第6讲最大流最小费用
最大流与最小费用流
§7 最大流问题7.1 最大流问题的数学描述 7.1.1 网络中的流定义 在以V 为节点集，A 为弧集的有向图),(A V G =上定义如下的权函数：（i ）R A L →:为孤上的权函数，弧A j i ∈),(对应的权),(j i L 记为ij l ，称为孤),(j i 的容量下界（lower bound ）；（ii ）R A U →:为弧上的权函数，弧A j i ∈),(对应的权),(j i U 记为ij u ，称为孤),(j i 的容量上界，或直接称为容量（capacity ）；（iii ）R V D →:为顶点上的权函数，节点V i ∈对应的权)(i D 记为i d ，称为顶点i 的供需量（supply ／demand ）；此时所构成的网络称为流网络，可以记为),,,,(D U L A V N =。
由于我们只讨论A V ,为有限集合的情况，所以对于弧上的权函数U L ,和顶点上的权函数D ，可以直接用所有孤上对应的权和顶点上的权组成的有限维向量表示，因此D U L ,,有时直接称为权向量，或简称权。
由于给定有向图),(A V G =后，我们总是可以在它的弧集合和顶点集合上定义各种权函数，所以流网络一般也直接简称为网络。
在流网络中，弧),(j i 的容量下界ij l 和容量上界ij u 表示的物理意义分别是：通过该弧发送某种“物质”时，必须发送的最小数量为ij l ，而发送的最大数量为ij u 。
顶点V i ∈对应的供需量i d 则表示该顶点从网络外部获得的“物质”数量（0>i d 时），或从该顶点发送到网络外部的“物质”数量（0<i d 时）。
下面我们给出严格定义。
定义 对于流网络),,,,(D U L A V N =，其上的一个流（flow ）f 是指从N 的弧集A 到R 的一个函数，即对每条弧),(j i 赋予一个实数ij f （称为弧),(j i 的流量）。
如果流f 满足∑∑∈∈∈∀=-Ai j j i ji A j i j ij V i d f f ),(:),(:,,（1）A j i u f l ij ij ij ∈∀≤≤),(,， （2）则称f 为可行流（feasible flow ）。
网络流：最小费用最大流(最简单的算法)
网络流：最小费用最大流（最简单的算法）最小费用流在OI 竞赛中应当算是比较偏门的内容，但是NOI2008 中employee 的突然出现确实让许多人包括zkw 自己措手不及。
可怜的zkw 当时想出了最小费用流模型，可是他从来没有实现过，所以不敢写，此题0 分。
zkw 现在对费用流的心得是：虽然理论上难，但是写一个能AC 题的费用流还算简单。
先贴一个我写的employee 程序：只有不到70 行，费用流比最大流还好写～程序代码:C++#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;const int maxint=~0U>>1;int n,m,pi[550]={0},cost=0;bool v[550]={0};struct etype{int t,c,u;etype *next,*pair;etype(){}etype(int t_,int c_,int u_,etype* next_):t(t_),c(c_),u(u_),next(next_){}void* operator new(unsigned,void* p){return p;}} *e[550],*eb[550];int aug(int no,int m){if(no==n)return cost+=pi[1]*m,m;v[no]=true;for(etype *&i=e[no];i;i=i->next)if(i->u && !v[i->t] && pi[i->t]+i->c==pi[no])if(int d=aug(i->t,m<i->u?m:i->u))return i->u-=d,i->pair->u+=d,d;return 0;}bool modlabel(){int d=maxint,c;for(int i=1;i<=n;++i)if(v[i])for(etype *j=eb[i];j;j=j->next)if(j->u && !v[j->t])if((c=j->c-pi[i]+pi[j->t])<d)d=c;if(d==maxint)return false;for(int i=1;i<=n;++i)if(v[i])pi[i]+=d,e[i]=eb[i];return true;}int main(){freopen("costflow.in","r",stdin);freopen("costflow.out","w",stdout);scanf("%d %d",&n,&m);etype *Pe=new etype[m+m];while(m--){int s,t,c,u;scanf("%d%d%d%d",&s,&t,&u,&c);e[s]=new(Pe++)etype(t, c,u,e[s]);e[t]=new(Pe++)etype(s,-c,0,e[t]);e[s]->pair=e[t];e[t]->pair=e[s];}memmove(eb,e,sizeof(e));do do memset(v,0,sizeof(v));while(aug(1,maxint));while(modlabel());printf("%d\n",cost);return 0;}程序代码:CB大牛翻译的PASCALvarn,m,i,l,s,t,c,cost,u:longint;v:array[0..600]of boolean;dis:array[0..600]of longint;e_n,e_t,e_c,e_u,e_p,e_x:array[0..250000]of longint;function min(a,b:longint):longint;beginif a>b then exit(b);exit(a);end;procedure addedge(s,t,c,u,k:longint);begininc(l);e_n[l]:=e_n[s];e_n[s]:=l;//下一条边e_t[l]:=t;//边的另一端e_c[l]:=c;//边的费用e_u[l]:=u;//边的容量e_p[l]:=l+k;//对应的边end;procedure build(s,t,c,u:longint);beginaddedge(s,t,c,u,1);addedge(t,s,-c,0,-1);end;function aug(no,m:longint):longint;vari,d:longint;beginif no=n then begininc(cost,m*dis[1]);exit(m);end;v[no]:=true;i:=e_x[no];while i<>0 do beginif (e_u[i]>0)and(not v[e_t[i]])and(dis[e_t[i]]+e_c[i]=dis[no]) then begind:=aug(e_t[i],min(m,e_u[i]));if d>0 then begindec(e_u[i],d);inc(e_u[e_p[i]],d);e_x[no]:=i;exit(d);end;end;i:=e_n[i];end;e_x[no]:=i;exit(0);end;function modlabel:boolean;vard,i,j:longint;begind:=maxlongint;for i:=1 to n do if v[i] then beginj:=e_n[i];while j<>0 do beginif (e_u[j]>0)and(not v[e_t[j]])and(e_c[j]-dis[i]+dis[e_t[j]]<d) then d:=e_c[j]-dis[i]+dis[e_t[j]];j:=e_n[j];end;end;if d=maxlongint then exit(true);for i:=1 to n do if v[i] then beginv[i]:=false;inc(dis[i],d);end;exit(false);end;beginassign(input,'coflow.in');reset(input);assign(output,'coflow.out');rewrite(output);readln(n,m);l:=n;for m:=m downto 1 do beginreadln(s,t,u,c);build(s,t,c,u);end;repeatfor i:=1 to n do e_x[i]:=e_n[i];while aug(1,maxlongint)>0 do fillchar(v,sizeof(v),0);until modlabel;writeln(cost);close(output);end.这里使用的是连续最短路算法。
最小费用最大流问题例题讲解
最小费用最大流问题例题讲解
最小费用最大流问题（Minimum Cost Maximum Flow Problem）是一种在特定的多媒体网络中传送给定体积的流量，使总花费最小化的一种算法。
它能满足一些实际生活中的求解，比如电力系统的供求、工厂的物料的分配和两地之间的物品的运输问题，以及更加复杂的产品开发和行业分工中的分布问题等等。
最小费用最大流问题的目标是在满足给定的最大流量要求的前提下，找出具有最小成本的流量方案。
这种问题的解决步骤如下：
1. 在图形中定义网络：用图形表示整个网络，每条边的容量是边上的流量上限。
2. 尝试找出最大流量：在不超过容量限制的前提下，找出输出流量最大的允许方案，也就是最小费用最大流量。
3. 计算最小成本：对所有边的成本进行总结，计算出最小成本。
下面以一个最小费用最大流问题的例题来说明：
假设有一个三角形的网络，它由一个源点S、一个汇点T、一个中间点O以及三条边组成，边的名字分别是SO、OT、OS，它们的容量分别是10、15和5，费用分别是5、3和2。
要求我们在此条件下求解最小费用最大流问题。
解：首先，我们可以求出最大流量：在边SO的容量为10时，我们可以将费用最小的边OT累加，得到最大流量值为10+3=13。
接下来，计算最小费用：根据上述算法，所有边的费用应该都大于等于0，才能累加而得到最大流量。
也就是说，最小费用为
5+3+2=10。
最后，最小费用最大流问题的解为：最大流量13，最小成本10。
最小费用最大流问题.
vs
(
5,2)
(
(
2,6)
8,1)
V2 10,3)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱV3
4,2)
第一轮：f 0为初始可行流，作相应的费用有向图网络L(f 0)，如 图（a）。 在L(f 0)上用DijksTra标号法求出由vs到vt的最短路（最小费用链） 0 m i n 8，5， 5 7 μ0=(vs,v2,v1, （ vt)v ，并对 μ 按 进行流量的调整， 0 ， v ） ，（ v ， v ） ，（ v ， v ） s 2 0 2 1 0 1 t 0 由于， (1) (1) 所以有 fs2 f12 f1t(1) 5，其余不变，得新的可行流f1的流量 有向图（b）。
vs
vt
2.下表给出某运输问题的产销平衡表与单位运价 表。将此问题转化为最小费用最大流问题，画出网 络图并求数值解。 2 3 产量 1 产地 销地
A B 销量 20 30 4 24 22 5 5 20 6 8 7
最小总费用为240
(20,8) A (0,8) s (30,7) (0,7) (5,8) (24,8)
4
vt
vs
1
6
2
2
v1
(7,5)
（2，0）
（10，0）
vt
(4，0)
v2
V(f
1)
(a) = 5
3
v3 vs
(8，5)
w(f0)
（5，5）
v2
(10,0)
v3
(b) f 1
v1 vs
(8，5)
(7,5)
（2，0）
（10，0）
vt
(4，0) 4
v1
vs
最小费用最大流问题
近似算法和启发式算法
要点一
近似算法
近似算法是一种用于求解NP-hard问题的有效方法，它可 以在多项式时间内找到一个近似最优解。最小费用最大流 问题的近似算法包括Ford-Fulkerson算法、EdmondsKarp算法等。
要点二
启发式算法
启发式算法是一种基于经验或直观的算法，它可以在合理 的时间内找到一个近似最优解。最小费用最大流问题的启 发式算法包括基于增广路径的算法、基于贪婪的算法等。
研究如何将最小费用最大流问题 应用于计算机科学领域，例如计 算机网络、云计算等。
物理学
研究如何借鉴物理学中的理论和 思想，解决最小费用最大流问题， 例如利用流体动力学中的思想来 研究网络中的流。
谢谢观看
Hale Waihona Puke 06未来研究方向和展望算法优化和改进
动态规划算法
研究如何优化动态规划算法，减少时间复杂度 和空间复杂度，提高求解效率。
近似算法
研究近似算法，在保证求解质量的前提下，提 高求解速度。
并行计算和分布式计算
研究如何利用并行计算和分布式计算技术，加速最小费用最大流问题的求解。
新的问题定义和模型
考虑更复杂的情况
和技术。
有界容量和无界容量
总结词
有界容量和无界容量是指在网络中节点之间 的容量是否有限制。
详细描述
在最小费用最大流问题中，如果节点之间的 容量有限制，即为有界容量问题；如果节点 之间的容量没有限制，即为无界容量问题。 有界容量问题可以通过增广路径算法、预流 推进算法等求解，而无界容量问题则需要采
用其他算法和技术进行求解。
算法概述
最小费用最大流问题是一种网络流问 题，旨在在给定有向图中寻找一条路 径，使得从源节点到汇点之间的总流 量最大，同时满足每个节点的流入量 等于流出量，以及每条边的容量限制。
运筹学第6章 图与网络
也就是说| V1 |必为偶数。
定理6.2有学者也称作定理6.1的推论。根据定理6.2，握手定理也可以 表述为，在任何集体聚会中，握过奇次手的人数一定是偶数个。
12 该课件的所有权属于熊义杰
另外，现实中不存在面数为奇数且每个面的边数也是奇数的多面 体，如表面为正三角形的多面体有4个面，表面为正五边形的多面体有 12个面等等，也可以用这一定理予以证明。因为在任意的一个多面体 中， 当且仅当两个面有公共边时，相应的两顶点间才会有一条边，即 任意多面体中的一个边总关联着两个面。所以，以多面体的面数为顶
v j V2
(m为G中的边数）
因式中 2m 是偶数， d (v j ) 是偶数，所以 d (vi ) 也必为偶数
v j V2
vi V1
( 两个同奇同偶数的和差必为偶数 ), 同时,由于 d (vi ) 中的每个加数 d (vi )
均为奇数,因而 d (vi ) 为偶数就表明, d (vi ) 必然是偶数个加数的和 ,
图论、算法图论、极值图论、网络图论、代数图论、随机图论、 模糊图论、超图论等等。由于现代科技尤其是大型计算机的迅 猛发展，使图论的用武之地大大拓展，无论是数学、物理、化 学、天文、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、 经济乃至社会科学的众多问题．都可以应用图论方法子以解决。
1976年，世界上发生了不少大事，其中一件是美国数学家 Appel和Haken在Koch的协作之下，用计算机证明了图论难题— —四色猜想(4CC)：任何地图，用四种颜色，可以把每国领土染 上一种颜色，并使相邻国家异色。4CC的提法和内容十分简朴， 以至于可以随便向一个人(哪怕他目不识丁)在几分钟之内讲清 楚。1852年英国的一个大学生格思里(Guthrie)向他的老师德·摩 根(De Morgan)请教这个问题，德·摩根是当时十分有名的数学家， 他不能判断这个猜想是否成立，于是这个问题很快有数学界流 传开来。1879年伦敦数学会会员Kemple声称，证明了4CC成立， 且发表了论文。10年后，Heawood指出了Kemple的证明中
运筹学课件最小费用流问题概要
vt
） 2 , 4 , 3 （
（3,10,3）
v2
v3
第三次剩s
-1
-2
vt
2
6
3
v2
-3
v3
第三次调整网络流
v1
1 （ ） 4 , ,10
（5 ,5 ,1 ）
vs
（ 8,8 ,1）
（4,5,2）
vt
） 2 , ,4 4 （
（4,10,3）
（ ,6） 0,2
v2
v3
v1
三、求解最小费用流的复合标号法
修正如下： 标号过程中，永久标号和临时标号一样 是可以改变的。对任一顶点而言，它有 可能反复变成T标号和P标号，顶点每次 变成P标号，标号过程都要从该顶点重新 开始。 所有顶点变为P标号，算法停止。
三、求解最小费用流的复合标号法
P(vs ) [0, ,0]
正向弧是非饱和弧： 反向弧是非零流弧：
（0 ，5 ， 1）
( f ij ,cij ,bij )
（0，5，2）
1
0，
4）
（
vs （
（
6） 2， 0，
0， 8，
vt
） 2 ， 4 ， 0 （
1）
（0，10，3）
v2
v3
第一次剩余网络最短路
v1
1
D=4
4
vs
1
2
vt
2
6
3
v2
v3
第一次调整网络流
v1
（5,5,2）
0, （ , 0 1 4）
P(vs ) [0, ,0]
0, 8, 1）
vt
（ 0 ） 2 , ,4
T (v2 ) [vs ,8,1] P
最小费用最大流问题
i):f(j,i))=0; ); @sum(edge(i,j)|i#eq#@index(s):f(i,j)) =vf; @sum(edge(j,i)|i#eq#@index(t):f(j,i)) =vf; @for(edge(i,j):@bnd(0,f(i,j),u(i,j))) ; end
min
( i , j )E
cij fij ;
s.t.
jV ( i , j )E
fij
jV ( j ,i )E
v f , i s , f ji v f , i t , 0, i s, t.
0 fij uij ,(i, j ) E.
LINGO 程序求解 model: sets: points/s,v1,v2,v3,v4,t/; edge(points,points) /s,v1 s,v2 v1,v2 v1,v3 v2,v4 v3,v2 v3,t v4,v3 v4,t/:c,u,f; endsets data: c=2 8 5 2 3 1 6 4 7; u=8 7 5 9 9 2 5 6 10; vf=14; enddata min=@sum(edge(i,j):c(i,j)*f(i,j)); @for(points(i)|i#ne#@index(s) #and# i#ne#@index(t): @sum(edge(i,j):f(i,j))-@sum(edge(j,
最小费用最大流问题
例 本例是最大流问题的延伸，由于输油管道的长短不 一，或地质等原因，使每条管道上运输费用也不相 同，因此，除考虑输油管道的最大流外，还需要考 虑输油管道输送最大流的最小费用，下图所示是带 有运输费的网络，其中第 1 个数字是网络的容量， 第 2 个数字是网络的单位运费.
最小费用最大流
vs
4
v2
4
vt
(10 )f ( 5)
v1 1
v3
4 －4
－1
3 2
2 －6
vs
－1
v2
6
vt
(11) L( f ( 5))
运筹学
的增广链u，以1调整f，得到新的可行流
f′时，b(f′)比b(f)增加多少？
b
u i j
显然有
b(f')﹣b(f)=[ b
b b (f′ij﹣fij )]u
ij
bu(_ f′i j ij﹣fij )﹣
b b
= [ ﹣ u i j
u_ i j
]
我们把[ u
﹣ i j
u_
ij
] 称为这条增广链u的
费用。
v2 (6 ,7)
vt vs
1
v2
6
vt
v1
3
v3 1=3
W(f(1))=3
(1) L(f (0))
v1 1
v3
0
3
－1
－2
3
0
4 －2
2 3
vs
3
v2
0
(2) f ( 1)
－1
vt
vs
1
v2
6
vt
(3) L(f (1))
v1 (1 ,6) v3
(4 ,8) (2 ,3)
(2 ,5) (3 ,2)
1
v3
v1
4
v3
4=3 W(f(4))=8
4
－1
－2 3
-2 －3
4 0
5 1
vs
－1
v2
6
(7) L(f (3))
最小费用最大流课程设计
最小费用最大流课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解并掌握最小费用最大流的概念及在实际问题中的应用；2. 学会运用线性规划、图论等知识分析最小费用最大流问题；3. 掌握运用算法求解最小费用最大流问题的方法。
技能目标：1. 能够运用所学的理论知识解决实际生活中的最小费用最大流问题；2. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力，提高学生运用算法解决问题的技巧；3. 提高学生的团队协作能力和沟通能力，通过小组讨论、分享解题思路，互相学习。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数学学科的热爱，激发学习兴趣，增强自信心；2. 培养学生面对问题勇于挑战、积极求解的精神，形成良好的学习习惯；3. 增强学生对我国数学研究及应用的认同感，培养学生的家国情怀。
课程性质：本课程为数学学科选修课程，适用于高中年级学生。
课程结合图论、线性规划等知识，注重理论知识与实际应用的结合。
学生特点：高中年级学生具备一定的数学基础，逻辑思维能力较强，对算法有一定了解，但可能对最小费用最大流问题接触较少。
教学要求：教师应注重启发式教学，引导学生主动探究问题，通过实际案例讲解，让学生掌握最小费用最大流问题的解决方法。
同时，关注学生的个体差异，提供针对性的指导，提高学生的综合能力。
在教学过程中，关注学生的学习成果，及时进行评估和反馈，确保课程目标的实现。
二、教学内容1. 引入最小费用最大流的概念，讲解其基本原理和在实际问题中的应用场景。
- 教材章节：图论基础，线性规划简介- 内容：图的表示方法，网络流的概念，最小费用最大流的定义及其数学模型。
2. 讲解最小费用最大流的求解方法，包括贪心算法、增广路径算法和最小费用流算法等。
- 教材章节：网络流算法- 内容：贪心算法的思想及其在最小费用最大流问题中的应用，增广路径算法的步骤，最小费用流算法的原理及实现。
3. 分析实际案例，通过具体问题引导学生运用所学算法解决最小费用最大流问题。
- 教材章节：应用案例分析- 内容：选取具有代表性的最小费用最大流问题，如运输问题、分配问题等，指导学生运用所学算法进行求解。
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2. c是E上的正整数函数(容量函数)，c(e)代表边e 的容量；
3. 记X为发点集(源)，Y为收点集(汇)，V-X-Y称为 中间点集。有向图D可记做(V,E,c,X,Y)
注意：根据网络的定义，对于任意一个有多个 收、发点的网络，可通过简单的方法转换为只 有一个发点和一个收点的网络。
第六讲 最大流，最小费用
1. 网络、流、割 2. 最大流Ford-Fulkerson算法 3. 最大流最小费用问题 4. Busacker-Growan迭代算法
下 回
停
一、网络、流、割
网络N就是规定了源和汇，并且每条边都赋予 了非负整数权的赋权有向图D，其中此有向图D 称为网络N的基础有向图。 定义：若
定理： N中的流f是最大流当且仅当N不包含f可 增路。 最大流最小割定理：在任何网络中，最大流的 值等于最小割的容量。
二、Ford-Fulkerson标号算法
如何求最大流？ Ford-Fulkerson标号算法.
Ford-Fulkerson标号算法基本步骤：
A: 标号过程，通过标号过程寻找一条可 增扩路； B:增流过程，沿着可增扩路增加网络的 流量
定义：对于网络N=(V,A,C),称定义在弧集A上的 函数f为网络N上的流；对于弧a,f(a)称为弧a上的 流量，若a=(Vi,Vj),f(a)也可以记作f(Vi,Vj)或者fij; 对于顶点v,记f+(v)为点v流出的流量，f-(v)为点v 流入的流量。 可行流：若每个点的流量都小于等于容量，且 流出的流量等于流入的流量，则称为可行流； 最大流：可行流的最大值称法Matlab实现】
程序见word文档
三、最小费用问题
在最大流问题中，讨论的网络流仅仅涉及流 量，而未考虑网络流的费用问题；但在许多 实际问题中，往往还必须考虑流的费用。例 如，在标准运输中，往往要求在完成一定运 输任务的前提下，使运输总费用最省。
四、Busacker-Gowan迭代算法
(1,7) (4,10)
(2,5) (1,8) (3,10) (2,6)
(2,4)
这里所介绍的求最大流最小费用的算法是迭代 法，是由Busacker和Gowan在1961年提出的。 主要步骤如下：
算法步骤：
【Busacker-Grown迭代法】
见word文档
第六讲习题
1. 求图中的最大流
17
23 56 43 13 18 23
28 14
23
2.求图中所示网络的最小费用最大流， (b,c)中b表示容量，c表示费用