人教版七年级下册数学：用适当方法解二元一次方程组
最新人教版七年级数学下册 第八章 《消元——解二元一次方程组》教案
《消元——解二元一次方程组》教案2江西师大附中荣齐辉教学设计说明：本课以贴近学生生活实际的问题为情境，引导学生分别列二元一次方程组和一元一次方程解决问题，通过观察、对比，发现二元一次方程组和一元一次方程的联系，思考如何将二元一次方程组转化为一元一次方程，实现消元，渗透化归的数学思想．通过丰富的例题和问题，使学生熟练掌握二元一次方程组的解法，并能运用二元一次方程组解决一些实际问题，体会方程思想．（1）教材分析二元一次方程组是在《一元一次方程》的基础之上学习的，它是解决含有两个未知数的问题的有力工具，同时，二元一次方程组也是解决后续一些问题的基础，其解法将为解决这些问题提供运算的工具，如用待定系数法求一次函数解析式，在平面直角坐标系中求两条直线的交点等．解二元一次方程组就是要通过代入法和加减法把“二元”化归为“一元”，这也是解三元（多元）一次方程组的基本思路，是通法．（2）学情分析学生的知识技能基础：学生已学过一元一次方程的解法，经历过由具体问题抽象出一元一次方程的过程，具备了学习二元一次方程的基本技能．学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了很多观察、对比、发现的学习程，具有了一定的发现式学习的经验和数学思考，具备了一定的合作与交流的能力．教学目标1．用代入法、加减法解二元一次方程组．2．了解解二元一次方程组时的“消元思想”,“化未知为已知”的化归思想．3．会用二元一次方程组解决实际问题．4．在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程解决实际问题的意识和能力．教学重点、难点重点：会用代入法和加减法解简单的二元一次方程组，会用二元一次方程组解决简单的实际问题，体会消元思想和方程思想．难点：理解“二元”向“一元”的转化，掌握代入法和加减法解二元一次方程组的一般步骤．课时设计四课时．教学策略本节课主要通过创设问题情境，引导学生观察迁移、采用发现法、探究法、练习法为辅的教学方法．教学过程一、创设问题情境，引入课题问题1 篮球联赛中每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队10场比赛中得到16分，那么这个队胜、负场数应分别是多少?你能根据问题中的等量关系列出二元一次方程组吗？师生活动：学生回答：设胜x 场，负y 场．根据题意，得⎩⎨⎧=+=+16210y x y x ，教师引出本节课内容：这是我们在引言中探讨的问题，我们在上节课列出了方程组，并通过列表找公共解的方法得到了这个方程组的解⎩⎨⎧==46y x ，显然这样的方法需要一个个尝试，有些麻烦，不好操作，所以我们这节课就来探究如何解二元一次方程组．教师追问（1）：这个实际问题能用一元一次方程求解吗？师生活动：学生回答：设胜x 场，则负)10(x -场．根据题意，得16)10(2=-+x x ． 教师追问（2）：对比方程和方程组，你能发现它们之间的关系吗？师生活动：通过对实际问题的分析，认识方程组中的两个方把二元一次方程组转化为一元一次方程，先求出一个未知数，再求出另一个未知数．教师总结：这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想程．【设计意图】用引言中的问题引入本节课内容，先列二元一次方程组，再列一元一次方程，对比方程和方程组，发现方程组的解法．二、探究新知问题2 对于二元一次方程组10 216 x y x y ⎧+=⎨+=⎩①②你能写出求x 的过程吗？ 师生活动：学生回答：由①，得x y -=10．③把③代入②，得16)10(2=-+x x ．解得6=x【设计意图】通过解具体的方程明确消元的过程．教师追问：把③代入①可以吗？师生活动：学生把③代入①，观察结果．【设计意图】由于方程③是由方程①得到的，它只能代入方程②，不能代入方程①，让学生实际操作，得到恒等式，更好地认识这一点．问题3 怎样求y 的值？师生活动：学生回答：把6=x 代入③，得4=y ．教师追问（1）：代入①或②可不可以？哪种方法更简便？师生活动：学生回答：代入③更简便．教师追问（2）：你能写出这个方程组的解，并给出问题的答案吗？师生活动：学生回答：这个方程组的解是⎩⎨⎧==46y x ，这个队胜6场，负4场． 【设计意图】让学生考虑求另一个未知数的过程，并思考如何让优化解法．问题4 你能总结出上述解法的基本步骤吗？其中，哪一步是最关键的步骤？师生活动：教师引导学生总结：变、代、求、写，学生回答：“代入”是最关键的步骤，教师总结：这种方法叫做代入消元法，简称代入法．【设计意图】使学生明确代入法解二元一次方程组的基本步骤，并明确关键步骤是“代入”，将二元一次方程组转化为一元一次方程．问题5 是否有办法得到关于y 的一元一次方程？师生活动：学生具体操作．【设计意图】 让学生尝试不同的代入消元方法，并为后面学生选择简单的代入方法作铺垫．三、应用新知例 用代入法解方程组⎩⎨⎧=-=-14833y x y x师生活动：学生写出用代入法解这个方程组的过程，教师巡视，个别点拨．【设计意图】使学生熟悉代入法解二元一次方程组的步骤,巩固新知．四、加深认识练习 用代入法解下列二元一次方程组：（1）⎩⎨⎧=+=+15253t s t s （2）⎩⎨⎧=-=+33651643y x y x 师生活动：学生写出代入法解这些方程组的过程．【设计意图】本题需要先分析方程组的结构特征，再选择适当的解法，通过此练习，使学生熟练掌握用代入法解二元一次方程组．五、学以致用例 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g ）和小瓶装（250g ），两种产品的销售数量（按瓶计算）的比为 ，某厂每天生产这种消毒液22．5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？师生活动：教师引导学生列出二元一次方程组，学生写出解这个方程组的过程． 教师追问：上述解方程组的过程能用一个框图表示出来吗？师生活动：教师与学生一起尝试用下列框图表示解方程组的过程：【设计意图】这是一个实际问题，需要先根据题意设两个未知数，列二元一次方程组，再用代入5:2法解这个方程组，体现应用方程组分析、解决实际问题的全过程，增强学生的应用意识．并通过框图形式形象地表示代入法解二元一次方程组的过程，使学生加深理解．六、再探新知问题4 前面我们用代入法求出了方程组10 216 x y x y ⎧+=⎨+=⎩①② 的解，这个方程组的两个方程中，y 的系数有什么关系？你能利用这种关系发现新的消元方法吗？师生活动：学生回答：这两个方程中y 的系数相等，②-①可消去未知数y ，得6=x ． 把6=x 代入 ①得，4=y所以这个方程组的解为⎩⎨⎧==46y x ．教师追问：①-②也能消去未知数y ，求得x 吗？师生活动：学生具体操作，发现求得的解跟上面相同．【设计意图】让学生发现除代入法以外的其它消元方法：通过两个方程相减实现消元．问题5 联系上面的解法，想一想怎样解方程组⎩⎨⎧=-=+.81015,8.2103y x y x 师生活动：学生回答：由于这两个方程中y 的系数相反，将两个方程相加，可消去未知数y ，求得x ，进而求得y ．教师总结：当两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．【设计意图】让学生再次发现新的消元方法：通过两方程相加实现消元，并总结出加减消元法．七、应用新知例 用加减法解方程组⎩⎨⎧=-=+33651643y x y x问题6 上述方程组能直接通过加减消元吗？为什么？师生活动：学生回答：不能，因为同一未知数的系数既不相等也不相反．教师追问：那该怎样变形才能实现消元？师生活动：可以在方程两边同时乘适当的数，使同一未知数的系数相等或相反，再通过将两个方程相加或相减，实现消元．【设计意图】让学生掌握加减消元法的基本步骤，加深对加减法的认识．八、巩固提高练习 用加减法解下列方程组：（1）⎩⎨⎧-=-=+12392y x y x （2）⎩⎨⎧=+=+15432525y x y x 【设计意图】让学生熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的步骤，巩固提高．九、学以致用例 2台大收割机和5台小收割机工作2小时收割小麦3．6公顷；3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷．1台大收割机和1台小收割机工作1小时各收割小麦多少公顷？【设计意图】这是一个实际问题，需要先根据题意设两个未知数，列二元一次方程组，再用加减法解这个方程组，体现应用方程组分析、解决实际问题的全过程，增强学生的应用意识,同时加深和巩固对加减法解二元一次方程组的认识．十、归纳总结回顾本节课的学习过程，并回答以下问题：（1）代入法和加减法解二元一次方程组有哪些步骤？（2）解二元一次方程组的基本思路是什么？（3）在探究解法的过程中用到了什么思想方法？你还有哪些收获？【设计意图】让学生总结本节课的主要内容，提炼思想方法．十一、布置作业课本习题教学反思1．应用意识贯穿始终：从问题的提出，到最后的练习，多出环节以实际问题为背景，为解决问题的需要而学习，最后回归到用新知识解决实际问题，既解决了为什么要学习二元一次方程组的解法的问题，同时，由于目标明确具体，学生探究时容易把握方向，在一定程度上分解了难点，提高了学生学习的兴趣．2．循序渐进原则的运用：学生对消元思想的理解很难一步到位，所以采用结合具体问题逐步渗透、感悟，然后提炼升华的方式学习，类似地，对二元一次方程组的解法，经历了从特殊到一般，从简单到复杂的循环上升过程，学生对数学思想的理解随之加深．。
人教版七年级数学下册第8章二元一次方程组应用专题
＋b)(a－b)的值为__－__8_．
x＝1， x＝3， x＝5， 3．方程 x＋2y＝7 的正整数解有_3__组，分别为__y_＝__3_，____y_＝__2_，____y_＝__1____
知识点二 二元一次方程组的解法 2x－3y＝5，①
4．用加减法解方程组3x－2y＝7，② 下列解法不正确的是( D )
(1)每只A型球、B型球的质量分别是多少千克？ (2)现有A型球、B型球的质量共17千克，则A型球、B型球各有多少只？
解：(1)设每只 A 型球、B 型球的质量分别是 x 千克，y 千克，根据题意可 得x3＋ x＋y＝y＝7，13， 解得xy＝＝43，， 答：每只 A 型球的质量是 3 千克、B 型球的 质量是 4 千克
(1)x－y＝1；
x＝3， 解：y＝2
x＋3y＝－1， (2)3x－2y＝8； 解：xy＝＝－2，1
x－3 1－y＋4 2＝0， (3)x－2 3－y－3 1＝16．
x＝4， 解：y＝2
知识点三 二元一次方程组的应用
7．(2019·长春)《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈
不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人
＋b)(a－b)的值为__－__8_．
x＝1， x＝3， x＝5， 3．方程 x＋2y＝7 的正整数解有_3__组，分别为__y_＝__3_，____y_＝__2_，____y_＝__1____
知识点二 二元一次方程组的解法 2x－3y＝5，①
4．用加减法解方程组3x－2y＝7，② 下列解法不正确的是( D )
12．古运河是扬州的母亲河，为打造古运河风光带，现有一段长为 180 米 的河道整治任务由 A，B 两个工程队先后接力完成．A 工程队每天整治 12 米， B 工程队每天整治 8 米，共用时 20 天．
用适当方法解二元一次方程组 (4)
四、例1
下列方程组用什么方法解好?为什么? 2x+y=4 (1)
（1） y=7 (2)
（2） （3）
2x+5y=10 (1) 3x-5y=6 (2)
4x+3y=-1 (1) 2x=8 (2)
（4）
-2（x-y）+7（x+y）=21 (1) 2（x-y）－5（x+y）=－1 (2)
2. 选择适当方法解方程组：
用含y 的代数式表示x的形式,则x=._______.
4.“甲数的2倍减去乙数的一半的差是5”,根据这语句设甲数为 x,乙数为y, 则列出方程是________.
5.已知方程组
x y 4 x y 2
则
1 x
-3y=.________
6.若4x 32 +|2y+1|=0,则x+3y=______.
解三元一次方程组的基本思想是化三元为二元再化 二元为一元
二.,课堂练习:
一.填空题：
1.二元一次方程4x-3y=12,当x=0,1,2,3时,y=_____.
2.在方程3x-ay=8中,如果
x
y
3 1
是它的一个解,则a=____
3.把方程3x+y=5写成用含x的代数式表示y的形式,则y=._____
2 ,
6
求A、B、C的值。
（2）甲、乙两人同解方程
组CAxx
By 3y
2 2,
甲正确解得 xy
11,乙抄错C，解得xy
2 ,
6
求A、B、C的值。
解得：A 5，B 1，C -5
2
人教版数学七年级下册 二元一次方程组
2. 若 2x2m+3 + 3y3n-7 = 0 是关于 x、y 的二元一次方程，
8 则 m =___-_1__，n =___3___.
3. 加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天 可完成 900 件，第二道工序每人每天可完成 1200 件. 现有 7 位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才 能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？请列 出符合题意的二元一次方程组.
一次方程，则 m＋n ＝__0___．
| m |＝1
|m－1|≠0 2n－1 ＝ 1
m ＝ －1
n＝1
m＋n ＝0
总结 (1) 未知数的系数不为 0；
(2) 含未知数的项的次数都是 1.
2. 若 x2m-1 + 5y3n-2m = 7 是关于 x、y 的二元一次方程， 则 m =__1__，n =__1__.
和 y)，并且含有未知数的项的次数都是 1， 像这样
的方程叫做二元一次方程.
例1 判断下列方程是否为二元一次方程：
(1) 4 y 3z z 6 ; 是
(2)2 y 5 x; 3
不是
(3) x2 2 y 0;
不是
(4) x
3 y
1;
不是
(5)2 x2 2 x y 2 x2; 是 总结 判断要点：
的解是 ( C )
B. x = 3，
y=6
D. x = 4，
y=2
一般地，二元一次方程有无数个解，而二元一次方 程组只有一个解.
二元 一次 方程
①每个方程含有
_两_个未知数；
②含有未知数的 项的次数_都__是___1
使二元一次方程两 边的值_相__等_的两个 _未__知__数__的值
人教版数学七年级下册 运用二元一次方程组解决实际问题
二 元
应用
和差倍分、几何面积、工程、配套等...
一 次
审题：弄清题意和题目中的_数__量__关__系_
方
程 组
解
的题
应步
用骤
设元：用字__母__表示题目中的未知数 列方程组：根据_2_个等量关系列出方程组 解方程组：代__入__法__、__加__减__法__ 检验作答
1.(扬州中考)《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其
中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三
十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”，该如何解
决呢？ 解：设鸡有 x 只，兔有 y 只.
由题意，得
x y35， 2x4 y94.
解此方程组得
x23，
y
12.
答：鸡有 23 只，兔有 12 只.
2. 有甲、乙两数，甲数的 3 倍与乙数的 2 倍之和等于 47， 甲数的 5 倍比乙数的 6 倍小 1，这两个数分别是多少？
知识点1：和差倍分问题 合作探究
探究一：养牛场原有 30 只大牛和 15 只小牛，1 天 约用饲料 675 kg；一周后又购进 12 只大牛和 5 只小 牛，这时 1 天约用饲料 940 kg. 饲养员李大叔估计每 只大牛 1 天约需饲料 18 ~ 20 kg，每只小牛 1 天约需 饲料 7 ~ 8 kg. 你认为李大叔估计的准确吗？
x = 45， 解此方程组得
y = 15.
60 cm
答：每块小长方形地砖的长和宽分别是 45 cm，15 cm.
4. A 地至 B 地的航线长 9750 km，一架飞机从 A 地 顺风飞往 B 地需 12.5 h，它逆风飞行同样的航线需 13 h，求飞机的平均速度与风速.
解：设飞机的平均速度为 x km/h，风速为 y km/h.
人教版消元——解二元一次方程组(8)
y 2 ①的开始 11 2y②
步骤，其中最简单、正确的是（
）
（A）由①，得y=3x-2 ③，把③代入②，得3x=11-2(3x-2)。
（B）由①，得
x
y2 ③3 ，把③代入②，得
（C）由②，得 y 11③3，x 把③代入①，得
2
3y。2112y 3
3x1。13x 2 2
（D）把②代入 ①，得11-2y-y=2，把(3x看作一个整体)
3 5
。
2.练习：解下列方程组
x+y=11 ① （1）.
x-y=7 ②
3x-2y=5 ① （2）.
x + 2y=3 ②
x=9 y=2
x=2 y=0.5
对于第（2）题，还 有简便方法吗？
小结
学习了本节课你有 哪些 收获？
课堂小结
这节课我们学习了哪些知识？
1.二元一次方程组
代入消元法 转化
一元一次方程
这种解方程组的方法称为代入消元法， 简称代入法。
小试身手
1. 把下列方程写成用含x的式子表示y的形式
：
2x-y=3 3x+y=1
用含x的式子表示
y=2x-3 y=3x-1
用含y的式子表示x
x y3
x
2
y
21
33
若写成用含y的式子表示x的形式你会写吗？ 比一比哪一种表示形式更简便？
探究新知
用代入法解二元一次方程组的一般步骤
2.用这个式子代替另一个方程中的相应未知 数，得到一个一元一次方程，求得一个未知 数的解。
3.把这个未知数的值代入上面的式子，求 得另一个未知数的值。
4.写出方程的解
可以先消去x吗？
人教版七年级数学下册同步教学第8章 第32课时 二元一次方程组的解法专题训练
与33xa＋x－y＝4b9y＝18
有公共的
解，求a、b．
解：ab＝ ＝1－1
12．若|2x－y＋1|＋|x＋2y－7|＝0，则 x＝___1__，y＝__3___．
13．用代入法解下列各方程组：
(1)2y－x＋23x＝y＝111；
(2)x2＋x－3y3＝y＝63．
解：yx＝＝31
解：yx＝＝13
14．用加减法解下列各方程组：
(1)32xx＋－yy＝＝87；
解：yx＝＝－3 1
解：yx＝＝－－11
7．方程2x＋y＝9在正整数范围内的解有(D．4组
8．方程组2y＝x－x＋y＝111的解是( B )
A．xy＝ ＝00
B．xy＝＝1123
C．xy＝ ＝1132
D．xy＝ ＝1－213
9．方程组2x＋x＋2yy＝ ＝7－7，则x，y的值分别是( A )
解：xy＝＝3－.51
3．解方程组：2x－y＋3 1＝1． 3x＋2y＝4
解：xy＝＝－2 1
4．用适当的方法解方程组：3x＋x－y＝3y＝6 6．
解：xy＝＝24
5．解方程组：00..62xx－ －00..44yy＝ ＝12..13．
x＝－3 解：y＝－249
6．解方程组：y＋4 1＝x＋3 1． 2x－3y＝1
(2)33mm－＋n2n＝＝116．
解：nm＝＝52
15．已知(3x＋2y－5)2与|5x＋3y－8|互为相反数，求x，y的值．
解：xy＝＝11
16．若方程组23xx＋ ＋35yy＝ ＝mm＋2的解满足x＋y＝12，求m的值．
解：m＝14
17．若关于x、y的方程组
4x－y＝5 ax＋by＝－1
A．7，－7
人教版七年级数学下册：消元——解二元一次方程组【精品课件】
巩固练习
用代入法解下列方程组：
y 2x 3 ① （1） 3x 2 y 8 ②
解：把①代入②，得
3x+2（ 2x-3）=_8 解这个方程，得x＝ 2 . 把x＝ 2 代入①，得y= 1__
∴原方程组的解是
x 2
y
1
巩固练习
（2） 2x y 5 ① 3x 4y 2 ②
解：由①，得y= 2x-5 … ③ 把③代入②，得3x+4（ 2x-5 ）= 2 解这个方程，得x＝ 2 把x＝ 2 代入③，得y= -1
探究新知
y＝
x + 10
x + y ＝200
x + x +10 ＝200
探究新知
y = x + 10
①
x + (xy+10) = 200 ②
转化
x +( x +10) = 200
x = 95
y = 105
将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫做
消元思想.
∴方程组 y = x + 10 的解是 x = 95，
y 3
1, ① y 9.②
由①得，x＝y+1 . ③
把③代入②得，y+1+3y＝9，解得y＝2.
把y=2代入x=y+1得x=3.
故原方程组的解为
x 3,
y
2.
课堂检测
基础巩固题
1.二元一次方程组
x y 4, x y 2
的解是（
D）
A．
x y
3 7
B．
x y
1 1
C．
x
像上面这种解二元一次方程组的方法,叫做加减消元法, 简称加减法.
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解方程组
2007x 2008y 2006 2006x 2005y 2007
① ②
解：① ②得：4013 x 4013 y 4013
x y 1
可得x y 1
③
把③代入①得：2007 ( y 1) 2008 y 2006
得：y 1 x 2
y 1代入③得： x 2
y
1
小试牛刀
解方程组
2015x 2014y 2014 ① 2014x 2013y 2013 ②
解 : ① - ②得：x y 1 ③
2x 3y 2 0
①
解方程组
2x
3y 7
5
2
y
9
②
已知3y 2x 1 0，求3y 2x 7的值
① ②
a 2k 解：设b 3k
c 7k
a 8 b 12
c 28
换元法是解带比 例的二元一次方 程组的必杀技
根据方程组的特点，咱们要灵活 选用方法，化繁为简，化多元为 一元
用适当的方法解二元一次方程组
人教2011课标版
8.2.2用适当的方法 解二元一次方程组
河间市第六中学 刘丽丽
目标： 1、能够熟练的掌握解二元一次方程 组的方法，并可以灵活运用
用代入还是用加减
计算简单
2x y 3 x 2y 4
321x 123y 567 345x 123y 99
未知数的系数比较小的，系数的绝对值是1 的方程组，首选代入法
解： 3y 2x 1 0 3y 2x 1 3y 2x 7 1 7 8
整体代入 解方程组
2x 3y 2 0
2x
3 7
y
5
2
y
9
① ②
解：由①可得 2x 3y 2 ③
把③代入②可得：2 5 2y 9 得：y7 4
把y 4代入③可得 x 7
此方程组的解为xy
7 4
小试牛刀：
解方程组
x y 4 0
①
x
2
y
3y
7
②
整体换元
（
a 3
1）
2( b 5
2)
①
解方程组
2(
a 3
1) (b 5
2)
5
②
解：令X a 1,Y b 2
3
5
X 2Y 4 ③ 2X Y 5 ④
a 1 2, b 2 1
3
5
解得a 9,b 5
由③ 2 - ④得3Y 3
得：Y 1
ba
9 5
把Y 1代入①得X 2
换元法
解方程组
x
y
3 5
①
② 2 x y 3
解：设xy
3k 5k
k 0 ③
④
将③、④代入①得6k 5k 3
得k 3
把k 3代入③、④得： x 9, y 15
x
y
9 15
大展身手
解方程组
a : b : c 2 : 3 : 7 a b c 48