典型时间序列模型分析

实验1典型时间序列模型分析

1、实验目的

熟悉三种典型的时间序列模型：

AR 模型，MA 模型与ARMA 模型，学会运用Matlab 工具对

对上述三种模型进行统计特性分析，通过对2阶模型的仿真分析，探讨几种模型的适用范围， 并且通过实验分析理论分析与实验结果之间的差异。

2、实验原理

AR 模型分析：

设有AR(2)模型,

X( n)=-0.3X( n-1)-0.5X( n-2)+W( n)

其中：W(n)是零均值正态白噪声，方差为

4。

(1 )用MATLAB 模拟产生X(n)的500观测点的样本函数，并绘出波形 (2) 用产生的500个观测点估计X(n)的均值和方差 (3) 画出理论的功率谱

(4) 估计X(n)的相关函数和功率谱

【分析】给定二阶的 AR 过程，可以用递推公式得出最终的输出序列。或者按照一个白噪声 通过线性系统的方式得到，这个系统的传递函数为：

这是一个全极点的滤波器，具有无限长的冲激响应。 对于功率谱，可以这样得到，

可以看出，

FX w

完全由两个极点位置决定。

对于AR 模型的自相关函数，有下面的公式:

\(0)

打⑴

匚⑴…

^(0)

■ 1'

G 2

W 0

JAP) 人9-1)…

凉0) _

这称为Yule-Walker 方程，当相关长度大于

p 时，由递推式求出:

r (r) +

-1) + -■ + (7r - JJ )= 0

这样，就可以求出理论的

AR 模型的自相关序列。

H(z)

二

1 1 0.3z ，

P x w +W

1 1 a 才 a 2z^

1. 产生样本函数，并画出波形

2. 题目中的AR过程相当于一个零均值正态白噪声通过线性系统后的输出，可以按照上面的方法进行描述。

clear all;

b=[1]; a=[1 0.3 0.5]; % 由描述的差分方程，得到系统传递函数

h=impz(b,a,20); % 得到系统的单位冲激函数，在20点处已经可以认为值是0

randn('state',0);

w=normrnd(0,2,1,500); % 产生题设的白噪声随机序列，标准差为 2

x=filter(b,a,w); % 通过线形系统，得到输出就是题目中要求的2阶AR过程

plot(x,'r');

ylabel('x(n)');

title(' 邹先雄——产生的AR随机序列');

grid on;

得到的输出序列波形为：

邹先雄——产生的AR随机序列

2. 估计均值和方差

可以首先计算出理论输出的均值和方差，得到m x =0

，对于方差可以先求出理论自相

关输出，然后取零点的值。

并且， 」，带入有

在最大值处输出的功率，也就是方差，为

a; =r (0) = 56

对实际数据进行估计，均值为 mean(x)=-0.0703，而方差为var(x)=5.2795， 合得比较好。

程序及运行结果图如下，其中

y_mean 表示均值，y_var 表示方差。

>> clear all;

b=Lll; a=[l 0.3 0.B]; %由摒迷的差分方程，僚到索猊倍谨硒数 l^i^z(b jaj 20); %得到系统的单f 立冲數函数，在20点雉已经可以认为值是0 r andnC st ate-J , 0).

2, 1,500); %产生题设的白囁声随机序別，标准差为2 x=filt e r(b jaj w); %通过线形紊统，课

到输出就是题目中要卡的2盼AR 过程 plot 甌，r ，); yl abel C K Cn));

生的AR 龍机序貝N ;

grid an;

yl _jn&an=ine3n (x) y2_var=var (x) yl_jnean =

-0.0703 y2_var = 5.2795

3.

画出理论的功率谱密度曲线

理论的功率谱为，

£92恥训丹冲)f "|H (严)「

用下面的语句产生：

delta=2*pi/1000; w_min=-pi; w_max=pi; Fs=1000;

w=w_min:delta:w_max; %

得到数字域上的频率取样点，范围是

[-pi,pi]

Gx=4*(abs(1丿(1+0.3*exp(-i*w)+0.5*exp(-2*i*w)))A2); % 计算出理论值

Gx=Gx/max(Gx); % 归一化处理

f=w*Fs/(2*pi); % 转化到模拟域上的频率

plot(f,Gx); title(' 邹先雄一一理论功率谱密度曲线

');

grid on;

得到的图形为：

两者合理论值吻

邹先雄一理论功率谱密度曲线

可以看出，这个系统是带通系统。

4•估计自相关函数和功率谱密度

用实际数据估计自相关函数和功率谱的方法前面已经讨论过，在这里仅给出最后的仿真图形。Mlag=20; % 定义最大自相关长度

Rx=xcorr(x,Mlag,'coeff');

m=-Mlag:Mlag;

stem(m,Rx,'r.');

title(' 邹先雄-------- 自相关函数’)；

最终的值为