2011全国中考真题解析120考点汇编☆直角三角形

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二、填空题 1. （2011•玉林，17，3 分）如图，等边△ ABC 绕点 B 逆时针旋转 30° 时，点 C 转到 C′的 位置，且 BC′与 AC 交于点 D，则错误！未找到引用源。 用源。 ．
AB2 BC 2 =6，
∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE=
1 AC=3． 2
故选 A． 点评：此题考查了勾股定理与三角形中位线的性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应 用． 7.如图，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=5，AF 平分∠DAE，EF⊥AE，则 CF 等于（ ） A、 B、1 C、 D、2
2 ，点 P 在四边形 ABCD
3 ，则点 P 的个数为（ 2
C、3 D、4
）
3 比较得出答案． 2
【解答】解：过点 A 作 AE⊥BD 于 E，过点 C 作 CF⊥BD 于 F， ∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD= 2 2 ，CD=
2 ，∴∠ABD=∠ADB=45°， 2 •tan45°=2
3a =3 a
2 x ，则正方形的周率是
4x 错误！未找到引用源。=2 2 ≈2.828， 2x
设正六边形的边长是 b，过 F 作 FQ∥AB 交 BE 于 Q，得到平行四边形 ABQF 和等边三角形 EFQ，直径是 b+b=2b， ∴正六边形的周率是 a3= 圆的周率是 a4 ∴a4＞a3＞a2． 故选 B．
C
E A
D
B
A．3 B．4 C．4.8 D．5 考点：三角形中位线定理；勾股定理 专题：存在型 分析：由在 Rt△ABC 中， ∠C=90° ，AB=10， BC=8，根据勾股定理即可求得 AC 的长， 又由 DE 是△ABC 的中位线，根据三角形中位线的性质，求得 DE 的长度． 解答 解：∵在 Rt△ABC 中，∠C=90° ，AB=10，BC=8， ∴AC=
A.5 3
B.5 2
C.5
D.10
考点：解直角三角形；矩形的性质。 专题：计算题。 分析：本题的关键是利用等边三角形和矩形对角线的性质求长度． 解答：解：因为在矩形 ABCD 中，所以 AO=
1 1 AC= 错误！未找到引用源。BD=BO， 2 2
又因为∠AOB=60°，所以△AOB 是等边三角形，所以 AO=AB=5， 所以 BD=2AO=10， 2 2 2 2 2 所以 AD =BD ﹣AB =10 ﹣5 =75， 所以 AD=5 3 ． 故选 A． 点评： 此题考查的知识点是解直角三角形， 解答此题的关键是由矩形的性质和等边三角 形的性质首先得出 BD=2AB=10，然后由勾股定理求得 AD．
(2012 年 1 月最新最细）2011 全国中考真题解析 120 考点汇编☆直角三角形的有关计算 一、选择题 1. （2011 湖北荆州，8，3 分）在△ABC 中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则 sinB 的值是（ ） A、 5714 B、 35 C、 217 D、 2114 考点：解直角三角形． 专题：几何图形问题． 分析：根据∠A=120°，得出∠DAC=60°，∠ACD=30°，得出 AD=1，CD= 3，再根据 BC=2 7， 利用解直角三角形求出． 解答：解：延长 BA 做 CD⊥BD，
， 在 Rt△ABC 中，有 cosA=
AC BC ，sinA= ； AB AB
则 AC=AB•cosA=10×cos72°≈3.1； 故选 C． 【点评】 本题考查了解直角三角形的应用， 要熟练掌握好边角之间的关系及三角函数的定义．
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3. （2011•德州，7，3 分）一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该 图形ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为 正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为 a1，a2，a3，a4，则下列关 系中正确的是（ ）
A、6 错误！未找到引用源。 3
B、4 错误！未找到引用源。
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C、6 D、4 考点：线段垂直平分线的性质；含 30 度角的直角三角形。 专题：计算题。 分析： 由角平分线的定义得到∠CBE=∠ABE， 再根据线段的垂直平分线的性质得到 EA=EB， 则∠A=∠ABE，可得∠CBE=30° ，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到 BE=2EC， 即 AE=2EC，由 AE+EC=AC=9，即可求出 AC． 解答：解：∵BE 平分∠ABC， ∴∠CBE=∠ABE， ∵ED 垂直平分 AB 于 D， ∴EA=EB， ∴∠A=∠ABE， ∴∠CBE=30° ， ∴BE=2EC，即 AE=2EC， 而 AE+EC=AC=9， ∴AE=6． 故选 C． 点评： 本题考查了线段的垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相 等． 9. 如图，四边形 ABCD 中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD= 2 2 ，CD= 上，若 P 到 BD 的距离为 A、1 【答案】B 【考点】解直角三角形；点到直线的距离． 【专题】几何综合题． 【分析】首先作出 AB、AD 边上的点 P（点 A）到 BD 的垂线段 AE，即点 P 到 BD 的最长距离， 作出 BC、CD 的点 P（点 C）到 BD 的垂线段 CF，即点 P 到 BD 的最长距离，由已知计算出 AE、 CF 的长与 B、2
A．错误！未找到引用源。 B．错误！未找到引用源。 C．错误！未找到 引用源。 D．6 考点：翻折变换（折叠问题） ；勾股定理。 专题：探究型。 分析：先根据图形翻折变换的性质求出 AC 的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即 可得出结论． 解答：解：∵△CED 是△ CEB 翻折而成， ∴BC＝CD，BE＝DE， ∵O 是矩形 ABCD 的中心， ∴OE 是 AC 的垂直平分线，AC＝2BC＝2×3＝6， ∴AE＝CE， 在 Rt△ ABC 中，AC2＝AB2＋BC2，即 62＝AB2＋32，解得 AB＝3 错误！未找到引用源。 ， 在 Rt△ AOE 中，设 OE＝x，则 AE＝3 错误！未找到引用源。－x，
1 21 ×AD×BC=错误！未找到引用源。×3×（3+4）= ． 2 2
故选 A． 点评：此题主要考查了解直角三角形的知识，做出 AD⊥BC，进而得出相关线段的长度是解 决问题的关键． 8.（2011•丹东，8，3 分）如图，在 Rt△ ACB 中，∠C=90° ，BE 平分∠ABC，ED 垂直平 分 AB 于 D．若 AC=9，则 AE 的值是（ ）
A．6
B ．3
C．错误！未找到引用源。
D． 3 错误！未找到引用源。 考点：翻折变换（折叠问题） ；含 30 度角的直角三角形；勾股定理． 专题：计算题． 分析：易得∠ABC=60° ，∠A=30° ．根据折叠的性质∠CBE=∠D=30° ．在△ BCE 和△ DCE 中运用三角函数求解． 解答： 解： ∵∠ACB=90° ， BC=3， AB=6， ∴sinA=BC： AB=1： 2， ∴∠A=30° ， ∠CBA=60° ． 根 据折叠的性质知，∠CBE=∠EBA=错误！未找到引用源。∠CBA=30° ，∴CE=BCtan30° = 错误！未找到引用源。 ，∴DE=2CE=2 错误！未找到引用源。 ．故选 C． 点评：本题考查了：1．折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的 性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2．直角三角形 的性质，锐角三角函数的概念求解． 5. （2011 泰安，19，3 分）如图，点 O 是矩形 ABCD 的中心，E 是 AB 上的点，沿 CE 折 叠后，点 B 恰好与点 O 重合，若 BC＝3，则折痕 CE 的长为（ ）
A、a4＞a2＞a1 B、a4＞a3＞a2 C、a1＞a2＞a3 D、a2＞a3＞a4 考点：正多边形和圆；等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角；平行四边形的判定与 性质。 专题：计算题。 分析：设等边三角形的边长是 a，求出等边三角形的周长，即可求出等边三角形的周率 a1； 设正方形的边长是 x，根据勾股定理求出对角线的长，即可求出周率；设正六边形 的边长是 b，过 F 作 FQ∥AB 交 BE 于 Q，根据等边三角形的性质和平行四边形的 性质求出直径，即可求出正六边形的周率 a3；求出圆的周长和直径即可求出圆的周 率，比较即可得到答案． 解答：解：设等边三角形的边长是 a，则等边三角形的周率 a1= 设正方形的边长是 x ，由勾股定理得：对角线是 a2=
2
3 2 =2＞ ， 2 2
∴∠CDF=90°-∠ADB=45°，∴AE=AB•tan∠ABD=2
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所以在 AB 和 AD 边上有符合 P 到 BD 的距离为
3 的点 2 个， 2
∴CF=CD•tan∠CDF= 2 所以 P 到 BD 的距离为
3 2 =1，所以在边 BC 和 CD 上没有到 BD 的距离为 的点， 2 2
解答：解：过点 A 做 AD⊥BC， ∵△ABC 中，cosB=错误！未找到引用源。 ，sinC=错误！未找到引用源。 ，AC=5， ∴cosB=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 ， ∴∠B=45° ， ∵sinC=
3 AD AD = = ， 5 AC 5
∴AD=3， ∴CD=4， ∴BD=3， 则△ ABC 的面积是：
3 的点有 2 个，故选：B． 2
【点评】 此题考查的知识点是解直角三角形和点到直线的距离， 解题的关键是先求出各边上 点到 BD 的最大距离比较得出答案． 10. （2011 黑龙江省哈尔滨,9，3 分）如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 0，∠ AOB=60°，AB=5，则 AD 的长是（ ）
∵∠A=120°，AB=4，AC=2， ∴∠DAC=60°，∠ACD=30°， ∴2AD=AC=2， ∴AD=1，CD= 3， ∴BD=5， ∴BC=2 7， ∴sinB= 327= 2114， 故选：D． 点评：此题主要考查了解直角三角形以及勾股定理的应用，根据题意得出∠DAC=60°，∠ ACD=30°是解决问题的关键． 2. （2011 山东滨州， 9， 3 分） 在△ABC 中,∠C=90° , ∠C=72° ,AB=10,则边 AC 的长约为(精 确到 0.1) A.9.1 B.9.5 C.3.1 D.3.5 【考点】解直角三角形． 【专题】计算题． 【分析】在 Rt△ABC 中，根据三角函数的定义，易得 AB、AC 及∠A 的关系，进而计 算可得答案． 【解答】解：根据题意