数理经济学03微分方程与差分方程

微分方程与差分方程简介本章简单地介绍微分方程、差分方程的一些基本概念和稳定性概念。

§2.1 微分方程的基本概念微分方程的定义及其阶在许多实际和理论问题中，需要寻找变量之间的函数关系。

一般来说，变量之间的函数关系很难直接求出，然而，根据以知条件，往往可以得到一个自变量、未知函数与它的导数之间的关系式。

因此，希望利用以知的函数与它的导数之间的关系式，去求出这个函数本身。

为此，给出下列描述性的定义：定义 含有未知函数和未知函数各阶导数的等式称为微分方程。

在该等式中，若未知函数及其导数是一元函数，就称该微分方程是常微分方程。

若未知函数是多元函数，且该等式中所含的导数是偏导数，则称该微分方程是偏微分方程。

本章仅介绍常微分方程。

在下面，“微分方程”一词，均是指常微分方程。

微分方程的一般形式是其中，x 是自变量，y 是x 的函数，)( , , n y y 是y 对x 的各阶导数。

微分方程的解、通解、特解和初始条件若函数（可以是显函数，也可以是隐函数）)(x y y 满足该微分方程，即将)(x y y ，)(x y y ， , )()()(x y y n n 代入到微分方程0) , , , , ()( n y y y x F ，能使等式成为恒等式，则称这个函数)(x y y 是这个微分方程的解。

例 假设曲线在点x 处的切线斜率是x 2。

求满足这一条件的所有曲线。

解：根据导数的几何意义，有这是一个一阶微分方程。

两边同时积分，有所以，该微分方程的解是由于一个函数对应平面上的一条曲线，故也常常称微分方程0) , , , , ()( n y y y x F 的解)(x y y 是该微分方程的积分曲线。

上例的积分曲线如图 2.1所示。

从图中可以看到，该微分方程有无穷多条积分曲线，并且，所有的积分曲线都可以通过其中的某一条积分曲线沿纵轴平行移动而得到。

一般来说，若一个微分方程有解，则它有无穷多个解，且这些解的图象互相平行。

从上例可以看出微分方程有无穷多个解的原因。

从本质上讲，求一个微分方程的解，就是要设法进行积分；n 阶微分方程就要进行n 次积分（当然，根据微分方程的不同形式，在进行具体求解时，可能不需要直接作积分运算）。

积分一次就会出现一个常数。

因此，n 阶微分方程的一般解应含有n 个任意常数，故而微分方程有无穷多解。

为此，我们给出下列定义：定义 若一个n 阶微分方程的解含有n 个独立的任意常数，就称这个解是该微分方程的通解。

这样，n 阶微分方程通解的一般形式是在这里，以例子的方式，直观地解释“独立的”一词的含义。

例如，函数x c c y 21 含有两个独立的任意常数。

在函数x c x c y 21 中，虽然形式上有两个常数，然而，该函数可以合并为cx x c c y )(21。

因此，该函数只含有一个独立的任意常数。

又如，0 c by ax 等价于b c x b a y ，所以，该隐函数仅含有两个独立任意常数。

类似的，函数x x c c x Be e Ae Ae y 也只含有一个独立的任意常数。

一般来说，不能通过合并同类项、变量代换等变换将其合并的常数才是独立的。

在微分方程的通解中，若指定其中的任意常数为一组固定的数值，则所得到的解称为该微分方程的一个特解。

例如，2x y 就是在上例中，令0 c 的特解。

在许多问题中，通常需要去求微分方程的一个满足某种条件的特解。

对于不同的条件，求对应特解的方法不同，一般方法是首先求出微分方程的通解，再根据所给的条件，去设法确定通解中的常数的适当值。

对于一个n 阶微分方程，求其某个特解的最常见的条件是给出在0x x 处，未知函数在该点的函数值以及直到1 n 阶的导数值。

这种条件称为微分方程的初始条件，记为其中，)1(000 , , , n y y y 是已知常数。

给定初始条件，求对应特解的问题称为微分方程的初值问题。

求解初值问题的常见方法是：1) 求出微分方程的通解；2) 求出通解的直到1 n 阶的导数；3) 代入初始条件，得到含有n 个常数n c c c , , ,21 的n 个方程；解这组方程，得到n c c c , , ,21 的一组指定值；4) 代入通解，得到满足初始条件的特解。

§2.2 几类常见微分方程的解法可分离变量的微分方程下列形式的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程也就是说，若一阶微分方程可以按dy dx , 合并为两项，两个微分的系数都可以分解为两个因子的乘积，并且，每个因子要么只包含变量x ，要么只包含变量y ，则这种微分方程就是可分离变量的微分方程。

在该微分方程的两边同时除以)()(22y q x p ，可将它转化为下列形式：这种形式的微分方程称为变量已分离的微分方程。

其特点是变量x 的微分dx 的系数只与x 有关，变量y 的微分dy 的系数只与y 有关。

这类微分方程可以通过直接积分得到其通解。

事实上，在变量已分离的微分方程的两边同时积分，有不难验证，由这个方程确定的隐函数是原微分方程的通解。

例： 求微分方程)1(y Ay dxdy 的通解。

解：该微分方程可以变形为所以，原微分方程是一个可分离变量的微分方程。

两边同时积分，得其中，0ce c 。

于是，该微分方程的通解为一阶线性微分方程下列形式的微分方程称为一阶非齐次线性微分方程：称微分方程为对应的齐次线性微分方程。

下面分两步求出一阶非齐次线性微分方程的通解公式。

1) 求对应齐次线性微分方程的通解；2) 在对应齐次线性微分方程的通解的基础上，用所谓的“常数变易法求出非齐次微分方程的通解。

齐次线性微分方程是可分离变量微分方程。

分离变量，有两边同时积分，所以，齐次线性微分方程的通解为“常数变易法”是通过对应齐次方程的通解，求非齐次方程解的一种常用方法。

它不仅用于一阶线性微分方程的求解，还可以用于高阶线性微分方程的求解。

其方法是假设非齐次微分方程的通解也具有上述的形式，只是视其中的常数c 是自变量x 的函数。

即假设 是一阶非齐次线性微分方程的通解。

然后将其代入原微分方程，确定函数)(x u ，从而求出它的通解。

根据假设，有代入方程，得整理得于是，这样，原微分方程的通解公式为由此可以看出，一阶线性非齐次微分方程的通解由两项组成。

一项是 dx x p ce )(，它是对应齐次微分方程的通解；另一项是dx e x q e dx x p dx x p )()()(。

不难验证，它是非齐次线性微分方程的一个特解。

在解一阶非齐次线性微分方程时，可以直接套用公式（，也可以利用公式的推导过程来求解。

例： 求微分方程 y y x y 2)6(2的通解。

解：显然，该微分方程不是关于y 的线性微分方程。

然而，若将x 看成因变量，y 看成自变量。

则该微分方程变形为整理后得到这是一个关于x 的线性微分方程。

运用公式（ y y p 3)( ， 2)(y y q 3ln 3)(y e e y dy y p ， 3ln 3)( y e e y dy y p代入公式通解，有所以，该微分方程的通解为§2.3 二阶常系数线性微分方程下列形式的微分方程称为二阶常系数线性非齐次微分方程：而称微分方程为二阶常系数齐次线性微分方程。

下面首先介绍齐次方程解的性质，然后再借助这些性质去构造它的通解的结构。

然后利用齐次方程的通解去构造非齐次方程的解。

容易证明，定理 设)( , )(21x u x u 是二阶常系数齐次微分方程的解，1k ，2k 是任意常数。

则)()(2211x u k x u k 也是它的解；该定理常常表述为常系数齐次线性微分方程解的线性组合仍然是它的解。

根据该定理及微分方程通解的定义，容易得到定理 设)(1x u ，)(2x u 是常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的特解，则它们的线性组合)()(2211x u c x u c 它的通解。

其中，21 ,c c 是任意常数。

本定理常称为常系数齐次线性微分方程解的结构定理。

因此，求常系数线性齐次微分方程的通解的关键是求它的两个线性无关的特解。

通过观察，不难看出这种微分方程解应具有的函数类型。

事实上，从常系数齐次线性微分方程左边的表达式可知，若函数)(x f 是该微分方程的解，则)(x f 与它的一、二阶导数的某个线性组合应等于零。

因此，)(x f 与它的一、二阶导数应该是同类型的函数。

由导数基本公式可知，指数型函数rxe 具有这种性质。

因此，可以按下列方法寻找它的特解：假设它具有指数型函数rx e 的解，代回原微分方程，用待定系数法确定r 的值。

确定了r 的值，就求出了原方程的特解。

设rx e y 是常系数齐次线性微分方程的解。

将其代入，有注意，对任意的R x ，0 rx e 。

所以，欲使rxe y 是方程的解，则r 必须是一元二次方程的根。

由于上述步骤步步可逆。

因此，我们得到了定理 rx e y 是常系数齐次线性微分方程的解的必要充分条件是r 是一元二次方程 的根。

为此，引入下列定义:定义 称上述代数方程是常系数齐次线性微分方程的特征方程，其根称为常系数齐次线性微分方程的特征根或特征值。

这样，求常系数线性微分方程的特解以转化为求它的特征方程的根。

由于一元二次方程的根可能会是有两个不等的实根、有两个相等的实重根、有一对互为共轭复根。

因此，常系数齐次线性微分方程的通解也有下列三种形式： 1) 有两个不等的实特征根：此时，xr x r e c e c 2121 是其通解；2) 有两个相等的实重特征：由于两个重特征根给出的对应指数函数是同一个函数。

因此，需要去再找一个与x r e y 1 线性无关的特解。

此时容易验证，xr xe y 1 也是它的的一个特解。

因此，该微分方程的通解是 )(2121111x c c e xe c e c x r x r x r ；3) 有两个共轭复特征根：设 i r i r 21 , 。

虽然x r e 1，xr e 2是它的解，且它们线性无关，但是，这两个函数中含有复数，而在高等数学中，一般都仅在实数范围内讨论。

因此，希望将这两个函数转化为仅含实数的函数。

为此，根据欧拉公式，令则21 ,y y 是常系数齐次线性微分方程的两个解的线性组合，由解的结构定理，它们也是原微分方程的特解。

显然，1y ，2y 线性无关。

所以当常系数齐次线性微分方程有一对共轭复特征根时，它的通解为总结上述讨论，得到下列定理：定理 设常系数齐次线性微分方程的特征根是21 , r r ；21 , c c 为任意常数。

1) 若R r r 21 , 且21r r ，则该方程的通解是 x r x r e c e c 2121 ；2) 若R r r 21 , 且021r r r ，则该方程的通解是x r e x c c 0)(21 ；3) 若 i r 1， i r 2，则该方程的通解是) sin cos (21x c x c e x 。