【2012优化方案 知能优化训练】北师大数学选修1-1(全册19份)

1．下列语句是命题的是( )
A ．p (x )：x 2－1＝0
B ．q (x )：5x 是5的倍数
C ．三角函数是周期函数吗？
D ．对所有整数x,5x －1是整数
解析：选D.只有D 能判断为真命题．A 中x ＝±1时，x 2－1＝0为真，x ≠±1时，x 2－1＝0为假．所以选项A 无法判断真假．选项B 中，x 可能是小数，所以B 也不能判断真假．选项C 是疑问句，不涉及真假．
2．一个命题及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中( )
A ．真命题的个数一定是奇数
B ．真命题的个数一定是偶数
C ．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数
D ．以上判断都不正确
解析：选B.因为原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题也互为逆否命题，它们也同真同假，所以四种命题中，真命题个数为0或2或4，都是偶数个．
3．命题“若a >b ，则a －5>b －5”的逆否命题是( )
A ．若a <b ，则a －5<b －5
B ．若a －5>b －5，则a >b
C ．若a ≤b ，则a －5≤b －5
D ．若a －5≤b －5，则a ≤b
解析：选D.条件与结论同时否定，然后调换位置，就是逆否命题．
4．命题“若m ＞n ，则2m ＞2n －1”的否命题是________．
解析：“＞”的否定是“≤”，据此可写出否命题．
答案：若m ≤n ，则2m ≤2n －1
一、选择题
1．下列语句是命题的是( )
A ．x －1＝0
B ．2＋3＝8
C ．你会说英语吗？
D ．这是一棵大树
解析：选B.A 中x 不确定，无法判断x －1＝0的真假．
B 中2＋3＝8是命题，且是假命题．
C 不是陈述句，故不是命题．
D 中大的标准不确定，无法判断其真假．
2．在空间中，下列命题是真命题的是( )
A ．平行直线的平行投影重合
B ．平行于同一直线的两个平面平行
C ．垂直于同一平面的两个平面平行
D ．垂直于同一平面的两条直线平行
解析：选D.A 项中平行直线的平行投影不一定重合，有可能平行；B 项中平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C 项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交．
3．下列命题是真命题的为( )
A ．若1x ＝1y
，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x ＜y ，则x 2＜y 2
解析：选A.若x 2＝1，则x ＝±1，排除B ；若x ＝y ，x 与y 不一定存在，排除C ；若x
＜y ，且x ＝－3，y ＝－2，则x 2＞y 2，排除D.
4．(2010年高考天津卷)命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )
A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数
B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数
C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数
D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数
解析：选B.明确“是”的否定是“不是”，并对原命题的条件和结论分别进行否定，可得否命题为“若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数”．
5．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析：选B.因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．
6．下列命题中正确的是( )
①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题；
②“正三角形都相似”的逆命题；
③“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题；
④“若x －2是有理数，则x 是无理数”的逆否命题．
A ．①②③④
B ．①③④
C ．②③④
D ．①④
解析：选B.①原命题的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”． 真命题
②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”． 假命题 ③原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”．
∵方程无实根，
∴判别式Δ＝1＋4m <0，
∴m <－14
≤0. 真命题 ④原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x －2不是有理数”．
∵x 不是无理数，∴x 是有理数． 又2是无理数．
∴x －2是无理数，不是有理数． 真命题
故正确的命题为①③④，故选B.
二、填空题
7．(2011年山东济宁检测)命题“若c >0，则函数f (x )＝x 2＋x －c 有两个零点”的逆否命题是________．
解析：原命题的条件c >0的否定为c ≤0，结论函数f (x )＝x 2＋x －c 有两个零点的否定为“函数f (x )＝x 2＋x －c 没有两个零点”，因此逆否命题为：若函数f (x )＝x 2＋x －c 没有两个零点，则c ≤0.
答案：若函数f (x )＝x 2＋x －c 没有两个零点，则c ≤0
8．给定下列命题：①“若k ＞0，则方程x 2＋2x －k ＝0有实根”；②“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy ＝0，则x 、y 中至少有一个为0”的否命题．
其中真命题的序号是________．
解析：①∵k >0，∴Δ＝4＋4k ＞0，∴是真命题．
②否命题为“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”，是真命题．
③逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．
④否命题为“若xy ≠0，则x 、y 都不为零”，是真命题．
答案：①②④
9．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．
以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．(把符合要求的命题序号都填上)
解析：①的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，显然不正确． ②的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，为真命题． 答案：②
三、解答题
10．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它们的逆命题，否命题与逆否命题．
(1)实数的平方是非负数；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．
解：(1)原命题：若一个数是实数，则这个数的平方是非负数．
逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．
否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．
逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．
(2)原命题：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心，且平分弦所对的弧． 逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线． 否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧． 逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．
11．(2011年宁波检测)已知命题p ：函数f －1(x )是函数f (x )＝1－3x 的反函数，实数m 满
足不等式f －1(m )<2，命题q ：实数m 使方程2x ＋m ＝0(x ∈R )有实根，若命题p 、q 中有且只有一个真命题，求实数m 的取值范围．
解：令y ＝f (x )＝1－3x ，所以x ＝1－y 3
， 故f －1(x )＝1－x 3
， 又f －1(m )<2，
∴1－m 3
<2，∴－5<m ， ∴p ：－5<m .
因为方程2x ＋m ＝0(x ∈R )有实根，
2x >0，∴m <0，∴q ：m <0.
若命题p 、q 中有且只有一个真命题，存在两种情况：
(1)当p 为真命题，q 为假命题时，⎩
⎪⎨⎪⎧ －5＜m m ≥0，∴m ≥0； (2)当q 为真命题，p 为假命题时，⎩⎪⎨⎪⎧
m ≤－5m ＜0，∴m ≤－5. 综上当命题p 、q 中有且只有一个真命题时，m ≤－5或m ≥0.
12．判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的逆否命题的真假．
解：法一：原命题的逆否命题：
已知a ，x 为实数，若a ＜1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．判断其真假如下：
抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的图像开口向上，
判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7.
因为a <1，所以4a －7<0.
即抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的图像与x 轴无交点．
所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．
故原命题的逆否命题为真．
法二：先判断原命题的真假：
因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，
所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，
解得a ≥74.因为a ≥74
， 所以a ≥1，所以原命题为真． 又因为原命题与其逆否命题等价， 所以逆否命题为真．。