导数的概念(平均变化率)
的平均变化率为
y=f(x)
f (34) f (1)
341
34 x
34-1
y f(34)
f(x1) f(1) A
o1
y=f(x)
x1
C
[ 问 题 3] 在 区 间 [1,x1] 上 的 平 均 变 化率为
34 x f (x1) f (1) x1 1
y f(34)
[问题3] 在区间[x2，
C
34]上的平均变化
[问题1] 你能用 数学语言来解
释 BC 段 曲 线 的
陡峭程度吗？
2 A (1, 3.5)
0 2 10
20
30 34 t(d)
（1）仅考察 yc yB 的大小，能
T(oC) C(34,33.4)
33.4 化 曲 为 直
B(32,18.6) 18.6
A(1,3.5) 3.5
气温曲线
否精确量化BC段陡峭的程度？
x2 x1 y x
x
f (x2) f ( x1 )
0
y
x
x1
x2
x
建构数学理论
定义理解
(1)平均变化率的实质就是:两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连
线的斜率（. 以直代曲思想）
(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，
或者说曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．
（数形结合思想）
“数离形时难直观，形离数时难入微”——华罗 庚
率为
f(x2)
f(x1) A f(1)
y=f(x)
o1
x1
x2 34 x
你能否归纳出 “函数f(x)
在区间[x1,x2]上的平均变化 率”的一般性定义吗？
f (34) f (x2) 34 x2
建构数学理论
注意：不能脱 离区间而言
一般地，函数 f (x)在区间上 [x1, x2]的平均变化率为
f (x2) f (x1) y f(x1x)f(x1)
3
x
课后思考:为什么趋近于2呢？2的几何意义是什么？
数学应用
例3 已知函数f(x)=2x+1, g(x)=-2x ,分别计算 在区间[-3，-1]，[0，5]上 f(x)及g(x) 的平均 变化率. 思考:一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平均 变化率有什么特点？
小结回顾
这节课我的收获是什么？
T(oC) 33.4
18.6 A(1,3.5)
3.5
温差15.1℃ 温差14.8℃
C(34,33.4) B(32,18.6) 气温曲线
问题1 哪一段时间气 温变化得更“大”？
问题2 哪一段时间气 温变化得更“快”？
o1
32 34 t (d)
T (℃) 30 20
10
C (34, 33.4)
以3月18日作为第一 天，温度随时间变 化的图象如左图.
yC-yB （2）还必须考察什么量？
（3）曲线上BC之间的一
xC-xB
段几乎成了直线，由此联
o1
32 34 t (d) 想到如何量化直线的倾斜
程度？
y f(34)
A
f(1) o1
[问题２]如果将上述气
温曲线看成是函数y
f(34) - f(1)
C
=f(x)的图象,
则函数y
= f(x)在区间[1，34]上
（2）求第二个10s内容器甲中体积V 的平均变化率.
１.负值代表了什么? ２.哪个１０秒内变化快?
平均变化率的绝对值越
大,则变化越快.
甲
乙
题后反思
求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1)；
(2)计算平均变化率 y f (x1) f (x2) .
x
x1 x2
数学应用
例2 已知函数 f(x)=x2,分别计算f(x)在下列区
间上的平均变化率：
y
（1）[1，3]； 4
（2）[1，2]； 3
（3）[1，1.1]； 2.1
（4）[1，1.001]. 2.001
变题:（5）[0.9，1]； 1.9
（6）[0.99，1]；1.99 （7）[0.999，1]. 1.999
p
1
B (32, 18.6)
2 A (1, 3.5)
0 2 10
20
30 34 t(d)
问题1’图中哪一段图像更“陡峭”？
问题2’如何量化图像的“陡峭”程度？
时间
3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
T (℃) 30 20
10
C (34, 33.4) B (32, 18.6)
1.平均变化率的定义： y f (x1) f (x2)
x
x1 x2
2.平均变化率的意义:
大量生活中的实例 建立数学模型 数学应用
3.求平均变化率的步骤： 4.思想方法：
结语
谢谢大家！
导数的概念(平均变化率)
问题情境
某市2004年3月18日、4月18日、4
月20日的最高气温分别为3.5℃、18.6℃C) 33.4
C(34,33.4)
B(32,18.6) 18.6
A(1,3.5) 3.5
气温曲线
o1
32 34 t (d)
时间 3月18日 4月18日 4月20日 日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
[问题解决] 如图，请分别计算气温在区间[1，32] 和区间[32，34]上的平均变化率.
T(℃) 33.4
18.6 A(1,3.5)
3.5
o1
C(34,33.4) B(32,18.6) 气温曲线
气温在区间[1，32] 上 的平均变化率约为0.5；
气温在区间 [32，34]上 的平均变化率为7.4。
32 34 t (d)
思考: 平均变化率的“大小”与图 像的“陡峭”程度有什么关 系？
变式探究
y
向高为H的水瓶中注水，注满
为止，如果注水量y与水深x的
函数关系的图像如图所示，那
么水瓶的形状…………( B ) O
Hx
数学应用
例１ 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙,t 秒后 容器甲中水的体积V (t)=10×5-0.1t(单位:cm3） （1）求第一个10s内容器甲中体积V 的平均变化率.
导数的概念
一、导数的基本概念 1．平均变化率：函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx .2．导数的概念：(1)函数f (x )在x ＝x 0处的导数：①定义：称函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，用f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .②几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)函数f (x )的导函数：一般地，如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )： f ′(x )＝lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx，则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，通常也简称为导数． 二、基本初等函数的导数公式三、导数的运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 3.⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )](g (x )≠0)．1.曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析：选A 依题意得y ′＝1＋ln x ，x ＝e 时y ′＝1＋ln e ＝2，所以－1a×2＝－1，a ＝2.2．(教材习题改编)某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：选A 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)． 3. (2011·山东高考)曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9D ．15解析：y ′＝3x 2，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9. 变式：曲线y ＝x 3＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程． 解：因点P 不在曲线上，设切点的坐标为(x 0，y 0)， 由y ＝x 3＋11，得y ′＝3x2，∴k ＝3x 20.又∵k ＝y 0－13x 0－0，∴x 30＋11－13x 0＝3x 20. ∴x 30＝－1，即x 0＝－1.∴k ＝3，y 0＝10.∴所求切线方程为y －10＝3(x ＋1)，即3x －y ＋13＝0.注意：曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．巩固练习：已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P 的直线方程．解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0， 故所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. 又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－(－2)x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，又x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3，即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)， 解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3⎝⎛⎭⎫14－1＝－94. 所以y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.4.设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－12解析：∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝k ＝2. 又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4.5. (2013·乌鲁木齐诊断性测验)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1解析：设切点的坐标为⎝⎛⎭⎫a ，－12a ＋ln a ，依题意，对于曲线y ＝－12x ＋ln x ，有y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1a ＝12，得a ＝1.又切点⎝⎛⎭⎫1，－12 在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1. 6. (2012·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8.7. 设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N ＋)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2 013x 1＋log 2 013x 2＋…＋log 2 013x 2 012的值为________．解析：y ′＝(n ＋1)x n ，曲线y ＝x n＋1在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，所以x n ＝nn ＋1.log 2 013x 1＋log 2013x 2＋…＋log 2 013x 2 012＝log 2 01312×23×…×2 0112 012×2 0122 013＝－1. 8. (2012·商丘二模)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )A ．0B ．26C ．29D ．212解析：选D ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′＝(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′， ∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212.9．(2012·泰安模拟)若点P 是曲线f (x )＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：选B 设与y ＝x －2平行的一条直线与曲线y ＝f (x )相切于点P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2x 0－1x 0.由2x 0－1x 0＝1，得x 0＝1或x 0＝－12(舍)．∴P 点坐标(1,1)．∴P 到直线y ＝x －2距离为d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.10.(2012·广州模拟)已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为( )A.278 B ．－2 C ．2 D ．－278 解析：选A 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ， 切线的斜率为k ＝3t 2－a .①所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t )．②将点(1,0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数，得a ＝278.解析：设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564， 当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1.12. 已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，而α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4 D.⎣⎡⎭⎫3π4，π 解析：选D y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1.设t ＝e x ∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1.＝－4⎝⎛⎭⎫t ＋1t ＋2，∵t ＋1t ≥2. ∴y ′∈[－1,0)，α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π。
高考专题：导数的概念及运算
基础自测
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.( × )
(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同.( × )
(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × )
f′(x)＝______ cos x
f(x)＝cos x
f(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝－ ______ sin x
f′(x)＝______ ex
f(x)＝ln x
f(x)＝logax(a>0，a≠1)
axln a f′(x)＝______ 1 f′(x)＝______ x 1 f′(x)＝______ xln a
故由f′(x0)＝2 019，得2 019＋ln x0＝2 019，
则ln x0＝0，解得x0＝1.
解析
答案
2.若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝－2 . 解析 f′(x)＝4ax3＋2bx，
∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，
∴f′(－1)＝－2.
解析
答案
3.已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝ －4 .
2.
解析 所以
因为
π f(x)＝f′ sin 2
x＋cos x，
π f′(x)＝f′ cos 2
π π f′2＝f′2cos
x－sin x，
所以
即
π π 2－sin 2，
f(x)＝－sin x＋cos x，f′(x)＝－cos x－sin x.
导数的概念及运算
()
A．f′(x0)
B．．－f(x0)
解：liΔmx→0
fx0－Δx－fx0 Δx
＝－liΔmx→0
f[x0＋－Δx]－fx0 －Δx
＝－f′(x0)．
考点二·导数的运算
【例 2】求下列函数的导数：
(1)y＝exln x;
(2)y＝11－＋csoins
x－1 x2 .
点评：利用导数公式和运算法则求导数，是求导数的基本 方法(称为公式法)．用公式法求导数的关键是：认清函数式的结 构特点，准确运用常用的导数公式．
点评：利用定义求导数的基本步骤：
①求函数的增量：Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；
②求平均变化率：ΔΔyx＝fx＋ΔΔxx－fx；
fx＋Δx－fx
③取极限得导数：f′(x)＝liΔmx→0
Δx
.
【变式探究】
1．设函数 f(x)在 x0 处可导，则 liΔmx→0 fx0－ΔΔxx－fx0等于
答案：2x－y＋1＝0
5．(1)(2016·天津卷)已知函数 f(x)＝(2x＋1)ex,f′(x)为 f(x)
的导函数,则 f′(0)的值为
.；
(2)y＝x＋x 1，则 y′x＝2＝________.
解：(1)因为 f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex,
所以 f′(0)＝3e0＝3.
(2)导数的运算法则 ①和差的导数 [f(x)±g(x)]′＝_________________. ②积的导数 [f(x)·g(x)]′＝________________________； ③商的导数 [gfxx]′＝_________________________ (g(x)≠0)．
1．若 f(x)＝2x2 图象上一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋
导数的概念、意义及运算
混.
(3)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复
合过程,然后求导.
对点训练1求下列函数的导数.
(1)y=x2sin x;
(2)y=ln
1
x+ ;
cos
(3)y= e ;
(4)y=ln(2x-5).
1
由题意得, +1=2,解得 x0=1,故 y0=ln
0
y=2x.
1
y'= +1.
1+1+1=2,切线方程为 y-2=2(x-1),即
解题心得求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切
线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).求过某点的
3.函数f(x)的导函数
从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f'(x0)是一个唯一
确定的数.这样,当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数
(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即
(+Δ)-()
f'(x)=y'= lim
【例4】 若曲线f(x)=xln x+2m上点P处的切线方程为x-y=0.
(1)求实数m的值;
(2)若过点Q(1,t)存在两条直线与曲线y=f(x)相切,求实数t的取值范围.
解 (1)设点P坐标为(n,n).f(x)=xln x+2m的导数为f'(x)=1+ln x,点P(n,n)处的
1
导数几何含义
o x0 X0+△xx
2.导数的概念 函数 y f (x) 在 x x0 处的导数可以表示为
lim lim f (x0)'＝ x0
y x
x0
f (x0 x) f (x0 ) x
类比平均变化率的几何意义， f ( x0 ) 的几何意义又是什么呢？
从代数的角度： 当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，
y=f(x)
kPQ
y ＝ x
f
( x0
x) x
f
(x0 )
y
Q(x1,y1)
即：当△x→0时，割线
△y
PQ的斜率的极限，就是曲线
P(x0,y0)
△x
M
在点P处的切线的斜率，
o
x
lim lim 所以：k切线＝ x0
y x
x0
f (x0 x) f (x0 )
x
f x0
归纳小结
导数的几何意义
2、切线的斜率：
lim lim k切线＝f (x0)
y x0 x
x0
f (x0 x) f (x0 ) x
3、求切线方程的步骤：
(1)求切线斜率 k f (x0 ) (2)切线方程为：y y0 f (x0 )(x x0 )
4.求曲线的切线方程时,要注意区分“过”一点与 “在”某点求切线问题
讲授新课
问题探究
观 察 如图
3 .1 2 ,当点
Pn xn , f xn n 1, 2,3, 4
沿着曲线
f x趋近于点 Px0, f x0
时, 割线PPn的 变 化 趋势是
什么?
y
y fx
P1
T
P
O
x
导数的概念,计算,几何意义
导数的概念，计算，几何意义（一）知识点 1.平均变化率：函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为 ，若21x x x ∆=-21y y y ∆=-则，平均变化率可表示为 。
2．导数的概念：函数()y f x =的导数'()f x ，就是当0x ∆→时，函数的增量y ∆与自变量的增量x ∆的比yx∆∆（平均变化率） 的 ， 即'()f x ＝ ＝ ． 3．导函数：函数()y f x =在区间(,)a b 内 的导数都存在，就说()f x 在区间(,)a b 内 .其导数也是(,)a b 内的函数，叫做()f x 的 ，记作'()f x 或'x y ， 函数()f x 的导函数'()f x 在0x x =时的导函数值 ，就是)(x f 在0x 处的导数.4．导数的几何意义：设函数()y f x =在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的 。
相应的切线方程为 （点斜式） 。
5．求导数的方法： (1) 八个基本求导公式()c 为常数'c ＝ ； ()'n x ＝ ； (sin )'x ＝ ， (cos )'x ＝ ()'x a ＝ ， ()'x e ＝(log )'a x ＝ ， (ln )'x ＝(2) 导数的四则运算(()())f x g x '±＝ [()]Cf x '＝ (()())f x g x '＝ ， ()()()f xg x '＝ 推论：()c 为常数[()]'cf x = ；21'()[]'()()f x f x f x =-； ()''''fgh f gh fgh fgh =++(3) 复合函数的导数设()u x θ=在点x 处可导，()y f u =在点()u x θ=处可导，则复合函数[()]f x θ在点x 处可导， 且'()f x ＝ ，即'''x u x y y u =. 典型例题：例1．（变化率）求函数y=12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.解 ∵Δy=11)(11)(11)(2202020220+++∆+--+∆+=+-+∆+x x x x x x x x x.11)(2,11)()(220200202020+++∆+∆+=∆∆∴+++∆+∆+∆=x x x xx x y x x x x x x变式训练1.1.设函数()f x 在0x 处可导，则000()()limx f x x f x x∆→-∆-=∆（ ）A ．0'()f x B.0'()f x - C.0()f x D.0()f x -2.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈，则000()()limh f x h f x h h→+--=A.0'()f xB. 02'()f xC. 02'()f x -D.0例2. 求下列各函数的导数： （1）;sin 5x xx x y ++=（2）);3)(2)(1(+++=x x x y（3）;4cos 212sin 2⎪⎭⎫⎝⎛--=x x y （4）.1111xxy ++-=解 (1)∵,sin sin 23232521x x x xx x x x y ++=++=-∴y′.cos sin 2323)sin()()(232252323x x x x x x x x x x-----+-+-='+'+'=（2）y=（x 2+3x+2）（x+3）=x 3+6x 2+11x+6，∴y′=3x 2+12x+11.（3）∵y=,sin 212cos 2sin x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴.cos 21)(sin 21sin 21x x x y ='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='（4）xx x xx x x y -=+--++=++-=12)1)(1(111111， ∴.)1(2)1()1(21222x x x x y -=-'--='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=' 变式训练2：（1）求y=tanx 的导数.解 y′.cos 1cos sin cos cos )(cos sin cos )(sin cos sin 22222x x xx x x x x x x x =+='-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛=（2）求下列各函数的导数：①2(1)(231)y x x x =++- ②y ③()(cos sin )x f x e x x =⋅+利用导数求切线方程 例3：如果曲线103-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，求切点坐标与切线方程． 分析：本题重在理解导数的几何意义：曲线()y f x =在给定点00(,())P x f x 处的切线的斜率0()k f x '=，用导数的几何意义求曲线的斜率就很简单了。
导数平均变化率课件
导数可以用来描述波动的过程，例如在波动方程中，位移 u与时间t的导数描述了波的传播。
平均变化率在统计学中的应用
平均变化率的定义
平均变化率是函数在某段时间内变化的平均值，可以用导数来计算。
平均变化率的应用
平均变化率可以用于统计学中的回归分析、时间序列分析和方差分析等。例如 在回归分析中，平均变化率可以帮助我们了解自变量和因变量之间的关系。
定义
平均变化率是函数在某区间上 的增量与区间的比值。
计算公式
平均变化率 = (f(b) - f(a)) / (b - a)。
意义
平均变化率描述函数在某区间 上的变化趋势。
局限性
平均变化率只能描述函数在一 个区间的整体变化趋势，不能 描述函数在某一点的局部变化
。
导数与平均变化率综合应用示例
例1
一个工厂生产某种产品，其总成 本函数为C(x) = 20 + 3x + 4x^2 ，求生产100个产品的平均成本 。
生产量、在成本函数中求得最低成本等。
预测模型
03
导数可以用于预测模型，例如时间序列分析中的ARIMA模型，
通过对数据的导数分析来预测未来的变化趋势。
导数在物理学中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和加速度，例如在牛顿第二 定律F=ma中，加速度a就是速度v的导数。
热传导
导数可以用来描述热传导的过程，例如在热传导方程中， 热流密度q与温度T的导数有关。
导数与平均变化率的关系
导数是平均变化率的极限
当函数在某一点的变化时间趋于0时，导数就是该点在单位时间内 的平均变化率。
导数与平均变化率的联系
导数和平均变化率都是描述函数变化的量度，它们之间存在密切的 联系。
导数的概念及其运算
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1 解 (1)y′＝(e · ln x)′＝e ln x＋e · x 1 x ＝e (ln x＋x)． 1 2 (2)∵y＝x3＋1＋ 2，∴y′＝3x2－ 3. x x
x x x
(3)先使用三角公式进行化简，得 x x 1 y＝x－sin cos ＝x－ sin x， 2 2 2 1 1 1 ∴y′＝ x－2sin x ′＝x′－ (sin x)′＝1－ cos x. 2 2 1 1 1 1 (4)先化简，y＝ x· － x＋ －1＝－x 2 ＋x－ ， 2 x x 1 1 1 3 1 1 1＋ . ∴y′＝－ x 2－ x 2 ＝－ 2 2 2 x x
＝－ ＝ . 2 3－x 2x－6
2
1
1 2
3－x
2 1 2
π (3)设 y＝u ，u＝sin v，v＝2x＋ ， 3 则 y′x＝y′u· u′v· v′x＝2u· cos v· 2 π π 2π ＝4sin2x＋3 · cos2x＋3 ＝2sin4x＋ 3 .
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求下列函数的导数： (1)y＝(1＋sin x)2；(2)y＝ln x2＋1； 1 1－cos x (3)y＝xe ；(4)y＝ ； (1－3x)4 (5)y＝x 1＋x2.
解 (1)y′＝2(1＋sin x)· cos x.
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(2)y′＝(ln x2＋1)′ 1 ＝ 2 · ( x2＋1)′ x ＋1 1 1 1 2 x 2 ＝ 2 · (x ＋1) · (x2＋1)′＝ 2 . x ＋1 x ＋1 2
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(1)
y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝3x2＋12x＋11.
x x 1 (2)∵y＝－sin －cos 2＝ sin x， 2 2 1 ∴y′＝ cos x. 2
导数的概念
三 导数的应用 （一）利用导数判断函数单调性及求解单调区间。
1.导数和函数单调性的关系： (1)若 f ¢ (x)>0 在(a，b)上恒成立，则 f(x)在(a，b)上是增函数， f ¢ (x)>0 的解集与定义域的 交集的对应区间为增区间； (2)若 f ¢ (x)<0 在(a，b)上恒成立，则 f(x)在(a，b)上是减函数， f ¢ (x)<0 的解集与定义域 的交集的对应区间为减区间。 2.利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
f (x0 ) )处的切线方程为 y -
f (x0 ) =
f
(x )(x - x ) / 0
0
新疆 王新敞
奎屯
2.导数的物理意义： 导数是物体变速直线运动的瞬时速度，也叫做瞬时变化率。
（三）概念部分题型：
1.利用定义求函数 y = f (x) 的导数
主要有三个步骤：
(1)求函数的改变量 Dy
=
f (x + Dx) -
x= x0
，即
f
/
(x0 )
=
lim
Dx®0
f (x0
+ Dx) Dx
f (x0 )
2 导函数的定义：如果函数 y = f (x) 在开区间 (a, b) 内的每点处都有导数，此时对于每
一个 x Î (a,b) ，都对应着一个确定的导数 f / (x) ，从而构成了一个新的函数 f / (x) , 称这
（二）导数的四则运算
1．和差： (u±v)¢ =u¢±v¢
2．积： (uv)¢ = u¢v + uv¢
3．商：
(u )¢ v
=
导数的概念 导数的概念
求导数公式
三、求导公式 1、基本初等函数的导数公式： (1) f(x)=c，则 f’(x)= 0 ； (2) f(x)=xn (n∈N*)，则 f’(x)= nxn-1 ； (3) f(x)=sinx，则 f’(x)= cosx ； (4) f(x)=cosx，则 f’(x)= -sinx ； (5) f(x)=ax，则 f’(x)= axlna ； (6) f(x)=ex，则 f’(x)= ex ； 1 (7) f(x)=logax，则 f’(x)= xlna ； 1 (8) f(x)=lnx，则 f’(x)= x . 2、导数运算法则： (1)[f(x)±g(x)]’= f’(x)±g’(x) ; (2)[f(x)·g(x)]’= f’(x)g(x)+f(x)g’(x)
求导数公式
三、求导公式 1、(c)’=0；(xn)’=nxn-1；(sinx)’=cosx；(cosx)’=-sinx； 1 x)’=axlna；(ex)’=ex；(log x)’= 1 (a ；(lnx)’= . a x xlna u u' v u v' . 2、(u±v)’=u’±v’; (2)(u·v)’=u’v+uv’; (3) ( )' 2
cos x lnxco sx
)' (e
求导数公式
三、求导公式 1、(c)’=0；(xn)’=nxn-1；(sinx)’=cosx；(cosx)’=-sinx； 1 x)’=axlna；(ex)’=ex；(log x)’= 1 (a ；(lnx)’= . a x xlna u u' v u v' . 2、(u±v)’=u’±v’; (2)(u·v)’=u’v+uv’; (3) ( )' 2