§9.7第一型曲面积分的计算

D
解：抛物线 y x 2 把 D 分为两个子区域：
D1 {( x , y ) x 1, x 2 y 2} ，
y
2
D2 {( x , y ) x 1, 0 y x 2 } 。
D1
y x2
D2
1
y x 2 , ( x, y )D 2 1 y x 2 x y , ( x, y )D2
作
业
总 习 题 （P196）
1（2）（5）（上凸曲线弧部分）；
2（3）；6 ；8 ； 10 ； 11 ； 14（1）
15 ；16 ； 17 ；19; 23 ； 25 。
习 题 六 （P196）
1 ；2 ；6 ；7 。
P170.1.6)．求 y x 2 dxdy，其中 D{( x, y ) x 1, 0 y 2} 。

二、第一型曲面积分的计算法
设有曲面 ： z z( x , y ) ， 在 xy 面上的投影区域为D xy ，
则曲面 的面积 S
D xy

2 1 z2 ( x , y ) z x y ( x , y )dxdy ，
面积元素
2 dS 1 z x ( x, y ) z 2 y ( x, y )dxdy ，
被柱面 x y 2 2ax 所截得的有限部分。
解： ∵
2
z x2 y2 ，
z
y
x y zx 2 2 ， z y 2 2 ， x y x y
2 dS 1 z x z 2 y dxdy 2dxdy ，
o
D xy
x
∵ 关于 xoz 面对称，而
y z 2 x 2 ，被积函数
设光滑曲面 的 方程为z z( x , y ) ， 在 xy 面上的 投影区域为 D xy ，函数z( x, y ) 在D xy 上有一阶连续偏 导数，若 f ( x , y , z ) 在 上连续，则有


f ( x , y , z )dS
D xy

2 f ( x , y , z( x , y )) 1 z x ( x, y) z 2 y ( x , y )dxdy
中 xy , yz 都是 y 的奇函数，
∴ xydS yzdS 0 ，∴ ( xy yz zx )dS zxdS 。


∴ ( xy yz zx )dS zxdS 2

D xy 2acos 3 2 2 d cosd 0 2 4 2 5 4 2 5 4 2a cos d 8 2a cos d 0 2
§9.7 第一型曲面积分的计算
一、第一型曲面积分的概念与性质
类似于第一类曲线积分中曲线形物件质量的讨论,
如果把曲线改成曲面,
把线密度f ( x, y) 改成面密度 f ( x, y, z )，
小曲线弧的长度 si 改为小块曲面的面积 Si ,
并把第i 小段曲线弧上的任一点 ( i , i ) 改为第i 小块曲面上的任一点 ( i , i , i ), 则得
曲面的质量 M lim
d 0
n
i 1
f ( i , i , i ) Si .
1.定义
设曲 面 是光滑的， f ( x , y , z ) 在上 有 界 。 把
任意分成 n 小块 S i （ S i 同时代表第 i 小块曲面的面积） ，
( i , i , i ) S i ( i 1, 2, , n) ，作和式 f ( i , i , i ) S i ，

xdS ydS zdS xydS yzdS xzdS0,

由坐标的轮换对称性知：
1 2 2 2 x dS y dS z dS ( x y z )dS, 3
2 2 2
∴ I ( a b c ) x dS d
2 2 2 2
2
dS

1 2 2 2 2 2 2 2 (a b c )( x y z )dS d dS 3

1 2 2 2 2 2 [ R (a b c ) d ]dS 3 2 1 2 2 4R [ R (a b 2 c 2 ) d 2 ]. 3
1
dS 1 z x 2 z y 2 dxdy 1 ( 2 x )2 ( 2 y )2 dxdy
∴ M xyz dS 4 xyzdS
Σ Σ1
4
D xy 1 2 2 4 d ρ cossin ρ2
2 2 2 2 xy ( x y ) 1 ( 2 x ) ( 2 y ) dxdy
记忆口诀：“一代二换三投影”。
注： （1）计算第一型曲面积分 f ( x , y , z )dS 时，只要将

dS 换 成 被积函数 f ( x , y , z ) 中的 z 换 成 z( x , y ) ，面积元素
2 曲 面 换成投影区域 D xy 即可。 1z x ( x, y ) z 2 y ( x , y )dxdy，
i 1 n
{ S i的直径} ，如果当d 0时 ，这和式的极限 设 d 1max in
总存在，则称此极限为
f ( x , y , z )在 上 的
第一型曲面积分
或对面积的曲面积分，记作 f ( x , y, z )dS ，即

被积函数
n
积分和式
f ( i , i , i ) S i f ( x, y, z ) dS dlim 0
2 2 2 ∵ 1 z x z 2 1 ( 1 ) ( 1 ) 3， y
2
o 3
1
y
∴ xyzdS xyzdS
4
3 xdx
0
1
1
1 x
0
y 2 y 3 1 x y(1 x y)dy 3 x[(1 x ) ] dx 0 2 3 0
f ( x , y, z )dS

D xz
2 2 f ( x , y ( x , z ), z ) 1 y ( x , z ) y x z ( x , z )dxdz 。
（4） f ( x , y , z ) 1 时， dS 曲面 的面积 。

例 1．计算 xyzdS ，其中 是 由平面
0
1
x2
D2
0
x 2 y dy
3 0

z
h
1
dS
2
dS x y z
2 2 2
4
1 x
y z
2
2
o
其中 1是 位于第一卦限的部分，
a y
x
把 1 投影到 yoz 平面，得 D yz {( y , z ) 0 y a , 0 z h} ，
1 的方程为 x a 2 y 2 ，
z
h
（2）若曲面 的 方程为 x x( y , z ) ， ( y , z ) D yz ，则
f ( x, y, z )dS

D yz
2 2 f ( x ( y , z ), y , z ) 1 x ( y , z ) x y z ( y , z )dydz，
（3）若曲面 的 方程为 y y( x , z ) ， ( x , z ) D xz ，则
a2 y2
4a
a
1 a y
2 2
0
dy
h
0 a z
dz
y a 1 z h 1 h h 4a(arcsin ) ( arctan ) 4a arctan 2arctan . a 0 a a 0 2 a a a
例 4．求密度为 xyz 的抛物面壳 z x 2 y 2 (0 z 1) 的质量。
o 3
1
y
x
1

xyzdS xyzdS xyzdS xyzdS xyzds
4
2 ， 3 上，xyz0 ， ∵在 1 ，
∴ xyzdS xyzdS xyzdS 0 。
1 2 3
z
1
1 4
在 4 上 ， z 1 x y ，
i 1
积分曲面
面积元素
注：
第一型曲面积分具有与第一型曲线积分相类似的性质。
例如: 若 1 2 , 则
f ( x , y , z )dS f ( x , y , z )dS f ( x , y , z )dS .
1 2
2. 用曲面积分表示与物质曲面有关的物理量
1
D xy

3 xy(1 x y )dxdy
x 1
(1 x )3 3 1 3 2 3 4 3 x dx ( x 3 x 3 x x )dx . 0 6 6 0 120
例 2．计算 ( xy yz zx )dS ， 其 中 是由锥面 z x 2 y 2

x 2 y 2 xdxdy




64 2 4 8 2a 1 a . 5 3 15
44 2
例 3．计算
dS
2 2 2 x y z
，其中 ： x 2 y 2 a 2 ，
0 z h ， (a 0,h 0) 。
解：∵曲面关于 yoz 平面和xoz 平面对称， ∴
0 0
0
1 4 ρ2 ρdρ
2
π 1 5 2 sin 2d ρ
0
1 4 ρ2 dρ
5 2
令u 1 4 ρ
2
1 125 5 1 2 u 1 u du . 420 21 4