2014-2015学年安徽省安庆市高一下学期学业质量检测数学试题
2014-2015年安徽省安庆八中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2014-2015学年安徽省安庆八中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：（每题5分，共50分）1．（5分）复数=（）A．﹣i B．﹣﹣i C．+i D．﹣+i 2．（5分）设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）图象如图所示，则导函图象可能为（）A．B．C．D．3．（5分）已知△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，求证a＜b．证明：∵∠A=30°，∠B=60°，∴∠A＜∠B，∴a＜b，画线部分是演绎推理的是（）A．大前提B．小前提C．结论D．三段论4．（5分）“a≤﹣1”是“函数f（x）=lnx+ax+在[1，+∞）上是单调函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知函数f（x）=x2+2xf′（1），则f（﹣1）与f（1）的大小关系是（）A．f（﹣1）=f（1）B．f（﹣1）＞f（1）C．f（﹣1）＜f （1）D．不能确定6．（5分）证明1++…+（n∈N*），假设n=k时成立，当n=k+1时，左端增加的项数是（）A．1项B．k﹣1项C．k项D．2k项7．（5分）已知函数f（x）=4x+3sin x，x∈（﹣1，1），如果f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（1，）C．（﹣2，﹣）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）8．（5分）定积分等于（）A．B．C．D．9．（5分）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣2a|，若∀x∈[1，2]，f（x）≤4，则实a的取值范围是（）A．（，]B．[，]C．[1，]D．[，2]二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，计25分）11．（5分）已知=2+i，则|z|=．12．（5分）已知直线y=ex+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为．13．（5分）现给如图所示的4个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色，共有3种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有种．14．（5分）考察下列一组不等式：，将上述不等式在左右两端视为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为．15．（5分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中正确的有（写出所有正确命题序号）．①总存在某内角α，使cosα≤；②若A sin B＞B sin A，则B＜A；③若2a+b+c=，则△ABC的最小角小于；④若a＜tb（0＜t≤1），则A＜tB．三.解答题（本大题共6题，共计75分，写出必要的解题过程）16．（12分）（1）求证：是无理数．（2）设a，b，c为一个三角形的三边，且s2=2ab，这里s=（a+b+c），试证：s ＜2a．17．（12分）在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a．（1）试证明上述命题；（2）类比上述命题，请写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．18．（12分）某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式C=3+x，每日的销售额S（单位：万元）与日产量x的函数关系式S=，已知每日的利润L=S﹣C，且当x=2时，L=3．（1）求k的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．19．（13分）已知函数f（x）=lnx+ax﹣a2x2（a∈R）（1）若x=1是函数y=f（x）的极值点，求a的值；（2）若a≥0，求函数f（x）的单调区间．20．（13分）设a n=1+++…+（n∈N*），是否存在一次函数g（x），使得a1+a2+a3+…+a n﹣1=g（n）（a n﹣1）对n≥2的一切自然数都成立，并试用数学归纳法证明你的结论．21．（13分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，直线l1：x=2，l2：y=﹣t2+8t（其中0≤t≤2．t为常数）；若直线l1、l2与函数f（x）的图象以及l1，y轴与函数f （x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示．（Ⅰ）求a、b、c的值；（Ⅱ）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；（Ⅲ）若g（x）=6lnx+m，问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．2014-2015学年安徽省安庆八中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每题5分，共50分）1．（5分）复数=（）A．﹣i B．﹣﹣i C．+i D．﹣+i 【考点】A5：复数的运算．【解答】解：=．故选：A．2．（5分）设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）图象如图所示，则导函图象可能为（）A．B．C．D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：由图象得：x＜0时，f（x）递减，∴f′（x）＜0，x＞0时，f（x）先递增再递减又递增，∴f′（x）先正再负又正，故选：D．3．（5分）已知△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，求证a＜b．证明：∵∠A=30°，∠B=60°，∴∠A＜∠B，∴a＜b，画线部分是演绎推理的是（）A．大前提B．小前提C．结论D．三段论【考点】F5：演绎推理．【解答】解：“求证：a＜b”写成三段论是：大前提：因为在三角形中，大角对大边，小前提：而∠A=30°，∠B=60°，则∠A＜∠B结论：所以a＜b．故证明画线部分是演绎推理的小前提．故选：B．4．（5分）“a≤﹣1”是“函数f（x）=lnx+ax+在[1，+∞）上是单调函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：若函数f（x）=lnx+ax+在[1，+∞）上是单调函数，则函数的导数f′（x）满足不变号，即f′（x）≤0或f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∵f′（x）=+a﹣，∴若函数f（x）单调递减，则f′（x）=+a﹣≤0，即a≤﹣+=（﹣）2﹣恒成立，设g（x）=（﹣）2﹣，∵x≥1，∴0＜≤1，则当=时，g（x）取得最小值﹣，此时a≤﹣，∴若函数f（x）单调递增，则f′（x）=+a﹣≥0，即a≥﹣+=（﹣）2﹣恒成立，设g（x）=（﹣）2﹣，∵x≥1，∴0＜≤1，则﹣≤g（x）≤0，此时a≥0，综上若函数f（x）=lnx+ax+在[1，+∞）上是单调函数，则a≥0或a≤﹣，则“a≤﹣1”是“函数f（x）=lnx+ax+在[1，+∞）上是单调函数”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）已知函数f（x）=x2+2xf′（1），则f（﹣1）与f（1）的大小关系是（）A．f（﹣1）=f（1）B．f（﹣1）＞f（1）C．f（﹣1）＜f （1）D．不能确定【考点】63：导数的运算．【解答】解：由f（x）=x2+2xf′（1），求导得f′（x）=2x+2f′（1），把x=1代入得：f′（1）=2+2f′（1），解得：f′（1）=﹣2，∴f（x）=x2﹣4x，∴f（﹣1）=（﹣1）2﹣4×（﹣1）=5，f（1）=12﹣4×1=﹣3，则f（﹣1）＞f（1）．故选：B．6．（5分）证明1++…+（n∈N*），假设n=k时成立，当n=k+1时，左端增加的项数是（）A．1项B．k﹣1项C．k项D．2k项【考点】RG：数学归纳法．【解答】解：当n=k时不等式为：成立当n=k+1时不等式左边为则左边增加2k+1﹣2k=2k项．故选：D．7．（5分）已知函数f（x）=4x+3sin x，x∈（﹣1，1），如果f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（1，）C．（﹣2，﹣）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【考点】3N：奇偶性与单调性的综合；H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【解答】解：∵x∈（﹣1，1），f（﹣x）=﹣4x﹣sin x=﹣（4x+sin x）=﹣f（x），∴f（x）=4x+3sin x为奇函数；又f′（x）=4+3cos x＞0，∴f（x）为增函数，∴f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0⇔f（1﹣a）＜﹣f（1﹣a2）=f（a2﹣1），又f（x）的定义域为（﹣1，1），∴，故，解得1＜a＜．故选：B．8．（5分）定积分等于（）A．B．C．D．【考点】67：定积分、微积分基本定理．【解答】解：由定积分的几何意义知是由曲线y=与直线y=x，x=0，x=1围成的封闭图形的面积，故=，故选：A．9．（5分）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（）A．B．C．D．【考点】F3：类比推理．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为∴R=故选：C．10．（5分）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣2a|，若∀x∈[1，2]，f（x）≤4，则实a的取值范围是（）A．（，]B．[，]C．[1，]D．[，2]【考点】R5：绝对值不等式的解法．【解答】解：∵x∈[1，2]，∴|2x﹣1|=2x﹣1，由f（x）≤4，可得2x﹣1+|x﹣2a|≤4，即|x﹣2a|≤5﹣2x，∵x∈[1，2]，∴4﹣2x≥0．∴当x∈[1，2]时，f（x）≤4恒成立⇔|x﹣2a|≤5﹣2x恒成立，x∈[1，2]．⇔2x﹣5≤2a﹣x≤5﹣2x恒成立，x∈[1，2]，⇔x﹣≤a≤﹣恒成立，x∈[1，2]．∴．故选：B．二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，计25分）11．（5分）已知=2+i，则|z|=．【考点】A8：复数的模．【解答】解：∵=2+i，∴=（2+i）（1+i）=1+3i，∴z=1﹣3i．则|z|==．故答案为：．12．（5分）已知直线y=ex+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=ex0+1，y0=ln（x0+a），又∵==e∴x0+a=，x0=，x0=，代入y0=ln（x0+a），∴y0=﹣1，y0=﹣1代入y0=ex0+1，解得x0=﹣，x0=﹣代入x0+a=，∴a=．故答案为：．13．（5分）现给如图所示的4个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色，共有3种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有6种．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先给下面一个涂色，有三种结果，再给最左边的上面的涂色，有两种结果，中间一块只有一种选择，右边的一块没有选择，只有一种颜色，∴根据分步计数原理得到共有3×2=6种结果，故答案为：6．14．（5分）考察下列一组不等式：，将上述不等式在左右两端视为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为a m+n+b m+n＞a m b n+a n b m（a，b，m，n＞0，且a ≠b）．【考点】F1：归纳推理．【解答】解：由不等式：我们分析不等号两端式子结构的特点，及指数之间的关系不难推断：a m+n+b m+n＞a m b n+a n b m（a，b，m，n＞0，且a≠b）故选A m+n+b m+n＞a m b n+a n b m（a，b，m，n＞0，且a≠b）15．（5分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中正确的有①②③④（写出所有正确命题序号）．①总存在某内角α，使cosα≤；②若A sin B＞B sin A，则B＜A；③若2a+b+c=，则△ABC的最小角小于；④若a＜tb（0＜t≤1），则A＜tB．【考点】HP：正弦定理．【解答】解：①假设三个内角都小于60°，则三内角和必小于180°，与内角和定理矛盾，故必有一内角大于或等于60°，设为α，则cosα≤cos60°=，故①正确；②设函数f（x）=（0＜x＜π），则导数f′（x）=，若≤x＜π，则f′（x）＜0，又A sin B＞B sin A，即＞⇒B＜A，若0＜x＜，则由于tan x＞x，故f′（x）＜0，即有B＜A，故②正确；③若2a+b+c=，即2a（）﹣b+c=，即（2a﹣b）=（2a﹣c），由于，不共线，故2a﹣b=2a﹣c=0，即2a=b=c，由余弦定理得，cos A==＞，故最小角小于，故③正确；④若a＜tb（0＜t≤1），则由正弦定理得，sin A＜t sin B，令f（x）=t sin x﹣sin（tx），则f′（x）=t cos x﹣t cos（tx），由于0＜tx＜x＜π，则cos（tx）＞cos x，即f′（x）＜0，t sin x＜sin（tx）即t sin B ＜sin（tB），故有sin A＜sin（tB），即2cos sin ＜0，故有A＜tB，故⑤正确．故答案为：①②③④．三.解答题（本大题共6题，共计75分，写出必要的解题过程）16．（12分）（1）求证：是无理数．（2）设a，b，c为一个三角形的三边，且s2=2ab，这里s=（a+b+c），试证：s ＜2a．【考点】R9：反证法与放缩法证明不等式．【解答】证明：（1）假设是有理数，那么就有两个互素整数m，n使得=，即m=n．两边平方得：m2=2n2．∴m2是偶数，从而m也是偶数，令m=2q，代入上式得：2q2=n2．于是n也是偶数．这与前面假设m，n互素矛盾故不可能是有理数．（2）∵a，b，c为一个三角形的三边，∴a+c＞b．∵s=（a+b+c），∴s＞b，∴s2＞sb．又s2=2ab，∴2ab＞sb，∴s＜2a．17．（12分）在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a．（1）试证明上述命题；（2）类比上述命题，请写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．【考点】F3：类比推理．【解答】解：（1）设正三角形内任意一点P到各边的距离分别为m，n，p，则由等面积可得=，∴m+n+p=a，即边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a．（2）类比边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a，在一个正四面体内任一点到各个面的距离之和是定值a，如图：由棱长为a可以得到BF=a，BO=AO=a﹣OE，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把数据代入得到OE=a，∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a．18．（12分）某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式C=3+x，每日的销售额S（单位：万元）与日产量x的函数关系式S=，已知每日的利润L=S﹣C，且当x=2时，L=3．（1）求k的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型；7F：基本不等式及其应用．【解答】解：由题意，每日利润L与日产量x的函数关系式为y=…（4分）（1）当x=2时，L=3，即：…（5分）∴k=18…（6分）（2）当x≥6时，L=11﹣x为单调递减函数，故当x=6时，L max=5 …（8分）当0＜x＜6时，…（11分）当且仅当，即x=5时，L max=6…（13分）综合上述情况，当日产量为5吨时，日利润达到最大6万元．…（14分）19．（13分）已知函数f（x）=lnx+ax﹣a2x2（a∈R）（1）若x=1是函数y=f（x）的极值点，求a的值；（2）若a≥0，求函数f（x）的单调区间．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）、…（1分）=、因为x=1是函数y=f（x）的极值点，所以f'（1）=1+a﹣2a2=0、…（5分）所以或a=1、经检验，或a=1时，x=1是函数y=f（x）的极值点、所以a的值是或1、…（6分）（2）由（1）知：=、若a=0，，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；…（8分）若a＞0，令，解得、当a＞0时，f'（x），f（x）的变化情况如下表∴函数y=f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是．…（12分）20．（13分）设a n=1+++…+（n∈N*），是否存在一次函数g（x），使得a1+a2+a3+…+a n﹣1=g（n）（a n﹣1）对n≥2的一切自然数都成立，并试用数学归纳法证明你的结论．【考点】8H：数列递推式；RG：数学归纳法．【解答】解：假设存在一次函数g（x）=kx+b（k≠0），使得a1+a2+a3+…+a n﹣1=g （n）（a n﹣1）对n≥2的一切自然数都成立，则当n=2时有，a1=g（2）（a2﹣1），又∵，∴g（2）=2即2k+b=2…①．当n=3时有，a1+a2=g（3）（a3﹣1），又∵，∴g（3）=3，即3k+b=3…②，由①②可得k=1，b=0，所以猜想：g（x）=x，…（5分）下面用数学归纳法加以证明：（1）当n=2时，已经得到证明；…（6分）（2）假设当n=k（k≥2，k∈N）时，结论成立，即存在g（k）=k，使得a1+a2+a3+…+a k﹣1=g（k）（a k﹣1）对k≥2的一切自然数都成立，则当n=k+1时，a1+a2+a3+…+a k=（a1+a2+a3+…+a k﹣1）+a k=k（a k﹣1）+a k=（k+1）a k﹣k，…（8分）又∵，∴a k=a k+1﹣，∴，∴当n=k+1时，命题成立．…（11分）由（1）（2）知，对一切n，（n≥2，n∈N*）有g（n）=n，使得a1+a2+a3+…+a n =g（n）（a n﹣1）都成立．…（12分）﹣121．（13分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，直线l1：x=2，l2：y=﹣t2+8t（其中0≤t≤2．t为常数）；若直线l1、l2与函数f（x）的图象以及l1，y轴与函数f （x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示．（Ⅰ）求a、b、c的值；（Ⅱ）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；（Ⅲ）若g（x）=6lnx+m，问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【考点】3V：二次函数的性质与图象；69：定积分的应用；6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：（I）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且f（x）的最大值为16则，∴函数f（x）的解析式为f（x）=﹣x2+8x（Ⅱ）由得x2﹣8x﹣t（t﹣8）=0，∴x1=t，x2=8﹣t，∵0≤t≤2，∴直线l1与f（x）的图象的交点坐标为（t，﹣t2+8t）由定积分的几何意义知：=+=（Ⅲ）令H（x）=g（x）﹣f（x）=x2﹣8x+6lnx+m．因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数H （x）=x2﹣8x+6lnx+m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点∴∴x=1或x=3时，H′（x）=0当x∈（0，1）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数；当x∈（1，3）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数当x∈（3，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数∴H（x）极大值为H（1）=m﹣7；H（x）极小值为H（3）=m+6ln3﹣15又因为当x→0时，H（x）→﹣∞；当x→+∞时，H（x）→+∞所以要使ϕ（x）=0有且仅有两个不同的正根，必须且只须即，∴m=7或m=15﹣6ln3．∴当m=7或m=15﹣6ln3．时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点。
安徽省安庆市示范高中2014届高三下学期模拟考试数学(理科)试题(扫描版)
2014年安庆市省市示范高中高考模拟考试 数学试题（理科）参考答案及评分标准三、解答题16. （1）32,2()44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦…………（6分）（2）34maxmin (),()02f x e f x π== …………（12分）解得：2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以22(22n = ，18.⑴由由条件得：2111424n n n S a a =++①得当2n ≥时2111111424n n n S a a ---=++② ①-②化简得：11()(2)0n n n n a a a a --+--=，又数列{}n a 各项为正数， ∴当2n ≥时12n n a a --=，故数列{}n a 成等差数列，公差为2， 又21111111424a S a a ==++解得：11a =，∴21n a n =- …………（5分）⑵由分段函数()()2na n f n n f n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数可以得到：13(6)(3)5c f f a ====，21(8)(4)(2)(1)1c f f f f a ======，当3n ≥，n N *∈时，1221(24)(22)(21)2(21)121n n n n n n c f f f ----=+=+=+=+-=+故当3n ≥，n N *∈时，22314(12)51(21)(21)(21)6(2)12n n n T n ---=++++++++=++--2n n =+516223,n n n T n n n n N *=⎧⎪∴==⎨⎪+≥∈⎩…………（12分）19. （1）∵12221()2C a =∴2a =…………（3分）(2)由题意知ξ的可能取值为0,1,2,3,4.∴02022221124(0)(1)(1)(1)P C C a a ξ==--=-,10201222211112222(1)(1)(1)(1)(1)(1)P C C a C C a a a ξ==⋅--+--=-,220211022222222221111122224(2)()(1)(1)(1)(1)(122)P C C a C C a a C C a a a ξ==⋅-+⋅--+-=+-,22112222221112222(3)()(1)(1)a P C C a a C C a ξ==-+⋅-=,22222221124(4)()P C C a a ξ===.∴ξ的分布列为20．(1)由题意可得圆的方程为 ,222b y x =+直线02=+-y x 与圆相切，,22b d ==∴即,2=b 又3c e a==即222,,a a b c ==+得,1,3==c a 所以椭圆方程为.12322=+yx…………（4分）（2）设),0)(,(000=/y y x P ),0,3(),0,3(B A -则,1232020=+y x 即,3222020x y -= 则1k =2k =即22200012222000222(3)233.3333x x y k k x x x --====---- 12k k ∴的值为2.3-…………（8分）21. 解：（1）a b c λ+=，由正弦定理得，sin sin sin A B C λ+==2sin sin()3B B π∴+-=，化简得：sin()1,63B B ππ+=∴=，∴ABC 为正三角形，a b c ∴==.…………（5分）（2） 由余弦定理得；2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-，又由3AC BC λ⋅=知：32,ab λ=再由a b c λ+=可得：。
【精编】2014-2015年安徽省安庆市怀宁中学高一(上)数学期中试卷带解析答案
2014-2015学年安徽省安庆市怀宁中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个2．（5分）设函数f（x）=（2a﹣1）x+b是R上的减函数，则有（）A．B．C．D．3．（5分）设f（x）是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（）A．f（x）f（﹣x）是奇函数 B．f（x）|f（﹣x）|是奇函数C．f（x）﹣f（﹣x）是偶函数D．f（x）+f（﹣x）是偶函数4．（5分）函数y=的定义域为（）A．（﹣B．C．D．5．（5分）函数f（x）=的值域是（）A．（0，8]B．（0，+∞）C．[8，+∞）D．（﹣∞，8]6．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）7．（5分）设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a8．（5分）设函数f（x）=e x﹣x﹣2，用二分法求方程e x﹣x﹣2=0在区间（﹣1，3）内的近似解的过程中得到f（﹣1）＜0，f（0）＜0，f（1）＜0，f（2）＞0，f（3）＞0，则方程至少有一个根落在（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）9．（5分）函数f（x）=x2﹣2mx与g（x）=在区间[1，2]上都是减函数，则m的取值范围是（）A．[2，3） B．[2，3]C．[2，+∞）D．（﹣∞，3）10．（5分）设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（）B．[]C．（） D．（]二、填空题：（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知f（0）=1，f（n）=nf（n﹣1）（n∈N+），则f（4）=．12．（5分）若奇函数f（x）在（﹣∞，0）内是减函数，且f（﹣2）=0，则不等式x•f（x）＞0的解集为．13．（5分）已知函数f（e x）=x，则f（2）=．14．（5分）已知函数若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是．15．（5分）设函数f（x）=在x＞0时最大值为M，x＜0时最小值为m，则M+m=．三、解答题：（本大题共6小题，共75分.）16．（12分）设全集U={不超过5的正整数}，A={x|x2﹣5x+q=0}，B={x|x2+px+12=0}，（∁U A）∪B={1，3，4，5}，求p、q和集合A、B．17．（12分）函数f（x）=log 2•log（2x）的最小值为．18．（12分）设当x≤1时，函数y=4x﹣2x+1+2的值域为D，且当x∈D时，恒有f （x）=x2+kx+5≤4x，求实数k的取值范围．19．（13分）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？20．（13分）已知函数f（x）=2|x+1|+ax（x∈R）．（1）证明：当a＞2时，f（x）在R上是增函数；（2）若函数f（x）存在两个零点，求a的取值范围．21．（13分）已知函数f（x）=ax2﹣2x，g（x）=﹣（a，b ∈R）（1）当b=0时，若f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，求a的取值范围；（2）求满足下列条件的所有整数对（a，b）：存在x0，使得f（x0）是f（x）的最大值，g（x0）是g（x）的最小值．2014-2015学年安徽省安庆市怀宁中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【解答】解：∵M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，∴P=M∩N={1，3}∴P的子集共有22=4故选：B．2．（5分）设函数f（x）=（2a﹣1）x+b是R上的减函数，则有（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=（2a﹣1）x+b是R上的减函数，则2a﹣1＜0∴a＜故选：B．3．（5分）设f（x）是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（）A．f（x）f（﹣x）是奇函数 B．f（x）|f（﹣x）|是奇函数C．f（x）﹣f（﹣x）是偶函数D．f（x）+f（﹣x）是偶函数【解答】解：A中令F（x）=f（x）f（﹣x），则F（﹣x）=f（﹣x）f（x）=F（x），即函数F（x）=f（x）f（﹣x）为偶函数，B中F（x）=f（x）|f（﹣x）|，F（﹣x）=f（﹣x）|f（x）|，因f（x）为任意函数，故此时F（x）与F（﹣x）的关系不能确定，即函数F（x）=f（x）|f（﹣x）|的奇偶性不确定，C中令F（x）=f（x）﹣f（﹣x），令F（﹣x）=f（﹣x）﹣f（x）=﹣F（x），即函数F（x）=f（x）﹣f（﹣x）为奇函数，D中F（x）=f（x）+f（﹣x），F（﹣x）=f（﹣x）+f（x）=F（x），即函数F（x）=f（x）+f（﹣x）为偶函数，故选：D．4．（5分）函数y=的定义域为（）A．（﹣B．C．D．【解答】解：要使函数有意义，需，解得，故选：B．5．（5分）函数f（x）=的值域是（）A．（0，8]B．（0，+∞）C．[8，+∞）D．（﹣∞，8]【解答】解：设t=（x﹣2）2+1，函数f（x）=则g（t）=，t≥1，根据单调递减性知：0＜≤8，故选：A．6．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）【解答】解：当x≤1时，21﹣x≤2的可变形为1﹣x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．当x＞1时，1﹣log2x≤2的可变形为x≥，∴x≥1，故答案为[0，+∞）．故选：D．7．（5分）设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【解答】解：∵在x＞0时是增函数∴a＞c又∵在x＞0时是减函数，所以c＞b故选：A．8．（5分）设函数f（x）=e x﹣x﹣2，用二分法求方程e x﹣x﹣2=0在区间（﹣1，3）内的近似解的过程中得到f（﹣1）＜0，f（0）＜0，f（1）＜0，f（2）＞0，f（3）＞0，则方程至少有一个根落在（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）【解答】解：根据题意可得，f（1）＜0，f（2）＞0，f（1）f（2）＜0，再根据函数零点的判定定理，函数f（x）至少有一个零点落在（1，2）内，即方程e x﹣x﹣2=0至少有一个根落在（1，2）内，故选：C．9．（5分）函数f（x）=x2﹣2mx与g（x）=在区间[1，2]上都是减函数，则m的取值范围是（）A．[2，3） B．[2，3]C．[2，+∞）D．（﹣∞，3）【解答】解：∵f（x）=x2﹣2mx的图象是开口向上，且以直线x=m为对称轴的抛物线，故f（x）=x2﹣2mx在（﹣∞，m]上为减函数，若函数f（x）在区间[1，2]上都是减函数，则m≥2，又∵g（x）==+m，若函数g（x）在区间[1，2]上是减函数，则3﹣m＞0，则m＜3，故m的取值范围是[2，3），故选：A．10．（5分）设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（）B．[]C．（） D．（]【解答】解：函数f（x）=的图象，如图，不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，故x2+x3=6，且x1满足﹣＜x1＜0；则x1+x2+x3的取值范围是：﹣+6＜x1+x2+x3＜0+6；即x1+x2+x3∈（，6）．故选：A．二、填空题：（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知f（0）=1，f（n）=nf（n﹣1）（n∈N+），则f（4）=24．），【解答】解：由题意f（0）=1，f（n）=nf（n﹣1）（n∈N+故f（4）=4f（3）=4×3×f（2）=4×3×2×f（1）=4×3×2×1×f（0）=4×3×2×1×1=24故答案为：2412．（5分）若奇函数f（x）在（﹣∞，0）内是减函数，且f（﹣2）=0，则不等式x•f（x）＞0的解集为（﹣2，0）∪（0，2）．【解答】解：奇函数f（x）在（﹣∞，0）内是减函数，则f（x）在（0，+∞）内是减函数．且f（﹣2）=f（2）=0，不等式x•f（x）＞0等价为或，即有或，即有0＜x＜2或﹣2＜x＜0．则解集为（﹣2，0）∪（0，2）．故答案为：（﹣2，0）∪（0，2）13．（5分）已知函数f（e x）=x，则f（2）=ln2．【解答】解：设t=e x，则x=lnt，∴函数f（e x）=x，等价为f（t）=lnt，∴f（x）=lnx，即f（2）=ln2．故答案为：ln2．14．（5分）已知函数若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（﹣2，1）．【解答】解：易知函数在定义域上是增函数∴f（2﹣a2）＞f（a），可转化为：2﹣a2＞a解得：﹣2＜a＜1∴实数a的取值范围是（﹣2，1）故答案为：（﹣2，1）15．（5分）设函数f（x）=在x＞0时最大值为M，x＜0时最小值为m，则M+m=2．【解答】解：当x＞0时，函数f（x）==1+=1+≤1+=，当且仅当x=1时取最大值，∴M=．当x＞0时，同理可得f（x），∴N=．∴M+N=2．故答案为：2．三、解答题：（本大题共6小题，共75分.）16．（12分）设全集U={不超过5的正整数}，A={x|x2﹣5x+q=0}，B={x|x2+px+12=0}，（∁U A）∪B={1，3，4，5}，求p、q和集合A、B．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，A={x|x2﹣5x+q=0}，B={x|x2+px+12=0}，（∁U A）∪B={1，3，4，5}，∴2∈A，将x=2代入x2﹣5x+q=0得：4﹣10+q=0，即q=6，即x2﹣5x+6=0，∴（x﹣2）（x﹣3）=0，即x=2或x=3，∴A={2，3}，∁U A={1，4，5}，∴3∈B，将x=3代入x2+px+12=0得：9+3p+12=0，即p=﹣7，即x2﹣7x+12=0，∴（x﹣3）（x﹣4）=0，即x=3或x=4，∴B={3，4}．17．（12分）函数f（x）=log 2•log（2x）的最小值为．【解答】解：∵f（x）=log 2•log（2x）∴f（x）=log（）•log（2x）=log x•log（2x）=log x（log x+log2）=log x（log x+2）=，∴当log x+1=0即x=时，函数f（x）的最小值是．故答案为：﹣18．（12分）设当x≤1时，函数y=4x﹣2x+1+2的值域为D，且当x∈D时，恒有f （x）=x2+kx+5≤4x，求实数k的取值范围．【解答】解：令t=2x，由于x≤1，则t∈（0，2]则原函数y=t2﹣2t+2=（t﹣1）2+1∈[1，2]，即D=[1，2]由题意：f（x）=x2+kx+5≤4x，法一：则x2（k﹣4）x+5≤0当x∈D时恒成立∴∴∴k≤﹣2法二：则时恒成立，故19．（13分）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【解答】解：（1）由题意得G（x）=2.8+x．…（2分）∵，…（4分）∴f（x）=R（x）﹣G（x）=．…（6分）（2）∵f（x）=，∴当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；．…（7分）当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．∴要使工厂有盈利，求产量x的范围是（1，8.2）．．…（8分）（3）∵f（x）=，∴当x＞5时，函数f（x）递减，∴f（x）＜f（5）=3.2（万元）．…（10分）当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．…（14分）所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．…（15分）20．（13分）已知函数f（x）=2|x+1|+ax（x∈R）．（1）证明：当a＞2时，f（x）在R上是增函数；（2）若函数f（x）存在两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）由函数f（x）=2|x+1|+ax（x∈R），得，当a＞2时，则a+2＞0，a﹣2＞0，上述函数在每一段上都是增函数，且它们在x=﹣1处的函数值相同，∴当a＞2时，f（x）在R上是增函数；（2）根据（1），若函数存在两个零点则满足，解得0＜a＜2，∴函数f（x）存在两个零点，a的取值范围为（0，2）．21．（13分）已知函数f（x）=ax2﹣2x，g（x）=﹣（a，b ∈R）（1）当b=0时，若f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，求a的取值范围；（2）求满足下列条件的所有整数对（a，b）：存在x0，使得f（x0）是f（x）的最大值，g（x0）是g（x）的最小值．【解答】解：（1）当b=0，时，f（x）=ax2﹣4x，若a=0，f（x）=﹣4x，则f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，成立，故a≠0，要使f（x）在[2，+∞）上单调递增，必须满足，解之得0＜a≤1即实数a的取值范围是[0，1]；（2）若a=0，f（x）=﹣2x，可得f（x）无最大值，故a≠0，∴f（x）为二次函数，要使f（x）有最大值，必须满足，即a＜0且≤b≤，此时，x=x0=时，f（x）有最大值．又∵g（x）取最小值时，x=x0=a，依题意，=a∈Z，可得a2=，∵a＜0且≤b≤，∴0，结合a为整数得a=﹣1，此时b=﹣1或b=3．综上所述，满足条件的实数对（a，b）是：（﹣1，﹣1），（﹣1，3）．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
【精编】2014-2015年安徽省安庆一中高一(上)数学期中试卷带解析答案
2014-2015学年安徽省安庆一中高一（上）期中数学试卷一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）若集合M={y|y=x﹣2}，，那么（）A．M⊆P B．P⊆M C．M∩P=ϕ D．M∪P=R2．（3分）已知集合P={x|0≤x≤4}，集合N={y|0≤y≤2}，下列从P到N的各对应关系f不是函数的是（）A．f：x→y=x B．f：x→y=x C．f：x→y=x D．f：x→y=3．（3分）已知镭经过100年，剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年的剩留量为y，则y与x的函数关系是（）A．y=（0.9576）B．y=（0.9576）100xC．y=（）x D．y=1﹣（0.0424）4．（3分）函数f（x）=lgx+在区间（1，10）上有唯一的零点，则实数a应满足的条件为（）A．a（a+10）＞0 B．a（a+10）＜0 C．a（a+1）＞0 D．a（a+1）＜0 5．（3分）对于0＜a＜1，给出下列四个不等式（）①log a（1+a）＜log a（1+）；②log a（1+a）＞log a（1+）；③a1+a＜a；④a1+a＞a；其中成立的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④6．（3分）f（x）=是R上的增函数，则a的范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．[2，+∞）D．（﹣∞，2]7．（3分）为了求函数f（x）=2x+3x﹣7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f（x）的部分对应值，如表所示：则方程2x+3x=7的近似解（精确到0.1）可取为（）A．1.32 B．1.39 C．1.4 D．1.38．（3分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．9．（3分）已知函数f（x）=，则f（2）+f（）的值等于（）A．1 B．2 C．D．10．（3分）已知函数f（x）=3x+x，g（x）=log3x+2，h（x）=log3x+x的零点依次是a，b，c，则a，b，c，的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.将答案填在题中的横线上11．（3分）已知A={x|x＜﹣2或x＞5}，B={x|a＜x＜a+4}．若A∩B=ϕ，则实数a的取值范围是．12．（3分）已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是．13．（3分）若幂函数y=f（x）的图象过点，则f（4）的值为．14．（3分）设f（x）=lg（10x+1）+ax是偶函数，g（x）=是奇函数，那么a+b的值为．15．（3分）若函数f（x）在定义域D上存在x1，x2，当x1≠x2时＞0，则称f（x）为“非减函数”．则以下函数是“非减函数”的是．（填上所有正确结论的序号）①y=1；②y=|2x﹣1|；③y=log x+1；④y=，x∈（0，1）；⑤y=x，x∈（﹣2，﹣1）．三、解答题：本大题共6小题，共55分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（8分）已知集合A={x|a﹣1≤x≤2a+3}，B={x|﹣2≤x≤4}，全集U=R （Ⅰ）当a=2时，求A∪B和（∁R A）∩B；（Ⅱ）若A∩B=A，求实数a的取值范围．17．（8分）计算或化简下列各式：（1）（x＞0，y＞0）（结果用指数表示）（2）．18．（8分）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意m，n∈R有f（m+n）=f （m）+f（n）﹣2，（1）求证：函数y=f（x）﹣2为奇函数．（2）若函数f（x）在R上为增函数，且f（1）=3，解关于x的不等式f（4x+1）+f（2x+1）＞8．19．（9分）已知（a、b∈R，x＞0）（1）求f（x）的解析式；（2）当a=b=1时，判断并证明f（x）的单调性．20．（10分）设f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，当x∈（﹣2，0）时，f （x）=﹣log a（﹣x）﹣log a（2+x），其中a＞0，且a≠1．（1）解方程f（x）=0；（2）令t∈（0，2），判断函数f（x）在x∈（0，t）上是否有最大值、最小值；若有，求出最大值、最小值，并说明理由．21．（12分）设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若a=2，求函数f（x）在区间[0，3]上的最大值；（2）若a＞2，写出函数f（x）的单调区间（不必证明）；（3）若存在a∈[3，6]，使得关于x的方程f（x）=t+2a有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．2014-2015学年安徽省安庆一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）若集合M={y|y=x﹣2}，，那么（）A．M⊆P B．P⊆M C．M∩P=ϕ D．M∪P=R【解答】解：M={y|y=x﹣2}=（0，+∞），=[1，+∞），故P⊆M，故选：B．2．（3分）已知集合P={x|0≤x≤4}，集合N={y|0≤y≤2}，下列从P到N的各对应关系f不是函数的是（）A．f：x→y=x B．f：x→y=x C．f：x→y=x D．f：x→y=【解答】解：f：x→y=x，是函数，f：x→y=x，是函数，f：x→y=x，不是函数，4→=∉N；f：x→y=，是函数，故选：C．3．（3分）已知镭经过100年，剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年的剩留量为y，则y与x的函数关系是（）A．y=（0.9576）B．y=（0.9576）100xC．y=（）x D．y=1﹣（0.0424）【解答】解：设衰变率为a，则（1﹣a）100=0.9576，得1﹣a=0.9576，则y=0.9576，故选：A．4．（3分）函数f（x）=lgx+在区间（1，10）上有唯一的零点，则实数a应满足的条件为（）A．a（a+10）＞0 B．a（a+10）＜0 C．a（a+1）＞0 D．a（a+1）＜0【解答】解：∵函数f（x）=lgx+在区间（1，10）上有零点，∴a＜0，则函数f（x）=lgx+在区间（1，10）上是增函数，则f（1）•f（10）＜0；即a（a+10）＜0；故选：B．5．（3分）对于0＜a＜1，给出下列四个不等式（）①log a（1+a）＜log a（1+）；②log a（1+a）＞log a（1+）；③a1+a＜a；④a1+a＞a；其中成立的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【解答】解：∵0＜a＜1，∴a＜，从而1+a＜1+．∴log a（1+a）＞log a（1+）．又∵0＜a＜1，∴a1+a＞a．故选：D．6．（3分）f（x）=是R上的增函数，则a的范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．[2，+∞）D．（﹣∞，2]【解答】解：∵f（x）=是R上的增函数，∴f（0）=20=1，y=a+x，当x=0时y=a，∴a≤1，故选：B．7．（3分）为了求函数f（x）=2x+3x﹣7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f（x）的部分对应值，如表所示：则方程2x+3x=7的近似解（精确到0.1）可取为（）A．1.32 B．1.39 C．1.4 D．1.3【解答】解：由图表可知，函数f（x）=2x+3x﹣7的零点介于1.375到1.4375之间，故方程2x+3x=7的近似解也介于1.375到1.4375之间，由于精确到0.1，结合选项可知1.4符合题意，故选：C．8．（3分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，排除A．当x→﹣∞时，y→+∞，排除B，当x→+∞时，x3＜3x﹣1，此时y→0，排除D，故选：C．9．（3分）已知函数f（x）=，则f（2）+f（）的值等于（）A．1 B．2 C．D．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（2）+f（）=+=+=1．故选：A．10．（3分）已知函数f（x）=3x+x，g（x）=log3x+2，h（x）=log3x+x的零点依次是a，b，c，则a，b，c，的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c【解答】解：①令f（x）=0，得3x+x=0，化为3x=﹣x，分别作出函数y=3x，y=﹣x的图象，由图象可知函数f（x）的零点a＜0；②令g（x）=log3x+2=0，解得x=，∴b=；③令h（x）=log3x+x=0，可知其零点c＞0，而h（）=﹣2+＜0=h（c），又函数h（x）单调递增，∴＜c．综上①②③可知：a＜b＜c．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.将答案填在题中的横线上11．（3分）已知A={x|x＜﹣2或x＞5}，B={x|a＜x＜a+4}．若A∩B=ϕ，则实数a的取值范围是[﹣2，1] ．【解答】解：由A={x|x＜﹣2或x＞5}，B={x|a＜x＜a+4}，A∩B=ϕ，得，即﹣2≤a≤1．则实数a的取值范围是：[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．12．（3分）已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是．【解答】解：==﹣1，∴f[f（）]=f（﹣1）=3﹣1=．故答案为：．13．（3分）若幂函数y=f（x）的图象过点，则f（4）的值为9．【解答】解：∵幂函数y=f（x）=xα的图象过点，∴=，解得α==log3；∴f（x）=，∴f（4）====9．故答案为：9．14．（3分）设f（x）=lg（10x+1）+ax是偶函数，g（x）=是奇函数，那么a+b的值为．【解答】解：∵f（x）=lg（10x+1）+ax是偶函数∴f（﹣x）=f（x）对任意的x都成立∴lg（10x+1）+ax=lg（10﹣x+1）﹣ax∴=lg（10x+1）﹣x∴（2a+1）x=0∴2a+1=0即∵g（x）=是奇函数∴g（0）=1﹣b=0∴b=1∴故答案为：15．（3分）若函数f（x）在定义域D上存在x1，x2，当x1≠x2时＞0，则称f（x）为“非减函数”．则以下函数是“非减函数”的是②④⑤．（填上所有正确结论的序号）①y=1；②y=|2x﹣1|；③y=log x+1；④y=，x∈（0，1）；⑤y=x，x∈（﹣2，﹣1）．【解答】解：y=1显然不满足非减函数的条件，∴y=1不是非减函数；y=，x≥0时该函数为增函数，∴满足非减函数的条件，∴该函数为非减函数；y=在定义域（0，+∞）上为减函数，所以不是非减函数；y=，在（0，1）上为增函数，∴为非减函数；在（﹣2，﹣1）上为增函数，∴该函数为非减函数；∴是非减函数的是②④⑤．故答案为：②④⑤．三、解答题：本大题共6小题，共55分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（8分）已知集合A={x|a﹣1≤x≤2a+3}，B={x|﹣2≤x≤4}，全集U=R （Ⅰ）当a=2时，求A∪B和（∁R A）∩B；（Ⅱ）若A∩B=A，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，A={x|1≤x≤7}，则A∪B={x|﹣2≤x≤7}，∁R A={x|x＜1或x＞7}，（∁R A）∩B={x|﹣2≤x＜1}；（Ⅱ）∵A∩B=A，∴A⊆B，①若A=∅，则a﹣1＞2a+3，解得a＜﹣4；②若A≠∅，由A⊆B，得到，解得：﹣1≤a≤，综上：a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[﹣1，]．17．（8分）计算或化简下列各式：（1）（x＞0，y＞0）（结果用指数表示）（2）．【解答】解：（1）原式==•=•（x＞0，y＞0），（2）原式=+﹣•+=+1+﹣•+=2．18．（8分）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意m，n∈R有f（m+n）=f （m）+f（n）﹣2，（1）求证：函数y=f（x）﹣2为奇函数．（2）若函数f（x）在R上为增函数，且f（1）=3，解关于x的不等式f（4x+1）+f（2x+1）＞8．【解答】解：（1）令m=n=0，代入原式得f（0）=2．再令m=x，n=﹣x，代入原式得2=f（x）+f（﹣x）﹣2，整理得f（﹣x）﹣2=﹣[f（x）﹣2]，所以函数y=f（x）﹣2是奇函数．（2）f（4x+1）+f（2x+1）＞8可化为：f（4x）+f（1）+f（2x）+f（1）﹣4＞8，又f（1）=3，f（4x）+f（2x）﹣2＞6﹣2=f（1）+f（1）﹣2所以f（4x+2x）＞f（2），由函数f（x）在R上为增函数得：4x+2x＞2，所以（2x）2+2x﹣2＞0，即2x＞1或2x＜﹣2（舍）所以x＞0即为所求．19．（9分）已知（a、b∈R，x＞0）（1）求f（x）的解析式；（2）当a=b=1时，判断并证明f（x）的单调性．【解答】解：（1）令log2x=t（x＞0，t∈R），则x=2t，则，∴；（2）当a=，b=1时，f（x）==﹣；设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣﹣+=﹣=∵x1＜x2，∴0＜＜；∴＜0；∴f（x1）﹣f（x2）＜0；y=f（x）在R上为增函数．20．（10分）设f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，当x∈（﹣2，0）时，f （x）=﹣log a（﹣x）﹣log a（2+x），其中a＞0，且a≠1．（1）解方程f（x）=0；（2）令t∈（0，2），判断函数f（x）在x∈（0，t）上是否有最大值、最小值；若有，求出最大值、最小值，并说明理由．【解答】解：（1）令﹣log a（﹣x）=﹣log a（2+x）=0，∴，解得x=﹣1，又∵f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，∴f（x）=0解集为{﹣1，0，1}．（2）∵f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，∴，当0＜a＜1时，f（x）=log a x（2﹣x）在（0，t]上单调递减，∴f（x）min=f（t）=log a t（2﹣t），无最大值；1＜t＜2，f（x）=log a x（2﹣x）在（0，1]上单调递减，在（1，t]上单调递增，∴f（x）min=f（1）=0，无最大值；当a＞1时，0＜t≤1，f（x）=log a x（2﹣x）在（0，t]上单调递增，∴f（x）max=f（t）=log a t（2﹣t），无最小值；1＜t＜2，f（x）=log a x（2﹣x）在（0，1]上单调递增，在（1，t]上单调递减，∴f（x）max=f（1）=0，无最小值．21．（12分）设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若a=2，求函数f（x）在区间[0，3]上的最大值；（2）若a＞2，写出函数f（x）的单调区间（不必证明）；（3）若存在a∈[3，6]，使得关于x的方程f（x）=t+2a有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）当a=2，x∈[0，3]时，f（x）=x|x﹣2|+2x=作函数图象，可知函数f（x）在区间[0，3]上是增函数．所以f（x）在区间[0，3]上的最大值为f（3）=9．（2）f（x）=①当x≥a时，f（x）=．因为a＞2，所以．所以f（x）在[a，+∞）上单调递增．②当x＜a时，f（x）=﹣．因为a＞2，所以．所以f（x）在（﹣∞，]上单调递增，在[，a]上单调递减．综上所述，函数f（x）的递增区间是（﹣∞，]和[a，+∞），递减区间是[，a]．（3）当3≤a≤6时，由（1）知f（x）在（﹣∞，]和[a，+∞）上分别是增函数，在[，a]上是减函数，当且仅当时，方程f（x）=t+2a有三个不相等的实数解．即令，g（a）在a∈[3，6]时是增函数，故g（a）max=4．∴实数t的取值范围是（0，4）．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
2014届安徽省安庆市第二教学质量检测数学(理)试题及详细答案
2014年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题(理科)命题：安庆市高考命题研究课题组本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1. 已知i 为虚数单位，复数i z +=1，z 为其共轭复数，则22z z z-等于A. i --1B. i -1C. i +-1D. i +12. 已知集合}3,2,1,1{-=A ，}11{<--∈=x x R x B ，则右边韦恩图中 阴影部分所表示的集合为A. }1,1{-B.}3{C.}3,2{D. }3,2,1{3. 已知等差数列{}n a 中，86543=+-+a a a a ，则=7S A.8 B.21 C.28 D.354. 在演讲比赛决赛中，七位评委给甲、乙两位选手打分的茎 叶图如图所示，但其中在∆处数据丢失.按照规则，甲、乙 各去掉一个最高分和一个最低分，用x 和y 分别表示甲、 乙两位选手获得的平均分，则 A. x y > B. x y <C. x y =D. x 和y 之间的大小关系无法确定 5. 右图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE 的体积为A. 2B.32 C.34 D.38第4题图第5题图6. 在极坐标系中，圆C :)4πρθ=+上到直线l ：2cos =θρ距离为1的点的个数为A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知离心率为e 的双曲线和离心率为2的椭圆有相同的焦点1F 、2F ，P 是两曲线的一个公共点，若123F PF π∠=，则e 等于A.2 B.25C. 2D.3 8. 数列{}n a 共有5项，其中01=a ，25=a ，且11=-+i i a a ，4,3,2,1=i ，则满足条件的不同数列的个数为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 69. 已知点)1,2(A 、)3,1(B ，直线01=+-by ax ),(+∈R b a 与线段AB 相交，则()221b a +-的最小值为A.510 B. 52 C. 552 D. 5410. 设12x <<，则ln x x 、2ln x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、22ln x x 的大小关系是A. 222ln ln ln x x xx x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ B. 222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C. 222ln ln ln x xx x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ D. 222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭第Ⅱ卷 （非选择题 满分100分）二、填空题（本大题5个小题，每小题5分，共25分）11. 如果52))(1(a x x x -++（a 为实常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含4x 项的系数为 .12. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，若b c a 322=-，且C A B s i n c o s 8s in =,则边b 等于 .13. 在如图所示的程序框图中，若输出的6=n ，则输入的T 的最大值为 . 14. 已知函数x m x x f -+=21)(有三个零点，则实数m 的取 值范围为 . 15. 如图，设),0(πα∈，且2πα≠.当α=∠xoy 时，定义平面坐标系xoy 为α-仿射坐标系，在α-仿射坐标系中,任意 一点P 的斜坐标这样定义：21,e e 分别为与x 轴、y 轴正 向相同的单位向量，若21e y e x +=，则记为),(y x =， 那么在以下的结论中，正确的有 . （填上所有正确结论的序号）①设),(n m =、),(t s =，若b a =，则t n s m ==,；②设),(n m =22n m +=；③设),(n m =、),t s ，若b a //，则0=-ns mt ； ④设),(n m =、),(t s =，若b a ⊥，则0=+nt ms ；⑤设)2,1(=、)1,2(=，若a 与b 的夹角3π，则32πα=.三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（本题满分12分）已知向量))4cos(3),4(sin(ππ+-+=x x ，))4cos(),4(sin(ππ-+=x x ，函数x f ⋅=)(，R x ∈.（Ⅰ）求函数)(x f y =的图像的对称中心坐标； （Ⅱ）将函数)(x f y =图像向下平移21个单位，再向左平移3π个单位得函数)(x g y =的图像，试写出)(x g y =的解析式并作出它在5[,]66ππ-上的图像.第12题图第15题图第16题图17．（本题满分12分）某中学为丰富教工生活，国庆节举办教工趣味投篮比赛，有A 、B 两个定点投篮位置，在A 点投中一球得2分，在B 点投中一球得3分. 其规则是：按先A 后B 再A 的顺序投 篮.教师甲在A 和B 点投中的概率分别是1123和，且在A 、B 两点投中与否相互独立. （Ⅰ）若教师甲投篮三次，试求他投篮得分X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）若教师乙与甲在A 、B 点投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率.18.（本题满分12分）已知函数x xax x f ln )(++=，（R a ∈）. （Ⅰ）若)(x f 有最值，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当2≥a 时，若存在1x 、2x 12()x x ≠，使得曲线)(x f y =在1x x =与2x x =处的切线互相平行，求证：821>+x x . 19．（本题满分13分）如图，E 是以AB 为直径的半圆O 上异于A 、B 的点，矩形ABCD 所在的平面垂直于半圆O 所在的平面，且22AB AD a ==.（Ⅰ）求证：EA EC ⊥；（Ⅱ）若异面直线AE 和DC 所成的角为6π，求平面DCE 与平面AEB 所成的锐二面角的余弦值.20.（本题满分13分）已知椭圆E 的方程为11tan tan 222=++ααy x ,其中)2,0(πα∈. （Ⅰ）求椭圆E 形状最圆时的方程；（Ⅱ）若椭圆E 最圆时任意两条互相垂直的切线相交于点P ，证明：点P 在一个定圆上.21．（本题满分13分）已知数列{}n a 满足a a =1，nn n a a a λ+=+21，(R a ∈λ,)（Ⅰ）若2-=λ，数列}{n a 单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若2=a ，试写出2≥n a 对任意*∈N n 成立的充要条件，并证明你的结论.第19题图2014年安庆市高三模拟考试（二模） 数学试题(理科) 参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只1. 解析：i z -=1，i i i i i zz z --=--=-+-+=-1121)1(2)1(222，选A.2. 解析：}1{<∈=x R x B ,则A B =I }1{-,阴影部分表示的集合为}3,2,1{，选D.3. 解析：由86543=+-+a a a a 得853=+a a ，所以871=+a a ，282)(7717=+⨯=a a S ，选C.4. 解析：设图中甲、乙丢失的数据分别为b a ,，则16805a x +=+，26805y =+，∵0 9a ≤≤，∴1625808055a x y +=++<≤,选B. 5. 解析：多面体ABCDE 为四棱锥，利用割补法可得其 体积38344=-=V ，选D. 6. 解析：直线的方程为2=x ，圆的方程为22(1)(1)2x y -+-=，圆心到直线的距离为1，故圆C 上有2个点到l 距离为1，选B.7. 解析：设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距为2c ，1PFm =，2PF n =，且不妨设m n >，由 12m n a +=，22m n a -=得12m a a =+，12n a a =-.又123F PF π∠=，∴222221243c m n mn a a =+-=+，∴22122234a a c c+=234e+=，解得2e =，选C.8. 解析：设i i i a a b -=+1，1,2,3,4i =，则i b 等于1或-1，由554433221()()()()a a a a a a a a a =-+-+-+-1234b b b b +++=， 知i b )4,3,2,1(=i 共有3个1，1个-1.这种组合共有414=C 个，选B.9. 解析：由已知有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>≤+-≥+-00013012b a b a b a ，作出可行域，令()221b a d +-=，则d 的最小值为点)0,1(到直线013=+-b a 的距离，此时510min =d ， 所以()221b a +-的最小值为52，选B. 10. 解析：令()ln (12)f x x x x =-<<，则11()10x f x x x-'=-=>， 所以函数()(12)y f x x =<<为增函数，∴()(1)10f x f >=>，∴ln 0x x >>⇒ln 01x x <<，∴2ln ln x x x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭.又2222ln ln 2ln ln (2)ln 0x x x x x x xx x x x---==>， ∴222ln ln ln x x xx x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，选A . 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上) 11. 解析：∵ 52))(1(a x x x -++的展开式所有项的系数和为0)1)(111(52=-++a ， ∴ 1a =，∴52))(1(a x x x -++4434352)1()1()1)(1()1)(1(---=--=-++=x x x x x x x x ，其展开式中含4x 项的系数为3344C (1)C (1)5---=-.第9题图12. 解析：由C A B sin cos 8sin =及正、余弦定理知：bca cbc b 28222-+⨯=，整理得22243c b a +=，由b c a 322=-联立解得：4=b .13. 解析：当输出的6=n 时，512263S =+++=L，设输入的T 值为0T ,003(125)45T T T =-+++=-L , 且T S ≥,解得0108T ≤.T 最大值为108.14. 解析：函数()f x 有三个零点等价于方程12m x x =+有且仅有三个实根. ∵11(2)2m x x x x m=⇔=++，作函数(2)y x x =+的图像，如图所示，由图像可知m 应满足：101m<<，故1m >.15. αcos 2221mn n m e m ++=+=，∵2πα≠，所以②错误；由b a //得()b a R λλ=∈r r,所以,s m t n λλ==，所以0=-ns mt ，故③正确；∵1212()()()cos a b me ne se te ms nt mt ns ms nt α⋅=+⋅+=+++≠+r r u r u r u r u r，所以④错误；根据夹角公式><=⋅,，又a b ==r r 1245a b e e ⋅=+⋅r ru r u r得121245(54)cos 3e e e e π+⋅=+⋅u r u r u r u r ，故1212e e ⋅=-u r u r ，即1cos 2α=- 23πα∴=，⑤正确所以正确的是①、③、⑤.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．（本题满分12分）解析：（Ⅰ）x f ⋅=)()4cos()4cos(3)4(sin 2πππ-+-+=x x x21)32sin(2cos 23)2sin 1(21+-=-+=πx x x …………4分 由于0)32sin(=-πx 得：Z k k x ∈=-,32ππ，所以Z k k x ∈+=,621ππ.所以)(x f 的图像的对称中心坐标为Z k k ∈+),21,621(ππ …………6分 （Ⅱ）)(x g =)32sin(π+x ，列表：描点、连线得函数()y g x =在5[,]66ππ-上的图象如图所示：17．（本题满分12分）解答：设“教师甲在A 点投中”的事件为A ，“教师甲在B 点投中”的事件为B . （Ⅰ）根据题意知X 的可能取值为0,2,3,4,5,761)311()211()()0(2=-⨯-=⋅⋅==A B A P X P ，31)211()311(21)()2(12=-⨯-⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅== C A B A A B A P X P 121)211(31)211()()3(=-⨯⨯-=⋅⋅==A B A P X P6121)311(21)()4(=⨯-⨯=⋅⋅==A B A P X P6131)211(21)()5(12=⨯-⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅==C A B A A B A P X P…………12分121213121)()7(=⨯⨯=⋅⋅==A B A P X P …………6分 所以X 的分布列是：312176156141213312610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX …………8分（Ⅱ）教师甲胜乙包括：甲得2分、3分、4分、5分、7分五种情形. 这五种情形之间彼此互斥，因此，所求事件的概率P 为：1111111111111111()()()(1)361263663126631261212P =⨯+⨯++⨯+++⨯++++⨯-571914448== …………12分 18.（本题满分12分）解析：（Ⅰ） 22211)(x ax x x x a x f -+=+-='，),0(+∞∈x由a 41+=∆知， ①当41-≤a 时，0)(≥'x f ，)(x f 在),0(+∞上递增，无最值； ②当041≤<-a 时，02=-+a x x 的两根均非正，因此，)(x f 在),0(+∞上递增，无最值；③当0>a 时，02=-+a x x 有一正根2411a x ++-=，)(x f 在)2411,0(a++-上递减，在),2411(+∞++-a上递增；此时，)(x f 有最小值；所以，实数a 的范围为0>a . …………7分 （Ⅱ）证明：依题意：1)11(111121222121=+⇒+-=+-x x a x x a x x a ， 由于0,021>>x x ，且21x x ≠，则有22121212121)2()(22x x x x x x x x x x a +<⋅≤+⇒≥+⋅=22121)2()(2x x x x +<+∴821>+⇒x x . …………12分19.（本题满分13分）解答：（Ⅰ）∵平面ABCD 垂直于圆O 所在的平面，两平面的交线为AB ，BC ⊆平面ABCD ，BC AB ⊥，∴BC 垂直于圆O 所在的平面.又EA 在圆O 所在的平面内，∴BC EA ⊥.∵AEB ∠是直角，∴BE EA ⊥，∴EA ⊥平面EBC ,∴EA EC ⊥.…………6分(Ⅱ) 如图，以点O 为坐标原点，AB 所在的直线为y 轴，过点O 与BC 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -.由异面直线AE 和DC 所成的角为6π，//AB DC 知6BAE π∠=， ∴3BOE π∠=，∴1,,0)2E a ，由题设可知(0,,)C a a ，(0,,)D a a -，∴3,,)2DE a a =-uuu r，1,,)2CE a a =--uur .设平面DCE 的一个法向量为000(,,)p x y z =u r ，由0DE p ⋅=uuu r u r ，0CE p ⋅=uur u r得00z x =，00y =，取02x =，得0z =∴p =u r .又平面AEB 的一个法向量为(0,0,1)q =r，∴cos ,7p q <>=u r r .平面DCE 与平面AEB所成的锐二面角的余弦值7. …………13分 （其他解法可参考给分）第19题图20.（本题满分13分）解析：（Ⅰ）根据已知条件有0tan >α，且ααta n 1ta n 2>+，故椭圆E 的长轴在y 轴上.2e ==≥=，当且仅当4πα=时取等号. 由于椭圆E 的离心率e 最小时其形状最圆，故最圆的椭圆方程为2212y x +=.…………5分（Ⅱ）设交点P ),(00y x ，过交点P 的直线l 与椭圆2212y x +=相切.(1)当斜率不存在或等于零时，易得P 点的坐标为P (1,±. …………6分 (2)当斜率存在且非零时，则01x ≠±设斜率为k ，则直线l ：00)(y x x k y +-=， 与椭圆方程联立消y ，得：2220000(2)2()()20k x k y kx x y kx ++-+--=. 由相切，2220000[2()]4(2)[()2]0k y kx k kx y ∆=--+--=， 化简整理得2220000(1)220x k x y k y -++-=. ①因过椭圆外一点有两条直线与椭圆相切，由已知两切线垂直，故121-=k k ，而21,k k 为方程①的两根，故202211y x -=--，整理得：22003x y +=.又(1,±也满足上式，故P 点的轨迹方程为223x y +=，即P 点在定圆223x y +=上. ………13分21.（本题满分13分）解析：（Ⅰ）若2-=λ，则nn n a a a 221-=+， 由21122000n n n n n n n na a a a a a a a ++->⇔->⇔->⇔>， 得2>n a 或02<<-n a ，所以只需21>a 或021<<-a .所以实数a 的取值范围为(∪)+∞. …………6分(Ⅱ) 2≥n a 对任意*∈N n 成立的充要条件为4-≥λ.必要性：由22≥a ，解出4-≥λ； （另解：假设221≥+=+n n n a a a λ，得n n a a 222+-≥λ，令21)21(2)(2+--=n a n f ，2≥n a ，可得：4)(m ax -=n f ，即有4-≥λ.） …………8分充分性：数学归纳法证明：4-≥λ时，对一切*∈N n ，2≥n a 成立.证明：（1）显然1=n 时，结论成立；（2）假设)1(≥=k k n 时结论成立，即2≥k a ，当1+=k n 时，kk k a a a λ+=+21.考察函数xx x f λ+=2)(，),2[+∞∈x ，① 若 04≤≤-λ，由02)('2>-=xx f λ，知)(x f 在区间),2[+∞上单调递增.由假设得kk k a a a λ+=+2124λ+≥2≥.② 若0>λ，对),2[+∞∈x 总有242)(>>+=xx x f λ，则由假设得221>+=+kk k a a a λ.所以，1+=k n 时，结论成立，综上可知：当4-≥λ时，对一切*∈N n ，2≥n a 成立.故2≥n a 对任意*∈N n 成立的充要条件是4-≥λ. (13)。
数学_2014-2015学年安徽省安庆市某校高三(上)质检数学试卷(理科)(含答案)
2014-2015学年安徽省安庆市某校高三（上）质检数学试卷（理科）一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1. 设全集U ={−1, −2, −3, −4, 0}，集合A ={−1, −2, 0}，B ={−3, −4, 0}，则(∁U A)∩B =( )A {0}B {−3, −4}C {−1, −2}D ⌀2. 各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1=2，a 6=a 1a 2a 3，则公比q 的值为（ ） A √2 B √3 C 2 D 33. 已知复数z 1=m +2i ，z 2=3−4i ，若z1z 2为实数，则实数m 的值为（ ）A 83B 32C −83D −324. 设随机变量ξ服从正态分布N(0, 1)，若P(ξ>1.3)=p ，则P(−1.3<ξ<0)=( ) A 12+p B 1−p C 1−2p D 12−p5. 若函数f(x)=sinx 的图象的两条相互垂直的切线交于P 点，则点P 的坐标不可能是（ ） A (π2, π2) B (3π2, −π2) C (−π2, −π2) D (3π2, π2)6. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左右焦点是F 1，F 2，设P 是双曲线右支上一点，F 1F 2→F 1P →上的投影的大小恰好为|F 1P →|且它们的夹角为π6，则双曲线的离心率e 为（ ）A√2+12 B √3+12C √3+1D √2+17. 一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（ ） A 581B 1481C 2281D 25818. 抛物线x 2=py 与直线x +ay +1=0交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为(2, 1)，设抛物线的焦点为F ，则|FA|+|FB|等于（ ） A 13 B 176 C 289 D 3199.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体（ ）A 外接球的半径为√33 B 体积为√3 C 表面积为√6+√3+1 D 外接球的表面积为16π310. 设f(x)是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有f(1−x)+f(1+x)=0恒成立．如果实数m ，n 满足不等式组{f(m 2−6m +23)+f(n 2−8n)<0，m >3，那么m 2+n 2的取值范围是( )A (3, 7)B (9, 25)C (13, 49)D (9, 49)二、填空题：（共25分）11. 在(x −√2y)8的展开式中，x 6y 2项的系数是________．12. 已知偶函数f(x)在R 上可导，且f′(1)=1，f(x +2)=f(x −2)则曲线y =f(x)在x =−5处的切线的斜率为________．13. 执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值为31，则图中判断框内①处应填的整数为________．14. 已知对于∀x ∈[0, 1]，不等式2a x 2+4x(x −1)+4−a (x −1)2>0恒成立，则实数a 的取值范围是________． 15. 给出下列5种说法：①在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等； ②标准差越小，样本数据的波动也越小 ③回归直线过样本点的中心(x ¯, y ¯)；④在回归分析中对于相关系数r ，通常，当|r|大于0，75时，认为两个变量存在着很强的线性相关关糸．⑤极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴非负半轴重合，曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l 的参数方程为{x =ty =2+√3t （t 为参数），直线l 与曲线C 交于A 、B ，则 线段AB的长等于√3；其中说法正确的是________（请将正确说法的序号写在横线上）．三、解答题（共75分）16. 设函数f(x)=sin(2x +π6)−cos 2x −12cos2x +12（1）求函数f(x)的最小正周期和在区间[0, π2]上的取值范围；（2）△ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f(B)=1，a +c =4，求b 的取值范围．17. 如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB与ND交于P点．（1）在棱AB上找一点Q，使QP // 平面AMD，并给出证明；（2）求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值．18. 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：已知在全班48人中随机抽取1人，抽到不喜爱打篮球的学生的概率为13（1）请将上面的2×2列联表补充完整（不用写计算过程）；（2）你是否有95%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与期望．下面的临界值表供参考：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．19. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为2√2，离心率e=√22．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点B(2, 0)的直线l（斜率不等于零）与椭圆C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），且△OBE与△OBF的面积之比为12，求直线l的方程．20. 已知数列{a n}中，a1=2，a2=3，其前n项和S n满足S n+1+S n−1=2S n+1，其中(n≥2, n∈N∗)．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=4n+(−1)n−1λ⋅2a n(λ为非零整数，n∈N∗)，试确定λ的值，使得对任意n∈N∗，都有b n+1>b n成立．21. 已知函数f(x)＝ln(2ax +1)+x 33−x 2−2ax(a ∈R)．（1）若x ＝2为f(x)的极值点，求实数a 的值；（2）若y ＝f(x)在[3, +∞)上为增函数，求实数a 的取值范围； （3）当a =−12时，方程f(1−x)=(1−x)33+bx有实根，求实数b 的最大值．2014-2015学年安徽省安庆市某校高三（上）质检数学试卷（理科）答案1. B2. C3. D4. D5. D6. C7. B8. C9. D 10. C 11. 56 12. −1 13. 414. (−∞, −2) 15. ②③④⑤16. 解：（1）f(x)=sin(2x +π6)−1+cos2x2−12cos2x +12=√32sin2x +12cos2x −cos2x =√32sin2x −12cos2x =sin(2x −π6)，∵ ω=2，∴ T =π， ∵ x ∈[0, π2]， ∴ 2x −π6∈[−12, 1]，则f(x)在区间[0, π2]上的取值范围是[−12, 1]；（2）f(B)=sin(2B −π6)=1， 由0<B <π，得−π6<2B −π6<11π6，∴ 2B −π6=π2，即B =π3，由余弦定理得：cosB =a 2+c 2−b 22ac=12，即a 2+c 2−b 2ac=1，整理得：a 2+c 2−b 2=ac ，∴ b 2=a 2+c 2−ac =(a +c)2−3ac =16−3ac ， 又ac ≤(a+c 2)2=4，∴ b 2=16−3ac ≥4，即b ≥2， 则b 的范围为：[2, 4]．17. 解：（1）当AB 上的点满足BQ =13AB 时，满足QP // 平面AMD ，∵ MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，∴ MD // NB ． ∴ BPPM =NBMD =12，且QBQA =232−23=12，∴QB QA =BP PM=12，在△MAB 中，可得QP // AM ．又∵ QP ⊄平面AMD ，AM ⊂平面AMD ．∴ QP // 平面AMD ，即存在棱AB 上找一点Q ，当BQ =13AB 时，有QP // 平面AMD ； （2）以DA 、DC 、DM 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系 可得D(0, 0, 0)，B(2, 2, 0)，C(0, 2, 0)，M(0, 0, 2)，N(2, 2, 1)∴ CM →=(0, −2, 2)，CN →=(2, 0, 1)，DC →=(0, 2, 0)设平面CMN 的一个法向量为m →=(x, y, z)∴ {m →⋅CN →=2x +z =0˙，取z =−2，得x =1，y =−2由此可得m →=(1, −2, −2)为平面CMN 的一个法向量 ∵ NB ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴ NB ⊥CD 又∵ BC ⊥CD ，BC ∩NB =B∴ DC ⊥平面BNC ，可得DC →=(0, 2, 0)是平面BNC 的一个法向量 ∵ cos <m →，DC →>=|m|→⋅|DC|→˙=43×2=23∴ 平面BNC 与平面MNC 所成锐二面角的余弦值等于23．18. 解：（1）列联表补充如下：（2）∵ K 2=48×(22×10−10×6)232×16×28×20≈4.286>3.841∴ 有95%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．（3）喜爱打篮球的女生人数X 的可能取值为0，1，2． 其概率分别为P(X =0)=C 100C 102C 202=938，P(X =1)=C 101C 101C 202=1019，P(X =2)=C 102C 100C 202=938故ξ的分布列为：ξ的期望值为：EX =0×938+1×1019+2×938=1 19. 解：（1）椭圆C 的方程为x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，由已知得{e =ca =√222a =2√2a 2=b 2+c 2，解得a =√2，b =1，c =1， ∴ 所求椭圆的方程为x 22+y 2=1， （2）由题意知l 的斜率存在且不为零， 设l 方程为x =my +2(m ≠0)①，代入x 22+y 2=1，整理得(m 2+2)y 2+4my +2=0，由△>0得m 2>2．设E(x 1, y 1)，F(x 2, y 2)，则{y 1+y 2=−4mm 2+2y 1y 2=2m 2+2=2② 由已知，S △OBE S △OBF=12，则|BE||BF|=12，由此可知，BF →=2BE →，即y 2=2y 1．代入 ②得，{3y 1=−4mm 2+22y 12=2m 2+2，消去y 1得29⋅16m 2(m 2+2)2=2m 2+2，解得，m2=187，满足m2>2．即m=±3√147．所以，所求直线l的方程7x−3√14y−14=0或7x+3√14y−14=0．20. 解：（1）由已知，(S n+1−S n)−(S n−S n−1)=1(n≥2, n∈N∗)，即a n+1−a n=1(n≥2, n∈N∗)，且a2−a1=1．∴ 数列{a n}是以a1=2为首项，公差为1的等差数列．∴ a n=n+1．（2）∵ a n=n+1，∴ b n=4n+(−1)n−1λ⋅2n+1，要使b n+1>b n恒成立，∴ b n+1−b n=4n+1−4n+(−1)nλ⋅2n+2−(−1)n−1λ⋅2n+1>0恒成立，∴ 3⋅4n−3λ⋅(−1)n−12n+1>0恒成立，∴ (−1)n−1λ<2n−1恒成立．(I)当n为奇数时，即λ<2n−1恒成立，当且仅当n=1时，2n−1有最小值为1，∴ λ<1．(II)当n为偶数时，即λ>−2n−1恒成立，当且仅当n=2时，−2n−1有最大值−2，∴ λ>−2．即−2<λ<1，又λ为非零整数，则λ=−1．综上所述，存在λ=−1，使得对任意n∈N∗，都有b n+1>b n．21. f′(x)=2a2ax+1+x2−2x−2a=x[2ax2+(1−4a)x−(4a2+2)]2ax+1．因为x＝2为f(x)的极值点，所以f′(2)＝0．即2a4a+1−2a=0，解得a＝0．又当a＝0时，f′(x)＝x(x−2)，从而x＝2为f(x)的极值点成立．因为f(x)在区间[3, +∞)上为增函数，所以f′(x)=x[2ax2+(1−4a)x−(4a2+2)]2ax+1≥0在区间[3, +∞)上恒成立．①当a＝0时，f′(x)＝x(x−2)≥0在[3, +∞)上恒成立，所以f(x)在[3, +∞)上为增函数，故a＝0符合题意．②当a≠0时，由函数f(x)的定义域可知，必须有2ax+1>0对x≥3恒成立，故只能a> 0，所以2ax2+(1−4a)x−(4a2+2)≥0对x∈[3, +∞)上恒成立．令g(x)＝2ax2+(1−4a)x−(4a2+2)，其对称轴为x=1−14a，因为a>0所以1−14a<1，从而g(x)≥0在[3, +∞)上恒成立，只要g(3)≥0即可，因为g(3)＝−4a2+6a+1≥0，解得3−√134≤a≤3+√134．因为a>0，所以0<a≤3+√134．由①可得，a ＝0时，符合题意； 综上所述，a 的取值范围为[0, 3+√134]．若a =−12时，方程f(1−x)=(1−x)33+x >bx可化为，lnx −(1−x)2+(1−x)=bx．问题转化为b ＝xlnx −x(1−x)2+x(1−x)＝xlnx +x 2−x 3在(0, +∞)上有解， 即求函数g(x)＝xlnx +x 2−x 3的值域． 以下给出两种求函数g(x)值域的方法：方法1：因为g(x)＝x(lnx +x −x 2)，令ℎ(x)＝lnx +x −x 2(x >0)， 则ℎ(x)=1x +1−2x =(2x+1)(1−x)x，所以当0<x <1，ℎ′(x)>0，从而ℎ(x)在(0, 1)上为增函数， 当x >1，ℎ′(x)<0，从而ℎ(x ′)在(1，+∞上为减函数， 因此ℎ(x)≤ℎ(1)＝0．而x >1，故b ＝x ⋅ℎ(x)≤0， 因此当x ＝1时，b 取得最大值0．方法2：因为g(x)＝x(lnx +x −x 2)，所以g ′(x)＝lnx +1+2x −3x 2． 设p(x)＝lnx +1+2x −3x 2，则p ′(x)=1x +2−6x =−6x 2−2x−1x．当0<x <1+√76时，p ′(x)>0，所以p(x)在(0,1+√76)上单调递增；当x >1+√76时，p ′(x)<0，所以p(x)在(1+√76,+∞)上单调递减； 因为p(1)＝0，故必有p(1+√76)>0，又p(1e2)=−2+1+2e2−3e4<−3e 4<0，因此必存在实数x 0∈(1e2,1+√76)使得g ′(x 0)＝0，∴ 当0<x <x 0时，g′(x)<0，所以g(x)在(0, x 0)上单调递减；当x 0<x <1，g′(x)>0，所以，g(x)在(x 0, 1)上单调递增； 又因为g(x)=xlnx +x 2−x 3=x(lnx +x −x 2)≤x(lnx +14)，当x →0时，lnx +14<0，则g(x)<0，又g(1)＝0．因此当x ＝1时，b 取得最大值0．。
安徽省安庆市怀宁县新安中学2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷(含答案)
2023--2024高一第二学期期末质量检测试卷试题范围： 高中数学必修一、二 册 （侧重第二册）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．己知，则在上的投影向量的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数是关于的一元二次方程（，）的一个根，则（ ）A ．B ．C ．19D ．313．已知，，且，则（ ）A ．或B ．或C ．D ．4．若，，，则事件与的关系是（ ）A ．事件与互斥但不对立B ．事件与对立C ．事件与相互独立D ．事件与既互斥又相互独立5．已知样本数据的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（ ）A ．18.2B ．19.6C ．19.8D ．21.76．已知圆锥的底面圆周在球的表面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的半径为（ ）A ．B ．C ．2D7．如图，在中，点是上的点且满足，是上的点且满足，与交于点，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．(2,2,1)(1,1,0)a b ==，a b (1,1,0)(1,2,0)(2,2,0)(1,1,1)34i +x 20x mx n ++=m n ∈R m n +=13-1-α()0,πβ∈cos α=()1tan 3αβ-=2αβ-=π4-3π43π4-π4π4-3π4-1()18P AB =1()3P A =1()12P B =A B A B A B A B A B 129,,,x x x ⋅⋅⋅10x O O O ABC M AB 3AM MB =N AC AN NC =CM BN P AP AB AC λμ=+ λμ+=122334458．在中，，是的中点，的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．连续地掷一枚质地均匀的股子两次，记录每次的点数，记事件为“第一次出现2点”，事件为“第二次的点数小于等于4点”，事件为“两次点数之和为奇数”，事件为“两次点数之和为9"，则下列说法正确的是（ ）A ．与不是互斥事件B．与相互独立C ．与相互独立D ．与相互独立10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）A ．是偶函数B ．的图象关于点中心对称C ．方程在上的所有解的和是D ．若，对任意的，，，恒成立，则的最大值是11．如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，，点C 是圆周上异于A ，B 的任意一点，D ，E 分别是PA 、PC 的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．B ．平面DEBC ．三棱锥外接球的表面积是D ．若，则直线BD 与平面PAC ABC π3B =D AB CD =2AB BC +(((0,A B C D A B B D A B A C ()2π2π2cos cos 2123f x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π24f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x 7π,024⎛⎫⎪⎝⎭()13π124f x x -=[]π,2π-13π4[][],0,πm n ⊆1x []2,x m n ∈12x x <()()12f x f x <n m -11π246PA AB ==PB DE ⊥//AC -P ABC 72π5AC =三、填空题（本大题共3小题，共15分）12．已知，则 .13．如图，D 为的边AC 上一点，，，，则的最小值为 .14．如图，正方体的棱长为2， E 是棱的中点，平面截正方体所得截面图形的周长为，若F 是侧面上的动点，且满足平面，则点F 的轨迹长度为.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知函数.(1)若，求的最大值及对应的的取值集合；(2)若对任意的，，恒成立，求的取值范围.16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c，且，D 为BC 边上的动点．(1)若D 为BC 的中点，，求边BC ；(2)若AD 平分∠BAC ，，，求△ABC 的面积．17．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的π3sin 37α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ABC ||2||AD DC =60ABC ∠=︒||2||4AB BC +=BD 1111ABCD A B C D -1DD 1A BE 1111ABCD A B C D -11CDD C 1//B F 1A BE ()sin 2sin 2cos 1f x a x x a x =--+0a =()f x x 1x 2x ∈R ()()129f x f x -≤a 2AC AB =AD =cos 2A A +=3BC =AD AB =最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的第75百分位数：(2)在样本答卷成绩为的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少个？(3)已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差．18．如图所示正四棱锥中，，，为侧棱上的点，且，为侧棱的中点．(1)证明：平面；(2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．19．如图所示，在四棱锥中，平面，，，为棱上一点，.10010040[)[)[]40,50,50,60,,90,100 a [)[)[]70,80,80,90,90,100[)80,90[)50,60617[)60,70704z 2s S ABCD -2SA =AB =P SD 3SP PD =Q SD //BQ PAC SC E //BE PAC SEECS ABCD -SA ⊥ABCD //AB CD 60CDA ∠= P SA 22244AB AD CD AP PS =====(1)证明：平面；(2)求二面角的大小；(3)求点到平面的距离.//SC PBD S DC A --A PBD参考答案：1．C 2．C 3．D 4．C5．C 由题意可知：，可得，且，解得，所以新样本数据的方差为.6．B 7．D设，由，又由，所以，解得，可得，因为，所以，所以.8．C 因为，中，由正弦定理可得，则，且是的中点，则，()9992221111119,99912999i i i i i i x x x ===⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭∑∑∑9921181,837i i i i x x ====∑∑()9101011181101010i i x x x =⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭∑1019x =()1010922222210111111101010101019.8101010i i i i i i x x x x ===⎛⎫⎛⎫-=-⨯=+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑,,R,R BP xBN CP yCM x y ==∈∈11()()22AP AB BP AB xBN AB x BC BA AB x AC AB AB =+=+=++=+-- 1(1)2x AB x AC =-+3()(1)4AP AC CP AC yCM AC y AM AC y AC y AB =+=+=+-=-+ 314112x y x y⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩24,55x y ==3155AP AB AC =+ AP AB AC λμ=+ 31,55λμ==314555λμ=+=+π3B =CD =BCD △2sin sin sin BD BC CD BCD BDC B====∠∠∠2sin ,2sin BD BCD BC BDC =∠=∠D AB 2224sin 4sin AB BC BD BC BCD BDC +=+=∠+∠又，则，则，又，则，所以，则，即的取值范围为.9．ACD 10．ACD对于A ，由题意可得，则，，从而是偶函数，故A 正确；对于B，由（），得（），则图象的对称中心为（），故B 错误；对于C ，由，得，，所以的图象关于直线对称，函数的图象也关于直线对称，如图，π3B =2π3BCD BDC ∠=-∠224sin π4sin 3AB BC BDC BDC ⎛⎫+=-∠+∠ ⎪⎝⎭14sin sin 2BCD BCD BCD ⎫=∠+∠+∠⎪⎪⎭34sin 2BCD BCD ⎛⎫=∠∠ ⎪ ⎪⎝⎭π6BCD ⎛⎫=∠+ ⎪⎝⎭20π3BCD ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，ππ5π666BCD ⎛⎫∠+∈ ⎪⎝⎭，π1sin 162BCD ⎛⎫⎛⎤∠+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，(π6BCD ⎛⎫∠+∈ ⎪⎝⎭2AB BC +(()π2πcos 21cos 263f x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππππcos 21cos 2cos 2sin 2166266x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5π2112x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ππ5π2121242412f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()2121x x -+=+π24f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭5π2π12x k +=k ∈Z π5π224k x =-k ∈Z ()f x π5π,1224k ⎛⎫- ⎪⎝⎭k ∈Z ()13π124f x x -=()113π24f x x =-13π13π5π211242412f ⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 13π24x =113π24y x =-13π24x =在上有6个解，且在直线两侧各有3个解，则它们所有解的和是，故C 正确；对于D ，由对任意的，，且，恒成立，得在上单调递增，令（），得（），因为，所以当时，，此时的最大值是；当时，，此时的最大值是，故D 正确.11．BC对于选项A ：因为平面，平面，则，又因为D ，E 分别是PA 、PC 的中点，则∥，假设，则，且，平面，可知平面，由平面，可得，这与题意不符，故A 错误；对于选项B ：因为∥，平面DEB ，平面DEB ，所以平面DEB ，故B 正确；对于选项C ：因为平面，平面，则，由题意可知：，且，平面，可知平面，由平面，可得，由可知：三棱锥外接球的球心为的中点，则三棱锥外接球的半径为所以三棱锥外接球的表面积为，故C 正确；[]π,2π-13π24x =13π13π6244⨯=1x []2,x m n ∈12x x <()()12f x f x <()f x [],m n π5ππ2π22π2122k x k -≤+≤+k ∈Z 11ππππ2424k x k -≤≤+k ∈Z [][],0,πm n ⊆0k =π024x ≤≤n m -π241k =13ππ24x ≤≤n m -11π24PA ⊥ABC AC ⊂ABC PA AC ⊥DE AC PB DE ⊥PB AC ⊥PB PA P = ,PB PA ⊂PAB AC ⊥PAB AB ⊂PAB AC AB ⊥DE AC DE ⊂AC ⊄//AC PA ⊥ABC BC ⊂ABC PA BC ⊥AC BC ⊥PA AC A = ,PA AC ⊂PAC BC ⊥PAC PC ⊂PAC BC PC ⊥Rt ,Rt PAB PBC △△-P ABC PB -P ABC 12PB =-P ABC (24π72π=对于选项D ：连接，因为平面，且可知直线BD 与平面PAC 所成角为，其余弦值为D 错误；12．1314．取CD 中点G ，连接BG 、EG，正方体中，，，四边形为平行四边形，则，E 是中点，G 是CD 中点，，则等腰梯形为截面，而，故梯形的周长为；取中点M ，中点N ，连接，则，故四边形为平行四边形，则得，而平面，平面，故平面，同理平面，而，平面，故平面平面，∴点F 的运动轨迹为线段MN.CD BC ⊥PAC CD DB ====BDC ∠CD BD ==11//BC A D 11BC A D =11BCD A 11//BA CD 1DD 11////GE CD BA 1A EGB 1A E GB ==1A B EG ==1A EGB +11C D 1CC 11,,,,B M B N MN NE MG 1111//,=NE A B NE A B 11A B NE 11//B N A E 1B N ⊄1A BE 1A E ⊂1A BE 1B N //1A BE 1//B M 1A BE 111=B N B M B 11,B N B M ⊂1B MN 1//B MN 1A BE故答案为：.15．（1）解：当时，，当时，即函数取得最大值，最大值为，所以的最大值为3，此时的取值集合为.（2）解：设，则，故，对任意的，恒成立，等价于对任意的，不等式恒成立，即对任意的，，恒成立，①当在上单调递增，则，，故.由，可得，解得则②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则，，故.由，得，解得因为③当时，在上单调递减，在上单调递增，则，，0a =()2sin 21f x x =-+π22π,Z 2x k k =-∈ππ,Z 4xk k =-∈()max 3f x =()f x x ππ,4x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z πsin cos 4t x x x ⎛⎫⎡=-=-∈ ⎪⎣⎝⎭21sin cos 2t x x -=()221,y g t t at t ==+-≤12,x x ∈R ()()129f x f x -≤t ⎡∈⎣()()129g t g t -≤1t 2t ⎡∈⎣()()max min 09g t g t <-≤4a-≤a ≥()g t ⎡⎣()max 3g t g==+()(min 3g t g ==()()max min g t g t -=()()max min 09g t g t <-≤09<≤0a <≤a ≥04a <-≤0a ≤<()g t 4a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4a ⎛- ⎝()max 3g t g==+()2min 1148a g t g a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()()2max min 148g t g t a -=+()()max min 09g t g t <-≤210498a <+≤a -≤<-a -<≤0a ≤<0a ≤≤04a <-≤0a -≤<()g t 4a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4a ⎛- ⎝()(max 3g t g ==()2min 1148a g t g a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭故，由.得，解得，因为，所以，符合题意；④当时，在上单调递减，则，.所以.由，得，解得，则，不符合题意.综上可得，实数的取值范围是.16．（1，所以，所以，，所以，所以，∵为的中点，∴，平方得又，，，由余弦定理得：，∴（2）设，∵平分，∴，又，得，∵平分，则，()()2max min 148g t g t a -=+()()max min 09g t g t <-≤210498a <+≤a -≤≤a ≠0a -≤<0a -≤<4a ->a <-()g t ⎡⎣()min 3g t g ==()(max 3g t g ==()()max min g t g t -=-()()max min 09g t g t <-≤09<-≤0a ≤<a <-a ⎡-⎣cos 2A A +=1cos )22A A +=πsin()16A +=0πA <<ππ62A +=π3A =D BC ()12AD AB AC =+ ()()22222112·|2·cos |344AD AB AB AC AC AB AB AC A AC =++=++= 2,AC AB =22|||||cos ||122|AB AB AC A AC ++= 222|2|4||12AB AB AB ∴++= 212||7AB ∴=222362cos 7BC AB AC AB AC A =+-= BC =222AC AB AD t ===AD BAC ∠12AB BD AC DC ==3BC =1,2BD DC ==AD BAC ∠cos cos BAC CAD ∠=∠所以，解得，则在中，，则，所以．17．(1)；第75百分位数为84．(2)5个(3)总平均数，总方差．（1）（1）由每组小矩形的面积之和为1得，，所以．成绩落在内的频率为，落在内的频率为，显然第百分位数，由，解得，所以第百分位数为．（2）由频率分布直方图知，样本成绩为的三组答卷的市民有个样本，成绩在的市民人数为，所以用分层抽样的方法应在答卷成绩为的中抽取市民人数为个.（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，所以总平均数，由样本方差计算总体方差公式，得总方差为．18．（1）设，连接，22222214124t t t t t t +-+-=t =AB =AC =ABC 2221cos 28AB AC BC BAC AB AC +-∠== sin BAC ∠==11sin 22ABC S AB AC BAC =∠=⨯= 0.030a =67z =223s =0.050.10.2100.250.11a +++++=0.030a =[40,80)0.050.10.20.30.65+++=[40,90)0.050.10.20.30.250.9++++=75()80,90m ∈0.65(80)0.0250.75m +-⨯=84m =7584[70,80)[80,90)[90,100]，，10010(0.030.0250.01)65⨯⨯++=80,90［）10010002525⨯⨯=．80,90［）2513565⨯=0,60)［51000.110⨯=0,70［6）1000220⨯=．10612070671020z ⨯+⨯==+()(){}222110761672047067231020s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦+AC BD O = OP因为分别为的中点，则，且平面，平面，所以平面.（2）在侧棱上存在一点，使平面，满足．理由如下：因数中点为，，则，过作的平行线交于，连接．由于，即．则，且平面，平面，所以平面，由（1）可知：平面，因为，平面，可得平面平面，且平面，所以平面.19．（1）连接交于点，连接.在底面中，因为，且，由，可得，因为，即，所以在中，，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）设的中点为，连接、，因为，，所以为等边三角形，所以，又平面，平面，所以，，平面，所以平面，平面，所以，,O P ,BD QD //OP BQ OP ⊂PAC ⊄BQ PAC //BQ PAC SC E //BE PAC 2SE EC =SD Q 3SP PD =PQ PD =Q PC SC E BE 2SQ QP =2SE SQ EC QP==//QE PC PC ⊂PAC QE ⊄PAC //QE PAC //BQ PAC BQ QE Q = ,BQ QE ⊂BEQ //BEQ PAC BE ⊂BEQ //BE PAC AC DB O OP ABCD //AB CD 2AB CD =ABO CDO ∽2AO AB CO CD ==2AP PS =2AP PS =CAS △2AO AP OC PS==//OP CS OP ⊂PBD SC ⊂/PBD //SC PBD CD M AM SM 60CDA ∠= 2AD CD ==CDA AM CD ⊥SA ⊥ABCD CD ⊂ABCD SA CD ⊥SA AM A = ,SA AM ⊂SAM CD ⊥SAM SM ⊂SAM CD SM ⊥所以为二面角的平面角，平面，平面，所以，在中，所以，即二面角的大小为；（3）因为，，所以，所以在中，，所以，即，所以，设点到平面的距离为，则，即，即，即点到平面SMA ∠S DC A --SA ⊥ABCD AM ⊂ABCD SA AM ⊥Rt SMA 3SA SP AP =+=AM =tan SA SMA AM∠==60SMA ∠=︒S DC A --60︒//AB CD 60CDA ∠=︒120DAB ∠=︒11sin 2422ABD S AD AB DAB =⨯∠=⨯⨯= PBD △PD ===PB ===BD ==222PD PB BD +=PD PB ⊥1122PBD S PB PD =⨯=⨯= A PBD d A PBD P ABD V V --=1133PBD ABD S d S PA ⋅=⨯ ABD PBD S PA d S ⨯=== A PBD。
2014-2015学年第二学期高一数学试题
高一数学 第1页 共4页 试卷类型：A肇庆市中小学教学质量评估2014—2015学年第二学期统一检测试题高 一 数 学本试卷共4页，22小题，满分150分. 考试用时120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室 号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B 铅笔将准考证号涂黑。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷或草稿纸上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域 内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再在答题区内写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）1．427π是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2．已知向量)2,1(=a ，)1,3(=b ，则=-a bA ．（2，-1）B ．（-2， 1）C ．（2，0）D ．（4，3）3．已知数列{n a }的通项公式是12++=n n a n ，则这个数列是 A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列4．不等式022<--x x 的解集是A ．}2|{>x xB ．}1|{-<x xC ．}21|{>-<x x x 或D ．}21|{<<-x x 5．若0tan >α，则A ．02sin >αB ．0sin >αC ．02cos >αD ．0cos >α6．在矩形ABCD 中，4||=，2||=，则=++||A ．12B ．6C ．54D ．527．已知等差数列}{n a 中，651=+a a ，则=++++54321a a a a aA ．610B ．65C ．30D ．15高一数学 第2页 共4页 8．已知a b c >>，0=++a b c ，则下列不等式一定成立的是A ．222a b c >>B ．||||b a b c >C ．ac bc >D ．ab ac >9．若向量b a ,满足：1||=a ，a b a ⊥+)(，b b a ⊥+)2(，则=||bA ．2B ．2C ．1D ．22 10.已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y （πϕ<≤0），它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则=ϕA ．6πB ．3π C ．32π D ．65π 11．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤+-≤-+,053,013,07y x y x y x 则y x z -=2的最大值是A ．10B ．8C ．3D ．212．对任意两个非零的平面向量α和β，定义ββ= 若两个非零的平面向量,满足a 与b 的夹角)2,4(ππθ∈，且b a 与a b 都在集合}|2{Z n n ∈中，则=b a A ．25 B ．23 C ．1 D ．21 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. ）13．67sin π的值等于 ▲ . 14．已知平面向量)2,1(=a ，),2(m b -=，且b a //，则=m ▲ .15．等比数列}{n a 中，24=a ，55=a ，则数列}{lg n a 的前8项和等于 ▲ .16．设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当xyz 取最小值时，z y x -+2的最大值为 ▲ ．高一数学 第3页 共4页三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤. ）17．（本小题满分10分） 已知)42sin(2)(π-=x x f ，请写出函数)(x f 的值域、最小正周期、单调区间及奇偶性.18．（本小题满分12分）数列}{n a 满足211=a ，nn n a a a 211+=+（*N n ∈）. （1）写出5432,,,a a a a ；（2）由（1）写出数列}{n a 的一个通项公式；（3）判断实数20151是否为数列}{n a 中的一项？并说明理由.19．（本小题满分12分） 已知函数)64cos()(π+=x A x f ，R x ∈，且2)3(=πf . （1）求A 的值；（2）设]2,0[,πβα∈，1730)344(-=+παf ，58)324(=-πβf ，求)cos(βα+的值.高一数学 第4页 共4页 20．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 53)cos(sin )sin(cos 2cos 22-=++---C A B B A B B A ． （1）求A cos 的值；（2）若24=a ，5=b ，求向量在BC 方向上的投影.21．（本小题满分12分）设数列}{n a 的前n 项和32231341+⨯-=+n n n a S （*N n ∈）. （1）求21,a a 的值；（2）求数列}{n a 的通项公式； （3）设nn n S T 2=（*N n ∈），证明：2321<+++n T T T .22．（本小题满分12分）数列}{n a 中，13=a ，121+=+++n n a a a a （*N n ∈）.（1）求21,a a ；（2）求数列}{n a 的前n 项和n S ；（3）设n n S b 2log =，存在数列}{n c 使得n n n n S n n n b b c )2)(1(143+++=⋅⋅++，试求数列}{n c 的前n 项和.。