二次根式的乘法
二次根式的乘法运算法则
二次根式的乘法运算法则在数学领域中，二次根式乘法运算法则被认为十分重要。
它能够帮助数学家们在进行数学运算时以最简洁而快速的方式实施任务。
本文旨在介绍二次根式乘法运算法则的原理和应用方法，并讨论它在日常学习和数学研究中的重要性。
首先，让我们介绍一下什么是二次根式乘法运算法则。
二次根式乘法运算法则是定义在二次根式上的一种运算法则，其定义如下：如果一个二次根式中有两个或两个以上的根式因子，可以将其分割成若干分“子”根式，每个子根式中只有一个根式因子，并且其乘积等于原式本身，则称为二次根式乘法运算法则。
接下来，我们来看看二次根式乘法运算法则的具体应用。
在实际应用中，二次根式乘法运算法则可以用来简化复杂的根式运算，从而减少计算时间和步骤。
例如，在将一个包含两个根式因子的二次根式乘法运算的过程中，首先可以将其分割成两个子根式，每个子根式中只有一个根式因子，然后对每个子根式求解，得出的结果再相乘即可得到最后的结果，这种方法比直接求解要快得多。
此外，二次根式乘法运算法则在日常学习和数学研究中有着重要意义。
首先，运用这种法则可以有效提升学生们的学习效率。
有了这种法则，学生们可以更快地明白数学问题的结构，尤其对于涉及复杂运算的情况，二次根式乘法运算法则的使用能够有效节省时间，大大提升学习效率。
其次，在数学研究中，运用二次根式乘法运算法则可以帮助数学家们简化复杂的数学公式，从而更好地进行精确的计算，相比于传统的计算方法更加精准有效。
综上所述，二次根式乘法运算法则是数学领域中一种重要的运算法则。
它能够有效简化复杂的数学问题，提升学习效率，进而提高学生在学习数学方面的表现，同时也可以增加数学家们的研究工作效率，开展精确的计算。
二次根式乘法运算法则无疑是一个十分重要的数学运算法则，它既可以帮助学生们更好地掌握数学相关知识，也可以有助于数学家们更好地开展研究工作。
二次根式乘法运算
二次根式乘法运算
哎呀呀，同学们，你们知道吗？数学世界里有个特别有趣的东西叫二次根式乘法运算！
就好像我们在玩搭积木的游戏，每一块积木都有它的规则和玩法。
二次根式乘法运算也是这样，它可是有自己的小秘密和规律呢！
比如说，有两个二次根式，根号2 乘以根号3，这可怎么算呀？其实很简单，就把被开方数相乘，然后再放到根号下面去，也就是根号6 啦！这是不是很神奇？
再比如，根号5 乘以根号7，那结果不就是根号35 嘛！是不是感觉就像变魔术一样？
有一次上课，老师在黑板上出了一道题：根号8 乘以根号18 。
我心里想，这可难不倒我！我赶紧拿起笔就算了起来，先把8 变成2×2×2，18 变成2×3×3，然后把相同的提出来相乘，最后得到12。
我兴奋地举起手，大喊：“老师，我算出来啦！”老师微笑着点了点头，说：“真不错！”
还有一次，我和同桌一起讨论二次根式乘法运算。
我问他：“你说这二次根式乘法运算像不像给数字们找家呀？”他眨眨眼睛说：“有点像呢，得把它们按照规则放到合适的地方。
”我们俩哈哈大笑起来。
你看，二次根式乘法运算其实并没有那么难，只要我们掌握了规律，就像掌握了打开宝藏的钥匙一样！它就像是一个神秘的小魔法，等着我们去探索和发现。
所以呀，同学们，别害怕这个二次根式乘法运算，多练练，多想想，我们一定能把它玩转！这就是我对二次根式乘法运算的感受，你们觉得呢？。
16.2 二次根式的乘除
例 6 计算:(1)-2 15÷3 3×6 5;
(2)
3
·
2
÷
2
1
2
3
;(3)3 2 × -
1
8
15 ÷
1
2
2
.
5
分析(1)利用二次根式的乘除法则计算即可;(2)先根据二次根式
的除法法则计算括号里的,再计算即可;(3)先把乘除法混合运算转
化成乘法运算,再进行乘法运算即可.
22
教材新知精讲
(4)公式里的字母可以是具体的数,也可以是值为非负数的代数
式.
(5)当二次根式前面系数不为 1 时,可以类比单项式与单项式相
乘的法则,先把系数相乘,再把被开方数相乘,即
m ·
n =mn (a≥0,b≥0).
3
教材新知精讲
知识点一
知识点二
知识点三
例 1 计算:(1)
5
×
3
知识点四
知识点五
综合知识拓展
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。17:50:0617:50:0617:509/12/2021 5:50:06 PM
教材新知精讲
综合知识拓展
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.1217:50:0617:50Sep-2112-Sep-21
平方根的性质结合起来使用.商的算术平方根实质是二次根式除法
法则的逆用.
(5)利用商的算术平方根的性质,可以把被开方数的分母是开得尽
方的数的二次根式进行化简.
15
教材新知精讲
知识点一
知识点二
21.2 二次根式的乘法
(1) 24 27 (4) 0.4 3.6
) 6 ( 15) (2
(3) 18 20 75
梳理
a b ab （a≥0，b≥0）
ab a b （a≥0，b≥0）
最简二次根式.
填空：
25 16 ∵ 25 ___， 16 ___ 25 ___ 16
x=1
x为任意实数.
1 x 0 x0
2x 1 x
x 0且x 1
一个长方形的长为 6cm，宽为 3cm， 这个长方形的面积是多 少？
解 : 长方形的面积为 3 6
21.2 二次根式的乘法
探究
计算:
(1) 4 9 6 ) 4 9 6 (2 1 3 1 3 (3) 9 ) 9 (4 4 2 4 2 归纳
当a>0，b>0 时, 如果 a>b , 那么
a b
比较大小：
1) 7 6 与 6 7 2) 4 5 与 9 3) 2 3 与 3 2
化简 25 x y
3
4
解： 25 x y 0
3 4
y 0, x 0.
4
25 x y
3
4
5y x 2 5y x x
探究
把
a b ab 反过来，就
（a≥0，b≥0） ab a b
可以得到:
利用它可以进行二次根式的化简.
例题
化简:
(1) 16 81 16 81 4 9 36
(2) 4a b
2 3
(3) 12 (4) 1014
化简二次根式，就是要把被开方数中的 平方数（或平方式）从根号里开出来.
二次根式的乘除法(1)
分子和分母乘除后,分别分解素因数,找平方的项开 出,不必马上乘出来(分母必须是平方的项)
例3 计算：
(1) 3 2 6 (2) 8 27 18
6ab 3b
15uv 5uv
u 0,10u3v 0
v 0
原式
15uv
5uv 0
5uv
分子和分母乘除后,分别分解素因数,找平方的项开 出,不必马上乘出来(分母必须是平方的项）
(3) a b a2c b2c （a>b>0）
解 : 原式
ab a2c b2c
（默4）
a2c b2c 0
4.已知x满足 (99 x)(x 99、) 99 x. x 99
y是 2007 x 的整数部分，求 x y
解 (99 x)(x 99) 99 x x 99 99 x 0且x 99 0, x 99, y是 2007 99 的整数部分, y 45, x y 99 45 12
2 3 1 3 1 3 18 3 9
2 18 2 18 2
3 3
试一试
32
计算：(1) 2
(2) 50 10
3 4 1 7
5 10
(4)2 11 5 1 26
解：1 32 32 16 4
22
2 50 50 5
10 10
(3)原式＝
41 7＝ 5 10
21 10＝
57
6 如果根号前 有系数，就
b
b2 a
2
2 6a
原式=
( b
)( b2
二次根式的乘除法(含例题)
第十六章 二次根式16.2 二次根式的乘除1．二次根式的乘法法则（1）一般地，二次根式的乘法法则是：__________(00)a b a b =≥≥，．语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数__________．在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a ，b 均为非负数这一条件． 000)a b c abc a b c =≥≥≥，，． ②00)a b c d bd b d =≥≥，，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数；③乘法交换律和结合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可应用． （2）二次根式乘法法则的逆用00)ab a b a b =≥≥，．语言叙述：积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积．公式中的a ，b 可以是数，也可以是代数式，但必须满足a ≥0，b ≥0．实际上，a ≥0，b ≥0是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab ≥0即可．二次根式乘法法则的逆用也称为积的算术平方根，在进行二次根式的乘法运算时，这两个关系经常交替使用． 0000)abcd a b c d a b c d =≥≥≥≥，，，．运用这个性质可以化简二次根式：如果一个二次根式的被开方数有的因数（式）是完全平方数（式），(00)ab a b a b =≥≥，2(0)a a a =≥将这些因数（式）“开方”出来，从而将二次根式化简．利用积的算术平方根的性质化简的步骤：①将被开方数进行因数分解或因式分解；②应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来．2．二次根式的除法法则（1）一般地，二次根式的除法法则是：0__________0)a b =≥，． 语言叙述：二次根式相除，把被开方数__________，根指数不变．【注意】①a ≥0，b >0时，式子才成立，若a ，b 都是负数，虽然0a b >在实数范围内无意义；若b =0，a b则号无意义． ②如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数．③二次根式的运算结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式．（2）二次根式除法法则的逆用00)a b =≥>， ★语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．公式中的a ，b 表示的代数式必频满足a ≥0，b >0，a ≥0，b >0是限制公式右边的，对公式的左边，只要0a b≥且0b ≠即可．利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为“（a ≥0，b >0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可． 3．最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（1）被开方数不含__________；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．【拓展】分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化．分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号．分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜．K知识参考答案：1．ab，不变2．>，相除3．分母K—重点二次根式的乘法和除法；最简二次根式的判断K—难点二次根式的乘法法则和除法法则的逆用K—易错运算顺序错误；忽视隐含条件一、二次根式的乘法1．法则中的a，b表示的代数式都必须是非负的．2．两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方．【例1】下列计算正确的是A．25×35=65B．32×33=36C．42×23=85D．22×63=126【答案】D⨯⨯得【例2】916144A．144 B．±144 C．±12 D．12【答案】A⨯⨯．故选A．916144⨯⨯916144=3412=144二、二次根式的除法1000)a b c ÷=≥>>，，；2．((()m n ÷=÷⋅，其中000a b n ≥>≠，，．【例3】=成立的条件是 A ．a 、b 同号B ．a ≥0，b >0C ．a >0，b >0D ．a >0，b ≥0 【答案】B【解析】由二次根式的非负性可知，a ≥0，b ≥0，由于b 是分母，故b >0．故选B ．【例4】计算A ．B ．23xC ．D x 【答案】C【解析】原式=4×C ． 三、二次根式的乘除混合运算二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用．二次根式乘除混合运算的一般步骤：（1）将算式中的除法转化为乘法；（2）利用乘法运算律将运算转化为系数和被开方数的乘法运算；（3）将系数和被开方数分别相乘；（4）化成最简二次根式．【例5】A B C D ．【答案】A==．故选A．四、最简二次根式判断二次根式是不是最简二次根式的方法：一看：看被开方数中是否含有能开得尽方的因数（或因式），且被开方数中是否含有分母．二化：若被开方数是多项式，能化成因数（或因式）积的形式，要先化成积的形式．三判断：得出结论．【例6】下列根式中，是最简二次根式的是A B C D【答案】C【解析】因为：A=；B=；D||b=，所以这三项都可化简，不是最简二次根式．故选C．。
二次根式的乘除混合运算
(4)观察下列各式： 1 1 2 1，2 1 3 1，3 1 4 1，
3
3
4
4
5
5
........请你将发现的规律用含 自然数n（n 1)的等式表示出来 __________
反思： 通过这节练习课的练习，学生能够很好的掌握二次根式 的乘除混合运算，并且能够对分母是多项式的进行分母 有理化.
复习：整式的乘除混合运算的顺序是怎样进行的？ 整式的乘除混合运算的顺序从左至右进行，有括号的先算括号里面的.
例如：计算- 2a3b2 2 ab2Байду номын сангаас 4ab 5
问题：你知道二次根式的乘除混合运算的顺序是怎样进行的吗？ 知识点1：二次根式的乘除混合运算的顺序从左至右进行，有 括号的先算括号里面的.
计算
n n 1
(2)利用上面提供的解法化 简：
1 1 1 .......... 1
1
1 2 2 3 3 4
98 99 99 100
选择题：精心选一选，你会很开心！
（1）设 2 a, 3 b,用含a,b的式子表示 0.54，下列表示正确的是（
）
A.0.3ab
B.3ab
C.0.1ab2
(1) 45 3 1 3 5 52
(2) 4 18 2 8 1 54
3
3
(3) 2 b
ab5
6a b2
b ( 3 a2
a3b )
(4)2 ab ( 3 a2b 3 a ) 2
计算：
(1)3 3 1 3
(2) 3 6 2
(5)3 2 2 ( 1 15） 1 2
38
25
分母有理化的重要应用
二次根式的乘法
二次根式的乘法二次根式是数学中的一种特殊形式，指的是具有平方根的算术表达式。
在代数中，我们经常需要进行二次根式的乘法运算，本文将详细介绍二次根式的乘法方法和相关的计算规则。
一、二次根式的定义二次根式指的是形如√a的算术表达式，其中a是一个非负实数。
二次根式也可以写成更一般的形式，如a√b，其中a和b都是实数，且b 不含平方因子。
二、二次根式的乘法规则1. 相同根指数相乘当两个二次根式具有相同的根指数时，它们可以相乘。
例如，√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。
2. 不同根指数相乘当两个二次根式具有不同的根指数时，我们可以将它们转化为相同的根指数，然后再进行相乘。
例如，√2 × ∛3可以转化为∛2 ×∛(3^2) = ∛(2 × 3^2) = ∛18。
3. 分解因式相乘对于复杂的二次根式，我们可以将其进行因式分解，然后再进行相乘。
例如，√8 × √50可以分解为√(2^3) × √(2 × 5^2) = √(2^4 × 5^2) =√(400) = 20。
4. 乘法的交换律和结合律二次根式的乘法满足乘法的交换律和结合律。
也就是说，a√b × c√d = c√d × a√b= ac√bd。
例如，2√3 × 4√5 = 4√5 × 2√3 = 8√15。
三、习题示例下面我们通过一些习题来加深对二次根式的乘法规则的理解：1. 计算√2 × √8 × √18。
解：首先，将√2 × √8 × √18 转化为√(2 × 8 × 18)。
然后，进行乘法运算得到√(288)。
再进一步分解为√(2^5 × 3^2)，可以简化为12√2。
2. 计算√3 × ∛(√5)。
解：首先，将√3 转化为√(3^2)，得到√(9 × √5)。
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2、能用字母表示上述所发现的规律吗？ 可以表示为
ab a b （a≥0,b≥0）
教学过程设计
3、二次根式乘法法则：
两个二次根式的积，等于各被开方数的积的算术平方根 一般地，对二次根式的乘法规定
ab a b （a≥0,b≥0）
二次根式的所有运算都是在保证二次 根式有意义的前提下进行的
非负数； 2、此法则可以推广到多个二次根式的乘法运算中，即
a b c a b c (a 0, b 0, c 0)
3、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算， 即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数，即
n a m b n m a b
有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索，以 调动学生的求知欲望，培养学生的探索能力、创新意识。 （二）、学法分析 自主探索、合作交流的研讨式学习，目的是使学生在
探究的活动中体验过程，主动建构知识，同时培养学生动
口、动手、动脑的能力。
教学过程设计
五、教学过程设计
（一）、温故知新、探索新知
1、什么叫二次根式？
5 7 5 3 35 15
注意：二次根式运算的结果，被开方数不含能开得尽 方的因数或因式
教学过程设计
ab a b
讨论：二次根式乘法法则是否可以推广到三 个二次根式的乘法？
证：假设可以推广，则例2中的（1）可写为
3 5 7 3 5 7 105
因为 105 105
例2、（ 1 ）、3 5 7
（2）、5 （ 7 10 ）
解、（1）、利用二次根式乘法的结合律知
3 5 6 3 ( 5 7) 3 5 7
3 35 3 35 105
教学过程设计
ab a b
（2）利用二次根式乘法的分配律知
5 ( 7 3) 5 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ7 5 3
3、请同学计算下列各题
(1)、填空
① 4
9 ___;
4 9 ____
② 16
③ 2
2 5 _ _ _ _ ; 1 6 2 5 _ _ _ _ 3 ____; 2 3 _____
计算器进行计算
让同学们观察以上计算结果，能发现什么规律？
并用发现的规律分别对其判断两等式的大小（">","<","=")
教学过程设计
ab a b
作业布置
1、必做题：见书第8页 练习1
2、选做题： 见书第8页 练习3
习的过程中，我们要创造条件和机会，让学生发表自己
的见解，发挥学生学习的主动性和积极性。
二、教学目标
一是使学生能够利用积的算术平方根的 性质进行二次根式的简便运算； 二是让学生能进行简单的二次根式的乘 法运算；
知识目标
能力目标
一、培养学生知识整理能力，提高学习 效率； 二、增强学生解决实际问题的能力。
一般地，把形如 的式子叫做二次根式。 （ a a 0）
2、二次根式的两个基本性质
(1) 、 ( a ) 2 a ( a 0) a ( a 0) ( 2)、 ( a ) | a | - a ( a 0)
2
通过对二次根式定义及性质的复习，为探究二次根式的乘法运算铺 垫。
教学过程设计
4 9 ___ 4 9; 16 25 ____ 16 25; 2 3 ____ 2 3
教学过程设计
（二）、讨论归纳，导入新课
1、上述式子均有哪些相同点？ （ 学生进行讨论并发表意见） （1）、被开方数都是正数； （2）、两个二次根式的乘积等于一个二次根式，并且把这两个二次根式 中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数。
所以假设成立
则 a b c a b c (a 0, b 0, c 0)
教学过程设计
ab a b
练习巩固
1 1、 8 2
2、3 7
1 3、3 5 3
4、2 （ 2 8）
教学过程设计
四、归纳小结，作业布置
ab a b
总结：
1、在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a、b均为
在《课程标准》中，是属于“数与代数”部分的重要内容，
是对七年级上册学习“实数”、“代数式”等内容的延伸 和补充。
教 材 分 析 （二）学情分析
本节可的内容是在理解二次根式的定义及相关概念
的基础上，进一步研究二次根式的运算，是对二次根式
的简便运算。二次根式的乘法这一节的知识构造较为简 单，并且，是在学生学习了平方根，立方根等内容的基 础上进行的，因此，学生对算术平方根等概念已经有了 初步认识，这为学生学习打下了基础，在和学生一起学
教学目标
教材分析
教学重点、难点
二次根式的乘法
教法、学法分析 教学过程设计
一、教材分析
（一）教材所处的地位及作用
教 材 分 析
《二次根式的乘法》是人教版初中数学，九年级上册第 一章第二节第一课时的内容。《二次根式的乘法》是初中 数学的重要内容之一，本节的内容是对上一节学习二次根 式的延伸与拓广，也是为后面学习二次根式的加减做铺垫。
在我们的学习中，一般没有特别的说明，根号内的字母都为正数
教学过程设计
4、二次根式的乘法运算律 （1）、交换律：
a b b a
（2）、结合律：
a b c a ( b c)
（3）、分配律：
a ( b c ) a b a c ab ac
教学过程设计
(三）、强化训练，巩固提高
ab a b
1 例1、 (1)、3 5； (2)、 27 3
解：（1） 利用二次根式的乘法法则知
3 5 3 5 15
（2） 利用二次根式的乘法法则知
1 27 3
1 27 9 32 3 3
教学过程设计
ab a b
情感态度与 价值目标
培养学生对于事物规律的观察，发现能
力，激发学生的学生学习激情。
三、教学重点、难点
教学重点
掌握二次根式的乘法法则，能运用法 则进行运算
二次根式乘法法则及乘法运算律的应 教学难点 用及推广
教法、学法分析
四、教法、学法分析
（一）、教法分析
利用发现法、讨论法，引导学生从具体生活情境及已