第五讲 2.1数怎么又不够用了
北师大版八年级上册数学课件2.1 数怎么又不够用了
做一做
C
b A 1 1 1 B
b是有边长b 的值（结果精确到十分位）. 2. 结果精确到百分位呢？
议一议
把下列各数表示成小数，你发现什么？
3,
4 5
,
5 9
,
8 45
,
2 11
.
无限不循环小数叫做
无理数
想一想
你能找到其他无理数吗？
例题
例1 下列各数中，哪些是有理数？ 哪些是无理数？
但后来，这学派的一位年轻成员希伯索 斯(Hippasus) 发现边长为1的正方形的对角 线的长不能用有理数来表示，这就动摇了毕 达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌， 他们试图封锁这一发现，然而希伯索斯偷偷 将这一发现传播出去，这为他招来了杀身之 祸，在他逃回家的路上，遭到毕氏成员的围 捕，被投入大海. 他这一死，使得这类数的计算推迟了500 多年，给数学的发展造成了不可弥补的损失.
小结
你今天学到了什么？
欣赏有趣的图形
1
1
毕达哥拉斯树
螺形图
a 是多少？
a =1.41421356…
它是一个无限不循环小数
小知识
然而，第一个发现这样的数的人却被 抛进大海，你想知道这其中的曲折离奇吗？ 这得追溯到2500年前，有个叫毕达哥拉斯 的人，他是一个伟大的数学家，他创立了 毕达哥拉斯学派，这是一个非常神秘的学 派，他们以领袖毕达哥拉斯为核心，认为 毕达哥拉斯是至高无尚的，他所说的一切 都是真理. 毕达哥拉斯( Pythagoras) 认为“宇宙间 的一切现象都能归结为整数或整数之比，即 都可用有理数来描述.
学习目标：
• 借助计算器探索无理数是无限不循环小数 判断无理数、有理数 • 判断一个数是无理数 • 无理数的估算
2.1.数怎么又不够用了5
3、对比与区别 无限 1)5.010101……是______(有限/无 循环 限)_____(循环/不循环)小数； 无限 2)5.010010001……是______(有限/无 不循环 限)______(循环/不循环)小数；
提高：
2、请你在方格纸上按照如下要求设计直角 三角形： (1)使它的三边中有一边边长不是有理数； (2)使它的三边中有两边变成不是有理数； (3)使它的三边边长都不是有理数。
定义：
无限不循环小数 1)________________称作无理数 有限小数或无限循环小数 2)_________________________称作 有理数 请判断下列各数是有理数还是无理数 1)5.010101…… 2)5.010010001…… 3)3.1415926 ……(即π的值) 5 4)
数怎么有限小数及无限循环小数、无限不循 环小数
能力目标：掌握无理数的有关概念，能区别无理数与 在理数 情感目标：当数不够用时，怎么办？激发学生的求知 欲。
教学重点：利用概念的方法说明无理数 教学难点：无理数概念 课时安排：1课时
重温所学的数 1、形如4，-3，10，12等这样的数是 2 5 0 整 _____数；形如 3 ，－ 3 ，.3 等这样的数 分 分 整 是____数；____数和____数统称有理 数 1 循环小数 2、 0. 3 中的0. 3表示__________，它 3 是有限小数还是无限小数？_________。 无限小数 循环 所以，有些分数可以表示为_______(循
7
练习：
.. 22 1 0 3 在数 ， .14, , ,0,1. 21, , 7 2 0.1010010001 2
21数怎么不够用了
§2.1数怎么不够用了教学目标1．使学生了解正数与负数是从实际需要中产生的；2．使学生理解正数与负数的概念，并会判断一个数是正数还是负数；3．初步会用正负数表示具有相反意义的量；4．有理数的分类。
教学重点和难点负数的意义有理数的分类教学过程一、从学生原有的认知结构提出问题大家知道，数学与数是分不开的，它是一门研究数的学问．现在我们一起来回忆一下，小学里已经学过哪些类型的数？学生答后，教师指出：小学里学过的数可以分为三类：自然数(正整数)、分数和零(小数包括在分数之中)，它们都是由于实际需要而产生的．为了表示一个人、两只手、……，我们用到整数1，2，……4.87、……为了表示“没有人”、“没有羊”、……，我们要用到0．但在实际生活中，还有许多量不能用上述所说的自然数，零或分数、小数表示．二、师生共同研究形成正负数概念某市某一天的最高温度是零上5℃，最低温度是零下5℃．要表示这两个温度，如果只用小学学过的数，都记作5℃，就不能把它们区别清楚．它们是具有相反意义的两个量．现实生活中，像这样的相反意义的量还有很多．例如，珠穆朗玛峰高于海平面8848米，吐鲁番盆地低于海平面155米，“高于”和“低于”其意义是相反的．和“运出”，其意义是相反的．同学们能举例子吗？学生回答后，教师提出：怎样区别相反意义的量才好呢？待学生思考后，请学生回答、评议、补充．教师小结：同学们成了发明家．甲同学说，用不同颜色来区分，比如，红色5℃表示零下5℃，黑色5℃表示零上5℃；乙同学说，在数字前面加不同符号来区分，比如，△5℃表示零上5℃，×5℃表示零下5℃……．其实，中国古代数学家就曾经采用不同的颜色来区分，古时叫做“正算黑，负算赤”．如今这种方法在记账的时候还使用．所谓“赤字”，就是这样来的．现在，数学中采用符号来区分，规定零上5℃记作+5℃(读作正5℃)或5℃，把零下5℃记作-5℃(读作负5℃)．这样，只要在小学里学过的数前面加上“+”或“-”号，就把两个相反意义的量简明地表示出来了．让学生用同样的方法表示出前面例子中具有相反意义的量：高于海平面8848米，记作+8848米；低于海平面155米，记作-155米；教师讲解：什么叫做正数？什么叫做负数？强调，数0既不是正数，也不是负数，它是正、负数的界限，表示“基准”的数，零不是表示“没有”，它表示一个实际存在的数量．并指出，正数，负数的“+”“-”的符号是表示性质相反的量，符号写在数字前面，这种符号叫做性质符号．三、运用举例变式练习例所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合．把下列各数中的正数和负数分别填在表示正数集合和负数集合的圈里：此例由学生口答，教师板书，注意加上省略号，说明这是因为正(负)数集合中包含所有正(负)数，而我们这里只填了其中一部分．然后，指出不仅可以用圈表示集合，也可以用大括号表示集合．课堂练习任意写出6个正数与6个负数，并分别把它们填入相应的大括号里：正数集合：｛…｝，负数集合：｛…｝．四、给出有理数概念1．整数和分数统称为有理数，即有理数是英语“Rational number”的译名，更确切的译名应译作“比2．有理数的分类按有理数的符号分为三类：正有理数、负有理数和零，简称正数、负数和零五、小结由于实际生活中存在着许多具有相反意义的量，因此产生了正数与负数．正数是大于0的数，负数就是在正数前面加上“-”号的数．0既不是正数，也不是负数，0可以表示没有，也可以表示一个实际存在的数量，如0℃．六、练习设计1．北京一月份的日平均气温大约是零下3℃，用负数表示这个温度．2．在小学地理图册的世界地形图上，可以看到亚洲西部地中海旁有一个死海湖，图中标着-392，这表明死海的湖面与海平面相比的高度是怎样的？3．在下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？-3.6，-4，9651，-0.1．4．如果-50元表示支出50元，那么+200元表示什么？5．河道中的水位比正常水位低0.2米记作-0.2米，那么比正常水位高0.1米记作什么？6．如果自行车车条的长度比标准长度长2毫米记作+2毫米，那么比标准长度短3毫米记作什么？7．一物体可以左右移动，设向右为正，问：(1)向左移动12米应记作什么？(2)“记作8米”表明什么？8．在-3，0，1/2，-5，6，-0.7，20%，516中，分数有_________，整数有_________。
2.1数怎么不够用了(教案)
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
另外，我觉得在课堂总结环节，可以让学生们来总结今天学到的知识点，这样既能检验他们的学习效果，也能提高他们的表达能力。同时，针对学生们在课堂中提出的疑问，我需要在课后进行总结，为下一节课做好准备，确保他们能够真正掌握正负数的知识。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解正负数的基本概念。正负数是表示具有相反意义的量的数，它是数系扩展的重要部分，广泛应用于生活各个领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。例如，温度计上0℃以上为正，以下为负，这样表示既简洁又明确。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正负数的概念和加减运算规则这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
-数系扩展的意义：让学生理解数系扩展的必要性，认识到数学知识的发展过程。
2.教学难点
-正负数的概念理解：学生可能难以理解负数的实际意义，需要通过生动的实例和实际操作来加强理解。
-突破方法：借助数轴、温度计等教具，让学生直观地感受正负数。
-正负数的加减运算：学生可能对正数与负数的加减运算感到困惑，需要通过逐步引导和练习来突破。
3.介绍正数与负数的表示方法，以及它们在数轴上的表示。
4.探索正数与负数的加减运算规则，并通过实例进行解释和练习。
5.引导学生思考数系扩展的必要性，激发他们对数学知识的探索兴趣。
北师版七上《2.1数怎么不够用了》课件1
上面出现了比0低的得分，我们可以 用带有“-”号（读作：负）的数来 表示。如，-10；对于比0高的得分， 我们可以用在其前面加上“+”号 （读作：正）如，+10
灿若寒星
用带有“+”号和“-”号的数表示各队每题 的得分情况，完成下表
第1题 第2题 第3题 第4题 第5题
第一队
第二队
第三队
第四队
注意：0既不是正数，也 不是负数 灿若寒星
随堂练习
1、如果零上5℃记作+5℃，那么 零下3℃记作什么？ 2、东西为两个相反方向，如果-4 米表示一个物体向西运动4米那么 +2米表示什么？物体原地不动记 为什么？
3、某仓库运进面粉7.5吨记作+7.5 吨，那么运出3.灿8若吨寒星 应记作什么？
今天花环应送 给哪些同学
初中数学课件
灿若寒星*****整理制作
数怎么不够用了
灿若寒星
加10分
扣10分
得0分
某班举行知识竟赛，评分 标准是：答对一题加10分， 答错一题扣10分，不回答 得0分，四个代表队答题 情况如下表灿若寒星
第1题 第2题 第3题 第4题 第5题
第一队
第二队
第三队
第四队
灿若寒星
问题：
每个代表队的最后得 分是多少？你是怎么 表示的？与同伴进行 交流
灿若寒星
灿若寒星
议一议
生活中你见过带有“-”号的数吗？小组 交流。
小结： 正、负数可以用来表示现实生活 中具有相反意义的量
灿若寒星
结论：
像5，1.2，1/2……这样的数 叫做正数(p加上“-”的数 叫负数(negativenumber)
§2.1 数怎么又不够用了(二)
§2.1 数怎么又不够用了(二)教学目标(一) 知识目标：1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.2.会判断一个数是有理数还是无理数.(二)能力训练目标：1.借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.2.探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练大家的思维判断能力.(三)情感与价值观目标：1.让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力.2.充分调动学生的积极性，培养他们的合作精神，提高他们的辨识能力.教学重点1.无理数概念的探索过程.2.用计算器进行无理数的估算.3.了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断.教学难点1.无理数概念的建立及估算.2.用所学定义正确判断所给数的属性.教学方法老师指导学生探索法教学过程一、创设问题情境，引入新课［师］同学们，我们在上节课了解到有理数又不够用了，并且我们还发现了一些数，如a2=2,b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它的真面目.二、讲授新课1.导入：［师］请看图大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.［生］因为3个正方形的面积分别为1，2，4，而面积又等于边长的平方，所以面积大的正方形边长就大.［师］大家能不能判断一下面积为2的正方形的边长a的大致范围呢？［生］因为a2大于1且a2小于4，所以a大致为1点几.［师］很好.a肯定比1大而比2小，可以表示为1＜a＜2.那么a究竟是1点几呢？请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢？如1.12=1.21，1.22=1.44，1.32=1.69，1.42=1.96，1.52=2.25，而a2=2，故a应比1.4大且比1.5小，可以写成1.4＜a＜1.5，所以a是1点4几，即十分位上是4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字.［生］因为1.412=1.9881，1.422=2.0164，所以a应比1.41大且比1.42小，所以百分位上数字为1.［生］因为1.4112=1.990921，1.4122=1.993744，1.4132=1.996569，1.4142=1.999396，1.4152=2.002225，所以a应比1.414大而比1.415小，即千分位上的数字为4.［生］因为1.41422=1.99996164，1.41432=2.00024449，所以a应比1.4142大且比1.4143小，即万分位上的数字为2.［师］大家非常聪明，请一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格的形式反映出来.［师］还可以继续下去吗？［生］可以.［师］请大家继续探索，并判断a是有限小数吗？［生］a=1.41421356…，还可以再继续进行，且a是一个无限不循环小数.［师］请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.边长b会不会算到某一位时，它的平方恰好等于5？请大家分组合作后回答.(约4分钟)［生］b=2.236067978…，还可以再继续进行，b也是一个无限不循环小数.［生］边长b不会算到某一位时，它的平方恰好等于5，但我不知道为什么.［师］好.这位同学很坦诚，不会就要大胆地提出来，而不要冒充会，这样才能把知识学扎实，学透，大家应该向这位同学学习.这个问题我来回答.如果b算到某一位时，它的平方恰好等于5，即b是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是5，所以b不可能是有限小数.2.无理数的定义请大家把下列各数表示成小数.3，，并看它们是有限小数还是无限小数，是循环小数还是不循环小数.大家可以每个小组计算一个数，这样可以节省时间.［生］3=3.0，=0.8，=，，［生］3，是有限小数，是无限循环小数.［师］上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数.像上面研究过的a2=2,b2=5中的a，b是无限不循环小数.无限不循环小数叫无理数(irrational number).除上面的a，b外，圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，0.5858858885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.3.有理数与无理数的主要区别(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.(2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能.4.例题讲解下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14，－，，0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).解：有理数有3.14，－，.无理数有0.1010010001….三、课堂练习(一)随堂练习下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.4583，，－π，－，18.解：有理数有0.4583，，－，18.无理数有－π.(二)补充练习投影片(§2.1.2 A)解：(1)错.例π－1是无理数.(2)错.例是有理数.(3)对.因为无理数就是无限不循环小数，所以是无限小数.(4)对.因为两个符号相反的无理数之和是有理数.例π－π=0.投影片(§2.1.2 B)解：有理数有0.351，－，3.14159，无理数有－5.2323332…，123456789101112….投影片(§2.1.2 C)［生］有理数集合填0，，－3.无理数集合填－π，－π，0.323323332….四、课时小结本节课我们学习了以下内容.1.用计算器进行无理数的估算.2.无理数的定义.3.判断一个数是无理数或有理数.五、课后作业：见作业本。
北师大版七年级初一数学上册 2.1.数怎么又不够用了1
交流。
2019/9/12
2
做一做
（1）以直角三角形的 斜边为正方形的面积是 多少？
2
1
（2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？
（3）b是有理数吗？
2019/9/12
3
随堂练习
（1）、如图，正三角形ABC的边长 为2，高为h，h可能是整数吗？可能 是分数吗？
2019/9/12
4
长，宽分别是3，2的长方形，它 的对角线的长可能是整数吗？可 能是分数吗？
2019/9/12
5
如图是16个边长为1的小正方形拼 成的，任意连接这些小正方形的若 干个顶点，可得到一些线段，试分 别找出两条长度是有理数的线段和 两条长度不是有理数的线段。
2019/9/12
6
2019/9/12
7
数怎么不够用了
2019/9/12
1
1
1
有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一 拼，设法得到一个大正方形。
⑴ 设大正方形的边长为a，a满足什么条件？
⑵ a可能是整数吗？说说你的理由。 ⑶ a可能是以2为分母的分数吗？可能是以3为 理由，并与同伴
2.1_数怎么又不够用了上课课件
但后来，这学派的一位年轻成员 希伯索斯(Hippasus) 发现边长为1的正 方形的对角线的长不能用有理数来表 示，这就动摇了毕达哥拉斯学派的信 条，引起了信徒们的恐慌，他们试图 封锁这一发现，然而希伯索斯偷偷将 这一发现传播出去，这为他招来了杀 身之祸，在他逃回家的路上，遭到毕 氏成员的围捕，被投入大海。
你有什么新的发现？
事实上， a=1.41421356……
（1）估计面积为5的正方形的边 长的值（结果精确到十分位）
计算结果精确到百分位呢？
事实上b=2.236067978……
把下列各数表示成小数，你发现了什 么？
3，4/5，5/9，-8/45，2/11
有理数总可以用有限小数或无限 循环小数表示，反过来，任何有 限小数或无限循环小数也都是有 理数
数怎么又不够用了
有理数能完全满足我们的生活需要吗？
把两个边长为1的小正方形通过 剪、拼，设法得到一个大正方形
1 1
1
1
1
1
1
1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
a 2
2
a
a 2
2
a
1
a
a1 a
a a
是整数吗？
是分数吗？
数怎么又不够用了！
a
1
1
a
a
a 2
..
0.12345678910111213…… （小数部分由相继的正整数组成）
2.（1）设面积为10的正方形的边长 为x，x是有理数吗？说说你的理由 （2）.估计x的值（结果精确到十分 位），并用计算器验证你的估计。 （3）.如果结果精确到百分位呢？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1-1第五讲 2.1 数怎么又不够用了
学习重点：
1.数的范围的扩充
2.无理数概念的探索过程.
3. 掌握估算的方法，会进行无理数的估算，并从中体会无限逼近的思想.
4.了解无理数与有理数的区别，会判断一个数是有理数还是无理数.
一、温故知新
有理数可以分为 和 和 ；又可以分为 和 二、 有理数为什么不够用了
1. 将两个边长为1的正方形剪一剪拼一拼，得到一个大的正方形.设大正方形的边长为a ，则a 满足什么条件？a 会是整数吗？a 会是分数吗？为什么？
事实上，在等式22 a 中，a 即不是 ，也不是 ，所以a 不
是 .
2. 在右图中
（1）以直角三角形的斜边为边的正方形的面积
是多少？
（2）设该正方形的边长为b ，b 满足个么条件？
（3）b 是有理数吗？为什么？
在上面的两个问题中，数a ，b 确实存在，但都不是有理数.
3.下图是由36个边长为1的小正方形拼成的，作出
以下线段，请说出这些线段中长度是有理数的有几
条？长度不是有理数的有几条？
通过上面的几个问题我们发现：有理数
三、无理数概念的探究和数的估算
我们还发现了一些数，如a2=2,b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？
1.探究活动
（1）如图1—2，3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.
（2）面积为2的正方形的边长a介于哪两个整数之间？
（3）边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？
（4）还可以继续算下去吗？a可能是有限小数吗？
事实上，利用计算器可知a=1.41421356…，它是一个无限不循环小数；上述过程就是数学中估算的方法，体现了无限逼近的思想，即随着估算位数的增加，这个估算值越来越接近准确值.
2.做一做
（1）估计面积为5的正方形的边长b的值（结果精确到十分位）.
事实上，b=2.236067978…，它是一个无限不循环小数.
3.无理数的概念
把下列各数表示成小数， .11
2,32,85,54,3你发现了什么？ 有理数总可以用 或 表示；
反过来，任何 或 也都是有理数.
无限不循环小数叫做无理数.
四、有理数与无理数的主要区别
(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.
(2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能.
例1 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
,75.0,34,14.3∙∙- 2
π ，0π，0, 1)31(- ，0.1010001000001…（相邻两个1之间0的个数逐次加2）
五、随堂练习
1.下面各正方形的边长不是有理数的是（ ）
A.面积为0.25的正方形
B.面积为16
9的正方形 C.面积为27的正方形 D.面积为1.44的正方形
2. 正方形网格中，每个 小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的有 条
3.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
,18,7
1,,7.3,458.0--∙π 0.585885888588885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1) 0.353535…，－∙∙69.4,3
2，3.14159，－5.2323323332… 4.判断题
(1)有理数与无理数的差是有理数. (2)无限小数都是无理数.
(3)无理数都是无限小数. (4)两个无理数的和不一定是无理数.
六、归纳总结
【课后作业】
1. 请你任意写一个有理数__________;写一个无理数.
2.要切一块面积为25cm2的正方形钢板,它的边长是_____________.
3.设面积为10的正方形的边长为a,请你估计a≈__________(结果精确到十分
位)
4.如图,在三角形ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=1 cm,则斜边AB的取值为
_____________.(精确到0.1)
5. 已知一直角三角形的两直角边长分别为1, 2,斜边长为x.
(1)根据一直角三角形,写出关于x的方程, 并说明x是有理数吗?为什么?
(2)估计x的值(结果精确到十分位).
6. 如图是9个边长为1的小正方形拼成的,任意连接这些小正方形的若干个顶点,可得到一些线段,试分别找出两条长度都是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段.
7. 阅读理解
设x=0.∙
3=0.333…①, 则10x=3.333…②, 则②-①得9x=3, 即x=
3
1
即0.
∙
3=
3
1
根据上述提供的方法, 把0.∙
7化为分数.。