2013届高考数学快速提升成绩题型训练
2013高考数学冲刺高分训练秘籍6
1.已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．2.成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5. (1)求数列{b n }的通项公式；3.设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .4.已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R )，且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)对n ∈N *，试比较1a 2＋1a 22＋…＋1a 2n 与1a 1的大小．大题过程训练1．（本题满分12分）已知数列{}n a 的通项公式为12-=n a n，数列}{n b 的前n 项和为n T ，且满足n n b T -=1（I ）求}{n b 的通项公式； （II ）在{}n a 中是否存在使得19na +是}{nb 中的项，若存在，请写出满足题意的一项（不要求写出所有的项）；若不存在，请说明理由．2．（本小题满分12分）等差数列2{}4n a =中，a ，其前n 项和n S 满足2().n S n n R λλ=+∈ （I ）求实数λ的值，并求数列{}n a 的通项公式； （II ）若数列1{}n nb S +是首项为λ、公比为2λ的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和.n T3．（本题共12分）数列{n a }中,,21=a c cn a a n n (,1+=+是不为零的常数,n=1,2,3…..), 且321,,a a a 成等比数列， (1 )求c 的值 (2) 求{n a }的通项公式高考怎么考？17．(本小题满分12分）等比数列{}n a 中，已知142,16a a == （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S 。
【高考提分】2013高考数学冲刺高分训练30
一、选择题(每小题5分，共10小题，满分50分)1.（2012高考山东文）已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则U 为(A){1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4}2.(2013年高考新课标高考训练)对于命题和命题，“为真命题”的必要不充分条件是（ ） A ．为假命题B ．为假命题C ．为真命题D ．为真命题3.(2013届广东省汕头四中高三第四次月考)曲线x x y ln 2-=在点)2,1(处的切线方程为 A ．1--=x y B ．3+-=x y C ．1+=x yD ．1-=x y4.( 2013届山东省师大附中高三12月第三次模拟检测)设函数()()3402f x x x a a =-+<<有三个零点123123,,x x x x x x <<、、且 则下列结论正确的是（ ） A.11x >- B. 20x < C.20x <1< D. 32x >5.（2013届北京四中高三上学期期中测验）是等差数列的前项和，若，则（ ）A. 15B. 18C. 9D. 12 【答案】D【解析】在等差数列中153535()5252022a a a S a +⨯====，所以34a =，所以2343312a a a a ++==，选D.6.（2013届福建省三明市泰宁一中高三上学期第二次月考）已知a =（3，1），b =（2-，5）则3-a 2b = ( ) A ．（2，7） B ．（13，7-） C.（2，7-） D.（13，13）7.（2013届山东省聊城市东阿一中高三上学期期初考试）设直线m 、n 和平面βα、,下列四个命题中，正确的是 （ ） A. 若n m n m //,//,//则αα B. 若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂ C. 若βαβα⊥⊂⊥m m 则,, D. 若ααββα//,,,m m m 则⊄⊥⊥8.（2013年贵州市重点中学高三联考）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D9.（2012年高考山东卷）已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为 2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为A ．2x y =B ．2x y =C ．28x y =D ．216x y =10.（2013届陕西省长安一中高三第二次教学质量检测）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 （ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题(每小题5分，共4小题，满分20分)11.（2013届山东省东阿县第一中学高三上学期考试）已知xy y x R y x ，则，且14,=+∈+的最大值为12．（2012年山东临沂二模）二项式6的展开式中的常数项为 A ．120 B ．120- C ．160 D.160- 【答案】D【解析】展开式的通项为r r r r r r r rr r rr r x C xxC xx C T ------+⋅-=⋅-=-=366226666612)1(2)1()1()2(，令03=-r ，得3=r ，所以常数项为1602)1(36334-=⋅-=C T ，选D.13.（2013届四川成都外国语学校高三12月月考）输入x=2，运行右图的程序输出的结果为 。
【高考秘籍】2013高考数学提分训练第3章章末综合检测
(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．甲、乙两人相互独立地练习投篮，甲一次命中的概率为0.8，乙一次命中的概率为0.6，甲、乙两人各投篮一次都命中的概率为( )A ．1.4B ．0.8C ．0.6D ．0.48 解析：选D.P ＝0.6×0.8＝0.48. 2．下列说法中，正确的是( ) ①回归方程适用于一切样本和总体；②回归方程一般都有时间性；③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③解析：选 B.①回归方程只适用于所研究的样本，故①错；④回归方程得到的预报值是可能取值的平均值，故④错；回归方程一般要受时间和范围的影响，故②③正确．3．下列有关回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^叙述正确的是( )①反映y ^与x 之间的函数关系； ②反映y 与x 之间的函数关系；③表示y ^与x 之间不确定关系；④表示最接近y 与x 之间真实关系的一条直线． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④解析：选D.y ^＝b ^x ＋a ^表示y ^与x 之间的函数关系，而不是y 与x 之间的函数关系；但它反映的关系最接近y 与x 之间的真实关系，故选D.4．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )A.29B.118C.13D.23解析：选D.由已知P (A ·B )＝P (A )P (B )＝19，①又P (A ·B )＝P (A ·B )，即[1－P (A )]·P (B )＝P (A )[1－P (B )]，②由①②解得P (A )＝P (B )＝13，所以P (A )＝23.5A.y ^＝0.56x ＋997.4B.y ^＝0.63x －231.2 C.y ^＝50.2x ＋501.4 D.y ^＝60.4x ＋400.7解析：选A.利用公式计算，b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝0.56，a ^＝y －b ^x ＝997.4，所以回归直线方程为y ^＝0.56x ＋997.4，故选A.6．下表给出5组数据(x ，y )，为选出4组数据使线性相关程度最大，且保留第1组数据(－5，－3)A.第2组 C ．第4组 D ．第5组解析：选B.通过散点图选择，画出散点图如图所示：应除去第三组，对应点是(－3,4)．故选B.7．由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到的回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，那么下面说法不正确的是( )A ．直线y ^＝b ^x ＋a ^必经过点(x ，y )B ．直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点C ．直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率为∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i －n x 2D ．直线y ^＝b ^x ＋a ^和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的误差∑i ＝1n[y i －(b ^x i ＋a ^)]2是该坐标平面上所有直线与这些点误差中最小的解析：选B.回归直线可能不经过任何一个样本点，但必经过样本点的中心．8．设有一个回归方程为y ^＝3－2x ，变量x 增加一个单位时( ) A ．y 平均增加2个单位 B ．y 平均减少3个单位 C ．y 平均减少2个单位 D ．y 平均增加3个单位 解析：选C.∵[3－2(x ＋1)]－(3－2x )＝－2，∴y 的值平均减少2个单位．9．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( ) A.y ^＝－10x ＋200 B.y ^＝10x ＋200 C.y ^＝－10x －200 D.y ^＝10x －200解析：选A.由于销售量y 与销售价格x 负相关，故排除B ，D.又当x ＝10时，A 中y ＝100，而C 中y ＝－300，C 不符合题意．故选A.10．对四对变量Y 与x 进行线性相关检验，已知n 是观测值组数，r 是相关系数，且已知：①n ＝7，r ＝0.9533；②n ＝15，r ＝0.3012；③n ＝17，r ＝0.4991；④n ＝3，r ＝0.9950.则变量Y 和x 具有线性相关关系的是( )A ．①和②B ．①和③C ．②和④D ．③和④解析：选B.由于小概率0.05与n －2在附表中分别查得：①r 0.05＝0.754；②r 0.05＝0.514；③r 0.05＝0.482；④r 0.05＝0.997.因此知①、③中相关系数比r 0.05大，变量Y 和x 具有线性相关关系．而②、④中的相关系数小于r 0.05，故变量Y 与x 不具有线性相关关系． 11．冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品根据以上数据，则( A ．含杂质的高低与设备改造有关 B ．含杂质的高低与设备改造无关 C ．设备是否改造决定含杂质的高低 D ．以上答案都不对解析：选A.由已知数据得到如下2×2列联表：由公式χ2＝382×(37×202－121×22)158×224×59×323≈13.11.由于13.11＞6.635，所以有99%的把握认为含杂质的高低与设备改造是有关的，但是否改造设备这一行为并不对含杂质高低有决定性作用．12．在2×2列联表中，哪两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大( )A.n 11n 11＋n 12与n 21n 21＋n 22B.n 11n 21＋n 22与n 21n 11＋n 12C.n 11n 11＋n 12与n 21n 12＋n 21D.n 11n 12＋n 22与n 21n 11＋n 21解析：选A.当n 11n 22与n 12n 21相差越大，两个分类变量有关系的可能性越大，此时n 11n 11＋n 12与n 21n 21＋n 22相差越大． 二、填空题(本大题共4小题，请把正确的答案填在题中横线上)13．若回归直线方程为y ^＝0.5x －0.81，则x ＝25时，y 的估计值为________． 解析：y 的估计值为0.5×25－0.81＝11.69. 答案：11.6914．(2011年高考辽宁卷)调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：由题意知[0.254(x ＋1)＋0.321]－(0.254x ＋0.321)＝0.254. 答案：0.25415．若两个分类变量X则“X 与Y ． 解析：由列联表数据，可求得随机变量 χ2＝81×(10×16－40×15)225×56×50×31≈7.227＞6.635.因为P (χ2≥6.635)≈0.01，所以“X 与Y 之间有关系”出错的可能性仅为1%. 答案：1%16．已知，数据点(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，n )，在一条直线上，当且仅当|r |＝________. 解析：∵Q min ＝(1－r 2)∑(y i －y )2， ∴(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在一条直线上， 等价于Q min ＝0，即1－r 2＝0.∴|r |＝1. 答案：1三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．某地震观测站对地下水位的变化和发生地震的情况共进行了n ＝1700次观测，列联表如下：解：根据列联表中的数据得到χ2＝1700×(98×618－82×902)2180×1520×1000×700＝1.59＜3.841，∴没有充分的证据显示地下水位的变化与地震的发生相关．(2)求出回归直线方程． 解：(1)散点图如图．(2)x ＝44.5，∑i ＝110x 2i ＝20183，y ＝7.67，∑i ＝110x i y i ＝3346.32，则b ^＝3346.32－10×44.5×7.6720183－10×44.52≈0.176，a ^＝7.67－0.176×44.5＝－0.162.∴回归直线方程为y ^＝0.176x －0.162.19．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116.(1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率．解：(1)法一：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B .由题意得(1－P (B ))2＝(1－p )2＝116，解得p ＝34或p ＝54(舍去)，所以乙投球的命中率为34.法二：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B .由题意得P (B )P (B )＝116，于是P (B )＝14或P (B )＝－14(舍去)，故p ＝1－P (B )＝34，所以乙投球的命中率为34.(2)由题设和(1)知，P (A )＝12，P (A )＝12，故甲投球2次至少命中1次的概率为1－P (A A )＝34.20．为了调查大学生对吸烟是否影响学习的看法，询问了一、二年级的200个大学生，询问的结果记录如下：解：由χ2统计量的数学公式得χ2＝200×(57×66－34×43)291×109×100×100≈10.666.∵10.666＞6.635，∴有99%的把握说：大学生因年级不同对吸烟问题所持态度也不同．21．在关于人的脂肪含量(百分比)和年龄的关系的研究中，研究人员获得了一组数据如下表：年龄x23 27 39 41 45 49 50 脂肪含量y9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年龄x53 54 56 57 58 60 61 脂肪含量y29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 (1)(2)若线性相关，求线性回归方程； (3)预测37岁时人的脂肪含量．解：(1)散点图如图所示，由散点图可知样本点呈条状分布，脂肪含量与年龄有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．(2)由已知数据，得x ≈48.071，y ≈27.264，∑i ＝114x i y i ＝19403.2，∑i ＝114x 2i ＝34181，b ^＝19403.2－14×48.071×27.26434181－14×48.0712≈0.576，a ^＝27.264－0.576×48.071≈－0.425.所以回归直线方程为y ^＝0.576x －0.425.(3)当x ＝37时，y ^＝0.576×37－0.425≈20.9，故37岁时人的脂肪含量约为20.9%.22．在英语教学中，为了了解学生的词汇量，设计了一份包含100个单词的试卷，现抽取15名学生进行测试，得到学生掌握试卷中单词个数x 与该生实际掌握单词量y 的对应数x 61 65 70 69 83 75 58 73 y 2030 2140 2270 2250 2240 2220 1970 2330 x 63 72 71 68 65 67 74 y 2100 2300 2300 2200 2200 2200 2370(1)对变量y 与x 进行相关性检验；(2)如果y 与x 之间具有线性相关关系，求y 对x 的回归直线方程． 解：(1)列表并用计算器进行计算 i 1 2 3 45 6 7 8 x i 61 65 706983755873∑i ＝115x 2i －15x 2＝71822－15×68.932≈551.83，∑i ＝115y 2i －15y 2＝73298600－15×22082＝169640，∑i ＝115x i y i －15x y ＝2290430－15×68.93×2208＝7468.4，r ＝∑i ＝115x i y i －15x y(∑i ＝115x 2i －15x 2)(∑i ＝115y 2i －15y 2)＝7468.4551.83×169640≈0.772.查相关系数检验的临界值表，得 r 0.05(15－2)＝0.514.由于|r |＞r 0.05，故y 与x 有线性相关关系．(2)设y 对x 的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝∑i ＝115x i y i －15x y∑i ＝115x 2i －15x 2＝7468.4551.83≈13.5， a ^＝y －b ^x ≈2208－13.5×68.93＝1277.445， 即所求的y 对x 的回归直线方程为 y ^＝13.5x ＋1277.445.。
【高考秘籍】2013高考数学提分训练3.2.2第二课时知能优化训练
1．(2011年高考江西卷)若z ＝1＋2ii，则复数z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i D ．2＋i解析：选D.z ＝1＋2i i ＝2＋1i＝2－i ，z ＝2＋i.2．已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．3解析：选B.∵a ＋2ii ＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝b i －1.∴a ＝－1，b ＝2.∴a ＋b ＝1.3．(2010年高考上海卷)若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z ＋z ＝________. 解析：∵z ＝1－2i ，∴z ·z ＝|z |2＝5. ∴z ·z ＋z ＝6－2i.答案：6－2i4．复数(1－i 1＋i)10＝________.解析：(1－i 1＋i )10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－i )(1＋i )1＋i 10＝(－i)10＝－1.答案：－1 5.21－i ＝a ＋b i(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，求a ＋b . 解：∵21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ， ∴1＋i ＝a ＋b i ，∴a ＝1，b ＝1，∴a ＋b ＝2.一、选择题1．(2011年高考辽宁卷)a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1解析：选B.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|a ＋i||i|＝a 2＋1＝2，∴a ＝±3，又a >0，∴a ＝ 3.2．(2011年高考北京卷)复数i －21＋2i＝( ) A ．i B ．－iC ．－45－35iD ．－45＋35i解析：选A.i －21＋2i ＝i (i －2)i (1＋2i )＝i (i －2)i －2＝i ，故选A.3．复数z ＝m －2i1＋2i(m ∈R )在复平面内对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.∵z ＝15[m －4－(2＋2m )i]，点⎝ ⎛⎭⎪⎫m －45，－2－2m 5满足2x ＋y ＝－2，该直线不经过第一象限．4．(2011年高考湖北卷)i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2011＝( )A ．－iB ．－1C ．iD ．1解析：选A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2011＝i 2011＝i502×4＋3＝i 3＝－i.故选A. 5.若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H解析：选D.由图知复数z ＝3＋i ， ∴z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i.∴表示复数z1＋i 的点为H .6．已知z ∈C ，且|z |＝1，则复数z 2＋1z( )A ．是实数B ．是虚数但不一定是纯虚数C ．是纯虚数D ．可能是实数也可能是虚数解析：选A.∵|z |＝1，∴z ·z ＝1，1z＝z .∴z 2＋1z ＝z ＋1z ＝z ＋z ∈R .二、填空题7．已知z 是纯虚数，z ＋21－i 是实数，那么z ＝________.解析：设z ＝b i(b ∈R ，b ≠0)， 则z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝(b i ＋2)(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2－b 2＋b ＋22i.∵z ＋21－i为实数，∴b ＋22＝0，∴b ＝－2，∴z ＝－2i.答案：－2i8．已知复数z 1＝1－i ，z 1·z 2＝1＋i ，则复数z 2＝__________. 解析：由已知z 2＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝i.答案：i9．已知z 、ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z2＋i ，且|ω|＝52，则ω＝__________.解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， (1＋3i)(a ＋b i)＝(a －3b )＋(b ＋3a )i ，∵⎩⎪⎨⎪⎧a －3b ＝0b ＋3a ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b a ≠－b 3，∵ω＝22＋i ＝3b ＋b i 2＋i ， ∴|ω|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3b ＋b i 2＋i ＝|3b ＋b i||2＋i|＝52， 即9b 2＋b 24＋1＝52，解得b ＝±5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝15b ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15b ＝－5. ∴z ＝±(15＋5i)＝±5(3＋i)，∴ω＝±5(3＋i )2＋i ＝±5(3＋i )(2－i )5＝±(7－i)．答案：±(7－i)三、解答题10．已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i(2＋i )2.求：(1)z 1·z 2；(2)z 1z 2.解：∵z 2＝15－5i(2＋i )2＝15－5i 3＋4i＝5(3－i )(3－4i )25＝1－3i ，∴(1)z 1·z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i. (2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝(2－3i )(1＋3i )10＝1110＋310i. 11．已知z 为复数，z －1i 为实数，z 1－i 为纯虚数，求复数z .解：设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )． ∴z －1i ＝(a －1)＋b ii＝b －(a －1)i ∈R ， ∴a －1＝0，∴a ＝1. 又z 1－i ＝a ＋b i 1－i ＝(a ＋b i )(1＋i )2＝a －b 2＋a ＋b2i ，为纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b 2＝0a ＋b 2≠0，∴a ＝b ≠0，∴a ＝b ＝1，∴z ＝1＋i.12．已知复数z 所对应的点Z 在直线y ＝3x 上，且虚部为正数，若|z －1|是|z |和|z －2|的等比中项，求|z |.解：设z ＝a ＋b i ，b >0，∵复数z 所对应的点Z 在直线y ＝3x 上， ∴b ＝3a ，∴z ＝a ＋3a i(a >0)． ∵|z －1|＝ (a －1)2＋3a 2，|z |＝ a 2＋3a 2＝2a ，|z －2|＝(a －2)2＋3a 2.又∵|z －1|2＝|z |·|z －2|， ∴(a －1)2＋3a 2＝2a (a －2)2＋3a 2，整理得4a 2－2a ＋1＝4aa 2－a ＋1，两边同时平方得16a 4＋4a 2＋1－16a 3＋8a 2－4a ＝16a 2(a 2－a ＋1)，化简得4a 2＋4a －1＝0，即(2a ＋1)2＝2，解得a ＝2－12或－2－12(舍去)．∴|z |＝2－1.。
【高考秘籍】2013高考数学提分训练第1章1.2.1
1．5A35＋4A24＝()A．107B．323C．320D．348解析：选D．原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.2．4×5×6×…·(n－1)·n等于()A．A4nB．A n－4nC．n！－4!D．A n－3n解析：选D．原式可写成n·(n－1)·…×6×5×4，故选D．3．若A n10－A n9＝n！·126(n∈N*)，则n等于()A．4B．5C．6D．5或6解析：选D．本题不易直接求解，可考虑用代入验证法．故选D．4．已知A n n＋1－A2n＝10，则n＝________.解析：由A2n＋1－A2n＝10，得(n＋1)·n－n(n－1)＝10，解得n＝5.答案：55．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为________．解析：排法种数为A66＝720.答案：720一、选择题1．已知A2n＝132，则n等于()A．11B．12C．13D．14解析：选B．A2n＝n(n－1)＝132，且n∈N＋，∴n＝12.2．有3名男生和5名女生站成一排照相，如果男生不排在最左边且不相邻，则不同的排法有()A．A33·A58种B．A55·A34种C．A55·A35种D．A55·A36种解析：选C.插空法，注意考虑最左边位置.5名女生先排有A55种排法，除去最左边的空还有5个空位供男生选有A35种排法，故共有A55·A35种不同的排法．故选C.3．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目中，那么不同的插法共有()A．42种B．30种C．20种D．12种解析：选A.将两个新节目插入节目单有两种情形：(1)两个新节目相邻的插法种数为6A22；(2)两个新节目不相邻的插法种数为A26，由分类加法计数原理，共有6A22＋A26＝42(种)．4．把同一排6张座位编号1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这2张具有连续的编号，那么不同的分法种数是()A．168B．96C．72D．144解析：选D．6张电影票全部分给4人，每人至少1张至多2张，则必有两人分得2张且这2张具有连续的编号，故这两人共有6种分法：①12,34；②12,45；③12,56；④23,45；⑤23,56；⑥34,56.四个人为甲、乙、丙、丁，其中得两张票的两人可有①甲，乙；②甲，丙；③甲，丁；④乙，丙；⑤乙，丁；⑥丙，丁六种情况．于是，第一步将票搭配，有6种方法；第二步确定得2张票的人，有6种情况；第三步将得2张票的人和得1张票的人分别全排列，于是不同的方法有N＝6×6×A22×A22＝144(种)．5．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有() A．20种B．30种C．40种D．60种解析：选A.分类解决，甲排周一，乙、丙只能是周二至周五四天中选两天进行安排，有A24＝12种方法；甲排周二，乙、丙只能是周三至周五三天中选两天进行安排，有A23＝6种方法；甲排周三，乙、丙只能安排在周四和周五，有A22＝2种方法，由分类加法计数原理知道共有12＋6＋2＝20种方法．6．S＝1！＋2！＋3！＋…＋99！，则S的个位数字为()A．0B．3C．5D．7解析：选B．∵1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！＝24,5！＝120,6！＝720，…∴S＝1！＋2！＋3！＋…＋99！的个位数字是3.二、填空题7．若A m10＝10×9×…×5，则m＝________.解析：10－m ＋1＝5，得m ＝6. 答案：68．5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有________种．(用数字作答) 解析：甲、乙两人被其余3人隔开，故先排列其余3人，在3人隔开的4个空位上安排甲、乙两人．分两个步骤完成，第一步先排除甲、乙外的其他3人，有A 33种方法；第二步将甲、乙两人安排在这3人隔开的4个空位中的两个上，有A 24种方法．则甲、乙两人不相邻的排法有A 33A 24＝72(种)．答案：729．从7名运动员中选4名组成接力队，参加4×100 m 接力赛，那么甲乙两人都不跑中间两棒的安排方法共有________种．解析：分三种情况．第一种情况：甲、乙两人都不在接力队内，选法有A 45种；第二种情况：甲、乙两人中仅有一人的接力队内，选法有A 12·A 12·A 35种； 第三种情况：甲、乙两人都在接力队内，选法有A 22·A 25种．故符合条件的方法共有：A 45＋A 12·A 12 ·A 35＋A 22·A 25＝400(种)． 答案：400 三、解答题10．解不等式：A x 9>6A x －29.解：原不等式可化为9！(9－x )！>6·9！(9－x ＋2)！，其中2≤x ≤9，x ∈N *，∴(11－x )(10－x )>6，即x 2－21x ＋104>0， ∴(x －8)(x －13)>0，∴x <8或x >13. 又∵2≤x ≤9，x ∈N *，∴2≤x <8，x ∈N *.故x ＝2,3,4,5,6,7.11．7名班委中有A 、B 、C 三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A 、B 、C 三人中选两人担任，有多少种分工方案？ (2)若正、副班长两职至少要选A 、B 、C 三人中的一人担任，有多少种分工方案？解：(1)先排正、副班长有A 23种方法，再安排其余职务有A 55种方法，依分步乘法计数原理，共有A 23A 55＝720种分工方案．(2)7人中任意分工方案有A 77种，A 、B 、C 三人中无一人任正、副班长的分工方案有A 24A 55种，因此A 、B 、C 三人中至少有一人任正、副班长的方案有A 77－A 24A 55＝3600(种)．12．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)两名女生必须相邻而站； (2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站； (4)老师不站中间，女生不站两端．解：(1)2名女生站在一起有站法A 22种，视为一种元素与其余5人全排，有A 66种排法，所以有不同站法A 22×A 66＝1440(种)．(2)先站老师和女生，有站法A 33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A 44种，所以共有不同站法A 33×A 44＝144(种)．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2×A 77A 44＝420(种)．(4)中间和两侧是特殊位置，可分类求解如下：①老师站在两侧之一，另一侧由男生站，有A 12×A 14×A 55种站法；②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中的另外4个位置之一，有A 14×A 24×A 44种站法， 所以共有不同站法A 12×A 14×A 55＋A 14×A 24×A 44＝960＋1152＝2112(种)．。
【高考秘籍】2013高考数学提分训练第1章2.1(1)
1．若|a ＋b |＝|a |＋|b |成立(a ，b ∈R)，则有( )A ．ab <0B ．ab >0C ．ab ≥0D ．以上都不对解析：选C.当ab ≥0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |.2．若a ，b ∈R ，则使|a |＋|b |>1成立的充分不必要条件是( )A ．|a |≥12且|b |≥12B ．|a ＋b |≥1C ．|a |≥1D ．b <－1解析：选D.当b <－1时，|b |>1，∴|a |＋|b |>1.但|a |＋|b |>1⇒/ b <－1(如a ＝2，b ＝0)，∴“b <－1”是|a |＋|b |>1的充分不必要条件．3．设a 、b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a >0B ．a 3＋b 3<0C ．a 2－b 2<0D ．b ＋a >0解析：选D.∵a －|b |>0，∴a >|b |>0.∴不论b 正或b 负均有a ＋b >0.4．以下三个命题：①若|a －b |<1，则|a |<|b |＋1；②若a 、b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；③若|x |<2，|y |>3，则|x y |<23，其中正确命题的序号是________． 解析：①∵|a |－|b |≤|a －b |<1，∴|a |<|b |＋1.②∵|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |，∴|a ＋b |－2|a |≤|a －b |.③∵|x |<2，|y |>3，∴1|y |<13， ∴|x ||y |<23.三个命题都正确． 答案：①②③5．不等式|a ＋b ||a |＋|b |≤1成立的条件是( ) A ．ab ≠0 B ．a 2＋b 2≠0C ．ab ≥0D ．ab ≤0解析：选B.∵|a ＋b |≤|a |＋|b |，当|a |＋|b |≠0时，|a ＋b ||a |＋|b |≤1(*)．因此(*)成立的条件是a ≠0且b ≠0，即a 2＋b 2≠0.6．“|x －a |<m 且|y －a |<m ”是“|x －y |<2m ”(x ，y ，a ，m ∈R)的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件解析：选A.∵|x －a |<m ，|y －a |<m ，∴|x －a |＋|y －a |<2m ，又∵|(x －a )－(y －a )|≤|x －a |＋|y －a |，∴|x －y |<2m ，但反过来不一定成立，如取x ＝3，y ＝1，a ＝－2，m ＝2.5，|3－1|<2×2.5，但|3－(－2)|>2.5，|1－(－2)|>2.5，∴|x －y |<2m 不一定有|x －a |<m 且|y －a |<m ，故“|x －a |<m 且|y －a |<m ”是“|x －y |<2m ”(x ，y ，a ，m ∈R)的充分非必要条件．7．设ab <0，a ，b ∈R ，那么正确的是( )A ．|a ＋b |>|a －b |B ．|a －b |<|a |＋|b |C ．|a ＋b |<|a －b |D ．|a －b |<||a |－|b ||解析：选C.由ab <0得a ，b 异号，易知|a ＋b |<|a －b |，|a －b |＝|a |＋|b |，|a －b |>||a |－|b ||，∴选项C 成立．8．0<a <1，下列不等式一定成立的是( )A ．|log (1＋a )(1－a )|＋|log (1－a )(1＋a )|>2B ．|log (1＋a )(1－a )|<|log (1－a )(1＋a )|C ．|log (1＋a )(1－a )＋log (1－a )(1＋a )|<|log (1＋a )(1－a )|＋|log (1－a )(1＋a )|D ．|log (1＋a )(1－a )－log (1－a )(1＋a )|>|log (1＋a )(1－a )|－|log (1－a )(1＋a )|解析：选A.∵0<a <1，∴1<1＋a <2,0<1－a <1.∴log (1＋a )(1－a )<0.①log (1－a )(1＋a )<0.②A 项左边＝－log (1＋a )(1－a )－log (1－a )(1＋a )＝－log (1＋a )(1－a )－1log (1＋a )(1－a ). 令log (1＋a )(1－a )＝t <0，∴左边＝－t －1t ＝(－t )＋1(－t )>2. 由选择题的唯一性，其余可不判断．9．已知函数f (x )，g (x )(x ∈R)且不等式|f (x )|＋|g (x )|<a (a >0)的解集是M ，不等式|f (x )＋g (x )|<a 的解集是N ，则解集M 与N 的关系是( )A ．N ⊆MB ．M ＝NC ．M ⊆ND ．M N解析：选C.任意x 0∈N 有|f (x 0)＋g (x 0)|<a ，根据|f (x )|＋|g (x )|≥|f (x )＋g (x )|，因此|f (x 0)|＋|g (x 0)|<a 是否成立无法判定；任意x 0∈M 有|f (x 0)|＋|g (x 0)|<a ，根据|f (x )|＋|g (x )|≥|f (x )＋g (x )|有|f (x 0)＋g (x 0)|<a ，即x 0∈N ，因此M ⊆N .10．(2011·高考陕西卷)若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：∵|x ＋1|＋|x －2|＝|x ＋1|＋|2－x |≥|x ＋1＋2－x |＝3，∴3≥a .答案：(－∞，3]11．已知α，β是实数，给出三个论断：①|α＋β|＝|α|＋|β|；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是________． 解析：当①③成立时，则|α＋β|＝|α|＋|β|>42>5.答案：①③⇒②12．已知a ，b ，c ，d 都是实数，且a 2＋b 2＝m 2，c 2＋d 2＝n 2(m >0，n >0)，求证：|ac ＋bd |≤m 2＋n 22.证明：∵a ，b ，c ，d 都是实数，∴|ac ＋bd |≤|ac |＋|bd |≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝a 2＋b 2＋c 2＋d 22. 又∵a 2＋b 2＝m 2，c 2＋d 2＝n 2，∴|ac ＋bd |≤m 2＋n 22. 13．已知f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的定义域为[－1，1]，记|f (x )|的最大值为M .求证：M ≥12. 证明：∵f (x )＝x 2＋ax ＋b ，x ∈[－1,1]且|f (x )|≤M ，则M ≥|f (－1)|，M ≥|f (1)|，M ≥|f (0)|，∴2M ≥|f (－1)|＋|f (1)|＝|1－a ＋b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )＋(1＋a ＋b )|＝|2＋2b |≥2－2|b |＝2－2|f (0)|≥2－2M ，故M ≥12.。
【高考秘籍】2013高考数学提分训练第2章章末综合检测
(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是( ) A ．两次掷得的点数 B ．两次掷得的点数之和 C ．两次掷得的最大点数D ．第一次掷得的点数与第二次掷得的点数差解析：选A.两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数． 2．若随机变量ξ)A.0B.215C.115D ．1 解析：选B.由15＋23＋p 1＝1.得p 1＝215.3．某船队若出海后天气好，可获得5000元；若出海后天气坏，将损失2000元；若不出海也要损失1000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是( )A ．2000元B ．2200元C ．2400元D ．2600元解析：选 B.出海效益的期望E (ξ)＝5000×0.6＋(1－0.6)×(－2000)＝3000－800＝2200(元)．4．一射手对靶射击，直到命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后剩余子弹数目的期望为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4解析：选C.ξ＝k 表示第(4－k )次命中目标，其分布列为P (ξ＝3)＝0.6，P (ξ＝2)＝0.4×0.6，P (ξ＝1)＝0.42×0.6，P (ξ＝0)＝0.43×0.6，∴Eξ＝3×0.6＋2×0.4×0.6＋1×0.42×0.6＝2.376.故选C.5．某同学通过计算机测试的概率为13，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为( )A.49B.29C.427D.227解析：选A.连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为P ＝C 13⎝⎛⎭⎫131⎝⎛⎭⎫1－132＝49.6．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f (x )＝1102πe －(x －80)2200，则下列命题中不正确的是( )A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学标准差为10解析：选B.利用正态密度函数的表达式知μ＝80，σ＝10.故A 、D 正确，利用正态曲线关于直线x ＝μ＝80对称，知P (ξ＞110)＝P (ξ＜50)，分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相等，故C 正确，故选B.7．设随机变量ξ～B (n ，p )，若E (ξ)＝2.4，D (ξ)＝1.44，则参数n ，p 的值为( ) A ．n ＝4，p ＝0.6 B ．n ＝6，p ＝0.4 C ．n ＝8，p ＝0.3 D ．n ＝24，p ＝0.1解析：选B.E (ξ)＝np ＝2.4， D (ξ)＝np (1－p )＝1.44， 解得n ＝6，p ＝0.4.8．若随机变量ξ的分布列为，其中m ∈(0,1)A ．E (ξ)＝m ，D (ξ)＝n 3 B ．E (ξ)＝n ，D (ξ)＝n 2C ．E (ξ)＝1－m ，D (ξ)＝m －m 2 D ．E (ξ)＝1－m ，D (ξ)＝m 2解析：选C.∵m ＋n ＝1，∴E (ξ)＝n ＝1－m ，D (ξ)＝m (0－n )2＋n (1－n )2＝m －m 2.9．盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个，以ξ表示取到的白球个数，η表示取到的黑球个数，则( )A ．Eξ＝Eη且Dξ＝DηB ．Eξ＝3－Eη且Dξ＝3－DηC ．Eξ＝Eη且Dξ＝3－DηD ．Eξ＝3－Eη且Dξ＝Dη 解析：选D.∵ξ＋η＝3，∴η＝3－ξ，∴Eη＝3－Eξ，且Dη＝(－1)2Dξ，故选D.10．抛掷甲、乙两枚骰子，若事件A ＝“甲骰子的点数小于3”，事件B ＝“甲、乙两枚骰子的点数之和等于6”，则P (B |A )的值为( )A.13B.118C.16D.19解析：选C.P (A ∩B )＝26×6＝118，P (A )＝C 12C 166×6＝13，∴P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝26×6C 12C 166×6＝16.11．已知离散型随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，若P (1≤X ≤3)＝15，则n 的值为( )A ．3B ．5C ．10D ．15解析：选D.由已知X 的分布列为P (X ＝k )＝1n，k ＝1,2，3，…，n ，∴P (1≤X ≤3)＝P (X＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n ＝15，∴n ＝15.12．一台仪器每启动一次都随机出现一个10位的二进制数A ＝a 1a 2a 3…a 10，其中A 的各位数字中，a 1＝1，a k (k ＝2,3,4，…，10)出现0的概率为13，出现1的概率为23.例如A ＝1001110001，其中a 2＝a 3＝a 7＝a 8＝a 9＝0，a 1＝a 4＝a 5＝a 6＝a 10＝1，记ξ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10.当启动仪器一次时，ξ＝3的概率为( )A.32019683B.2246561C.162187D.326561解析：选C.P (ξ＝3)＝C 29·⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫137＝162187.二、填空题(本大题共4小题，请把正确的答案填在题中横线上)13．已知随机变量ξ～B (5，13)，随机变量η＝2ξ－1，则E (η)＝________.解析：E (ξ)＝53，E (η)＝2E (ξ)－1＝73.答案：7314．设离散型随机变量X ～N (0,1)，则P (X ≤0)＝________；P (－2＜X ＜2)＝________.解析：正态曲线的对称轴为x ＝0，∴P (X ≤0)＝P (X ＞0)＝12；P (－2＜X ＜2)＝P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954.答案：120.95415解析：计算A 1234Eξ1＝0.25×50＋0.3×65＋0.45×26＝43.7； Eξ2＝0.25×70＋0.3×26＋0.45×16＝32.5； Eξ3＝0.25×(－20)＋0.3×52＋0.45×78＝45.7； Eξ4＝0.25×98＋0.3×82＋0.45×(－10)＝44.6. 比较后选A 3.答案：A 316．设l 为平面上过点(0,1)的直线，l 的斜率等可能地取－22，－3，－52，0，52，3，2 2.用X 表示坐标原点到l 的距离，则随机变量X 的数学期望EX ＝________.解析：当l 的斜率k 为±22时，直线方程为±22x －y ＋1＝0，此时d 1＝13；k ＝±3时，d 2＝12；k ＝±52时，d 3＝23；k ＝0时，d 4＝1.由等可能性事件的概率可得分布列如下：∴EX ＝13×27＋12×27＋23×27＋1×17＝47.答案：47三、解答题(本大题共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价是每束5元；节后卖不完的鲜花以每束1.6元处理，根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量(单位：束)ξ的分布列是若节前进这种鲜花)η的期望．解：由题意得E (ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)． 而利润η＝5ξ＋1.6(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450， 则E (η)＝3.4E (ξ)－450＝3.4×340－450＝706(元)．故所求利润的期望为706元．18．某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题．竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率； (2)求这名同学至少得300分的概率．解：记“这名同学答对第i 个问题”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.7，P (A 3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率P 1＝P (A 1A －2A 3)＋P (A －1A 2A 3)＝P (A 1)P (A －2)P (A 3)＋P (A－1)P (A 2)P (A 3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.(2)这名同学至少得300分的概率P 2＝P 1＋P (A 1A 2A 2)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564. 19．甲、乙两人独立解出某一道题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率为0.36.求：(1)甲独立解出该题的概率；(2)解出该题的人数ξ的数学期望．解：(1)设甲、乙独立解出该题的概率均为p ，则该题不能被甲且不能被乙解出的概率为(1－p )2，由题意知1－(1－p )2＝0.36， 解得p ＝0.2.(2)解出该题的人数ξ∴E (ξ)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.20．(2010年高考江苏卷)某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．(1)记X (单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列； (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．解：(1)由题设知，X 的可能取值为10,5,2，－3，且 P (X ＝10)＝0.8×0.9＝0.72， P (X ＝5)＝0.2×0.9＝0.18， P (X ＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P (X ＝－3)＝0.2×0.1＝0.02. 由此得X(2)设生产的4件甲产品中一等品有n 件(n ≤4且n ∈N )，则二等品有(4－n )件．由题设知4n －(4－n )≥10，解得n ≥145，又n ∈N ，得n ＝3或n ＝4.所以P ＝C 34·0.83·0.2＋C 44·0.84＝0.8192. 故所求概率为0.8192.21．(2011年高考江西卷)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求X 的分布列；(2)求此员工月工资的期望．解：(1)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝i )＝C i 4C 4－i 4C 48(i ＝0,1,2,3,4)．即(2)令Y 表示此员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2100,2800,3500.则P (Y ＝3500)＝P (X ＝4)＝170，P (Y ＝2800)＝P (X ＝3)＝835，P (Y ＝2100)＝P (X ≤2)＝5370.E (Y )＝3500×170＋2800×835＋2100×5370＝2280.所以此员工月工资的期望为2280元．22．某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率； (3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列．解：(1)设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ～B ⎝⎛⎭⎫5，23.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率为P (X ＝2)＝C 25×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－233＝40243. (2)设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＝⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫132＋13×⎝⎛⎭⎫233×13＋⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233＝881.(3)设“第i 次射击击中目标”为事件A i ＝(i ＝1,2,3)．由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6.P (ξ＝0)＝P (A 1 A 2 A 3)＝⎝⎛⎭⎫133＝127；P (ξ＝1)＝P (A 1A 2 A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1 A 2A 3)＝23×⎝⎛⎭⎫132＋13×23×13＋⎝⎛⎭⎫132×23＝29；P (ξ＝2)＝P (A 1A 2A 3)＝23×13×23＝427；P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝⎝⎛⎭⎫232×13＋13×⎝⎛⎭⎫232＝827；P (ξ＝6)＝P (A 1A 2A 3)＝⎝⎛⎭⎫233＝827.所以ξ的分布列是：。
2013年高考数学拿高分专项训练5 理
2013年高考数学理拿高分专项训练5一、选择题1．若(x ＋1x)n展开式中的各二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．120解析：选B.2n ＝64，∴n ＝6，常数项为C 36x 3(1x)3＝20.2．某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排两人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有( ) A ．30种 B ．36种 C ．42种 D ．48种解析：选C.若甲在16日值班，在除乙外的4人中任选1人在16日值班有C 14种选法，然后14日、15日有C 24C 22种安排方法，共有C 14C 24C 22＝24种安排方法；若甲在15日值班，乙在14日值班，余下的4人有C 14C 13C 22种安排方法，共有12(种)；若甲、乙都在15日值班，则共有C 24C 22＝6种安排方法． 所以总共有24＋12＋6＝42种安排方法．3．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－154 B.154C ．－38 D.38解析：选C.该二项展开式的通项为T r ＋1＝C r6⎝ ⎛⎭⎪⎫x 26－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－1)r C r 6·126－2r ·x 3－r.令3－r ＝2，得r ＝1.∴T 2＝－6×124x 2＝－38x 2，∴应选C.4．在(x ＋13x)24的展开式中，x 的幂的指数是正整数的项共有( )A ．5项B ．4项C ．3项D ．2项 解析：选C.T k ＋1＝C k24(x )24－k(13x)k ＝C k24x 12－56k .由题意12－56k 为正整数且k ＝0,1,2,3，…，24，故k ＝0,6,12，∴x 的幂的指数是正整数的项只有3项．5．从8个不同的数中选出5个数构成函数f (x )(x ∈{1,2,3,4,5})的值域，如果8个不同的数中的A 、B 两个数不能是x ＝5对应的函数值，那么不同的选法种数为( )A ．C 28A 36B ．C 17A 47C ．C 16A 47 D ．无法确定解析：选C.自变量有5个，函数值也是5个不同的数，因此自变量与函数值只能一一对应，不会出现多对一的情形．因为A 、B 两个数不能是x ＝5对应的函数值，故先从余下6个数中选出与5对应的函数值，有C 16种选法，再从其他7个数中选出4个排列即可，故不同选法共有C 16A 47种． 二、填空题6．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是__________．(用数字作答)解析：3个人各站一级台阶有A 37＝210种站法；3个人中有2个人站在一级，另一人站在另一级，有C 23A 27＝126种站法，共有210＋126＝336种站法． 答案：3367．将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i 个数为a i (i ＝1,2，…，6)．若a 1≠1，a 3≠3，a 5≠5，a 1＜a 3＜a 5，则不同的排列方法有__________种．(用数字作答) 解析：由题设知a 5必为6.第一类：当a 1＝2时，a 3可取4、5，∴共有2A 33＝12(种)；第二类：当a 1＝3时，a 3可取4、5，∴共有2A 33＝12(种)；第三类：当a 1＝4时，a 3必取5，∴有A 33＝6(种)． ∴共有12＋12＋6＝30(种)． 答案：308．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有______个．(用数字作答)解析：数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C 14＝4(个)四位数．“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C 24＝6(个)四位数．“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C 34＝4(个)四位数． 综上所述，共可组成14个这样的四位数． 答案：14 三、解答题9．有同样大小的9个白球和6个红球．(1)从中取出5个球，使得红球比白球多的取法有多少种？(2)若规定取到一个红球记1分，取到一个白球记2分，则从中取出5个球，使得总分不小于8分的取法有多少种？解：(1)5个全是红球有C 56种取法，4个红球、1个白球有C 46C 19种取法，3个红球、2个白球有C 36C 29种取法，所以取出的红球比白球多的取法共有C 56＋C 46C 19＋C 36C 29＝861(种)．(2)要使总分不小于8分，至少需取3个白球2个红球，3白2红有C 39C 26种取法，4白1红有C 49C 16种取法，5个全是白球有C 59种取法，所以总分不小于8分的取法共有C 39C 26＋C 49C 16＋C 59＝2142(种)．10．已知(a ＋1)n 展开式中的各项系数之和等于(165x 2＋1x )5的展开式中的常数项，而(a ＋1)n展开式中的二项式系数最大的项等于54，求a 的值．解：(165x 2＋1x)5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(165x 2)5－r (1x)r＝(165)5－r C r 5x 20－5r 2.令20－5r2＝0，得r ＝4，∴常数项为T 5＝C 45·165＝16.又因为(a ＋1)n 的展开式的各项系数之和等于2n. ∴2n＝16，∴n ＝4.由二项式系数的性质知，(a ＋1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项即第3项，T 3＝C 24a 2＝54，解得a ＝±3.11．北大附中的三男、两女站成一排照一张合影． (1)若两个女生相邻，则共有多少种不同的站法？ (2)若两个女生不相邻，则共有多少种不同的站法？(3)现要调换3人位置，其余2人位置不变，这样不同的调换方法有多少种？解：(1)可分成两步完成：第一步，因为两女生相邻，用捆绑法先把两女生看成一个整体，与三个男生排成一排有A 44种不同的站法；第二步，两个女生相邻有A 22种不同的站法．根据分步计数原理，共有A44A22＝48种不同的站法．(2)可分成两步完成：第一步，三个男生排成一排有A33种不同的站法；第二步，三个男生排好后就产生了四个空位，再将两个女生插入这4个空位中，有A24种不同的站法．根据分步计数原理，共有A33A24＝72种不同的站法．(3)任取2人不动有C25种方法，设调换的3人为A、B、C，则A不能站在原位，可以从B、C 中选1人站在A的位置，有2种情况，故共有2C25＝20种不同的调换方法．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2013届高考数学快速提升成绩题型训练——不等式1. 已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1，若m 、n ∈［－1，1］，m +n ≠0时nm n f m f ++)()(＞0(1)用定义证明f (x )在［－1，1］上是增函数； (2)解不等式 f (x +21)＜f (11-x )；(3)若f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求实数t 的取值范围2 设不等式x 2－2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ⊆［1，4］，求实数a 的取值范围3. 解关于x 的不等式2)1(--x x a ＞1(a ≠1)4. 设函数f (x )=a x 满足条件 当x ∈(－∞，0)时，f (x )＞1；当x ∈(0，1]时，不等式f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，求实数m 的取值范围5. ），的解集是的不等式，关于且已知0(110-∞>≠>x a x a a ，求关于的x 不等式0)1(lo g >-xx a 的解集。
6. 解关于)0(11)1(2>>+-+a x ax x a x 的不等式。
7.已知。
，，11222=++=++>>c b a c b a c b a求证：（1）341<+<b a ；（2）19822<+<ba 。
8.某种商品原来定价每件p 元，每月将卖出n 件。
假若定价上涨)10010≤<x x x x ，成即成（注：，每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来的z 倍。
（1） 若来表示当售货金额最大的常数，用是满足，其中a a a ax y 131<≤=时的x 值；（2） 若xy 32= ，求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围。
9.已知函数)(x f 在R 上是增函数，R b a ∈，。
（1） 求证：如果)()()()(0b f a f b f a f b a -+-≥+≥+，那么； （2） 判断（1）中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论； （3） 解不等式)2()11(lg)2()11(lg -+-+≥++-f xx f f xx f 。
10.奇函数)0[)(∞+，，且在的定义域为R x f 上是增函数，当20πθ≤≤时，是否存在实数m ，使)0()cos 24()32(cos f m m f f >-+-θθ对所有的]20[πθ，∈均成立？若存在，求出适合条件的所有实数m ；若不存在，说明理由。
11. 设数列{}n a 满足),3,2,1(1,211 =+==+n a a a a nn n（Ⅰ） 证明：12+>n a n 对一切正整数n 成立；（Ⅱ）令),3,2,1( ==n na b n n 判断n b 与1+n b 的大小，并说明理由.12. 设,23)(2c bx ax x f ++=使0=++c b a ,0)1(,0)0(>>f f ，求证：(Ⅰ)a ＞0且-2＜ba ＜-1；(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.13. 已知函数()sin f x x x =-,数列{n a }满足:1101,(),1,2,3,.n n a a f a n +<<==证明:（Ⅰ）101n n a a +<<<;(Ⅱ)3116n na a +<.14. 已知函数12)(++=x x x f ,数列{}n a 满足:11=a ,),3,2,1(),(1 ==+n a f a n n(1)证明:数列{}2-n a 是单调递减数列. （2）证明：.2222221<-++-+-n a a a15. 若关于x 的不等式6|2|<+ax 的解集是)2,1(-，求不等式12≤+ax x 的解集16.设n x x x x ,,,,321 都是正实数,求证:.211221322221n nnn x x x x x x x x x x x +++≥++++-17、设1,0≠>a a ，解关于x 的不等式 2log )(log 2+<x ax a a18.过点)1,2(P 作直线l 交y x ,正半轴于B A ,两点. (1)若PB PA ⋅取到最小值,求直线l 的方程 (2)若OAB ∆的面积取到最小值,求直线l 的方程19.设函数,lg )(x x f =正实数b a ,满足)2(2)()(b a f b f a f +==，且b a <（1）求证：0)1)(1(>--b a ; （2）求证：3422<-<b b20.已知函数13)(++=x x x f ,数列{}n a 满足:11=a ,),3,2,1(),(1 ==+n a f a n n(1)设3-=n n a b 证明:n n b b <+1 （2）证明：n b b b +++ 21<13+21. （1）设a>0，b>0且b a ≠，试比较a a b b 与a b b a 的大小。
（2）已知函数()b ax x x f ++=2，1=+q p ，试比较()()y qf x pf +与()qy px f +的大小．22. 已知实数a,b,c 满足条件：012=++++m c m b m a ，其中m 是正数，对于f(x)=ax 2+bx+c(1)如果0≠a ，证明：01<⎪⎭⎫⎝⎛+⋅m m f a(2)如果0≠a ，证明：方程f(x)=0在(0,1)内有解。
23. 已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有)]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤-和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数.设实数a 0，a ，b 满足 0)(0=a f 和)(λa f a b -=(Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ；(Ⅱ)证明20220))(λ1()(a a a b --≤-；(Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.24. 己知2)(,0bx ax x f a -=>函数， （1）();2,10b a x f R x b ≤≤∈>证明：都有时，若对任意当（2）时当1>b ，证明：对任意]1,0[∈x ，1|)(|≤x f 的充要条件是b a b 21≤≤-； （3）时，当10≤<b 讨论：对任意]1,0[∈x ，1|)(|≤x f 的充要条件。
25. 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。
为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？答案：1. (1)证明 任取x 1＜x 2，且x 1，x 2∈［－1，1］，则f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)+f (－x 2)=2121)()(x x x f x f --+·(x 1－x 2)∵－1≤x 1＜x 2≤1， ∴x 1+(－x 2)≠0，由已知2121)()(x x x f x f --+＞0，又 x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x )在［－1，1］上为增函数 (2)解 ∵f (x )在［－1，1］上为增函数，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-112111111211x x x x 解得 {x |－23≤x ＜－1，x ∈R }(3)解 由(1)可知f (x )在［－1，1］上为增函数，且f (1)=1， 故对x ∈［－1，1］，恒有f (x )≤1，所以要f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，即要t 2－2at +1≥1成立，故t 2－2at ≥0，记g (a )=t 2－2at ，对a ∈［－1，1］，g (a )≥0，只需g (a )在［－1，1］上的最小值大于等于0，g (－1)≥0，g (1)≥0， 解得，t ≤－2或t =0或t ≥2∴t 的取值范围是 {t |t ≤－2或t =0或t ≥2}2. 解 M ⊆［1，4］有两种情况 其一是M =∅，此时Δ＜0；其二是M ≠∅，此时Δ=0或Δ＞0，分三种情况计算a 的取值范围 设f (x )=x 2 －2ax +a +2，有Δ=(－2a )2－(4a +2)=4(a 2－a －2)(1)当Δ＜0时，－1＜a ＜2，M =∅Ø［1，4］ (2)当Δ=0时，a =－1或2当a =－1时M ={－1}⊄［1，4］；当a =2时，m ={2}Ø［1，4］(3)当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2设方程f (x )=0的两根x 1，x 2，且x 1＜x 2，那么M =［x 1，x 2］，M ⊆［1，4］⇔1≤x 1＜x 2≤4⎩⎨⎧>∆≤≤>>⇔0,410)4(,0)1(且且a f f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<>>->+-210071803a a a a a 或，解得 2＜a ＜718，∴M ⊆［1，4］时，a 的取值范围是(－1，718)3. 解 原不等式可化为2)2()1(--+-x a x a ＞0，①当a ＞1时，原不等式与(x －12--a a )(x －2)＞0同解由于2111211a a a -=-<<--∴原不等式的解为(－∞，12--a a )∪(2，+∞)②当a ＜1时，原不等式与(x －12--a a )(x －2) ＜0同解由于21111a a a -=---,若a ＜0，211211a a a -=-<--,解集为(12--a a ，2)； 若a =0时，211211a a a -=-=--，解集为∅；若0＜a ＜1，211211a a a -=->--,解集为(2，12--a a )综上所述 当a ＞1时解集为(－∞，12--a a )∪(2，+∞)；当0＜a ＜1时，解集为(2，12--a a )；当a =0时，解集为∅；当a ＜0时，解集为(12--a a ，2）4. 解 由已知得0＜a ＜1，由f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)，x ∈(0，1]恒成立⎪⎩⎪⎨⎧+<-+-+<-⇔2111322m x mx x mx mx 在x ∈(0，1]恒成立整理，当x ∈(0，1)时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222x x m xx 恒成立， 即当x ∈(0，1]时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+>-<112122x x m xx m 恒成立，且x =1时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222x x m x mx 恒成立，∵2121212-=-xxx 在x ∈(0，1]上为减函数，∴xx 212-＜－1，∴m ＜xx 212-恒成立⇔m ＜0又∵2112)1(112+-+-=-+x x x x ，在x ∈(0，1]上是减函数，∴112-+x x ＜－1∴m ＞112-+x x 恒成立⇔m ＞－1当x ∈(0，1)时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+>-<112122x x m xx m 恒成立⇔m ∈(－1，0) ①当x =1时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222x x m x mx ，即是⎩⎨⎧<<100m ∴m ＜0 ②∴①、②两式求交集m ∈(－1，0）,使x ∈(0，1]时，f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，m 的取值范围是(－1，0)5.解集为)2511()2511(+--，，6、①若)251()2511(2150∞++--+<<，，，则原不等式的解集为a a ； ②若)251(215∞+++=，，则原不等式的解集为a ；③若)251()1251(215∞++--+>，，，则原不等式的解集为 aa 。