高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理练习含解析
高二数学 第一章1.3.1 二项式定理
本
解析 依题意 C57a2＋C37a4＝2C74a3.
课
时 由于 a≠0，整理得 5a2－10a＋3＝0，
栏
目 开 关
解得
a＝1±
10 5.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.3.1
4．求2
x－
1 6 x
的展开式．
解 先将原式化简，再展开，得
本
2 x－ 1x6＝2x－x 16＝x13(2x－1)6
开 关
(a＋b)在相乘时都有两种选择：选 a 或选 b，而且每个(a＋b)
中的 a 或 b 都选定后，才能得到展开式的一项．由分步乘法
计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2 展开式共有 2×2＝
22 项，而且 a2－kbk 相当于从 2 个(a＋b)中取 k 个 b 的组合数
Ck2，即 a2－kbk 的系数是 Ck2.
பைடு நூலகம்
当 9－2r＝5 时，解得 r＝2，所以系数为 36.
所以展开式中，不含 x6 项，含有 x5 项，系数为 36.
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.1
探究点三 综合应用
例3
已知
x－ 2
1 4
x
n
的展开式中，前三项系数的绝对值依次
成等差数列．
本
(1)证明：展开式中没有常数项；
课
时
(2)求展开式中所有的有理项．
栏 目 开 关
(即1)证n2－明9n＋由8题＝意0，得：2Cn1·12＝1＋Cn2·122，
∴n＝8 (n＝1 舍去)．
∴Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·－241
xk＝－12k·Ck8x
8－k 2
·x－4k ＝
高中数学 第1章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理 新人教B版选修2-3
(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1).
解 原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2 ＋C45(x－1)＋C55－1
＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
规律方法 运用二项式定理展开二项式，要记准展开式的 通项公式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简 捷；要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式 系数的区别.逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问 题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律 以及各项的系数.
要点二 二项展开式通项的应用 例2 若 ( x＋ 1 )n展开式中前三项系数成等差数列，求：
4 2x (1)展开式中含x的一次项； 解 由已知可得 C0n＋C2n·212＝2C1n·12， 即n2－9n＋8＝0， 解得n＝8，或n＝1(舍去).
Tr＋1＝Cr8(
x)8－r·(
1
4
)r＝Cr8·2－r·x 4－34r，
＋
C
2 2n＋1
×142n
－
1×52
－
…
＋
C22nn＋1×14×52n－C22nn＋ ＋11×52n＋1＋52n＋1
＝
14(142n
－
C
1 2n＋1
×142n
－
1×5
＋
C
22n＋1×142n
－
2×52
－
…
＋
C22nn＋1×52n).
上式是14的倍数，能被14整除，所以34n＋2＋52n＋1能被14整除 .
10－2r 令 3 ＝2，得
r＝12(10－6)＝2.
故 x2 项的系数为 C210(－3)2＝405.
高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.3 二项式定理习题课教案 新人教A版选修2-
二项式定理习题课教学目标知识与技能1．能熟练地掌握二项式定理的展开式及其有关概念．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．3．能熟练掌握杨辉三角及二项式系数的有关性质．4．会用二项式系数的性质解决一些简单问题，并能熟练地使用赋值法．过程与方法1．能解决二项展开式的有关概念问题：项、二项式系数、系数、有理项、无理项、常数项、整数项等．2．能用二项式定理解决诸如整除、近似值、求和等有关问题．3．能用二项式系数的有关性质，解决诸如：最值、二项式系数和、系数和等问题．情感、态度与价值观1．培养学生对整个数学知识的驾驭能力，能在一定高度上进行数学知识的应用．2．培养学生观察、归纳的能力以及分析问题与解决问题的能力．3．进一步提升学生学好数学用好数学的积极性，进一步提升学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：掌握二项展开式，掌握二项式系数的有关性质，掌握解决二项式定理性质等有关问题的方法．教学难点：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题．教学过程复习巩顾前面我们学习了二项式定理，请回顾：1．(a＋b)n＝________________(n∈N*)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a＋b)n的______________，其中C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做______________，通项是指展开式的第__________________项，共有____________项．其中二项式系数是____________，系数是____________．2．二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律) (1)对称性：____________________. (2)性质2：______________________.(3)二项式系数的最大值________________________．(4)二项式系数之和____________________，所用方法是____________________． 答案：1．(a ＋b)n＝C 0n a n＋C 1n an －1b ＋C 2n an －2b 2＋…＋C r n an －r b r＋…＋C n n b n(n∈N )、展开式、二项式系数、r ＋1、n ＋1、C rn 、变量前的常数2．(1)C mn ＝－mn (2)C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn(3)当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C n2n 最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C n －12n ＝C n ＋12n 最大(4)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C rn ＋…＋C nn ＝2n赋值法典型示例类型一：二项展开式的有关概念 例1试求：(1)(x 3－2x 2)5的展开式中x 5的系数；(2)(2x 2－1x)6的展开式中的常数项；(3)在(3x ＋32)100的展开式中，系数为有理数的项的个数．思路分析：理解二项展开式的有关概念，什么是二项式系数，什么是系数，什么是项，什么是常数项、有理项、无理项等，其实都是由通项入手，根据变量的系数、指数进行判断，当指数为0时是常数项，当指数是整数时是有理项，当指数是分数时是无理项．解：(1)T r ＋1＝C r5(x 3)5－r(－2x2)r ＝(－2)r C r 5x 15－5r ，依题意15－5r ＝5，解得r ＝2.故(－2)2C 25＝40为所求x 5的系数．(2)T r ＋1＝C r 6(2x 2)6－r(－1x)r ＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 12－3r ，依题意12－3r ＝0，解得r ＝4.故(－1)4·22C 26＝60为所求的常数项．(3)T r ＋1＝C r 100(3x)100－r(32)r ＝C r100·350－r 2·2r 3x 100－r ，要使x 的系数为有理数，指数50－r 2与r 3都必须是整数，因此r 应是6的倍数，即r ＝6k(k∈Z )，又0≤6k≤100，解得0≤k≤1623(k∈Z )，∴x 的系数为有理数的项共有17项．点评：求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r 的值或取值X 围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．[巩固练习]试求：(1)(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数；(2)(|x|＋1|x|－2)3的展开式中的常数项．解：(1)∵(x＋2)10＝x 10＋20x 9＋180x 8＋…，∴(x＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数是－1＋180＝179.(2)∵(|x|＋1|x|－2)3＝(|x|－1|x|)6，∴所求展开式中的常数项是－C 36＝－20.类型二：二项展开式的有关应用——简单应用例2求(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中x 2的系数． 解：∵(x－1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5＝x －1{1－[－x －1]5}1－[－x －1]＝x －1＋x －16x ，∴所求展开式中x 2的系数就是(x －1)6的展开式中x 3的系数－C 36＝－20.点评：这是一组将一个二项式扩展为假设干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式的问题，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．能够最大限度地考查学生对知识的把握程度．[巩固练习](1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中x 3项的系数是( )A ．74B ．121C ．－74D ．－121 解析：先求和：(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8＝1－x 5[1－1－x4]1－1－x＝1－x5[4x －6x 2＋4x 3－x 4]x，分子的展开式中x 4的系数，即为原式的展开式中x 3项的系数，(－1)×1＋4×(－C 15)－6C 25＋4×(－C 35)＝－1－20－60－40＝－121，所以选D.答案：D类型三：二项展开式的有关应用：整除、不等式、近似值等问题 例3证明：(1)2≤(1＋1n)n <3，其中n∈N *；(2)证明：对任意非负整数n,33n－26n －1可被676整除．思路分析：对于二项式中的不等式，通过展开式，分析其中的特殊项，可以证明一些简单的不等式问题；对于整除问题同样如此，关键是把二项式拆成676的形式；对于比较麻烦的数列问题，我们经常采用的方法就是数学归纳法，此题也不例外．证明：(1)(1＋1n )n ＝1＋C 1n ·1n ＋C 2n (1n )2＋…≥2(当且仅当n ＝1时取等号)．当n ＝1时，(1＋1n)n＝2<3显然成立；当n≥2时，(1＋1n )n ＝C 0n ＋C 1n ·1n ＋C 2n ·1n 2＋…＋C nn ·1n n ＝2＋n(n －1)2！1n 2＋n(n －1)(n －2)3！1n 3＋…＋n(n －1)…2·1n ！1n n ＝2＋12！n n n －1n ＋13！n n n －1n n －2n ＋…＋1n ！n n n －1n …2n 1n <2＋12！＋13！＋…1n ！<2＋11×2＋12×3＋…＋1n(n －1)＝2＋(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )＝3－1n <3.综上所述：2≤(1＋1n)n <3，其中n∈N *.(2)当n ＝0，n ＝1时33n－26n －1＝0，显然33n－26n －1可被676整除．当n≥2时，33n－26n －1＝27n－26n －1＝(1＋26)n－26n －1＝1＋26n ＋C 2n ·262＋…＋C nn ·26n－26n －1＝C 2n ·262＋C 3n ·263＋…＋C nn 26n＝676(C 2n ＋26C 3n ＋…＋26n －2C nn)．综上所述：对任意非负整数n,33n－26n －1可被676整除．点评：用二项式定理解决整除问题是二项式定理的一大特色，这是二项展开式的一种基本应用，通过对二项式的拆解，我们可以解决一些看似很难但易解决的问题．[巩固练习]m ，n 是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x 的系数为7， (1)试求f(x)中的x 2的系数的最小值；(2)对于使f(x)中的x 2的系数为最小的m ，n ，求出此时x 3的系数； (3)利用上述结果，求f(0.003)的近似值(精确到0.01)． 解：根据题意得：C 1m ＋C 1n ＝7，即m ＋n ＝7.(*)(1)x 2的系数为C 2m＋C 2n＝m(m －1)2＋n(n －1)2＝m 2＋n 2－m －n2.将(*)变形为n ＝7－m 代入上式得：x 2的系数为m 2－7m ＋21＝(m －72)2＋354.故当m ＝3或4时，x 2的系数的最小值为9.(2)当m ＝3，n ＝4或m ＝4，n ＝3时，x 3的系数为C 33＋C 34＝5. (3)f(0.003)≈2.02.类型四：二项式系数的最大值、系数的最大值问题 例4求(x －1)9的展开式中系数最大的项．思路分析：二项式系数最大的项我们可以根据公式求解，但是系数最大的项怎么求呢？观察此题中二项式系数与系数之间的关系，我们发现它们只不过相差一个负号而已，所以可以通过二项式系数的大小反映系数的大小，只不过要注意正负号．解：T r ＋1＝(－1)r C r 9x 9－r .∵C 49＝C 59＝126，而(－1)4＝1，(－1)5＝－1，∴T 5＝126x 5是所求系数最大的项．点评：此类问题仍然是利用二项展开式的通项公式来求解，但在解题过程中要注意一些常用方法和数学思想的应用．[巩固练习] 求(x ＋124x)8展开式中系数最大的项．解：记第r 项系数为T r ，设第k 项系数最大，那么有⎩⎪⎨⎪⎧T k ≥T k －1，T k ≥T k ＋1，又T r ＝C r －182－r ＋1，那么有⎩⎪⎨⎪⎧C k －182－k ＋1≥C k －282－k ＋2，C k －182－k ＋1≥C k 82－k ，即⎩⎪⎨⎪⎧8！(k －1)！(9－k)！≥8！(k －2)！(10－k)！×2，8！(k －1)！(9－k)！×2≥8！k ！(8－k)！，∴⎩⎪⎨⎪⎧1k －1≥2k －2，29－k ≥1k .解得3≤k≤4，∴系数最大的项为第3项T 3＝7x 52和第4项T 4＝7x 72.类型五：二项式系数之和、系数之和等问题例5假设(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，那么(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值等于__________；思路分析：注意到与系数的和差有关，所以可以用赋值法求得奇数项的系数之和与偶数项的系数之和，注意使用平方差公式．解：令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(3－2)4，由此可得(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)＝[(3＋2)(3－2)]4＝1.点评：在二项式系数的性质应用中，尤其是系数和的问题，我们经常使用赋值法，这是一种奇妙的方法，可以帮助我们在不用计算每一个系数的前提下，求出各个系数的和．[巩固练习](1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7， 求(1)a 0＋a 1＋…＋a 7的值；(2)a 0＋a 2＋a 4＋a 6及a 1＋a 3＋a 5＋a 7的值； (3)各项二项式系数和．解：(1)令x ＝1，那么a 0＋a 1＋…＋a 7＝－1.(2)令x ＝－1，那么a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝2 187. 那么a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1 094；a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1 093. (3)各项二项式系数和C 07＋C 17＋…＋C 77＝27＝128. [拓展实例]例1(1＋3x)6(1＋14x)10的展开式中的常数项为( )A．1 B．46 C．4 245 D．4 246思路分析：对于非一般的二项式问题，要注意转化成二项式问题解决．此题虽然有两个式子相乘，只要我们写出整个式子的通项，令指数为0，即可求得常数项．解：先求(1＋3x)6的展开式中的通项．T r＋1＝C r6(x13)r＝C r6xr3，r＝0,1,2,3,4,5,6.再求(1＋14x )10的展开式中的通项．T k＋1＝C k10(x－14)k＝C k10x－k4，k＝0,1,2,3,4，…，10.两通项相乘得：C r6x r3C k10x－k4＝C r6C k10xr3－k4，令r3－k4＝0，得4r＝3k，这样一来，(r，k)只有三组：(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．故常数项为：1＋C36C410＋C66C810＝4 246.点评：对于乘积的式子或者三项的式子的展开问题，我们可以通过化归思想，将其转化成二项展开式问题．要注意此题中，常数项的位置有三处．[巩固练习](1＋x＋x2)(x＋1x3)n的展开式中没有．．常数项，n∈N*，且2≤n≤8，那么n＝______.解析：依题意(x＋1x3)n，对n∈N*，且2≤n≤8中，只有n＝5时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与x、x2乘积为常数的项．故填5.答案：5[变练演编](1)对于9100你能编出什么样的整除问题？如9100被________整除的余数是________．(2)(2x2－1x)6的展开式中的常数项是第____________项，整数项是第______________项，x的最高次项是第______________项，二项式系数之和是______________，系数之和是______________．将你能得到的所有正确的答案一一列举出来．答案：(1)这是一个开放性的问题，学生可以有多种答案，比如说9100被8整除的余数是1,9100被80整除的余数是1等等．(2)T r ＋1＝C r6(2x 2)6－r(－1x)r ＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 12－3r .依题意12－3r ＝0，解得r ＝4，所以常数项是第5项；整数项是第1,2,3,4,5项；x 的最高次项是第1项；二项式系数之和为64；系数之和为1.设计意图：变练演编——这种开放性的设计，能够有效地提高学生学习的积极性，使得编题不仅仅是老师的专利，学生在编题解题的过程中，领悟知识，提高能力，增长兴趣，增强信心，不仅有助于训练同学们的常规思维，还能培养同学们的逆向思维，最终提高学生的数学成绩．[达标检测] 1．(x －13x)12展开式中的常数项为( )A ．－1 320B ．1 320C ．－220D ．220 2．(1－x)6(1＋x)4的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．4 3．假设(1－2x)2 005＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 005x2 005(x∈R )，那么(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2 005)＝________(用数字作答)．答案：1.C 2.B 3.2 003反考老师：即由学生出题，教师现场解答(约8分钟)．(活动设计：请学生到黑板板书题目，要求别太烦琐，且与本节习题课内容相符．一般不多于3道题，教师尽可能全部解答，具体解答数目视题目难度和时间而定．教师要边做边讲，以向学生现场展示解题思路的发现过程和解题能力．做完后，请学生给“阅卷〞)课堂小结活动设计：先给学生1～2分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法，例题、题目类型、解题规律等；然后用精练的、精确的语言概括本节的知识脉络，思想方法，解题规律等．活动成果：(板书)1．知识收获：二项式定理、二项展开式、二项式系数的性质．2．方法收获：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题． 3．思维收获：合作意识，创新精神，增加了学习数学的积极性，提升学习数学的兴趣． 设计意图：通过学生自己总结所学、所识、所想，不但能充分表达新课程的理念，还能充分发挥学生在课堂上的“主人翁〞精神，真正表达了学生的主体地位．不仅可以使学生更好地掌握本节所学，而且还能提高学生学习的主动性，提高学生学习数学的兴趣，久而久之，学生的数学水平与数学素养必定会得到长足的提高！补充练习[基础练习]1．计算1－3C 1n ＋9C 2n －27C 3n ＋…＋(－1)n 3n C nn . 2．(x ＋1x －2)3的展开式中，常数项是________．3．(3x －13x2)n ，n∈N *的展开式中各项系数和为128，那么展开式中1x3的系数是( )A ．7B ．－7C ．21D ．－21 4．求(x －13x)10的展开式中有理项共有________项．1．解：原式＝C 0n ＋C 1n (－3)1＋C 2n (－3)2＋C 3n (－3)3＋…＋C 3n (－3)n＝(1－3)n＝(－2)n. 2．解析：(x ＋1x －2)3＝[(x －1)2x ]3＝(x －1)6x 3. 上述式子展开后常数项只有一项C 36x3－13x3，即－20.3．解析：由条件可得：(3－1)n＝128，n ＝7. ∵T r ＋1＝(－1)r C r7(3x)7－r(13x2)r ＝(－1)r C r 737－rx7－53r.令7－5r3＝－3，那么有：r ＝6.所以二项展开式中1x 3的系数是：T 7＝(－1)6C 6737－6＝21，应选C.4．解析：∵T r ＋1＝C r10(x)10－r(－13x)r ＝C r 10(－1)rx5－56r.∴当r ＝0,6时，所对应的项是有理项．故展开式中有理项有2项． [拓展练习]5．(1＋kx 2)6(k 是正整数)的展开式中，x 8的系数小于120，那么k ＝____________. 6．设n∈N ，那么C 1n ＋C 2n 6＋C 3n 62＋…＋C n n 6n －1＝____________.5．解析：(1＋kx 2)6按二项式定理展开的通项为T r ＋1＝C r6(kx 2)r＝C r 6k r x 2r，我们知道x 8的系数为C 46k 4＝15k 4，即15k 4<120，也即k 4<8，而k 是正整数，故k 只能取1.6．解：C 1n ＋C 2n 6＋C 3n 62＋…＋C n n 6n －1＝16C 0n ＋C 1n ＋C 2n 6＋…＋C n n 6n －1－16C 0n ＝16(C 0n ＋C 1n 6＋C 2n 62＋…＋C n n 6n －1)＝16[(1＋6)n－1]＝16(7n －1)．设计说明二项式定理的内容，是各地高考中经常要考查的内容之一，其形式主要是选择题和填空题，题型往往相对稳定，思路方法常常是利用二项展开式的通项公式、二项式系数的有关性质等．常见的二项式问题有：求二项展开式中某一项或某一项的系数，求所有项系数的和或奇(偶)数项系数和，求展开式的项数，求常数项，求近似值，证明不等式等．实际教学的过程中，要努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生发挥其创造意识，以使他们能在创造的氛围中学习．二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式．二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系．掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习、深化作用，又可以为进一步学习概率统计做好必要的知识储备．所以有必要掌握好二项式定理的相关内容．备课资料 二项式定理 同步练习选择题1．C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，那么n 等于( )word11 / 11 A ．14 B ．12 C ．13 D ．152．C 0n ＋3C 1n ＋9C 2n …＋3n C nn 的值等于( )A ．4nB ．3·4n C.4n 3－1 D.4n－133．C 111＋C 311＋…＋C 911的值为( )A ．2 048B ．1 024C ．1 023D ．5124．(x ＋1)(2x ＋1)(3x ＋1)……(nx＋1)展开式中x 的一次项系数为( )A ．C n －1nB ．C 2nC ．C 2n ＋1D ．不能用组合数表示5．设(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…a 2n x 2n，那么a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n 等于 …() A ．22n B ．3n C.3n －12 D.3n＋126．假设n 是正奇数，那么7n ＋C 1n 7n －1＋C 2n 7n －2＋…C n －1n 7被9除的余数为( )A ．2B ．5C ．7D ．87．(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10展开式中x 4的系数为( )A ．C 511 B ．C 411 C ．C 510D ．C 410填空题8．(a ＋b)n 展开式中第r 项为__________．9．11100－1的末位连续零的个数为__________．参考答案1．A 2.A 3.C 4.C 5.B 6.C 7.A5．提示：令x ＝1即可．8．T r ＝C r －1n a n ＋1－rb r －19．3。
2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理练习(含解析)新人教A版选修2-3
1.3.1 二项式定理[A 基础达标]1.在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．40D ．－40解析：选D ．T r ＋1＝C r5(2x 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r ·25－r ·C r 5·x 10－3r，令10－3r ＝1，得r ＝3.所以x 的系数为(－1)3·25－3·C 35＝－40.故选D ．2.(4x－2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ) A ．－20 B ．－15 C ．15D ．20解析：选C ．由题意得T r ＋1＝C r6(4x )6－r·(－2－x )r ＝(－1)r ·C r 62(12－3r )x，令12－3r ＝0，得r＝4，则常数项为(－1)4C 46＝15，故选C ．3.二项式(1＋x )6的展开式中有理项系数之和为( ) A ．64 B ．32 C ．24D ．16解析：选B ．二项式(1＋x )6的展开式的通项为T r ＋1＝C r6x r2，令r2为整数，可得r ＝0，2，4，6，故展开式中有理项系数之和为C 06＋C 26＋C 46＋C 66＝32，故选B ．4.若二项式(x ＋2)n的展开式的第4项是52，第3项的二项式系数是15，则x 的值为( )A ．12B ．14C ．28D ．18解析：选B ．由二项式(x ＋2)n的展开式的第4项为23C 3n x n －3，第3项的二项式系数是C 2n ，可知C 2n ＝15，23C 3n xn －3＝52，可得n ＝6，x ＝14，选B ． 5.(2019·四平高二检测)(1－x )4(1－x )3的展开式中x 2的系数是( ) A ．－6 B ．－3 C ．0D ．3解析：选A ．因为(1－x )4(1－x )3＝(1－4x ＋6x 2－4x 3＋x 4)(1－3x 12＋3x －x 32)， 所以x 2的系数是－12＋6＝－6.6.如果⎝⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n 的开展式中，x 2项为第三项，则自然数n ＝________.解析：因为T k ＋1＝C kn (3x 2)n －k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k＝C k n x2n －5k 3， 由题意知k ＝2时，2n －5k3＝2，所以n ＝8.答案：87.设n 为自然数，化简C 0n ·2n －C 1n ·2n －1＋…＋(－1)k ·C k n ·2n －k＋…＋(－1)n ·C nn ＝________.解析：原式＝C 0n ·2n ·(－1)0＋C 1n 2n －1·(－1)1＋…＋(－1)k·C k n 2n －k＋…＋(－1)n ·C n n ·2＝(2－1)n＝1.答案：18.(2019·临沂高二检测)设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________.解析：对于T r ＋1＝C r 6x 6－r(－ax－12)r ＝C r 6(－a )r x 6－32r ，B ＝C 46(－a )4，A ＝C 26·(－a )2.因为B＝4A ，a >0，所以a ＝2.答案：29.记⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n的展开式中第m 项的系数为b m .(1)求b m 的表达式；(2)若n ＝6，求展开式中的常数项； (3)若b 3＝2b 4，求n .解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n 的展开式中第m 项为C m －1n ·(2x )n －m ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x m －1＝2n ＋1－m·C m －1n ·xn ＋2－2m，所以b m ＝2n ＋1－m·C m －1n .(2)当n ＝6时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·(2x )6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝26－r ·C r 6·x 6－2r.依题意，6－2r ＝0，得r ＝3，故展开式中的常数项为T 4＝23·C 36＝160. (3)由(1)及已知b 3＝2b 4，得2n －2·C 2n ＝2·2n －3·C 3n ，从而C 2n ＝C 3n ，即n ＝5.10.已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项的系数成等差数列. (1)求展开式中含x 的项； (2)求展开式中所有的有理项.解：(1)由已知可得C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n ·12，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(舍去).故T k ＋1＝C k 8(x )8－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x k＝C k 8·2－k ·x 4－34k ，令4－34k ＝1，得k ＝4，所以含x 的项为T 5＝C 48×2－4x ＝358x .(2)令4－34k ∈Z ，且0≤k ≤8，则k ＝0或k ＝4或k ＝8，所以展开式中的有理项分别为T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x2. [B 能力提升]11.若对于任意实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为( ) A ．3 B ．6 C ．9D ．12解析：选B ．x 3＝[2＋(x －2)]3，a 2＝C 23×2＝6.12.设(x －2)n的展开式中第二项与第四项的系数之比为1∶2，求含x 2的项. 解：(x －2)n 的展开式中第二项与第四项分别为T 2＝C 1n ·x n －1·(－2)＝－2nx n －1， T 4＝C 3n ·xn －3·(－2)3＝－22C 3n x n －3. 根据题意得到－2n －22C 3n ＝12， 整理得n 2－3n －4＝0，解得n ＝4或n ＝－1(没有意义，舍去).设(x －2)4的展开式中含x 2的项为第(r ＋1)项， 则T r ＋1＝C r4·x4－r ·(－2)r(r ＝0，1，2，3，4)，根据题意有4－r ＝2，解得r ＝2，所以(x －2)4的展开式中含x 2的项为T 3＝C 24·x 2·(－2)2＝12x 2.13.(选做题)已知在⎝⎛⎭⎪⎫12x 2－1x n的展开式中，第9项为常数项．求：(1)n 的值；(2)展开式中x 5的系数； (3)含x 的整数次幂的项的个数.解：二项展开式的通项为T k ＋1＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2n －k ·⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －k C kn x 2n －52k.(1)因为第9项为常数项，即当k ＝8时，2n －52k ＝0，即2n －20＝0，解得n ＝10.(2)令2n －52k ＝5，得k ＝25(2n －5)＝6，所以x 5的系数为(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 610＝1058.(3)要使2n －52k ，即40－5k2为整数，只需k 为偶数，由于k ＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项.。
高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.1 二项
1.3.1 二项式定理1．二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *) (1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b )n的二项式的展开式，展开式中一共有____项．(3)二项式系数：各项的系数__(k ∈{0,1,2，…，n })叫做二项式系数． 2．二项展开式的通项(a ＋b )n展开式中第k ＋1项____________(k ∈{0,1,2，…，n })称为二项展开式的通项． 预习交流(1)二项展开式的特点有哪些？(2)(x ＋1)n的展开式共有11项，则n 等于( )． A ．9 B ．10 C ．11 D ．12(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 7的展开式中第3项的二项式系数为__________，第6项的系数为__________，x 的次数为5的项为__________．答案：1．(2)n ＋1 (3)C kn2．T k ＋1＝C k n a n －k b k预习交流：(1)提示：①项数：n ＋1项；②指数：字母a ，b 的指数和为n ，字母a 的指数由n 递减到0，同时b 的指数由0递增到n ；③通项公式T r ＋1＝C r n a n －r b r指的是第r ＋1项，不是第r 项；④某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念，C rn 叫做二项式系数，而某一项的系数是指此项中除字母外的部分，如(1＋2x )3的二项展开式中第3项的二项式系数为C 23＝3，而该项的系数为C 23·22＝12.(2)提示：B(3)提示：21 －84 －448x 5一、二项式定理的直接应用求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式．思路分析：直接利用二项式定理处理是基本的方法．但考虑到处理起来比较复杂，因此可以考虑将原式变形后再展开．化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．熟记二项式(a ＋b )n的展开式，是解决此类问题的关键，我们在解较复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便．二、二项展开式中特定项(项的系数)的计算1．(2011山东高考，理14)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为__________．思路分析：利用二项式定理的通项公式求出不含x 的项即可．2．(2011天津高考，理5)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )．A ．－154B ．154C ．－38D ．38思路分析：利用二项展开式的通项公式求．1．(2011陕西高考，理4)(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )． A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．202．(2011广东高考，理10)x ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数是________．(用数字作答)求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项T k ＋1＝C k n an －k b k的特点，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围(k ＝0,1,2，…，n )．(1)第m 项：此时k ＋1＝m ，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解． 三、二项式定理的应用(整除问题)试判断7777－1能否被19整除．思路分析：由于76是19的倍数，可将7777转化为(76＋1)77用二项式定理展开．证明：32n ＋2－8n －9是64的倍数．用二项式定理解决a n＋b 整除(或余数)问题时，一般需要将底数a写成除数m 的整数倍加上或减去r (1≤r ＜m )的形式，利用二项展开式求解．答案：活动与探究1：解法1：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋C 14(3x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44(3x )0⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2.解法2：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝3x ＋14x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.迁移与应用：解：原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55－1＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1.活动与探究2：1.4 解析：由二项式定理可知T r ＋1＝C r 6x 6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x 2r ＝C r 6(－a )r x 6－3r， 令6－3r ＝0，得r ＝2，∴T 3＝C 26(－a )2＝60. ∴15a ＝60.∴a ＝4.2．C 解析：设含x 2的项是二项展开式中第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫x 26－r·⎝⎛⎭⎪⎫－2x r＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫126－r (－2)r x 3－r.令3－r ＝2，得r ＝1.∴x 2的系数为C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫125(－2)＝－38.迁移与应用：1.C 解析：设第r ＋1项为常数项，T r ＋1＝C r 622x (6－r )(－2－x )r ＝(－1)r ·C r 6212x －2rx －rx， ∴12x －3rx ＝0， ∴r ＝4.∴常数项为T 5＝(－1)4C 46＝15.2．84 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7的通项T r ＋1＝C r 7x 7－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 7x 7－2r.令7－2r ＝3得r ＝2.因而⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7展开式中含x 3项的系数为(－2)2·C 27＝4×7×62＝84.故x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数为84.活动与探究3：解：7777－1＝(76＋1)77－1＝7677＋C 177·7676＋C 277·7675＋…＋C 7677·76＋C 7777－1＝76(7676＋C 1777675＋C 2777674＋…＋C 7677)．由于76能被19整除，因此7777－1能被19整除．迁移与应用：证明：∵32n ＋2－8n －9 ＝9n ＋1－8n －9＝(8＋1)n ＋1－8n －9 ＝8n ＋1＋C 1n ＋1·8n ＋…＋C n －1n ＋1·82＋C nn ＋1·8＋1－8n －9＝8n ＋1＋C 1n ＋1·8n ＋…＋C n －1n ＋1·82＋8(n ＋1)＋1－8n －9＝8n ＋1＋C 1n ＋1·8n ＋…＋C n －1n ＋1·82＝(8n －1＋C 1n ＋1·8n －2＋…＋C n －1n ＋1)·64，故32n ＋2－8n －9是64的倍数．1.⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 16的二项展开式中第4项是( )． A ．C 216x 12B ．C 316x 10 C ．－C 316x 10D ．C 416x 82．(2012天津高考，理5)在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为( )．A ．10B ．－10C ．40D ．－403．(2012山东省实验中学诊断，理6)二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 10的展开式中的常数项是( )．A ．第10项B ．第9项C ．第8项D ．第7项4．(2012湖南高考，理13)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答)5．在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有__________项． 6．(1－x )4·(1－x )3的展开式中x 2的系数是__________．答案：1．C 解析：展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 16·(x )16－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 16·x 16－2r ， ∴第4项为T 4＝(－1)3C 316·x 10＝－C 316x 10. 2．D 解析：T r ＋1＝C r5(2x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 25－r C r 5x 10－3r ，∴当10－3r ＝1时，r ＝3.∴(－1)325－3C 35＝－40.3．B 解析：展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10x 20－2r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝2r C r 10·x 20－5r 2，令20－5r 2＝0，得r ＝8.∴常数项为第9项．4．－160 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的通项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 626－r x 3－r .当3－r ＝0时，r ＝3.故(－1)3C 3626－3＝－C 3623＝－160.5．6 解析：∵T r ＋1＝3r4C r 20x20－r y r(r ＝0,1,2，…，20)的系数为有理数，∴r ＝0,4,8,12,16,20，共6项．6．－6 解析：展开式中的x 2项为C 14·(－x )1·C 23·(－x )2＋C 24(－x )2C 03＝－6x 2.。
高中选修2-3第一章计数原理知识点总结与训练
第一章：计数原理一、两个计数原理3、两个计数原理的区别二、排列与组合1、排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2、排列数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。
用符号 表示.3、排列数公式： 其中4、组合：一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
5、组合数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。
用符号 表示。
6、组合数公式：其中注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.7、性质：m n A mn A ()()()()!!121m n n m n n n n A mn -=+---= .,,*n m N m n ≤∈并且m n C ()()()()!!!!121m n m n m m n n n n C mn -=+---=.,,*n m N m n ≤∈并且m n n m n C C -=mn m n m n C C C 11+-=+三、二项式定理如果在二项式定理中，设a=1,b=x，则可以得到公式：2、性质：02413512nn n n n n nC C C C C C-=+++=+++=奇数项二项式系数和偶数项二项式系数和：注意事项：相邻问题，常用“捆绑法”不相邻问题，常用“插空法”巩固训练：1、有4个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：（1）男甲排在正中间；（2）男甲不在排头，女乙不在排尾；（3）三个女生排在一起；（4）三个女生两两都不相邻；2、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（）3、(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法?(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?4、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?5、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？6、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？7、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种?8、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？9、求值与化简：1055845635425215222221)1(⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+CCCCC求值：。
高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理课后课时精练a23a高二23数学
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8．(x＋1)4(x－1)的展开式中 x3 的系数是________． 答案 2
解析 (x＋1)4(x－1)的展开式中含 x3 的项由以下两部分相加得到：①(x ＋1)4 中的二次项乘以(x－1)中的一次项 x，即 C24x2·x＝6x3；②(x＋1)4 中的三 次项乘以(x－1)中的常数项－1，即 C14x3×(－1)＝－4x3.所以(x＋1)4·(x－1)的 展开式中 x3 的系数是 6＋(－4)＝2.
课后课时 精练 (kèshí)
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A 级：基础巩固练 一、选择题 1．1－2Cn1＋4C2n－8Cn3＋…＋(－2)nCnn＝( ) A．1 B．－1 C．(－1)n D．3n
答案 C
解析 逆用公式，将 1 看作公式中的 a，－2 看作公式中的 b，可得原式 ＝(1－2)n＝(－1)n.
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答案
解析
2．若二项式(x＋2)n 的展开式的第 4 项是52，第 3 项的二项式系数是 15，
则 x 的值为( )
11
21
A.2 B.4 C. 8 D.8
答案 B
解析 由二项式(x＋2)n 的展开式的第 4 项为 23C3nxn－3，第 3 项的二项式 系数是 C2n，可知 Cn2＝15,23Cn3xn－3＝25，可得 n＝6，x＝41，选 B.
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答案
解析
三、解答题 9．求(1＋x)2(1－x)5 的展开式中 x3 的系数．
高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理练习(含解
1.3.1 二项式定理一、选择题1．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( )A ．－27C 610B ．27C 410 C ．－9C 610D ．9C 410 【答案】 D【解析】 ∵T r ＋1＝C r 10x 10－r (－3)r .令10－r ＝6，解得r ＝4.∴系数为(－3)4C 410＝9C 410. 2．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( ) A ．3B ．5C ．8D ．10 【答案】 B【解析】 T r ＋1＝C r n (2x 3)n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2r ＝2n －r ·C r n x 3n －5r .令3n －5r ＝0，∵0≤r ≤n ，r 、n ∈Z . ∴n 的最小值为5. 3．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是( ) A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】 D【解析】 通项T r ＋1＝C r 10(x 2)n －r (－1x )r ＝(－1)r C r n x 2n －3r ，常数项是15，则2n ＝3r ，且C r n ＝15，验证n ＝6时，r ＝4合题意，故选D.4．(x ＋a x )5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于( )A ．－1B.12 C ．1 D ．2 【答案】 D【解析】 C r 5·x r (a x )5－r ＝C r 5·a 5－r x 2r －5，令2r －5＝3，∴r ＝4，由C 45·a ＝10，得a ＝2. 5．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是( )A.112＜x ＜15B.16＜x ＜15C.112＜x ＜23D.16＜x ＜25【答案】 A【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ T 2>T 1T 2>T 3得⎩⎪⎨⎪⎧ C 162x >1C 162x >C 26(2x )2∴112＜x ＜15. 6．在⎝⎛⎭⎪⎫32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( ) A ．4项B ．5项C ．6项D ．7项【答案】 A【解析】 T r ＋1＝C r 20(32x )20－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22r ·(32)20－r C r 20·x 20－r ， ∵系数为有理数，∴(2)r 与220－r3均为有理数，∴r 能被2整除，且20－r 能被3整除，故r 为偶数，20－r 是3的倍数，0≤r ≤20.∴r ＝2,8,14,20.二、填空题7．若⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的二项展开式中x 3的系数为52，则a ＝________(用数字作答)． 【答案】 2【解析】 C 36(x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax 3＝20a3x 3＝52x 3，∴a ＝2. 8．(1＋x ＋x 2)(x －1x)6的展开式中的常数项为________． 【答案】 －5【解析】 (1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6＋x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6， ∴要找出⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6中的常数项，1x 项的系数，1x2项的系数，T r ＋1＝C r 6x 6－r (－1)r x －r ＝C r 6(－1)r x 6－2r ， 令6－2r ＝0，∴r ＝3，令6－2r ＝－1，无解．令6－2r ＝－2，∴r ＝4.∴常数项为－C 36＋C 46＝－5.三、解答题9．m 、n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．【解析】 由题设m ＋n ＝19，∵m ，n ∈N *.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ＝18，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝17，…，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝18n ＝1. x 2的系数C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m )＋12(n 2－n )＝m 2－19m ＋171. ∴当m ＝9或10时，x 2的系数取最小值81，此时x 7的系数为C 79＋C 710＝156. 10．若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最大的项．【解析】 通项为：T r ＋1＝C r n ·(x )n －r·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x r . 由已知条件知：C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n ·12，解得：n ＝8. 记第r 项的系数为t r ，设第k 项系数最大，则有： t k ≥t k ＋1且t k ≥t k －1.又t r ＝C r －18·2－r ＋1，于是有：⎩⎪⎨⎪⎧ C k －18·2－k ＋1≥C k 8·2－kC k －18·2－k ＋1≥C k －28·2－k ＋2即⎩⎪⎨⎪⎧8！(k －1)！·(9－k )！×2≥8！k ！(8－k )！，8！(k －1)！·(9－k )！≥8！(k －2)！·(10－k )！×2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧29－k ≥1k ，1k －1≥210－k .解得3≤k ≤4. ∴系数最大项为第3项T 3＝7·x 35和第4项T 4＝7·x 74.。
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1.3.1 二项式定理
一、选择题
1．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( )
A ．－27C 610
B ．27
C 410 C ．－9C 610
D ．9C 410 【答案】 D
【解析】 ∵T r ＋1＝C r 10x 10－r (－3)r .令10－r ＝6，解得r ＝4.∴系数为(－3)4C 410＝9C 4
10. 2．在⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( ) A ．3
B ．5
C ．8
D ．10 【答案】 B
【解析】 T r ＋1＝C r n (2x 3)
n －r ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 2r ＝2n －r ·C r n x 3n －5r .令3n －5r ＝0，∵0≤r ≤n ，r 、n ∈Z . ∴n 的最小值为5. 3．在⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2－1x n 的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是( ) A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 【答案】 D
【解析】 通项T r ＋1＝C r 10(x 2)
n －r (－1x )r ＝(－1)r C r n x 2n －3r ，常数项是15，则2n ＝3r ，且C r n ＝15，验证n ＝6时，r ＝4合题意，故选D.
4．(x ＋a x )5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于( )
A ．－1
B.12 C ．1 D ．2 【答案】 D
【解析】 C r 5·x r (a x )
5－r ＝C r 5·a 5－r x 2r －5，令2r －5＝3，∴r ＝4，由C 45·a ＝10，得a ＝2. 5．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是( )
A.112＜x ＜15
B.16＜x ＜15
C.112＜x ＜23
D.16＜x ＜25
【答案】 A
【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ T 2>T 1T 2>T 3得⎩⎪⎨⎪⎧ C 162x >1C 162x >C 26(2x )2∴112＜x ＜15
. 6．在⎝
⎛⎭⎪⎫32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( ) A ．4项
B ．5项
C ．6项
D ．7项
【答案】 A
【解析】 T r ＋1＝C r 20(32x )20－r ⎝
⎛⎭⎪⎫－12r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22r ·(32)20－r C r 20·x 20－r ， ∵系数为有理数，∴(2)r 与220－r
3均为有理数，
∴r 能被2整除，且20－r 能被3整除，
故r 为偶数，20－r 是3的倍数，0≤r ≤20.∴r ＝2,8,14,20.
二、填空题
7．若⎝
⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的二项展开式中x 3的系数为52，则a ＝________(用数字作答)． 【答案】 2
【解析】 C 36(x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax 3＝20a
3x 3＝52x 3，∴a ＝2. 8．(1＋x ＋x 2)(x －1x
)6的展开式中的常数项为________． 【答案】 －5
【解析】 (1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6＋x 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x 6， ∴要找出⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6中的常数项，1x 项的系数，1x
2项的系数，T r ＋1＝C r 6x 6－r (－1)r x －r ＝C r 6(－1)r x 6－2r ， 令6－2r ＝0，∴r ＝3，
令6－2r ＝－1，无解．
令6－2r ＝－2，∴r ＝4.
∴常数项为－C 36＋C 46＝－5.
三、解答题
9．m 、n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数为19，求x 2
的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．
【解析】 由题设m ＋n ＝19，∵m ，n ∈N *.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ＝18，⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝2n ＝17，…，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝18n ＝1. x 2的系数C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m )＋12(n 2－n )＝m 2－19m ＋171. ∴当m ＝9或10时，x 2的系数取最小值81，此时x 7的系数为C 79＋C 7
10＝156. 10．若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最大的项．
【解析】 通项为：T r ＋1＝C r n ·(x )n －r
·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x r . 由已知条件知：C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n ·12
，解得：n ＝8. 记第r 项的系数为t r ，设第k 项系数最大，则有： t k ≥t k ＋1且t k ≥t k －1.
又t r ＝C r －18·2－r ＋1，于是有：⎩⎪⎨⎪⎧ C k －18·2－k ＋1≥C k 8·2
－k
C k －18·2－k ＋1≥C k －28·2－k ＋2 即⎩⎪⎨⎪⎧
8！(k －1)！·(9－k )！×2≥8！k ！(8－k )！，8！
(k －1)！·(9－k )！≥8！
(k －2)！·(10－k )！×2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 29－k ≥1k ，
1k －1≥2
10－k .解得3≤k ≤4.
∴系数最大项为第3项T 3＝7·x 35和第4项T 4＝7·x 7
4.。