空间点、直线、平面的位置关系练习题2
空间点、直线、平面之间的位置关系(习题及答案)
空间点、直线、平面之间的位置关系（习题）1.判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”（1）有三个公共点的两个平面必重合．（）（2）空间中两条平行直线确定一个平面．（）（3）空间两两相交的三条直线确定一个平面．（）（4）三角形是平面图形．（）（5）平行四边形、梯形、四边形都是平面图形．（）（6）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（）（7）垂直于同一直线的两直线平行．（）（8）一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交．（）2.已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列理解错误的是（）A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β=直线MNC．M∈α，M∈β，α∩β=l⇒M∈lD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合3.l1，l2，l3是空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面4.已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，有下列命题：①若a∥c，b∥c，则a∥b；②若a∥β，b∥β，则a∥b；③若a∥c，c∥α，则a∥α；④若a∥β，a∥α，则α∥β．其中正确的是（）A．①②B．①C．②④D．③④5.如图，在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ=2，QR=5，PR=3，则异面直线AC和BD 所成的角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°第5题图第6题图6.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1两个面上成异面关系的两条对角线所成的角为（）A．60°B．90°C．60°或90°D．30°7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=4，AD=2，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则直线A1E，FG所夹的角为_______．8.将正方体的纸盒展开（如图），则直线AB，CD在原正方体中所成的角为________．9.如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AC=BD=a，且AC与BD所成的角为60°，则四边形EFGH的面积是________．10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：四边形BFD1E是平行四边形．11.如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，求：（1）AA′和C′D′所成角的大小；（2）AA′和B′C所成角的大小；（3）A′B和B′C所成角的大小．12.如图，△ABC在平面α外，直线AB∩平面α=P，直线AC∩平面α=Q，直线BC∩平面α=R，求证：P，Q，R三点共线．【参考答案】1.×√×√××××2.B3.B4.B5.A6.C7.90°8.60°9.238a 10.略11.（1）90°；（2）45°；（3）60°12.略。
立体几何第二章空间点线面的位置关系单元测试题(含详细答案解析)
第二章综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为错误!（）A．5B．4C．9D．1［答案] D[解析］由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．2．教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线错误!（)A．平行B．垂直C．相交D．异面[答案] B[解析］当直尺垂直于地面时，A不对;当直尺平行于地面时,C不对；当直尺位于地面上时，D不对．3．已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题正确的是错误!(）A．若α、β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m、n平行于同一平面，则m与n平行C．若α、β不平行．．．与β平行的直线．．．,则在α内不存在D．若m、n不平行．．．垂直于同一平面．．．，则m与n不可能[答案］ D［解析]A项，α、β可能相交，故错误；B项，直线m、n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面,故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n,m∥n，则m∥β，故错误;D项，假设m、n垂直于同一平面,则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．4．已知α、β是两个平面,直线l⊄α，l⊄β,若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件,另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有错误!（)A．①③⇒②；①②⇒③B．①③⇒②；②③⇒①C．①②⇒③；②③⇒①D．①③⇒②；①②⇒③;②③⇒①［答案] A［解析]因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α，又因为l⊥α,所以l∥m.又因为l⊄β，所以l∥β,即①③⇒②；因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n，又因为l⊥α，所以n⊥α，又因为n⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③.5．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，若过C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H一定在导学号 92180601（)A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC的内部[答案] B[解析］∵∠BAC＝90°,∴BA⊥AC．又∵BC1⊥AC,∴AC⊥平面ABC1，∴平面ABC⊥平面ABC1.∵平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴C1在面ABC上的射影在直线AB上．6．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有错误!（) A．1条B．2条C．3条D．4条[答案] B［解析］如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线,当∠ABC＝∠ACB＝30°且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件，故选B．7．（2016·浙江文）已知互相垂直的平面α、β交于直线l.若直线m、n满足m∥α，n⊥β，则错误!(）A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n[答案］ C[解析]选项A，只有当m∥β或m⊂β时,m∥l；选项B,只有当m⊥β时,m∥n；选项C,由于l⊂β,∴n⊥l；选项D，只有当m∥β或m⊂β时，m⊥n,故选C．8．（2016·南安一中高一检测)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱BC 和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成的角为错误!（）A．30°B．45°C．60°D．90°[答案] C[解析］如图，连接A1C1、BC1、A1B．∵M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，∴MN∥BC1。
《 空间点、直线、平面之间的位置关系》试题(新人教必修2).
第1题. 下列命题正确的是（ ） Ａ．经过三点确定一个平面Ｂ．经过一条直线和一个点确定一个平面 Ｃ．四边形确定一个平面Ｄ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面答案：Ｄ．第2题. 如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别 是AB ，BC ，CD ，DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形．答案：证明：连接BD ．因为EH 是ABD △的中位线，所以EH BD ∥，且． 同理，FG BD ∥，且BD ．因为EH FG ∥，且EH FG =． 所以四边形EFGH 为平行四边形．试题号：4658 知识点：空间平行线的传递性——公理4。
试题类型：解答题 试题难度：容易 考查目标：基础知识 录入时间：2006-1-6第3题. 如图，已知长方体ABCD A BC D ''''-中，AB =AD =2AA '=． （１）BC 和A C ''所成的角是多少度？ （２）AA '和BC '所成的角是多少度？AE BHGCFD答案：（１）45þ；（２）60þ．第4题. 下列命题中正确的个数是（）①若直线l上有无数个点不在平面α内，则lα∥．②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行．③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．A．0Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3答案：Ｂ．⊄，则下列结论成立的是（）第5题. 若直线a不平行于平面α，且aαＡ．α内的所有直线与a异面Ｂ．α内不存在与a平行的直线Ｃ．α内存在唯一的直线与a平行Ｄ．α内的直线与a都相交答案：Ｂ．∥，且a与c的夹角为θ，那么b与c夹角第6题. 已知a，b，c是三条直线，角a b为．答案：θ．第7题. 如图，AA'是长方体的一条棱，这个长方体中与AA'垂直的棱共条．答案：8条．第8题. 如果a，b是异面直线，直线c与a，b都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有个．答案：2个．∥则b与α的位置关系是．第9题. 已知两条相交直线a，b，aα平面∥，或b与a相交．答案：b a第10题. 如图，三条直线两两平行且不共面，每两条确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？答案：3个，3个．第11题. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行．②CN与BE是异面直线．③CN 与BM 成60˚角． ④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（ ） Ａ．①，②，③Ｂ．②，④ Ｃ．③，④Ｄ．②，③，④答案：Ｃ．第12题. 下列命题中，正确的个数为（ ）①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；②平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变；③过空间四边形ABCD 的顶点A 引CD 的平行线段AE ，则BAE ∠是异面直线AB 与CD 所成的角；④四边相等，且四个角也相等的四边形是正方形 Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ｂ．第13题. 在空间四边形ABCD 中，N ，M 分别是BC ，AD 的中点，则2MN 与AB CD +的大小关系是 ． 答案：2MN AB CD <+．第14题. 已知a b ，是一对异面直线，且a b ，成70角，P 为空间一定点，则在过P 点的直线中与a b ，所成的角都为70的直线有 条．答案：4．第15题. 已知平面αβ//，P 是平面αβ，外的一点，过点P 的直线m 与平面αβ，分别交于A C ，两点，过点P 的直线n 与平面αβ，分别交于B D ，两点，若698PA AC PD ===，，， 则BD 的长为 ．答案：24245或．第16题. 空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为90，则四边形EFGH 的面积是 ． 答案：214a ．第17题. 已知正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11D C ，11C B 的中点，AC BD P = ，11AC EF Q = ．求证：（１）D ，B ，F ，E 四点共面；（２）若1AC 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线． 答案：证明：如图．（１）EF 是111D B C △的中位线，11EF B D ∴∥． 在正方体1AC 中，11B D BD ∥，∴EF BD ∥．EF ∴确定一个平面，即D ，B ，F ，E 四点共面．（２）正方体1AC 中，设11A ACC 确定的平面为α，又设平面BDEF 为β．11Q AC ∈ ，Q α∴∈．又Q EF ∈，Q β∴∈．则Q 是α与β的公共点，PQ αβ∴= ． 又1AC R β= ，1R AC ∴∈． R α∴∈，R β∈且，则R PQ ∈．故P ，Q ，R 三点共线．第18题. 已知下列四个命题： ① 很平的桌面是一个平面； ② 一个平面的面积可以是4m 2； ③ 平面是矩形或平行四边形；④ 两个平面叠在一起比一个平面厚． 其中正确的命题有（ ） Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个 答案：Ａ．第19题. 给出下列命题：和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内； 三条两两相交的直线在同一平面内； 有三个不同公共点的两个平面重合； 两两平行的三条直线确定三个平面． 其中正确命题的个数是（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ａ．第20题. 直线12l l ∥，在1l 上取3点，2l 上取2点，由这5点能确定的平面有（ ）Ａ．9个 Ｂ．6个 Ｃ．3个 Ｄ．1个 答案：Ｄ．第21题. 三条直线相交于一点，可能确定的平面有（ ） Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．1个或3个 答案：Ｄ．第22题. 下列命题中，不正确的是（ ）①一条直线和两条平行直线都相交，那么这三条直线共面； ②每两条都相交但不共点的四条直线一定共面； ③两条相交直线上的三个点确定一个平面； ④两条互相垂直的直线共面． Ａ．①与② Ｂ．③与④ Ｃ．①与③ Ｄ．②与④ 答案：Ｂ．第23题. 分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（ ） Ａ．异面直线 Ｂ．相交直线 Ｃ．不相交直线 Ｄ．不平行直线答案：Ｄ．第24题. 在长方体1111ABCD A B C D 中，点O ，1O 分别是四边形ABCD ，1111A B C D 的对角线的交点，点E ，F 分别是四边形11AA D D ，11BB C C 的对角线的交点，点G ，H 分别是四边形11A ABB ，11C CDD 的对角线的交点． 求证：1OEG O FH △≌△．答案：证明：如图，连结1AD ，AC ，1CD ，11C A ，1C B ，1BA由三角形中位线定理可知OE ∥ 112CD ，1O F ∥112BA ． 又1BA ∥1CD ，OE ∴ ∥1O F ．同理可证EG ∥FH ． 由等角定理可得1OEG O FH ∠=∠．∴1OEG O FH △≌△．第25题. 若a ，b 是异面直线，b ，c 也是异面直线，则a 与c 的位置关系是（ ） Ａ．异面 Ｂ．相交或平行 Ｃ．平行或异面 Ｄ．相交或平行或异面 答案：Ｄ．第26题. a ，b 是异面直线，A ，B 是a 上两点，C ，D 是b 上的两点，M ，N 分别是线段AC 和BD 的中点，则MN 和a 的位置关系是（ ） Ａ．异面直线 Ｂ．平行直线 Ｃ．相交直线 Ｄ．平行、相交或异面 答案：Ａ．第27题. 如下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中 ①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60þ角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）Ａ．①②③ Ｂ．②④ Ｃ．③④ Ｄ．②③④答案：Ｃ．第28题. 直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（ ） Ａ．一条直线不相交Ｂ．两条直线不相交Ｃ．任意一条直线不相交Ｄ．无数条直线不相交答案：Ｃ．第29题. 如果直线a平行于平面α，则（）Ａ．平面α内有且只有一直线与a平行Ｂ．平面α内有无数条直线与a平行Ｃ．平面α内不存在与a平行的直线Ｄ．平面α内的任意直线与直线a都平行答案：Ｂ．第30题. 已知直线的倾斜角为α，若3sin5α=，则此直线的斜率为（）Ｃ．34±Ｄ．43±。
空间点,直线,平面的位置关系试题(含答案)2
空间角和距离一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线m 与平面α间距离为d ，那么到m 与α距离都等于2d 的点的集合是（ ）A ．一个平面B ．一条直线C ．两条直线D ．空集 2．异面直线a 、b 所成的角为θ，a 、b 与平面α都平行，b ⊥平面β，则直线a与平面β所成的角（ ）A ．与θ相等B ．与θ互余C ．与θ互补 D ．与θ不能相等．3．在正方体ABCD —A 'B 'C 'D '中，BC '与截面BB 'D 'D 所成的角为（ ） A ．3πB ．4π C ．6πD ．arctan24．在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D是EF 的中点，现在沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S －EFG中必有（ ）A ．SG ⊥△EFG 所在平面B ．SD ⊥△EFG 所在平面C ．GF ⊥△SEF 所在平面D ．GD ⊥△SEF 所在平面 5．有一山坡，它的倾斜角为30°，山坡上有一条小路与斜坡底线成45°角，某人沿这条小路向上走了200米，则他升高了（ ）A ．1002米 B ．502米 C ．256米D ．506米6．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小为 （ ）A ．arccos33 B ．arccos 31 C ．2π D ．32π7．正四面体A —BCD 中E 、F 分别是棱BC 和AD 之中点，则EF 和AB 所成的角 （ ） A ．45︒ B ．60︒ C．90︒D ．30︒8．把∠A =60°，边长为a 的菱形ABCD 沿对角线BD 折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离为（ ）A ．43aB ．43 a C ．23 aD ．46 a9．若正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成的角为α，则下列各等式中成立的是（ ）A ．0＜α＜6πB ．6π＜α＜4πC ．4π＜α＜3πD ．3π＜α＜2π10．已知A （1，1，1），B （－1，0 ，4），C （2 ，－2，3），则〈AB ，CA〉的大小为（ ）A ．6πB ．65π C ．3πD ．32π二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．从平面α外一点P 引斜线段PA 和PB ，它们与α分别成45︒和30︒角，则∠APB 的最大值是______最小值是_______12．∆ABC 中∠ACB=90︒，PA ⊥平面ABC ，PA=2，AC=2 3 ，则平面PBC 与平面PAC ，平面ABC 所成的二角的大小分别是______、_________．13．在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，90=∠ABC，30=∠BAC，ＢＣ＝５，又ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ＝ＡＣ，则点Ｐ到平面ＡＢＣ的距离是 ．14．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为 ． 三、解答题（共计76分）15．（本小题满分12分）已知SA ⊥平面ABC ，SA=AB ，AB ⊥BC ，SB=BC ，E 是SC 的中点，DE ⊥SC 交AC 于D ． （1） 求证：SC ⊥面BDE ；（2）求二面角E —BD —C 的大小．16．（本小题满分12分）如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM⊥交1AA 于点M，1BB PN ⊥交1CC 于点N．(1) 求证：MN CC ⊥1； (2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFEEF DF EFDFDE∠⋅-+=cos 2222．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．17．（本小题满分12分）如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=3．（1）求证BC SC；（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．18．（本小题满分12分）在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90︒,AD=DC=1AB=a,(如图一)将△ADC 沿AC折起，使2D到D'．记面AC D'为α,面ABC为β．面BC D'为γ．（1）若二面角α-AC-β为直二面角（如图二），求二面角β-BC-γ的大小;（2）若二面角α-AC-β为60︒（如图三），求三棱锥D'-ABC的体积．19．（本小题满分14分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点．（1）求证AM//平面BDE；（2）求二面角A-DF-B的大小；（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60︒．20．（本题满分14分）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若a=)BNCM=<a．20(<（1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN的长最小；（3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小．参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．750 ,150 12．900 ,300 13．35 14．π32三、解答题（本大题共6题，共76分）15．(12分) （1）证明：（1）∵SB=BC E 是SC 的中点 ∴BE ⊥SC ∵DE ⊥SC ∴SC ⊥面BDE（2）解：由（1）SC ⊥BD ∵SA ⊥面ABC ∴SA ⊥BD ∴BD ⊥面SAC ∴∠EDC 为二面角E-BD-C 的平面角设SA=AB=a,则SB=BC=a2．,2,a SC SBC Rt =∆∴中在,30,0=∠∆∴DCESAC Rt 中在60,=∠∆∴EDC DEC Rt 中在．16．(12分) (1) 证：MNCC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ； (2)解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACCB BCCA ACCB BCCA ABBS S S S S ⋅-+=，其中α为 平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角．∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP ∠,在PMN ∆中，cos 2222⇒∠⋅-+=MNP MN PN MNPNPMMNPCC MN CC PN CCMN CC PN CCPM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222， 由于111111111,,BB PM S CCMN S CCPN S A ABBA ACCB BCC⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACCB BCCA ACCB BCCA ABBS S S S S ⋅-+=．17．(12分) （1）证法一：如，∵底面ABCD 是正方形， ∴BC ⊥DC ．∵SD ⊥底面ABCD ，∴DC 是SC 在平面ABCD 上的射影， 由三垂线定理得BC ⊥SC ．证法二：如图1，∵底面ABCD 是正方形， ∴BC ⊥DC ．∵SD ⊥底面ABCD ，∴SD ⊥BC ，又DC ∩SD=D ，∴BC ⊥平面SDC ，∴BC ⊥SC ．（2）解：如图2，过点S 作直线,//AD l l ∴在面ASD 上，∵底面ABCD 为正方形，l BC AD l ∴∴,////在面BSC 上，l ∴为面ASD 与面BSC 的交线．l ∴,,,,SC l SD l SC BC AD SD ⊥⊥∴⊥⊥∴∠CSD 为面ASD 与面BSC 所成二面角的平面角．（以下同解法一） （3）解1：如图2，∵SD=AD=1，∠SDA=90°， ∴△SDA 是等腰直角三角形．又M 是斜边SA 的中点，∴DM ⊥SA ．∵BA ⊥AD ，BA ⊥SD ，AD ∩SD=D ，∴BA ⊥面ASD ，SA 是SB 在面ASD 上的射影．由三垂线定理得DM ⊥SB ．∴异面直线DM 与SB 所成的角为90°．图1图2解2：如图3，取AB 中点P ，连结MP ，DP ．在△ABS 中，由中位线定理得 MP//SB ，DMP ∠∴是异面直线DM 与SB 所成的角．2321==SB MP，又,25)21(1,222=+==DP DM∴在△DMP 中，有DP 2=MP 2+DM 2，︒=∠∴90DMP∴异面直线DM 与SB 所成的角为90°．18．(12分) 解：（1）在直角梯形ABCD 中， 由已知∆DAC 为等腰直角三角形， ∴45,2=∠=CAB a AC , 过C 作CH ⊥AB ，由AB=2a ，可推得 AC=BC=.2a∴ AC ⊥BC ．取 AC 的中点E ，连结ED '，则 ED '⊥AC 又 ∵ 二面角β--AC a 为直二面角，∴ED '⊥β 又 ∵ ⊂BC 平面β ∴ BC ⊥E D ' ∴ BC ⊥a ，而a C D ⊂'，∴ BC ⊥C D ' ∴ CAD '∠为二面角γβ--BC 的平面角．由于45='∠CAD ， ∴二面角γβ--BC 为 45．（2）取AC 的中点E ，连结E D '，再过D '作β⊥'O D ，垂足为O ，连结OE ．∵ AC ⊥E D '， ∴ AC ⊥OE ∴ EOD '∠为二面角β--ACa 的平面角， ∴ EO D '∠60=． 在OE D Rt '∆中，aACE D 2221=='，∴O D S V ABC ABC D '⋅=∆-'31O D BC AC '⋅⋅⨯=2131a a a 462261⨯⨯⨯=.1263a =19．（14分）解法一: (1)记AC 与BD 的交点为O,连接OE, ∵O 、M 分别是AC 、EF 的中点，图3ACEF 是矩形，∴四边形AOEM 是平行四边形， ∴AM ∥OE ．∵⊂OE平面BDE ，⊄AM 平面BDE ，∴AM ∥平面BDE ．(2)在平面AFD 中过A 作AS ⊥DF 于S ，连结BS ，∵AB ⊥AF ， AB ⊥AD ， ,A AF AD = ∴AB ⊥平面ADF ，∴AS 是BS 在平面ADF 上的射影，由三垂线定理得BS ⊥DF ．∴∠BSA 是二面角A —DF —B 的平面角． 在RtΔASB 中，,2,36==AB AS∴,60,3tan ︒=∠=∠ASB ASB∴二面角A —DF —B 的大小为60º．（3）设CP=t （0≤t≤2）,作PQ ⊥AB 于Q ，则PQ ∥AD ， ∵PQ ⊥AB ，PQ ⊥AF ，A AFAB = ，∴PQ ⊥平面ABF ，⊂QE平面ABF ，∴PQ ⊥QF ．在RtΔPQF 中，∠FPQ=60º，PF=2PQ ． ∵ΔPAQ 为等腰直角三角形，∴).2(22t PQ -=又∵ΔPAF 为直角三角形，∴1)2(2+-=t PF，∴).2(2221)2(2t t -⋅=+-所以t=1或t=3(舍去),即点P是AC 的中点．解法二： （1）建立如图所示的空间直角坐标系． 设NBD AC = ，连接NE ， 则点N 、E 的坐标分别是（)0,22,22、（0,0,1）,∴)1,22,22(--=NE, 又点A 、M 的坐标分别是)0,2,2(,（)1,22,22∴AM =（)1,22,22--∴AMNE =且NE与AM 不共线，∴NE ∥AM ．又∵⊂NE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ，∴AM ∥平面BDF ．（2）∵AF ⊥AB ，AB ⊥AD ，AF ,A AD = ∴AB ⊥平面ADF ．∴AB)0,0,2(-=为平面DAF 的法向量．∵DBNE ⋅=（)1,22,22--·)0,2,2(-=0， ∴NFNE⋅=（)1,22,22--·)0,2,2(=0得DBNE ⊥，NFNE⋅，∴NE 为平面BDF 的法向量．∴cos<>⋅NE AB =21∴AB 与NE 的夹角是60º．即所求二面角A —DF —B的大小是60º． （3）设P(t,t,0)(0≤t≤2)得PF),1,2,2(t t --=∴BC =（2，0，0）又∵PF 和BC 所成的角是60º．∴21)2()2(2)2(60cos 22⋅+-+-⋅-=︒t t t解得22=t 或223=t （舍去），即点P 是AC 的中点．20．(14分) 解：（1）作MP ∥AB 交BC 于点P NQ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且MP =NQ，即MNQP 是平行四边形∴MN =PQ由已知a BN CM ==，1===BE AB CB∴2==BF AC 又21a CP =，21a BQ =，即2a BQ CP ==∴MN=PQ =22)1(BQCP +-=22)2()21(a a +-=21)22(2+-a )20(<<a（2）由（Ⅰ），MN=21)22(2+-a ,所以，当22=a 时，MN=22即M 、N 分别移动到AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22．（3）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ，∵ANAM =，BNBM=，G 为MN的中点 ∴AG⊥MN，BG ⊥MN，∠A G B即为二面角α的平面角,又AG =BG 46=，所以，由余弦定理有314646214646cos 22-=⋅⋅-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α, 故所求二面角⎪⎭⎫⎝⎛-=31arccos α。
人教版数学高一第二章点,直线,平面之间的位置关系单元测试精选(含答案)2
【答案】A
15．如图，在三棱柱 ABC－A′B′C′中，点 E、F、H、K 分别为 AC′、CB′、A′B、B′C′
的中点，G 为△ABC 的重心，从 K、H、G、B′中取一点作为 P，使得该三棱柱恰有 2
条棱与平面 PEF 平行，则点 P 为 ( )
A．K
B．H
C．G
D．B′
【来源】人教 A 版高中数学必修二第 2 章 章末综合测评 3
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
【来源】人教 A 版高中数学必修二第二章 章末检测卷
【答案】C
19．如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A、B 到 l 的距离分别是 a 和 b，AB 与α、β
试卷第 5页，总 17页
所成的角分别是θ和φ，AB 在α、β内的射影长分别是 m 和 n，若 a＞b，则 ( )
【来源】2013-2014 学年福建省清流一中高一下学期第二次阶段考数学试卷（带解析) 【答案】①②
30．如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M，N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点， 若 B1MN 是直角，则 C1MN ________.
试卷第 8页，总 17页
【来源】人教 A 版 2017-2018 学年必修二第 2 章 章末综合测评 1 数学试题 【答案】90°
29．如图，将边长为1的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得平面 ADC 平面 ABC ， 在折起后形成的三棱锥 D ABC 中，给出下列三个命题： ① DBC 是等边三角形； ② AC BD ； ③三棱锥 D ABC 的体积是 2 .
6
其中正确命题的序号是* * * ．（写出所有正确命题的序号）
试卷第 1页，总 17页
高中数学人教A版2019必修第二册 空间点 直线 平面之间的位置关系 同步练习(解析版)
8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固1.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条()A.相交B.异面C.相交或异面D.平行2.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定()A.与a,b都相交B.只能与a,b中的一条相交C.至少与a,b中的一条相交D.与a,b都平行3.下列命题中正确的个数是()①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.34.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A.不存在B.有1条C.有2条D.有无数条5.已知直线l和平面α,无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l()A.相交B.平行C.垂直D.异面6.若a,b是两条异面直线,且a∥平面α,则b与α的位置关系是.7.如图的直观图,用符号语言表述为(1),(2).8.如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问(1)AM和CN是否是异面直线?(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.能力提升9.若平面α∥β,直线a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条直线与a平行C.存在无数条直线与a平行D.存在唯一一条与a平行的直线10.已知下列说法:①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.其中正确的序号是.(将你认为正确的序号都填上)11.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系并证明你的结论.素养达成12.如图所示,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,C∉l,直线AB与l不平行,那么平面ABC 与平面β的交线与l有什么关系?证明你的结论.8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固答案1.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条()A.相交B.异面C.相交或异面D.平行【答案】C【解析】一条直线与两条平行线中的一条异面,则它与另一条可能相交,也可能异面.故选C.2.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定()A.与a,b都相交B.只能与a,b中的一条相交C.至少与a,b中的一条相交D.与a,b都平行【答案】C【解析】如图,a′与b异面,但a′∥c,故A错;a与b异面,且都与c相交,故B错;若a∥c,b∥c,则a∥b,与a,b异面矛盾,故D错.3.下列命题中正确的个数是()①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】对于①,当直线l与α相交时,直线l上有无数个点不在平面α内,故①不正确;对于②,直线l与平面α平行时,l与平面α内的直线平行或异面,故②不正确:对于③,当两条平行直线中的一条与一个平面平行时,另一条与这个平面可能平行,也有可能在这个平面内,故③不正确;对于④,由线面平行的定义可知④正确.4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A.不存在B.有1条C.有2条D.有无数条【答案】D【解析】由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l,在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,则它们都与平面D1EF平行,故选D.5.已知直线l和平面α,无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l()A.相交B.平行C.垂直D.异面【答案】C【解析】当直线l与平面α平行时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直;当直线l⊂平面α时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直;当直线l与平面α相交时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直,所以无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l垂直.故选C.6.若a,b是两条异面直线,且a∥平面α,则b与α的位置关系是.【答案】b与α平行或相交或b在α内【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设平面ABCD为α,A1B1为a,则a∥α,当分别取EF,BC1,BC为b 时,均满足a与b异面,于是b∥α,b∩α=B,b⊂α(其中E,F为棱的中点).7.如图的直观图,用符号语言表述为(1),(2).【答案】(1)a∩b=P,a∥平面M,b∩平面M=A;(2)平面M∩平面N=l,a∩平面N=A,a∥平面M【解析】(1)a∩b=P,a∥平面M,b∩平面M=A(2)平面M∩平面N=l,a∩平面N=A,a∥平面M8.如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问(1)AM和CN是否是异面直线?(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.【答案】(1) 不是异面直线;(2)是异面直线,证明见解析.【解析】由于M,N分别是A1B1和B1C1的中点,可证明MN∥AC,因此AM与CN不是异面直线.由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大,判断的方法可用反证法.(1)不是异面直线.理由:因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MN∥A1C1.又因为A1A C1C,所以A1ACC1为平行四边形.所以A1C1∥AC,得到MN∥AC,所以A,M,N,C在同一个平面内, 故AM和CN不是异面直线.(2)是异面直线,证明如下:假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1D内,则B∈平面CC1D1D,C∈平面CC1D1D.所以BC⊂平面CC1D1D,这与ABCD A1B1C1D1是正方体相矛盾.所以假设不成立,故D1B与CC1是异面直线.能力提升9.若平面α∥β,直线a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条直线与a平行C.存在无数条直线与a平行D.存在唯一一条与a平行的直线【答案】D【解析】因为α∥β,B∈β,所以B∉α.因为a⊂α,所以B,a可确定平面γ且γ∩α=a,设γ与β交过点B的直线为b,则a∥b.因为a,B在同一平面γ内.所以b唯一,即存在唯一一条与a平行的直线.10.已知下列说法:①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.其中正确的序号是.(将你认为正确的序号都填上)【答案】③④【解析】①错.a与b也可能异面.②错.a与b也可能平行.③对.因为α∥β,所以α与β无公共点.又因为a⊂α,b⊂β,所以a与b无公共点.④对.由③知a与b无公共点,那么a∥b或a与b异面.⑤错.a与β也可能平行.11.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系并证明你的结论.【答案】a,b无公共点, a∥β,证明见解析.【解析】a∥b,a∥β,理由:由α∩γ=a知a⊂α且a⊂γ,由β∩γ=b知b⊂β且b⊂γ,因为α∥β,a⊂α,b⊂β,所以a,b无公共点.又因为a⊂γ,且b⊂γ,所以a∥b.因为α∥β,所以α与β无公共点,又a⊂α,所以a与β无公共点,所以a∥β.素养达成12.如图所示,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,C∉l,直线AB与l不平行,那么平面ABC 与平面β的交线与l有什么关系?证明你的结论.【答案】平面ABC与β的交线与l相交,证明见解析.【解析】平面ABC与β的交线与l相交.证明:因为AB与l不平行,且AB⊂α,l⊂α,所以AB与l一定相交,设AB∩l=P,则P∈AB,P∈l.又因为AB⊂平面ABC,l⊂β,所以P∈平面ABC,P∈β.所以点P是平面ABC与β的一个公共点,而点C也是平面ABC与β的一个公共点,且P,C是不同的两点,所以直线PC就是平面ABC与β的交线.即平面ABC∩β=PC,而PC∩l=P,所以平面ABC与β的交线与l相交.。
高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题+答案
D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行 面面平行 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。
叫做垂足。
的垂线，则这两个ba第 3 页 共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。
符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢， 我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。
所成的角。
2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。
三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
空间点、直线、平面之间的位置关系跟踪训练
8.4空间点、直线、平面之间的位置关系跟踪训练一、选择题1、下列命题是真命题的是( )A．空间任意三个点确定一个平面B．一条直线和直线外一点确定一个平面C．两两相交的三条直线确定一个平面D．两两平行的三条直线确定三个平面2、如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法不正确的是( )A．AB与CD是异面直线B．GH与CD相交C．EF∥CDD．EF与AB异面3、a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( )A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c4、已知α，β，γ是平面，a，b，c是直线，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，若a∩b ＝P，则( )A．P∈c B．P∉cC．c∩a＝∅D．c∩β＝∅5、在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG＝P，则点P( )A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上6、已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n 两两相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7、如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则( )A．GH＝2EF，且直线EF，GH是相交直线B．GH＝2EF，且直线EF，GH是异面直线C．GH≠2EF，且直线EF，GH是相交直线D．GH≠2EF，且直线EF，GH是异面直线8、如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的图是( )9、如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是( )A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC10、如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为( )A．30°B．45°C．60°D．90°11、若平面α和直线a，b满足a∩α＝A，b⊂α，则a与b的位置关系是( )A．相交B．平行C．异面D．相交或异面12、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是( )A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C113、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，下列结论正确的是( )A．AP与CM是异面直线B．AP，CM，DD1相交于一点C．MN∥BD1D．MN与平面BB1D1D相交14、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为( )A．π2B．π3C．π4D．π615、如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝14SB，则异面直线SC与OE所成角的正切值为( )A．222B．53C．1316D．11316、如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直线的图形有( )A．①②B．①③C．②③D．②④17、已知平面α∩平面β＝直线l，点A，C∈平面α，点B，D∈平面β，且A，B，C，D∉l，点M，N分别是线段AB，CD的中点，则下列说法正确的是( ) A．当CD＝2AB时，M，N不可能重合B．M，N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C．当直线AB，CD相交，且AC∥l时，BD可与l相交D．当直线AB，CD异面时，MN可能与l平行二、填空题18、已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列说法中正确的序号为________．①若a平行于α内的无数条直线，则a∥α；②若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；③若α∥β，a⊂α，则a∥β；④若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．19、已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________．20、如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．21、如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上结论中，正确结论是________．(填序号)三、解答题22、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1，H，O三点共线．23、如图，已知在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，且直线BC 与MN 所成的角为30°，求BC 与AD 所成的角．24、在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．(1)求四棱锥O -ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值．25、如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点. (1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？。
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1、下列命题正确的是（ ） Ａ．经过三点确定一个平面
Ｂ．经过一条直线和一个点确定一个平面 Ｃ．四边形确定一个平面
Ｄ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
答案：Ｄ．
2、如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别 是AB ，BC ，CD ，DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形．
答案：证明：连接BD ．
因为EH 是ABD △的中位线，
所以EH BD ∥，且1
2EH BD =． 同理，FG BD ∥，且1
2
FG BD =．
因为EH FG ∥，且EH FG =． 所以四边形EFGH 为平行四边形．
3、如图，已知长方体ABCD A B C D ''''-
中，AB =
AD =2AA '=． （１）BC 和A C ''所成的角是多少度？ （２）AA '和BC '所成的角是多少度？
答案：（１）45
þ；（２）60þ．
4、下列命题中正确的个数是（ ）
A
E
B
H
G
C
F
D
①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l α∥．
②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行．
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行． ④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点．
A ．0 Ｂ．1
Ｃ．2
Ｄ．3
答案：Ｂ．
5、若直线a 不平行于平面α，且a α⊄，则下列结论成立的是（ ） Ａ．α内的所有直线与a 异面 Ｂ．α内不存在与a 平行的直线 Ｃ．α内存在唯一的直线与a 平行 Ｄ．α内的直线与a 都相交
答案：Ｂ．
6、已知a ，b ，c 是三条直线，角a b ∥，且a 与c 的夹角为θ，那么b 与c 夹角为 ．
答案： θ．
7、如图，AA '是长方体的一条棱，这个长方体中与AA '垂直的棱共 条．
答案：8条．
8、如果a ，b 是异面直线，直线c 与a ，b 都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有 个．
答案：2个．
9、已知两条相交直线a ，b ，a α平面∥则b 与α的位置关系是 ．
答案：b a ∥，或b 与a 相交．
10、如图，三条直线两两平行且不共面，每两条确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？
答案：3个，3个．
11、如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
①BM 与ED 平行． ②CN 与BE 是异面直线．
③CN 与BM 成60˚角． ④DM 与BN 垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ） Ａ．①，②，③
Ｂ．②，④ Ｃ．③，④
Ｄ．②，③，④
答案：Ｃ．
12、下列命题中，正确的个数为（ ）
①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；
②平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变；
③过空间四边形ABCD 的顶点A 引CD 的平行线段AE ，则BAE ∠是异面直线AB 与CD 所成的角；
④四边相等，且四个角也相等的四边形是正方形 Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ｂ．
13、在空间四边形ABCD 中，N ，M 分别是BC ，AD 的中点，则2MN 与AB CD +的大小关系是 ．
答案：2MN AB CD <+．
E
14、已知a b ，是一对异面直线，且a b ，成70角，P 为空间一定点，则在过P 点的直线中与a b ，所成的角都为70的直线有 条．
答案：4．
15、已知平面αβ//，P 是平面αβ，外的一点，过点P 的直线m 与平面αβ，分别交于A C ，两点，过点P 的直线n 与平面αβ，分别交于B D ，两点，若698PA AC PD ===，，， 则BD 的长为 ．
答案：24245
或
． 16、空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为90，则四边形EFGH 的面积是 ． 答案：2
14
a ．
17、 已知正方体1111ABCD A B C D -中，
E ，
F 分别为11D C ，11C B 的中点，AC BD P =，
11
AC EF Q =．求证：
（１）D ，B ，F ，E 四点共面；
（２）若1AC 交平面
DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线． 答案：证明：如图． （１）
EF 是111D BC △的中位线，11EF B D ∴∥．
在正方体1AC 中，11B D BD ∥，∴EF BD ∥．
EF ∴确定一个平面，即D ，B ，F ，E 四点共面．
（２）正方体1AC 中，设11A ACC 确定的平面为α，又设平面
BDEF 为β． 11Q AC ∈，Q α∴∈．又Q EF ∈，Q β∴∈．
则Q 是α与β的公共点，PQ α
β∴=．
又1
AC R β=，1R AC ∴∈．
R α∴∈，R β∈且，则R PQ ∈．
故P ，Q ，R 三点共线．
18、已知下列四个命题： ① 很平的桌面是一个平面； ② 一个平面的面积可以是4m 2
； ③ 平面是矩形或平行四边形；
④ 两个平面叠在一起比一个平面厚． 其中正确的命题有（ ） Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个
答案：Ａ．
19、给出下列命题：
和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内； 三条两两相交的直线在同一平面内； 有三个不同公共点的两个平面重合； 两两平行的三条直线确定三个平面． 其中正确命题的个数是（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ａ．
20、直线12l l ∥，在1l 上取3点，2l 上取2点，由这5点能确定的平面有（ ） Ａ．9个 Ｂ．6个 Ｃ．3个
Ｄ．1个
答案：Ｄ．
21、三条直线相交于一点，可能确定的平面有（ ） Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．1个或3个 答案：Ｄ．
22、下列命题中，不正确的是（ ）
①一条直线和两条平行直线都相交，那么这三条直线共面； ②每两条都相交但不共点的四条直线一定共面； ③两条相交直线上的三个点确定一个平面；
④两条互相垂直的直线共面． Ａ．①与② Ｂ．③与④ Ｃ．①与③
Ｄ．②与④
答案：Ｂ．
23、分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（ ） Ａ．异面直线 Ｂ．相交直线 Ｃ．不相交直线 Ｄ．不平行直线
答案：Ｄ．
24、在长方体1111ABCD A B C D -中，点O ，1O 分别是四边形ABCD ，1111A B C D 的对角线的交点，点E ，F 分别是四边形11AA D D ，11BB C C 的对角线的交点，点G ，H 分别是四边形11A ABB ，
11C CDD 的对角线的交点．
求证：1OEG O FH △≌△．
答案：证明：如图，连结1AD ，AC ，1CD ，11C A ，1C B ，1BA
由三角形中位线定理可知OE ∥ 112
CD ，1
O F ∥11
2
BA ． 又1
BA ∥1CD ，OE ∴ ∥1
O F ．同理可证EG ∥FH ． 由等角定理可得1OEG O FH ∠=∠． ∴1OEG O FH △≌△．
25、若a ，b 是异面直线，b ，c 也是异面直线，则a 与c 的位置关系是（ ） Ａ．异面 Ｂ．相交或平行 Ｃ．平行或异面 Ｄ．相交或平行或异面 答案：Ｄ．
26、a ，b 是异面直线，A ，B 是a 上两点，C ，D 是b 上的两点，M ，N 分别是线段AC 和BD 的中点，则MN 和a 的位置关系是（ ） Ａ．异面直线 Ｂ．平行直线 Ｃ．相交直线 Ｄ．平行、相交或异面 答案：Ａ．
27、如下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中 ①BM 与ED 平行；
②CN 与BE 是异面直线；
③CN 与BM 成60
þ角； ④DM 与BN 垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是（）
Ａ．①②③Ｂ．②④Ｃ．③④Ｄ．②③④答案：Ｃ．
28、直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（）Ａ．一条直线不相交
Ｂ．两条直线不相交
Ｃ．任意一条直线不相交
Ｄ．无数条直线不相交
答案：Ｃ．
29、如果直线a平行于平面α，则（）
Ａ．平面α内有且只有一直线与a平行
Ｂ．平面α内有无数条直线与a平行
Ｃ．平面α内不存在与a平行的直线
Ｄ．平面α内的任意直线与直线a都平行
答案：Ｂ．。