16.1(2)二次根式(2)
沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计1

沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计1一. 教材分析《二次根式》是沪科版数学八年级下册16.1章节的重点内容。
这部分内容主要介绍了二次根式的概念、性质和运算。
二次根式在数学中占有重要的地位,它不仅出现在代数、几何等领域,还与其他学科如物理、化学等有着密切的联系。
因此,掌握二次根式的相关知识对于学生来说至关重要。
二. 学情分析学生在学习二次根式之前,已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识,同时也具备了一定的代数运算能力。
然而,由于二次根式的概念和性质较为抽象,学生可能对其理解和运用存在一定的困难。
因此,在教学过程中,需要关注学生的认知水平,通过实例和练习引导学生理解和掌握二次根式的相关知识。
三. 教学目标1.知识与技能:使学生理解二次根式的概念,掌握二次根式的性质,学会进行二次根式的运算。
2.过程与方法:通过观察、分析、归纳等方法,引导学生自主探索二次根式的性质和运算规律。
3.情感态度与价值观:培养学生对数学的兴趣,提高学生解决问题的能力,培养学生的团队协作精神。
四. 教学重难点1.重点:二次根式的概念、性质和运算。
2.难点:二次根式的混合运算和运用。
五. 教学方法1.情境教学法:通过生活实例和数学故事引入二次根式的概念,激发学生的学习兴趣。
2.引导发现法:引导学生观察、分析、归纳二次根式的性质和运算规律。
3.合作学习法:学生进行小组讨论和合作,提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.课件:制作涵盖二次根式概念、性质和运算的课件。
2.练习题:准备适量的练习题,用于巩固所学知识。
3.教学工具:准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入(5分钟)利用生活实例或数学故事引入二次根式的概念,激发学生的学习兴趣。
如:讲解电梯上升和下降的原理,引出二次根式的概念。
2.呈现(10分钟)展示课件,讲解二次根式的概念、性质和运算。
通过PPT中的图片、动画等手段,让学生直观地理解二次根式的相关知识。
2014年新人教版八年级下16.1二次根式(2)

4 2
2
= 4 = 2
1 3 =
2
1 3
2
0
2
2
=
0
一般地,
a
a(a 0)
例2:计算
2
1.5 =1.5 解: ab (2) 2 5 ; 积的乘方运算性质: 解: 2 5 =2 5 =4 ( 1) 3 2 2 3 (2) 2 11 3 5
2、在实数范围内进行因式分解: (1)x -5
2
(2)2a -6
2
3、 (1)已知 18 n是整数,求自然数n的 所有可能的值。
(2)已知 24n是整数,求正整数n的最小值。
2 (4)把5 根号外的因数移到根号里边。 5 2 2 2 2 2 2 解: 5 =5 = 5 = 5 = 10 5 5 5 5 依据上面的例子,将根号外的因数移 到根号里边。 1 (1) 3 3 (2)-2 2
16.1
二次根式(2)
一、知识回顾 1、二次根式的定义: 一般地,代数式形如 a (a 0 ) 的 式子做叫二次根式。 2、二次根式的性质:
a (a 0)是一个非负数,即 a 0.
3、算术平方根的定义: 若对于正数x有x2=a,则x叫做a的 算术平方根,记作 a
二、探究(1):
根据算术平方根的意义填空:
2 2 2 2 2
(1) 1.5 ;
2
a b
2 2
练习:(1) 3
2
(2)3 2
2
(3) 5
2
2 (4) 0.2 (5) 7
2
2
(6)5 5
【人教版八年级下册】《16.1二次根式(第2课时)》教案教学设计

16.1二次根式第2课时一、教学目标【知识与技能】1.理解(G)2="(α20)和后二α(α20),并利用它们进行计算和化简.2,用具体数据结合算术平方根的意义推出(√Ξ)QNo)和探究后二〃(。
20),会用这个结论解决具体问题.3,了解代数式的概念.【过程与方法】在明确(√S)2=a(420)和后二〃(〃20)的算理的过程中,感受数学的实用性.【情感态度与价值观】通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力.二、课型新授课三、课时第2课时共2课时四、教学重难点【教学重点】掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.【教学难点】能运用二次根式的性质化简.五、课前准备教师:课件、三角尺、直尺等.学生:三角尺、铅笔、练习本.六、教学过程(一)导入新课(出示课件2-3)观察课件中所列数字的进出情况,想一想你发现了什么?(一)探索新知1.探究(VH)2的性质(出示课件5-7)教师问:什么叫做一个数的平方根?如何表示?学生答:一般地,若一个数的平方等于m则这个数就叫做。
的平方根.〃的平方根是士4教师问:什么是一个数的算术平方根?如何表示?学生答:若一个正数的平方等于公则这个数就叫做。
的算术平方根.用GQNO)表示.教师问:请同学们完成下面的题目:(出示课件6)教师依次出示问题:填空:(M)2=( ),(√i)2=( )φz=(),(励=()学生1答:(")M.学生2答:(√5)2=2.r学生3答:(八)M.学生4答:(√δ)2=0.教师问:通过(1)的计算,你能确定(√Ξ)2(〃20)的化简结果吗?说说你的理由.师生一起解答:〃是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,√5是一个平方等于4的非负数,因此有(√ξ)2=4.同理,√2,G VU分别是2,*0的算术平方根.因此(加)2二2,(J)2=∣,(√0)2=0教师总结:(出示课件8)(迎)2(α≥0)的性质:一般地,(JΞ)~=a(a20).即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.教师强调:不要忽略心0这一限制条件.这是使二次根式G有意义的前提条件.考点1:利用(√Ξ)2U≥0)的性质进行计算计算:(出示课件9)⑴(√L5)2,⑵(2√5)2.师生共同讨论解答如下:解:⑴(√L5)2=1.5;(2)(2√5)⅛2×(√5)MX5=20出示课件10,学生自主练习,教师给出答案。
16.1 二次根式(第二课时)

2
2
2
2
2
0.1 0.1
2
2 2 3 3
0
2
0
观察上述等式的两边,你能得到什么启示?
二次根式的性质3:
a a
2
2、计算:
(a≥0)
2 ( 2) 3
2
(1) 0.8
4 ( 3) 5
2
2
(4) 7
2
3、计算:
1
人教版八年级上册
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
二次根式的性质1:
非负数的算术平方根仍然是非 负数。
a≥0,
a ≥0 (双重非负性)
例1:已知
a 2 3b 9 (4 c) 0 ,
2
求2a-b+c的值。
解:∵ a+2 ≥0、|3b-9|≥0、(4-c) 2≥0, 又∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴2a-b+c=2×(-2) -3+4 = -3。
2
a≥0,
a ≥0
(a≥0) (a≥0)
(双重非负性)
a a
2
1 2
2
2
2 1
2 x 1
2
x 1
2
3
x 2 xy y y x
yx
4、数a在数轴上的位置如图,则
a a _____ .
2
a
-2 -1 0 1
5、实数p在数轴上的位置如图所示,化简
(1 p)
2020届人教版八年级数学下册 16.1二次根式(2)同步练习(含解析)

16.1 二次根式(2)同步练习姓名:__________班级:__________学号:__________本节应掌握和应用的知识点 1.二次根式的性质及应用 (1))2=a( a≥0 ),反过来可得到a =)2(a≥0).(2)=|a|= ,2.用基本的运算符号将数或表示数的字母连接起来的式子,叫做代数式 基础知识和能力拓展训练 一、选择题 1()23-的结果是()A.9B.3C.-3D.±3 238() 2436322316( ) A.8B.﹣8C.﹣4D.44.下列运算正确的是( )163-8﹣2(-2)﹣19+4=3+125.下列式子正确的是()2(9)9-=-255=±2(1)1-= D.2(2)2-=-6.化简(1-x 11x - ) 1x --1x -1x -1x -7.在数轴上实数a ,b 的位置如上图所示,化简|a+b|+2a-b ()的结果是( )A.﹣2a ﹣bB.﹣2a+bC.﹣2bD.﹣2a8.若5n +是整数,则正整数n 的最小值是( ) A.2B.3C.4D.59.实数32-的绝对值是( ) A.32- B.23- C.32+ D.1 10.若()424A a =+,则A =()A.24a + B.22a + C.()222a + D.()224a + 二、填空题 11.若a <1,化简()211a --=_________.12.已知xy <0,化简二次根式x 2yx -的正确结果为 . 13.能够说明“2x =x 不成立”的x 的值是__(写出一个即可). 14.当__________x 时,()21x -是二次根式.15.化简:a= .16.()22130,a b c a b c ++-+-=++=则_______________。
三、解答题 17.计算:18.阅读下面的文字后,回答问题.小军和小红在解答题目“先化简,再求值:a +,其中a =9”时给出了不同的解答,你知道小军和小红的解答谁的是错误的吗?错在哪里?19.已知实数在数轴上如图,化简()22a ab ac b c -++-+-的值20.(1)当15a =,求211a a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值.(2)当0<x<3时,化简()()223211x x x --+++.21.计算:= ,= ,= ,= ,= ,(1)根据计算结果,回答:一定等于a 吗?你发现其中的规律了吗?请你用自己的语言描述出来.(2)利用你总结的规律,计算:.22.阅读材料:小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如:3+2=(1+)2,善于思考的小明进行了以下探索: 设a +b=(m +n)2(其中a 、b 、m 、n 均为整数),则有a +b=m 2+2n 2+2mn.∴a =m 2+2n 2,b =2mn .这样小明就找到了一种把部分a +b 的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题: (1)当a 、b 、m 、n 均为正整数时,若a +b =(m +n)2,用含m 、n 的式子分别表示a 、b ,得a =________,b =________; (2)试着把7+4化成一个完全平方式.(3)请化简:.23.选取二次三项式()20ax bx c a ++≠中的两项,配成完全平方式的过程叫配方.例如:①选取二次项和一次项配方:()224925x x x -+=-+;②选取二次项和常数项配方:()224932x x x x -+=-+,或()2249310x x x x -+=+-③选取一次项和常数项配方:2222549339x x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭根据上述材料,解决下面问题:(1)写出2616x x ++的两种不同形式的配方;(2)已知2245-4-840x y xy y ++=,求参考答案 1.B3==,故选B .2.C=故选:C.点睛:此题主要考查了二次根式的化简,解题关键是明确最简二次根式的条件,被开方数中不含有开方开不尽的数,分母中不含有二次根号,根号中不含有分母. 3.D4=,故选D. 4.B【解析】试题解析:=4,故原选项错误;﹣2,故该选项正确;,故原选项错误;,故原选项错误. 故选B. 5.C【解析】9=,故A 选项错误;5=,故B 选项错误;1=,正确;D.2(2=,故D 选项错误,故选C. 6.B【解析】解:(1﹣x B . 点睛:此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确得出二次根式整体的符号是解题关键.7.D【解析】如图所示:可得,a+b<0,a −b<0, 故原式=−(a+b)−(a −b)=−2a. 故选:D.点睛:此题考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴,正确得出各项符号是解题的关键. 8.Cn 为正整数,∴n ≥0,∴n+5≥5,5+n 为9,16等等,即n 的值为4,11等等,∴正整数n 的最小值是4,故选C .点睛:本题考查了二次根式的定义和性质,注意:n 是正整数可以得出n ≥0,n +5是一个完全平方数. 9.B【解析】2|2=选B. 10.A【解析】()224A a ==+24a ==+.故选A .11.-a【解析】∵a <1, ∴a -1<0,1=-(a -1)-1=-a +1-1=-a12.【解析】∵xy <0, ∴y <0,x >0,∴原式.. 13.-1x =,∴x x =不成立,则x ≤0.故答案不唯一,只要x ≤0即可,如:-1.故答案为:答案不唯一,只要x ≤0即可,如:-1. 14.为任意实数【解析】解:﹙1-x ﹚2是恒大于等于0的,不论x 的取值,都恒大于等于0,所以x 为任意实数.故答案为:为任意实数. 15.-a -【解析】试题解析:由题意可得:0.a <211.a a a a a ⎛⎫∴-=-⨯-=-- ⎪⎝⎭故答案为:.a -- 16.2【解析】试题分析:几个非负数的和为零,则每一个非负数都为零.根据题意可得:a+2=0,b-1=0,3-c=0,解得:a=-2,b=1,c=3,则a+b+c=-2+1+3=2.点睛:本题主要考查的就是非负数的性质的应用,几个非负数的和为零,则每一个非负数都是零.在初中阶段我们所学的运算结果为非负数有以下几种:①、平方;②、绝对值;③、算术平方根.非负数性质的应用我们也经常会运用在判定三角形形状的题目中,我们都会采用完全平方公式进行配方转化为非负数的和的形式,然后进行解答.17.(1)解:原式=4-3+3×-6=-4(2)解:原式=×5-×-4=118. 解:小军的解答错误. ∵a =9,1-a <0, ∴=a -119.2c-a.【解析】试题分析:由图可知:0b a c <<<,从而可得:000a b a c b c +<-<-<,,,然后根据“绝对值的意义”化简即可. 试题解析:∵从数轴可知:0b a c <<<,∴000a b a c b c +<-<-<,,, ∴()22a ab ac b c -++-+-=()()()a a b a c b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---++--+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ =a a b c a c b -+++-+- =2c a -.点睛:解这类时,首先要从数轴上获取所涉及的数的大小和正、负信息;若绝对值符号里(或被开方数中)涉及到异号两数和的还要从数轴上获取两数绝对值的大小关系;然后根据所获取的信息确定好绝对值符号里各个式子的符号,再根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号化简. 20.(1)495; (2)-2x+3.【解析】试题分析:(1)先根据二次根式的性质进行化简,然后再代入求值即可; (2)根据二次根式的性质得出|x-3|-|2x+1|+|x+1|,去掉绝对值符号,合并即可. 试题解析:(1)当15a =时,11454055a a -=-=>. 所以21111112a a a a a a a a a a a ⎛⎫+-=+-=+-=- ⎪⎝⎭.当15a =时,原式=1449109555-==. (2)当0<x<3时,x-3<0,2x+1>0,x+1>0,()()223211x x x --+++=|x-3|-|2x+1|+|x+1| =-(x-3)-(2x+1)+(x+1) =-2x+3.21.3;0.7;0;6;,(1)|a|(2)-3.14 【解析】原式各项计算得到结果;(1)不一定等于a ,=|a|;(2)原式利用得出规律计算即可得到结果.解:=3,=0.7,=0,=6,=,(1)=|a|;(2)原式=|3.14-π|=π-3.14.故答案为:3;0.7;0;6;.“点睛”此题考查了算术平方根,熟练掌握二次根式的性质是解本题的关键. 22.(1)m 2+3n 2;2mn ;(2)(2+)2;(3)3+【解析】试题分析:(1)利用已知直接去括号进而得出a ,b 的值; (2)直接利用完全平方公式,变形得出答案; (3)直接利用完全平方公式,变形化简即可. 试题解析: (1)∵a+b =(m+n)2,∴a+b=(m+n)2=m 2+3n 2+2mn ,∴a=m 2+3n 2,b=2mn ; 故答案为:m 2+3n 2;2mn ; (2)7+4=(2+)2;故答案为:(2+)2; (3)∵12+6=(3+)2,∴==3+.【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确利用完全平方公式化简是解题关键.23.(1)23)7x ++((22【解析】试题分析:(1)根据配方法的步骤根据二次项系数为1,常数项是一次项系数的一半的平方进行配方和二次项和常数项在一起进行配方即可.(2)根据配方法的步骤把2245-4-840x y xy y ++=变形为()222)410x y y -+-=(,再根据2x-y=0,y-1=0,求出x ,y 化简后代入求值即可. (1)答案不唯一.如23)7x ++(,24)2x x +-(,()2414x x -+,22374416x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. (2)∵2245-4-840x y xy y ++=,∴()222)410x y y -+-=(.∴1,12x y ==.∴. 点睛:本题考查了配方法的应用,根据配方法的步骤和完全平方公式:a 2±2ab+b 2=(a±b)2进行配方是解题的关键,是一道基础题.。
16.1 二次根式2 自学提纲

二次根式(2)学习目标:1、掌握二次根式的基本性质:a a =2,2、能利用上述性质对二次根式进行化简.教学重难点:重点:二次根式的性质a a =2.难点:综合运用性质a a =2进行化简和计算。
自学过程:(一)回忆引入:(1)什么是二次根式,它有哪些性质?(2)二次根式52-x 有意义,则x 。
(3)在实数范围内因式分解:-=-226x x ( )2=(x + )(y - ) (二)自主学习 1、计算:24 =22.0=2)54( =220 观察其结果与根号内幂底数的关系, 归纳得到:当=>2,0a a 时2、计算:=-2)4( =-2)2.0(=-2)54( =-2)20( 观察其结果与根号内幂底数的关系, 归纳得到:当=<2,0a a 时 3、计算:=20 当==2,0a a 时 (三)合作探究:1、归纳总结将上面做题过程中得到的结论综合起来,得到二次根式的又一条非常重要的性质:⎪⎩⎪⎨⎧<->==00002a a a aa a2、化简下列各式:(1)、=23.0 (2)、=-2)5.0((3)、=-2)6( (4)、()22a = (0<a )3、请大家思考、讨论二次根式的性质)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系。
(四)自我巩固 1、化简下列各式(1))0(42≥x x (2) 4x2、化简下列各式(1))3()3(2≥-a a(2)()232+x (x <-2)注:利用a a =2可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来,达到化简的目的,进行化简的关键是准确确定“a ”的取值。
(五)自我检查: 1、填空:(1)、2)12(-x -2)32(-x )2(≥x =_________.(2)、2)4(-π= (3)a 、b 、c 为三角形的三条边,则=--+-+c a b c b a 2)(________.2、已知2<x <3,化简:3)2(2-+-x x(六)拓展提升: 1. 已知0<x <1, 化简:4)1(2+-x x -4)1(2-+xx2. 边长为a 的正方形桌面,正中间有一个边长为3a 的正方形方孔.若沿图中虚线锯开,可以拼成一个新的正方形桌面.你会拼吗?试求出新的正方形边长.3.把()212--x x 的根号外的()x -2适当变形后移入根号内,得( ) A 、x -2 B 、2-x C 、x --2 D 、2--x4. 26x -+ 化简│x -4│-│7-x │。
人教版数学八年级下册16.1《二次根式的性质》(第2课时)说课稿

人教版数学八年级下册16.1《二次根式的性质》(第2课时)说课稿一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1《二次根式的性质》(第2课时)是在学生已经掌握了二次根式的概念、性质和运算法则的基础上进行的一节内容。
本节课的主要内容是进一步探讨二次根式的性质,包括二次根式的乘除运算、合并同类二次根式等。
通过本节课的学习,使学生能够灵活运用二次根式的性质进行各种运算,提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析在进入本节课的学习之前,学生已经对二次根式有了初步的认识和了解,能够进行一些基本的二次根式运算。
但是,对于一些复杂的二次根式运算,学生可能还存在一定的困难。
因此,在教学过程中,教师需要针对学生的实际情况,采取有效的教学方法,引导学生逐步掌握二次根式的性质,提高他们的运算能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标:使学生掌握二次根式的性质,能够熟练地进行二次根式的乘除运算和合并同类二次根式。
2.过程与方法目标:通过观察、分析、归纳等方法,引导学生自主探索二次根式的性质,培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标:激发学生学习数学的兴趣,培养他们克服困难的勇气和自信心,培养他们的团队协作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点:使学生掌握二次根式的性质,能够进行二次根式的乘除运算和合并同类二次根式。
2.教学难点:二次根式的乘除运算和合并同类二次根式的方法。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中,我将采用自主探索、合作交流的教学方法,引导学生通过观察、分析、归纳等方法自主学习二次根式的性质。
同时,利用多媒体教学手段,展示二次根式的运算过程,帮助学生更好地理解和掌握二次根式的性质。
六. 说教学过程1.导入:通过复习二次根式的概念和性质,为学生进入本节课的学习做好铺垫。
2.自主探索:引导学生观察、分析、归纳二次根式的性质,使学生能够自主掌握二次根式的性质。
3.合作交流:学生进行小组讨论,分享他们在自主探索过程中得到的二次根式的性质,培养学生团队协作精神。
沪科版八年级数学上册课件:16.1《二次根式》(第2课时)

形如:5,a, a b, ab, s , x2, 3, a (a≥ 0)
t 的式子,它们都是用基本运算符号(基本 运算包括加、减、乘、除、乘方和开方) 把数和表示数的字母连接起来的式子,
我们称这样的式子为 代 数 式 .
化简下列各式:
(1)(3 2)2 (2 3)2 (2) (5)2 ( 5)2 (3) m2 16m 64(m 8) (4) a2b2 (a 0,b 0)
a2 a(a 0).
化简: (1) 16
(2) (5)2
解:(1) 16 42 4
(2) (5)2 52 5
a (a≥0)
a2 a -a (a≤0)
计算:
2
2
8 8 3 3
2
2 3 12
2
3
2 3
6
这里用到了(ab)2 a2b2这个结论
计算: ( 10 )2 (3 3)2 解: ( 10 )2 (3 3)2
10 (3)2 ( 3)2 10 27 17
22 2
0.12 0.1
2 2
2
3 3
02 0
一般地,根据算术平方根的意义,
2 a a≥0
a2
a2 先平方,后开方
a取任何实数
3.从运算结果来看:
2 a
=a
(a≥ 0)
a2 a (a取任何实数)
1.若 a2 ( a)2,则a的取值范围是( )
A.a≥0 C.a≤0
B.a≠0 D.a为任意数
2.计算:
(1)( 3)2
(2) (3)2
(3) ( x 1)2 (4) (x 1)2
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课题:16.1二次根式(2)
【学习目标】掌握二次根式的性质3、4,会根据二次根式的性质化简二次根式.
【重点难点】根据二次根式的性质化简二次根式.
【导学提纲】
探索活动
问题一算一算
(1)4×9=____,9
4⨯=_____;(2)16×25=____,25
16⨯=_____;(3
=________;(4
通过计算你能发现什么?
得出性质: . 问题二(1)你能发现发现18与2
3有什么样的数量关系吗?为什么?
(2)
8
3
与
4
6
呢?为什么?
得出结论:
【例题讲解】
例3:化简二次根式:
(1)72(2)3
12a(3))0
(
182≥
x
x
例4:化简二次根式:
(1)
3
a
(2)
x2
5
(3))0
(
9
2
>
b
a
b
【当堂反馈】
1. 完成书本P4练习16.1(2)1.
2.3
2. 化简:
(1;(23)c
b
a3
2
25(45
1
2
【盘点收获】
【课堂反馈】
1、判断下列各式是否正确并说明理由。
(1))9()4(-⨯-=94-⨯- (2)3
23b a =ab b 3
2.二次根式6)2(2⨯-的计算结果是( ) A .26 B .-26 C .6 D .12
3.化简:
(1)4925⨯ (2)54 (3)2212b a (4
【拓展提高】
1.如m ≥0,n <0,那么化简 = .
2.化简: (1)
(y <0) (2)
(x ≥0)
【迁移创新】
1.化简: |1-x|+
2.化简 :a
【课后作业】
数学练习册对应部分。