(z) zx(0) Gx(z) Hu(z) [zI G]x(z) Hu(z) zx(0) 如果[sI G]1 存在，则
x(z) [sI G]1 Hu(z) [sI G]1 zx(0)
(k
)
输出方程
y(k) 1
0
x1(k)
0
x2
(k
)
xn
(k
)
2. 差分方程中含有输入量差分项
先考察3阶线性定常差分方程
y(k 3) a2 y(k 2) a1y(k 1) a0 y(k) b3u(k 3) b2u(k 2) b1u(k 1) b0u(k)
dt
可见，在微分器输入端，噪声的幅值只是有效信号幅值的百分 之一，输出端噪声的幅值却是有效信号幅值的10倍，信噪比变 得很小。
1.3.4 闭环系统传递函数矩阵
E(s) u(s) B(s) B(s) H(s) y(s) H(s)G(s)E(s)
y(s) I G(s)H ( s) 1G(s)u(s)
1. 线性定常系统
x Ax Bu y Cx Du
（1）
x 为n 维状态向量；u为r 维输入向量； y为m维输出向量；
A 、 B 、 C 、 D 为相应维数的矩阵。
引入非奇异变换矩阵P x Px 或者 x P-1x
x PAP1x PBu Ax Bu
y CP 1x Du Cx Du
s
6
0 1
s2
s 1 5s 6
1.3.2 传递函数矩阵
状态空间表达式为 进行拉普拉斯变换
x Ax Bu y Cx Du
sx(s) x(0) Ax(s) Bu(s)
sI - Ax(s) Bu(s) x(0)
如果 sI A 1 存在，则 x(s) sI A 1 Bu(s) sI A 1 x(0)
非正则传递函数描述的系统在实际的控制工程中是不能应用的，因
为这时系统对高频噪声将会大幅度放大。例如微分器 g(s) s
为非正则系统，假如输入信号带有高频污染 u(t) cost 0.01cos1000t 经过微分器输出 y(t) d u(t) sin t 10sin1000t
其中 A PAP1
B PB
C CP 1
代入方程（1） DD
于是，系统状态方程变为
x Ax Bu y Cx Du
方程（1）与方程（2）互为等价方程
（2）
2. 线性时变系统
x A(t)x B(t)u y C(t)x D(t)u 引入变换矩阵 P(t)
s)
g22 (s)
g
2
r
(s)
gm1
(s)
gm2 பைடு நூலகம்s)
gmr (s)
式中，gij (s)表示只有第 j 个输入作用时，第 i 个输出量 yi (s) 对第 j
个输入量 u j (s) 的传递函数。
例1-7 线性定常系统状态空间表达式为
0 1 0 0 0
x
x2
(k
1)
0
0
1
x2
(k
)
0
u(k
)
x3 (k 1) a0 a1 a2 x3(k) b0
可以表示为 x(k 1) Gx(k) Hu(k)
其中
x1(k)
x(k
)
x2
(k
)
x3 (k )
y(k n) an1 y(k n 1) a1 y(k 1) a0 y(k) b0u(k)
选取状态变量 y(k) ，y(k 1) ， … … ， y(k n 1)
系统状态方程
0 1 0 0 0
0
x1(k 1)
x2
(k
1)
于是闭环系统的传递矩阵为
GH (s) I G(s)H (s)1G(s)
或
GH (s) G(s)I H (s)G(s)1
1.3.5 传递函数（矩阵）描述和状态空间描述的比较 1）传递函数是系统在初始松弛的假定下输入-输出间的关系描述， 非初始松弛系统，不能应用这种描述；状态空间表达式即可以描述 初始松弛系统，也可以描述非初始松弛系统。
选择状态变量 x1(k) y(k) 0u(k) x2 (k) y(k 1) 0u(k 1) 1u(k) x1(k 1) 1u(k)
x3(k) y(k 2) 0u(k 2) 1u(k 1) 2u(k) x2 (k 1) 2u(k)
系统脉冲传递函数为
gyu(z) C[zI G]1h d
1.5 线性变换
我们知道，状态变量的选取是非唯一的。选择不同的状态变量， 则得到的状态空间表达式也不相同。
由于它们都是同一个系统的状态空间描述，它们之间必然存在 某种关系。这个关系就是矩阵中的线性变换关系。
1.5.1 等价系统方程
选取状态变量 x1(k) y(k)
x2 (k) y(k 1) x1(k 1) x3(k) y(k 2) x2 (k 1) x3(k 1) y(k 3) a2 x3(k) a1x2 (k) a0 x1(k) b0u(k)
写成矩阵形式
x1(k 1) 0 1 0 x1(k) 0
如果初始松弛，则
x(z) [sI G]1 Hu(z) Gxu (z)u(z) 其中，Gxu (z) [sI G]1 H 为系统状态对输入量的脉冲传递函数矩阵
y(z) Cx(z) Du(z) {C[zI G]1 H D}u(z) Gyu(z)u(z)
系统输出向量对输入向量的脉冲传递函数矩阵
0
xn
(k
1)