6-8常微分方程的应用
常微分方程在高数学科中的重要作用与应用
常微分方程在高数学科中的重要作用与应用常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是一类数学方程，描述了未知函数的导数与自变量之间的关系。
在高等数学中，常微分方程是一个重要的数学分支，具有广泛的应用领域。
在高数学科中，常微分方程的重要作用体现在以下几个方面：1. 物理学中的应用常微分方程广泛应用于物理学领域，以描述自然界中的各种动力学过程。
例如，牛顿第二定律可以用常微分方程来描述，通过求解运动方程，我们可以精确地预测物体在各种条件下的运动。
另外，光学、热力学、电动力学等领域也利用常微分方程建立物理模型，从而推导出系统的行为规律。
2. 生物学中的应用常微分方程在生物学领域中有着广泛的应用。
生物学家可以利用常微分方程来描述生物体内各种生命周期的变化和生物群体的动态行为。
例如，人口动态模型、免疫系统模型等都可以通过常微分方程加以描述，进而理解生物系统中的行为和相互作用。
3. 工程学中的应用工程学中的很多问题可以通过常微分方程进行建模和求解。
例如，电路中的电流和电压变化可以通过常微分方程来描述，并进而分析电路中的稳定性和响应特性。
此外，工程学中的动力学问题、机械振动问题和控制系统的建模等也离不开常微分方程的应用。
4. 经济学中的应用常微分方程在经济学中也有重要的应用。
例如，经济增长模型、消费行为模型等都可以通过常微分方程来建立。
这些模型可以揭示经济体制中的供求关系、市场波动以及经济增长的趋势，为经济政策的制定提供重要依据。
除了以上几个领域，常微分方程还可以在人口学、地理学、环境科学等学科中找到广泛的应用。
例如，人口增长模型可以通过常微分方程描述，地球温度变化模型也可以用常微分方程建立。
在实际应用中，常微分方程的求解往往是比较困难的，需要借助数值方法或近似方法来求解。
数值解法如欧拉法、龙格-库塔法等可以在计算机上进行求解，而近似解法如级数解、变量分离法等则可以对一些特殊的常微分方程进行求解。
常微分方程的求解及其应用
常微分方程的求解及其应用常微分方程是微积分中十分重要的一个分支。
通过解决微分方程，我们可以得到模型在不同情况下的变化，进而为实际问题的解决提供了关键性所在。
本文将介绍常微分方程的求解及其应用。
一、常微分方程的基础知识在介绍常微分方程的求解之前，我们先来了解一些常微分方程的基础知识。
常微分方程是指只有一个自变量的微分方程，即形如：$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$其中y是自变量，x是因变量，f(x,y)是一个已知函数。
上述方程也可以写成以下形式：$$y'=f(x,y)$$其中y'表示y对x的导数。
二、常微分方程的求解方法1.可分离变量法可分离变量法是常微分方程最常用的求解方法。
该方法的主要思想是将变量y和x分离，即将f(x,y)拆分为g(x)h(y)，使得原方程可写成以下形式：$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$$然后将上式两边分别积分即可。
以求解一阶线性微分方程为例，其形式为：$$y'+p(x)y=q(x)$$首先，将右式中的q(x)移到左边，得到：$$y'+p(x)y-q(x)=0$$然后，应用一个分离变量法的思想，令p(x)=P'(x)，即可将该方程写成：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$然后，我们使用降阶的方法将该一阶方程转换为首阶方程。
具体来说，将y分离出来，得到：$$\frac{dy}{dx}=-P(x)y+Q(x)$$我们令u(x)=e^{\int P(x)dx}，则上式可以写成：$$u(x)\frac{dy}{dx}-u(x)P(x)y=u(x)Q(x)$$将上式两边同时积分，得到：$$u(x)y=\int u(x)Q(x)dx+C$$其中C为常数，e^{\int P(x)dx}也可以写成常数K。
这样，我们就求解出了一阶线性微分方程。
2.参数化方法参数化方法是常微分方程的另一种常见求解方法。
该方法的核心是寻找一条曲线，使得函数y(x)可以表示为该曲线上某点的函数。
常微分方程及其应用
常微分方程及其应用常微分方程是数学中的一个重要概念，它描述了变量的变化率与变量本身的关系。
常微分方程广泛应用于物理学、生物学、经济学等众多领域，为解决实际问题提供了有效的数学工具。
在物理学中，常微分方程被广泛应用于描述自然界中的各种现象。
例如，牛顿第二定律可以用常微分方程来描述物体的运动。
考虑一个质点在力的作用下运动的情况，我们可以通过将质点的质量、受力和加速度之间的关系表示为一个常微分方程。
这个方程可以描述质点在不同时间点上的位置和速度的变化。
在生物学中，常微分方程被用来描述生物体内的各种生理过程。
例如，人体的代谢过程可以用常微分方程来描述。
我们可以建立一个关于时间的常微分方程来描述人体内各种物质的转化和消耗。
这些方程可以帮助我们理解人体的代谢过程，从而指导健康管理和疾病治疗。
在经济学中，常微分方程被用来描述市场供求关系和价格变化。
例如，一种商品的价格会随着供求关系的变化而发生变化。
我们可以建立一个关于时间的常微分方程来描述市场供求关系的变化，从而预测价格的走势。
这些方程可以帮助我们理解市场的运行机制，从而指导经济政策和投资决策。
除了物理学、生物学和经济学，常微分方程还被广泛应用于其他领域，如工程学、环境科学和计算机科学等。
在工程学中，常微分方程被用来描述控制系统的动态行为。
在环境科学中，常微分方程被用来描述气候变化和生态系统的演化。
在计算机科学中，常微分方程被用来描述算法的复杂性和性能。
常微分方程及其应用是数学中的重要内容。
它不仅在物理学、生物学和经济学等自然科学领域发挥着重要作用，也在工程学、环境科学和计算机科学等应用科学领域发挥着重要作用。
通过建立和求解常微分方程，我们可以更好地理解和预测自然和社会现象的变化，为解决实际问题提供了有力的数学工具。
因此，对常微分方程的研究和应用具有重要的理论和实践意义。
常微分方程的实际应用
常微分方程的实际应用常微分方程的实际应用于萍摘要：常微分方程在当代数学中是极为重要的一个分支，它的实用价值很高，应用也很广泛，本文主要介绍常微分方程在几何、机械运动、电磁振荡方面的应用，并举例说明，体会常微分方程对解决实际问题的作用，在解决实际问题过程中通常是建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程，求解这个微分方程，用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。
关键字：常微分方程，几何，机械运动，电磁振荡，应用Abstract: Nomal differential equation is an important part of math at it has a high practical value. This thesis shows the use in geometry, mechaics and electrothermal and makes some examples. Also, it summarizes the normal move of dealing with practical problems by the normal differential equation. Normal, we set up the maths matic model of the problem, solute the normal differentical equation make the use of the result to explain practical problems and make a forecast of some special character of physical process.Key: Normal differetial equation geometry mechanics electrothermal use引言数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系，但在大量的实际问题中遇到稍为复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系(即函数)往往不能直接写出来，却比较容易地建立这些变量和它们的导数(或微分)间的关系式，不同的物理现象可以具有相同的数学模型，这一事实正是现代许多应用数学工作者和工程人员应用模拟方法解决物理或工程问题的理论依据。
常微分方程理论及其应用
常微分方程理论及其应用一、常微分方程的理论首先，我们需要明确什么是常微分方程。
常微分方程是描述一个未知函数与其一些导数之间关系的方程。
根据未知函数的个数和自变量的个数不同，常微分方程可以分为单常微分方程和组常微分方程两类。
对于单常微分方程，根据方程中导数的最高阶数，可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程的形式一般为dy/dx=f(x,y)，求解一阶常微分方程的方法有分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等。
高阶常微分方程则需要通过变量代换的方法将高阶常微分方程转化为一阶方程组来求解。
对于组常微分方程，它由多个未知函数与它们的导数之间的关系方程组成。
组常微分方程的求解分为两种情况，一种是齐次线性组常微分方程，另一种是非齐次线性组常微分方程。
对于齐次线性组常微分方程，我们可以通过矩阵运算的方式来求解。
而对于非齐次线性组常微分方程，我们需要通过特解和通解结合的方法来求解。
在常微分方程的理论研究中，我们还常常遇到的一个重要概念是初值问题。
初值问题是指在给定其中一初始条件下，求解满足该初始条件的微分方程解。
初值问题的解的存在唯一性是常微分方程理论研究的一个重要问题，我们需要通过一些数学分析方法来证明。
二、常微分方程的应用常微分方程的应用非常广泛，涉及到物理学、工程学、生物学等各个领域。
以物理学为例，常微分方程广泛应用于天体力学、力学、电磁学等领域。
在天体力学中，通过对轨道方程建立和求解，可以预测行星运动。
在力学中，通过建立运动方程，可以求解物体的运动轨迹。
在电磁学中，通过建立麦克斯韦方程，可以研究电磁场的变化规律。
这些都是常微分方程在物理学中的应用。
在工程学中，常微分方程被广泛应用于电路分析、控制系统、信号处理等方面。
在电路分析中，通过建立电路方程和求解，可以得到电路中电流和电压的变化规律。
在控制系统中，通过建立系统的数学模型和求解微分方程，可以研究系统的稳定性和响应特性。
在信号处理中，通过建立信号的微分方程和求解，可以对信号进行滤波和提取。
常微分方程与其在实际中的应用
常微分方程与其在实际中的应用常微分方程是描述自然现象和物理现象最基本的数学工具之一。
对于任何数学专业的学生来说，只有精通常微分方程，才能够真正掌握数学的精华和应用。
尽管很多人会认为，微分方程只是一种抽象的数学概念，但实际上它在我们的日常生活中扮演了重要的角色。
本文将围绕着常微分方程，探讨它在实际中的应用。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是研究函数的微分方程。
它包括两部分：一个是未知函数，另一个是关于该函数的导数。
通常，常微分方程包含一个独立变量和一个未知函数，其中这个未知函数是随着独立变量的改变而变化的。
在数学领域中，常微分方程可以用于求解需要改变的过程，并且它在各种物理学和其他科学领域的应用中也很重要。
二、常微分方程在经济中的应用在经济学领域中，常微分方程有广泛的应用。
例如，宏观经济学中的萨缪尔森模型就是一个关于经济增长的常微分方程模型。
此外，在经济学中另一个重要的应用是价格变化的方程。
价格经常依赖供求关系，而这种供求关系可以用常微分方程来描述。
我们可以通过模拟这种微分方程，来预测未来的价格趋势。
因此，常微分方程在经济学中被广泛应用。
三、常微分方程在物理学中的应用物理学是应用最广泛的领域之一，因此，常微分方程在物理学中的应用也是最广泛的之一。
物理学中有许多关于运动和力学运动的问题需要解决，这些问题都可以用常微分方程来描述。
例如，牛顿定律是经典物理学中最基本的定律之一，它可以用常微分方程的形式来表示。
此外，常微分方程还在许多其他领域中被广泛应用，如电学、光学、热学等。
四、常微分方程在生物学中的应用在生物学中，常微分方程也有广泛的应用。
生物学领域中的一些问题，例如种群增长和动态平衡，可以用常微分方程来描述。
此外，有些分子生物学问题也涉及到微分方程。
例如，细胞内生物化学反应非常复杂，它们可以用常微分方程来描述各种生物分子之间的相互作用。
五、总结因此，在各种学科领域中，包括经济学、物理学和生物学，常微分方程的应用都是不可忽视的。
常微分方程方法在微积分中的应用
常微分方程方法在微积分中的应用常微分方程是微积分中的一门重要课程，它研究的是含有未知函数及其导数的方程。
常微分方程包括了一阶常微分方程和高阶常微分方程，具有广泛的应用领域。
在微积分的学习中，我们通过学习常微分方程的方法，可以解决很多实际问题，下面将从生活中的应用和工程领域中的应用两个方面展开讨论。
首先，常微分方程在生活中有着广泛的应用。
我们身处的环境中充满了各种各样的变化，这些变化可以通过常微分方程来描述。
一个常见的例子是衰减问题。
生活中有很多现象如放射性物质的衰变、热量的散失以及人口的增长等都是衰减问题。
这些问题可以用一阶常微分方程来描述，通过解方程我们可以得到关于物质衰减的规律。
此外，常微分方程也可以应用在工程领域。
工程问题中常常需要求解由物理定律描述的方程来研究系统的动态行为。
例如，机械振动方程、电路方程和控制系统等都可以用常微分方程来描述。
通过对这些方程进行求解，可以了解到系统的稳定性、响应以及其它相关特性。
这对于工程师们来说是非常重要的，可以帮助他们设计和改进各种工程系统。
常微分方程的求解方法有很多种，其中一些方法也在微积分中被广泛应用。
最直接的方法是分离变量法。
对于一阶常微分方程，我们可以将变量分离到方程两边，然后对两边分别积分得到解。
这个方法在微积分中的积分技巧和技术是非常重要的。
当然，常微分方程的求解远不仅限于分离变量法。
还有很多方法，包括微分方程的分类解、常微分方程的线性化以及常微分方程的变换等。
对于高阶常微分方程，我们也可以通过线性代数的方法来求解。
这些方法在微积分中被严格证明，并且在实际应用中发挥了重要的作用。
总结一下，常微分方程是微积分中的一门重要课程，它在生活中和工程领域中有广泛的应用。
通过学习常微分方程的方法，我们可以解决很多实际问题，帮助我们了解和改进各种系统的行为。
常微分方程的求解方法也在微积分中得到了广泛的应用。
希望本篇文章对你理解常微分方程在微积分中的应用有所帮助。
常微分方程应用
常微分方程应用常微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了物理、工程、经济等各个领域中的变化规律。
在实际应用中，常微分方程被广泛用于模拟和预测系统的行为，以及解决各种问题。
本文将介绍常微分方程在几个实际应用中的案例，并探讨其重要性和局限性。
一、人口增长模型人口增长是一个重要的社会经济问题，而常微分方程可以用来描述和预测人口变化的规律。
以Malthus模型为例，它假设人口增长的速度与当前人口数量成正比，即dP/dt = kP，其中P是人口数量，t是时间，k是增长率。
通过解这个方程，我们可以得到人口数量随时间的变化规律。
这种模型可以应用于城市规划、资源分配等问题中，帮助政府制定合理的政策。
二、物理系统建模常微分方程在物理学中有广泛的应用，可以用来描述各种运动和变化的规律。
以简谐振动为例，它可以由二阶常微分方程描述：d^2x/dt^2 + ω^2x = 0，其中x是物体的位移，t是时间，ω是角频率。
这个方程可以应用于机械振动、电路振荡等问题中，帮助我们理解和分析物理系统的行为。
三、化学反应动力学常微分方程在化学反应动力学中也有重要作用。
以一阶反应为例，它可以由一阶常微分方程描述：d[A]/dt = -k[A]，其中[A]是反应物的浓度，t是时间，k是反应速率常数。
通过解这个方程，我们可以得到反应物浓度随时间的变化规律。
这种模型可以应用于酶催化、药物代谢等领域，帮助我们理解和控制化学反应的过程。
尽管常微分方程在各个领域中都有广泛的应用，但它也存在一些局限性。
首先，常微分方程通常是基于一些简化假设得到的，这些假设可能无法完全满足实际情况。
其次，常微分方程的求解通常需要数值方法，这在某些情况下可能会带来精度和计算效率的问题。
此外，常微分方程模型的建立和参数的选择也需要一定的经验和专业知识。
总之，常微分方程作为一种数学工具，可以应用于各个领域中的问题求解和模拟预测。
通过合理选择模型和求解方法，我们可以更好地理解和控制自然和社会系统的行为。
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例7 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小 孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始 时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器 里水面的高度 h (水面与孔口中心间的距离)随时 间 t 的变化规律. 解 由力学知识得,水从孔口流 出的流量为
dV Q= = 0.62 ⋅ S 2 gh , dt
则100年后镭的质量为： m = m0e
−
ln 2 .100 1600
≈ 0.9576m76%
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例3. 在制造探照灯反射镜面时, 要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 解: 设光源在坐标原点, 取x 轴平行于光线反射方向, 则反射镜面由曲线 y = f ( x ) 绕 x 轴旋转而成 . T 过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T, y Mα 由光的反射定律: 入射角 = 反射角 y α 可得 ∠OMA = ∠ OAM = α A o P x 从而 AO = OM y 而 AO = AP − OP = y cot α − x = − x y′ 2 2 OM = x + y y − x = x2 + y2 于是得微分方程 : y′
1 − t 6
1 dx = − ( x − 0.03), ⇒ x = 0.03 + Ce dt 6
x |t = 6 = 0.03 + 0.07e −1 ≈ 0.056,
,
1 − t 6
Q x |t = 0 = 0.1, ∴C = 0.07, ⇒ x = 0.03 + 0.07e
,
6分钟后, 车间内 CO 2 的百分比降低到 0.056%.
CO 2 的通入量 = 2000 ⋅ dt ⋅ 0.03, CO 2 的排出量 = 2000 ⋅ dt ⋅ x ( t ),
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CO 2 的改变量 = CO 2 的通入量 − CO 2 的排出量
12000dx = 2000 ⋅ dt ⋅ 0.03 − 2000 ⋅ dt ⋅ x ( t ),
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说明:
C y = 2C ( x + ) 2
2
y
A
若已知反射镜面的底面直径为 d , 顶到底的距离为 h , 则将 C d x+ = h, y = 2 2 d2 代入通解表达式得 C = 8h 这时旋转曲面方程为
d ⎛ d ⎞ y +z = ⎜ x+ ⎟ 4h ⎝ 16h ⎠
m0 质量变为 。求衰变过程中镭的质量 m(t ) 随时间 t 2 变化的规律.并求 100 年后镭的质量是多少？
解： 设 t 时刻，镭的质量为 m = m (t ) 。则
dm = − λm ，其中 λ > 0 是比例系数 dt ⎧ dm ⎪ = − λm 得初值问题 ⎨ dt ， ⎪ m t = 0 = m0 ⎩
k − t ⎧ mv 0 (1 − e m ) x = x( t ) = ⎪ k 解得 ⎪ ⎨ k − t mg m2g ⎪ y = y( t ) = h − t + 2 (1 − e m ) 0 ⎪ ⎩ k k
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例9
设位于坐标点的甲舰向位于点 A(1,0 ) 处的乙舰发
dm 用微元法建立 m 关于 t 的变化率 的方程。 dt
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(2) 列方程
t 到 t + dt 的时间间隔内 , 溶液含盐量的变化 dm = m ( t + dt ) − m ( t ) t 时刻 , 溶液量为 Q( t ) = Q0 + 3t − 2t = 100 + t (Q0 = 100) m(t ) m(t ) t 时刻 , 溶液的浓度为 = Q ( t ) 100 + t
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⎧ dm ⎪ = − λm 得初值问题 ⎨ dt ， ⎪ m t = 0 = m0 ⎩
1 ∴ ∫ dm = ∫ − λdt , ln m = − λ t + ln C , m
即 m = Ce − λt ,
− λt
代入 m t = 0 = m0 得 C = m0
m0 又 m t =1600 = ∴ m = m0 e 2 ln 2 ln 2 − t 1600 代入上式解得 λ = ∴ m = m0 e , 1600
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利用曲线的对称性, 不妨设 y > 0, 于是方程化为 dx x x 2 (齐次方程) = + 1+ ( ) y dy y x dx dv 令 v = , 则 x = yv , =v+ y y dy dy dv y = 1+ v2 y 2 dy v + 1+ v = C 2 积分得 ln ( v + 1 + v ) = ln y − ln C y ( − v )2 = 1 + v 2 2 C 2yv y =1 故有 2 − C C C 2 代入 y v = x , 得 y = 2 C ( x + ) (抛物线) 2 C 2 2 故反射镜面为旋转抛物面. y + z = 2C ( x + ). 2
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一 利用物理定律列方程
例 1 物体冷却问题 一个物体在冷却过程中，其温度变化速 度与其本身的温度和环境的温度之差成正 比。现有一个100 0 C 的物体，放在 20 0 C 的房 间里，经过 20 分钟后，物体的温度已降为
60 0 C ，问还需经过多长时间，物体的温度才
o
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则 即
v0 t − y y′ = 1− x (1 − x ) y′ + y = v0 t
x
y
y = y( x ) P ( x , y) • Q (1, v0 t ) A(1,0) x
(1)
o
由题意
∫0
1 + y′ 2 dx = 5v0 t
( 2)
1 x 由(1),(2)消去 v0t 得 ∫ 1 + y′ 2 dx = (1 − x ) y′ + y 5 0 1 1 + y′ 2 ( 3 ) 上式两边求导并整理得 (1 − x ) y′′ = 5 y ( 0 ) = 0 , y ′( 0 ) = 0 并有初始条件
射制导鱼雷,鱼雷在航行中始终对准乙舰.设乙舰以速 度 v0 沿平行于 y 轴的直线行驶,已知鱼雷速度是 5v0 , 求鱼雷航行的曲线方程,并问乙舰航行多远时,将被鱼 雷击中?
设鱼雷的运动轨迹为 解： y = y( x ) 并设经过时间 t鱼雷 位于点 P(x,y),乙舰 位于点 Q(1,v0t)
y
y = y( x ) P ( x , y) • Q (1, v0 t ) A(1,0) x
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
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Q S = 1 cm ,
2
h
∴ dV = 0.62 2 gh dt ,
(1)
h h + dh
r
100 cm
设在微小的时间间隔 [ t , t + dt ],
o
水面的高度由h 降至 h + dh , 则 dV = −πr 2dh,
Q r = 100 − (100 − h) = 200h − h ,
能降为 30 0 C ？
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解： 令： t 表示时间，T = T ( t ) 表示物体的温度，则
dT = − k (T − 20)，其中 k > 0 是比例系数 dt ⎧T (0) = 100 初始条件为 ⎨ ， ⎩T ( 20) = 60
解得
T = 20 + 80e
(−
1 ln 2 ) t 20
第六章
第八节 常微分方程的应用
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解微分方程应用题的方法和步骤
1、找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 比例关系 (1) 根据物理规律列方程； 牛顿第二定律 (2) 利用微元法列方程； 2、 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. 初始条件 确定定解条件 ( 个性 ) 边界条件 可能还要衔接条件 3、 求通解, 并根据定解条件确定特解. 4、 分析解所包含的实际意义
在时间间隔 dt 内 , 流出的液体量为 在时间间隔 dt 内 , 流出的盐量为
2dt
m( t ) ⋅ 2dt 100 + t
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于是得初值问题
2m ⎧ dm ⎪ =− ⎨ dt 100 + t ⎪ m t = 0 = 10 ⎩
（3）解方程得
105 m = m(t ) = (100 + t )2
（4）讨论
t = 60 时， m ≈ 3.91（千克）
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例6 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中 含有 0.1%的 CO 2 , 为了降低车间内空气中 CO 2 的含量, 用一台风量为每分钟2000立方米的鼓 风机通入含 0.03% 的 CO 2 的新鲜空气, 同时 以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机 开动6分钟后, 车间内 CO 2 的百分比降低到多少? 解 设鼓风机开动后 t 时刻 CO 2的含量为 x (t )% 在 [ t , t + dt ] 内,