第四讲 对数函数与指数函数经典难题复习巩固.
高中数学第四章指数函数与对数函数重难点归纳(带答案)
高中数学第四章指数函数与对数函数重难点归纳单选题1、函数f(x)={a x ,(x <0)(a −2)x +3a,(x ≥0)，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0成立，则a 的取值范围是（ ）A ．a ∈(0,1)B ．a ∈[13,1)C ．a ∈(0,13]D ．a ∈[13,2) 答案：C分析：根据条件可知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1a −2<03a ⩽1，解出a 的范围即可．解：∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，∴f(x)在R 上是减函数，因为f(x)={a x ,(x <0)(a −2)x +3a,(x ≥0)∴{0<a <1a −2<0(a −2)×0+3a ⩽a 0，解得0<a ⩽13，∴a 的取值范围是(0,13]． 故选：C ．2、已知函数y =a x 、y =b x 、y =c x 、y =d x 的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．b +d >a +cB ．b +d <a +cC ．a +d >b +cD ．a +d <b +c 答案：B分析：如图，作出直线x =1,得到c >d >1>a >b ，即得解.如图，作出直线x=1,得到c>d>1>a>b，所以b+d<a+c.故选：B3、我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型c(t)=c0e−kt描述，假定某药物的消除速率常数k=0.1（单位：ℎ−1），刚注射这种新药后的初始血药含量c0=2000mg/L，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：ln2≈0.693,ln3≈1.099）A．5.32hB．6.23hC．6.93hD．7.52h答案：C分析：利用已知条件c(t)=c0e−kt=2000e−0.1t，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L时需要的时间为t1，转化求解即可.解：由题意得：c(t)=c0e−kt=2000e−0.1t设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L需要的时间为t1c(t1)=2000e−0.1t1≥1000e−0.1t1≥1 2故−0.1t≥−ln2，t≤ln20.1≈6.93故该新药对病人有疗效的时长大约为6.93ℎ4、函数y =log 2(2x −x 2)的单调递减区间为（ ） A ．(1,2)B ．(1,2] C ．(0,1)D ．[0,1) 答案：A分析：先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果 由2x −x 2>0，得0<x <2， 令t =2x −x 2，则y =log 2t ，t =2x −x 2在(0,1)上递增，在(1,2)上递减， 因为y =log 2t 在定义域内为增函数，所以y =log 2(2x −x 2)的单调递减区间为(1,2)， 故选：A5、化简√−a 3·√a 6的结果为（ ） A ．−√a B ．−√−a C ．√−a D ．√a 答案：A分析：结合指数幂的运算性质，可求出答案. 由题意，可知a ≥0，∴√−a 3·√a 6=(−a )13⋅a 16=−a 13⋅a 16=−a 13+16=−a 12=−√a .故选：A.6、已知2a =5,log 83=b ，则4a−3b =（ ） A ．25B ．5C ．259D ．53 答案：C分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 因为2a =5，b =log 83=13log 23，即23b =3，所以4a−3b =4a43b =(2a )2(23b )2=5232=259．7、中国茶文化博大精深，某同学在茶艺选修课中了解到，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某种绿茶用80℃左右的水泡制可使茶汤清澈明亮，营养也较少破坏.为了方便控制水温，该同学联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是θ1℃，环境温度是θ0℃，则经过t分钟后物体的温度θ℃将满足θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.该同学通过多次测量平均值的方法得到初始温度为100℃的水在20℃的室温中，12分钟以后温度下降到50℃.则在上述条件下，100℃的水应大约冷却( )分钟冲泡该绿茶(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1)A．3B．3.6C．4D．4.8答案：B分析：根据题意求出k的值，再将θ＝80℃，θ1＝100℃，θ0＝20℃代入θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt即可求得t的值.由题可知：50=20+(100−20)e−12k⇒(e−k)12=38⇒e−k=(38)112，冲泡绿茶时水温为80℃，故80=20+(100−20)⋅e−kt⇒(e−k)t=34⇒t⋅lne−k=ln34⇒t=ln 3 4ln(38)112=12(ln3−2ln2)ln3−3ln2≈12(1.1−2×0.7)1.1−3×0.7=3.6.故选：B.8、如图所示：曲线C1，C2，C3和C4分别是指数函数y=a x，y=b x,y=c x和y=d x的图象,则a，b，c，d与1的大小关系是（）A ．a <b <1<c <dB ．a <b <1<d <cC ．b <a <1<c <dD ．b <a <1<d <c 答案：D分析：先根据指数函数的单调性，确定a ，b ，c ，d 与1的关系，再由x =1时，函数值的大小判断. 因为当底数大于1时，指数函数是定义域上的增函数， 当底数小于1时，指数函数是定义域上的减函数， 所以c ，d 大于1，a ，b 小于1，由图知：c 1>d 1 ，即c >d ， b 1<a 1，即 b <a ， 所以b <a <1<d <c ， 故选：D 多选题9、若f (x )满足对定义域内任意的x 1,x 2，都有f (x 1)+f (x 2)=f (x 1⋅x 2)，则称f (x )为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（ ）A ．f (x )=2xB ．f (x )=(12)xC ．f (x )=log 12x D ．f (x )=log 3x答案：CD分析：利用“好函数”的定义，举例说明判断A ，B ；计算判断C ，D 作答.对于A ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=6，f (x 1⋅x 2)=4， 则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，A 不是；对于B ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=34，f (x 1⋅x 2)=14，则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，B 不是；对于C ，函数f (x )定义域{x|x >0}内任意的x 1,x 2，f (x 1)+f (x 2)=log 12x 1+log 12x 2=log 12(x 1x 2)=f (x 1⋅x 2)，C 是；对于D ，函数f (x )定义域{x|x >0}内任意的x 1,x 2，f (x 1)+f (x 2)=log 3x 1+log 3x 2=log 3(x 1x 2)=f (x 1⋅x 2)，D 是． 故选：CD10、下列函数中，有零点且能用二分法求零点的近似值的是（ ） A ．y =2x −3B ．y ={−x +1,x ≥0x +1,x <0C ．y =x 2−3x +3D ．y =|x −2| 答案：AB分析：根据二分法定义，只有零点两侧函数值异号才可用二分法求近似值． 对于选项A ，当x =1时，y =21−3=−1<0，当x =12时，y =212−3=1>0，所以能用二分法求零点的近似值．对于选项B ，当x =2时，y =−2+1=−1<0，当x =12时，y =−12+1=12>0，能用二分法求零点的近似值．对于选项C ，y =x 2−3x +3=(x −32)2+34>0，故不能用二分法求零点的近似值． 对于选项D ，y =|x −2|≥0，故不能用二分法求零点的近似值． 故选：AB ．11、某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，若使这种溶液的杂质含量达到市场要求，则过滤次数可以为（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10 答案：BCD分析：由2100×(23)n≤11000解不等式可得答案.设经过n 次过滤，这种溶液的杂质含量达到市场要求，则2100×(23)n≤11000， 即(23)n≤120，两边取对数，得nlg 23≤−lg20，即n (lg2−lg3)≤−(1+lg2)， 得n ≥1+lg2lg3−lg2≈7.4. 故选：BCD.12、下面几个结论正确的是（ ）A ．已知a =(√32)23，b =(45)13，c =ln3，则a <b <cB ．已知a =312，b =√63，c =log 47，则a <c <b C ．已知a =0.32，b =log 20.3，c =20.3，则b <c <a D ．已知log 12a >log 12b >0，则a b <a a <b a答案：AD 分析：对于A ，a =(√32)23=(34)13<(45)13<1，c =ln3>1，即可得到大小关系；对于B ，a 6=(312)6=27，b 6=(√63)6=36可得到a <b ，再选取中间量32，通过比较，得到最终结果；对于C ，b <0，a <1，c >1，可得到大小关系；对于D ，通过构造对数函数和幂函数，利用函数的单调性可得到最终结果.对于A ，a =(√32)23=(34)13<(45)13<1，c =ln3>1，所以a <b <c ；故A 正确；对于B ，a 6=(312)6=27，b 6=(√63)6=36>27∴a <b c =log 47，∵32=log 4432，∵(32)3=278,b 3=6>278∴b >32(432)2=64>72=49∴c <32，∴c <b ∵a >32∴c <a 最终为：c <a <b .故B 错误；对于C ，b =log 20.3<0，a =0.32=0.09<1，c =20.3>20=1∴b <a <c ；故C 错误； 对于D ，当log 12a >log 12b >0时，∵y =log 12x 在定义域内是减函数，故得到0<a <b <1，∵y =a x 是减函数，故得到a b <a a ，又因为y =x α在x >0时是增函数，故得到a a <b a ，故D 正确. 故选：AD.13、给定函数f (x )=2x x 2+1（ ）A ．f (x )的图像关于原点对称B ．f (x )的值域是[−1,1]C ．f (x )在区间[1,+∞)上是增函数D ．f (x )有三个零点 答案：AB分析：对于A ：由函数f (x )的定义域为R ，f (−x )=−f (x )，可判断； 对于B ：当x =0时，f (x )=0，当x ≠0时，f (x )=2x+1x，由x +1x ≥2或x +1x ≤−2，可判断；对于C ：由t =x +1x 在[1,+∞)单调递增可判断；对于D ：令f (x )=0，解方程可判断.解：对于A ：因为函数f (x )的定义域为R ，且f (−x )=2(−x )(−x )2+1=−2xx 2+1=−f (x )，所以函数f (x )是奇函数，所以f (x )的图像关于原点对称，故A 正确； 对于B ：当x =0时，f (x )=0， 当x ≠0时，f (x )=2x+1x，又x +1x≥2或x +1x≤−2，所以0<f (x )≤1或−1≤f (x )<0，综上得f (x )的值域为[−1,1]，故B 正确；对于C ：因为t =x +1x 在[1,+∞)单调递增，所以由B 选项解析得， f (x )在区间[1,+∞)上是减函数，故C 不正确；对于D ：令f (x )=0，即2xx 2+1=0，解得x =0，故D 不正确， 故选：AB. 填空题14、把满足log 23×log 34×⋅⋅⋅×log n+1(n +2)，n ∈N ∗为整数的n 叫作“贺数”，则在区间(1,50)内所有“贺数”的个数是______． 答案：4分析：利用换底公式计算可得log 23×log 34×⋅⋅⋅×log n+1(n +2)=log 2(n +2)，即可判断. 解：因为log 23×log 34×⋅⋅⋅×log n+1(n +2) =lg3lg2×lg4lg3×⋅⋅⋅×lg (n+2)lg (n+1)=lg (n+2)lg2=log 2(n +2)，又log 24=2，log 28=3，log 216=4，log 232=5，log 264=6，……， 所以当n +2=4，8，16，32时，log 2(n +2)为整数， 所以在区间(1,50)内“贺数”的个数是4． 所以答案是：415、函数f (x )=2√2−x+lg (x +3)的定义域为______．答案：(−3,2)分析：根据给定函数有意义列出不等式组，求解即可得原函数定义域. 函数f (x )=2√2−x lg (x +3)有意义，则有{2−x >0x +3>0，解得−3<x <2，所以函数f (x )的定义域为(−3,2). 所以答案是：(−3,2)16、已知125x =12.5y =1000，则y−x xy=________．答案：13分析：先把指数式化为对数式，再由换底公式化为同底数对数运算即可. 解：因为125x =12.5y =1000，所以x =log 1251000，y =log 12.51000，y−xxy =1x −1y =log 1000125−log 100012.5=log 100012512.5=log 100010=13．所以答案是：13.小提示：本题考查指对数互化公式、换底公式和对数运算，属于基础题. 解答题17、已知函数f(x)=log 2(2x +1). （1）求不等式f(x)>1的解集；（2）若函数g(x)=log 2(2x −1)(x >0)，若关于x 的方程g(x)=m +f(x)在[1,2]有解，求m 的取值范围. 答案：（1）{x |x >0}；（2）[log 213,log 235].分析：（1）由f(x)>1可得2x +1>2，从而可求出不等式的解集， （2）由g(x)=m +f(x)，得m =g (x )−f (x )=log 2(1−22x +1)，再由x ∈[1,2]可得log 2(1−22x +1)的范围，从而可求出m 的取值范围（1）原不等式可化为2x +1>2，即2x >1,∴x >0， 所以原不等式的解集为{x |x >0}（2）由g(x)=m +f(x)， ∴m =g (x )−f (x )=log 2(1−22x +1)，当1≤x ≤2时，25≤22x +1≤23，13≤1−22x +1≤35，m ∈[log 213，log 235]18、对于定义在区间[m,n ]上的两个函数f (x )和g (x )，如果对任意的x ∈[m,n ]，均有|f (x )−g (x )|≤1成立，则称函数f (x )与g (x )在[m,n ]上是“友好”的，否则称为“不友好”的．已知函数f (x )=log a (x −3a )，g (x )=log a1x−a(a >0,a ≠1)．(1)若f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上都有意义，求a 的取值范围； (2)讨论函数f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是否“友好”． 答案：(1)(0,1) (2)答案见解析分析：（1）由题意解不等式组{a +2−3a >0a +2−a >0即可；（2）假设存在实数a ，使得f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是“友好”的，即|f (x )−g (x )|=|log a (x 2−4ax +3a 2)|≤1，即−1≤log a (x 2−4ax +3a 2)≤1，只需求出函数y =log a (x 2−4ax +3a 2)在区间[a +2,a +3]上的最值，解不等式组即可． （1）若f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上都有意义，则必须满足{a +2−3a >0a +2−a >0，解得a <1，又a >0且a ≠1，所以a 的取值范围为(0,1)． （2）假设存在实数a ，使得f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是“友好”的，则|f (x )−g (x )|=|log a (x 2−4ax +3a 2)|≤1，即−1≤log a (x 2−4ax +3a 2)≤1，因为a ∈(0,1)，则2a ∈(0,2)，a +2>2，所以[a +2,a +3]在x =2a 的右侧，由复合函数的单调性可得y =log a (x 2−4ax +3a 2)在区间[a +2,a +3]上为减函数， 从而当x =a +2时，y max =log a (4−4a )，当x =a +3时，y min =log a (9−6a )，所以{log a(4−4a)≤1log a(9−6a)≥−10<a<1，即{4−4a≥a9a−6a2−1≤00<a<1，解得0<a≤9−√5712，所以当0<a≤9−√5712时，f(x)与g(x)在区间[a+2,a+3]上是“友好”的；当9−√5712<a<1时，f(x)与g(x)在区间[a+2,a+3]上是“不友好”的．。
第四讲对数函数与指数函数经典难题复习巩固
精典专题系列第4讲 指数函数与对数函数一、导入：名叫抛弃的水池一个人得了难治之症，终日为疾病所苦。
为了能早日痊愈，他看过了不少医生，都不见效果。
他又听人说远处有一个小镇，镇上有一种包治百病的水，于是就急急忙忙赶过去，跳到水里去洗澡。
但洗过澡后，他的病不但没好，反而加重了。
这使他更加困苦不堪。
有一天晚上，他在梦里梦见一个精灵向他走来，很关切地询问他：“所有的方法你都试过了吗？” 他答道：“试过了。
” “不，”精灵摇头说，“过来，我带你去洗一种你从来没有洗过的澡。
” 精灵将这个人带到一个清澈的水池边对他说：“进水里泡一泡，你很快就会康复。
”说完，就不见了。
这病人跳进了水池，泡在水中。
等他从水中出来时，所有的病痛竟然真地消失了。
他欣喜若狂，猛地一抬头，发现水池旁的墙上写着“抛弃”两个字。
这时他也醒了，梦中的情景让他猛然醒悟：原来自己一直以来任意放纵，受害已深。
于是他就此发誓，要戒除一切恶习。
他履行自己的誓言，先是苦恼从他的心中消失，没过多久，他的身体也康复了。
大道理：抛弃是治疗百病的万灵之药，人之所以有很多难缠的情感，就是因为在大多数情况下，舍不得放弃。
把消极扔掉，让积极代替，就没有什么可抱怨的了。
二、知识点回顾：1．根式 (1)根式的概念(2)两个重要公式．①na n ＝ ②(na)n ＝ (注意a 必须使na 有意义)．2. 幂的有关概念①正分数指数幂： ＝ (a ＞0，m 、n ∈N*，且n＞1)；②负分数指数幂： ＝ ＝ (a ＞0，m 、n ∈N*，且n ＞1)． ③0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 ．3．指数函数的图象与性质4．对数的概念 (1)对数的定义如果 ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数． (2)两种常见对数5．对数的性质、换底公式与运算法则6.对数函数的定义、图象与性质7．反函数指数函数y ＝ax(a>0且a ≠1)与对数函数 (a>0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称．三、专题训练：计算下列各式(1) 133()2-×(－76)0＋148×42＋(32×3)6(2)a 35b 2·35b 34a 3；(3)413322333824a a b a ab b-++÷(1－ 2 3b a)×3a.[自主解答] (1)原式＝133()2-×1＋342-×142＋(132×123)6－133()2-＝2＋4×27＝110. (2) a 35b 2·35b34a 3＝33212a-·321510b-＝54a＝a 4a.(3)令13a＝m ，13b＝n ，则原式＝m 4－8mn 3m 2＋2mn ＋4n 2÷(1－2nm )·m＝m m 3－8n 3m 2＋2mn ＋4n 2·m 2m －2n＝m 3m －2n m 2＋2mn ＋4n 2m 2＋2mn ＋4n 2m －2n ＝m 3＝a.变式训练：计算下列各式(1)138()-－(－78)0＋[(－2)3]43-＋1643-＋|－1100|12；(2)9332aa-÷3a －73a 13；(3)(－338)23-＋(1500)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.解：(1)原式＝(25)－1－1＋(－2)－4＋2－3＋110＝52－1＋116＋18＋110＝14380. (2)原式＝936671366a aa a--＝973136666a+--＝a 0＝1.(3)(3)原式＝(－1)23-×(338)23-＋(1500)12-－105－2＋1 ＝(278)23-＋(500)12－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1 ＝－1679.画出函数y ＝|3x －1|的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？[自主解答] 函数y ＝|3x －1|的图象是 由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位 后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折 到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k<0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k<1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解．思考：保持条件不变，讨论函数y ＝|3x －1|的单调性.解：由例2所作图象可知，函数 y ＝|3x －1|在[0，＋∞)上为增函 数，在(－∞，0)上为减函数.变式训练：已知函数y ＝(13)|x ＋1|.(1)作出函数的图象(简图)； (2)由图象指出其单调区间；考点二 指数函数的图象(3)由图象指出当x 取什么值时有最值，并求出最值． 解：(1)法一：由函数解析式可得y ＝(13)|x ＋1|＝⎩⎨⎧13x ＋1，x ≥－13x ＋1，x ＜－1.，其图象由两部分组成：一部分是：y ＝(13)x (x ≥0)―――→向左平移1个单位y ＝(13)x ＋1(x ≥－1)； 另一部分是：y ＝3x(x ＜0)―――→向左平移1个单位y ＝3x ＋1(x ＜－1)． 如图所示：法二：①由y ＝(13)|x|可知函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，故先作出y ＝(13)x 的图象，保留x ≥0的部分，当x<0时，其图象是将y ＝(13)x (x ≥0)图象关于y 轴对折，从而得出y ＝(13)|x|的图象．②将y ＝(13)|x|向左移动1个单位，即可得y ＝(13)|x ＋1|的图象，如图所示．(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数． (3)由图象知当x ＝－1时，有最大值1，无最小值．已知函数f(x)＝2431()3ax x -+.考点三指数函数的性质(1)若a ＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a 的值；(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a 的取值围． [自主解答] (1)当a ＝－1时，f(x)＝2431()3x x --+， 令g(x)＝－x 2－4x ＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减， 而y ＝(13)t在R 上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 即函数f(x)的递增区间是(－2，＋∞)， 递减区间是(－∞，－2)．(2)令h(x)＝ax 2－4x ＋3，y ＝(13)h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a>012a －164a＝－1，解得a ＝1即当f(x)有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝(13)h(x)的值域为(0，＋∞)．应使h(x)＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能有a ＝0.因为若a ≠0，则h(x)为二次函数，其值域不可能为R.故a 的取值围是a ＝0. 变式训练：已知g(x)＝－(14)x＋4(12)x＋5，求该函数的定义域、值域和单调区间．解：由g(x)＝－(14)x ＋4(12)x ＋5＝－(12)2x ＋4(12)x ＋5.∴函数的定义域为R ，令t ＝(12)x (t>0)．∴g(t)＝－t 2＋4t ＋5＝－(t －2)2＋9. ∵t>0，∴g(t)＝－(t －2)2＋9≤9，等号成立条件是t ＝2，即g(x)≤9，等号成立条件是(12)x ＝2，即x ＝－1.∴g(x)的值域是(－∞，9]． 由g(t)＝－(t －2)2＋9(t>0)， 而t ＝(12)x 是减函数，∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间． 求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间． ∵g(t)在(0,2]上递增， 在[2，＋∞)上递减， 由0<t ＝(12)x ≤2，可得x ≥－1，由t ＝(12)x ≥2，可得x ≤－1.∴g(x)在[－1，＋∞)上递减，在(－∞，－1]上递增．故g(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是[－1，＋∞)．【例4】(1)计算：lg5(lg8＋lg1 000)＋(2＋lg6＋lg0.06；(2)化简：log 34273·log 5[21log 1024－233)－27log 7]；(3)已知：lgx ＋lgy ＝2lg(2x －3y)，求32log xy的值． [自主解答] (1)原式＝lg5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2 ＝3lg 5·lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2 ＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋(3lg 5)－2 ＝3(lg 2＋lg 5)－2＝1. (2)原式＝(log 3427－1)·log 5(10－3－2)＝(34－1)log 55＝－14.(3)∵lgx ＋lgy ＝2lg(2x －3y) ∴xy ＝(2x －3y)2＝4x 2＋9y 2－12xy 即4x 2－13xy ＋9y 2＝0∴(4x －9y)(x －y)＝0，即4x ＝9y ，x ＝y(舍去)，∴32logx y ＝32log94＝2.变式训练：计算：(1)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)；(2)15(lg32＋log 416＋6lg 12)＋15lg 15. 解：(1)原式＝(log 32＋12log 32)(12log 23＋13log 23)＝(log 32＋log 32)(log 23＋log 233)＝log 322·log 2(3·33)＝log 3322·log 2563 ＝32·log 32·56·log 23＝54.(2)原式＝15[lg32＋2＋lg(12)6＋lg 15]＝15[2＋lg(32×164×15)]＝15(2＋lg 110) ＝15[2＋(－1)]＝15.【例5】比较下列各组数的大小．(1)log 323与log 565；(2)log 1.10.7与log 1.20.7； (3)已知12log b<12log a<12log c ，比较2b,2a,2c 的大小关系．[自主解答] (1)∵log 323<log 31＝0，而log 565>log 51＝0，∴log 323<log 565.(2)法一：∵0<0.7<1,1.1<1.2， ∴0>log 0.71.1>log 0.71.2. ∴1log 0.71.1<1log 0.71.2，由换底公式可得log 1.10.7<log 1.20.7.法二：作出y ＝log1.1x 与y ＝log1.2x 的图象，如图所示，两图象与x ＝0.7相交可知 log1.10.7<log1.20.7.(3)∵y ＝12log x 为减函数，且12log b<12log a<12log c ，∴b>a>c.而y ＝2x 是增函数， ∴2b >2a >2c .变式训练：设a、b、c均为正数，且2a＝12 log a，(12)b＝12log b，(12)c＝log2c，则( ) A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<a<c解析：如图：∴a<b<c.【例6】已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，如果对于任意的x∈[13，2]都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值围．[自主解答] ∵f(x)＝log a x，则y＝|f(x)|的图象如右图．由图示，要使x∈[13，2]时恒有|f(x)|≤1，只需|f(13)|≤1，即－1≤log a13≤1，即log a a－1≤log a13≤log a a，亦当a>1时，得a－1≤13≤a，即a≥3；考点六对数函数图象与性质的应用当0<a<1时，得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13.综上所述，a 的取值围是(0，13]∪[3，＋∞)．变式训练：(2010·潍坊二模)已知函数f(x)＝log2(x ＋1)，将y ＝f(x)的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝g(x)的图象． (1)求g(x)的定义域；(2)令F(x)＝f(x －1)－g(x)，求F(x)的最大值．解：(1)f(x)＝log 2(x ＋1)――――――――→向左平移1个单位 y ＝log 2(x ＋2)――――――→纵坐标伸长到原来的2倍y ＝2log 2(x ＋2)， 即g(x)＝2log 2(x ＋2)，∴x ＋2>0. ∴x>－2.∴定义域为(－2，＋∞)．(2)∵F(x)＝f(x －1)－g(x)＝log 2x －2log 2(x ＋2) ＝log 2xx ＋22(x>0)＝log 2xx 2＋4x ＋4＝log 21x ＋4x ＋4≤log 218＝－3，∴当x ＝2时，F(x)max ＝－3.【例7】(2011·成都模拟)设f(x)＝12log1－axx －1为奇函数，a<0. (1)求a 的值；(2)若对于区间[3,4]上的每一个x 的值，不等式f(x)>(12)x＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．[自主解答] (1)∵f(－x)＝－f(x)， ∴12log1＋ax－1－x ＝－12log 1－axx －1＝12logx －11－ax ， ∴1＋ax －x －1＝x －11－ax，即(1＋ax)(1－ax)＝－(x ＋1)(x －1)，∴a ＝－1或a ＝1(舍去)．考点七与对数函数有关的综合问题(2)由(1)可知f(x)＝12log x ＋1x －1＝12log (1＋2x －1)，∵f(x)>(12)x ＋m 恒成立，x ∈[3,4]，∴m<f(x)－(12)x ，x ∈[3,4]．令g(x)＝f(x)－(12)x ＝12log (1＋2x －1)－(12)x ，x ∈[3,4]． ∵函数f(x)＝12log (1＋2x －1)与y ＝－(12)x在x ∈[3,4]上均为增函数，∴g(x)在[3,4]上为增函数，∴g(x)min ＝g(3)＝－98，∴m<－98.思考： 若f(x)的值域为[1，＋∞)，求x 的取值范围．解：由例题知， f(x)＝12log x ＋1x －1又∵f(x)的值域为[1，＋∞) ∴0<x ＋1x －1≤12∴－3≤x<－1.即x 的取值范围为[－3，－1)．变式训练：已知函数y ＝loga2(x2－2ax －3)在(－∞，－2)上是增函数，求a 的取值范围．解：因为μ(x)＝x 2－2ax －3在(－∞，a]上是减函数， 在[a ，＋∞)上是增函数，要使y ＝log a2(x 2－2ax －3)在(－∞，－2)上是增函数， 首先必有0<a 2<1，即0<a<1或－1<a<0，且有⎩⎨⎧μ－2≥0，a ≥－2，得a ≥－14.综上，得－14≤a<0或0<a<1.五、巩固练习：一、选择题1．(2011·济南模拟)定义运算a ⊗b ＝⎩⎨⎧a a ≤bb a >b，则函数f (x )＝1⊗2x 的图象大致为( )解析：由a ⊗b ＝⎩⎨⎧a a ≤bb a >b得f (x )＝1⊗2x ＝⎩⎨⎧2x x ≤0，1x >0.答案：A2．(2010·辽宁高考)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20D ．100解析：a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，代入已知得log m 2＋log m 5＝2， 即log m 10＝2，所以m ＝10. 答案：A3．(2010·全国卷Ⅰ)设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝125-，则( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析：a ＝log 32＝ln 2ln 3＜ln 2＝b ，又c ＝125-＝15＜12，a ＝log 32＞log 33＝12，因此c ＜a ＜b .4．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图象如图所示，其中a ，b (a >0且a ≠1)为常数，则函数g (x )＝a x＋b 的大致图象是( )解析：由图可知，函数f (x )＝log a (x ＋b )是单调递减函数，所以0<a <1，又因为f (x )＝log a (x ＋b )的图象与x 轴的交点的横坐标在(0,1)内，所以0<b <1，根据上述参数a ，b 的特点，函数g (x )＝a x ＋b 的图象大致如B 项所示．答案：B5．(2011·石家庄模拟)已知函数f (x )＝log 2(a －2x )＋x －2，若f (x )＝0有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：法一：f (x )＝log 2(a －2x )＋x －2＝0，得a －2x ＝22－x ，即a －2x ＝42x ，令t ＝2x(t >0)，则t 2－at ＋4＝0在t ∈(0，＋∞)上有解，令g (t )＝t 2－at ＋4，g (0)＝4>0，故满足⎩⎨⎧a 2>0，Δ＝a 2－16≥0，得a ≥4.法二：f (x )＝log 2(a －2x )＋x －2＝0，得a －2x ＝22－x ，a ＝2x ＋42x ≥4.二、填空题 6．2327－32log 2×log 218＋2lg(3＋5＋3－5)的结果为________． 解析：原式＝9－3×(－3)＋lg(3＋5＋3－5)2＝18＋lg 10＝19.答案：197．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值是________．解析：当a >1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递增，故a 2－a ＝a 2，得a ＝32.当0<a <1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递减，故a －a 2＝a2，得a ＝12.故a ＝12或32.8．若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．答案：[－1,1]三、解答题9．已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]． (1)求a 的值；(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围． 解：法一：(1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32. (2)此时g (x )＝λ·2x －4x ， 设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立． 由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2， 所以实数λ的取值范围是λ≤2.10．(1)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n 的值； (2)已知2lgx －y2＝lg x ＋lg y ，求xy的值． 解：(1)由log a 2＝m ，log a 3＝n 得a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝22×3＝12. (2)由已知得lg(x －y 2)2＝lg(xy )，∴(x －y 2)2＝xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0，∴(x y )2－6·xy＋1＝0，∴x y＝3±2 2.∵⎩⎨⎧x －y >0，x >0，y >0，∴x y >1，从而x y＝3＋22，xy＝1＋ 2.六、拓展训练: 1、(2010·安徽高考)设a ＝253()5，b ＝352()5，c ＝252()5，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a[规范解答] 构造指数函数y ＝(25)x (x ∈R)，由该函数在定义域内单调递减可得b ＜c ；又y ＝(25)x(x ∈R)与y＝(35)x (x ∈R)之间有如下结论：当x ＞0时，有(35)x ＞(25)x，故253()5＞252()5，∴a ＞c ，故a ＞c ＞b. 2、(2010·天津高考)设函数f(x)＝212log,0,log (),0.x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)[规范解答] 由题意可得2120log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或1220,log ()log a a a >⎧⎪⎨->⎪⎩ 解之得a>1或－1<a<0.七、反思总结：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1．(2011·桐乡模拟)函数y ＝ax ＋2012＋2012(a>0，a ≠1)的图象恒过定点________． 解析：令x ＋2012＝0，则x ＝－2012，此时y ＝a0＋2012＝1＋2012＝2013 ∴恒过定点(－2012,2013)． 答案：(－2012,2013)2．若a>0，a ≠1，x>y>0，n ∈N ，则下列各式：①(log a x)n ＝nlog a x ；②(log a x)n ＝log a x n ； ③log a x ＝－log a 1x ；④nlog a x ＝1n log a x ；⑤log a x n ＝log a nx ；⑥log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋y x －y .其中正确的个数有 ( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个3．如图所示的曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y ＝ax ，y ＝bx ，y ＝cx ，y ＝dx 的图象，则a ，b ，c ，d 的大小关系是 ( )A ．a<b<1<c<dB ．a<b<1<d<cC ．b<a<1<c<dD ．b<a<1<d<c解析：由指数函数y ＝a x(a>0且a ≠1)的单调性及函数y ＝a x与y ＝(1a)x间的关系可知b<a<1<d<c.4．函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是( )A ．f (b x )≤f (c x )B ．f (b x )≥f (c x )C ．f (b x )>f (c x )D ．大小关系随x 的不同而不同 解析：∵f (1＋x )＝f (1－x )， ∴f (x )的对称轴为直线x ＝1， 由此得b ＝2. 又f (0)＝3，∴c ＝3.∴f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增． 若x ≥0，则3x ≥2x ≥1， ∴f (3x )≥f (2x )． 若x <0，则3x <2x <1， ∴f (3x )>f (2x )． ∴f (3x )≥f (2x )．5．设m 为常数，如果函数y ＝lg(mx 2－4x ＋m －3)的值域为R ，则m 的取值范围是________． 解析：因为函数值域为R ，所以mx 2－4x ＋m －3能取到所有大于0的数，即满足⎩⎨⎧m >0，Δ＝－42－4m m －3≥0或m ＝0.解得0≤m ≤4.答案：[0,4]6．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________.解析：∵3<2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23log 31()2+＝18×2log 31()2＝18×121log 31()2＝18×13＝124. 答案：124。
第四章 指数函数和对数函数(考点与题型解析)(解析版)
第四章 指数函数和对数函数一、本章知识体系二、考点与题型解读考点一 指数与对数的运算(1)指数与对数的运算应遵循的原则①指数的运算：注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算．另外，若出现分式，则要注意对分子、分母因式分解以达到约分的目的；②对数的运算：注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，一般本着真数化简的原则进行． (2)底数相同的对数式化简的两种基本方法①“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”：将积(商)的对数拆成对数的和(差)． 【例1】（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++；（2）已知23a =，46b =，求2b a -的值. 【答案】（1）7；（2）1. 【解析】（1）31log 23327lg 50lg 223log1002327+++=++=++=.（2）由23a =，得2log 3a =，又由46b =，即226b =，得22log 6b =， 所以2222log 6log 3log 21b a -=-==.【变式1】求值：（1）12232132(9.6)3(1.5)48--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）5log 22541231log log 5log 3log 452⋅--+. 【答案】（1）12；（2）34. 【解析】（1）原式=1222223927333234411114822232992---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+=--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=；（2）原式52321113log 2log 5log 32log 221222244=-⨯+-+=-+-+=.考点二 指数函数、对数函数的图象问题1.指数函数的图象和性质一般地，指数函数y ＝ax(a>0且a≠1)的图象与性质如下表所示.注意 (1)对于a>1与0<a<1，函数值的变化是不同的，因而利用性质时，一定要注意底数的范围，通常要用分类讨论思想.(2)a>1时，a 值越大，图象向上越靠近y 轴，递增速度越快；0<a<1时，a 值越小，图象向上越靠近y 轴，递减速度越快.(3)在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x ＝1时，y ＝a 去理解，如图.规律方法(1)识别函数的图象从以下几个方面入手： ①单调性：函数图象的变化趋势； ②奇偶性：函数图象的对称性； ③特殊点对应的函数值．(2)已知不能解出的方程或不等式的解求参数的范围常用数形结合的思想解决． 【例2】当1a >时， 在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =-的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由于1a >，所以1xxa y a -=⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的递减函数，且过()0,1；log a y x =-为()0,∞+上的单调递减函数，且过()1,0，故只有D 选项符合. 故选：D.【变式2】函数()()log 101a f x x a =+<<的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由题意，函数()()log 101a f x x a =+<<是偶函数，图象关于y 轴对称， 当0x >时，()log 1a f x x =+为单调递减函数，0x <时，()(log )1a f x x -=+为单调递增函数， 再由函数()f x 的图象过点(1,1),(1,1)-，应选A 选项， 故选A ．考点三 指数函数、对数函数的性质基本初等函数单调性的判断与应用(1)对于指数函数和对数函数，注意底数a 对函数单调性的影响，对于幂函数y ＝x α，注意指数α对函数单调性的影响．(2)根据函数的单调性可以比较函数值的大小和求不等式的解集． 【例3】设f (x )＝e x ，0＜a ＜b ，若p ＝f ab ，q ＝f (2a b+)，r ()()f a f b ，则下列关系式中正确的是（ ） A ．q ＝r ＜p B ．p ＝r ＜q C ．q ＝r ＞p D ．p ＝r ＞q【答案】C 【解析】 ∵0＜a ＜b ，∴2a b+ab f (x )＝e x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴f (2a b +)＞f ab ，即q ＞p .又r2a b e+＝q ，故q ＝r ＞p . 故选：C .【变式3】设ln3a =，1log 3eb =，23c -=，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】C 【解析】ln3ln 1a e =>=， 11log 310eeb log =<=，2139c -==， a c b ∴>>． 故选:C .考点四 大小比较问题数的大小比较常用方法：(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数的图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用.常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法.(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较.(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于或等于0且小于或等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小.【例4】已知12132111,log ,log 332a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．b a c >>【答案】D 【解析】121213=031a -⎛⎫<= ⎪⎝⎭<，1221log =log 313b =>，331log log 202c ==-<，∴b a c >>， 故选：D【变式4】若5log 3a =，lg 0.7b =，0.13c =，则（ ）. A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c <<【答案】A 【解析】50log 31a <=<，lg0.70b =<，0.131c =>，∴b a c <<， 故选：A考点五 函数的应用利用已知函数模型解决实际问题的方法解决已给出函数模型的实际应用题，关键要分清函数类型，并要注意相应函数定义域以及实际生活中自变量取值的限制条件，然后结合所给模型，列出函数关系式；最后结合其实际意义作出解答．【例5】某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a 亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.（1）求森林面积的年增长率；（22 （3）为使森林面积至少达到6a 亩至少需要植树造林多少年？ （参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）【答案】（1）11021x =-；（2）5年；（3）至少还需要26年. 【解析】（1）设增长率为x ，依题意可得()1012a x a += 所以()1110101012x ⎡⎤+=⎣⎦即11012x +=，解得11021x =-（2）设已经植树造林n 年，则110121na ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭即1110222n =解得5n =，故已经植树造林5年.（3）设至少还需要m 年，则1101216ma a ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭即11026m ≥即2221log 6log 2log 310m ≥=+解得lg 3101025.8lg 2m ≥+≈ 故至少还需要26年考点六 函数的零点与方程的根函数的零点与方程的根的关系及应用(1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y ＝f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f(x)有零点.(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断.【例6】已知函数()[]22ln 33f x x x =-+，其中[]x 表示不大于x 的最大整数（如[]1.61=，[]2.13-=-），则函数()f x 的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】设函数()22ln g x x =，()[]33h x x =-，则()()222ln()2ln g x x x g x -=-==，所以函数()g x 为定义域上的为偶函数，作出函数()22ln g x x =与()[]33h x x =-的图象，如图所示，当10x -<<时，()6h x =-，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点； 当01x <<时，()3h x =-，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；当1x =时，()()0g x h x ==，两函数有1个交点，即1个零点；当23x ≤<时，()3h x =，()4ln 24ln3g x ≤<，此时两函数有1个交点，即1个零点，综上可得函数()[]22ln 33f x x x =-+共4个零点.故选： D.【变式6】已知函数()221,0log 1,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数可能为（ ） A ．2 B ．6C ．5D ．4【答案】ACD 【解析】画出()f x 的图象如图所示：令()t f x =，则22210t t a -+-=，则24(2)a ∆=-，当0∆=，即22a =时，1t =，此时()1f x =，由图1y =与()y f x =的图象有两个交点，即方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为2个，A 正确；当>0∆时，即22a <时，212t a =-，则2022a <-≤ 故211212a <+-≤+212121a ≤--<，当1t =()1f x =(1,1)∈-，则x 有2解，当1t =t (1,2]∈，则x 有3解；若t (2,1∈+，则x 有2解，故方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为5个或4个，CD 正确；故选：ACD考点七 函数模型的应用1.建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x ，y 分别表示. (2)建立函数模型，将变量y 表示为x 的函数，此时要注意函数的定义域. (3)求解函数模型，并还原为实际问题的解. 2.建模的三个原则(1)简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.(2)可推演原则：建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果.(3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题.【例7】某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为()G x （万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入()R x （万元）满足20.4 4.2(05)()11(5)x x x R x x ⎧-+≤≤=⎨>⎩，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入-总成本）； （2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【答案】（1）()f x 20.4 3.2 2.8(05)8.2(5)x x x x x ⎧-+-≤≤=⎨->⎩（2）当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．【解析】（1）由题意得() 2.8G x x =+．()()20.4 4.20511(5)x xx R x x ⎧-+≤≤=⎨>⎩，()()()f x R x G x ∴=- ()20.4 3.2 2.8058.2(5)x x x x x ⎧-+-≤≤=⎨->⎩（2）当5x >时， 函数()f x 递减，()()5 3.2f x f ∴<= （万元）．当05x ≤≤时，函数()()20.44 3.6f x x =--+， 当4x =时，()f x 有最大值为3.6（万元）．所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．【变式7】环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈。
巩固练习_《指数函数、对数函数、幂函数》全章复习与巩固_提高
【巩固练习】1．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．|f (x )|－g (x )是奇函数B ．|f (x )|＋g (x )是偶函数C ．f (x )－|g (x )|是奇函数D ．f (x )＋|g (x )|是偶函数2．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，则f (4)＝( )A ．4B ．2C ．0D ．不确定3．若函数x 2x 1x a f(x)=(+)(-)为奇函数，则a ＝( ) A.12 B.23C.34 D ．14．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．95．设f (x )＝2x ,|x |1x,|x |1⎧≥⎨<⎩g (x )是二次函数，若f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则g (x )的值域是( ) A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)6．已知f (x )＝2x 1,1x 0x 1,0x 1+-≤≤⎧⎨+<≤⎩，则如图中函数的图象错误的是( )7．已知f (x －1x )＝x 2＋21x，则函数f (3)＝________. 8．设函数f (x )是定义在R 上周期为3的奇函数，若f (1)<1，f (2)＝211a a -+，则a 的取值范围是________． 9．设函数f (x )＝12(x ＋|x |)，则函数f [f (x )]的值域为________．10．已知函数f (x )＝a 1- (a ≠1)，若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 11．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)解不等式f (x )>2x ＋5.12．函数f (x )对一切实数x 、y 均有f (x ＋y )－f (y )＝x (x ＋2y ＋1)成立，且f (1)＝0，(1)求f (0)的值；(2)试确定函数f (x )的解析式．13．已知函数f (x )＝22x 2x,x 00,x 0x mx,x 0⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．14．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)．15．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域．16．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【答案与解析】1．【答案】D【解析】设F (x )＝f (x )＋|g (x )|，由f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，得F (－x )＝f (－x )＋|g (－x )|＝f (x )＋|g (x )|＝F (x )，∴f (x )＋|g (x )|是偶函数．2．【答案】C【解析】∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0.∴f (4)＝f (2－2)＝f (0)＝0.3．【答案】A【解析】法一：由已知得x 2x 1x a f(x)=(+)(-)定义域关于原点对称，由于该函数定义域为 1x |x x a 2⎧⎫≠-≠⎨⎬⎩⎭且，知a ＝12 法二：∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，又f (x )＝2x 2x (12a x a +-)-则2x 2x (12a x a ---)-＝2x 2x (12a x a-+-)-在函数的定义域内恒成立，∴1－2a ＝0，可得a ＝124．【答案】B 【解析】由f (x )＝0，x ∈[0,2)可得x ＝0或x ＝1，即在一个周期内，函数的图象与x 轴有两个交点，在区间[0,6)上共有6个交点，当x ＝6时，也是符合要求的交点，故共有7个不同的交点．5．【答案】C【解析】由f (x )≥0，可得x ≥0或x ≤－1，且x ≤－1时，f (x )≥1；x ≥0时，f (x )≥0.又g (x )为二次函数，其值域为(－∞，a ]或[b ，＋∞)型，而f (g (x ))的值域为[0，＋∞)，可知g (x )≥0.6．【答案】D【解析】因f (x )＝2x 1,1x 0x 1,0x 1+-≤≤⎧⎨+<≤⎩其图象如图，验证知f (x －1)，f (－x )，f (|x |)的图象均正确，只有|f (x )|的图象错误．7．【答案】11【解析】∵f (x －1x )＝x 2＋21x＝(x －1x )2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2，∴f (3)＝32＋2＝11.8．【答案】(－∞，－1)∪(0，＋∞)【解析】∵f (x )是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)<1.∴f (－1)>－1.又∵f (x )的周期为3，∴f (－1)＝f (2)＝211a a -+>－1. 即31a a +>0，解得a >0或a <－1. 9．【答案】[0，＋∞)【解析】先去绝对值，当x ≥0时，f (x )＝x ，故f [f (x )]＝f (x )＝x ，当x <0时，f (x )＝0，故f [f (x )]＝f (0)＝0，即f[f(x)]＝x,x00,x1≥⎧⎨<⎩，易知其值域为[0，＋∞)．10．【答案】(－∞，0)∪(1,3]【解析】当a－1>0，即a>1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时1<a≤3.当a－1<0，即a<1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需－a>0，此时a<0所以，实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]11．【解析】(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(0)＝1，∴c＝1.把f(x)的表达式代入f(x＋1)－f(x)＝2x，有a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.∴2ax＋a＋b＝2x.∴a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.(2)由x2－x＋1>2x＋5，即x2－3x－4>0，解得x>4或x<－1.故原不等式解集为{x|x>4或x<－1}．12．【解析】(1)令x＝1，y＝0，得f(1)－f(0)＝2.又∵f(1)＝0，∴f(0)＝－2.(2)令y＝0，则f(x)－f(0)＝x(x＋1)，由(1)知，f(1)＝x(x＋1)＋f(0)＝x(x＋1)－2＝x2＋x－2.13．【解析】(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知a21, a21,->-⎧⎨-≤⎩所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．14．【解析】(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝0.15．【解析】(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0⇒2a2－a－3＝0⇒a＝－1或a＝3 2(2)∵对一切x∈R函数值均为非负，∴Δ＝8(2a2－a－3)≤0⇒－1≤a≤32，∴a＋3>0.∴g(a)＝2－a|a＋3|＝－a2－3a＋2＝－（a+32)2＋174,312a,⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∵二次函数g(a)在312,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴g32⎛⎫⎪⎝⎭≤g(a)≤g(－1)，即－194≤g(a)≤4.∴g(a)的值域为1944,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦16．【解析】(1)∵f(1)＝1，∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，函数定义域为(－1,3)．令g(x)＝－x2＋2x＋3.则g(x)在(－∞，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，又y＝log4x在(0，＋∞)上递增，所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，因此应有12414a,a.a>⎧⎪-⎨=⎪⎩解得a＝1 2故存在实数a＝12使f(x)的最小值等于0.。
第四讲 对数函数与指数函数经典难题复习巩固综述
精典专题系列第4讲 指数函数与对数函数一、导入：名叫抛弃的水池一个人得了难治之症，终日为疾病所苦。
为了能早日痊愈，他看过了不少医生，都不见效果。
他又听人说远处有一个小镇，镇上有一种包治百病的水，于是就急急忙忙赶过去，跳到水里去洗澡。
但洗过澡后，他的病不但没好，反而加重了。
这使他更加困苦不堪。
有一天晚上，他在梦里梦见一个精灵向他走来，很关切地询问他：“所有的方法你都试过了吗？” 他答道：“试过了。
” “不，”精灵摇头说，“过来，我带你去洗一种你从来没有洗过的澡。
” 精灵将这个人带到一个清澈的水池边对他说：“进水里泡一泡，你很快就会康复。
”说完，就不见了。
这病人跳进了水池，泡在水中。
等他从水中出来时，所有的病痛竟然真地消失了。
他欣喜若狂，猛地一抬头，发现水池旁的墙上写着“抛弃”两个字。
这时他也醒了，梦中的情景让他猛然醒悟：原来自己一直以来任意放纵，受害已深。
于是他就此发誓，要戒除一切恶习。
他履行自己的誓言，先是苦恼从他的心中消失，没过多久，他的身体也康复了。
大道理：抛弃是治疗百病的万灵之药，人之所以有很多难缠的情感，就是因为在大多数情况下，舍不得放弃。
把消极扔掉，让积极代替，就没有什么可抱怨的了。
二、知识点回顾：1．根式 (1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果 ，那么x 叫做a 的n 次方根n ＞1且n ∈N * 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个 ，负数的n 次方根是一个n a零的n 次方根是零 当n 是偶数时，正数的n 次方根有 ，这两个数互为±na(a>0)负数没有偶次方根(2)两个重要公式．①n a n ＝ ②(n a)n ＝ (注意a 必须使na 有意义)． 2. 幂的有关概念①正分数指数幂： ＝ (a ＞0，m 、n ∈N*，且n ＞1)；②负分数指数幂： ＝ ＝ (a ＞0，m 、n ∈N*，且n ＞1)． ③0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 ．y ＝ax a ＞1 0＜a ＜1图象DSE 金牌化学专题系列3．指数函数的图象与性质4．对数的概念 (1)对数的定义如果 ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数． (2)两种常见对数对数形式 特点记法 常用对数 底数为 lgx 自然对数底数为lnx5．对数的性质、换底公式与运算法则性质①loga1＝ ，②logaa ＝ ， ③ ＝ 。
第四章 指数函数与对数函数【章节复习专项训练】(解析版)
第四章指数函数与对数函数【章节复习专项训练】【考点1】：指数、对数的运算例题1．下列各式正确的是（）A ．248πππ=B ．23e =C ．ln 6ln 2ln 3=D ．lg 4lg 252+=【答案】D 【分析】由指数的运算法则可判断AB ；由换底公式可判断C ；由对数的加法运算法则可判断D.【详解】对于A ，22644ππππ+==，故A 错误；对于B ，23e =，故B 错误；对于C ，3ln 6log 6ln 3=，故C 错误；对于D ，()lg 4lg 25lg 425lg1002+=⨯==，故D 正确.故选：D.【变式1】以下对数式中，与指数式56x =等价的是（）A ．5log 6x =B ．5log 6x =C ．6log 5x =D ．log 65x =【答案】A 【分析】根据指数式和对数式的关系即可得出.【详解】根据指数式和对数式的关系，56x =等价于5log 6x =.故选：A.【变式2】已知log 92a =-，则a 的值为（）A ．3-B ．13-C ．3D ．13【答案】D 【分析】直接将对数式化为指数式求解即可.【详解】∵log 92a =-，0a >，∴29a -=，解得13a =，故选：D.【点睛】本题主要考查了对数的概念，属于基础题.【变式3】若1log 24a =，则a =（）A ．2B ．4C ．12D ．14【答案】C 【分析】利用指数式与对数式的互化以及指数幂的运算即可求解.【详解】2111log 2442aa a =⇒=⇒=.故选：C 【点睛】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.【变式4】计算122121(2)()248n n n ++-⋅⋅(n ∈N *)的结果为（）A ．416B ．22n＋5C ．2n 2－2n ＋6D ．1(22n －7【答案】D 【分析】结合指数的运算公式化简即可求出结果.【详解】原式272221722626222122222n n n n n n -+-----⋅⎛⎫==== ⎪⋅⎝⎭，故选：D.【考点2】：指数函数、对数函数的概念例题1．下列函数表达式中，是对数函数的有（）①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝log 2(x ＋1)．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】根据对数函数的概念确定正确选项.【详解】形如log a y x =（0a >且1a ≠）的函数为对数函数，故③④为对数函数，所以共有2个.故选：B 【点睛】本小题主要考查对数函数的概念，属于基础题.【变式1】已知正整数指数函数()(2)x f x a a =-，则(2)f =（）A ．2B ．3C ．9D ．16【答案】C 【分析】由函数是指数函数可求出3a =，即可求出(2)f .【详解】因为函数()(2)x f x a a =-是指数函数，所以21a -=，则3a =，所以()3x f x =，+∈x N ，所以2(2)39f ==.故选：C.【点睛】本题考查指数函数概念的理解，属于基础题.【变式2】若函数()f x 是指数函数，且()22f =，则()f x =（）A ．xB ．2xC ．12x⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2x⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A 【分析】利用待定系数法求解即可.【详解】解：由题意，设()(0xf x a a =>且)1a ≠，因为()22f =所以22a =，解得a =所以()xf x =.故选：A.【点睛】本题考查待定系数法求指数函数解析式，是基础题.【变式3】已知函数2x y a =⋅和2x b y +=都是指数函数，则a b +=（）A ．不确定B ． 0C ．1D ． 2【答案】C 【分析】根据指数函数的概念，得到1a =，0b =，即可求出结果.【详解】因为函数2x y a =⋅是指数函数，所以1a =，由2x b y +=是指数函数，得0b =，所以1a b +=.故选：C.【点睛】本题主要考查由指数函数概念求参数的问题，属于基础题型.【变式4】已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，若f （1）＝1，则a ＝（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合代入法进行求解即可.【详解】∵f （1）＝log a (1＋1)＝1，∴a 1＝2，则a ＝2，故选：C.【考点3】：指数函数、对数函数的图像和性质例题1．如图，若1C ，2C 分别为函数log a y x =和log b y x =的图象，则（）A ．01a b <<<B ．01b a <<<C ．1a b >>D ．b a l>>【答案】B 【分析】根据对数函数的图象特征，即可直接得到,a b 大小关系.【详解】根据1C ，2C 分别为函数log a y x =和log b y x =的图象，可得01b <<，01a <<，且b a <.故选：B 【点睛】本题考查根据对数函数图象求参数范围，注意规律的总结，属简单题.【变式1】函数()()ln 31y x x =-+的定义域是（）A ．()1,3-B ．[]1,3-C ．()(),13,-∞-+∞D ．(][),13,-∞-+∞【答案】A 【分析】由对数函数定义要求其真数大于零构建不等式，求解即可.【详解】在对数函数()()ln 31y x x =-+中，真数()()()()310310x x x x -+>⇒-+<，所以()1,3x ∈-.故选：A 【点睛】本题考查求对数函数的定义域，属于基础题.【变式2】函数12(1)log 1y x =+-的图象一定经过点（）A ．()1,1B ．()1,0C ．()2,1D ．()2,0【答案】C 【分析】根据对数函数的性质，结合图象的平移变换规律进行求解即可.【详解】把12log y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到12(1)log 1y x =+-的图象，因为12log y x =的图象恒过(1,0)点，所以12(1)log 1y x =+-的图象经过点(2,1).故选：C 【点睛】本题考查了对数型函数恒过定点问题，考查了函数图象的平移变换性质，属于基础题.【变式3】已知函数()2xy a =-，且当0x <时，1y >，则实数a 的取值范围是（）A ．3a >B ．23a <<C ．4a >D ．34a <<【答案】B 【分析】利用指数函数的性质求解即可【详解】当0x <时，1021y a >∴<-<，，解得23a <<，故选：B.【变式4】函数y =2|x |的图象是（）A ．B ．C．D．【答案】B 【分析】将函数写成分段函数，再结合指数函数的图象，即可容易判断.【详解】y =2|x |=2,01,02x x x x ⎧≥⎪⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩，故当0x ≥时，函数图象同2x y =单调递增；当0x <时，函数图象同1()2xy =单调递减，且0x =时，1y =.满足以上条件的只有B .故选：B .【点睛】本题考查指数型函数的图象，属简单题.【考点4】：函数的零点与方程的解整式的乘法例题1．设1x ,2x 分别是函数()1x f x xa =-和()log 1a g x x x =-的零点（其中1a >）,则122x x +的取值范围是（）A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．[3,)+∞D ．(3,)+∞【答案】D 【分析】解法一:（图象法）根据题意可知12,x x 分别为x y a =与1y x =和log a y x =与1y x=交点的横坐标,,再根据同底数的指数对数函数互为反函数,有121x x =.代入1222122x x x x +=+,再根据区间(1,)+∞上单调递增,所以1223x x +>.解法二:（定义法）根据函数零点的定义可知1x 、2x 是方程1x a x=和1log a x x =的根,又1a >,所以函数1()xF x a x=-在(0,)+∞上单调递增,所以121x x =.代入1222122x x x x +=+在区间(1,)+∞上单调递增,所以1223x x +>.【详解】解:解法一:（图象法）根据函数零点的定义可知函数x y a =与1y x =的图象交点为111,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,同理可得函数log a y x =与1y x =的图象交点为221,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又因为函数x y a =与log a y x =的图象关于直线y x =对称,函数1y x=的图象也关于直线y x =对称,所以点111,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点221,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭关于直线y x =对称,所以121x x =.由1a >可知21>x ,所以1222122x x x x +=+在区间(1,)+∞上单调递增,所以1223x x +>.故选:D解法二:（定义法）根据函数零点的定义可知1x 是方程1xa x=的根,所以1x 也是函数1()xF x a x=-的零点.同理可得2x 是方程1log a x x=的根,即221log a x x =,所以212x ax =,所以21x 也是函数1()xF x a x=-的零点.又1a >,所以函数1()xF x a x=-在(0,)+∞上单调递增,所以121x x =.由1a >可知21>x ,所以1222122x x x x +=+在区间(1,)+∞上单调递增,所以1223x x +>.故选:D 【点睛】本题考查了方程的根的确定、反函数性质的应用以及利用函数的单调性求最值,属于基础题.【变式1】函数()33x f x x =+的零点所在区间为（）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,3【答案】A 【分析】判断出所给区间的端点值的乘积小于0可得答案.【详解】()()31213103f --=+-=-<；()()3003010f =+=>；()()3113140f =+=>；()()32232170f =+=>；()()33333540f =+=>；所以()()100f f -<.故选：A.【变式2】已知函数(),0ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()g x f x a =+，若()g x 恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）A ．()1,0-B ．[)1,0-C ．()0,1D ．(]0,1【答案】B 【分析】利用数形结合的方法，作出函数()f x 的图象，简单判断即可.【详解】依题意，函数()y f x =的图象与直线y a =-有两个交点，作出函数图象如下图所示，由图可知，要使函数()y f x =的图象与直线y a =-有两个交点，则01a <-≤，即10a -≤<.故选：B .【点睛】本题考查函数零点问题，掌握三种等价形式：函数零点个数等价于方程根的个数等价于两个函数图象交点个数，属基础题.【变式3】函数()232f x x x =-+的零点是（）A ．()1,0B ．()1,0和()2,0C ．1和2D ．以上都不是【答案】C 【分析】当()0f x =时对应的x 的值即为所求的零点.【详解】令()0f x =，即2320x x -+=，解得：1x =或2x =，()f x ∴的零点是1和2.故选：C .【点睛】本题考查函数零点的求解问题，易错点是误认为零点为一个点的坐标，实际零点是函数值为零时，对应的自变量的值.【变式4】已知函数21ln ()xf x x -=，那么方程f （x ）＝0的解是（）A ．1=x eB ．x ＝1C ．x ＝eD ．x ＝1或x ＝e【答案】C 【分析】通过解方程求得()0f x =的解.【详解】依题意()21ln 0xf x x -==，所以1ln 0,ln 1,x x x e -===.故选：C 【点睛】本小题主要考查函数零点的求法，属于基础题.【考点5】：用二分法求方程的近似解例题1．设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在(1，1.5)内的近似解的过程中，有f （1）<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则该方程的根所在的区间为（）A ．(1，1.25)B ．(1.25，1.5)C ．(1.5，2)D ．不能确定【答案】B 【分析】根据零点存在性定理即可判断零点所在区间.【详解】∵f (1.25)·f (1.5)<0，且f (x )是单调增函数，∴该方程的根所在的区间为(1.25，1.5)．故选：B.【变式1】下列函数不宜用二分法求零点的是（）A ．f (x )＝x 3－1B ．f (x )＝ln x ＋3C ．f (x )＝x 2＋＋2D ．f (x )＝－x 2＋4x －1【答案】C 【分析】根据二分法的概念可知，只有存在区间[](),a b a b <，使得()()0f a f b <，才能应用二分法求零点，即可判断出各选项对应的函数是否可用二分法求零点．【详解】对于A ，存在区间[]0,2，使得()()020f f <，所以A 宜用；对于B ，存在区间4,1e -⎡⎤⎣⎦，使得()()410f e f -<，所以B 宜用；对于C ，()(20f x x =≥，不存在区间[](),a b a b <，使得()()0f a f b <，所以C 不宜用；对于D ，存在区间[]0,1，使得()()010f f <，所以D 宜用．故选：C ．【点睛】本题主要考查二分法的概念的理解以及应用，属于容易题．【变式2】函数33()log 2f x x x=-在区间[1，3]内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为（）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】先求(1),(3)f f ，再求(2)f ，发现(3),(2)f f 异号，再求5(2f 的值，再利用零点存在性定理判断即可【详解】解：因为31(1)0,(3)022f f =-<=>，3433333(2)log 2log 2log 3log log 04f =-=-==<，353333355355log log log 3log log log 022524f ⎛⎫=-=-=>=> ⎪⎝⎭因此，函数f (x )的零点在区间52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，故选：C.【点睛】此题考查二分法判断零点，考查了零点存在性定理的应用，属于基础题.【变式3】用二分法求函数()f x 在(,)a b 内的唯一零点时，精确度为0.001，则经过一次二分就结束计算的条件是（）A ．||0.2a b -<B ．||0.002a b -<C ．||0.002a b ->D ．||0.002a b -=【答案】B【分析】根据二分法的步骤分析可得.经过一次二分后,零点所在区间长度为||2b a -,结束计算的条件是零点所在区间的长度满足精确度,由此可得.【详解】据二分法的步骤知,经过一次二分后,零点所在区间长度为||2b a -,此时结束计算,所以||2b a -0.001<,所以||0.002b a -<.故选B【点睛】本题考查了二分法的步骤,属于基础题.【变式4】下面关于二分法的叙述，正确的是（）A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循D．只有在求函数零点时才用二分法【答案】B【分析】A C D进行判断,可以排除,从而选B.根据二分法的概念对,,【详解】只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右两侧函数值异号，オ可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错；求方程的近似解也可以用二分法，故D错.故选B.【点睛】本题考查了二分法的概念,属于基础题.。
高中数学第四章指数函数与对数函数知识点总结归纳完整版(带答案)
高中数学第四章指数函数与对数函数知识点总结归纳完整版单选题1、青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足L =5+lgV ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（√1010≈1.259） A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.6 答案：C分析：根据L,V 关系，当L =4.9时，求出lgV ，再用指数表示V ，即可求解. 由L =5+lgV ，当L =4.9时，lgV =−0.1， 则V =10−0.1=10−110=√1010≈11.259≈0.8.故选：C.2、已知2a =5,log 83=b ，则4a−3b =（ ） A ．25B ．5C ．259D ．53 答案：C分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 因为2a=5，b =log 83=13log 23，即23b=3，所以4a−3b=4a 43b =(2a )2(23b )2=5232=259．故选：C.3、中国茶文化博大精深，某同学在茶艺选修课中了解到，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某种绿茶用80℃左右的水泡制可使茶汤清澈明亮，营养也较少破坏.为了方便控制水温，该同学联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是θ1℃，环境温度是θ0℃，则经过t 分钟后物体的温度θ℃将满足θ=θ0+(θ1−θ0)e −kt ，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.该同学通过多次测量平均值的方法得到初始温度为100℃的水在20℃的室温中，12分钟以后温度下降到50℃.则在上述条件下，100℃的水应大约冷却( )分钟冲泡该绿茶(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1) A ．3B ．3.6C ．4D ．4.8 答案：B分析：根据题意求出k的值，再将θ＝80℃，θ1＝100℃，θ0＝20℃代入θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt即可求得t的值.由题可知：50=20+(100−20)e−12k⇒(e−k)12=38⇒e−k=(38)112，冲泡绿茶时水温为80℃，故80=20+(100−20)⋅e−kt⇒(e−k)t=34⇒t⋅lne−k=ln34⇒t=ln 3 4ln(38)112=12(ln3−2ln2)ln3−3ln2≈12(1.1−2×0.7)1.1−3×0.7=3.6.故选：B.4、声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L1=10lg(I10−12).若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍答案：B分析：设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，由声强级得95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，求出I1、I2相除可得答案.设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，因为普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，所以95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，95=10lg(I110−12)=10(lgI1+12)，解得−2.5=lgI1，所以I1=10−2.5，45=10lg(I210−12)=10(lgI2+12)，解得−7.5=lgI2，所以I2=10−7.5，两式相除得I1I2=10−2.510−7.5=105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍.故选：B.5、中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+SN).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ）附：lg2≈0.3010A ．10%B ．20%C ．50%D ．100% 答案：B分析：根据题意，计算出log 24000log 21000的值即可；当SN=1000时，C =Wlog 21000，当SN=4000时，C =Wlog 24000，因为log 24000log 21000=lg4000lg1000=3+2lg23≈3.60203≈1.2所以将信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了20%，故选：B.小提示：本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用. 6、指数函数 y =a x 的图象经过点(3,18)，则a 的值是（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4 答案：B分析：将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得a 的值. 因为y =a x 的图象经过点(3,18)，所以a 3=18，解得a =12，故选：B.7、用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算f (0.64)<0，f (0.72)>0，f (0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为（ ） A ．0.9B ．0.7C ．0.5D ．0.4 答案：B分析：利用二分法求函数零点的近似值的条件及方法分析判断即得.依题意，函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有0.7∈(0.68,0.72)，且满足|0.72-0.68|<0.1， 所以所求的符合条件的近似值为0.7.故选：B8、若ln2=a ，ln3=b ，则log 818=（ ） A ．a+3b a 3B ．a+2b 3aC ．a+2b a 3D ．a+3b 3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得. log 818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a 3a.故选：B 多选题9、（多选）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1％，而这种溶液最初的杂质含量为2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477） A ．6B ．9C ．8D ．7 答案：BC分析：因为每过滤一次杂质含量减少13,所以每过滤一次杂志剩余量为原来的23,由此列式可解得.设经过n 次过滤，产品达到市场要求，则 2100×(23)n⩽11000，即(23)n⩽120，由 nlg 23⩽−lg20，即 n(lg2−lg3)⩽−(1+lg2)，得 n ⩾1+lg2lg3−lg2≈7.4， 故选BC ．小提示：本题考查了指数不等式的解法,属于基础题. 10、已知a =log 3e,b =log 23，c =ln3，则（ ） A ．a <b <c B ．a <c <b C ．D ．a +c <b 答案：BC分析：由对数函数的单调性结合换底公式比较a,b,c 的大小，计算出a +c ，利用基本不等式得a +c >2，而b <2，从而可比较大小．a cb +>由题意可知，对于选项AB ，因为b =log 23=ln3ln2>ln3lne =ln3=c ，所以b >c ，又因为a =log 3e <log 33=1，且c =ln3>lne =1，所以，则b >c >a ，所以选项A 错误，选项B 正确；对于选项CD ，a +c =log 3e +ln3=lne ln3+ln3=1ln3+ln3>2√1ln3⋅ln3=2，且b =log 23<b =log 24=2，所以，故选项C 正确，选项D 错误； 故选：BC.小提示：关键点点睛：本题考查对数函数的单调性，利用单调性比较对数的大小，对于不同底的对数，可利用换底公式化为同底，再由用函数的单调性及不等式的性质比较大小，也可结合中间值如0或1或2等比较后得出结论．11、甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y （个）与加工时间x （分）之间的函数关系，A 点横坐标为12，B 点坐标为(20,0),C 点横坐标为128．则下面说法中正确的是（ ）A ．甲每分钟加工的零件数量是5个B ．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件C ．D 点的横坐标是200D ．y 的最大值是216 答案：ACD分析：甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A 正确；在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B 错误；设D 的坐标为(t,0)，由题得△AOB ∽△CBD ，则有1220=128−20t−20，解可得t =200，所以选项C 正确；当x =128时，y =216，所以y 的最大值是216.所以选项D 正确. 根据题意，甲一共加工的时间为(12−0)+(128−20)=120分钟，c a >a c b +>一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A正确，设D的坐标为(t,0)，在区间(128,t)和(12，20 )上，都是乙在加工，则直线AB和CD的斜率相等，则有∠ABO=∠CDB，在区间(20,128)和(0,12)上，甲乙同时加工，同理可得∠AOB=∠CBD，则△AOB∽△CBD，则有1220=128−20t−20，解可得t=200；即点D的坐标是(200,0)，所以选项C正确；由题得乙每分钟加工的零件数为600200=3个，所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个，在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B错误；当x=128时，y=(128−20)×2=216，所以y的最大值是216.所以选项D正确. 故选：ACD12、已知函数f(x)=a x(a>1)，g(x)=f(x)−f(−x)，若x1≠x2，则（）A．f(x1)f(x2)=f(x1+x2)B．f(x1)+f(x2)=f(x1x2)C．x1g(x1)+x2g(x2)>x1g(x2)+x2g(x1)D．g(x1+x22)⩽g(x1)+g(x2)2答案：AC分析：对选项A、B，利用指数幂的运算性质即可判断选项A正确，选项B错误；对选项C、利用g(x)=f(x)−f(−x)=a x−a−x(a>1)在R上单调递增即可判断，选项C正确；对选项D、根据f(x)=a x(a>1)，且x1≠x2，由凹凸性有f(x1+x22)<12[f(x1)+f(x2)]，又f(−x)=(1 a )x(a>1)，由凹凸性有f(−x1−x22)>12[f(−x1)+f(−x2)]即可判断选项D错误；解：对选项A：因为a x1⋅a x2=a x1+x2，所以f(x1)f(x2)=f(x1+x2)，故选项A正确；对选项B：因为a x1+a x2≠a x1x2，所以f(x1)+f(x2)≠f(x1x2)，故选项B错误；对选项C：由题意，因为a>1，所以g(x)=f(x)−f(−x)=a x−a−x在R上单调递增，不妨设x1>x2，则g(x1)>g(x2)，所以(x1−x2)g(x1)>(x1−x2)g(x2)，即x1g(x1)+x2g(x2)>x1g(x2)+ x2g(x1)，故选项C正确；对选项D：因为f(x)=a x(a>1)，且x1≠x2，所以由凹凸性有f(x1+x22)<12[f(x1)+f(x2)]，又f(−x)=(1a )x(a>1)，所以由凹凸性有f(−x1−x22)>12[f(−x1)+f(−x2)]，所以有f(x1+x22)+12[f(−x1)+f(−x2)]<f(−x1−x22)+12[f(x1)+f(x2)]，即f(x1+x22)−f(−x1−x22)<12[f(x1)+f(x2)]−12[f(−x1)+f(−x2)]，即g(x1+x22)<g(x1)+g(x2)2，故选项D错误；故选：AC.13、已知函数f(x)={lnx,x>0,−x2−4x,x≤0.关于x的方程f(x)−t=0的实数解个数，下列说法正确的是（）A．当t≤0时，方程有两个实数解B．当t>4时，方程无实数解C．当0<t<4时，方程有三个实数解D．当t=4时，方程有两个实数解答案：CD分析：方程f(x)−t=0即f(x)=t，作出函数f(x)的简图，数形结合可得结果.方程f(x)−t=0即f(x)=t，作出函数f(x)的简图，由图可知：当t<0时，函数y=f(x)的图象与直线y=t有2个交点，即方程f(x)−t=0有2个实数解；当t=0时，函数y=f(x)的图象与直线y=t有3个交点，即方程f(x)−t=0有3个实数解，故A错误；当t>4时，函数y=f(x)的图象与直线y=t有1个交点，即方程f(x)−t=0有1个实数解，故B错误；当0<t<4时，函数y=f(x)的图象与直线y=t有3个交点，即方程f(x)−t=0有3个实数解，故C正确；当t=4时，函数y=f(x)的图象与直线y=t有2个交点，即方程f(x)−t=0有2个实数解，故D正确.故选：CD.填空题14、已知函数f(x)=1+log a(x−1)(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，又点P的坐标满足方程mx+ny=1，则mn的最大值为_____．答案：18##0.125分析：根据对数型函数的过定点(2,1)，代入方程中可得2m+n=1，根据基本不等式即可求解.f(x)=1+log a(x−1)(a>0且a≠1)过定点(2,1)，所以P(2,1),所以2m+n=1故2m⋅n≤(2m+n2)2⇒m⋅n≤18，当且仅当m=14,n=12时等号成立.所以答案是：1815、已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=−e ax.若f(ln2)=8，则a=__________.答案：-3分析：当x>0时−x<0，f(x)=−f(−x)=e−ax代入条件即可得解.因为f(x)是奇函数，且当x>0时−x<0，f(x)=−f(−x)=e−ax．又因为ln2∈(0,1)，f(ln2)=8，所以e−aln2=8，两边取以e为底的对数得−aln2=3ln2，所以−a=3，即a=−3．小提示：本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．16、函数y=log12(3x−1)的单调递减区间为_____答案：(13,+∞)分析：根据复合函数单调性规律即可求解 函数y =log 12(3x −1)的定义域为(13,+∞)又y =log 12(3x −1)是由y =log 12u 与u =3x −1复合而成，因为外层函数y =log 12u 单调递减，所以求函数y =log 12(3x −1)的单调递减区间即是求内层函数u =3x −1的增区间，而内层函数u =3x −1在(13,+∞)上单调递增，所以函数y =log 12(3x −1)的减区间为(13,+∞)所以答案是：(13,+∞)解答题17、已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )=x 2+mx ，函数f (x )在y 轴左侧的图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )−a =0有4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． 答案：(1)f (x )={x 2+2x,x ≤0x 2−2x,x >0(2)(−1,0)分析：（1）利用f (−2)=0可求x ≤0时f (x )的解析式，当x >0时，利用奇偶性f (x )=f (−x )可求得x >0时的f (x )的解析式，由此可得结果；（2）作出f (x )图象，将问题转化为f (x )与y =a 有4个交点，数形结合可得结果.（1）由图象知：f (−2)=0，即4−2m =0，解得：m =2，∴当x ≤0时，f (x )=x 2+2x ； 当x >0时，−x <0，∴f (−x )=(−x )2−2x =x 2−2x ，∵f (x )为R 上的偶函数，∴当x >0时，f (x )=f (−x )=x 2−2x ； 综上所述：f (x )={x 2+2x,x ≤0x 2−2x,x >0；（2）∵f (x )为偶函数，∴f (x )图象关于y 轴对称，可得f (x )图象如下图所示，f (x )−a =0有4个不相等的实数根，等价于f (x )与y =a 有4个不同的交点， 由图象可知：−1<a <0，即实数a 的取值范围为(−1,0).18、吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x 万盒，需投入成本ℎ(x )万元，当产量小于或等于50万盒时ℎ(x )=180x +100；当产量大于50万盒时ℎ(x )=x 2+60x +3500，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式； (2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？ 答案：(1)y ={20x −300,0≤x ≤50−x 2+140x −3700,x >50,x ∈N(2)70万盒分析：（1）根据题意分0≤x ≤50和x >50两种情况求解即可； （2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.（1）当产量小于或等于50万盒时，y =200x −200−180x −100=20x −300， 当产量大于50万盒时，y =200x −200−x 2−60x −3500=−x 2+140x −3700， 故销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式为y={20x−300,0≤x≤50−x2+140x−3700,x>50,x∈N （2）当0≤x≤50时，y≤20×50−300=700；当x>50时，y=−x2+140x−3700，当x=1402=70时，y=−x2+140x−3700取到最大值，为1200．因为700<1200，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．。
第四章指数函数与对数函数复习与小结课件(人教版)
C．c＜a＜b
D．c＜b＜a
[解题思路] (1)依题意，x＝enπ>ene＞lne＝1，y＝log52＜
log5
5＝12，1＝e0＞z＝e－12
1
＞4－2
＝12，于是有 y＜z＜x，选 D.
(2)∵a＝log32＝log123，b＝ln2＝lo1g2e，而 3＞e 且 y＝log2x
为增函数，所以
第四章 指数函数与对数函数
复习与小结
知识框图
基本初等函数
指数函数
反函数 对数函数
指数与指数 幂运算
指数函数 及其性质
对数及其运算
对数函数 及其性质
知识框图
①方程f(x)＝0的实数x；②f(a)·f(b)＜0；③x轴；④有零点 ⑤二分法；⑥方程f(x)＝0的根；⑦函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标
a＜b，又
c＝5－12＝
1 ，而 5
5＞2＝log24＞log23，
∴c＜a，综上所述 c＜a＜b.
[答案] (1)D (2)C
3．求参数范围
[例 4] 当 0＜x≤12时，4x＜logax，则 a 的取值范围是(
)
A．(0，
2 2)
B．( 22，1)
C．(1， 2)
D．( 2，2)
|lgx|，0＜x≤10， (2)已知函数 f(x)＝－12x＋6，x＞10. 若 a，b，c 互不相
B．(－12，0]析] (1)根据函数有意义的条件建立不等式求解．要使 函数有意义，则 1－2log6x≥0⇒log6x≤12⇒0＜x≤ 6，所以原函 数定义域为(0， 6]．
(2)依题有02＜ x＋21x＋ ＞10＜ ，1
⇒ x－＞12－ ＜12x， ＜0
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精典专题系列第4讲 指数函数与对数函数一、导入：名叫抛弃的水池一个人得了难治之症，终日为疾病所苦。
为了能早日痊愈，他看过了不少医生，都不见效果。
他又听人说远处有一个小镇，镇上有一种包治百病的水，于是就急急忙忙赶过去，跳到水里去洗澡。
但洗过澡后，他的病不但没好，反而加重了。
这使他更加困苦不堪。
有一天晚上，他在梦里梦见一个精灵向他走来，很关切地询问他：“所有的方法你都试过了吗？” 他答道：“试过了。
” “不，”精灵摇头说，“过来，我带你去洗一种你从来没有洗过的澡。
” 精灵将这个人带到一个清澈的水池边对他说：“进水里泡一泡，你很快就会康复。
”说完，就不见了。
这病人跳进了水池，泡在水中。
等他从水中出来时，所有的病痛竟然真地消失了。
他欣喜若狂，猛地一抬头，发现水池旁的墙上写着“抛弃”两个字。
这时他也醒了，梦中的情景让他猛然醒悟：原来自己一直以来任意放纵，受害已深。
于是他就此发誓，要戒除一切恶习。
他履行自己的誓言，先是苦恼从他的心中消失，没过多久，他的身体也康复了。
大道理：抛弃是治疗百病的万灵之药，人之所以有很多难缠的情感，就是因为在大多数情况下，舍不得放弃。
把消极扔掉，让积极代替，就没有什么可抱怨的了。
二、知识点回顾：1．根式 (1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果 ，那么x 叫做a 的n 次方根n ＞1且n ∈N * 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个 ，负数的n 次方根是一个n a零的n 次方根是零 当n 是偶数时，正数的n 次方根有 ，这两个数互为±na(a>0)负数没有偶次方根(2)两个重要公式．①n a n ＝ ②(n a)n ＝ (注意a 必须使na 有意义)． 2. 幂的有关概念①正分数指数幂： ＝ (a ＞0，m 、n ∈N*，且n ＞1)；②负分数指数幂： ＝ ＝ (a ＞0，m 、n ∈N*，且n ＞1)． ③0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 ．y ＝ax a ＞1 0＜a ＜1图象DSE 金牌化学专题系列3．指数函数的图象与性质4．对数的概念 (1)对数的定义如果 ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数． (2)两种常见对数对数形式 特点记法 常用对数 底数为 lgx 自然对数底数为lnx5．对数的性质、换底公式与运算法则性质①loga1＝ ，②logaa ＝ ， ③ ＝ 。
换底公式logab ＝ (a ，b ，c 均大于零且不等于1)运算法则如果a>0，且a ≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(M ·N)＝ ， ②loga ＝ ， ③logaMn ＝nlogaM(n ∈R).定义域 R 值域(0，＋∞)y ＝ax a ＞1 0＜a ＜1性 质(1)过定点 (2)当x ＞0时， ；x ＜0时，(2)当x ＞0时， ；x ＜0时，(3)在R 上是 (3)在R 上是6.对数函数的定义、图象与性质定义函数 (a>0，且a≠1)叫做对数函数图象a>1 0<a<1性质(1)定义域：(2)值域：(3)当x＝1时，y＝0，即过定点(4)当0<x<1时，；当x>1时，(4)当0<x<1时，当x>1时，y∈y∈；(5)在(0，＋∞)上为(5)在(0，＋∞)上为7．反函数指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数 (a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线对称．三、专题训练：计算下列各式(1)133()2-×(－76)0＋148×42＋(32×3)6－232()3-；(2)a35b2·35b34a3；考点一有理指数幂的化简与求值(3)413322333824a a b a ab b-++÷(1－2 3b a)×3a.[自主解答](1)原式＝133()2-×1＋342-×142＋(132×123)6－133()2-＝2＋4×27＝110. (2) a 35b 2·35b 34a 3＝33212a-·321510b-＝54a＝a 4a.(3)令13a＝m ，13b＝n ，则原式＝m 4－8mn 3m 2＋2mn ＋4n 2÷(1－2nm )·m ＝m (m 3－8n 3)m 2＋2mn ＋4n 2·m 2m －2n＝m 3(m －2n )(m 2＋2mn ＋4n 2)(m 2＋2mn ＋4n 2)(m －2n )＝m 3＝a.变式训练：计算下列各式(1)138()125-－(－78)0＋[(－2)3]43-＋1643-＋|－1100|12；(2)9332aa-÷3a－73a 13；(3)(－338)23-＋(1500)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.解：(1)原式＝(25)－1－1＋(－2)－4＋2－3＋110＝52－1＋116＋18＋110＝14380. (2)原式＝936671366a aa a--＝973136666a+--＝a 0＝1.(3)(3)原式＝(－1)23-×(338)23-＋(1500)12-－105－2＋1 ＝(278)23-＋(500)12－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1 ＝－1679.画出函数y ＝|3x －1|的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？[自主解答] 函数y ＝|3x －1|的图象是 由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位 后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折 到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k<0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k<1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解．思考：保持条件不变，讨论函数y ＝|3x －1|的单调性.解：由例2所作图象可知，函数 y ＝|3x －1|在[0，＋∞)上为增函 数，在(－∞，0)上为减函数.变式训练：已知函数y ＝(13)|x ＋1|.(1)作出函数的图象(简图)； (2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x 取什么值时有最值，并求出最值． 解：(1)法一：由函数解析式可得 y ＝(13)|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧(13)x ＋1，x ≥－13x ＋1，x ＜－1.，考点二指数函数的图象其图象由两部分组成：一部分是：y ＝(13)x (x ≥0)―――→向左平移1个单位y ＝(13)x ＋1(x ≥－1)；另一部分是：y ＝3x(x ＜0)―――→向左平移1个单位y ＝3x ＋1(x ＜－1)． 如图所示：法二：①由y ＝(13)|x|可知函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，故先作出y ＝(13)x 的图象，保留x ≥0的部分，当x<0时，其图象是将y ＝(13)x (x ≥0)图象关于y 轴对折，从而得出y ＝(13)|x|的图象．②将y ＝(13)|x|向左移动1个单位，即可得y ＝(13)|x ＋1|的图象，如图所示．(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数． (3)由图象知当x ＝－1时，有最大值1，无最小值．已知函数f(x)＝2431()3ax x -+.(1)若a ＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a 的值；(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a 的取值范围． [自主解答] (1)当a ＝－1时，f(x)＝2431()3x x --+， 令g(x)＝－x 2－4x ＋3，考点三指数函数的性质由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减， 而y ＝(13)t 在R 上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 即函数f(x)的递增区间是(－2，＋∞)， 递减区间是(－∞，－2)．(2)令h(x)＝ax 2－4x ＋3，y ＝(13)h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a>012a －164a ＝－1，解得a ＝1 即当f(x)有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝(13)h(x)的值域为(0，＋∞)．应使h(x)＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能有a ＝0.因为若a ≠0，则h(x)为二次函数，其值域不可能为R.故a 的取值范围是a ＝0. 变式训练：已知g(x)＝－(14)x＋4(12)x＋5，求该函数的定义域、值域和单调区间．解：由g(x)＝－(14)x ＋4(12)x ＋5＝－(12)2x ＋4(12)x ＋5.∴函数的定义域为R ，令t ＝(12)x (t>0)．∴g(t)＝－t 2＋4t ＋5＝－(t －2)2＋9. ∵t>0，∴g(t)＝－(t －2)2＋9≤9， 等号成立条件是t ＝2，即g(x)≤9，等号成立条件是(12)x ＝2，即x ＝－1.∴g(x)的值域是(－∞，9]． 由g(t)＝－(t －2)2＋9(t>0)，而t ＝(12)x 是减函数，∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间． 求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间． ∵g(t)在(0,2]上递增， 在[2，＋∞)上递减， 由0<t ＝(12)x ≤2，可得x ≥－1，由t ＝(12)x ≥2，可得x ≤－1.∴g(x)在[－1，＋∞)上递减，在(－∞，－1]上递增．故g(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是[－1，＋∞)．【例4】(1)计算：lg5(lg8＋lg1 000)＋(3lg 2)2＋lg 16＋lg0.06；(2)化简：log 34273·log 5[21log 1024－23(33)－27log 7]；(3)已知：lgx ＋lgy ＝2lg(2x －3y)，求32log xy的值． [自主解答] (1)原式＝lg5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2 ＝3lg 5·lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2 ＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋(3lg 5)－2 ＝3(lg 2＋lg 5)－2＝1.(2)原式＝(log 3427－1)·log 5(10－3－2) ＝(34－1)log 55＝－14.(3)∵lgx ＋lgy ＝2lg(2x －3y) ∴xy ＝(2x －3y)2＝4x 2＋9y 2－12xy 即4x 2－13xy ＋9y 2＝0考点四 对数式的化简与求值∴(4x －9y)(x －y)＝0，即4x ＝9y ，x ＝y(舍去)， ∴32log x y＝32log94＝2.变式训练：计算：(1)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)；(2)15(lg32＋log 416＋6lg 12)＋15lg 15. 解：(1)原式＝(log 32＋12log 32)(12log 23＋13log 23)＝(log 32＋log 32)(log 23＋log 233) ＝log 322·log 2(3·33) ＝log 3322·log 2563 ＝32·log 32·56·log 23＝54.(2)原式＝15[lg32＋2＋lg(12)6＋lg 15]＝15[2＋lg(32×164×15)]＝15(2＋lg 110) ＝15[2＋(－1)]＝15.【例5】比较下列各组数的大小．(1)log 323与log 565；(2)log 1.10.7与log 1.20.7； (3)已知12log b<12log a< 12log c ，比较2b,2a,2c的大小关系．[自主解答] (1)∵log 323<log 31＝0，而log 565>log 51＝0，∴log 323<log 565.(2)法一：∵0<0.7<1,1.1<1.2，考点五对数值的大小比较∴0>log 0.71.1>log 0.71.2. ∴1log 0.71.1<1log 0.71.2， 由换底公式可得log 1.10.7<log 1.20.7.法二：作出y ＝log1.1x 与y ＝log1.2x 的图象，如图所示，两图象与x ＝0.7相交可知 log1.10.7<log1.20.7.(3)∵y ＝12log x 为减函数，且12log b<12log a<12log c ， ∴b>a>c.而y ＝2x 是增函数， ∴2b >2a >2c .变式训练：设a 、b 、c 均为正数，且2a＝12loga ，(12)b ＝12logb ，(12)c ＝log 2c ，则 ( )A ．a<b<cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．b<a<c解析：如图：∴a<b<c.【例6】已知f(x)＝log a x(a>0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[13，2]都有|f(x)|≤1成立，试求a 的取值范围．[自主解答] ∵f(x)＝log a x ，则y ＝|f(x)|的图象如右图．由图示，要使x ∈[13，2]时恒有|f(x)|≤1，只需|f(13)|≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ，亦当a>1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0<a<1时，得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是(0，13]∪[3，＋∞)．变式训练：(2010·山东潍坊二模)已知函数f(x)＝log2(x ＋1)，将y ＝f(x)的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝g(x)的图象． (1)求g(x)的定义域；(2)令F(x)＝f(x －1)－g(x)，求F(x)的最大值．解：(1)f(x)＝log 2(x ＋1)――――――――→向左平移1个单位 y ＝log 2(x ＋2)――――――→纵坐标伸长到原来的2倍y ＝2log 2(x ＋2)，考点六对数函数图象与性质的应用即g(x)＝2log 2(x ＋2)，∴x ＋2>0. ∴x>－2.∴定义域为(－2，＋∞)．(2)∵F(x)＝f(x －1)－g(x)＝log 2x －2log 2(x ＋2) ＝log 2x (x ＋2)2(x>0)＝log 2xx 2＋4x ＋4 ＝log 21x ＋4x＋4≤log 218＝－3， ∴当x ＝2时，F(x)max ＝－3.【例7】(2011·成都模拟)设f(x)＝12log1－axx －1为奇函数，a<0. (1)求a 的值；(2)若对于区间[3,4]上的每一个x 的值，不等式f(x)>(12)x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．[自主解答] (1)∵f(－x)＝－f(x)， ∴12log 1＋ax－1－x ＝－12log1－axx －1＝12log x －11－ax ，∴1＋ax －x －1＝x －11－ax ，即(1＋ax)(1－ax)＝－(x ＋1)(x －1)， ∴a ＝－1或a ＝1(舍去)．(2)由(1)可知f(x)＝12log x ＋1x －1＝12log (1＋2x －1)， ∵f(x)>(12)x ＋m 恒成立，x ∈[3,4]，∴m<f(x)－(12)x ，x ∈[3,4]．令g(x)＝f(x)－(12)x ＝12log (1＋2x －1)－(12)x ，x ∈[3,4]．考点七 与对数函数有关的综合问题∵函数f(x)＝12log (1＋2x －1)与y ＝－(12)x 在x ∈[3,4]上均为增函数，∴g(x)在[3,4]上为增函数，∴g(x)min ＝g(3)＝－98，∴m<－98.思考： 若f(x)的值域为[1，＋∞)，求x 的取值范围．解：由例题知， f(x)＝12log x ＋1x －1又∵f(x)的值域为[1，＋∞) ∴0<x ＋1x －1≤12∴－3≤x<－1.即x 的取值范围为[－3，－1)．变式训练：已知函数y ＝loga2(x2－2ax －3)在(－∞，－2)上是增函数，求a 的取值范围．解：因为μ(x)＝x 2－2ax －3在(－∞，a]上是减函数， 在[a ，＋∞)上是增函数，要使y ＝log a2(x 2－2ax －3)在(－∞，－2)上是增函数， 首先必有0<a 2<1，即0<a<1或－1<a<0，且有⎩⎪⎨⎪⎧μ(－2)≥0，a ≥－2，得a ≥－14.综上，得－14≤a<0或0<a<1.五、巩固练习：一、选择题1．(2011·济南模拟)定义运算a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝1⊗2x 的图象大致为( )解析：由a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )得f (x )＝1⊗2x＝⎩⎨⎧2x (x ≤0)，1 (x >0).答案：A2．(2010·辽宁高考)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20D ．100解析：a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，代入已知得log m 2＋log m 5＝2， 即log m 10＝2，所以m ＝10. 答案：A3．(2010·全国卷Ⅰ)设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝125-，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析：a ＝log 32＝ln 2ln 3＜ln 2＝b ，又c ＝125-＝15＜12，a ＝log 32＞log 33＝12，因此c ＜a ＜b .4．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图象如图所示，其中a ，b (a >0且a ≠1)为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是( )解析：由图可知，函数f (x )＝log a (x ＋b )是单调递减函数，所以0<a <1，又因为f (x )＝log a (x ＋b )的图象与x 轴的交点的横坐标在(0,1)内，所以0<b <1，根据上述参数a ，b 的特点，函数g (x )＝a x ＋b 的图象大致如B 项所示．答案：B5．(2011·石家庄模拟)已知函数f (x )＝log 2(a －2x )＋x －2，若f (x )＝0有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[2，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：法一：f (x )＝log 2(a －2x )＋x －2＝0，得a －2x ＝22－x ，即a －2x ＝42x ，令t ＝2x(t >0)，则t 2－at ＋4＝0在t ∈(0，＋∞)上有解，令g (t )＝t 2－at ＋4，g (0)＝4>0，故满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2>0，Δ＝a 2－16≥0，得a ≥4.法二：f (x )＝log 2(a －2x )＋x －2＝0，得a －2x ＝22－x ，a ＝2x ＋42x ≥4.二、填空题 6．2327－32log 2×log 218＋2lg(3＋5＋3－5)的结果为________．解析：原式＝9－3×(－3)＋lg(3＋5＋3－5)2＝18＋lg 10＝19.答案：197．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值是________．解析：当a >1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递增，故a 2－a ＝a 2，得a ＝32.当0<a <1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递减，故a －a 2＝a 2，得a ＝12.故a ＝12或32.8．若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．答案：[－1,1]三、解答题9．已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]． (1)求a 的值；(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围． 解：法一：(1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.(2)此时g (x )＝λ·2x －4x ， 设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立． 由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2， 所以实数λ的取值范围是λ≤2. 10．(1)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n的值；(2)已知2lg x －y 2＝lg x ＋lg y ，求xy的值． 解：(1)由log a 2＝m ，log a 3＝n 得a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝22×3＝12. (2)由已知得lg(x －y 2)2＝lg(xy )，∴(x －y 2)2＝xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0，∴(x y )2－6·x y ＋1＝0， ∴xy ＝3±2 2.∵⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，x >0，y >0，∴x y >1，从而xy ＝3＋22， xy ＝1＋ 2.六、拓展训练:1、(2010·安徽高考)设a ＝253()5，b ＝352()5，c ＝252()5，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a[规范解答] 构造指数函数y ＝(25)x (x ∈R)，由该函数在定义域内单调递减可得b ＜c ；又y ＝(25)x (x ∈R)与y ＝(35)x (x ∈R)之间有如下结论：当x ＞0时，有(35)x ＞(25)x ，故253()5＞252()5，∴a ＞c ，故a ＞c ＞b. 2、(2010·天津高考)设函数f(x)＝212log,0,log (),0.x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)[规范解答] 由题意可得2120log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或1220,log ()log a a a >⎧⎪⎨->⎪⎩ 解之得a>1或－1<a<0.七、反思总结：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1．(2011·桐乡模拟)函数y ＝ax ＋2012＋2012(a>0，a ≠1)的图象恒过定点________．解析：令x ＋2012＝0，则x ＝－2012，此时y ＝a0＋2012＝1＋2012＝2013 ∴恒过定点(－2012,2013)． 答案：(－2012,2013)2．若a>0，a ≠1，x>y>0，n ∈N ，则下列各式：①(log a x)n ＝nlog a x ；②(log a x)n ＝log a x n ； ③log a x ＝－log a 1x ；④nlog a x ＝1n log a x ；⑤log a x n ＝log a nx ；⑥log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋y x －y .其中正确的个数有 ( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个3．如图所示的曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y ＝ax ，y ＝bx ，y ＝cx ，y ＝dx 的图象，则a ，b ，c ，d 的大小关系是 ( )A ．a<b<1<c<dB ．a<b<1<d<cC ．b<a<1<c<dD ．b<a<1<d<c解析：由指数函数y ＝a x (a>0且a ≠1)的单调性及函数y ＝a x 与y ＝(1a )x 间的关系可知b<a<1<d<c.4．函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是( )A ．f (b x )≤f (c x )B ．f (b x )≥f (c x )C ．f (b x )>f (c x )D ．大小关系随x 的不同而不同 解析：∵f (1＋x )＝f (1－x )， ∴f (x )的对称轴为直线x ＝1， 由此得b ＝2. 又f (0)＝3，∴c ＝3.∴f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增． 若x ≥0，则3x ≥2x ≥1， ∴f (3x )≥f (2x )． 若x <0，则3x <2x <1， ∴f (3x )>f (2x )． ∴f (3x )≥f (2x )．5．设m 为常数，如果函数y ＝lg(mx 2－4x ＋m －3)的值域为R ，则m 的取值范围是________． 解析：因为函数值域为R ，所以mx 2－4x ＋m －3能取到所有大于0的数，即满足⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝(－4)2－4m (m －3)≥0或m ＝0.解得0≤m ≤4.答案：[0,4]6．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________.解析：∵3<2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23log 31()2+＝18×2log 31()2＝18×121log 31()2＝18×13＝124. 答案：124。