最大流最小割

给 标号（49），（ ， ）加粗线。
计算结果： — — 为最短路，路长为49。
即：在第一年、第三年初各购买一台新设备为最优决策。这时5年的总费用为49。
例13已知某地区的交通网络如图8-37所示，其中点代表居民小区，边代表公路， 为小区间公路距离，问区中心医院应建在哪个小区，可使离医院最远的小区居民就诊时所走的路程最近？
=｛59,…19+30,…12+20,…｝=28,
给 标号（28），（ ， ）加粗线。
5) min｛( ), , , ,( ), , , ｝
=｛40,…41, 40,… 43, …｝=40,对应两个边：
给 标号（40），（ ， ）加粗线,（ ， ）加粗线。
6）min｛ , ,( ), , ｝= min｛59,53,49,50,55｝=49
边（ ， ）表示第i年购进的设备一直使用到第j年初（即第j-1年底）。
边（ ， ）上的数字表示第i年初购进设备，一直使用到第j年初所需支付的购买费、维修的全部费用（可由表8-2计算得到）。例如：（ ， ）边上的28是第一年初的购买费11加上三年的维修费5，6，8，减去3年役龄机器的残值2；（ ， ）边上的20是第二年初购买费12减去机器残值3与使用二年维修费5，6之和，见下图：
Min｛（ ）, , ｝=min｛6,9,8｝=6
给 标号（6）：表明从第二个圈出来最近的一站是 ，总长度是6。
给（ ， ）划成粗线。
划第三个圈。
表明：圈内的点已完成考察。
4）现已走出第三个圈，向 奔。有四条路可走，最优路线在何方？即：
Min｛ ,（ ）, , ｝=min｛9,8,10,13｝=8
给 标号（8）：表明从第三个圈出来后最近的一站是 ，总长度是8。
这样设备更新问题就变为：求从 到 的最短路问题，
1） （0）。
2）min｛( ), , , , ｝=12,给 标号（12），（ ， ）加粗线。
3）min｛( ), , , , , , , ｝
=｛19,…13+12,…｝=19,
给 标号（19），（ ， ）加粗线。
4)min{( ), , , , , , , , ｝
求。
计算结果见下表：
小区号
D（ ）
0 30 50 63 93 45 60
93
30 0 20 33 63 15 30
63
50 20 0 20 50 25 40
50
63 33 20 0 30 18 33
63
93 63 50 30 0 48 63
Min｛ , ,（ ）｝=min｛17,16,14｝=14
给 标号（14）：表明从第六个圈出来后最近的一站是 ，总长度是14。
给（ ， ）划成粗线。
划第七个圈。
表明：圈内的点已完成考察。
8）最后，奔 ，有两条路，考察最短路：
Min｛ ,( )｝=min｛17,15｝=15
给 标号（15），同时给（ ， ）划粗线。
若已知设备在各年的购买费，及不同机器役龄时的残值与维修费，如表8-2所示
表8-2
项目
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
购买费
11
12
13
14
14
机器役龄
0-1
1-2
2-3
3-4
4-5
维修费
5
6
8
11
18
残值
4
3
2
1
0
解：把这个问题化为最短路问题。
用点 表示第i年初购进一台新设备，虚设一个点 ，表示第5年底。
给（ ， ）划成粗线。
划第四个圈。
表明：圈内的点已完成考察。
5）现已走出第四个圈，向 奔。有四条路可走，最优路线在何方？即：
Min｛ , ,（ ）, ｝=min｛13,14,9,10｝=9
给 标号（9）：表明从第四个圈出来后最近的一站是 ，总长度是9。
给（ ， ）划成粗线。
划第五个圈。
表明：圈内的点已完成考察。
解：这是个选址问题，实际要求出的中心，
可化为一系列求最短路问题。先求出v1到
其它各点的最短路长dj，令
D(v1)=max{d1,d2,…d7}
表示若医院建在v1，则距离医院最远的小
区距离为D（v1）。再依次计算v2，v3，…
v 7到其余各点的最短路，类似求出D（v2）
D（v3）…D(v7)。此七个值中最小者即为所
6）现已走出第五个圈，向 奔。有四条路可走，最优路线在何方？即：
Min｛ , ,（ ）, ｝=min｛18,16,13,14｝=13
给 标号（13）：表明从第五个圈出来后最近的一站是 ，总长度是13。
给（ ， ）划成粗线。
划第六个圈。
表明：圈内的点已完成考察。
7）现已走出第六个圈，向 奔。有三条路可走，最优路线在何方？即：
最后，从 逆寻粗线到 ，得最短路：
— — — — 长度为15。
第二讲：最短路问题的两个应用
最短路问题在图论应用中处于很重要的地位，下面举两个实际应用的例子。
例12/P-164设备更新问题
某工厂使用一台设备，每年年初工厂要作出决定：继续使用，购买新的？如果继续使用旧的，要负维修费；若要购买一套新的，要负购买费。试确定一个5年计划，使总支出最小。
第八章图与网络分析
也叫网络规划。我们讲三个问题：最短路问题，最大流ห้องสมุดไป่ตู้题，最小费用最大流问题。
第一讲：最短路问题（与上章设备更新凑成一讲）
最短路问题是网络理论中应用最广泛的问题之一。许多优化问题都可以使用这个模型，如设备更新、管道的铺设、线路的安排、厂区的布局等。
最短路问题的一般提法是：设 为连通图，图中各边 有权 （ =∞表示 ， 之间没有边）， ， 为图中任意两点，求一条道路 ，使它是从 到 的所有路中总权最小的路。即： = 。
最短路算法中1959年由 （狄克斯特洛）提出的算法被公认为是目前最好的方法，我们称之为 算法。下面通过例子来说明此法的基本思想。
条件：所有的权数 ≥0。
思路：逐步探寻。
下求 到 的最短路：
1）从 出发，向 走。首先， 到 的距离为0，给 标号（0）。画第一个圈。（表明已标号，或已走出 ）
2）从 出发，只有两条路可走，（ ， ），（ ， ），其距离记为 ， 。当然想选一条长度短的路，即
Min｛（ ）, ｝=｛4,6｝=4
给 标号（4）：表明走出 后走向 的最短路目前看是 ，最优距离是4。
给（ ， ）划成粗线。
划第二个圈。
现已完成第二个圈内的路已考察完毕，或者说，已走出包含 ， 的第二个圈。
3）出了第二个圈，接着往下走，有三条路可走：（ ， ），（ ， ），（ ， ）。那条路最近？记三条路长度为 ， ， ，即求：