飞机起飞的最优次序问题

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写 A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：山东科技大学济南校区参赛队员(打印并签名) ：1. 李建钢2. 李明明3. 赵传平指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2011年 8 月 24 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：解决飞机排队问题的数学模型摘要在目前的各国机场，一般都使用“先到先服务”的排队系统，这一系统虽一直沿用至今，但是效率不高，且不能调节意外情况的发生。

在这里将给出一个利用数据库系统快速排序的模型，以使机场高效的服务，并使航空公司在尽量小得花费情况下，达到顾客满意的目的。

首先对模型基本假设，设置参数，列出参数与为未知数的关系表达式，验证模型的可行性，模型中费用系数的量化，燃料附加费乘客的误机费，乘客不满意的损失，排队模型小结，而后对模型的稳定性的检验，通过计算机模拟模型实现，从而验证出模型的可行性。

模型中涉及到指派问题，0-1整数规划，还有费用系数阵的量化这些知识需要参考资料查阅，学习而后运用。

对你学习能力的检验，这也是数学建模所培养的素质之一。

关键词：指派问题，0- 1整数规划，费用系数阵的量化，不满意度一．问题重述机场通常都是用“先来后到”的原则来分配飞机跑道，即当飞机准备好离开登机口时，驾驶员电告地面控制中心，加入等候跑道的队伍。

假设控制塔可以从快速联机数据库中得到每架飞机的如下信息：①预定离开登机口的时间；②实际离开登机口的时间；②机上乘客人数；④预定在下一站转机的人数和转机的时间；⑤到达下一站的预定时问。

又设共有七种飞机，载客量从100人起以50人递增，载客最多的一种是400人。

试开发和分析一种能使乘客和航空公司双方满意的数学模型。

二．问题分析1.模型的设计与可行性分析2.模型中费用系数阵的量化(1).燃料附加费(2).乘客误机费乘客不满意的损失3.模型的稳定分析和计算机实例检验0t三．模型的假设与符号说明模型假设：1.机场上所有要起飞的飞机，都必须使相同一条跑道，并且任何一架飞机在起飞的时候都需要完全地占有整条跑道，每架飞机占用的时间是一样长的。

这一假设可把整个时间分割成离散的等长的小时间段（也称为起飞窗口宽度），在每个小时间段上可容纳一架飞机完成起飞操作.2. 第i架飞机由第j个时间段上起飞时，其所需费用仅与该飞机和时间位置有关，而与它前面是哪架飞机无关。

即费用不是前面飞机的函数，因此这一假设可把对应于不同排序的总费用都统一描述为一个线性函数.3. 任何飞机从离开自己的通道口到达跑道入口处所需要的时间假定都一样。

同时为了避免有一大堆飞机挤在跑道入口处等待飞机（一般机场也不太可能这样），这时如有另一架飞机需要紧急起飞，这就须将所有排在前面的飞机挤到一边来腾地方，因此假设每架飞机都有立即进入跑道口的通道。

这样在须要调整次序时，只须在数据库中的次序上进行调整，而不必对飞机实地重排。

并且飞机须在为其指定的小时间段上才准许离开自己的通道口4. 设τ是一架飞机要按时到达目的地所必须起飞的最晚时限，并假设如果一τ以架飞机在τ时限以后才起飞，则它必须以最大安全速度飞完全程。

（而在内起飞者可着情加速）5.如果一架飞机在时限τ以后起飞，则该机上所有需转机的乘客都将误下次班机，并设给每个乘客用于赔偿重新安排旅行计划的补偿费用是一样的模型符号说明：四．模型的建立与求解分析与建模若有n 架飞机都要求在0t 时刻整点飞行，并且认为所有的飞机都有直接跑道。

我们一总最小作为目标来安排分机起飞的次序。

总费用由两部分组成，即航空公司的费用和乘客不满意程度所折合的费用。

设ij c 为标号I 的飞机在第j 个起飞时段起飞的费用，引入状态变量ij x ，其定义为⎩⎨⎧=，其它个起飞时的飞机第当标号为0j ,1i x ij则总费用为∑∑===ni nj ij ijx cC 11（1）为保证每一架飞机只安排在一个时段内起飞及每一个时段∆内只有一架飞机起飞，因此对状态变量ij x 增加的约束条件：.,......2,1,11n i x nj ij ==∑= :,.......2,1,11n j x ni ij ==∑= （2）由假设可知，ij c 与ij x 无关，因而总费用C 是一个线性函数。

问题的实质是在约束条件（2）之下求ij x 使得总费用C 达到最小，这是一个指派问题。

假定每隔∆时间只有一架飞机离开登机口加入到请求起飞的行列中，这样保证总有飞机请求起飞。

每隔∆时间，执行一次程序，以安排在当前状态下最优起飞次序。

这里需要说明一点，该程序运行时间极端，不到一分钟便可以完成，因此，如果数据发生变化时，如飞机晚点进港等，几乎可以立即完成。

由于（1）中的C ij 是第i 架飞机从第j 个时间段上起飞的费用，它与一架航班的型号及运行费用和其上载客情况和他们的满意程度有关，为简化运算，把基本运行费设置为费用零点，而只考虑由于飞机延迟起飞而引起的费用。

这一费用包括由于晚点而不再以最经济的速度而是以较快或最快速度飞行带来的燃料损失；及乘客因耽误下站转机而重新安排旅途的损失；以及顾客因各种延迟带来的不愉快而转化的损失。

将这三者分别归入费用计算并简记为：费用: 1.燃料附加费 2.乘客误机费 3.乘客不满意的损失 列出以下公式： 1. 燃料附加费由于晚点，飞机必须以尽可能快的速度飞行，故燃料随晚点的时间长短而变化，然而既使晚点，只要为达到最大时限，就可以以低于最大安全速度飞行。

并在起飞后就可近似地保持常速，因此燃料消耗在时间内应恒定，由于不知道燃料消耗如何随飞行速度变化，选用了近似的线性函数，即单位时间增加油耗的费用函数为：()⎪⎩⎪⎨⎧≥=τττt k t t k ,,t F 000 单位为美元其中扣除了飞行的一般油耗，只计入增加的油耗，并且式中：t：为飞机晚点的时间；（t =0即为飞机预定起飞的时间）；实际上t 作为压缩因子。

0k ：为晚点单位时间由加速引起的增加油耗的价格，同时0k 与不同引擎的飞机有关又由于飞机蚝油总数还与飞行距离有关，因此总费用应为max)(v d t F∙，其中 d 为()⎪⎩⎪⎨⎧≥=ττττt -t )-T (t F A A ），（，T kt kt飞行距离，它可由d =m ax ()A v T τ∙-计算，A T 为飞机预定到达时间，m ax v 为最大安全飞行速度，是常数。

因此将常数 m ax v 并入 0k 中，记为 0k 于是有一架飞机因晚点增加的总费用为：于是，0(1)d t t t j =-+-Λ 这里要求0dt t ，因为如果飞机未准备好而令其起飞，则该窗口将不能很好的利用。

只有当它的预定时间到时，才可考虑它在第 j 个（1j ≥）窗口起飞的问题，并计算式（5）中maxA d T v τ=-()A d av d T T v =-2.乘客误机费设为乘客耽误了转机而必须补偿的费用，这里取为常数（假设5）。

如果对各人的补偿费确实不同，则取为各人费用的数学期望----平均值，且重新安排旅程只发生在飞机晚点时间超过了时限时才发生，故费用如下计算()()R t r u t πτ=-π：为须转乘的人数；():u t 为单位阶跃函，即00()10t u t t ≤⎧=⎨⎩由假设5，如果飞机晚点，则所有须转机的 π个乘客都将将误了转机，若放宽此条件，则 ()R t 将是一些阶跃函数之和（当相应顾客晚点时，其对应的函数变为1）3.乘客不满意的损失的费用由于飞机晚点越多，则乘客会越不满意，如果仅晚点一两分钟，则顾客不会太不愿意；但如果晚点到误了转乘班机，则该乘客会顿时变得焦躁不安并且非常愤怒，这一情况可以适当地摘述为一个指数增长函数附加一个阶跃函数，则总的费用函数为()(1)()atD t e aP b u t πτ=-+-其中 ,,a b α都是常数，且:p 为乘客数；π：为要转乘的乘客数；α：为反映乘客等待时不满意上升快慢的因子；1ate-：中（-1）是为了使 0t =（即飞机准时起飞）时最小的不满意置零的项；,a b ：为将相应的不满意转化为美元的系数；():u t τ-为单位阶跃函数，它表达了因误机而顿时产生的不满意。

常数,a b 一般不相等，这是由于误了转机的乘客一般要只是晚了一会的乘客不满意程度要大得多些模型还可以在某种条件下处理降落的请求，但不能同时对起飞和降落都达到最优排序。

如果要做到此项，则费用系数 ij c 将依赖于前面的飞机的排序情况，因此目标函数将不在是线性的了。

但是只要将要到达的飞机一准备好降落，就可以准许其降落的话，这模型仍适用，这只要将't；设为飞机将要达到的时间；'Λ：设为一架飞机着陆并最终不再占用跑道所需时间由原假设 Λ是起飞所需的窗口，则着陆的飞机将于第 '0()/j t t =-Λ个窗口降落，而损失函数 ijc 对 'j j 仍不变，只对那些 'j j 的，须在计算时，在 t 上附加 'Λ、后再计算费用即可为了防止那些还未准备好的飞机，在就绪之前就对其发出起飞的命令，置一架飞机在它预定起飞时间以前的某窗口起飞的损失为无穷大，并假如考虑1，2，3中的费用，得到计算费用的通式∞t tdij c =()(1)atA K T t eapτ-+-0t t τ≤≤()(1)atA K T r eap b ττππ-++-+ t π≥这里0(1)d t t t j =-+-Λa max()A d vA T T v T v τ-=-1,2,...,,1,2,...,i n j n ==由于有上述的统一公式，则原设在t 时刻有 n 架飞机可扩展到一天有n架飞机要求起飞的情形。

模型中的参数 ,,,d A t T p π都可由数据库提供，而事先给定的参数（或机场设定的）为 max ,,,,av k v v r Λ及变量 t都容易算出来。

0t 可由计算机系统时钟提供。

而三个参数 ,,a b α可由飞机以往记录和惯例估算出来五 模型检验（1）稳定检验为了使模型有意义，必须进行检验。