数学史-四色问题
四色问题又称四色猜想,是世界近代三大数学难题之一
四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。
四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”（右图）这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。
”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家汉密尔顿爵士请教。
汉密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。
但直到1865年汉密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。
肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是“正规的”（左图）。
如为正规地图，否则为非正规地图（右图）。
一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色，如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地图就足够了。
小学数学数学故事彻底解决“四色问题”
彻底解决“四色问题”地图“四色问题”（又称“四色猜想”）最早由英国大学生法兰西斯?古特里（Francis Guthrie）于1852年在绘制地图时发现，他却找不出科学肯定的证明就去请教他在伦敦大学读书的哥哥费特里克?古特里（Frederick Guthrie）。
兄弟俩搞了好些日子还是证明不了，就由哥哥去向伦敦大学的老师、当时非常著名的数学家奥古斯都?德?摩根（Augustus de morgan）请教，摩根教授当时也证明不了，就至函他在三一学院的好友――著名数学家威廉?哈密尔顿（William Rowan Hamilton），希望他能帮助证明。
可哈密尔顿对这个问题研究了十三年，到死也没能给出证明。
自从1879年至今全世界不断有人提出证明了“四色问题”，可是都叫人难以信服，不断又被别人否定，至今这个“四色问题”仍与“哥德巴赫猜想”及“费马最后定律”一起被全世界公认为数学史上最著名的三大难题。
本人2004年夏天刚接触到“拓扑学”，试着用“拓扑学”的方法去分析“四色问题”，只化半小时左右时间就证明了“四色问题”。
我写的《关于“四色问题”的证明》（以下简称《证明》，可在电脑中文搜索栏打入“四色问题”或作者姓名“焦永溢”查看）2004年底在许多数学网站上刊登出来后，看了的人很多认为非常正确；但也有一部分不明白的人认为证明了“相互间有连线的点不多于四个”并不是证明了“四色问题”，他们认为四点相互间有连线只是平面图上的局部现象，不能代表整个平面图，还提出比如中间一个点周围五个点的图形并没有四个点之间相互有连线却也要四种颜色。
可我在这里要再强调一下：《证明》中三个定理概括讲就是“三点必闭，四点必围，五点必断”，并没有说一定要四点相互间有连线才需四色，证明“四色问题”关键在于“五色必断”。
《证明》中分析了第五点E落在封闭图形ABC以内及以外的情况，也提到了第五点若落在连线上必定会隔断这条连线，只是没有把隔断的情况用图画出来，其实一画出来也是与另两种情况一样：三点包围一点，另一点又被小的封闭图形所包围。
数学经典问题-四色问题
数学经典问题·四色猜想世界近代三大数学难题之一――四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。
”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。
哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。
但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。
11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。
不久，泰勒的证明也被人们否定了。
后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。
于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。
1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。
1950年，有人从22国推进到35国。
1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。
看来这种推进仍然十分缓慢。
四色问题 四色ppt课件
数学语言：将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个 区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相 邻的两个区域得到相同的数字。
（相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域 只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。）
精选
1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指出了 肯普在证明上的漏洞。不久，泰勒的证明也被人们否定了。
人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题——五色定理。就是说对地图 着色，用五种颜色就够了。
后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。 于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可 与费马猜想相媲美的难题。
精选
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本 上是按照肯普的想法在进行：
1913年美国伯克霍夫：肯普的想法+新的设想证明了某些大的构形可约 1939年美国数学家富兰克林证明了22国以下的地图都可以用四色着色 1950年 ，有人从22国推进到35国 1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色 随后又推进到了50国
精选
“四色问题”的被证明仅解决了一个历时100多年 的难题，而且成为数学史上一系列新思维的起点。
————这种推进仍然十分缓慢。
高速数字计算机的发明，促使更多数学家对“四色问
题”的研究。从1936年就开始研究四色猜想的海克，公开宣称 四色猜想可用寻找可约图形的不可避免组来证明。
精选
对偶图：把每个国家的首都标出来，然后把相邻国家的首都
用一条越过边界的铁路连接起来，除首都(称为顶点)及铁路(称为弧或 边)外，擦掉其他所有的线，剩下的称为原图的对偶图。
选修课之四色问题课件
在学校或企业的时间表安排中，为避免同一时间段内的冲突，可以 将时间段视为节点，利用四色定理进行着色，从而合理安排各项活 动。
交通规划
在交通规划中，可以利用四色定理对交通网络进行划分和着色，以便 更有效地组织交通流，降低交通拥堵的风险。
05
课程总结与回顾
课程知识点总结
四色问题的提出与背景
四色学史上的一个著名 难题，其解决过程推动了数学理 论和方法的发展，尤其是图论和
组合数学领域。
实际应用
四色问题的解决方案在地图制作 、电路板设计、时间表安排等方 面有着广泛的应用，提高了这些
领域的效率和优化程度。
计算机科学价值
在证明四色问题的过程中，数学 家们开创了使用计算机辅助证明 数学定理的先河，对计算机科学
• 证明难点：四色问题的证明是数学史上的一个著名难题，难点在于如何找到一 种普遍适用的着色方法，以及如何严格证明该方法的正确性。
• 早期尝试：早期的研究者通过大量的实验和观察，提出了一些猜想和局部证明 ，但均未能给出完整的解决方案。
• 现代证明：借助计算机技术和高级数学理论，Appel和Haken在1976年提出 了一种基于计算机辅助的证明方法，被公认为是四色问题的首个完整证明。但 此方法涉及大量计算和复杂的数学理论，难以被一般人所理解。
相关定理与推论
介绍与四色问题相关的定理和推论， 如五色定理、六色定理等，拓展学生 的视野。
课程学习过程中的回顾与反思
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学习方法的探索
回顾在学习过程中尝试的不同方法，如阅读教材 、听讲座、与同学讨论等，分析各种方法的优缺 点。
遇到的挑战与解决策略
反思在学习过程中遇到的挑战，如概念理解困难 、证明过程复杂等，并分享解决这些挑战的策略 。
四色问题
四色问题
英国人格思里于1852年提出四色问题(four colour problem，亦称四色猜想)，即在为一平面或一球面的地图着色时，假定每一个国家在地图上是一个连通域，并且有相邻边界线的两个国家必须用不同的颜色，问是否只要四种颜色就可完成着色。
1878年英国数学家凯莱重新提出这问题，引起人们关注。
次年，英国数学家肯普提出用可约构形证明四色问题，虽然他的证明过程有漏洞，但为该问题的解决指出方向。
1890年英国人希伍德沿着这方向证明了任何地图只用五种颜色着色便够了，取得初步进展。
1913年美国数学家伯克霍夫发现一些新的可约构形。
1968年挪威数学家奥雷等人证明了用四种颜色一定可以把不超过四十个国家的地图着色，推进了四色问题的研究。
70年代初人们努力寻找可约构形中的不可免完备集，因为用它可以通过数学归纳法证明四色问题。
1976年美国数学家哈肯和阿佩尔花了1200多小时的电子计算器工作时间，找到一个由1936个可约构形所组成的不可免完备集，因而在美国数学会通报上宣称证明了四色猜想。
后来他们又将组成不可免完备集的可约构形减至1834个。
四色问题的研究对平面图理论、代数拓扑论、有限射影几何和计算器编码程序设计等理论的发展起了推动作用。
四色问题
“四色问题”的被证明不仅解决了一个历时 100多年的难题，而且成为数学史上一系列新思维 的起点。 在“四色问题”的研究过程中，不少新的数学 理论随之产生，也发展了很多数学计算技巧。如将 地图的着色问题化为图论问题，丰富了图论的内容。 不仅如此，“四色问题”在有效地设计航空班机日 程表，设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。 不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他 们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。直到 现在，仍有不少数学家和数学爱好者在寻找更简洁 的证明方法。
二、四色问题的提出
1878年，英国当时最著名的数学家凯莱 凯 对此问题进行一番思考后，相信这不是一个 可以等闲视之的问题，于是在《伦敦数学会 文集》上发表了一篇《论地球着色》的文章， 他的文章掀起了一场四色问题热。
凯莱
英国纯粹数学的近代学派带头人 他最主要的贡献是与西尔维斯 特，创立了代数型的理论，共同奠 定了关于代数不变量理论的基础。 他是矩阵论的创立者。曾任剑桥哲 学会、伦敦数学会、皇家天文学会 的会长。 他在数学、理论力学、天文学 方面发表了近千篇论文，他的数学 论文几乎涉及纯粹数学的所有领域， 收集在《凯莱数学论文集中，并著 有《椭圆函数专论》一书。
四色问题的局限性 四色问题的
虽然四色定理证明了任何地图可以只用四个 颜色着色，但是这个结论对于现实上的应用却相 当有限。现实中的地图常会出现飞地，即两个不 连通的区域属于同一个国家的情况（例如美国的 阿拉斯加州），而制作地图时我们仍会要求这两 个区域被涂上同样的颜色，在这种情况下，四个 颜色将会是不够用的。
11年后，即1890年，在牛津大学就读的年仅 29岁的希伍德以自己的精确计算指出了肯普在 希 证明上的漏洞。 他指出肯普说没有极小五色地图能有一国具 有五个邻国的理由有破绽。人们发现他们实际 上证明了一个较弱的命题——五色定理。就是 说对地图着色，用五种颜色就够了。
四色猜想简介
四色猜想
四色问题，又称四色定理，是一个著名的图论问题，提出的问题是：是否可以使用四种颜色来给地图上的每两个相邻的国家着色，使得相邻的国家颜色不同？以下是对四色问题的详细介绍：
历史：四色问题最早可以追溯到19世纪，当时英国数学家弗朗西斯·格斯特提出了这个问题。
随后，数学家们开始尝试寻找问题的解决方法。
这个问题一直引发数学家和研究人员的兴趣，成为了数学领域中的一个经典问题。
问题陈述：四色问题的陈述是，给定一个平面地图，可以使用四种颜色来着色地图上的每一个国家，使得任意相邻的两个国家使用的颜色不同。
研究和尝试：四色问题在长时间内没有得到解决。
许多数学家试图寻找解决方法，但都没有成功。
该问题被证明是非常复杂的，需要复杂的图论和计算方法。
定理证明：直到1976年，美国数学家肯尼斯·阿佩尔（Kenneth Appel）和沃夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）使用计算机辅助证明了四色问题的一个特殊情况，也就是每个地图都可以用四种颜色来着色。
这个证明引发了一些争议，因为它涉及到大规模的计算机搜索，不是传统的数学证明方法。
尽管如此，该证明被广泛接受，四色问题也被认为已经解决。
问题的一般化：尽管四色问题的一个特殊情况已经得到解决，但问题的一般化仍然是一个开放的数学问题。
研究人员继续探讨类似的问题，例如在三维空间中的着色问题。
总的来说，四色问题代表了数学中一个重要的解决问题的历程。
虽然该问题的证明涉及了计算机的使用，但它引导了图论和离散数学等领域的研究，对计算机科学和数学有着深远的影响。
四色问题的解决也是数学中的一个重要里程碑。
2。
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四色问题
四色问题的概念
“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”
用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1, 2, 3, 4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”（这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
）
四色问题的发现
四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。
（世界近代另外两大大数学难题：
费马最后定理：当整数n > 2时，关于x, y, z 的不定方程x n■ y^ z n，
无正整数解。
哥德巴赫猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和。
）
四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯•格
思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。
”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
弟弟格里斯只好就此请教他的老师、著名数学家德•摩尔根（A，Demorgan 1806〜1871）。
摩尔根也没能证明此题，于是写信向他的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。
哈密尔顿随即也试图对该问题进行论证。
但是直到十多年之后的1865年，哈密尔顿去世的时候，他也没有能证明此题。
从此，这个问题在一些人中间传来传去，当时，三等分角和化圆为方问题已在社会上“臭名昭著”，而“四色瘟疫”又悄悄地传播开来了。
三、四色问题的提出
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
（凯利一生仅出版一本专著，便
是1876年的《椭圆函数初论》，但发表了近1000篇论文，其中一些影响极为深远。
凯利在劝说剑桥大学接受女学生中起了很大作用。
他在生前得到了他所处时代一位科学家可能得到的几乎所有重要荣誉。
）
四、四色问题的证明--- 一波三折
在1878 年至1880 年的两年之间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家从此以为四色猜想终获解决。
但是，时隔十一年之后，即1890年，在牛津大学就读的年仅29 岁的数学家赫伍德以自己的精确计算，指出肯普的证明是错误的。
不久，泰勒的证明也被否定了。
人们发现肯普和泰勒实际上是证明了一个较弱的命题——五色定理。
就是说对地图着色，用五种颜色就够了。
后来，许多涉足此题的数学家全都一无所获。
于是，人们开始认识到，这个貌似简单的猜想，其实是一个堪与费马猜想相媲美的难题。
入20 世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。
1913 年，美国著名数学家、哈佛大学的伯克霍夫在肯普的基础上，结合自己创新的技巧，证明了某些大的构形可约。
美国数学家富兰克林于1939 年证明了22 国以下的地图都可以用四色着色。
1950年，有人从22 国推进到35国。
1960年，有人又证明了39 国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50 国。
不过看来这种进展确实十分缓慢。
随着电子计算机演算速度的迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了证明四色猜想的进程。
1976 年，在J. Koch 的算法支持下，美国伊利诺斯大学的哈肯(Wolfgang Haken)在1970年着手改进“放电过程”，后与阿佩尔(Kenneth Appel)合作编制了一个很好的程序。
他们于1976年6月在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。
五、四色问题的后续
四色猜想的计算机证明，轰动了世界。
它不仅解决了一个历时100 多年的难题，而且有可能成为数学史上，采用计算机证明数学定理的奠基之作。
这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事，当两位数学家将他们的研究成果发表的时候，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳，以庆祝这一难题获得解决。
一个多世纪以来，在“四色猜想”的研究证明过程中，不少新的数学理论随之产生，也发展了很多数学计算技巧。
如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了图论的内容，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。
不仅如此，“四色猜想”在有效地设计航空班机日程表，设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。
地图四色猜想是第一个主要由计算机完成证明的数学难题。
尽管这一证明，由于不能由人工直接验证，而且也缺乏数学通常的解题规范，目前尚未被所有的数学家接受。
人们并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有可能存在一种更加简捷明快的书面证明方法。
所以直到现在，仍然有不少的数学家和众多数学爱好者都在寻找更简洁的证明方法。
六、四色问题之小插曲
接下去的戏就得由闵可夫斯基来演了
令闵可夫斯基尴尬的一堂课
闵可夫斯基
19世纪末，德国有位天才的数学教授叫闵可夫斯基，他曾是爱因斯坦的老师。
爱因斯坦因为经常不去听课，便被他骂作“懒虫”。
万万没想到，就是这个“懒虫”后来创立了著名的狭义相对论和广义相对论。
闵可夫斯基受到很大震动，他把相对论中的时间和空间统一成“四维时空”，这是近代物理发展史上的关键一步。
在闵可夫斯基的一生中，把爱因斯坦骂作“懒虫”恐怕还算不上是最尴尬的事…… 一天，闵可夫斯基刚走进教室，一名学生就递给他一张纸条，上面写着：“如果把地图上有共同边界的国家涂成不同颜色，那么只需要四种颜色就足够了，您能解释其中的道理吗？”
闵可夫斯基微微一笑，对学生们说：“这个问题叫四色问题，是一个著名的数学难题。
其实，它之所以一直没有得到解决，仅仅是由于没有第一流的数学家来解决它。
” 为证明纸条上写的不是一道大餐，只是小菜一碟，闵可夫斯基决定当堂掌勺，问题就会变成定理……
下课铃响了，可“菜”还是生的。
一连好几天，他都挂了黑板。
后来有一天，闵可夫斯基走进教室时，忽然雷声大作，他借此自嘲道：“哎，上帝在责备我狂妄自大呢，我解决不了这个问题。
” 他虽然没有成功，可自认第一流倒也并非自不量力。
要知道，19世纪末20
世纪初，德国格丁根大学能成为世界数学中心，就是由于他和希尔伯特、克莱因“三巨头”的努力。
四色瘟疫在英国蔓延时，还真没有一个研究过它的数学家比得上闵可夫斯基。