湖南省2016届高三 十三校第一次联考 理数答案
(全优试卷)湖南省高三十三校联考第一次考试理数试题 Word版含答案
湖南省2017届高三·十三校联考 第一次考试理科数学试卷 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|13,|230A x Z x B x x x =∈-<=+-<，则A B =（ ）A ．()2,1-B ．()1,4C ．{}2,3D ．{}1,0-2.记复数z 的共轭复数为z ，若()12z i i -=（i 为虚数单位），则复数z 的模z = （ ）A B ．1 C ．．2 3.在等差数列{}n a 中，912132a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S = （ ） A ． 24 B ．48 C ．66 D ． 1324.已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()2ln f x x x=-的零点，则()0g x 等于（ ） A ． 1 B ． 2 C. 3 D ．45.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为35和P ，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920.假设甲、乙两人射击互不影响，则P 值为 （ ） A ．35 B ．45 C. 34 D ．146.如下图，是一个算法流程图，当输入的5x =时，那么运行算法流程图输出的结果是（ ）A ． 10B ．20 C. 25 D ．357.二项式912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，3x 项的系数为（ ）A ．52-B ．52 C. 212- D ．2128. 设F 为抛物线2:2C y px =的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线交曲线C 于,A B 两点（B 点在第一象限，A 点在第四象限），O 为坐标原点，过A 作C 的准线的垂线，垂足为M ，则OB 与OM 的比为（ ）A ．B ．2 C. 3 D ．49.已知函数()f x 的定义域为R ，且()22f =，又函数()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示，若两个正数a b 、满足()22f a b +<，则22b a ++的取值范围是（ ）A ．2,23⎛⎫⎪⎝⎭ B ．()2,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ C. ()2,+∞ D ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭10.已知正ABC ∆内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则PA PB 的取值范围是（ ）A ．[]0,6B ．[]2,6- C. []0,2 D ．[]2,2-11.三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S ABC -的外接球的表面积为 （ ）A ． 32πB ．1123π C. 283π D ．643π 12.设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有()()23xf x x f x '>+，则不等式()()()382014201420f x x f +++->的解集为（ ）A ．(),2016-∞-B ．()2018,2016-- C. ()2018,0- D ．(),2018-∞-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.函数()()()3sin 3f x x x θθ=---是奇函数，则tan θ等于 ． 14.已知边长为2的正方形ABCD 的四个顶点在球O 的球面上，球O 的体积为V =球，则OA 与平面ABCD 所成的角的余弦值为 ． 15.双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F P 、是E 左支上一点，且112PF F F =，直线2PF 与圆222x y a +=相切，则E 的离心率为 ．16.已知函数()2cos2xf x x π=，数列{}n a 中，()()()*1n a f n f n n N =++∈，则数列{}n a 的前100项之和100S = ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.设ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且满足()sin sin cos cos sin A B A B C π+=--⎡⎤⎣⎦，（1）试判断ABC ∆的形状，并说明理由；（2）若1a b c ++=+，试求ABC ∆面积的最大值.18.为了解某校今年高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为1：2：3，其中第2组的频数为12.（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X 表示体重超过60公斤的学生人数，求X 的分布列和数学期望.19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，12,AC AA AB BC ====，01160AAC ∠=，平面1ABC ⊥平面11AAC C ，1AC 与1AC 相交于点D .（1）求证：1BC ⊥平面11AAC C ； （2）求二面角1C AB C --的余弦值.20.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点到右焦点F 1，F 到上顶点，点(),0C m 是线段OF 上的一个动点. （1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A B 、两点，使得()CA CB BA +⊥？并说明理由.21. 已知函数()()22ln 0f x x x a x a =-+>.（1）当2a =时，试求函数图像过点()()1,1f 的切线方程；（2）当1a =时，若关于x 的方程()f x x b =+有唯一实数解，试求实数b 的取值范围； （3）若函数()f x 有两个极值点()1212x x x x <、，且不等式()12f x m x ≥恒成立，试求实数m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy 中，过点()1,2P --的直线l 的参数方程为01cos 452sin 45x t y t ⎧=-+⎨=-+⎩（t为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()sin tan 20a a ρθθ=>，直线l 与曲线C 相交于不同的两点,M N .（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若PM MN =，求实数a 的值. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()313f x x ax =-++. （1）若1a =，解不等式()4f x ≤；（2）若()f x 有最小值，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DACBC 6-10: DCCAB 11、12：BA 二、填空题13. 5316. 10200 三、解答题17.【解析1】（1）∵()sin sin cos cos sin A B A B C +=+， 由正、余弦定理，得22222222b c a c a b a b c bc ca ⎛⎫+-+-+=+ ⎪⎝⎭，化简整理得：()()()222a b a b a b c ++=+， ∵0a b +>，所以222a b c +=， 故ABC ∆为直角三角形，且090C ∠=；（2）∵2221a b c a b c ++=++=，∴(12a b +=++≥=+，当且仅当a b =≤.故2111224ABC S ab ∆=≤⨯=， 即ABC S ∆面积的最大值为14.【解析2】（1）由已知：()sin sin cos cos sin A B A B C +=+，又∵()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，∴()sin sin cos 0A B C +=，而0A B C π<<、、，∴sin sin 0A B +>， ∴cos 0C =，故090C =，∴ABC ∆为直角三角形.（2）由（1）090C =，∴sin ,cos a c A b c A ==.∵1a b c ++=+c =∴2211112sin cos sin cos 2221sin cos ABC S ab c A A A A A A ∆⎛⎫+=== ⎪ ⎪++⎝⎭， 令sin cos A A t +=，∵02A π<<，∴1t <≤，∴2211213221322212124141ABCt t S t t t ∆⎛⎫+-+-+⎛⎫===-⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 而()211f t t ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭在(上单调递增， ∴()max 14ABC S f∆==. 18.【解析】（1）设该校报考飞行员的人数为n ，前三小组的频率分别为123,,p p p ，则由条件可得：()2131123230.0370.01351p p p p p p p =⎧⎪=⎨⎪++++⨯=⎩， 解得，1230.125,0.25,0.375p p p ===， 又因为2120.25p n==，故48n =. 所以该校报考飞行员的人数为48人.（2）由（1）可得，估计抽到一个报考学生的体重超过60公斤的概率为12510.7568P +=-⨯=；依题有53,8XB ⎛⎫⎪⎝⎭，故()3353,0,1,2,388k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴随机变量X 的分布列为：则1251501235125125125128EX =⨯+⨯+⨯+⨯=，或515388EX np ==⨯=.19.【解析】（1）证明：设AC 的中点为M ，连1BM C M 、.∵01112,60AC AA AAC ==∠=， ∴四边形11AAC C 为菱形，且1ACC ∆为正三角形，∴1C M AC ⊥.∵AB BC ==BM AC ⊥. 而1BMC M M =，∴AC ⊥平面1BC M ，∴1AC BC ⊥. ∵四边形11AAC C 为菱形，则有1CD AC ⊥， 又平面1ABC ⊥平面11AAC C ，平面1ABC 平面111AAC C AC =，∴CD ⊥平面1ABC ， ∴1CD BC ⊥， 又∵AC CD C =，∴1BC ⊥平面11AAC C .（2）如图，∵1AC C M ⊥，∴111AC C M ⊥，以1C 为原点，以1111C A C M C B 、、所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，∵01112,60,AC AA AAC AB BC ==∠===， ∴12BC =.从而，有()()(),,0,0,2A M B ，()()12,0,0,A C -. ∴()()1,0,0,2AM BM =-=-. 设面ABC 的法向量为(),,1n x y =，则0320n AM x n n BM y ⎧=-=⎛⎫⎪⇒=⎨ ⎪⎝⎭=-=⎪⎩，又面1ABC 的法向量为()1A C =-，设二面角1C AB C --的大小为θ，由图知θ为锐角， 则1117cos cos ,7n AC n AC n AC θ===. 20.【解析】（1）由题意可知1a c -=-=，解得1a b c ===，∴椭圆的方程为2212x y +=.（2）由（1）得()1,0F ，所以01m ≤≤.假设存在满足题意的直线l ，设l 的方程为()1y k x =-，代入2212x y +=，得()2222214220k x k x k +-+-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则22121222422,2121k k x x x x k k -+==++，①∴()121222221ky y k x x k -+=+-=+， ∴()()211222242,,2,2121k k CA CB x m y x m y m k k ⎛⎫-+=-+-=- ⎪++⎝⎭. ∵()CA CB AB +⊥，且AB 的方向向量为()1,k ，∴()22224220122121k k m k m k m k k --+⨯=⇔-=++，① 当102m ≤<时，k =l ；②当112m ≤≤时，k 不存在，即不存在这样的直线l . 21.【解析】（1）当2a =时，有()222ln f x x x x =-+.∵()()221222x x f x x x x-+'=-+=，∴()12f '=， ∴过点()()1,1f 的切线方程为：()121y x +=-， 即230x y --=.（2）当1a =时，有()22ln f x x x x =-+，其定义域为：{}|0x x >，从而方程()f x x b =+可化为：23ln b x x x =-+，令()23ln g x x x x =-+，则()2123123x x g x x x x-+'=-+=，由()01g x x '>⇒>或102x <<；()1012g x x '<⇒<<. ∴()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 且()15ln 2,1224g g ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭， 又当0x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()g x →+∞. ∵关于x 的方程23ln b x x x =-+有唯一实数解， ∴实数b 的取值范围是：2b <-或5ln 24b >--. （3）∵()f x 的定义域为：{}()222|0,22a x x ax x f x x x x-+'>=-+=.令()20220f x x x a '=⇒-+=.又∵函数()f x 有两个极值点()1212x x x x <、，∴2220x x a -+=有两个不等实数根()1212x x x x <、， ∴1002a ∆>⇒<<，且212111,22x x a x x +==-， 从而121012x x <<<<. 由不等式()12f x m x ≥恒成立()21111222ln f x x x a x m x x -+⇒≤=恒成立， ∵()()()22111111111221222ln 112ln 1x x x x x f x x x x x x x -+-==--+-， 令()1112ln 012h t t t t t t ⎛⎫=--+<< ⎪-⎝⎭， ∴()()2112ln 01h t t t '=-+<-，当102t <<时恒成立， ∴函数()h t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，∴()13ln 222h t h ⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭， 故实数m 的取值范围是：3ln 22m ≤--. 22.【解析】（1）∵001cos 452sin 45x t y t ⎧=-+⎨=-+⎩（t 为参数）， ∴直线l 的普通方程为10x y --=.∵sin tan 2a ρθθ=，∴22sin2cos a ρθρθ=， 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线C 的直角坐标方程为22y ax =. （2）∵22y ax =，∴0x ≥，设直线l 上的点,M N 对应的参数分别是()1212,0,0t t t t >>， 则12,PM t PN t ==， ∵PM MN =，∴12PM PN =，∴212t t =， 将001cos 452sin 45x t y t ⎧=-+⎨=-+⎩，代入22y ax =，得)()22420t a t a -+++=，∴)()1212242t t a t t a ⎧+=+⎪⎨=+⎪⎩，又∵212t t =，∴14a =. 23.【解析】（1）1a =时，()3134f x x x =-++≤，即311x x -≤-， 1311x x x -≤-≤-， 解得102x ≤≤，所以解集为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）因为()()()132,3134,3a x x f x a x x ⎧++≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，所以()f x 有最小值的充要条件为3030a a +≥⎧⎨-≤⎩， 即33a -≤≤。
2016届高三年级第一次综合诊断考试理数答案
2016届高三年级第一次综合诊断考试理数答案一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分,满分60分.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A B D B C A BDAC二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,满分20分.)13. 35 14.2211612x y += 15. 1(0,)216. 2015 三、解答题(本大题共6小题，满分70分.) 17、【解】 （Ⅰ）.1)6sin(22)cos(12)sin(3)(m x m x x x f +-+=+-⋅-=πωωω依题意函数.32,32,3)(==ωπωππ解得即的最小正周期为x f 所以.1)632sin(2)(m x x f +-+=π分所以依题意的最小值为所以时当6.1)632sin(2)(.0,.)(,1)632sin(21,656326,],0[ -π+==≤π+≤π≤π+≤ππ∈x x f m m x f x x x （Ⅱ）.1)632sin(,11)632sin(2)(=+∴=-+=ππC C C f 22252,..863663622,,2sin cos cos(),2152cos sin sin 0,sin .102510sin 1,sin .122Rt C C C ABC A B B B A C A A A A A A πππππππ<+<+==∆+==+--±∴--==-<<∴= 而所以解得分在中解得分分18、∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB∴EF AE ⊥，EF BE ⊥ 又A E E B ⊥∴,,EB EF EA 两两垂直以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为轴 建立如图所示的空间直角坐标系由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0），C （2，4，0），F （0，3，0），D （0，2，2），G （2，2，0）∴(2,2,0)EG = ，(2,2,2)BD =-,,x y z∴22220BD EG ⋅=-⨯+⨯=∴B D E G ⊥-----------------6分()2由已知得(2,0,0)EB = 是平面DEF 的法向量,设平面DEG 的法向量为(,,)n x y z =∵(0,2,2),(2,2,0)ED EG ==∴00ED n EG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00y z x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =,得(1,1,1)n =- 设平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的大小为θ则||23cos |cos ,|3||||23n EB n EB n EB θ=<>===∴平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值为33----------------12分 19．(本题满分12分) 解：（1）众数：8.6； 中位数：8.75 ；……………2分（2）设i A 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则140121)()()(3162121431631210=+=+=C C C C C A P A P A P ； …………6分（3）ξ的可能取值为0，1，2，3.6427)43()0(3===ξP ；6427)43(41)1(213===C P ξ； 64943)41()2(223===C P ξ；641)41()3(3===ξP ………………10分 所以ξ的分布列为：ξE 27279101230.7564646464=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分另解：ξ的可能取值为0，1，2，3.则1~(3,)4B ξ，3313()()()44k k kP k C ξ-==.所以ξE =75.0413=⨯． 20.(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）∵错误！未找到引用源。
2016年湖南省湘潭市高考数学一模试卷(理科)
2016年湖南省湘潭市高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.命题“∃x0∈R，+lnx0≤0”的否定是（）A.∀x∈R，+lnx＞0B.∀x∈R，+lnx≥0C.∃x0∈R，+lnx0＜0D.∃x0∈R，+lnx0＞0【答案】A【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，“∃x0∈R，+lnx0≤0”的否定是∀x∈R，+lnx＞0，故选：A直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．2.集合P={x||x|＞1}，Q={x|y=}，则P∩Q=（）A.[-2，-1]B.（1，2）C.[-2，-1）∪（1，2]D.[-2，2]【答案】C【解析】解：∵集合P={x||x|＞1}={x|x＞1或x＜-1}，Q={x|y=}={x|-2≤x≤2}，∴P∩Q={x|-2≤x≤-1或1＜x≤2}=[-2，-1）∪（1，2]．故选：C．先分别求出集合P和Q，由此利用交集定义能求出P∩Q．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．3.已知i为虚数单位，则复数的虚部是（）A.-1008B.-1008iC.1008D.2016【答案】A【解析】解：复数==1008-1008i的虚部是-1008．故选：A．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.在△ABC中，BC：AB=2：，∠B=30°，则∠C=（）A.30°B.45°C.60°D.75°【答案】C【解析】解：∵BC：AB=2：，不妨取a=2，c=．∴b2=-2×°=1．∴b2+c2=a2，∴∠A=90°．∴∠C=60°．故选：C．利用余弦定理与勾股定理的逆定理即可得出．本题考查了余弦定理与勾股定理的逆定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.下列函数在（0，+∞）上为减函数的是（）A.y=-|x-1|B.y=x2-2x+3C.y=ln（x+1）D.y=2【答案】D【解析】解：对于A，y=，故函数在（0，1）递增，不合题意；对于B，函数的对称轴是x=1，函数在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，不合题意；对于C，y=ln（x+1）在（0，+∞）递增，不合题意；对于D，函数在R递减，符合题意；故选：D．根据对数函数，指数函数，二次函数和一次函数的性质，对A、B、C、D四个选项进行判断，从而求解．此题主要考查了对数函数、指数函数以及二次函数，一次函数的基本性质，是一道基础题．6.已知向量=（3，4），若λ=（3λ，2μ）（λ，μ∈R），且|λ|=5，则λ+μ=（）A.3B.-3C.±3D.-1【答案】C【解析】解：根据题意，向量=（3，4），则λ=（3λ，4λ），又由λ=（3λ，2μ），则有4λ=2μ，即μ=2λ，又由|λ|=5，则有（3λ）2+（4λ）2=25，解可得λ=±1，当λ=1时，μ=2λ=2，此时λ+μ=3，当λ=-1时，μ=2λ=-2，此时λ+μ=-3，即λ+μ=±3；故选：C．根据题意，由向量的坐标，可得λ=（3λ，4λ），又由λ的坐标，可得μ=2λ，又由|λ|=5，结合向量模的公式，可得（3λ）2+（4λ）2=25，计算可得λ的值，本题考查向量的坐标运算，涉及向量的数乘运算，关键是求出λ、μ的关系．7.如图所示的流程图，若输入x的值为0，则输出x的值为（）A.2016B.2016.5C.2019D.2017.5【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得一次循环x=3，二次循环x=6，…672次循环，x=2016，再次循环x=2019，故选C．模拟执行程序框图，可得一次循环x=3，二次循环x=6，…672次循环，x=2016，再次循环x=2019，即可得出结论．本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的x的值是解题的关键，属于基本知识的考查．8.为了得到函数y=sin（2x-）的图象，只需把函数y=sin（2x+）的图象（）A.向左平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向右平移个长度单位【答案】B【解析】所以将y=sin（2x+）的图象向右平移个长度单位得到y=sin（2x-）的图象，故选B．先将2提出来，再由左加右减的原则进行平移即可．本试题主要考查三角函数图象的平移．平移都是对单个的x来说的．9.若变量x，y满足约束条件，则z=（）4x+8y的最小值为（）A.（）28B.（）23C.4D.1【答案】A【解析】解：设m=4x+8y，则要求z的最小值，则等价为求m的最大值，由m=4x+8y得y=-x+，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=-x+，由图象知当直线y=-x+经过点A时，直线的截距最大，此时m最大，由，得得A（1，3），此时m=4+8×3=28，则z的最小值为（）28，故选：A．设m=4x+8y，利用指数函数的单调性转化为求m的最大值，结合线性回归的知识进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，结合指数函数的单调性以及数形结合思想是解决本题的关键．10.某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由三视图可知：该几何体是由一个半圆锥挖去一个半圆柱．∴该几何体的体积V=-=．故选：A．由三视图可知：该几何体是由一个半圆锥挖去一个半圆柱．本题考查了圆柱与圆锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”．今共有粮38石，按甲、乙、丙的顺序进行“衰分”，已知甲分得18石，则“衰分比”为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设“衰分比”为q，则18+18q+18q2=38，解得q=或q=-（舍），故选：A．设“衰分比”为q，利用等比数列的性质列出方程，能求出结果．本题考查“衰分比”的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．12.椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点为F1，若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设线段PF1的中点为M，另一个焦点F2，由题意知，OM=b，又OM是△FPF1的中位线，∴OM=PF2=b，PF2=2b，由椭圆的定义知PF1=2a-PF2=2a-2b，又MF1=PF1=（2a-2b）=a-b，又OF1=c，直角三角形OMF1中，由勾股定理得：（a-b）2+b2=c2，又a2-b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2-c2），由此可求得离心率e==，故选：D．设线段PF1的中点为M，另一个焦点F2，利用OM是△FPF2的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF1的三边之长，使用勾股定理求离心率．本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用离心率公式和椭圆的定义：椭圆上任一点到两个焦点的距离之和等于常数2a．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.（2-）6的展开式的常数项是______ （用数字作答）【答案】60【解析】解：通项公式T r+1==（-1）r26-r，令3-=0，解得r=4．∴常数项是=60．故答案为：60．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.已知e为自然对数的底数，则曲线y=xe x在点（1，e）处的切线斜率为______ ．【答案】2e【解析】解：y=xe x的导数为y′=（1+x）e x，由导数的几何意义，可得曲线在点（1，e）处的切线斜率为2e．故答案为：2e．求出函数的导数，由导数的几何意义，可得曲线在x=1处的切线的斜率．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，考查运算能力，属于基础题．15.已知f（x）的定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=1+a x（a＞0）且a≠1），若f（-1）=-，则a= ______ ．【答案】【解析】解：由题意，当x＞0时，f（x）=1+a x（a＞0）且a≠1），f（-1）=-，∴f（-1）=-f（1）=-1-a=-，∴a=．故答案为．根据条件，得到f（-1）=-f（1）=-1-a=-，即可求出a的值．本题主要考查了函数奇偶性的性质，以及函数求值，同时考查了计算能力，属于基础题．16.已知两点A（0，-6），B（0，6），若圆（x-a）2+（y-3）2=4上任意一点P，都有∠APB 为钝角，则实数a的取值范围是______ ．【答案】a＞或a＜【解析】解：要使圆（x-a）2+（y-3）2=4上任意一点P，都有∠APB为钝角，则圆（x-a）2+（y-3）2=4与圆x2+y2=36外离，即圆心距大于半径之和，＞，解得a2＞55，a＞，或a＜．故答案为：a＞，或a＜．要使圆（x-a）2+（y-3）2=4上任意一点P，都有∠APB为钝角，则圆（x-a）2+（y-3）2=4与圆x2+y2=36外离即可．本题考查了圆与圆的位置关系．转化思想是解题的关键，属于中档题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.已知数列{a n}满足：S n=1-a n（n∈N*），其中S n为数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）试求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：（n∈N*），试求{b n}的前n项和公式T n．【答案】解：（Ⅰ）∵S n=1-a n①∴S n+1=1-a n+1②②-①得a n+1=-a n+1+a n⇒a n；n=1时，a1=1-a1⇒a1=（6分）（Ⅱ）因为b n==n•2n．所以T n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n③故2T n=1×22+2×23+…+n×2n+1④③-④-T n=2+22+23+…+2n-n•2n+1=整理得T n=（n-1）2n+1+2．（12分）【解析】（Ⅰ）先把n=1代入求出a1，再利用a n+1=S n+1-S n求解数列的通项公式即可．（Ⅱ）把（Ⅰ）的结论代入，发现其通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列，故直接利用数列求和的错位相减法求和即可．本题的第一问考查已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式，第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．18.某中学选取20名优秀同学参加2015年英语应用知识竞赛，将他们的成绩（百分制）（均为整数）分成6组后，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．（1）从频率分布直方图中，估计本次考试的高分率（大于等于80分视为高分）；（2）若从20名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，在[70，100）记1分，用x表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望．【答案】解：（1）根据频率分布直方图，计算本次考试的高分率（大于等于80分视为高分）为（0.025+0.005）×10=0.3；∴估计本次考试的高分率为30%；（2）学生成绩在[40，70）的有0.4×60=24人，在[70，100]的有0.6×60=36人，并且X的可能取值是0，1，2；则P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=2）==；所以X的分布列为数学期望为EX=0×+1×+2×==1.2．【解析】（1）根据频率分布直方图，计算本次考试大于等于80分的频率即可；（2）根据学生成绩在[40，70）和[70，100]的人数，确定X的可能取值；计算对应的概率，写出X的分布列，计算数学期望值．本题考查了离散型随机变量的分布列与期望的应用问题，解题时要注意运算严谨，避免运算出错导致解题失败．19.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，DC=2AB，设Q为棱PC上一点，=λ（1）求证：当λ=时，BQ∥平面PAD；（2）若PD=1，BC=，BC⊥BD，试确定λ的值使得二面角Q-BD-P的平面角为45°．【答案】（1）证明：设PD的中点为F，连接F，∵点Q，F分别是△PCD的中点，∴QF∥CD，且QF=CD，∴QF∥AB，且QF=AB，∴四边形FABQ是平行四边形．∴BQ∥AF，又AF⊂平面PAD，BQ⊄平面PAD，∴BQ∥平面PAD．（2）解：以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），C（0，2，0），A（1，0，0），B（1，1，0）．令Q（x0，y0，z0），∵=λ∴，Q（0，2λ，1-λ），∵BC⊥平面PBD，∴平面PBD的法向量为=（-1，1，0）．设平面QBD的法向量为=（x，y，z），则．令y=1，得=（-1，1，）．若二面角Q-BD-P为45°，则=，解得λ=-1±，∵Q在PC上，0＜λ＜1．∴．【解析】（1）设PD的中点为F，连接q F，证明四边形FAB q是平行四边形．利用直线与平面平行的判定定理证明B q∥平面PAD．（2）以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面PBD的法向量．平面QBD的法向量，通过二面角结合数量积求解λ即可．本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求解与应用，考查空间想象能力以及计算能力．20.已知抛物线C：y2=2px的焦点为F，抛物线C与直线l1：y=-x的一个交点的横坐标为8．（I）求抛物线C方程；（II）不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A、B，若线段AB的中点为P，且|OP|=|PB|，求△FAB的面积．【答案】解：（I）由题意，抛物线C与直线l1：y=-x的一个交点的坐标为（8，-8），代入抛物线方程可得64=2p×8，∴2p=8，∴抛物线C方程为y2=8x；设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l2与x轴交点为M直线方程代入抛物线方程，可得y2-8y-8m=0△=64+32m＞0，∴m＞-2由韦达定理得y1+y2=8，y1y2=-8m，∴x1x2=m2，由题意，OA⊥OB，即x1x2+y1y2=m2-8m=0∴m=8或m=0（舍去）∴l2的方程为x=y+8，M（8，0）∴S△FAB==3=24．【解析】（I）确定抛物线C与直线l1：y=-x的一个交点的坐标，代入抛物线方程，即可求抛物线C方程；（II）设l2的方程为x=y+m，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合OA⊥OB，求出m 的值，从而可求△FAB的面积．本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积是计算，属于中档题．21.已知函数f（x）=lnx，g（x）=-（x为实常数）．（1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）-g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；（2）若方程e2f（x）=g（x）（其中e=2.71828…）在区间[，]上有解，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）当a=1时，函数φ（x）=f（x）-g（x）=lnx-+，∴φ′（x）==；x∈[4，+∞），∴φ′（x）＞0∴函数φ（x）=f（x）-g（x）在x∈[4，+∞）上单调递增∴x=4时，φ（x）min=2ln2-；（2）方程e2f（x）=g（x）可化为x2=-，∴a=-x3，设y=-x3，则y′=-3x2，∵x∈[，]∴函数在[，]上单调递增，在[，1]上单调递减∵x=时，y=；x=时，y=；x=1时，y=，∴a∈[，]【解析】（1）求导数，求得函数的单调性，即可求函数φ（x）=f（x）-g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；（2）化简方程，分离参数，再构建新函数，确定函数的单调性，求出函数的值域，即可求实数a的取值范围．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于中档题．22.如图，AB是圆O的直径，P是线段AB延长线上一点，割线PCD交圆O于点C，D，过点P作AP的垂线，交线段AC的延长线于点E，交线段AD的延长线于点F，且PE•PF=5，PB=OA．（1）求证：C，D，E，F四点共圆；（2）求圆O的面积．【答案】（1）证明：连结BD，AB是圆O的直径，直径所对圆周角为直角可得∠BDA=90°，由同弧所对圆周角相等，可得∠CDB=∠CAB，又∠PEC=90°-∠CAB，∠PDF=90°-∠CDB，可得：∠PEC=∠PDF，故D，C，E，F四点共圆；（2）解：设圆O的半径为r，由圆的割线定理可得，PE•PF=PC•PD=PB•PA=r（2r+r）=5，解得r=2，可得圆O的面积为4π．【解析】（1）连结BD，AB是圆O的直径，可得∠BDA=90°，由同弧所对圆周角相等可得∠CDB=∠CAB，证得∠PEC=∠PDF，即可得到四点共圆；（2）设出圆O的半径为r，利用割线定理，解方程可得r=2，再由圆的面积公式计算即可得到所求值．本题考查四点共圆的证明，注意运用圆的同弧所对圆周角相等，以及直径所对圆周角为直角，考查割线定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23.（附加题-选做题）（坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程为，α∈[0，2π），曲线D的极坐标方程为．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；（2）曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．【答案】解：（1）由，α∈[0，2π），得x2+y=1，x∈[-1，1]．（2）由．得曲线D的普通方程为x+y+2=0得x2-x-3=0解x=，，故曲线C与曲线D无公共点．【解析】（1）先由，α∈[0，2π），利用三角函数的平方关系消去参数α即得x2+y=1，x∈[-1，1]．（2）由．利用三角函数的和角公式展开，得曲线D的普通方程为x+y+2=0，欲曲线C与曲线D有无公共点，主要看它们组成的方程有没有实数解即可．本小题主要考查简单曲线的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．24.已知函数f（x）=|2x+1|-|2x-2|（1）解不等式f（x）≥0；（2）若f（x）≤a-2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）x≤-，不等式可化为-2x-1+2x-2≥0，不成立；-＜x＜1，不等式可化为2x+1+2x-2≥0，∴x≥，∴≤x＜1；x≥1，不等式可化为2x+1-2x+2≥0，恒成立，综上可得，不等式的解集为[，+∞）．（2）∵f（x）≤a-2对任意实数x恒成立，∴f max（x）≤a-2．由（1）可得，f max（x）=3，∴3≤a-2，即实数a的取值范围为[5，+∞）．【解析】（1）根据函数f（x）≥0，分类讨论，求得每个不等式的解集，再取并集，即得所求．（2）由题意可得f max（x）≤a-2，由（1）可得f max（x）=3，从而求得实数a的取值范围．本题主要考查函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于基础档题．。
2016届高三六校第一次联考
2016届高三六校第一次联考理科数学试题参考答案及评分标准一. 选择题：1、B2、A3、D4、B5、A6、C7、A8、C9、B 10、D 11、C 12、B 11、如图，易知BCD ∆的面积最大12、 解：令21()()2g x f x x =-，2211()()()()022g x g x f x x f x x -+=--+-= ∴函数()g x 为奇函数 ∵(0,)x ∈+∞时，//()()0g x f x x =-<，函数()g x 在(0,)x ∈+∞为减函数又由题可知，(0)0,(0)0f g ==，所以函数()g x 在R 上为减函数2211(6)()186(6)(6)()186022f m f m mg m m g m m m ---+=-+----+≥即(6)()0g m g m --≥∴(6)()g m g m -≥，∴6,3m m m -≤∴≥二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13、2 14、 5 15、 73 16、2016 ∵(2016)(2013)3(2010)6(0)20162016f f f f ≤+≤+≤≤+= (2016)(2014)2(2012)4(0)20162016f f f f ≥+≥+≥≥+=(2016)2016f ∴=三、解答题（17—21为必做题）CDBA17、解：（1）由题意易知122n n n a a a --=+，---1分 即1231112n n n a q a q a q ---=+，--2分2210q q ∴--= 解得1q =或12q =- -------- 3分（2）解：①当1q =时，1n a =，n b n = n S =2)1(+n n ----------5分②当12q =-时，11()2n n a -=-11()2n n b n -=⋅- ---------------7分n S =012111111()2()3()()2222n n -⋅-+⋅-+⋅-++⋅--21n S = 12111111()2()(1)()()2222n n n n -⋅-+⋅-++-⋅-+⋅- 相减得21311111()()()()22222n n n S n -⎡⎤=-⋅-+-+-++-⎢⎥⎣⎦-------- 10分整理得 n S =94-（94+32n ）·1()2n ------------------------12分18、解：设甲、乙、丙各自击中目标分别为事件A 、B 、C（Ⅰ）由题设可知0ξ=时，甲、乙、丙三人均未击中目标，即(0)()P P A B C ξ== ∴()()()21011515P m n ξ==--=，化简得()56mn m n -+=- ① ……2分同理， ()3113553P m n mn ξ==⨯⨯=⇒= ②……4分 联立①②可得23m =，12n = ……6分（Ⅱ）由题设及（Ⅰ）的解答结果得：(1)()P P A B C A B C A B C ξ==++()3311221211153253253210a P ξ∴===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=……8分()3131111510530b ∴=-++= ……10分31353110123151030530E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= ……12分19.解法一：（１）如图：,,AC AC BD O =连设1.AP B G OG 1与面BDD 交于点，连 ……1分1111//,,PC BDD B BDD B APC OG =因为面面面故//OG PC .所以122m OG PC ==.又111,,AO DB AO BB AO BDD B ⊥⊥⊥所以面 ……3分 故11AGO AP BDD B ∠即为与面所成的角。
湖南省湘阴县2016届高三上学期第一次联考试数学(理)试题 含答案
湖南省湘阴县2016届高三第一次联考试卷数 学（理科)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合{}R x x y y M ∈+==,12,{}1+==x y x N ，则=N M ( ）A 。
()10， B. (){}1,0 C 。
{}1-≥x x D 。
{}1≥y y2.命题“对任意x ∈R ,都有2240x x -+≤”的否定为（ ） A 。
对任意x ∈R ，都有2240xx -+≥ B.对任意x ∈R ,都有2240x x -+≤ C 。
存在0x ∈R ,使得200240x x -+> D 。
存在0x ∈R ,使200240x x -+≤3。
函数223()sin(,)f x a x bx c a b R =++∈，若(2015)2013f -=，则(2015)f =（ ) A 。
2018 B 。
2009- C 。
2013 D.2013- 4。
已知函数21,0()cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是( )A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是增函数C ．()f x 是周期函数D ．()f x 的值域为［－1，＋∞)5。
设函数))((R x x f ∈满足.sin )()(x x f x f +=+π当π<≤x 0时,0)(=x f ，则 =)623(πf （ ）A.21 B 。
23C.0D 。
21- 6. 已知n {a }为等差数列，其前n 项和为S n ，若9S =12，则下列各式一定为定值的是( ）A.38a a + B 。
10a C.357a a a ++ D. 27a a +7. 设奇函数()f x 在（0,＋∞）上为单调递减函数，且(2)0f =，则不等式3()2()05f x f x x--≤的解集为 ( ） A ．(－∞，－2］∪（0,2]B ．[－2，0］∪[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪［2，＋∞)D ．［－2，0)∪（0,2］ 8 。
湖南省2016届高三四校联考 理数答案
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湖南省2016年高考理科数学试题(附答案)
湖南省2016年高考理科数学试题(附答案) 湖南省2016年高考理科数学试题（附答案）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1) 设集合 $A=\{x|x^2-4x+30\}$，则 $A\cap B=$text{(A)}\ (-\infty,1)\qquad \text{(B)}\ (-\infty,1]\qquad\text{(C)}\ [1,+\infty)\qquad \text{(D)}\ (1,+\infty)$2) 设 $(1+i)x=1+yi$，其中 $x,y$ 是实数，则 $x+yi=$text{(A)}\ (-3,-1)\qquad \text{(B)}\ (-3,1)\qquad \text{(C)}\ (1,3)\qquad \text{(D)}\ (3,1)$3) 已知等差数列 $\{a_n\}$ 前 $9$ 项的和为 $27$，$a_{10}=8$，则 $a_{100}=$text{(A)}\ 98\qquad \text{(B)}\ 99\qquad \text{(C)}\100\qquad \text{(D)}\ 97$4) 某公司的班车在 $7:00$，$8:00$，$8:30$ 发车，小明在$7:50$ 至 $8:30$ 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 $10$ 分钟的概率是text{(A)}\ \frac{1}{12}\qquad \text{(B)}\ \frac{1}{8}\qquad \text{(C)}\ \frac{1}{6}\qquad \text{(D)}\ \frac{1}{4}$5) 已知方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的图形是一条横轴长为 $4$ 的双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为$4$，则 $a$ 的取值范围是text{(A)}\ (0,3)\qquad \text{(B)}\ (-1,3)\qquad \text{(C)}\ (-3,3)\qquad \text{(D)}\ (0,+\infty)$6) 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径。
2016年湖南省高考理科数学试卷及答案（精校WORD版）【精选】
第 1 页 共 11页2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理科数学本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的．1．已知（为虚数单位），则复数( )2(1)1i i z-=+i z =A ．B ．C ．D ．1i +1i-1i-+1i--【解析】由题意得，得．故选D ．2(1)2111i iz i i i--===--++考点：复数的运算．2．设，是两个集合，则“”是“”的( )A B A B A = A B ⊆A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由题意得，A B A A B =⇒⊆ ，反之，A B A B A =⇒⊆ ，故为充要条件．故选C ．考点：集合的关系．3．执行如图1所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =( )A ．B ．C ．D ．76739894【解析】由题意得，输出的为数列的前三S 1(21)(21)n n ⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭项和，而，所以1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+，从而．故选B ．11(122121n n S n n =-=++337S =考点：程序框图，裂项相消求数列的和．1第 2 页 共 11 页4．若变量，满足约束条件，则的最小值为( )x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+1121y y x y x y x z -=3A ． B ．C ．1D ．27-1-【解析】如图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，从而可知当，时，y x z -=3的最小值是7-．故选2x =-1y =A ．考点：线性规划．5． 设函数，则是( ))1ln()1ln()(x x x f --+=)(x f A ． 奇函数，且在是增函数B ． 奇函数，且在是减函数)1,0()1,0(C ． 偶函数，且在是增函数D ． 偶函数，且在是减函数)1,0()1,0(【解析】试题分析：显然，定义域为，关于原点对称，()f x (1,1)-又∵，∴为奇函数，显然在上单调()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-()f x ()f x (0,1)递增．故选A ．考点：函数的性质．6．已知的展开式中含的项的系数为30，则( )5(xax -23x =a A ．B ．C ．6D ．33-6-【解析】，令，可得，从而．故选D ．5215(1)r r r rr T C a x-+=-1r =530a -=6a =-考点：二项式定理．7． 在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布C 的密度曲线）的点的个数的估计值为( ))1,0(N A ．2386B ．2718C ．3413D ．4772附：若，则),(~2σμN X ,6826.0)(=+≤<-σμσμX P ．9544.0)22(=+≤<-σμσμX P 【解析】根据正态分布的性质，．故选．1(01)(11)0.34132P x P x <<=-<<=C 考点：正态分布．8． 已知点，，在圆上运动，且 ． 若点的坐标为,A B C 122=+y x BC AB ⊥P )0,2(第 3 页 共 11 页则的最大值为( )||PC PB PA ++A ．6 B ．7C ．8D ．9【解析】由题意得为圆的直径，故可设，，，AC (,)A m n (,)B m n --(,)C x y ∴，而，∴的(6,)PA PB PC x y ++=- 22(6)371249x y x -+=-≤||PC PB PA ++最大值为7．故选．B 考点：圆的性质，平面向量数量积．9． 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，x x f 2sin )(=ϕ)20(πϕ<<)(x g 若对满足的，，有，则( )2|)()(|21=-x g x f 1x 2x 3||min 21π=-x x =ϕA ．B ．C ．D ．125π3π4π6π【解析】向右平移ϕ个单位后，得到)22sin()(ϕ-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴不妨设ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-，∴πϕπ)(221m k x x -+-=-，又∵12min 3x x π-=，∴632πϕπϕπ=⇒=-．故选D ．考点：三角函数的图象和性质．10． 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料的利用率）( )原工件的体积新工件的体积=A ．B ．C ．D ．π98π916π2124）－（π21212）－（【解析】问题等价于圆锥的内接长方体的体积，如下图所示，则有，∴，212x h -=22h x =-∴长方体的体积为22(2)(22)x h x x =-，当且仅当4(22)x x x =-A A 3224()3x x x ++-≤3227=时，等号成立，2223x x x =-=即∴利用率为．故选A ．232162719123ππ=A A考点：圆锥内接长方体，基本不等式求最值．侧侧侧侧侧侧1育（列讲话，员中开我第 4 页 共 11 页二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．__________．⎰=-2)1(dx x 【解析】．⎰=-2)1(dx x 2201|02x x -=考点：定积分的计算．12．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1－35号，再用系统抽样的方法从中抽取7人，则其中成绩在区间上的运动员的人数是_________．]151,139[【解析】由茎叶图可知，在区间]151,139[的人数为20，再由系统抽样的性质可知人数为435720=⨯人．考点：系统抽样，茎叶图．13．设是双曲线的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰F C 1:2222=-by a x C P PF 为其虚轴的一个端点，则的离心率为________．C 【解析】根据对称性，不妨设，短轴端点为，从而可知点在双曲线(,0)F c (0,)b (,2)c b -上，∴，从而．222241c b a b -=ce a==考点：双曲线的标准方程及其性质．14．设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则n S }{n a n 11=a 321,2,3S S S ___________．=n a 【解析】等比数列中，，∴}{n a 2111S a a q q =+=+231S q q =++，24(1)31q q q +=+++解得，∴．3q =13n n a -=考点：等比、等比数列的通项公式及其前n 项和．的意业。
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湖南省 届高三 十三校联考!第一次考试理科数学参考答案一 选择题题!号#!'()$*+,#"###!答!案-.//.%-%%/-.,!%! 解析 画出"0!123!#4$&#在"!的图象如图所示!由图可知 若$ # 0!123!#4 $4%&#在区间"!上有两个零点###!则""&%## 且##4#!0 $5!0 '!所以##4#!&%$ ' '4# 故选%!#"!/! 解析 对于 由正弦定理得123&0%123'(0槡)'*%# 所以该三角形无解 错 对于 设三边分别为') )) *) )%" 最大角为 由余弦定理知671 0 ') !4 )) !& *) !!5 ') 5 )) 0&#!所以 0#!"8 对对于 当#&'时 由余弦定理671 0!!4'!&#!!5!5'%" 解得'"##槡#' 当"###'时 671 0!!4#!&'!(#%" 解得槡)###' 所以槡)###槡#' 对故选/!##!-! 解析 由题设得%*0(*&' 9+!*4#&+*",#)可化为#(*4#4#(*4)4 4#+*4#",#)令-*0#(*4#4#(*4)4 4#+*4#则-*4#0#(*4)4#(*4,4 4#+*4#4#+*4)4#+*4, 9-*4#&-*0#+*4)4#+*4,&#(*4###+*4!4#+*4!&#(*4#0" 9当*0#时 -*取得最大值#)4#,0#(()由,#)&#(()解得,&#(' 9正整数,的最小值为)!#!!.! 解析 对任意##$ " ! 存在#!$ # ! 使$ ## &. #! 即$ # 在 " ! 上的最小值不小于. # 在 # !上的最小值!由$/ # 0##&#(&'(#!0&#!&(#4'(#!0& #&# #&' (#!所以当#$ " # 时 $/ # #" $ # 单调递减 当#$ # ! 时 $/ # %" $ # 单调递增!所以$ # 在 " ! 上的最小值为$ # 0&#!.# 0 #&( !4(&(! #$ # ! 当("#时 . # :230.# 0)&!( 由&#!&)&!(得(&##(与("#矛盾当##(#!时$."##:230."(#0(&(!$由&#!&(&(!得("&槡'!!或(&槡'!!%!$与##(#!矛盾% 当(&!时$."##:230."!#0+&(($由&#!&+&((得(&#*+$满足(&!!综上$(的取值范围是#*+$4;$故选.!二 填空题#'!!#(!槡)4 #)!#$+"!解析 第一步)将三个白球排成一排$此时只有一种情况%第二步)将三个红球插入已排好的白球中$可分三类插入$第#类$将'个红球一起插入时$有%#(种$第!类$将'个红球拆为!个和#个插入时$有.!(种$第'类$'个红球分开插入$有%'(种%第三步)将三个黄球插入已排好的$个球中$同样分为三类插入$第#类$将'个黄球一起插入有%#*种$第!类$将'个黄球拆为!个和#个插入时$有.!*种$第'类$'个黄球分开插入有%'*种%由分步计数原理与分类计数原理可知$共有#5"%#(4.!(4%'(#5"%#*4.!*4%'*#0#$+"种!#$!&##! 解析 记$"##&!0$#"##$."##&!0.#"##$则方程$"##0."##在区间'&+$'(上的根与方程$#"##0.#"##在区间'&+$'(上的根相同!令#4!00$则#00&!$当#$'&+$'(时$0$'&$$)($方程$#"##0.#"##$即$#"0&!#0.#"0&!#$又.#"0&!#0#0$在同一坐标系下画出函数"0$#"0&!#$0$'&$$)(的图象与.#"0&!#0#0$0$'&$$)(的图象$结合图象可知$它们的图象共有五个不同的交点$设这些交点的横坐标自左向右依次为0#$0!$0'$0($0)$则有0#40)0"$0!40(0"$0'0&#$"##4!#4"#!4!#4"#'4!#4"#(4!#4"#)4!#00#40!40'40(40)0&#$##4#!4#'4#(4#)0&##!因此方程$"##0."##在区间'&+$'(上的所有实根之和等于&##!三 解答题#*! 解析 "##由题意知%!)0%#!%#*$即"%#4(1#!0%#"%#4#$1#'%#10!1!$<1("$9%#0!1$数列*%(*+的公比20%)%#0%#4(1%#0'$9%(*0%#!'*&#! 又%(*0%#4"(*&##10(*4#!%#$ 由 得%#!'*�(*4#!!%#$<%#0!1("$9(*0!!'*&#&#!$分 "!#-*0%#*(#4%!*(!4&4%**(*0%#*"!!'"&##4%!*"!!'#&##4&4%**"!!'*&#&##0!'"%#*!'4%!*!'!4&4%**!'*#&"%#*4%!*4&4%**#0!''"#4'#*&#(&"!*&##0!'!(*&!*4#'!#!分#+! 解析 "##第三组的频率为"!"$5)0"!'%第四组的频率为"!"(5)0"!!%第五组的频率为"!"!5)0"!#!'分 "!# 设,学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试-为事件&$第三组应有'人进入面试$则)3"�%#!!%!!+%''"0!*#()%$分 第四组应有!人进入面试$则随机变量 可能的取值为"$#$!!且3" 04#0%4!!%!&4(%!$"40"$#$!#$则随机变量 的分布列为) "#!3!)+#)##)5" #0"5!)4#5+#)4!5##)0!'!#!分 #,!解析 如图所示$建立空间直角坐标系$点'为坐标原点!依题意得&"槡!!$"$"#$'""$"$"#$6"槡!$槡&!$槡)#$&#"槡!!$槡!!$"#$'#""$槡!!$"#$6#"槡!$槡!$槡)#"##易得)*&60"槡&!$槡&!$槡)#$&#')*#0"槡&!!$"$"#$于是671.)*&6$&#')*#/0)*&6!&#')*#+)*&6++&#')*#+0(槡'5!!0槡!'$所以异面直线&6与&#'#所成角的余弦值为槡!'!(分 "!#易知&&)*#0""$槡!!$"#$)*#0"槡&!$槡&!$槡)#!设平面&#的法向量 0"#$"$7#$则!)*#0" !&&)*# 0"$即槡&!#槡&!"槡4)70"$槡!!"0",-.!不妨令#槡0)$可得 0"槡)$"$槡!#!同样地$设平面&#'#6#的法向量 0"#$"$7#$则!)*#0"$ !&#')*#0"$即槡&!#槡&!"槡4)70"槡&!!#0",-.!不妨令"槡0)$可得 0""$槡)$槡!#$于是671. $ /0!*!所以二面角&&#&'#的正弦值为槡')*!+分 "'#由8为棱'#6#的中点$得8槡!!$槡'!!$槡)!!设9"%$($"#$则)*980槡!!&%$槡'!!&($槡)!!由98/平面&#'#6#$得)*98!&#')*#0"$)*98!)*#0"$即槡!!&% 槡&!! 0" 槡!!& % 槡&! 4槡'!!& ( 槡&! 4槡)! 槡)0",-.!解得%0槡!!(0槡!(,-.!故9槡!! 槡!( " 因此)*'90槡!! 槡!("!所以线段'9的长+)*'9+0槡#"(!#!分 另解 由 ! 知平面&#'#6#的一个法向量为0 " 槡) 槡! 所以)*980 所以槡!!&%0" 槡'!!&(槡)0槡)!槡! 解得%0槡!! (0槡!( 故9槡!! 槡!( " )*'90槡!! 槡!("!所以线段'9的长+)*'9+0槡#"(!#!分 !"! 解析 # 由题意 设椭圆5的方程为#!%!4"!(!0# %%(%" 由:!0#&(!%!0#(及#%!4,((!0# 解得%!0( (!0'所以椭圆5的方程为#!(4"!'0#!设& ## "# ' #! "! 由)*3&4)*3'0)*,;3 得 ##4#!&! "#4"!&' 0,#'!即##4#!0!4,"#4"!0'4'!,,-. 因为#!#(4"!#'0# #!!(4"!!'0#两式相减得)&'0"!&"##!&##0&'(5##4#!"#4"!0&'(5!4,'4'!,0&#!!$分 ! 设&'的方程为"0&#!#40 代入椭圆方程得 #!&0#40!&'0" 其中 0' (&0! !由 %"得 &!#0#! 所以+&'+0#4槡#( ' (&0!槡 0槡#)!(&0槡! 3到直线&'的距离为10+(&!0+槡)所以+13&'0槡'!+!&0+(&0槡!0#!' !&0 ' !40槡 &!#0#! !令$ 0 0' !&0 ' !40 &!#0#! 则$/ 0 0&#! !&0 ! 04# !由$/ 0 0"得 00&#或! 舍 !当&!#0#&#时 $/ 0 %" 当&##0#!时 $/ 0 #"!所以当00&#时 $ 0 有最大值+# 即13&'的面积的最大值是,!!由韦达定理得 ##4#!000&#!又##4#!0!4, 所以!4,0&# 解得,0&'所以##4#!4#0'4,0" "#4"!4'!0'4',!4'!0" 因此13&'的重心坐标为 " " !#!分 !#! 解析 # << # 0%123 #&# 4=3#9</ # 0&%671 #&# 4##!<< # 0%123 #&# 4=3#在区间 " # 上为增函数 9</ # 0&%671 #&# 4##&"对#$ " #恒成立!<#$ " # 671 #&# %" 9当%""时 显然</ # 0&%671 #&# 4##&"恒成立!当%%"时 即</ # 0&%671 #&# 4##&"2#%ʟ #&# 恒成立!设= # 0#671 #&# 显然 = # 0#671 #&# 在#$ " # 上单调递增 9= # :>?0= # 0#!由#%&#'"#%"#!综上 %的取值范围是 &; # !$分 ! 由 # 知 当%0#时 < # 0123 #&# 4=3#在区间 " # 上为增函数 9当#$ " # 时 < # 0123 #&# 4=3##< # 0"'123 #&# #=3##!令#� 则当0$ " # 时 1230#=3##&0成立!<对3)$ 4 有#)4#!$ " # !9%)0123#)4#!#=3##&#)4#!0=3 )4#!))4!!95*)0#123# )4#!#=3!!#5'4=3'!!5(4=3(!'5)4 4=3 *4# !* *4! 0=3!!#5' '!!5( (!'5) *4# !* *4! 0=3!*4# *4!0=3!#&#*4!#=3!!#!分!!! 解析 # 在1&'5和1&6>中 <&'0&6 6&'506&6> 6'&5065>6 <'>098 965>606>68 <直线98是圆;的切线 96>68066&>96'&5066&> 91&'571&6>!)分 ! <65'606'69 6'6906'>6 965'606'>606'&6 '606>0( 又6'5606'&646&'5065'646&'506&'606&6' 9'60'50(设&50# 易证1&'581>65 9>5#0>6&'0($'>50!'#又&5 560'5 >5 560$&# 9( !'#0# $&# #0#"'!#"分!'! 解析 # <曲线6的参数方程为#槡0!4)671"槡0#4)123,-. 为参数!9曲线6的普通方程为 #&! !4 "&# !0)!将#0 671 "0123代入并化简得 0(671 4!123 即曲线6的极坐标方程为 0(671 4!123 !)分 ! <?的直角坐标方程为#4"�" 9圆心6到直线?的距离为10!槡!槡0! 9弦长为槡槡!)&!0!'!#"分!(! 解析 # 由%%" (%" 且%!4(!&!%(知!槡%(&!%( 所以槡%("# 所以#槡%(&# 所以#%4#(&!槡%(&! 所以#%4#(的最小值为! 即,0!!)分! $# 0+#&0+4#4#0& #&0 #004#&! 又,!0#所以不存在实数#使得$ # 0,!成立!#"分。