第二章 2.2 第2课时 等差数列的性质
教学：2.2.2 等差数列(二)
在等差数列an中，若m, n, p, q N ,
则当m n p q时，总有am an a p aq
特别地，若m n 2 p，则am an 2a p
练习：在等差数列{an}中，
（1）已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 ；10 （2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8； 15
则当m n p q时，总有am an a p aq
特别地，若m n 2 p，则am an 2a p
即此时a p是am与an的等差中项
练习：在等差数列{an}中，
（1）已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 ；10 （2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8； 15
a3
8 12
解得
a1 a3
2 6
或
a1 a3
6 2
∴这三个数为2，4，6或6，4，2
例4、三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的 积也为12，求此三数.
解法2：设这三个数分别为a-d，a，a+d 则 (a-d )+a+(a+d )=12，即3a=12 ∴a= 4 又∵ (a-d )(a+d )=12，即(4-d )(4+d )=12 解得 d=±2 ∴当d=2时，这三个数分别为2，4，6 当d=-2时，这三个数分别为6，4，2
（3）已知 a2+a14=10，能求出a16吗？
练习：
1、已知在等差数列 an 中， a1 a3 6, a7 18,
21-22版：§2.2 第2课时 等差数列的性质（步步高）
[素养提升] 等差数列中的计算大致有两条路：一是都化为基本量 (a1，d，n)然后解方程(组)；二是借助等差数列性质简化计算.前者是 通用方法，但计算量大，后者不一定每个题都能用，能用上会使计 算简单些，所以建议学习者立足通法，注意观察各项序号特点，能 巧则巧，但不要刻意追求巧法.
随堂演练
SUITANGYANLIAN
课时对点练
KESHIDUIDIANLIAN
基础巩固
1.已知等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＝18，a3＋a5＋a7＝30，则a2＋a4＋
a6等于
√ A.20 B.24
C.26
D.28
解析 ∵等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＝18，a3＋a5＋a7＝30， 设公差为d，两式相减可得6d＝30－18＝12，∴d＝2. 则a2＋a4＋a6＝a1＋a3＋a5＋3d＝24.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.数列{an}为等差数列，且a15＝8，a60＝20，则a75等于
√A.24
B.28
C.32
D.36
解析 ∵d＝a6600－ －1a515＝4152＝145， ∴a75＝a60＋15d＝20＋4＝24.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
√A.12
B.24
C.16
D.32
解析 令 bn＝ann，由题意可知 b3＝a33＝23，b15＝a1155＝2， 则等差数列{bn}的公差 d＝b1155－－b33＝19， 则 b9＝b3＋(9－3)d＝43，所以 a9＝9b9＝12.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
第一部分 第二章 2.2 第二课时 等差数列的性质
∴这三个数为－1,3,7 或 7,3，－1.
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8．已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二 个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．
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解：设这四个数依次为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d. 由题设知
a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26， a－da＋d＝40，
解析：经观察发现(a2＋a5)－(a1＋a4)＝(a3＋a6)－(a2
＋a5)＝2d＝39－45＝－6，所以a3＋a6＝a2＋a5－6＝
39－6＝33.
答案：D
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[例 2]
b＋c a＋c a＋b 1 1 1 已知a，b，c成等差数列，求证： a ， b ， c
也成等差数列． [思路点拨] 欲证三个数成等差数列，只需证中间一项是另
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[一点通]
a＋c 三数 a， c 成等差数列的条件是 b＝ 2 b，
(或 2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中 项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．
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4．等差数列{an}的前三项分别是a－1，(a＋1)2，a＋3，则
该数列的通项公式是
am－an (2)等差数列{an}中，公差 d＝ (m，n∈N*)． m－n
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(3)等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，
则am＋an＝ap＋aq.
特例：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap. (4)等差数列{an}每隔一定距离抽取一项所组成 的数列仍成等差数列． (5)数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为λd的
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[例3]
(12分)四个数成递增等差数列，中间两数的
和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． [思路点拨] 四个数成等差数列，且中间两数的和
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.2等差数列的性质课件 新人教A版必修5
(4)若{an}是有穷等差数列，则与首、末两项等距 若 是有穷等差数列， 是有穷等差数列 则与首、 离的两项之和都相等，且等于首、末两项之和， 离的两项之和都相等，且等于首、末两项之和， 即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋1＋an－i＝…. ＝ ＋ － － (5)数列 n＋b}(λ、b是常数 是公差为 的等差数 数列{λa 是常数)是公差为 数列 、 是常数 是公差为λd的等差数 列．
方法感悟
若数列{a 是公差为 的等差数列，则有： 若数列 n}是公差为 d 的等差数列，则有： an－a1 am－ak (1)d＝ (m、n、k∈N*)． ＝ ＝ 、 、 ∈ ． n－1 m－k － － (2)若 m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则 am＋an 若 ＋ ＝ ＋ 、 、 、 ∈ ， ＝ap＋aq. m＋n ＋ (3)若 若 ＝k，则 am＋an＝2ak(m、n、k∈N*)． ， 、 、 ∈ ． 2
差d＜0，所以利润构成的数列是一个递减数列， ＜ ，所以利润构成的数列是一个递减数列， 即随着n的增大， 的值越来越小， 即随着 的增大，an的值越来越小，an＜0时(此处 的增大 时 此处 暗含a － 成立 公司将出现亏损． 成立)公司将出现亏损 暗含 n－1≥0成立 公司将出现亏损．
变式训练2 变式训练
体考虑问题． 利用 利用2a 利用a 体考虑问题．(1)利用 4＝a3＋a5，(2)利用 n＝ 利用 am＋(n－m)d. －
解析】 【 解析】 (1)∵a3＋ a4＋a5＝12，∴ 3a4＝ 12，a4 ∵ ， ， ＝4. ∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋ ＋ ＋ ＋ a4＝7a4＝28. (2)在等差数列 n}中，根据 an＝am＋(n－m)d， 在等差数列{a 中 在等差数列 － ， 1 ∴a51＝a11＋40d，∴d＝ (54＋26)＝2. ， ＝ ＋ ＝ 40 ＝－26＋ × ＝－ ＝－20. ∴a14＝a11＋3d＝－ ＋3×2＝－ ＝－
等差数列的性质(52张PPT)课件
第二章 2.2 第2课时
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[点评] 本题考查等差数列的两个基本性质．解题时应 注意题中所给各项的关系，注意第(2)题应有两组结果．
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第二章 2.2 第2课时
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变式训练 1 (1)设{an}为等差数列，若 a3＋a4＋a5＋a6 ＋a7＝450，求 a2＋a8；
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第二章 2.2 第2课时
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课堂 互 动 探 究
例 练 结 合 ········································· 素 能 提 升
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第二章 2.2 第2课时
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典例导悟
类型一 等差数列的性质及应用 [例 1] 已知等差数列{an}， (1)若 a2＋a3＋a25＋a26＝48，求 a14； (2)若 a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差 d.
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第二章 2.2 第2课时
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联立解得 a2＝4，a5＝13，或 a2＝13，a5＝4. 当 a2＝4，a5＝13 时，d＝a55－－a22＝3； 当 a2＝13，a5＝4 时，d＝a55－－a22＝－3. ∴公差 d 为 3 或－3.
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(2)在等差数列{an}中，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，求 3a9 －a13 的值．
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第二章 2.2 第2课时
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解：(1)a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8， ∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450. ∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180. (2)由a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100得a7＝20. ∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.
高中数学第二章数列 第2课时等差数列的性质学案含解析新人教A版必修
第2课时等差数列的性质[目标] 1.记住等差数列的一些常见性质；2.会用等差数列的性质解答一些简单的等差数列问题．[重点] 等差数列性质的应用．[难点] 等差数列性质的理解．知识点一等差数列的重要性质[填一填]1．a n＝a m＋(n－m)d(m,n∈N*)．2．若m＋n＝p＋q(m,n,q,p∈N*),则a m＋a n＝a p＋a q.[答一答]1．在等差数列{a n}中,若a m＋a n＝a p＋a q(m,n,p,q∈N*),则m＋n＝p＋q成立吗？提示：不一定．若数列{a n}是常数列,则m＋n＝p＋q不一定成立．2．在公差为d的等差数列{a n}中,若m＋n＝2p(m,n,p∈N*),则2a p与a m,a n有何关系？提示：2a p＝a m＋a n.3．在等差数列{a n}中,若m＋n＝p,则a m＋a n＝a p成立吗？提示：不成立．知识点二等差数列的其他性质[填一填]1．若{a n}是公差为d的等差数列,则下列数列：(1){c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；(2){ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；(3){a n＋a n＋k}(k为常数,k∈N*)是公差为2d的等差数列．2．若{a n},{b n}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pa n＋qb n}(p,q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．[答一答]4．在等差数列中,如何判断数列的单调性？提示：在等差数列{a n}中,a n＝a1＋(n－1)d.当d>0时,{a n}是递增数列；当d＝0时,{a n}是常数列；当d<0时,{a n}是递减数列．5．判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”． (1)等差数列去掉前面若干项后,剩下的项仍构成等差数列．( √ ) (2)摆动数列不可能是等差数列．( √ )(3)在等差数列{a n }中,若m ＋n ＋p ＝3t ,则a m ＋a n ＋a p ＝3a t .( √ )类型一 等差数列的性质应用[例1] (1)已知等差数列{a n },a 5＝10,a 15＝25,求a 25的值； (2)已知等差数列{a n },a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝70,求a 1＋a 9的值；(3)已知数列{a n },{b n }都是等差数列,且a 1＝2,b 1＝－3,a 7－b 7＝17,求a 19－b 19的值． [分析] 分析题目,可利用等差数列的性质,也可利用通项公式求解． [解] (1)方法一：设{a n }的公差为d ,则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝10，a 1＋14d ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝32，故a 25＝a 1＋24d ＝4＋24×32＝40.方法二：因为5＋25＝2×15,所以在等差数列{a n }中有a 5＋a 25＝2a 15,从而a 25＝2a 15－a 5＝2×25－10＝40.方法三：因为5,15,25成等差数列,所以a 5,a 15,a 25也成等差数列,因此a 25－a 15＝a 15－a 5,即a 25－25＝25－10,解得a 25＝40.(2)由等差数列的性质,得a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5＝a 1＋a 9,所以a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝70,于是a 5＝14,故a 1＋a 9＝2a 5＝28.(3)令c n ＝a n －b n ,因为{a n },{b n }都是等差数列,所以{c n }也是等差数列,设其公差为d ,由已知,得c 1＝a 1－b 1＝5,c 7＝17,则5＋6d ＝17,解得d ＝2,故a 19－b 19＝c 19＝5＋18×2＝41.在等差数列中,一般存在两种运算方法：一是利用基本量运算,借助于a 1,d 建立方程组进行运算,这是最基本的方法；二是利用性质运算,运用等差数列的性质可简化计算,往往会有事半功倍的效果.[变式训练1] (1)在等差数列{a n }中,a 2＝－5,a 6＝a 4＋6,则a 1等于( B ) A ．－9 B ．－8 C ．－7 D ．－4解析：∵{a n }是等差数列,∴a 6－a 4＝6＝2d . ∴d ＝3.∴a 1＋d ＝－5.∴a 1＝－8.(2)若数列{a n }的公差为2,则数列{3a n －2}的公差为( D ) A ．3 B ．4C．5 D．6解析：∵数列{a n}的公差为2,∴数列{3a n－2}的公差为3×2＝6.(3)设数列{a n},{b n}都是等差数列,且a1＝25,b1＝75,a2＋b2＝100,那么由a n＋b n所组成的数列的第37项的值为( C )A．0 B．37C．100 D．－37解析：设c n＝a n＋b n,则c1＝a1＋b1＝25＋75＝100,c2＝a2＋b2＝100.故d＝c2－c1＝0.故c n＝100(n∈N*)．从而c37＝100.类型二等差数列的实际应用[例2] 有一批影碟机原销售价为每台800元,在甲、乙两家商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元,买两台单价为760元,以此类推,每多买一台则所买各台单价均减少20元,但每台最低不低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位需购买一批此类影碟机,问去哪一家商场购买花费较少？[分析] 先求出购买n台时甲商场的售价,再与购买n台时乙商场的售价作差比较．[解]设该单位需购买影碟机n台,在甲商场购买单价为a n元,当a n不低于440时,a1,a2,…,a n构成等差数列,则a n＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n,解不等式a n≥440,即800－20n≥440,得n≤18.当购买台数小于或等于18台时,每台售价为(800－20n)元,当购买台数大于18台时,每台售价为440元．到乙商场购买,每台售价为800×75%＝600(元)．又(800－20n)n－600n＝20n(10－n),所以,当n<10时,600n<(800－20n)n；当n＝10时,600n＝(800－20n)n；当10<n≤18时,(800－20n)n<600n；当n>18时,440n<600n.所以当购买台数少于10台时,到乙商场购买花费较少；当购买10台时,到两商场购买花费相同；当购买台数多于10台时,到甲商场购买花费较少．1.在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决,若这组数依次成直线上升或下降,则可考虑利用等差数列方法解决.2.在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键问题.[变式训练2] 有一个很神秘的地方,那里有很多的雕塑,每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶,第二个雕塑有5只蝴蝶,第三个雕塑有7只蝴蝶,第四个雕塑有9只蝴蝶,以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方,学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里,那么,第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？解：由题知：a 1＝3,a 2＝5,a 3＝7,a 4＝9,…,可知其是以3为首项,2为公差的等差数列,则a n ＝2n ＋1,当n ＝102时,a 102＝205,当a n ＝999时,2n ＋1＝999,n ＝499.答：第102个雕塑是由205只蝴蝶组成的；由999只蝴蝶组成的雕塑是第499个． 类型三 等差数列的综合应用[例3] 已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都是100项,求它们有多少个共同的项．[分析] 先写出两数列的通项公式,利用两通项公式寻找共同的项． [解] 解法一：设两个数列分别为{a n }与{b k }, 则a 1＝5,d 1＝8－5＝3,通项a n ＝5＋(n －1)·3＝3n ＋2；b 1＝3,d 2＝7－3＝4,通项b k ＝3＋(k －1)·4＝4k －1. 设数列{a n }的第n 项与{b k }的第k 项相同, 即a n ＝b k ,即3n ＋2＝4k －1. ∵n ＝43k －1,而n ∈N *,k ∈N *,∴k 必须为3的倍数,设k ＝3r (r ∈N *),得n ＝4r －1,由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1≤3r ≤100，1≤4r －1≤100，解得12≤r ≤1014,又∵r ∈N *,∴1≤r ≤25(r ∈N *)． ∴共有25个共同的项．解法二：由解法一知两数列的通项分别为a n ＝3n ＋2,b k ＝4k －1,设共同项构成新数列{c n },则c 1＝11,∵数列{a n },{b n }均为等差数列,∴数列{c n }仍为等差数列,且公差为d ＝12. ∴c n ＝11＋(n －1)·12＝12n －1. 又∵a 100＝302,b 100＝399, ∴c n ＝12n －1≤302,∴n ≤25.25,∴两数列有25个共同项．本题是探求两个数列的公共项问题,解法一是常规解法,解法二利用了最小公倍数．通常是从通项公式入手,建立a n ＝b m 这样的方程,再求其一定范围内的整数解．本题常见的错误是求得数列a n ＝3n ＋2,b n ＝4n －1,即令3n ＋2＝4n －1,解得n ＝3,所以有一个公共项11,这显然是错误的．[变式训练3] 把数列{2n ＋1}中的项依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,第四个括号四个数,第五个括号一个数,…循环,为：(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),(43),…,则第104个括号内的各数之和为( D )A ．2 036B ．2 048C ．2 060D ．2 072解析：由观察发现,每四个括号是一个循环,一个循环由10个数组成,104个括号有26个循环,则第104个括号内有四个数,这四个数为数列3,5,7,9,…的第257项、第258项、第259项、第260项,分别为3＋(257－1)×2,3＋(258－1)×2,3＋(259－1)×2,3＋(260－1)×2,即515,517,519,521,其和为2 072.故选D.1．等差数列{a n }中,若a 2＋a 4 024＝4,则a 2 013＝( A ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．－2解析：∵2a 2 013＝a 2＋a 4 024＝4,∴a 2 013＝2.2．已知等差数列{a n }中,a 7＝π4,则tan(a 6＋a 7＋a 8)等于( C )A ．－33B ．－ 2C ．－1D ．1解析：∵在等差数列{a n }中,a 6＋a 7＋a 8＝3a 7＝3π4,∴tan(a 6＋a 7＋a 8)＝tan 3π4＝－1.3．如果等差数列{a n }中,a 1＝2,a 3＝6,则数列{2a n －3}是公差为4的等差数列． 解析：设数列{a n }的公差为d ,则a 3－a 1＝2d ＝4, 即d ＝2.故数列{2a n －3}的公差为4.4．在等差数列{a n }中,a 3＝7,a 5＝a 2＋6,则a 6＝13. 解析：设等差数列{a n }的公差为d . ∵a 5＝a 2＋6,∴a 5－a 2＝6,即3d ＝6,d ＝2. ∴a 6＝a 3＋3d ＝7＋3×2＝13. 5．在等差数列{a n }中： (1)若a 5＝a ,a 10＝b ,求a 15； (2)若a 3＋a 8＝m ,求a 5＋a 6； (3)若a 5＝6,a 8＝15,求a 14. 解：(1)∵a 5＋a 15＝2a 10,∴a 15＝2a 10－a 5＝2b －a .(2)解法一：∵a 3＋a 8＝(a 1＋2d )＋(a 1＋7d ) ＝2a 1＋9d ＝m ,∴a 5＋a 6＝(a 1＋4d )＋(a 1＋5d )＝2a 1＋9d ＝m . 解法二：∵5＋6＝3＋8, ∴a 5＋a 6＝a 3＋a 8＝m .(3)解法一：∵a 8＝a 5＋(8－5)d , 即15＝6＋3d ,∴d ＝3.∴a 14＝a 8＋(14－8)d ＝15＋6×3＝33. 解法二：∵数列{a n }是等差数列,∴数列a 5,a 8,a 11,a 14,…是等差数列,首项a 5＝6,公差d ＝a 8－a 5＝15－6＝9, ∴第四项a 14＝6＋3×9＝33.——本课须掌握的问题运用等差数列的性质,能够简化问题,提高准确性．常用的性质主要有： (1)d ＝a m －a n m －n(m ,n ∈N *,且n ≠m )； (2)a n ＝a m ＋(n －m )d (n ,m ∈N *)； (3)若m ＋n ＝p ＋q (m ,n ,p ,q ∈N *), 则a m ＋a n ＝a p ＋a q .特别地,若m ＋n ＝2p (m ,n ,p ∈N *), 则a m ＋a n ＝2a p .在解决等差数列问题时要注意项数(即项的下标)之间的关系．。
等差数列与等比数列的性质
等差数列与等比数列的性质1. 等差数列的性质等差数列是指数列中相邻元素之间的差值保持不变的数列。
它具有以下几个重要的性质。
1.1 公差对于等差数列a₁, a₂, a₃, ..., an，相邻两项之间的差值称为公差，用d表示。
即d = a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = ... = an - a(n-1)。
等差数列的公差决定了其增长或减小的速度。
当公差为正数时，数列递增；当公差为负数时，数列递减。
1.2 通项公式等差数列的通项公式可用来表示其任意一项。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为an，则通项公式为an = a₁ + (n - 1)d。
利用通项公式，可以快速计算等差数列中任意一项的值。
1.3 前n项和等差数列的前n项和表示为Sn，可用来求等差数列前n项的和。
求解前n项和的公式为Sn = (n/2)(a₁ + an) = (n/2)(2a₁ + (n - 1)d)。
利用前n项和公式，可以快速计算等差数列前n项的和。
1.4 等差数列的性质等差数列具有以下一些重要的性质：- 等差数列的中项为首项与末项的算术平均数。
- 等差数列的前n项和与后n项和相等。
- 若两个数列的差构成一个等差数列，那么两个数列分别也是等差数列。
2. 等比数列的性质等比数列是指数列中相邻元素之间的比值保持不变的数列。
它具有以下几个重要的性质。
2.1 公比对于等比数列a₁, a₂, a₃, ..., an，相邻两项之间的比值称为公比，用r表示。
即r = a₂/a₁ = a₃/a₂ = ... = an/a(n-1)。
等比数列的公比决定了其增长或减小的速度。
当公比大于1时，数列递增；当公比大于0且小于1时，数列递减。
2.2 通项公式等比数列的通项公式可用来表示其任意一项。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为an，则通项公式为an = a₁ * r^(n-1)。
利用通项公式，可以计算等比数列中任意一项的值。
2.3 前n项和等比数列的前n项和表示为Sn，可用来求等比数列前n项的和。
2.2.2《等差数列的性质》课件(人教A版必修5)
(D)-
3
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【解析】选D.∵{an}为等差数列，a1+a7+a13=4π, ∴3a7=4π,∴a7= π.4
又∵a2+a12=2a7, 3 ∴a2+a12= 8 π,
∴tan(a2+a312)=- . 3
第29页，共46页。
2.设{an}为公差为-2的等差数列，若a1+a4+a7+…+a97=50,则
m的值为（ ）
（A）8
（B）4
（C）6
（D）12
【解析】选A.在等差数列{an}中，d>0. ∴数列{an}为递增数列.
又a3+a6+a10+a13=4a8=32,∴a8=8,∴m=8.
第31页，共46页。
二、填空题（每题5分，共10分）
4.（2010·济宁高二检测）在等差数列{an}中，已知公差
第44页，共46页。
【解析】(1)由等方差数列的定义可知：a2n-a2n-1=p(n≥2). (2)∵{an}是等差数列，设公差为d,则an-an-1=an+1-an=d(n≥2).又 {an}是等方差数列，∴a2n-a2n-1=a2n+1-a2n (n≥2),∴(an+ an-1)(an-an-1)=(an+1+an)(an+1-an)，即d(an+an-1-an+1-an)=
-2d2=0,∴d=0,故{an}是常数列.
第45页，共46页。
第46页，共46页。
∴lgalg=a-lglbgb,∴ab=1.
答案：1
第42页，共46页。
第43页，共46页。
4.（15分）如果一个数列的各项都是实数，且从第2项开始，每一项与它的 前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做 这个数列的公方差.
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[课时作业]
[A 组 基础巩固]
1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．6
2．已知等差数列{a n }，则使数列{b n }一定为等差数列的是( )
A ．b n ＝－a n
B ．b n ＝a 2n
C ．b n ＝a n
D ．b n ＝1a n
3．在等差数列{a n }中，若a 2＝1，a 6＝－1，则a 4＝( )
A ．－1
B ．1
C ．0
D ．－12
4．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )
A ．a n ＝2n －2(n ∈N *)
B ．a n ＝2n ＋4(n ∈N *)
C ．a n ＝－2n ＋12(n ∈N *)
D ．a n ＝－2n ＋10(n ∈N *)
5．如果数列{a n }是等差数列，则下列式子一定成立的有( )
A ．a 1＋a 8<a 4＋a 5
B ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5
C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5
D ．a 1a 8＝a 4a 5
6．等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________.
7．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.
8．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.
9．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．
10．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．
[B 组 能力提升]
1．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( ) A. 3
B ．±3
C ．－33
D ．－ 3
2．等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )
A ．10
B ．20
C ．40
D ．2＋log 25
3．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n ＋m 3n 为等差数列的实数m 的值为________．
4．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2
的值为________．
5．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？
6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn 2＋qn (常数p ，q ∈R)．
(1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列？
(2)求证：对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列．。