人教版 九年级数学 相似形及比例线段讲义 (含解析)
九年级数学 第四章 图形的相似 4.1 成比例线段 第2课时 等比性质
12/10/2021
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第2课时(kèshí) 等比性质
解：设 c－b＝k.
由(a－c)∶(a＋b)∶(c－b)＝(－2)∶7∶1，
a－c＝－2k， a＝3k，
得 a＋b＝7k， 解得 b＝4k，
c－b＝k，
c＝5k，
而(3k)2＋(4k)2＝(5k)2，即 a2＋b2＝c2，
所以△ABC 为直角三角形．
∴DE＋EF＋DF＝34×18＝227(cm)，
即△DEF 的周长为227 cm.
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2 第 课时(kèshí) 等比性质
例 2 (1)[教材补充例题]若a5＝b7＝8c，且 3a－2b＋c＝3， 求 2a＋4b－3c 的值；
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总结反思
小结(xiǎojié)
知识点 比例的性质
如果a ＝ c ＝…＝m (b ＋d ＋…＋n ≠0)，
bd
n
那么ab＋＋cd＋＋……＋＋mn ＝ba.
我们把比例的这个性质称为比例的等比性质．
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第2课时(kèshí) 等比性质
[拓展] 如果ab＝cd，那么a±b b＝c±d d.
第2课时(kèshí) 等比性质
解：(1)设a5＝b7＝c8＝x，则 a＝5x，b＝7x，c＝8x. ∵3a－2b＋c＝3，∴15x－14x＋8x＝3，解得 x＝1，
3 ∴a＝5x＝53，b＝7x＝73，c＝8x＝83. ∴2a＋4b－3c＝2×53＋4×73－3×83＝134.
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第2课时(kèshí) 等比性质
解：∵AB＝BC＝AC＝4，∴AB＋BC＋AC＝4， DE EF DF 3 DE＋EF＋DF 3
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解33 相似形(解析版)
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题33相似形【知识要点】考点知识一相似图形及比例线段相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.相似多边形：若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。
特征：对应角相等，对应边成比例。
比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。
考点知识二相似三角形相似图形的概念：形状相同的图形叫做相似图形。
相似图形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似用符号“∽”，读作“相似于”。
相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.判定方法（五）：斜边和任意一条直角边成比例的两个直角三角形相似。
相似三角形的性质：1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3.相似三角形的面积比等于相似比的平方．相似三角形与实际应用：关键：巧妙利用相似三角形性质，构建相似三角形求解。
考点知识三位似位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：1.位似图形是相似图形的一种特殊形式。
2.位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点，位似图形的对应边互相平行或者共线。
位似中心的位置：形内、形外、形上。
第27章相似教材分析课件2021-2022学年人教版数学九年级下册
2.5.7 位似
分析：作直径 AC，连接 BC，过点 P 作 PQ⊥AB 交 AC 于点 Q，易证 AP AQ k ， AB AC
点 A 关于⊙O 的 k 倍特征点 P 在以 AQ 为直径的⊙M 上(不与点 A 重合)。对于给定数值 k，当点 A 在⊙O 上跑起来时，⊙M 也随之绕点 O 旋转，⊙M 在旋转中擦除留下的痕 迹（图中所示圆环，不含外环圆上的点）即为点 P 的轨迹。
C
A
D
B
2.5.5相似三角形的性质
探究：已知△ABC∽△AEF，其中点A，E，F按顺时针顺序排列， AB=4，BC=5，AC=6. （1）如图1，若点E与线段AB上，作图确定点F 位置；
2.5.5相似三角形的性质
探究：已知△ABC∽△AEF，其中点A，E，F按顺时针顺序排列， AB=4，BC=5，AC=6. （2）点E在线模以及信息转换的过程，培养学生建模的意识，重视发 现和提出问题、分析和解决问题能力的培养.
2.5.7 位似
位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上或顶点， 下面是位似中心不同的画法.
2.5.7 位似
例 （2022.01西城期末28）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1， 点A在⊙O上，点P在⊙O内，给出如下定义：连接AP并延长交⊙O于 点B，若AP=kAB，则称点P是点A关于⊙O的k倍特征点．
第27章 相似 教材分析
1.何为“相似” 长方形、正方形 不等边的二十边形、正二十边形、圆
1.何为“相似” 教材上把形状相同的图形叫做相似图形，何为形状相同？
所谓形状相同，必须有一种确定的描述，依此才能够准 确界定教材中的定义的相似图形.
1.何为“相似”
当一个物体正对着你逐渐由远而近时，对于你的视觉 来说，它的形状不变，但是大小就逐渐由小变大了.这种 现象的几何说法是,该物体由远而近时,它在你的视网膜上 所成的像的形状不变，但是大小逐渐放大，这就是相似形 常见的实例.
九年级数学相似三角形知识点汇总参考(搜集整理全面细致)
九年级数学相似三角形知识点汇总参考一、比例线段及比例的性质1.比例线段：（1）线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项.（2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．（3）比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．（4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．2.比例的性质(1)比例的基本性质：(2)反比性质：(3)更比性质: 或(4)合比性质:(5)等比性质: 且3.平行线分线段成比例定理（1）三角形一边的平行线性质定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.（2）三角形一边的平行线性质定理推论:平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例.（3）三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（4）三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（5）平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.（6）平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.这几个定理主要提出由平行线可得到比例式；反之,有比例可得到平行线.首先要弄清三个基本图形：这三个基本图形的用途是: 1.由平行线产生比例式 基本图形(1): 若l 1//l 2//l 3，则或或或 基本图形(2): 若DE//BC ，则或或或 基本图形(3): 若AC//BD ，则或或或在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置. 2．由比例式产生平行线段 基本图形(2):若, , , ,, 之一成立，则DE//BC. 基本图形(3):若,,,,,之一成立，则AC//DB.4.三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.二、黄金分割 1.黄金分割是指把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项(AC 2＝AB·BC)，C 点为黄金分割点. 2.黄金分割的求法 ①代数求法：已知：线段AB ，求作：线段AB 的黄金分割点C.分析：设C 点为所求作的黄金分割点，则AC 2＝AB·CB，设AB ＝，AC ＝x ，那么 CB ＝－x ， 由AC 2＝AB·CB，得：x 2＝·(－x)＝0， 根据求根公式，得：x ＝整理后，得：x 2＋x －∴(不合题意，舍去)，即AC ＝AB≈0.618AB， 则C 点可作.②黄金分割的几何求法（尺规法）：已知：线段AB ， 求作：线段AB 的黄金分割点C. 作法：如图：(1)过B 点作BD ⊥AB ，使BD ＝AB.(2)连结AD ，在AD 上截取DE ＝DB.(3)在AB 上截取AC ＝AE. 则点C 就是所求的黄金分割点.证明：∵AC ＝AE ＝AD －AB ，而AD ＝∴AC ＝.5-1三、相似三角形 1.相似多边形(1)相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.(2)相似多边形的识别：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似. (3)相似比：我们把相似多边形对应边的比称为相似比. (4)相似多边形的性质①相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． ②相似多边形的周长比等于相似比．③相似多边形的面积比等于相似比的平方． 2.相似三角形（1）相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形. （2）相似三角形的表示方法：用“∽”表示，读作相似于.如：△ABC 和△DEF 相似，可以写成△ABC ∽△DEF ，也可以写成△DEF ∽△ABC ，读作△ABC 相似于△DEF. （3）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. ②相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比. ③相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. （4）相似三角形的判定：①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似； ②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； ④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.⑤如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个直角三角形相似.（5）相似三角形应用举例相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，可以解决一些不能直接测量的物体的长度问题，加深学生对相似三角形的理解和认识.四、实数与向量相乘 1.实数与向量相乘的意义一般的，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量. 诠释：设P 为一个正数，P 就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；—P 也就是将的长度进行放缩，但方向相反.2.向量数乘的定义一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（1）如果时，则：①的长度：；②的方向：当时，与同方向；当时，与反方向；（2）如果时，则：，的方向任意.实数与向量相乘，叫做向量的数乘.n a a nn a a n -n -m a m n a mnk a ka k 0,a 0且≠≠ka ||||||ka k a =ka 0k >ka a 0k <ka a k 0,a=0=或0ka =ka k a（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算；（3）表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3.实数与向量相乘的运算律 设为实数，则：（1）（结合律）；（2）（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3） （向量的数乘对于向量加法的分配律） 4.平行向量定理（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 诠释：任意非零向量与它同方向的单位向量的关系：，.（2）平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使.诠释：（1）定理中，，的符号由与同向还是反向来确定.（2）定理中的“”不能去掉，因为若，必有，此时可以取任意实数，使得成立. （3）向量平行的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量平行. （4）向量平行的性质定理：若向量与非零向量平行，则存在一个实数，使. （5）A 、B 、C 三点的共线若存在实数λ，使 .要点五、向量的线性运算 1.向量的线性运算定义向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2.向量的分解平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得.ka m n 、()()m na mn a =()m n a ma na +=+m （+b）=m a a mb +a 0a 0a a a =01a a a=b a m b ma =b m a=m b a a 0≠a 0=b 0=m b ma =a m b ma =b a b a m b ma =⇔AB //BC ⇔AB BC λ=12,e e a 12,λλ1122a e e λλ=+（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底表示为形式，叫做向量的分解，当相互垂直时，就称为向量的正分解.(3) 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同．3.用向量方法解决平面几何问题 （1）利用已知向量表示未知向量用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． （2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算，研究几何元素的关系. ③把运算结果“翻译”成几何关系.12,e e 12,e e 1122a e e λλ=+12,e e。
九年级数学上册 第22章 相似形章末复习课件
∴△HBF∽△ECF
H
∴
BF
HB
AE .
CF EC EC
B
第二十页，共二十三页。
A
D E
C
F
5. 如图, 阳光(yángguāng)通过窗 口照到室内, 在地上留下 2.7m 宽 的亮区. 已知亮区一边到窗下墙 脚距离CE为 8.7m, 窗口高AB 为
1.8m, 求窗口底边离地面的高度
BC 的值.
c d
, 那a么d_=_b__c(_b_,_d_≠_0_)_____.
:
（2）合比性质: 如果
a b
,d那c 么____a_b__b___c__d_d___b_,d. ≠0
第六页，共二十三页。
（3）等比性质(xìngzhì): 如果ab11
a2 b2
···= an bn
a1 a2 ···an =a1 那么___b_1___b_2___·· _·__b_n__. b1
第四页，共二十三页。
练习(liànxí)
下列各组线段的长度(chángdù)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ比例的是D ( )
A.2, 3, 4, 1
B.1.5, 2.5, 6.5, 4.5
C. 1.1, 2.2, 3.3, 4.4 D. 1, 2, 2, 4
第五页，共二十三页。
3.比例(bǐlì)的性质
（1）基本(jīběn)性质如果(rúabguǒ)
（单位: m）
A 1.8 B
E 2.7 D
C
8.7
第二十一页，共二十三页。
解 ∵太阳光可以(kěyǐ)看成平行的光线.
∴△ACE∽△BCD,
∴
AC EC . BC DC
又∵AC = BC +1.8, EC=8.7, DC=6.
九年级数学 第4章 相似三角形 4.1 比例线段 第1课时 比例的基本性质导学 数学
12/6/2021
第九页，共十四页。
4．1 比例(bǐlì)线段
类型二 设比例系数(xìshù)k，解决有关连比问题
例 3 [教材补充例题] 已知a2＝b3＝5c≠0，求3a2＋ a－2bb－ ＋2cc的值．
解：设a2＝b3＝5c＝k(k≠0)，则 a＝2k，b＝3k，c＝5k，所以 3a2＋ a－2bb－ ＋2cc＝3×22×k＋ 2k2－×33kk＋－52k×5k＝62kk＝13.
第4章 相似 三角形 (xiānɡ sì)
4．1 比例 线段 (bǐlì)
12/6/2021
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第4章 相似(xiānɡ sì)三角形
第1课时 比例的基本 性质 (jīběn)
学知识 筑方法
12/6/2021
勤反思
第二页，共十四页。
4．1 比例线段
学知识(zhī shi)
知识点一 比例(bǐlì)
[解析] 根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积，对各选项分 1析2/6/2判021 断即可．
第五页，共十四页。
4．1 比例(bǐlì)线段
筑方法
类型一 根据比例的基本(jīběn)性质求值
例 1 [教材例 1 针对练] 若 3a＝4b，则ba＝____43____；若3a＝b4，则
ba＝____34____；已知
12/6/2021
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4．1 比例(bǐlì)线段
【归纳总结】利用比例的基本性质(xìngzhì)进行相关计算时的常用方法 (1)用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后运用代入
法求值；
(2)运用参数法，即根据比例式设出合适的未知数，然后用含此未 知数的代数式表示出相应的字母，再代入求值．
相似形及比例线段(基础) 知识讲解
相似形及比例线段（基础）知识讲解【学习目标】1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；2、了解比例线段的概念及有关性质；3、探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征，并根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形或相似形.要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；要点二、相似多边形相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比．要点三、比例线段1．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．2．比例的性质：（1）基本性质：若a:b=c:d，则ad=bc；（2）合比性质：如果++ ==.a c abc db d b d，那么如果--==.a c abc db d b d，那么（3）等比性质：如果+c c=====k.+da c a ab d b d bk，那么（4）比例中项：若a:b=b:c，则2b =ac，b称为a、c的比例中项．要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以。
要点四、黄金分割如果点P把线段AB分割成AP和PB,(AP>PB)两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么就称这种分割为黄金分割，点P是线段AB的黄金分割点.12AP AB=≈).要点诠释：线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似图形1. 下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（）（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C.【解析】解：（1）所有菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似；（2）等腰直角三角形都相似，正确；（3）正方形都相似，正确；（4）矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似；（5）正六边形都相似，正确，故符合题意的有3个．故选：C．【总结升华】此题主要考查了相似图形，应注意：①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们的相似性.类型二、相似多边形2. 如图，已知四边形相似于四边形，求四边形的周长.【答案与解析】∵四边形相似于四边形∴，即∴∴四边形的周长.【总结升华】先根据相似多边形的对应边的比相等，求出四边形的未知边的长，然后即可求出该四边形的周长举一反三：【变式】如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角的大小.【答案】根据题意，两个四边形是相似形，得，解得.3. 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF 为一边作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？【答案与解析】解：∵矩形MFGN与矩形ABCD相似，当时，S有最大值，为.【总结升华】借助相似，把最值问题转移到函数问题上，是解决这类题型最好方法之一. 类型三、比例线段4. 下列四组线段中，成比例线段的有( )A．3cm、4cm、5cm、6cm B．4cm、8cm、3cm、5cmC．5cm、15cm、2cm、6cm D．8cm、4cm、1cm、3cm【答案】C.【解析】四个选项中只有，故选C.【总结升华】根据成比例线段的定义.举一反三：【变式】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=．【答案】(1) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d不是成比例线段．(2) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d是成比例线段．5.主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB长为20米，一个主持人现站在舞台AB的黄金分割点点C处，则下列结论一定正确的是（）①AB：AC=AC：BC；②AC≈6.18米；AC米；③1)④=10(31)BC-米或米．A.①②③④B.①②③C.①③D.④【答案】D.【解析】解：AB的黄金分割点为点C处，若AC＞BC，则AB：AC=AC：BC，所以①不一定正确；AC≈0.618AB≈12.36或AC≈20﹣12.36=7.64，所以②错误；若AC为较长线段时，AC=AB=10（﹣1），BC=10（3﹣）；若BC为较长线段时，BC=AB=10（﹣1），AC=10（3﹣），所以③不一定正确，④正确．故选D．【总结升华】黄金分割知识的理解和运用要结合生活实践.。
九年级数学相似三角形
是 ．【分析】分PM ＞PN 和PM ＜PN 两种情况，根据黄金比值计算． 【解答】解：当PM ＞PN 时，PM =√5−12MN =√5−12，当PM ＜PN 时，PM ＝MN −√5−12MN =3−√52， 故答案为：√5−12或3−√52．【点评】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是√5−12是解题的关键． 【变式2-1】（2020秋•静安区期中）如果点C 是线段AB 的黄金分割点，那么下列线段比的值不可能是√5−12的为（ ） A ．ACBCB ．BCACC ．BCABD ．ABBC【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（√5−12）叫做黄金比作出判断． 【解答】解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点，∴AC 2＝AB •BC （AC ＞BC ），则AC AB=BC AC=√5−12； 或BC 2＝AB •AC （AC ＜BC ），则ACBC=BC AB=√5−12．故只有AB BC 的值不可能是√5−12．故选：D ． 【点评】此题主要考查了黄金分割比的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．【变式2-2】（2020春•相城区期末）如图，已知点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AE ＞EB ，若S 1表示AE 为边长的正方形面积，S 2表示以BC 为长，BE 为宽的矩形面积，S 3表示正方形ABCD 除去S 1和S 2剩余的面积，则S 3：S 2的值为（ ） A ．√5−12B ．√5+12C ．3−√52D ．3+√52【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中AC =√5−12AB ，进行计算即可．【解答】解：如图，设AB ＝1，∵点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AE ＞EB ， ∴AE ＝GF =√5−12，∴BE ＝FH ＝AB ﹣AE =3−√52， ∴S 3：S 2＝（GF •FH ）：（BC •BE ）＝（√5−12×3−√52）：（1×3−√52） =√5−12．故选：A ．【点评】本题考查了黄金分割、矩形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．【变式2-3】（2020•泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足MG MN =GNMG =√5−12，后人把√5−12这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则△ADE 的面积为（ ） A ．10﹣4√5B ．3√5−5C ．5−2√52D ．20﹣8√5【分析】作AH ⊥BC 于H ，如图，根据等腰三角形的性质得到BH ＝CH =12BC ＝2，则根据勾股定理可计算出AH =√5，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到BE =√5−12BC ＝2√5−2，则计算出HE ＝2√5−4，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：作AH ⊥BC 于H ，如图，∵AB ＝AC ，∴BH ＝CH =12BC ＝2， 在Rt △ABH 中，AH =√32−22=√5，∵D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点， ∴BE =√5−12BC ＝2（√5−1）＝2√5−2，∴HE ＝BE ﹣BH ＝2√5−2﹣2＝2√5−4，∴DE ＝2HE ＝4√5−8∴S △ADE =12×（4√5−8）×√5=10﹣4√5．故选：A ．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC ＝AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中AC =√5−12AB ≈0.618AB ，并且线段AB 的黄金分割点有两个．也考查了等腰三角形的性质．三、成比例线段、比例的基本性质（1）①a ：b=c ：d ad=bc ②a ：b=b ：c .（a,b,c,d,都不为0）；（2）合比性质：d dc b b ad c b a ±=±⇔=； （3）等比性质：ban d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇔≠+++=== )0(例3.已知非零实数a,b,c,满足,34,13125=+==b a cb a 且求c 的值。
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第16讲相似形及比例线段知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础偏上B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先主要对相似多边形的概念和性质进行讲解，重点是理解相似形的相关概念和相似多边形性质的运用，通过对相似多边形的学习，为后面学习相似三角形的知识奠定基础。
其次主要讲解比例线段的有关概念和性质，重点在于理解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换，并能结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题。
最后学习平行线分线段成比例定理，为下面相似三角形的学习奠定基础。
知识梳理讲解用时：30分钟相似形的概念及性质1、相似形的概念把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形。
2、相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例；当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1。
比例线段相关概念及性质1、比和比例 一般来说，两个数或两个同类的量a 与b 相除，叫做a 与b 的比，记作:a b （或表示为ab）；如果::a b c d =（或a c bd=），那么就说a 、b 、c 、d 成比例。
2、比例的性质 （1）基本性质： 如果a cbd=，那么ad bc =；如果a c b d =，那么b d a c =，a b c d =，c da b=． （2）合比性质：如果a c bd =，那么a b c d b d++=； 如果a c b d =，那么a b c d b d--=． （3）等比性质： 如果a c k b d ==，那么a c a ck b d b d +===+（如果是实数运算，要注意强调0b d +≠）。
3、比例线段的概念 对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果::a b c d =（或表示为ac bd=），那么a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。
4、黄金分割如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP PB >）两段（如下图），其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点．其中，510.6182AP AB -=≈，称为黄金分割数，简称黄金数。
APB平行线分线段成比例定理1、平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例。
如图，直线1l //2l //3l ，直线m 与直线n 被直线1l 、2l 、3l 所截，那么DF EGFB GC2、平行线等分线段定理 两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等。
BCD E FG课堂精讲精练【例题1】下列说法正确的是（）A．矩形都是相似图形B．各角对应相等的两个五边形相似C．等边三角形都是相似三角形D．各边对应成比例的两个六边形相似【答案】C【解析】本题考查了相似图形的定义，A.矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误；B.各角对应相等的两个五边形相似，对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误；C.等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以是相似三角形，故本选项正确；D.各边对应成比例的六边形对应角不一定相等，所以不一定是相似六边形，故本选项错误；故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项分析判断后利用排除法求解。
教学建议：注意从边与角两个方面考虑解答。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：合肥模拟年份：2018【练习1】“相似的图形”是（）A．形状相同的图形B．大小不相同的图形C．能够重合的图形D．大小相同的图形【答案】A【解析】本题考查了相似图形的定义，相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，故选：A．讲解用时：2分钟解题思路：根据相似形的定义直接进行判断即可。
教学建议：根据相似形的定义直接进行判断。
难度：2 适应场景：当堂练习例题来源：普陀区一模年份：2017【例题2】观察下列每组图形，相似图形是（）。
A．B．C．D．【答案】【解析】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键。
A、两图形形状不同，故不是相似图形；B、两图形形状不同，故不是相似图形；C、两图形形状不同，故不是相似图形；D、两图形形状相同，故是相似图形；故选：D．讲解用时：3分钟解题思路：根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案。
教学建议：逐项比较排除。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：临洮县期中年份：2018春【练习2】在下面的图形中，相似的一组是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题考查了相似图形的判定，A、六边形与五边形不可能是相似图形，故本选项错误；B、两图形不是相似图形，故本选项错误；C、∵90°﹣40°=50°，∵两三角形相似，故本选项正确；D、直角梯形与等腰梯形不是相似图形，故本选项错误．故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：根据相似图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解。
教学建议：逐项比较排除。
难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：大连期末年份：2016秋【例题3】若将一个正方形的各边长扩大为原来的4倍，则这个正方形的面积扩大为原来的（）。
A．16倍B．8倍C．4倍D．2倍【答案】A【解析】本题考查相似图形问题，根据正方形面积的计算方法和积的变化规律，如果一个正方形的边长扩大为原来的4倍，那么正方形的面积是原来正方形面积的4×4=16倍，故选：A．讲解用时：3分钟解题思路：根据正方形的面积公式：s=a2，和积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积，由此解答。
教学建议：从正方形面积基本计算公式入手分析。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：河西区期末年份：2016秋【练习3】对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（）A．图形中线段的长度与角的大小都会改变B．图形中线段的长度与角的大小都保持不变C ．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D ．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变【答案】D【解析】此题主要考查了相似图形的性质，对一个图形进行放缩时，图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变，故选：D ． 讲解用时：3分钟解题思路：直接利用相似图形的性质分析得出答案。
教学建议：直接利用相似图形的性质分析得出答案。
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：浦东新区期中 年份：2017秋【例题4】如图，取一张长为a ，宽为b 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a 、b 应满足的条件是（ ）。
A ．a=2bB ．a=2bC ．a=22bD ．a=4b【答案】B【解析】本题考查了相似多边形对应边成比例的性质，由题意可知对折两次后的小长方形的长为b ，宽为41a ， ∵小长方形与原长方形相似，∵a bb a 41，∵a=2b ，故选：B ． 讲解用时：4分钟解题思路：根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可得解。
教学建议：准确表示出小长方形的长和宽再进行分析。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：抚州期末 年份：2017秋【练习4】已知A4纸的宽度为21cm ，如图对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则A4纸的高度约为（ ）。
A ．24.8cmB ．26.7cmC ．29.7cmD ．无法确定 【答案】C【解析】本题考查了相似三角形多边形对应边成比例的性质，设A4纸的高度为xcm ，则对折后的矩形的高度为2x， ∵对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，∵21221xx =， 解得x=212≈29.7cm ，即A4纸的高度约为29.7cm ，故选：C ． 讲解用时：8分钟解题思路：设A4纸的高度为xcm ，对折后的矩形的高度为2x，然后根据相似多边形的对应边成比例列方程求解即可。
教学建议：根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可。
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：滨湖区期末 年份：2017秋【例题5】已知43=y x ，那么下列等式中，不成立的是（ ）。
A ．73=+y x x B ．41=-y y x C ．4343=++y x D ．4x=3y 【答案】B【解析】此题主要考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题关键。
A 、∵43=y x ，∵73=+y x x ，此选项正确，不合题意； B 、∵43=y x ，∵41-=-y y x ，此选项错误，符合题意； C 、∵43=y x ，∵4343=++y x ，此选项正确，不合题意； D 、∵43=y x ，∵4x=3y ，此选项正确，不合题意； 故选：B ． 讲解用时：5分钟解题思路：直接利用比例的性质将原式变形进而得出答案。
教学建议：利用比例性质进行分析或者设特殊值求解。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：徐汇区一模 年份：2018【练习5】已知：a 、b 是不等于0的实数，2a=3b ，那么下列等式中正确的是（ ）。
A ．32=b a B ．23=b a C ．34=+b b a D ．35=+b b a 【答案】B【解析】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，A 、由32=b a 得，3a=2b ，故本选项错误； B 、由23=b a 得，2a=3b ，故本选项正确；C 、由34=+b b a 得，3（a+b ）=4b ，整理得，3a=b ，故本选项错误； D 、由35=+b b a 得，3（a+b ）=5b ，整理得，3a=2b ，故本选项错误． 故选：B ． 讲解用时：4分钟解题思路：根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解。
教学建议：利用比例性质进行分析或者设特殊值求解。
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：金山区一模 年份：2018【例题6】如图，已知l 1//l 2//l 3，直线AB 分别交l 1、l 2、l 3于A 、E 、B 点，直线CD 分别交l 1、l 2、l 3于C 、F 、D 三点，且AE=2，BE=4，则FDCF的值为（ ）。
A ．21 B ．31 C ．32D ．2【答案】A【解析】本题考查平行线分线段成比例定理，∵l 1//l 2//l 3，∵FDCFEB AE =， ∵AE=2，BE=4，∵21=FD CF ，故选：A ．讲解用时：5分钟解题思路：根据平行线分线段成比例定理即可解决问题。
教学建议：熟练利用平行线分线段成比例定理进行分析。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：龙华区期末 年份：2017秋【练习6】如图，直线a 、b 、c 分别与直线m 、n 交于点A 、B 、C 、D 、E 、F ，已知直线a//b//c ，若AB=2，BC=3，则EFDE的值为（ ）。