基本初等函数(指、对数函数)__经典典型
高三数学(文)黄金考点总动员：考点06 基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数、二次函数)(含解析)
2019届高三数学33个黄金考点总动员考点6 基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、二次函数）【考点剖析】1.最新考试说明：1.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，会解决与指数函数性质相关的问题.2.理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．3.理解对数函数的概念，能解决与对数函数性质相关的问题.4.结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x ，1y=x的图象，了解它们的变化情况． 2.命题方向预测：1.指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点．2.通过具体问题考查指数函数的图象与性质，或利用指数函数的图象与性质解决一些实际问题是重点，也是难点，同时考查分类讨论思想和数形结合思想．3.高考考查的热点是对数式的运算和对数函数的图象、性质的综合应用，同时考查分类讨论、数形结合、函数与方程思想．4.关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题．5.二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点．6.题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现. 3.课本结论总结： 指数与指数函数 1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n=a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是am n-=(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝ar ＋s，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .2．指数函数的图象与性质对数与对数函数 1．对数的概念如果a x＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log aMN＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝nmlog a M . (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝a a log Nlog b(a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1b log a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与性质二次函数与幂函数1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质2.幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质比较4.名师二级结论：（1）根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式能够相互转化，通常利用分数指数幂实行根式的化简运算．（2）指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，所以解题时通常对底数a 按：0＜a ＜1和a ＞1实行分类讨论．（3）换元时注意换元后“新元”的范围．（4）对数源于指数，指数式和对数式能够互化，对数的性质和运算法则都能够通过对数式与指数式的互化实行证明．（5）解决与对数相关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围． （6）对数值的大小比较方法化同底后利用函数的单调性、作差或作商法、利用中间量(0或1)、化同真数后利用图象比较． （7）函数y ＝f (x )对称轴的判断方法1、对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．2、对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．5.课本经典习题：(1)新课标A 版第 70 页，B 组第 2 题指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象如图所示，求二次函数2y ax bx =+的顶点的横坐标的取值范围．错误！未找到引用源。
基本初等函数
基本初等函数包括以下几种：（1）常数函数y = c（c 为常数）（2）幂函数y = x^a（a 为非0 常数）（3）指数函数y = a^x（a＞0, a≠1）（4）对数函数y =log(a) x（a＞0, a≠1）（5）三角函数：主要有以下6 个：正弦函数y =sin x余弦函数y =cos x正切函数y =tan x余切函数y =cot x正割函数y =sec x余割函数y =csc x此外，还有正矢、余矢等罕用的三角函数。
（6）反三角函数：主要有以下6 个：反正弦函数y = arcsin x反余弦函数y = arccos x反正切函数y = arctan x反余切函数y = arccot x反正割函数y = arcsec x反余割函数y = arccsc x初等函数是由基本初等函数经过有限次的有理运算和复合而成的函数。
基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数幂函数简介形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。
因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。
特性对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数（即p、q互质），q和p都是整数，则x^(p/q)=q 次根号下（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。
当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞)。
因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；排除了为0这种可能，即对于x<0或x>0的所有实数，q不能是偶数；排除了为负数这种可能，即对于x为大于或等于0的所有实数，a就不能是负数。
基本初等函数复习课知识总结[1]
![基本初等函数复习课知识总结[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/092fb10976232f60ddccda38376baf1ffc4fe3cf.png)
⑤在R上是增函数.
⑤在R上是减函数.
底数互为
倒数的两个 指数函数
y = ax, y = (1)x a
的函数图像 关于y轴对称。
2、对数函数y=logax(a＞0且a≠1)的图象和性质：
a＞1
y
图
象
o
x
0＜a＜1
y
o
x
①x∈ (0,+∞) ； ② y∈ R;
③过定点(1, 0)
性 ④当x＞ 1时,y＞ 0, 质 0＜ x＜ 1时, y＜ 0
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
(2)log323与 log565；
【解析】∵y1＝40.9＝21.8，y2＝80.44＝21.32， y3＝12－1.5=21.5 ,1.8>1.5>1.32.
∴根据指数函数的性质可得，y1>y3>y2.故选D.
知识结构及知识梳理
指数与指数函数
N次方根及其性质 根式及其性质 指数 分数指数幂 有理数指数幂的运算性质
定义
指数函数
图像及性质
基本初等函数
定义 对数 运算性质
对数与对数函数
换底公式
对数函数 定义 图像和性质
定义 幂函数
图像和性质
根式的性质
(1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次
方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号n a 表示.
(2) 已知 log2 3 = a,log3 7 = b,试用a,b表示 log14 56.
指数函数与对数函数 1、指数函数y=ax(a＞0且a≠1)的图象和性质：
基本初等函数知识总结
基本初等函数知识总结含义:常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数1.常数函数（y=C）（1）定义域: D（f）＝（-∞，+∞）（2）值域: Z(f)=C(3) 性质: 它的图像是一条平行于x轴并通过点(0，C)在y轴上截距为C的直线(4 )图像：(5)周期性：常值函数是一个周期函数. 因对于任何x∈(-∞,+∞)和实数T，f(x+T)=f(x)=T,但并无最小正周期【注】常值函数不含自变量且不存在反函数2.幂函数(1)定义：形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数.(2)性质：在(0，+∞)内总有意义①当α＞0时函数图像过点(0，0)和(1，1)，在(0，+∞)内单调增加且无界②当α＜0时函数图像过点(1，1)，在(0，+∞)内单调减少且无界(3)图像：3.指数函数y=a^x(a>0且a≠1)(1)定义域：x∈R(2)值域：(0，+∞)(3)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(-∞，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(-∞，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(4)图像：①由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
②由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
③指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低” 如图：(5)运算法则：①②③④4.对数函数y=logax（a>0 且a≠1）(1)定义：如果a^x=N（a>0，且a ≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数一般地，函数y=logax（a>0，且a ≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数(2)定义域：(0，+∞)，即x>0(3)值域：R(4)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(0，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(0，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(5)图像：【注】①负数和零没有对数②1的对数是零③底数的对数等于1(6)常用法则/公式：5.三角函数⑴正弦函数y=sin x(1)定义：对边与斜边的比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ(K∈Z)时，Y 取最大值1 2.当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ,0)，K ∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2，K ∈Z④单调性：在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2]，K∈Z上单调递减⑤有界性：有界函数(6)图像：(2)余弦函数y=cos x(1)定义：邻边与斜边之比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ +π /2(K∈Z)时，Y取最大值1 2.当X=2Kπ +π (K∈Z)时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：偶函数③对称性：对称中心是(Kπ+π/2,0)，K∈Z；对称轴是直线x=Kπ，K∈Z④单调性：在[2Kπ,2Kπ+π]，K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π]，K∈Z上单调递增⑤有界性：有界函数(6)图像：(3)正切函数y=tan x(1)定义：对边与邻边之比(2)定义域：{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}(3)值域：R(4)最值：无最大值和最小值(5)性质：①周期性：最小正周期都是πT=π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ/2,0)，K∈Z④单调性：在[Kπ-π/2,Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增⑤有界性：无界函数(6)图像：(4)余切函数y=cot x(1)定义：在直角三角形中，某锐角的相邻直角边和相对直角边的比，叫做该锐角的余切。
常用函数图像
函数图形基本初等函数幂函数（1)幂函数（2)幂函数（3)指数函数（1）指数函数（2）指数函数（3）对数函数（1）对数函数（2）三角函数（1）三角函数（2）三角函数（3）三角函数（4）三角函数（5）反三角函数（1）反三角函数（2）反三角函数（3）反三角函数（4）反三角函数（5）反三角函数（6）反三角函数（7）反三角函数（8）双曲函数（1）双曲函数（2）双曲函数（3）双曲函数（4）双曲函数（5）双曲函数（6）双曲函数（7）反双曲函数（1）反双曲函数（2）反双曲函数（3）反双曲函数（4）反双曲函数（5）反双曲函数（6）y=sin(1/x) (1)y=sin(1/x) (2)y=sin(1/x) (3)y=sin(1/x) (4)y = [1/x](1)y = [1/x](2)y=21/xy=21/x (2)y=xsin(1/x)y=arctan(1/x)y=e1/xy=sinx (x->∞)绝对值函数y = |x| 符号函数y = sgnx 取整函数y= [x]极限的几何解释(1) 极限的几何解释(2)极限的几何解释(3)极限的性质(1) (局部保号性)极限的性质(2) (局部保号性) 极限的性质(3) (不等式性质) 极限的性质(4) (局部有界性) 极限的性质(5) (局部有界性)两个重要极限y=sinx/x (1)y=sinx/x (2)limsinx/x的一般形式y=(1+1/x)^x (1)y=(1+1/x)^x (2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(1)lim(1+1/x)^x 的一般形式(2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(3)e的值(1)等价无穷小(x->0)sinx等价于xarcsinx等价于x tanx等价于x arctanx等价于x1-cosx等价于x^2/2sinx等价于x数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线y=(x+1)/(x-1)y=sinx/x (x->∞) 夹逼定理(1)夹逼定理(2)数列的夹逼性(1) 数列的夹逼性(2) pi 是派的意思(如果你没有切换到公式版本)^是次方的意思,$是公式的标记符,切换到公式版(安装mathplayer)就看不到$了文案编辑词条B 添加义项?文案，原指放书的桌子，后来指在桌子上写字的人。
考点06 基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数、二次函数)-2018届高考数学(理)30个黄金考
2018届高三30个黄金考点精析精训考点6 基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、二次函数）【考点剖析】1.最新考试说明：1.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，会解决与指数函数性质有关的问题.2.理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．3.理解对数函数的概念，能解决与对数函数性质有关的问题.4.结合函数y＝x， y＝x2，y＝x3，y＝x2.命题方向预测：1.指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点．2.通过具体问题考查指数函数的图象与性质，或利用指数函数的图象与性质解决一些实际问题是重点，也是难点，同时考查分类讨论思想和数形结合思想．3.高考考查的热点是对数式的运算和对数函数的图象、性质的综合应用，同时考查分类讨论、数形结合、函数与方程思想．4.关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题．5.二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点．6.题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现.3.课本结论总结：指数与指数函数1．分数指数幂(1)a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质对数与对数函数 1．对数的概念如果a x＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M na M . (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与性质二次函数与幂函数1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)2.幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的图象比较幂函数的性质比较(3)4.名师二级结论：（1）根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．（2）指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．（3）换元时注意换元后“新元”的范围．（4）对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明．（5）解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．（6）对数值的大小比较方法化同底后利用函数的单调性、作差或作商法、利用中间量(0或1)、化同真数后利用图象比较． （7）函数y ＝f (x )对称轴的判断方法1、对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．2、对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．5.课本经典习题：(1)新课标A 版第 70 页，B 组第 2 题的图象如图所示，求二次函数2y ax bx =+的顶点的横坐标的取值范围．【经典理由】有效把指数函数和二次函数相结合 (2)新课标A 版第 60页，B 组第 4 题 设31212,,x x y ay a +-==其中0, 1.a a >≠且确定x 为何值时，有：12;(1)y y =12(2).y y >【解析】（1）3x +1=-2x 时，得x(2)1a >时，xy a =单调递增，由于12y y >，得3x +1>-2x 得x , 01a <<，x y a =单调递减，由于12y y >，得3x +1<-2x 解得x <- 【经典理由】根据a 的取值进行分类讨论 (3)新课标A 版第 72 页，例8 比较下列各组数中两个数的大小： （1）log 2 3 . 4 与 log 2 8 . 5； （2）log 0 . 3 1 . 8 与 log 0 . 3 2 . 7； （3）log a 5 . 1 与 log a 5 . 9 (0a >且1a ≠)．【解析】（1）∵ y = log 2x 在 ( 0 , + ∞) 上是增函数且 3 . 4＜8 . 5， ∴ log 2 3 . 4 ＜ log 2 8 . 5 ；（2）∵ y = log 0 . 3x 在 ( 0 , + ∞)上是减函数且 1 . 8＜2 . 7， ∴log 0 . 3 1 . 8＞log 0 . 3 2 . 7；（3）解：当1a >时，∵ y = log a x 在( 0 , + ∞) 上是增函数且5 . 1＜5 . 9， ∴ log a 5 . 1<log a 5 . 9，当0＜a ＜1时，∵ y = log a x 在 ( 0 , + ∞) 上是减函数且5 . 1＜5 . 9， ∴ log a 5 . 1＞log a 5 . 9 ．【经典理由】以对数函数为载体，考查对数运算和对数函数的图象与性质的应用 (4)新课标A 版第 822 页，A 组第10题性、单调性．【分析】根据幂函数的概念设()nf x x =，将点的坐标代入即可求得n 值，从而求得函数解析式．要判断函数的奇偶性我们可以根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，判断函数图象在（0，+∞）的单调性，进而画出函数的图象．【解析】设()nf x x =,，这个函数解析式为定义域为（0，+∞），它不关于原点对称，所以，y=f（x）是非奇非偶函数．当x＞0时，f（x）是单调减函数，函数的图象如图．【经典理由】本题通过待定系数法求幂函数解析式、解指数方程的解法、奇（偶）函数性、幂函数图象考查学生对幂函数有关知识的掌握程度和对知识的综合应用能力6.考点交汇展示：(1)基本初等函数与集合交汇例1【2017山东，理1】设函数的定义域A ，函数的定义域为B ,则A B⋂=（A）（1,2）（B）（C）（-2,1）（D）[-2,1)【答案】D【解析】由得，由得，故，选D.(2)基本初等函数与基本不等式交汇例1【2017天津，理8设a∈R，若关于x的不等式R上恒成立，则a的取值范围是（A（B（C（D【答案】A222222x x x x+≥⨯=（当2x =时取等号），A ． 【考点分类】热点1 指数函数、对数函数1.【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C2. 函数的单调递增区间为( )A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)【答案】Ｄ【解析】首先由得函数的定义域为(－∞，－2) (2，＋∞)；再令，则在（０，＋∞）是减函数，又因为在(－∞，－2)上是减函数；由复合函数的单调性可知：函数的单调递增区间为(－∞，－2)；故选Ｄ．3.【2018届广东省佛山市三水区实验中学高三上第一次模拟】若a＝，b＝，c＝，d ＝log2 ，则a，b，c, d的大小关系是( )A. a<b<c<dB. d<c<a<bC. d<b<c<aD. d<b<a<c【答案】D【方法规律】1.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．2.对数式的化简与求值的常用思路(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3．比较对数值大小时若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较．4．利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．【解题技巧】1.图像题要注意根据图像的单调性和特殊点判断2.指数形式的几个数字比大小要注意构造相应的指数函数和幂函数3．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．4．指数函数y＝a x (a>0，a≠1)的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与0<a<1.5．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．。
六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身 定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2xy =3x y =21xy =1-=x y定义域 R RR [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增[0,+∞) 增 增 增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时xyOxy =2x y =3x y =1-=x y 21xy =O=y xCy =Oxyy在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性 非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数 在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
高一数学 基本初等函数(对、指、幂函数)高考考纲及典型例题高考真题解析
.
2
a 3 3a
【法二】 8 x 8 x 2 x
2
3 2
x 3
2 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x
1
2 3
3
37 48
5 9 37 100 3 100 . 3 16 48
4
（4）原式 0.4 1 1 2 2 3 0.1
5 1 1 1 143 . 1 2 16 8 10 80
4.函数 f x a 2 7a 7 a x 是指数函数,求实数 a 的值. 【解析】∵函数 f x a 2 7a 7 a x 是指数函数,
1
0 a2 a1 1 a4 a3 . 1 又由题知： 0 10 1 3 10 ,∴ A 项正确. 3
1 x
a1 a2
O
x 1 x
b 7.已知二次函数 y ax 2 bx 与指数函数 y 的图象只能是下列图形中的 a y
1 1
1 2
1 1 , y x 2 的图像,了解它们的变化情况. x
二、重点知识总结
1.指数与指数幂运算 （1）①
a
n n n
n
a. a , 当n是奇数时 . a , 当n是偶数时
② a
（2）分数指数幂 ①a ②a
m n
n a m （ a 0 , m, n N * ,且 n 1 ）
x y
2
是非负数，故④对.
7 （3） 2 9
（完整）六大基本初等函数图像及其性质
标准实用文案大全六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）≠C 0=C 平行于x 轴的直线y 轴本身定义域R 定义域R二、幂函数αx y=，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数xy =2xy =3xy =21x y =1-=xy 定义域R R R [0,+[0,+∞∞) {x|x {x|x≠≠0} 值域R [0,+[0,+∞∞) R [0,+[0,+∞∞) {y|y {y|y≠≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增[0,+[0,+∞∞) ) 增增增增(0,+(0,+∞∞) ) 减减(-(-∞∞,0] ,0] 减减(-(-∞∞,0) ,0) 减减公共点（1,11,1））xyOxy =2x y =3x y =1-=x y 21x y =O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α，他们的图形都经过原点，并当α>1>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm 时，时，n n 为偶数时函数的定义域为（为偶数时函数的定义域为（0, +0, +0, +∞），∞），∞），n n 为奇数时函数的定义域为（为奇数时函数的定义域为（--∞,+,+∞），函数的图形均经过原点和（∞），函数的图形均经过原点和（∞），函数的图形均经过原点和（1 ,11 ,11 ,1）；）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,m<n,图形于图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；轴对称；m m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，）当α为负有理数时，n n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.2.2对数函数及其性质(第1课时)对数函数的图象和性质
当 0<a<1 时:
当 0<a<1 时:
若 x>0,则 0<y<1;
若 x=0,则 y=1;
若 x>1,则 y<0;
若 x=1,则 y=0;
若 x<0,则 y>1
若 0<x<1,则 y>0
图象 y=ax 的图象与 y=logax 的图象关于直线 y=x 对称
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(0,+∞)
值域
(-∞,+∞)
x
(0,+∞)
单调性 当 a>1 时为增函数,当 0<a<1 时为减函数
第九页，共二十四页。
名称 指数函数
对数函数
当 a>1 时:
若 x>0,则 y>1;
当 a>1 时:
若 x>1,则 y>0;
若 x=0,则 y=1;
若 x<0,则 0<y<1
若 x=1,则 y=0;
点(1,0),只有选项B中图象符合.
答案:(1)C
(2)B
第二十页，共二十四页。
题型一
题型二
题型三
题型四
易混易错题
易错点 忽略对数函数的定义域致错
【例4】 已知函数(hánshù)y=f(x),x,y满足关系式lg(lg y)=lg(3-x),求函数y=f(x)
的解析式及定义域、值域.
错解∵lg(lg y)=lg(3-x),∴lg y=3-x,
第三页，共二十四页。
1.对数函数的定义
一般地,我们把函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函
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基本初等函数
一、函数的图象
1、函数y=a |x|(a>1)
的图象是( )
2、若函数(1)x
y a b =+-（0a >且1a ≠）的图象不经过第二象限，则有 （ ）
A 、1a >且1b <
B 、01a <<且1b ≤
C 、01a <<且0b >
D 、1a >且0b ≤
3、设a>0且a ≠1，并使得不等式a x >1的解集是{x|x<0},
则下面的图象可能成立的是( ) 二、比较大小
方法：先确定正负，然后通过图像，找参照确定大概位置，比较其值与1或-1的大小,再由函数单调性确定大小。
1、已知a=log 0.70.8,b=log 1.10.9,c=1.10.9,则a 、b 、c 的大小顺序是
2、三个数60.7，0.76，log 0.76的大小顺序是( )
A.0.76<log 0.76<60.7
B.0.76<60.7<log 0.76
C. log 0.76<60.7<0.76
D. log 0.76<0.76<60.7
3、f(x)在[0，2]是减函数，f(x-2)关于x=2对称，比较f(-1),f(log 0.51/4),f(lg0.5)的大小。
三、利用函数单调性解不等式问题
1、若log a 2/5＜1，则实数a 的取值范围是
2、已知log a (a 2+1)<log a 2a<0，则实数a 的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(0,1/2)
C.(1/2,1)
D.(1,+∞)
3、 若指数函数y a x =+()1在(
)-∞+∞，上是减函数，那么（ ） A 、 01<<a B 、 -<<10a C 、 a =-1 D 、 a <-1
4．若定义在区间（－1，0）内的函数f （x ）＝a 2log （x ＋1）满足f （x ）＞0，则a 的取值范围为（ ）
A ．（0，21）
B ．（0，21）
C ．（2
1，＋∞） D ．（0，＋∞） 5.已知y ＝a log （2－ax ）在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是
6．已知定义域为R 的偶函数f （x ）在［0，＋∞］上是增函数，且f （2
1）＝0，求不等式f （l og 4x ）>0的解集 四、求函数的单调区间
1、 函数f x x ()()=-1
21，使f x ()是增函数的x 的区间是
2、函数y=log 0.1(6+x －2x 2)的单调递增区间是
3、已知函数f(x)=log 1/a (2－x)在其定义域上单调递增，则函数g(x)=log a (1－x 2)的单调递减区间是
4、y=log a (2-ax)在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围（ ）
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(0,2)
D.[2,+∞）
五、函数奇偶性 1设a>0, 是R 上的偶函数，则a=
2.若F(x)= f(x)，（x ≠0）是偶函数，且f(x)不恒等于0，则f(x)（ ）
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 可能是奇函数也可能是偶函数
D. 不是奇函数也不是偶函数
4、已知函数f （x ）= a -
，若f （x ）为奇函数，则a = 5 已知定义域为R 的函数12()22
x x b f x +-+=+是奇函数。
（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性; （Ⅲ）若对任意的t R ∈，不等式
22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围． x x e a a e x f +=)(。