第十三章 达朗贝尔原理
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第十三章 达朗贝尔原理
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
O
η
θ
mg
dFI A y
η
3. 建立平衡方程：
ω
M
Oxi
l mg sin cosdFI 0 2 0
l
3g arccos 2 2 l
§2 刚体动力学中的达朗贝尔原理
刚体为一个质点系，其上每一个质点加上惯性 力后，成为一个分布力系，此力系应与刚体所受外 力构成平衡力系。
ma a
FW
FI
一、质点的达朗贝尔原理
则有 F FN FI 0
记 FI ma
ma FR F FN F FN ma 0
M
称为质点的惯性力， 与加速度方向相反
a FN
F
FR
F FN FI 0
ω
C i FI FIi FIin
故定轴转动刚体惯性力系简化为：
作用在转轴上，且与质心加速 度方向相反的惯性力FI=maC
在对称平面内，转向与角加速度方 向相反的惯性力偶MIO=JOα
ω α
MIO
O
FI C
aC
主矢和主矩作用在转动轴与对称平面相交的O点处
在对称面内向质心C简化
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
FI mi ai maC
主矩
mi ri ri i )
FIit
FIin
若转轴过质心，则惯性力系 简化的结果仅为一力偶，其矩与 角加速度方向相反，MIC=JCα
FI
MIO
理论力学 第十三章达朗贝尔原理
二、质点系的达朗贝尔原理
设有一质点系由n个质点组成 第i个质点Mi，质量mi，受主动力 F， i 约束反力 FNi 作用，加速度为 ai ,对每一个质点，有： G G Fi mi ai Fi FNi Fi 0 (i 1, 2,, n)
表示为力系形式： G G G (F1,, Fi ,, Fn , FN1,, FNi ,, FNn , F 1 ,, F i ,, F n )0
G rC为刚体质心相对于质心 的矢径， rC 0MC 0
结论：刚体作平动时，惯性力系对质心C的主矩为零。
19
mi ri aC mrC aC
§13–2 刚体惯性力系的简化
三、刚体作定轴转动
讨论具有质量对称平面且转轴垂直于质量对称平面 的情况。（刚体的空间惯性力系投影在对称平面内 的平面力系，再将此平面力系向O点简化，O点为质 量对称平面与转轴Z的交点。） 空间惯性力系 平面惯性力系 （质量对称面） 直线 i : 平动， 过Mi点，惯性力系 G 为
将质点系受力按内力、外力划分：
（内力是大小相等，方向相反成 对出现，所以内力主矢和对任意点 的主矩分别恒为零）
e e e G G G (F1 ,, Fi ,, Fn , F1 ,, Fi ,, Fn ) 0 e G Fi Fi 0 e G M O ( Fi ) M O ( Fi ) 0
1
第十三章
达朗贝尔原理
§13–1 达朗贝尔原理 §13–2 刚体惯性力系的简化
§13–3 绕定轴转动刚体的动约束力
静平衡和动平衡的概念
2
第十三章
达朗贝尔原理
法国科学家达朗贝尔（J.le Rond d’Alembert)将适 用于自由质点的牛顿定律（第二定律）推广至受约束质 点，并于1743年提出了受约束质点动力学问题的一个原 理—达朗贝尔原理。 达朗贝尔原理为非自由质点系动力学的发展奠定了 基础。该原理提出一百多年后，后人引入了惯性力的概 念，并应用达朗贝尔原理中包含的用静力学中研究平衡 的方法研究动力学中不平衡问题的思想，将这一原理发 展成求解非自由质点系动力学问题的普遍而有效的方法， 称为动静法。 由于动静法简单有效，易于掌握，因此在工程技 术中得到了广泛应用。
设有一质点系由n个质点组成 第i个质点Mi，质量mi，受主动力 F， i 约束反力 FNi 作用，加速度为 ai ,对每一个质点，有： G G Fi mi ai Fi FNi Fi 0 (i 1, 2,, n)
表示为力系形式： G G G (F1,, Fi ,, Fn , FN1,, FNi ,, FNn , F 1 ,, F i ,, F n )0
G rC为刚体质心相对于质心 的矢径， rC 0MC 0
结论：刚体作平动时，惯性力系对质心C的主矩为零。
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mi ri aC mrC aC
§13–2 刚体惯性力系的简化
三、刚体作定轴转动
讨论具有质量对称平面且转轴垂直于质量对称平面 的情况。（刚体的空间惯性力系投影在对称平面内 的平面力系，再将此平面力系向O点简化，O点为质 量对称平面与转轴Z的交点。） 空间惯性力系 平面惯性力系 （质量对称面） 直线 i : 平动， 过Mi点，惯性力系 G 为
将质点系受力按内力、外力划分：
（内力是大小相等，方向相反成 对出现，所以内力主矢和对任意点 的主矩分别恒为零）
e e e G G G (F1 ,, Fi ,, Fn , F1 ,, Fi ,, Fn ) 0 e G Fi Fi 0 e G M O ( Fi ) M O ( Fi ) 0
1
第十三章
达朗贝尔原理
§13–1 达朗贝尔原理 §13–2 刚体惯性力系的简化
§13–3 绕定轴转动刚体的动约束力
静平衡和动平衡的概念
2
第十三章
达朗贝尔原理
法国科学家达朗贝尔（J.le Rond d’Alembert)将适 用于自由质点的牛顿定律（第二定律）推广至受约束质 点，并于1743年提出了受约束质点动力学问题的一个原 理—达朗贝尔原理。 达朗贝尔原理为非自由质点系动力学的发展奠定了 基础。该原理提出一百多年后，后人引入了惯性力的概 念，并应用达朗贝尔原理中包含的用静力学中研究平衡 的方法研究动力学中不平衡问题的思想，将这一原理发 展成求解非自由质点系动力学问题的普遍而有效的方法， 称为动静法。 由于动静法简单有效，易于掌握，因此在工程技 术中得到了广泛应用。
《理论力学》--第十三章 达朗贝尔原理(动静法)
例13-7 已知：如图所示,轮盘(连同轴)的质量 m 20kg, 转轴AB与轮盘的质量对称面垂直,但轮盘的质心 C不在转轴上,偏心距 e 0.1mm. 当轮盘以均转速 转动. n 12000 r min 求：轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 2 an e m s 158 m s 2 1000 30
2
FI man 3160 N 1 FNA FNB mg FI 2
1 20 9.8 3160N 1680N 2
(e) Fi 为作用于第i个质点上质点系外部物体的作用力. (i) Fi 为作用于第i个质点上质点系内部的力. (e) (i) Fi Fi Fi 0 i 1,2,, n
例13-2 已知:如图所示,定滑轮的半径为r ,质量为m 均匀分布在轮缘 上,绕水平轴Ｏ转动.垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量 为m1 和m2 的重物(m１>m2),绳与轮间不打滑,轴承摩擦 忽略不计。 求:重物的加速度.
例13-1 已知: 求:
m 0.1kg , l 0.3m , 60
v, FT .
解:
v2 FI man m l sin mg FT FI 0
Fb Fn
0, FT cos mg 0 0, FT sin FI 0
Fs f s FN f s m1 m2 g
Fs 3m1 fs FN 2m1 m2
D
§ 13-4
绕定轴转动刚体的轴承动约束力
F
x
0 FA x FB x FR x FI x 0
F
y
0 FA y FB y FR y FI y 0
达朗贝尔原理
e i F F 把作用于i质点的所有力分为外力的合力 i ，内力的合力 i ，则
F F FIi 0 ( i 1,2,......,n )
e i i i
上式表明，质点系中每个质点上作用的外力、内力和惯性力在 形式上构成平衡力系。由静力学知，空间任意力系平衡的充分 必要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即
达朗贝尔原理
动力学
达朗贝尔原理
3 质点系的达朗贝尔原理
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点i，有
Fi FNi FIi 0 ( i 1,2,...... , n )
该式表明，质点系中每个质点上真实作用的主动力、约束反力 和假想加上的惯性力在形式上组成平衡力系。这就是质点系的 达朗贝尔原理。
iy iz (e) (e)
F F
FIix 0 ,
Iiy
0 , 0 ,
Iiz
M (F M (F
y z
M x ( Fi (e) )
i (e)
i
(e)
M (F ) 0 ) M (F ) 0 ) M (F ) 0
x Ii y Ii z Ii
动力学
达方向、作用物体；
• 2、质点的达朗贝尔原理；
• 3、质点系的达朗贝尔原理及其分量表述。
动力学
达朗贝尔原理
达朗贝尔原理
§13-1 惯性力 ·达朗贝尔原理
动力学
达朗贝尔原理
本章介绍动力学的一个重要原理—— 达朗贝尔原理。应用这一原理，可以把动 力学问题从形式上转化为静力学问题，并
利用静力学中研究平衡问题的方法来求解。
这种解答动力学问题的方法，也称动静法。
动力学
达朗贝尔原理
F F FIi 0 ( i 1,2,......,n )
e i i i
上式表明，质点系中每个质点上作用的外力、内力和惯性力在 形式上构成平衡力系。由静力学知，空间任意力系平衡的充分 必要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即
达朗贝尔原理
动力学
达朗贝尔原理
3 质点系的达朗贝尔原理
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点i，有
Fi FNi FIi 0 ( i 1,2,...... , n )
该式表明，质点系中每个质点上真实作用的主动力、约束反力 和假想加上的惯性力在形式上组成平衡力系。这就是质点系的 达朗贝尔原理。
iy iz (e) (e)
F F
FIix 0 ,
Iiy
0 , 0 ,
Iiz
M (F M (F
y z
M x ( Fi (e) )
i (e)
i
(e)
M (F ) 0 ) M (F ) 0 ) M (F ) 0
x Ii y Ii z Ii
动力学
达方向、作用物体；
• 2、质点的达朗贝尔原理；
• 3、质点系的达朗贝尔原理及其分量表述。
动力学
达朗贝尔原理
达朗贝尔原理
§13-1 惯性力 ·达朗贝尔原理
动力学
达朗贝尔原理
本章介绍动力学的一个重要原理—— 达朗贝尔原理。应用这一原理，可以把动 力学问题从形式上转化为静力学问题，并
利用静力学中研究平衡问题的方法来求解。
这种解答动力学问题的方法，也称动静法。
动力学
达朗贝尔原理
理论力学第7版第十三章达朗贝尔定理
例：已知均质杆l, m， 弹簧刚
度 k, AB水平时平衡，弹簧拉
长变形 0
系统平衡 M A(F) 0
k 0 l
mg
l 2
0
mg 2k
k 0 mg
弹簧取自然位置O为零势能点,重力以杆水平位置为零势能点:
V
1 2
k
0
l
2
mg
l
2
1 k 2l 2 m2 g 2
2
8k
取杆平衡位置为弹簧和杆的零势能点: （重力-弹力系统常采用）
V
1 2
k
2
02
mg l
2
其中
0 l
, 0
mg 2k
1 2
k
2 0
2 0l
2l 2
02
mg l
2
V 1 k 2l 2
2
质点系在势力场中运动,有势力功可通过势能计算。
W10 W12 W20
W10 V1, W20 V2
W12 V1 V2
有势力所作的功等于质点 系在运动过程的初始与终了位 置的势能的差。
第十三章 动能定理
13-1 力的功
力的功——是力沿路程累积效应的度量。
1. 常力在直线运动中的功:
W F cos s
力的功是代数量。 时,
正功；
2
时,功为零；
2
2
时,负功。
单位: J（焦耳） 1 J = 1 N·m
2. 变力在曲线运动中的功:
元功 w F cos ·ds
F ·dr
Fxdx Fydy Fzdz
静止开始转动； 求曲柄的角速度 (以转角 的函数表示) 和角加
速度。
解：取整个系统为研究对象
第十三章达朗贝尔原理
解:1,运动分析与加速度分析 杆件AB跟随汽车作平移, 杆件AB跟随汽车作平移,因 跟随汽车作平移 此杆件上各点都具有与汽车行 驶加速度a 相同的加速度. 驶加速度a 相同的加速度. 2,受力分析 杆件重力W 杆件重力W; 在杆件AB各点上施加惯性力 在杆件AB各点上施加惯性力 约束力F 约束力FNA,FBx, FBy 3,应用动静法
■
达朗贝尔原理与惯性力 达朗贝尔原理与惯性力
例 题2
y 振动筛
y
O
平衡位置
y=a sin ω t 求:颗粒脱离台面的 最小振动频率
y FN m
y
FI
解:通过分析受力,分析运动并施加惯性 通过分析受力, 确定颗粒脱离台面的位置和条件. 力,确定颗粒脱离台面的位置和条件. y
a W O
平衡位置
y
O FN m a W
◇ 刚体惯性力系简化
☆刚体作平移 ☆刚体作定轴转动(转轴垂直于对称面) 转轴垂直于对称面) ☆刚体作平面运动(平行于对称平面) 平行于对称平面)
☆ 刚体作平移
刚体作平移时,每一瞬时刚体内各质点的加速度相 刚体作平移时, 同,都等于质心的加速度即 ai = aC m2 FI1 FIR FIn m1
对质系中的每个质点i ai 对质系中的每个质点 :
Fi + FNi + FIi = 0 式中FIi = mai i
a2
主动力系,约束力系,惯性力系组成形 主动力系,约束力系, 式上的平衡力系, 式上的平衡力系,则:
∑F + ∑F + ∑F =F
i Ni Ii i i i
R
= 0
∑M
i
O
(Fi ) + ∑MO (FNi ) + ∑MO (FIi )=MO= 0
第13章 达朗贝尔原理
绕水平轴 O 转动。突然剪断绳，求圆
盘的角加速度和轴承O处的反力。
FIO
n FIO
a a
n C
t C
B
r
解：1.取圆盘 2.受力分析如图 3. 定轴转动 atC , anC , . 虚加惯性力（转轴O ）
n IO n C
O
FOy
FOx
C
主矢 FIO = Mac FIO maC mr
2.转轴通过质心，但 0 。
M IO J O
3.刚体作匀速转动，且转轴通过质心。
FIR 0 , M IO 0
平面运动(向质心点简化)
将平面运动分解为跟随基点 C的平移和绕基点C的转动 主矢 大小： FIC = Mac 虚加点：刚体质心C上
大小： MIC = JC
C
几个工程实际问题
几 个 工 程 实 际 问 题
爆 破 时 烟 囱 怎 样 倒 塌
几 个 工 程 实 际 问 题
惯性力
定义：由于物体具有惯性，抵抗其 FI
运动状态改变，而给予外界 的一种反作用力。
F m
a
大小： FI = ma FI ma 方向： FI与a的方向相反 作用点：在施力物体上 F v a 动静法(达朗伯原理) FI 1. 质点 F + FN＝ FR =m a m F FR N F + FN +(－ m a) ＝0 F + FN ＋ FI ＝0 －－质点的达朗贝尔原理
x F 主矢 FIC = Mac Ic macx y 主矩 MIC = Jc FIc macy 1 2 M Ic ml 方向如图 12
O
FT A l FICx θ FICy C mg l B MIC
理论力学13—达朗贝尔原理
(e)
(i)
F i ? F i ? FIi ? 0 (i ? 1,2, ???, n)
质点系中第 i个质点上作用的外力、内力和它的惯性
力在形式上组成平衡力系。由静力学知，空间任意
力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对于任一
点的主矩等于零，即
Σ Fi(e) ? ΣFi(i) ? ΣFIi ? 0
ΣM
O (Fi(e) )
得
FIR ? ΣFIi ? ? ΣFi(e) ? ? maC
此式表明：无论刚体作什么运动 , 惯性力系的主矢都等 于刚体的质量与其质心加速度的乘积 , 方向与质心加速 度的方向相反 。
arccos(
3g
2lw
2
)
例 3 已知：m ，R， w。 求：轮缘横截面的张力。
解： 取上半部分轮缘为研究对象
F?i
?
m
2?R
Rd?
?Rw2
? Fy ? 0 ? F?i sin? ? 2FT ? 0
? FT
?
1 2
?
0
m Rw 2 sin?d? 2?
? mRw 2 2?
R O
w
y
FIi
d?
? O
第十三章 达朗贝尔原理
? 达朗贝尔原理 ? 刚体惯性力系的简化
引言
前面介绍的动力学普遍定理 , 为解决质点 系动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗 贝尔原理为解决非自由质点系动力学问题提 供了另一种普遍的方法。这种方法的特点是： 用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学 的不平衡问题, 因此这种方法又叫动静法。由 于静力学研究平衡问题的方法比较简单 , 也容 易掌握, 因此动静法在工程中被广泛使用。
? FI ?
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Fi + FNi +FIi=0 (i = 1，2，…，n) 上式表明，质点系运动的每一瞬时，作用于系内每个质
点的主动力、约束反力和该质点的惯性力组成一个平衡力
系。这就是质点系的达朗贝尔原理。
如果把真实作用于第i个质点上的所有力分成外力Fie 和内力Fii，则上式可改写为
Fie + Fii +FIi=0 (i = 1，2，…，n) 这表明，质点系中每个质点上作用真实的外力、内力
第13章 达朗贝尔原理
13.1 惯性力·质点的达朗贝尔原理 13.2 质点系的达朗贝尔原理 13.3 刚体惯性力系的简化
13.1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
13.1.1 惯性力的概念
一工人在水平光滑直线轨道上推质量为m 的小车，如 图所示。由牛顿第二定律可知F=ma。由于小车具有惯性， 这个惯性力图使小车保持其原来的运动状态而给手一个反
的绳上，绳的另一端系在固定点O。当小球在水平面内以
速度v 做匀速圆周运动时，绳子与铅垂线成θ角。用达朗
贝尔原理求速度v与θ角之间的关系。 解：选小球为研究对象，受力
分析如图所示。由达朗贝尔原理， 列“静力”平衡方程
FNsin FI 0
O
l
FNcos mg 0
解得 FI mgtan
由于
v2 FI man m lsin
和虚假的惯性力在形式上组成一平衡力系。
对于由n个质点组成的质点系，由于每一个质点处于平 衡，整个质点系也就处于平衡。对于整个质点系的平衡， 由静力学中的平衡条件可知，空间任意力系平衡的充分必 要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即
Fie
Fii
F 0 Ii
MO (Fie ) MO (Fii ) MO (F Ii ) 0
FN
an
v
mg FI
解得 v gl tan sin
【例13-2】 如图所示的列车在水平轨道上行驶，车厢内悬
挂一单摆，摆锤的质量为m。当车厢向右做匀加速运动时，
单摆向左偏转的角度为 ，求车厢的加速度a。
解：选摆锤为研究对象，受力分析如图所示。由
达朗贝尔原理，列x方向的平衡方程
a
mgsin FIcos 0
列平衡方程
m3 g
MO(Fi) 0 (m1g F1 m2g F2)r Fir 0
解得
a m1 m2 g m1 m2 m3
FI1
a
A
m1 g
a'’ B
m2 g
FI2
13.3 刚体惯性力系的简化
对于作任意运动的质点系，把实际所受的力系和虚加 惯性力系向任意点O简化，所得的主矢和主矩分别记为FR， MO，FIR，MIO，由力系的平衡条件，可得
刚体做平动时，刚体的惯性力系构成一组相互平行的 力系。任选一点O为简化中心，主矩用MIO表示，有
MΙO ri FΙi ri (miai )
( miri ) aC mrC aC rC FIR
如果取质心C为力系的简化中心，即rC=0，则惯性力系 的主矩恒等于零。因而，刚体平动时惯性力系可以简化为 作用在质心上的一个合力FIR。
v
R
F
O an
O
F'
F' F man
即小球的惯性力大小等于小球的质量与加速度的乘积， 方向和加速度的方向相反。
质点惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积， 方向与质点加速度的方向相反。
13.1.2 质点的达朗贝尔原理
设一质点的质量为m，在主动力F和约束外力FN的共同 作用下，产生的加速度为a，如图所示。根据牛顿第二定
由于
FI ma
FN
FI mg x
解得
a g tan
当加速度固定时，单摆偏角也固定不变。因此，只要 测得偏转角，就能知道列车的加速度。这就是摆式加速计 的原理。
13.2 质点系的达朗贝尔原理
设有n个质点组成的质点系，其中任一个质点i 的质量 为mi，加速度为ai，此质点上除了作用有真实的主动力Fi 和约束反力FNi外，还假想地在这个质点上增加它的惯性 力FIi，由质点的达朗贝尔原理，有
由于质点系的内力总是成对出现的，且等值反向共线，
它们相互抵消，这样，上面两式可简化为
Fie FIi 0
MO (Fie )
MO (FIi ) 0
上式表明，作用于质点系上的所有外力与虚加在每一
个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系，这就是质点系
达朗贝尔原理的又一表述形式。
【例13-3】 如图所示的定滑轮半径为r，质量为m3均匀分 布在轮缘上,可绕水平轴O转动。跨过滑轮的无重绳的两端 挂有质量分别为m1和m2的两重物(m1>m2), 绳和轮之间不 打滑，轴承摩擦忽略不计，求重物的加速度。
作用力F， 由作用和反作用定律，可知
F a
F' F ma
即小车的惯性力大小等于 小车的质量与加速度的乘积， 方向和加速度的方向相反。
(a)
F'
F
a
(b)
质量为m的小球，在光滑的水平面内通过绳子绕中心轴
O作匀速圆周运动,圆周的半径为R，小球的速度为v，加速
度为an，如图所示。由于小球的惯性，小球将给予绳子一 个反作用力F'。
FR FR 0 MO MO 0
由质心运动定理FR=maC，有
FR mac
即质点系惯性力系的主矢恒等于质点系总质量与质心 加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反。
惯性力系的主矩，一般说来也与简化中心的位置有关。 下面对刚体平移，定轴转动、平面运动时惯性力系简化的 主矩进行讨论。
13.3.1 刚体做平动
13.3.2 刚体做定轴转动
当刚体有质量对称面且绕垂直于该对称平面的轴作定轴 转动时，惯性力系向转轴与对称平面的交点O简化，最后就 得到一个力FIR和矩为MIO的力偶。这个力等于刚体质量与质 心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反。这个力偶 的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与 角加速度相反。
律，有
F FN ma
即
FI
m F
F FN (ma) 0
பைடு நூலகம்
FN ma
上式 –ma 即为质点的惯性力，用FI 来表示，于是上式可写为 F FN FI 0
质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动力、约束反 力以及假想加在质点上的惯性力，在形式上组成一平衡力 系，这就是质点的达朗贝尔原理。
【例13-1】一圆锥摆如图所示。质量为m的小球系于长为l
解：以滑轮和两重物组成的质点系 为研究对象，受力分析如图所示。 Fni FΙi
mi
F Oy
O
m3 g
FI1
a
A
m1 g
a'’ B
m2 g
FI2
滑轮可视为由许多质点组成的质点系。记轮缘上
任一点i 的质量为mi，该质点的惯性力的大小为
Fin
mi
v2 r
Fi mir mia
Fni
FΙi
mi
F Oy
O
点的主动力、约束反力和该质点的惯性力组成一个平衡力
系。这就是质点系的达朗贝尔原理。
如果把真实作用于第i个质点上的所有力分成外力Fie 和内力Fii，则上式可改写为
Fie + Fii +FIi=0 (i = 1，2，…，n) 这表明，质点系中每个质点上作用真实的外力、内力
第13章 达朗贝尔原理
13.1 惯性力·质点的达朗贝尔原理 13.2 质点系的达朗贝尔原理 13.3 刚体惯性力系的简化
13.1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
13.1.1 惯性力的概念
一工人在水平光滑直线轨道上推质量为m 的小车，如 图所示。由牛顿第二定律可知F=ma。由于小车具有惯性， 这个惯性力图使小车保持其原来的运动状态而给手一个反
的绳上，绳的另一端系在固定点O。当小球在水平面内以
速度v 做匀速圆周运动时，绳子与铅垂线成θ角。用达朗
贝尔原理求速度v与θ角之间的关系。 解：选小球为研究对象，受力
分析如图所示。由达朗贝尔原理， 列“静力”平衡方程
FNsin FI 0
O
l
FNcos mg 0
解得 FI mgtan
由于
v2 FI man m lsin
和虚假的惯性力在形式上组成一平衡力系。
对于由n个质点组成的质点系，由于每一个质点处于平 衡，整个质点系也就处于平衡。对于整个质点系的平衡， 由静力学中的平衡条件可知，空间任意力系平衡的充分必 要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即
Fie
Fii
F 0 Ii
MO (Fie ) MO (Fii ) MO (F Ii ) 0
FN
an
v
mg FI
解得 v gl tan sin
【例13-2】 如图所示的列车在水平轨道上行驶，车厢内悬
挂一单摆，摆锤的质量为m。当车厢向右做匀加速运动时，
单摆向左偏转的角度为 ，求车厢的加速度a。
解：选摆锤为研究对象，受力分析如图所示。由
达朗贝尔原理，列x方向的平衡方程
a
mgsin FIcos 0
列平衡方程
m3 g
MO(Fi) 0 (m1g F1 m2g F2)r Fir 0
解得
a m1 m2 g m1 m2 m3
FI1
a
A
m1 g
a'’ B
m2 g
FI2
13.3 刚体惯性力系的简化
对于作任意运动的质点系，把实际所受的力系和虚加 惯性力系向任意点O简化，所得的主矢和主矩分别记为FR， MO，FIR，MIO，由力系的平衡条件，可得
刚体做平动时，刚体的惯性力系构成一组相互平行的 力系。任选一点O为简化中心，主矩用MIO表示，有
MΙO ri FΙi ri (miai )
( miri ) aC mrC aC rC FIR
如果取质心C为力系的简化中心，即rC=0，则惯性力系 的主矩恒等于零。因而，刚体平动时惯性力系可以简化为 作用在质心上的一个合力FIR。
v
R
F
O an
O
F'
F' F man
即小球的惯性力大小等于小球的质量与加速度的乘积， 方向和加速度的方向相反。
质点惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积， 方向与质点加速度的方向相反。
13.1.2 质点的达朗贝尔原理
设一质点的质量为m，在主动力F和约束外力FN的共同 作用下，产生的加速度为a，如图所示。根据牛顿第二定
由于
FI ma
FN
FI mg x
解得
a g tan
当加速度固定时，单摆偏角也固定不变。因此，只要 测得偏转角，就能知道列车的加速度。这就是摆式加速计 的原理。
13.2 质点系的达朗贝尔原理
设有n个质点组成的质点系，其中任一个质点i 的质量 为mi，加速度为ai，此质点上除了作用有真实的主动力Fi 和约束反力FNi外，还假想地在这个质点上增加它的惯性 力FIi，由质点的达朗贝尔原理，有
由于质点系的内力总是成对出现的，且等值反向共线，
它们相互抵消，这样，上面两式可简化为
Fie FIi 0
MO (Fie )
MO (FIi ) 0
上式表明，作用于质点系上的所有外力与虚加在每一
个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系，这就是质点系
达朗贝尔原理的又一表述形式。
【例13-3】 如图所示的定滑轮半径为r，质量为m3均匀分 布在轮缘上,可绕水平轴O转动。跨过滑轮的无重绳的两端 挂有质量分别为m1和m2的两重物(m1>m2), 绳和轮之间不 打滑，轴承摩擦忽略不计，求重物的加速度。
作用力F， 由作用和反作用定律，可知
F a
F' F ma
即小车的惯性力大小等于 小车的质量与加速度的乘积， 方向和加速度的方向相反。
(a)
F'
F
a
(b)
质量为m的小球，在光滑的水平面内通过绳子绕中心轴
O作匀速圆周运动,圆周的半径为R，小球的速度为v，加速
度为an，如图所示。由于小球的惯性，小球将给予绳子一 个反作用力F'。
FR FR 0 MO MO 0
由质心运动定理FR=maC，有
FR mac
即质点系惯性力系的主矢恒等于质点系总质量与质心 加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反。
惯性力系的主矩，一般说来也与简化中心的位置有关。 下面对刚体平移，定轴转动、平面运动时惯性力系简化的 主矩进行讨论。
13.3.1 刚体做平动
13.3.2 刚体做定轴转动
当刚体有质量对称面且绕垂直于该对称平面的轴作定轴 转动时，惯性力系向转轴与对称平面的交点O简化，最后就 得到一个力FIR和矩为MIO的力偶。这个力等于刚体质量与质 心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反。这个力偶 的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与 角加速度相反。
律，有
F FN ma
即
FI
m F
F FN (ma) 0
பைடு நூலகம்
FN ma
上式 –ma 即为质点的惯性力，用FI 来表示，于是上式可写为 F FN FI 0
质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动力、约束反 力以及假想加在质点上的惯性力，在形式上组成一平衡力 系，这就是质点的达朗贝尔原理。
【例13-1】一圆锥摆如图所示。质量为m的小球系于长为l
解：以滑轮和两重物组成的质点系 为研究对象，受力分析如图所示。 Fni FΙi
mi
F Oy
O
m3 g
FI1
a
A
m1 g
a'’ B
m2 g
FI2
滑轮可视为由许多质点组成的质点系。记轮缘上
任一点i 的质量为mi，该质点的惯性力的大小为
Fin
mi
v2 r
Fi mir mia
Fni
FΙi
mi
F Oy
O