指数函数图像讲义的平移
函数像的平移与伸缩
函数像的平移与伸缩函数的平移和伸缩是数学中常见的概念，它们描述了函数图像在平面上以及在坐标轴上的变化。
通过对函数进行平移和伸缩的操作，我们可以改变函数的位置和形状，从而得到不同的函数。
一、函数的平移函数的平移是指将函数图像沿着坐标轴的某个方向移动一定的距离。
具体来说，对于一般的函数y = f(x)来说，将x坐标加上一个常数h，y坐标加上一个常数k，就可以将函数图像平移至(x+h, y+k)的位置。
1. 向右平移：将函数图像整体向右移动，可以通过将x坐标加上一个正数来实现。
例如，对于y = f(x)来说，如果将x坐标加上h，那么新函数的表达式可以写为y = f(x-h)。
2. 向左平移：将函数图像整体向左移动，可以通过将x坐标加上一个负数来实现。
例如，对于y = f(x)来说，如果将x坐标加上-h，那么新函数的表达式可以写为y = f(x+h)。
3. 向上平移：将函数图像整体向上移动，可以通过将y坐标加上一个正数来实现。
例如，对于y = f(x)来说，如果将y坐标加上k，那么新函数的表达式可以写为y = f(x) + k。
4. 向下平移：将函数图像整体向下移动，可以通过将y坐标加上一个负数来实现。
例如，对于y = f(x)来说，如果将y坐标加上-k，那么新函数的表达式可以写为y = f(x) - k。
二、函数的伸缩函数的伸缩是指改变函数图像的形状和大小，通常通过对函数的自变量和因变量进行伸缩系数的操作来实现。
1. 水平伸缩：水平伸缩是指改变函数图像在x轴方向上的形状。
通过改变自变量x的伸缩系数a的值，可以实现水平伸缩。
如果0 < a < 1，表示将函数图像在x轴方向上收缩；如果a > 1，表示将函数图像在x轴方向上拉伸。
具体而言，对于y = f(x)来说，将x乘以a，新函数的表达式可以写为y = f(ax)。
2. 垂直伸缩：垂直伸缩是指改变函数图像在y轴方向上的形状。
通过改变因变量y的伸缩系数b的值，可以实现垂直伸缩。
函数图像的三种变换平移变换
函数图像的三种变换一 、平移变换函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种： 沿水平方向左右平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x a a =->，由于两函数的对应法则相同，x a -与x 取值范围一样，函数的值域一样。
以上三条决定了函数的形状相同，只是函数的图象在水平方向的相对位置不同，如何将函数()y f x =的图象水平移动才能得到函数()y f x =的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()y f x a =-上对应的点为11(,)x a y +，因此若将()y f x =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =->的图象。
同样，将()y f x =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =+>的图象。
沿竖直方向上下平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x b b =+>，由于函数()y f x =函数()(0)y b f x b -=>中函数y 与y b -的对应法则相同，定义域和值域一样，因此两函数形状相同，如何将函数()y f x =的图象上下移动得到函数()y b f x -=的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()(0)y b f x b -=>上对应的点为11(,)x y b +，因此若将()y f x =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b -=>的图象。
同样，将()y f x =沿竖直方向向下平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b +=>的图象。
据此，可以推断()y f x a b =±±(0,0)a b >>为水平方向移动a 个单位，“左加右减”，竖直方向移动b 个单位，“上加下减”。
高中数学函数的图像变形与平移技巧
高中数学函数的图像变形与平移技巧在高中数学中，函数的图像变形与平移是一个重要的内容，也是考试中常见的题型。
掌握了这些技巧，不仅可以更好地理解函数的性质，还能够解决一些实际问题。
本文将通过具体的例题，详细介绍函数图像的变形与平移技巧，帮助读者更好地掌握这一知识点。
一、函数图像的上下平移考虑函数y = f(x)，如果我们将函数图像上移h个单位，那么新的函数为y =f(x) + h。
同样地，如果我们将函数图像下移h个单位，那么新的函数为y = f(x) - h。
这里的h可以是任意实数。
举个例子，考虑函数y = x^2，我们将其上移2个单位，那么新的函数为y =x^2 + 2。
这时，原来的抛物线图像上移了2个单位，变成了一个更高的抛物线。
同样地，如果我们将函数y = x^2下移2个单位，那么新的函数为y = x^2 - 2。
这时，原来的抛物线图像下移了2个单位，变成了一个更低的抛物线。
通过这个例子，我们可以看到，函数图像的上下平移只需要在原来的函数上加上或减去一个常数。
这个常数表示平移的距离，正数表示上移，负数表示下移。
二、函数图像的左右平移考虑函数y = f(x)，如果我们将函数图像左移k个单位，那么新的函数为y =f(x + k)。
同样地，如果我们将函数图像右移k个单位，那么新的函数为y = f(x - k)。
这里的k可以是任意实数。
举个例子，考虑函数y = x^2，我们将其左移3个单位，那么新的函数为y = (x + 3)^2。
这时，原来的抛物线图像左移了3个单位，变成了一个更靠左的抛物线。
同样地，如果我们将函数y = x^2右移3个单位，那么新的函数为y = (x - 3)^2。
这时，原来的抛物线图像右移了3个单位，变成了一个更靠右的抛物线。
通过这个例子，我们可以看到，函数图像的左右平移只需要在原来的函数的自变量上加上或减去一个常数。
这个常数表示平移的距离，正数表示左移，负数表示右移。
三、函数图像的纵向伸缩与压缩考虑函数y = f(x)，如果我们将函数图像纵向伸缩a倍，那么新的函数为y = a * f(x)。
函数图像的移动规律
函数图像的移动规律函数图像的移动是数学中一个基础而重要的概念，它描述了在坐标系中，函数图像在不同条件下的位置变化规律。
本文将从函数图像的平移、伸缩和翻转三个方面，探讨函数图像的移动规律，并介绍相应的数学表示和几何解释。
一、函数图像的平移函数图像的平移是指将函数图像在坐标系中沿着水平或垂直方向移动一定的距离。
具体来说，水平方向的平移会改变函数图像的横坐标，而垂直方向的平移则会改变函数图像的纵坐标。
1. 水平方向的平移若函数y=f(x)的图像经过水平方向平移a个单位，则平移后的函数为y=f(x-a)。
这意味着原先定义域为x的函数，经过平移后的函数定义域变为x-a。
平移后的函数图像在横坐标上所有点的横坐标都减去a，相当于整个图像向右平移了a个单位。
2. 垂直方向的平移若函数y=f(x)的图像经过垂直方向平移b个单位，则平移后的函数为y=f(x)+b。
这表示平移后的函数图像在纵坐标上所有点的纵坐标都增加了b，相当于整个图像向上平移了b个单位。
二、函数图像的伸缩函数图像的伸缩是指将函数图像在坐标系中沿着横轴或纵轴方向进行的比例变化。
具体而言，横轴方向的伸缩会改变函数图像的横坐标，在图像上产生水平方向的压缩或拉伸；纵轴方向的伸缩则会改变函数图像的纵坐标，在图像上产生垂直方向的压缩或拉伸。
1. 横轴方向的伸缩若函数y=f(x)的图像在横轴方向进行了横向压缩或拉伸的变化，则变化后的函数为y=f(kx)，其中k为一个正实数。
当02. 纵轴方向的伸缩若函数y=f(x)的图像在纵轴方向进行了纵向压缩或拉伸的变化，则变化后的函数为y=kf(x)，其中k为一个正实数。
当0三、函数图像的翻转函数图像的翻转是指将函数图像关于坐标系中某条直线进行对称变换。
具体来说，有关翻转的几种情况如下：1. 关于x轴的翻转若函数y=f(x)的图像关于x轴进行了翻转，则变化后的函数为y=-f(x)。
这意味着翻转后的函数图像在纵坐标上的值取相反数，相当于整个图像关于x轴对称。
函数解析式平移规律
函数解析式平移规律函数的解析式平移规律是数学中的一个重要概念，它描述了函数图像在坐标平面上的平移过程。
平移是指将函数的图像沿着横轴和纵轴分别向左或向右、向上或向下移动一定的距离。
这个规律在实际问题的建模和解决中起着重要的作用。
在平移规律中，首先需要明确一个概念，即平移的方向。
当我们平移函数图像时，横轴的平移方向是左右，纵轴的平移方向是上下。
根据平移的方向，我们可以判断函数图像向左移动、向右移动、向上移动还是向下移动。
平移的距离是平移规律的另一个重要要素。
平移的距离可以是一个具体的数值，也可以是一个变量。
当我们平移函数图像时，平移的距离可以是水平方向的偏移量、垂直方向的偏移量，或者两个方向的组合。
平移的距离可以是正数，表示向右或向上移动；也可以是负数，表示向左或向下移动。
在实际问题中，我们经常会遇到需要应用平移规律进行建模和解决的情况。
例如，物体的运动轨迹可以用函数来描述，当物体平移时，函数图像也会相应地发生平移。
平移规律可以帮助我们描述物体的位置和运动状态，从而更好地理解和预测物体的运动轨迹。
平移规律还可以应用于图形的绘制和设计领域。
例如，当我们在计算机上设计一个游戏关卡的地图时，可以使用平移规律来控制地图元素的位置，以达到想要的效果。
平移规律还可以用于绘画中，通过平移函数图像可以创造出各种有趣的图案和效果。
要使用平移规律进行函数图像的平移，首先需要确定平移的方向和距离。
然后，可以根据平移规律的公式进行计算和操作。
对于一般的函数解析式，横轴的平移规律可以表示为f(x-a)，纵轴的平移规律可以表示为f(x)+b。
其中，a代表横轴的平移距离，b代表纵轴的平移距离。
通过使用平移规律，我们可以更加灵活地处理和分析函数图像，更好地理解函数的性质和行为。
平移规律的应用范围十分广泛，不仅在数学中有着重要意义，还在科学、工程、艺术等领域中发挥着重要的作用。
总之，函数的解析式平移规律是数学中的一个重要概念，它描述了函数图像在坐标平面上的平移过程。
函数图像的平移与反射
函数图像的平移与反射函数图像的平移与反射是数学中一个重要的概念。
在平面直角坐标系中，函数图像的平移是指将函数图像上的点整体沿着横轴或纵轴方向移动一定的距离，而图像的形状不发生改变。
反射则是指对图像进行镜像翻转，使得图像关于某条直线对称。
一、函数图像的平移平移是指将函数图像上的每个点按照一定的规律整体移动，从而改变函数图像在平面坐标系中的位置。
平移可以沿着横轴方向或纵轴方向进行。
1. 沿横轴平移当我们将函数图像沿横轴方向平移时，可以通过改变函数中的自变量来实现。
设原函数为f(x)，平移后的函数为g(x)，平移的距离为a （正数表示向右平移，负数表示向左平移），则有如下公式：g(x) = f(x - a)其中，函数g(x)的横坐标值比原函数f(x)的横坐标值小a个单位。
通过这个公式，我们可以将函数图像沿横轴平移。
2. 沿纵轴平移同理，当我们将函数图像沿纵轴方向平移时，可以通过改变函数中的因变量来实现。
设原函数为f(x)，平移后的函数为g(x)，平移的距离为b（正数表示向上平移，负数表示向下平移），则有如下公式：g(x) = f(x) + b其中，函数g(x)的纵坐标值比原函数f(x)的纵坐标值大b个单位。
通过这个公式，我们可以将函数图像沿纵轴平移。
二、函数图像的反射函数图像的反射是指将函数图像进行镜像翻转，使得图像关于某条直线对称。
反射可以分为关于x轴反射和关于y轴反射两种情况。
1. 关于x轴反射将函数图像关于x轴进行反射时，可以通过改变函数中的因变量的符号来实现。
设原函数为f(x)，反射后的函数为g(x)，则有如下公式：g(x) = -f(x)通过这个公式，我们可以将函数图像关于x轴进行反射。
2. 关于y轴反射将函数图像关于y轴进行反射时，可以通过改变函数中的自变量的符号来实现。
设原函数为f(x)，反射后的函数为g(x)，则有如下公式：g(x) = f(-x)通过这个公式，我们可以将函数图像关于y轴进行反射。
关于函数平移的知识点与图
关于函数平移的知识点与图函数平移是数学中一个重要的概念，它能够帮助我们理解和解决各种数学问题。
本文将从基本概念开始，逐步介绍函数平移的知识点，并通过图示进行解释。
1. 什么是函数平移？函数平移是指将函数图像在平面上沿着横轴或纵轴方向移动一定的单位长度。
平移可以改变函数图像在坐标系中的位置，但不改变其形状、斜率和曲率。
2. 横向平移横向平移是指函数图像沿着横轴方向移动。
设原函数为f(x)，平移后的函数为g(x)，平移的单位长度为a。
横向平移后的函数可以表示为：g(x) = f(x - a)其中，f(x - a)表示将原函数f(x)中的每个点横坐标减去a后得到的新函数。
2.1. 向左平移当平移单位长度为正数a时，函数图像将向左平移。
例如，考虑函数f(x) =x^2，如果我们将其向左平移2个单位长度，新函数可以表示为：g(x) = (x - 2)^2这意味着函数图像中的每个点的横坐标都减去2。
2.2. 向右平移当平移单位长度为负数-a时，函数图像将向右平移。
例如，考虑函数f(x) =x^2，如果我们将其向右平移3个单位长度，新函数可以表示为：g(x) = (x + 3)^2这意味着函数图像中的每个点的横坐标都加上3。
3. 纵向平移纵向平移是指函数图像沿着纵轴方向移动。
设原函数为f(x)，平移后的函数为g(x)，平移的单位长度为b。
纵向平移后的函数可以表示为：g(x) = f(x) + b其中，f(x) + b表示将原函数f(x)中的每个点纵坐标加上b后得到的新函数。
3.1. 向上平移当平移单位长度为正数b时，函数图像将向上平移。
例如，考虑函数f(x) =x^2，如果我们将其向上平移4个单位长度，新函数可以表示为：g(x) = x^2 + 4这意味着函数图像中的每个点的纵坐标都加上4。
3.2. 向下平移当平移单位长度为负数-b时，函数图像将向下平移。
例如，考虑函数f(x) =x^2，如果我们将其向下平移5个单位长度，新函数可以表示为：g(x) = x^2 - 5这意味着函数图像中的每个点的纵坐标都减去5。
计算指数函数的平移和缩放
计算指数函数的平移和缩放指数函数是数学中的重要函数之一，它具有形如f(x) = a⋅bˣ的表达式，其中a和b都是常数，b被称为底数。
在研究指数函数时，我们常常需要考虑平移和缩放对其图像的影响。
一、指数函数的平移平移是指将函数图像上下或左右移动的操作，它可以通过改变指数函数中的常数项来实现。
设原始的指数函数为f(x) = a⋅bˣ，若我们将其上下平移h个单位，则得到新的指数函数f(x) = a⋅bˣ + h。
当h为正值时，函数图像将向上平移，而当h为负值时，函数图像将向下平移。
平移的距离是|h|，也就是h的绝对值。
举例来说，考虑指数函数f(x) = 2ˣ。
如果我们将其上移2个单位，则得到新的指数函数f(x) = 2ˣ + 2。
相比于原来的函数，新函数的图像将整体上移2个单位。
二、指数函数的缩放缩放是指将函数图像进行拉伸或压缩的操作，它可以通过改变指数函数中的底数来实现。
设原始的指数函数为f(x) = a⋅bˣ，若我们将其按横轴方向缩放k倍（k>0），则得到新的指数函数f(x) = a⋅(b/k)ˣ。
当k大于1时，函数图像将被水平拉伸，而当0<k<1时，函数图像将被水平压缩。
缩放倍数是k的倒数，也就是1/k。
举例来说，考虑指数函数f(x) = 2ˣ。
如果我们将其在横轴方向压缩为原来的一半，则得到新的指数函数f(x) = 2ˣ/2 = 2ˣ/4。
相比于原来的函数，新函数的图像将在横轴方向缩短一半。
三、平移和缩放的综合应用在实际问题中，我们常常需要同时考虑指数函数的平移和缩放。
此时，我们可以先进行缩放操作，再进行平移操作。
设原始的指数函数为f(x) = a⋅bˣ，若我们将其按横轴方向缩放k倍，并将结果向左平移h个单位，则得到新的指数函数f(x) = a⋅(b/k)ˣ + h。
这里的缩放倍数是k，平移距离是|h|，分别决定了函数图像的水平压缩程度和水平平移距离。
举例来说，考虑指数函数f(x) = 2ˣ。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
指数函数图像的平移
指数函数的定义：
形如 yax(a0且 a1)
叫做指数函数，其中x是自变量，函数 定义域是R。
yax(a0且 a1)的图象和性质：
a>1
0<a<1
图
6
6
5
象
5
4
4
3 3
2
11
2
11
-4
-2
0
-1
2
4
6
-4
-2
0
-1
2
4
6
性 1.定义域： (,)
质 2.值域：
(0,)
1 3.过点 (0,1) ，即x= 0 时，y=
所以，所求函数值域为{y|y>1}
练习：⑴比较大小：
2
4
(2.5) 3 , (2.5) 5
2
2
解：因为 ( 2.5 )33( 2.5 )232.522.53
4
4
( 2.5 )55( 2.5 )452.542.55
利用函数单调性
2
4
2.53 2.55
f x = 2.5
3.2
3
2.8
2.6
2.4
2.2
感谢聆听！
小结：对同底数幂大小的比较用的 是指数函数的单调性，必须要明确所给 的两个值是哪个指数函数的两个函数值； 对不同底数是幂的大小的比较可以与中 间值进行比较.
比较函数y=2x1 、y= 2x2与y= 2 x 的关系：
9
88 77 66
55 44 33 22
11
-6
-4 -3 -2-2 -1 0 1 22 3 4
4.在 R上是 增 函数
在R上是 减 函数
例1求下列函数的定义域、值域：
1
⑴ y 0.4 x1 ⑵ y 3 5x1
⑶ y 2x 1
分析：此题要利用指数函数的定义域、值域， 并结合指数函数的图象。注意指数函数的定义 域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值 范围。
1
y 0.4 x1
解：（1）由x-1≠0得x≠1所以，所求 函数定义域为{x|x≠1}
2
1.8
x
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-2
-1.5
-1
-0.5
-0.2
-0.4
0.5
1
1.5
2
2.5
练习：⑵已知下列不等式，试比较m、n的大小：
(2)m (2)n
33
mn
1.1m1.1n
mn
⑶比较下列各数Βιβλιοθήκη 大小：1 0 , 0.42.5,
20.2
1 0.42.5 0
20.2
6
8
将指数函数 y= 2 x 的图象向左平行移动1个单
位长度，就得到函数y= 2 x1 的图象
2 将指数函数 y= x 的图象向左平行移动1个单位
长度，就得到函数y= 2x2 的图象
⑵ y 2x1 与 y 2x2
解：⑵列出函数数据表,作出图像
x -3
-2 -1 0 1
2
3
2 x 0.125 0.25 0.5 1
2
4
8
0.625 0.125 0.25 0.5 1
2
4
2 x1
0.3125 0.625 0.125 0.25 0.5 1
2
2 x2
对于有些复合函数的图象，则常用基 本函数图象+变换方法作出：即把我们熟 知的基本函数图象，通过平移、作其对称 图等方法，得到我们所要求作的复合函数 的图象，这种方法我们遇到的有以下几种 形式：
由 1 0 ，得 y≠1
x 1
所以，所求函数值域为{y|y>0且y≠1}
⑵ y 3 5x1
解：（2）由5x-1≥0得 x 1 5
所以，所求函数定义域为
x
|
x
1
5
由 5x10 得y≥1
所以，所求函数值域为{y|y≥1}
⑶ y 2x 1
解：（3） 所求函数定义域为R
由 2x 0 可得 2x 11