6 章末复习提升课
章末复习提升课指数与对数的运算求下列各式的值：(1)⎝⎛⎭⎫827－23－3e ·e 23＋（2－e ）2＋10lg 2；(2)lg 25＋lg 2×lg 500－12lg 125－log 29×log 32.【解】 (1)⎝⎛⎭⎫827－23－3e ·e 23＋（2－e ）2＋10lg 2＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫233－23－e 13·e 23＋(e －2)＋2 ＝⎝⎛⎭⎫23－2－e ＋e －2＋2＝⎝⎛⎭⎫322＝94. (2)lg 25＋lg 2×lg 500－12lg 125－log 29×log 32＝lg 25＋lg 2×lg 5＋2lg 2－lg 15－log 39＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋2lg 2－lg 2＋1－2 ＝lg 5＋lg 2－1＝1－1＝0.(1)指数与对数的运算应遵循的原则①指数的运算：注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算．另外，若出现分式，则要注意对分子、分母因式分解以达到约分的目的；②对数的运算：注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，一般本着真数化简的原则进行．(2)底数相同的对数式化简的两种基本方法①“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”：将积(商)的对数拆成对数的和(差)．1．计算：⎝⎛⎭⎫278－13＋log 2(log 216)＝________． 解析：原式⎝⎛⎭⎫23－3×()－13＋log 24＝23＋2＝83.答案：832．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为________．解析：由2x ＝3，log 483＝y 得x ＝log 23，y ＝log 483＝12log 283，所以x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 28＝3.答案：3指数函数、对数函数的图象问题若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )【解析】 由题意y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3，1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝⎝⎛⎭⎫13x，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符．故选B.【答案】 B(1)识别函数的图象从以下几个方面入手： ①单调性：函数图象的变化趋势； ②奇偶性：函数图象的对称性； ③特殊点对应的函数值．(2)已知不能解出的方程或不等式的解求参数的范围常用数形结合的思想解决．1．已知a ＞1，b ＜－1，则函数y ＝log a (x －b )的图象不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选D.因为a ＞1，所以函数y ＝log a (x －b )(b ＜－1)的图象就是把函数y ＝log a x 的图象向左平移|b |个单位长度，如图．由图可知函数y ＝log a (x －b )不经过第四象限，所以选D.2．对a >0且a ≠1的所有正实数，函数y ＝a x ＋1－2的图象一定经过一定点，则该定点的坐标是________．解析：当x ＝－1时，y ＝a 0－2＝－1，所以该定点的坐标是(－1，－1)． 答案：(－1，－1)指数函数、对数函数的性质设f (x )＝log 121－axx －1为奇函数，a 为常数．(1)求a 的值；(2)试说明f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 【解】 (1)因为f (x )为奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，所以log 121＋ax－x －1＝－log 121－ax x －1＝log 12x －11－ax .所以1＋ax－x －1＝x －11－ax， 即(1＋ax )(1－ax )＝－(x ＋1)(x －1)， 所以a ＝－1(a ＝1舍去)． (2)由(1)可知f (x )＝log 12x ＋1x －1＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x －1(x >1)， 令u (x )＝1＋2x －1(x >1)，对任意的1<x 1<x 2，有：u (x 1)－u (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 2－1＝2（x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）.因为1<x 1<x 2，所以x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0， 所以2（x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）>0，即u (x 1)－u (x 2)>0.所以函数u (x )＝1＋2x －1在(1，＋∞)上是减函数．又因为函数y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是减函数，所以f (x )＝log 12x ＋1x －1在(1，＋∞)上为增函数．基本初等函数单调性的判断与应用(1)对于指数函数和对数函数，注意底数a 对函数单调性的影响，对于幂函数y ＝x α，注意指数α对函数单调性的影响．(2)根据函数的单调性可以比较函数值的大小和求不等式的解集．1．设函数f (x )＝ln(2＋x )－ln(2－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0，2)上是增函数 B ．奇函数，且在(0，2)上是减函数 C ．偶函数，且在(0，2)上是增函数 D ．偶函数，且在(0，2)上是减函数解析：选A.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2＋x >0，2－x >0，解得－2<x <2，所以f (x )的定义域为(－2，2)，关于原点对称．因为f (－x )＝ln(2－x )－ln(2＋x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数；又y ＝ln(2＋x )在(－2，2)上单调递增，y ＝ln(2－x )在(－2，2)上单调递减，所以f (x )在(－2，2)上单调递增．故选A.2．若函数y ＝log a (2x －1)(0＜a ＜1)在区间[3，6]上有最小值为－2，则实数a 的值为________．解析：因为0<a <1，所以函数y ＝log a (2x －1)在区间[3，6]上为减函数，所以当x ＝6时，y 有最小值为－2，即log a 11＝－2，所以a －2＝1a 2＝11，解得a ＝1111.答案：1111函数的应用某工厂因排污比较严重，决定着手整治，第一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表：月数1234…污染度6031130…污染度为0后，后第一个月开始工厂的污染模式：f(x)＝20|x－4|(x≥1)，g(x)＝203(x－4)2(x≥1)，h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度．(1)试问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；(2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60?【解】(1)用h(x)模拟比较合理，理由如下：因为f(2)＝40，g(2)≈26.7，h(2)＝30；f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)≈12.5.由此可得h(x)更接近实际值，所以用h(x)模拟比较合理．(2)因为h(x)＝30|log2x－2|在x≥4时是增函数，h(16)＝60，所以整治后有16个月的污染度不超过60.利用已知函数模型解决实际问题的方法解决已给出函数模型的实际应用题，关键要分清函数类型，并要注意相应函数定义域以及实际生活中自变量取值的限制条件，然后结合所给模型，列出函数关系式；最后结合其实际意义作出解答．1．函数f(x)＝lg x与g(x)＝7－2x图象交点的横坐标所在区间是()A．(1，2)B．(2，3)C．(3，4) D．(1，5)解析：选C.函数h(x)＝f(x)－g(x)＝lg x－(7－2x)＝lg x＋2x－7在(0，＋∞)上单调递增，且h(3)＝lg 3＋2×3－7＝lg 3－1<0，h(4)＝lg 4＋2×4－7＝lg 4＋1>0.所以函数h(x)的零点所在区间为(3，4)，即函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标所在区间为(3，4)．故选C.2．国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过t 天后气球体积变为V ＝a e －kt .若经过25天后，气球体积变为原来的23，则至少经过________天后，气球体积小于原来的13.(lg 3≈0.477，lg 2≈0.301，结果保留整数)解析：由已知“经过t 天气球体积变为V ＝a e －kt ，经过25天后，气球体积变为原来的23”得，a e －25k ＝23a ⇒e －25k ＝23，则－25k ＝ln 23，①设t 0天后气球体积变为原来的13，即V ＝a e －kt 0＝13a ，即e －kt 0＝13，则－kt 0＝ln 13，②①②两式相除可得－25k －kt 0＝ln 23ln 13，即25t 0＝ln 23ln 13＝lg 2－lg 3－lg 3≈0.301－0.477－0.477≈0.369，所以t 0≈68，即至少经过68天后，气球体积小于原来的13.答案：68。
《提高初中数学复习课有效性的实践研究》开题汇报课件
实施步骤
（9）课题组研究近5年陕西省中考试题，分析近两年我县中考数学成绩，收 集各校中考复习计划，制定涧池初级中学、漩涡初级中学 中考备考方案； （10）在我县中考研讨会上，观摩复习课难点内容—二次函数，集全县九年 级教师智慧，修改、完善，形成优秀案例，同时研讨中考复习难点内容教学 方法； （11）课题组成员反思一年来的研究活动，撰写阶段性总结； （12）课题研究一年后，整理现有资料，研讨研究过程中还存在的 问题，完善复习课教学方法，初步形成符合我县学生实际的复习课模式；
呈现方式：报告、论文、优秀教学设计汇编、复习题集等
预期成果成效
成效：
1、通过本课题的研究，学生上复习课的积极性将得到提高，学习数学的兴 趣将得到激发，在独学、对学、群学的氛围中学生的数学学科素养得到提升， 进而提高学习成绩；
实施步骤
本课题实施周期为两年，共分三个阶段进行：
1、准备阶段（2018.3—2018.6） 第一阶段（2018.3—2018.4）： （1）收集整理教学问题，确定研究课题，组建研究小组； （2）学习研究有关文件、理论，明确研究对象、研究目标和研究内容； （3）完成课题申请。
实施步骤
第二阶段（2018.4—2018.6） （1）组织课题组成员学习与本课题相关的理论依据以及我市现存的初中数 学复习课教学模式，搜集整理经验材料，提高课题组成员的研究水平。 （2）初步讨论确立本课题实施方案及人员分工，准备开题汇报。
实施步骤
（5）通过一学期的实践，形成符合我县实际的初步的章末复习课教学设计 集，将实践教师授课心得、学生学习感受汇编成册。 （6）在原有实践基础上，结合学生实际，进一步提炼章末复习课教学方法， 并于2019年6月在全面开展初中数学复习课教学研讨活动，展示研究成果； （7）期末复习时，将整本书按代数、几何两块进行分类，将所属章节知识 进行大融合，建立知识链，再依据课标要求，设计基础题、提升题及拓展题， 最后再选择一两套难度适中的题目进行测试； （8）通过“实践-反思-改进-再实践-再反思-再改进”的方式，形成期末复习优 秀教学设计集，提炼相应的教学方式；
人教高中数学必修二A版《章末复习提升课》统计研讨复习说课教学课件
s2乙＝18[(83－85)2＋(75－85)2＋…＋(95－85)2]＝41.
栏目 导引
第九章 统 计
①从平均数看，甲、乙均为 85 分，平均水平相同； ②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲； ③从方差来看，因为－x 甲＝－x 乙，s2甲＜s2乙，所以甲的成绩较稳定； ④从数据特点看，获得 85 分以上(含 85 分)的次数，甲有 3 次， 而乙有 4 次，故乙的成绩好些； ⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升 趋势，因此乙更具潜力． 综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好 成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应 派乙参赛更有望取得好成绩．
栏目 导引
第九章 统 计
【解】
(1)
－x
甲
＝
1 8
(95
＋
82
＋
88
＋
81
＋
93
＋
79
＋
84
＋
78)
＝
85(分)，
－x 乙＝18(83＋75＋80＋80＋90＋85＋92＋95)＝85(分)．
甲、乙两组数据的中位数分别为 83 分、84 分．
(2)由(1)知－x 甲＝－x 乙＝85 分，所以
s2甲＝18[(95－85)2＋(82－85)2＋…＋(78－85)2]＝35.5，
界限
人数
20
11
6
5
栏目 导引
第九章 统 计
(1)列出样本的频率分布表(频率保留两位小数)； (2)画出频率分布直方图； (3)估计身高低于 134 cm 的人数占总人数的百分比．
栏目 导引
【解】
(1)列出样本频率分布表： 分组
新教材高中地理章末复习3步方案第三章地球上的水课件新人教版必修第一册
解析：②补给类型仅在春夏季存在，故为季节性积雪融水补给，春多夏少是因 为春季增温快，冬季积雪多在这一时期融化，融雪量大。
解题反思 （1）一条河流往往有多种补给方式，不同河段或不同季 节，以某一种补给方式为主。如黄河夏秋时以雨水补给为主，冬季时 以地下水补给为主，春季时又有积雪融水补给。,（2）以雨水补给为 主的河流，汛期不一定都在夏季，如地中海气候区冬季降水丰富，河 流汛期在冬季。
水量较稳定，由湖泊水和河
对河流有调 水的相对水位
节作用
决定
水量较稳定，根据地下水与
与河流水互 河流相对水位
补，是河流 的高低而定，
最稳定可靠 与河流水有互
的补给
补关系
西北和青藏 地区
长白山天池 和长江中下 游地区
普遍
例1 下图表示重庆附近长江某水文站的气温、降水及该江段补给类 型。读图，完成(1)～(2)题。
【热点素材】 联合国发布的《世界水发展报告》显示，全球用水量已达到一个世 纪前的6倍，预计到2050年还将增加20%～50%。目前，超过1/4的人 口生活在水资源严重稀缺的地区，可能出现的水荒给人类生存构成了 严重威胁。 地球表面70%被水覆盖，但人类生存所必需的淡水资源却极其有限， 仅占全球总水量的2.5%，其余97.5%都是无法直接饮用的海水。海水 淡化成为化解水资源短缺的一个重要途径。据联合国的研究数据，全 世界目前有超过16万家海水过滤工厂，每天可生产9 500万立方米淡水。 马尔代夫、新加坡、卡塔尔等8个国家生产的淡化水，甚至超过了取 自天然水源的淡水量。
(3)盐池四周环绕有丰富的贝类，最有可能是盐池周围( )
A．水温较高
B．水质更好
C．盐度较高
D．饵料丰富
答案：D
新教材2023版高中数学章末复习课1第一章数列课件北师大版选择性必修第二册
考点一 传统文化中的数列问题 1．在以实用为主的古代数学中，数列是研究的热点问题． 2．通过对优秀传统文化的学习，提升学生的数学建模、数学运算素 养．
例1 (1)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中
有如下问题：“今有禀粟，大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，
一十五斗．今有大夫一人后来，亦当禀五斗．仓无粟，欲以衰出之，
项公式要分段表示． (3)求数列的前n项和，根据数列的不同特点，常有方法：公式法、裂项相
消法、错位相减法、分组求和法． (4)通过对数列通项公式及数列求和的考查，提升学生的逻辑推理、数学
运算素养．
例4 已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)且a1＝2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝ an − 1 2an.求数列{bn}的前n项和Tn.
于织布，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，现在该女子一
个月(按30天计)共织布390尺，最后一天织布21尺，则该女子第一天织
布( )
A．3尺
B．4尺
C．5尺
D．6尺
答案：C
解析：由题意可设该女子第n天织布的数量为an，则数列{an}是等差数列，设其
21 公差为d.则ቐ390 =
= a1 30a1
2(an≠0)⇔{an}是等比数列．
(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q
为非零常数)⇔{an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；
Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是等比数
2020数学选修2-1人教B版新素养同步讲义：1.常用逻辑用语章末复习提升课
章末复习提升课1．全称量词与存在量词(1)全称量词与全称命题全称量词用符号“∀”表示．全称命题用符号简记为：∀x∈M，p(x)．(2)存在量词与存在性命题存在量词用符号“∃”表示．存在性命题用符号简记为：∃x∈M，p(x)．2．简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”“或”“非”联结命题p和命题q，可得p∧q，p∨q，﹁p.(2)命题p∧q，p∨q，﹁p的真假判断．p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与﹁p必定是一真一假．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)分类①充要条件：p⇒q且q⇒p，记作p⇔q；②充分不必要条件：p⇒q，q⇒/p；③必要不充分条件：q⇒p，p⇒/q；④既不充分也不必要条件：p⇒/q且q⇒/p.4．四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．5．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x∈M，﹁p(x)∃x∈M，p(x)∀x∈M，﹁p(x)1．否命题和命题的否定是两个不同的概念(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题；(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为：“若p，则q”，则该命题的否命题是“若﹁p，则﹁q”；命题的否定为“若p，则﹁q”．2．四种命题的三种关系：互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．3．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．如“a＝0”是“a·b＝0”的充分不必要条件，“a·b＝0”是“a＝0”的必要不充分条件．4．注意常见逻辑联结词的否定一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．全称命题与存在性命题全称命题与存在性命题是新课标新增内容，从形式上看，主要以选择题和填空题的形式出现．知识方法：全称命题“∀x∈M，p(x)”强调命题的一般性，因此，(1)要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；(2)要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x，使p(x)不成立即可．存在性命题“∃x∈M，p(x)”强调结论的存在性，因此，(1)要证明它是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可．(2)要判断它是假命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)不成立．下列命题中，真命题是()A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数对于选项A，∃m∈R，即当m＝0时，f(x)＝x2＋mx＝x2是偶函数．故A正确．【答案】 A逻辑联结词高考中常以选择题和填空题的形式对含有逻辑联结词的命题的构成及其真假判断进行考查，正确理解逻辑联结词“且”“或”“非”是解决问题的关键．知识方法：判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．对于函数：①f(x)＝|x＋2|；②f(x)＝(x－2)2；③f(x)＝cos(x－2)．有命题p：f(x＋2)是偶函数；命题q：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，能使p∧q为真命题的所有函数的序号是________．若f(x)＝|x＋2|，则f(x＋2)＝|x＋4|不是偶函数，不满足命题p；若f(x)＝(x－2)2，则f(x＋2)＝x2为偶函数，此时f(x)在(－∞，2)上递减，在(2，＋∞)上递增；若f(x)＝cos(x－2)，则f(x＋2)＝cos x为偶函数，但此时f(x)不满足命题q，故填②.【答案】②充要条件的判定充要条件的判定以选择题和填空题为主，所考查内容涉及各个章节，具有一定的综合性，个别题目具有一定的难度．知识方法：充分条件与必要条件的判断(1)直接利用定义判断：即“若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”．(条件与结论是相对的)(2)利用等价命题的关系判断：“p⇒q”的等价命题是“﹁q⇒﹁p”，即“若﹁q⇒﹁p 成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”．已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围．【解】p：x2－8x－20>0⇔x<－2或x>10，令A＝{x|x<－2或x>10}，因为a >0，所以q ：x <1－a 或a >1＋a ， 令B ＝{x |x <1－a 或x >1＋a }， 由题意p ⇒q 且p ⇐/q ，知A ⊆B ，应有⎩⎨⎧a >0，1＋a <10，1－a ≥－2或⎩⎨⎧a >0，1＋a ≤10，1－a >－2，解得0<a ≤3，所以a 的取值范围为(0，3]．四种命题及其关系四种命题及其关系是高考命题的内容之一，主要以选择题和填空题的形式出现，一般不单独命题，往往和其他知识结合起来进行考查．知识方法：原命题与它的逆命题、原命题与它的否命题之间的真假是不确定的，而原命题与它的逆否命题(它的逆命题与它的否命题)之间在真假上是始终保持一致的：同真同假．判断下列命题的真假：(1)“若x ∈A ∩B ，则x ∈B ”的逆命题与逆否命题； (2)“若0<x <5，则|x －2|<3”的否命题与逆否命题；(3)a ，b 为非零向量，“如果a ⊥b ，则a·b ＝0”的逆命题和否命题．【解】 (1)“若x ∈A ∩B ，则x ∈B ”，是真命题，故其逆否命题为真命题，逆命题“若x ∈B ，则x ∈A ∩B ”，为假命题．(2)因为0<x <5，所以－2<x －2<3， 所以0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.否命题为假． 例如当x ＝－12时，|－12－2|＝52<3.(3)逆命题：a·b ＝0⇒a ⊥b ，为真命题． 故它的否命题：a ，b 不垂直⇒a·b ≠0也为真．1．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a ⊂α，b ⊥β，则“α∥β ”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件详细分析：选A ．当α∥β时，因为b ⊥β，所以b ⊥α，因为a ⊂α，所以b ⊥a ；当a ⊥b ，a ⊂α，b ⊥β时，α，β可能平行，也可能相交，故“α∥β”是“a ⊥b ”的充分不必要条件，选A ．2．已知p ：函数f (x )＝(x －a )2在(－∞，1)上是减函数．q ：∀x ＞0，a ≤x 2＋1x恒成立，则p 是﹁q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件详细分析：选B ．p ：函数f (x )＝(x －a )2在(－∞，1)上是减函数，由二次函数的性质可知a ≥1，q ：∀x ＞0，a ≤x 2＋1x 恒成立，则x 2＋1x ＝x ＋1x ≥2≥a ，则﹁q ：a ＞2，故p 是﹁q 的必要不充分条件．3．已知命题p ：“φ＝π2”是“函数y ＝sin(x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x ＝12的否定为∃x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x ≠12.则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧(﹁q ) B ．(﹁p )∧q C ．(﹁p )∨(﹁q )D ．p ∨q详细分析：选D ．若y ＝sin(x ＋φ)为偶函数，则有φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以“φ＝π2”是“函数y ＝sin(x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，所以命题p 为真命题；根据全称命题的否定的概念，可知﹁q 为∃x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x ≠12，所以命题q 为真命题，故选D ． 4．命题“对任意实数x ∈[1，2]，关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥3D ．a ≤3详细分析：选C ．因为x ∈[1，2]，所以x 2∈[1，4]，x 2－a ≤0恒成立，即x 2≤a ，因此a ≥4.由“对任意实数x ∈[1，2]，关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”可推出a ≥3，但由a ≥3推不出“对任意实数x ∈[1，2]，关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立．故选C ．5．已知命题p ：∀x ∈R ，2x ＞0，则﹁p 为________．详细分析：根据全称命题的否定的概念可知﹁p 为“∃x ∈R ，2x ≤0”． 答案：∃x ∈R ，2x ≤06．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1”为真命题，则实数m 的最大值为________． 详细分析：根据正切函数的性质可知，y ＝tan x ＋1在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最小值为y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－π4＋1＝0.所以m ≤0. 答案：07．已知命题p ：∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若命题p 且q 是真命题，则实数a 的取值范围是________．详细分析：由x 2－a ≥0，得a ≤x 2，因为x ∈[1，2]，所以a ≤1.要使q 成立，则有Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0，解得a ≥1或a ≤－2.因为命题p 且q 是真命题，所以p ，q 同时为真，即⎩⎨⎧a ≤1a ≥1或a ≤－2，故a ≤－2或a ＝1.答案：a ≤－2或a ＝1。
第六章+质量与密度+总结提升+2024-2025学年初中物理(人教版山西专用)八年级上册+
C. 取出最小的砝码，将横梁上的平衡螺母向右调
D. 取出最小的砝码，将处在零刻度线位置的游码向右调
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
返回目录
15. （2023·临汾尧都校级期末）通过实验，得到了a、b、c三个实心体
的m－V图像如图所示，分析图像可知（
C. 若三个球都是实心的，则铜球的体积最大
D. 若三个球都是空心的，则铜球的空心部分一定最大
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
返回目录
21. 在炎热的夏天，小明和小亮刚从外面回到房间，为了给整个房间快
速降温，他们提出不同的观点：小亮认为应该让挂壁式空调的空调风朝
B. 水的质量先变大后变小
C. 水的体积先变小后变大
第7题
D. 水的密度保持不变
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
返回目录
考点三 密度的测量
8. （2023·大庆）多种复合材料具有密度小、强度大的优点，被广泛应
用于制造业。现小明同学测量某一实心复合材料块的密度，测材料块质
高中数学第六章平面向量及其应用章末复习提升课学案新人教A版必修第二册
章末复习提升课平面向量的线性运算(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( )A.34AB →－14AC →B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC →(2)如图所示，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝( ) A.43 B.53 C.158D.2【解析】 (1)法一：如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →，故选A .法二：EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →，故选A .(2)因为AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BA →＋AD →)＝λ(AB →＋12AD →)＋μ(－AB →＋AD →)＝(λ－μ)错误！未定义书签。
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAD →，且AC →＝AB →＋AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B .【答案】 (1)A (2)B向量线性运算的基本原则向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1，1)，c ＝(－5，1)．若(a ＋k b )∥c ，则实数k 的值为( )A ．2B ．12C ．114D ．－114解析：选B.由题意知，a ＋k b ＝(2，－1)＋k (1，1)＝(k ＋2，k －1)，由(a ＋k b )∥c ，得－5(k －1)＝k ＋2，解得k ＝12，故选B.平面向量数量积的运算如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为( )A.2116B.32C.2516D.3【解析】 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系， 因为在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，∠BAD ＝120°，所以A (0，0)，B (1，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设C (1，m )，E (x ，y )，所以DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，m －32，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，因为AD ⊥CD ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，m －32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32＝0，即32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫m －32＝0，解得m ＝3，即C (1，3)，因为E 在CD 上，所以32≤y ≤3，由CE →∥DC →，得(x －1)⎝⎛⎭⎪⎫3－32＝32(y －3)，即x ＝3y －2，因为AE →＝(x ，y )，BE →＝(x －1，y )，所以AE →·BE →＝(x ，y )·(x －1，y )＝x 2－x ＋y 2＝(3y －2)2－3y ＋2＋y 2＝4y 2－53y ＋6，令f (y )＝4y 2－53y ＋6，y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.因为函数f (y )＝4y 2－53y ＋6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，538上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤538，3上单调递增，所以f (y )min ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5382－53×538＋6＝2116.所以AE →·BE →的最小值为2116，故选A.【答案】 A向量数量积的两种计算方法(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos θ. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.1．已知向量a ，b 的夹角为3π4，|a |＝2，|b |＝2，则a ·(a －2b )＝________．解析：a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝2－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝6. 答案：62．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于________．解析：AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，所以AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9.答案：9向量的夹角及垂直问题(1)已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1(2)已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．以上都不对【解析】 (1)因为m ＋n ＝(2λ＋3，3)，m －n ＝(－1，－1)，(m ＋n )⊥(m －n )， 所以(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3. (2)设向量a 与b 的夹角为θ，因为a ＋b ＋c ＝0， 所以c ＝－(a ＋b )，所以c 2＝(a ＋b )2， 即|c |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos θ， 所以19＝4＋9＋12cos θ，所以cos θ＝12，又0°≤θ≤180°，所以a 与b 的夹角为60°.【答案】 (1)B (2)C解决两个向量垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样．若向量能用坐标表示(或能建立适当的直角坐标系)，将它转化为“x 1x 2＋y 1y 2＝0”较为简单．1．设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________． 解析：因为a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )，所以m a －b ＝(m ＋1，－m )． 由a ⊥(m a －b )得a ·(m a －b )＝0， 即m ＋1＝0，得m ＝－1.答案：－12．(2019·东北三省三校检测)已知非零向量a ，b 满足|a －b |＝|a |，a ·(a －b )＝0，则a －b 与b 夹角的大小为________．解析：因为非零向量a ，b 满足a ·(a －b )＝0，所以a 2＝a ·b ，由|a －b |＝|a |可得a 2－2a ·b ＋b 2＝a 2，解得|b |＝2|a |，设a －b 与b 的夹角为θ，则cos θ＝（a －b ）·b |a －b ||b |＝a ·b －|b |2|a ||b |＝|a |2－2|a |22|a |2＝－22，又0°≤θ≤180°，所以θ＝135°. 答案：135°向量的长度(模)与距离的问题已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a ＋2b ，AC →＝2a －6b ，D 为BC 的中点，则|AD →|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2－2b·a ＋b 2)＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2×2×3×cos π6＋4＝4，则|AD →|＝2.【答案】 A解决向量模的问题常用的策略(1)应用公式：|a |＝x 2＋y 2(其中a ＝(x ，y ))． (2)应用三角形法则或平行四边形法则．(3)应用向量不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. (4)研究模的平方|a ±b |2＝(a ±b )2.(2019·河南八市重点高中质检)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且a ·(a －b )＝8，|a |＝2，则|b |等于( )A ． 3B ．2 3C ．3D ．4解析：选D.因为a ·(a －b )＝8，所以a·a －a·b ＝8，即|a |2－|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝8，所以4＋2|b |×12＝8，解得|b |＝4.利用正、余弦定理解三角形已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sinB .(1)求角B 的大小；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .【解】 (1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 故cos B ＝22，所以B ＝45°. (2)因为sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°·sin 45°＝2＋64. 故a ＝b sin Asin B＝1＋ 3. 又C ＝180°－45°－75°＝60°， 所以c ＝b sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6.解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A ，B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a ，b . (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a ，b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a ，b ，c ，可应用余弦定理求A ，B ，C .1．(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3 C.π4D.π6解析：选C.根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c22ab ＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π4.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sinB sinC .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .解：(1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinB sinC ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22. 因为0°＜C ＜120°， 所以sin(C ＋60°)＝22，故 sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60° ＝6＋24.判断三角形的形状在△ABC 中，若已知b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cosC ，试判断三角形的形状． 【解】 由正弦定理的推论，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，则已知条件转化为4R 2sin 2B sin 2C ＋4R 2sin 2C sin 2B ＝8R 2sin B sin C cos B cos C . 因为sin B sin C ≠0，所以sin B sin C ＝cos B cos C ， 所以cos(B ＋C )＝0.因为0°<B ＋C <180°，所以B ＋C ＝90°， 所以A ＝90°，所以△ABC 为直角三角形．判定三角形形状的两种途径(1)通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a ＝2R sin A ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A ＝sin B ⇔A ＝B ，sin(A －B )＝0⇔A ＝B ，sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等．(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A ＝a 2R ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．(2019·福建省闽侯二中五校教学联合体高二上学期期中)在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则该三角形的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选A.因为lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，所以sin Acos B ·sin C＝2，由正弦定理可得a sin A ＝c sin C ，所以sin A sin C ＝ac ，所以cos B ＝a 2c ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a2c，整理得c 2＝b 2，c ＝b ，所以△ABC 的形状是等腰三角形，故选A.正、余弦定理的实际应用已知海岛A 周围8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A 在北偏东75°，航行202海里后，见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？【解】 如图所示，在△ABC 中，依题意得BC ＝202海里， ∠ABC ＝90°－75°＝15°， ∠BAC ＝60°－∠ABC ＝45°. 由正弦定理，得AC sin 15°＝BCsin 45°， 所以AC ＝202sin 15°sin 45°＝10(6－2)(海里)．过点A 作AD ⊥BC .故A到航线的距离为AD＝AC sin 60°＝10(6－2)×32＝(152－56)(海里)．因为152－56>8，所以货轮无触礁危险．正、余弦定理在实际应用中应注意的问题(1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图．(2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等．(3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形．(4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累．(5)按照题目中已有的精确度计算，并根据题目要求的精确度确定答案并注明单位．1．某运动会上举行升旗仪式，在坡角为15°的看台上，同一列上的第一排B处和最后一排C处测得旗杆顶部P处的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，则旗杆的高度为( )A．10 m B．30 mC．10 3 m D．10 6 m解析：选 B.依题意可知∠PCB＝45°，∠PBC＝180°－60°－15°＝105°，所以∠CPB＝180°－45°－105°＝30°.在△PBC中，由正弦定理可得BP＝CBsin∠CPB·sin∠PCB＝203(m)，所以在Rt△BOP中，OP＝PB·sin∠PBO＝203×32＝30(m)，即旗杆的高度为30 m.2．如图，A，C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度，沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处，然后以同样的速度，沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛．(1)求A，C两岛之间的直线距离；(2)求∠BAC的正弦值．解：(1)在△ABC中，由已知，AB＝10×5＝50，BC＝10×3＝30，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°.根据余弦定理，得AC 2＝502＋302－2×50×30cos 120°＝4 900， 所以AC ＝70.故A ，C 两岛之间的直线距离是70海里． (2)在△ABC 中，由正弦定理， 得BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC ，所以sin ∠BAC ＝BC sin ∠ABCAC＝30sin 120°70＝3314.故∠BAC 的正弦值是3314.1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知AB →＝(2，3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3解析：选C.因为BC →＝AC →－AB →＝(3，t )－(2，3)＝(1，t －3)，|BC →|＝1，所以12＋（t －3）2＝1，所以t ＝3，所以BC →＝(1，0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.2．已知e 1，e 2是单位向量，m ＝e 1＋2e 2，n ＝5e 1－4e 2，若m ⊥n ，则e 1与e 2的夹角为( ) A.π4 B.π3 C.2π3D.3π4解析：选B.因为m ⊥n ，|e 1|＝|e 2|＝1，所以m·n ＝(e 1＋2e 2)·(5e 1－4e 2)＝5e 21＋6e 1·e 2－8e 22＝－3＋6e 1·e 2＝0.所以e 1·e 2＝12.设e 1与e 2的夹角为θ，则cos θ＝e 1·e 2|e 1||e 2|＝12.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.3．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝6，AB ＝26，则C ＝( )A.π4或3π4B.π6或5π6C.π4D.3π4解析：选C. 由正弦定理BC sin A ＝AB sin C ，得sin C ＝AB sin A BC ＝26×sinπ36＝22.又BC ＝6>AB ＝26，所以A >C ，所以C ＝π4，故选C.4．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3 PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．解析：由CP →＝3 PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB→＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22. 答案：225．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解：(1)因为a ＝3，b ＝26，B ＝2A ，所以在△ABC 中， 由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A.所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝2A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5. 6．(2019·江西省赣州教育发展联盟联考)已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C ．(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．解：(1)由题意，及正弦定理，得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ， 两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理，得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝（AC ＋BC ）2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12，所以C ＝60°.[A 基础达标]1．将3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋（2b －a ）化成最简式为( ) A ．－43a ＋53bB ．－4a ＋5b C.43a －53b D ．4a －5b解析：选B.原式＝3[⎝ ⎛⎭⎪⎫23－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ]＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－43a ＋53b ＝－4a ＋5b . 2．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10解析：选B.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝0，－4－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，故a ＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝10. 3．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边长为( ) A.62B.63C.12D.32解析：选B.A ＝180°－(60°＋45°)＝75°， 故最短边为b ，由正弦定理可得b sin B ＝csin C ，即b ＝c sin B sin C ＝1×sin 45°sin 60°＝63，故选B. 4．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选D.由已知及正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B ，因为sin B >0，所以sin A ＝32.又A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以A ＝π3.5．在△ABC 中，已知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，且sin A ＝2sin B cos C ，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选D.由sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 及正弦定理可知a 2＝b 2＋c 2⇒A 为直角；而由sin A ＝2sin B cos C ，可得sin(B ＋C )＝2sin B cos C, 整理得sin B cos C ＝cos B sin C ，即sin(B －C )＝0，故B ＝C .综合上述，B ＝C ＝π4，A ＝π2.即△ABC 为等腰直角三角形．6．已知非零向量a ＝(t ，0)，b ＝(－1，3)，若a ＋2b 与a 的夹角等于a ＋2b 与b 的夹角，则t ＝________．解析：由题设得（a ＋2b ）·a |a ＋2b |·|a |＝（a ＋2b ）·b |a ＋2b |·|b |，所以|b |(|a |2＋2b ·a )＝|a |(a ·b ＋2|b |2)，将a ＝(t ，0)，b ＝(－1，3)代入整理得2t 2＋t ·|t |＝8|t |＋4t ，当t >0时，3t 2＝12t ，所以t ＝4；当t <0时，t 2＝－4t ，所以t ＝－4.综上，t 的值为4或－4.答案：4或－47．在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边．若2a sin B ＝3b ，b ＋c ＝5，bc ＝6，则a ＝________．解析：因为2a sin B ＝3b ，所以2sin A sin B ＝3sin B . 所以sin A ＝32，因为△ABC 为锐角三角形， 所以cos A ＝12，因为bc ＝6，b ＋c ＝5，所以b ＝2，c ＝3或b ＝3，c ＝2.所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝22＋32－2×6×12＝7，所以a ＝7. 答案：78．(2019·湖南株洲市检测)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AD →·EB →＝2，则AB →的模为________．解析：因为在平行四边形ABCD 中，EB →＝EC →＋CB →＝12DC →－BC →，又DC →＝AB →，BC →＝AD →，所以EB →＝12AB →－AD →，所以AD →·EB →＝AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－AD →＝12AB →·AD →－AD →2＝12|AB →||AD →|cos 60°－|AD →|2＝14|AB →|－1＝2，所以|AB →|＝12.答案：129．已知向量e 1，e 2，且|e 1|＝|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝π3.(1)求证：(2e 1－e 2)⊥e 2；(2)若m ＝λe 1＋e 2，n ＝3e 1－2e 2，且|m |＝|n |，求λ的值． 解：(1)证明：因为|e 1|＝|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝π3，所以(2e 1－e 2)·e 2＝2e 1·e 2－e 22＝2|e 1||e 2|cos π3－|e 2|2＝2×1×1×12－12＝0，所以(2e 1－e 2)⊥e 2.(2)由|m |＝|n |得(λe 1＋e 2)2＝(3e 1－2e 2)2， 即(λ2－9)e 21＋(2λ＋12)e 1·e 2－3e 22＝0. 因为|e 1|＝|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝π3，所以e 21＝e 22＝1，e 1·e 2＝1×1×cos π3＝12，所以(λ2－9)×1＋(2λ＋12)×12－3×1＝0，即λ2＋λ－6＝0.所以λ＝2或λ＝－3.10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若B ＝π3，且(a －b ＋c )(a ＋b－c )＝37bc .(1)求cos C 的值；(2)若a ＝5，求△ABC 的面积． 解：(1)由(a －b ＋c )(a ＋b －c )＝37bc ，得a 2－(b －c )2＝37bc ，即a 2＝b 2＋c 2－117bc ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1114，所以sin A ＝514 3.又因为B ＝π3，所以cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝17.(2)由(1)得sin C ＝47 3.在△ABC 中，由正弦定理，得csin C ＝b sin B ＝asin A.所以c ＝a sin C sin A ＝8，所以S ＝12ac sin B ＝12×5×8×sin π3＝10 3. [B 能力提升]11．飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行10 000米，到达B 处，此时测得目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标C 的距离为( )A ．5 000米B ．5 0002米C ．4 000米D ．4 0002米解析：选B.如图，在△ABC 中，AB ＝10 000米，A ＝30°，C ＝75°－30°＝45°.根据正弦定理得，BC ＝AB ·sin Asin C ＝10 000×1222＝5 0002(米)．12．在△ABC 中，点D 满足BD ＝34BC ，当E 点在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →，则t ＝(λ－1)2＋μ2的最小值是( )A.31010 B.824 C.910D.418解析：选C.如图所示，存在实数m 使得AE →＝mAD →(0≤m ≤1)，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →，所以AE →＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB →＋34AC →＝m 4AB →＋3m 4AC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝m 4，μ＝3m4，所以t ＝(λ－1)2＋μ2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3m 42＝58m 2－m 2＋1＝58⎝ ⎛⎭⎪⎫m －252＋910，所以当m ＝25时，t ＝(λ－1)2＋μ2取得最小值910.13．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，且2cos(A ＋B )＝1.则C ＝________，AB ＝________．解析：因为cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12，所以C ＝120°.由题设，得⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，所以AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10.所以AB ＝10. 答案：120°1014．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －b )cos C ＝c cos B ，△ABC 的面积S ＝103，c ＝7.(1)求角C ； (2)求a ，b 的值．解：(1)因为(2a －b )cos C ＝c cos B ， 所以(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ， 2sin A cos C －sin B cos C ＝sin C cos B ， 即2sin A cos C ＝sin(B ＋C )． 所以2sin A cos C ＝sin A . 因为A ∈(0，π)， 所以sin A ≠0. 所以cos C ＝12.所以C ＝π3.(2)由S ＝12ab sin C ＝103，C ＝π3，得ab ＝40.①由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即c 2＝(a ＋b )2－2ab ⎝⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，所以72＝(a ＋b )2－2×40×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12.所以a ＋b ＝13.②由①②得a ＝8，b ＝5或a ＝5，b ＝8.[C 拓展探究]15．某单位有A ，B ，C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O ，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为AB ＝80 m ，BC ＝70 m ，CA ＝50 m ．假定A ，B ，C ，O 四点在同一平面内．(1)求∠BAC 的大小； (2)求点O 到直线BC 的距离．解：(1)在△ABC 中，因为AB ＝80 m ，BC ＝70 m ，CA ＝50 m ，由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ＝802＋502－7022×80×50＝12.因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝π3.(2)法一：因为发射点O 到A ，B ，C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．设外接圆的半径为R ，则在△ABC 中，BCsin A ＝2R .由(1)知A ＝π3，所以sin A ＝32.所以2R ＝7032＝14033.即R ＝7033.如图，连接OB ，OC ，过点O 作边BC 的垂线，垂足为D .在△OBD 中，OB ＝R ＝7033，BD ＝BC 2＝702＝35，所以OD ＝OB 2－BD 2＝（7033）2－352＝3533. 即点O 到直线BC 的距离为3533m.法二：因为发射点O 到A ，B ，C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．连接OB ，OC ，过点O 作边BC 的垂线，垂足为D .由(1)知∠BAC ＝π3，所以∠BOC ＝2π3，所以∠BOD ＝π3.在Rt △BOD 中，BD ＝BC 2＝702＝35 ，所以OD ＝BDtan ∠BOD ＝35tan 60°＝3533.即点O 到直线BC 的距离为3533 m.。
人教版高中化学必修二目录【精选】
第三节 生活中两种常见的有机物(共2课时) 第1课时 乙醇 第2课时 乙酸
ห้องสมุดไป่ตู้
第四节 基本营养物质(共2课时) 第1课时 糖类、油脂、蛋白质的性质 第2课时 糖类、油脂、蛋白质在生产、生活中的应用 章末复习提升 章末综合检测（word）
第四章 化学与自然资源的开发利用
第一节 开发利用金属矿物和海水资源(共2课时) 第1课时 金属矿物的开发利用 第2课时 海水资源的开发利用
第二节 资源的综合利用 环境保护(1课时) 章末复习提升 章末综合检测（word） 期中综合检测（word） 模块综合检测（word）
第一章 物质结构 元素周期律
第一节 元素周期表(共3课时) 第1课时 元素周期表 第2课时 元素的性质和原子结构 第3课时 核素
第二节 元素周期律(共3课时) 第1课时 原子核外电子的排布 第2课时 元素周期律 第3课时 元素周期表和元素周期律的应用
第三节 化学键(共2课时) 第1课时 离子键 第2课时 共价键 章末复习提升 章末综合检测（word）
第二章 化学反应与能量
第一节 化学能与热能(1课时) 第二节 化学能与电能(1课时) 第三节 化学反应的速率和限度(共2课时) 第1课时 化学反应的速率 第2课时 化学反应的限度以及反应条件的控制 章末复习提升 章末综合检测（word）
第三章 有机化合物
第一节 最简单的有机化合物——甲烷(共2课时) 第1课时 甲烷 第2课时 烷 烃 第二节 来自石油和煤的两种基本化工原料(共2课时) 第1课时 乙烯 第2课时 苯
部编版六年级语文下册期末复习教案
部编版六年级语文下册期末复习+计划教案一、复习目标：（一）基础知识方面1、能利用拼音帮助识字、阅读和学习普通话；能根据拼音正确地写出已学过的汉字。
2、掌握本册学的80个生字，要求读准字音、认清字形、了解字义，并会规范地书写，能正确认读学过的多音字。
3、查字典，会运用部首、音序、数笔画查字法熟练地查字。
4、辨别同音字、形近字，进一步提高正确使用汉字的能力。
5、掌握227个词语，理解词义，一部分会口头或书面运用。
6、进一步掌握部分词语的近义词或反义词；掌握已学的成语；了解和认识一些常用的格言。
7、能够改写句子、修改病句和缩句；能正确使用一些常用的关联词。
8、进一步掌握学过的标点符号及一些常用的修辞方法。
（二）阅读方面：1、能联系上下文和自己的积累，推想课文中有关词句的意思，辨别词语的感情色彩，体会其表达效果。
2．在阅读中了解文章的表达顺序，体会作者的思想感情，初步领悟文章的基本表达方法。
在交流和讨论中，敢于提出看法，作出自己的判断。
3．阅读叙事性作品，了解事件梗概，能简单描述自己印象最深的场景、人物、细节，说出自己的喜爱、憎恶、崇敬、向往、同情等感受。
阅读诗歌，大体把握诗意，想象诗歌描述的情境，体会作品的情感。
受到优秀作品的感染和激励，向往和追求美好的理想。
阅读说明性文章，能抓住要点，了解文章的基本说明方法。
阅读简单的非连续性文本，能从图文等组合材料中找出有价值的信息。
4．在理解课文的过程中，体会顿号与逗号、分号与句号的不同用法。
5．诵读优秀诗文，注意通过语调、韵律、节奏等体味作品的内容和情感。
背诵优秀诗文 60 篇（段）。
（三）作文方面：1．养成留心观察周围事物的习惯，有意识地丰富自己的见闻，珍视个人的独特感受，积累习作素材。
2．能写简单的记实作文和想象作文，内容具体，感情真实。
能根据内容表达的需要，分段表述。
学写读书笔记，学写常见应用文。
3．修改自己的习作，并主动与他人交换修改，做到语句通顺，行款正确，书写规范、整洁。
2021版高考物理(基础版)一轮复习课件：第六章 1 第一节 动量 冲量 动量定理
2．应用动量定理解释的两类物理现象 (1)当物体的动量变化量一定时，力的作用时间Δt 越短，力 F 就越大，力的作用时间Δt 越长，力 F 就越小，如玻璃杯掉在水泥地上易碎，而掉在沙地上不易碎． (2)当作用力 F 一定时，力的作用时间Δt 越长，动量变化量Δp 越大，力的作用时间Δt 越短，动量变化量Δp 越小．
【自我诊断】 1．判一判 (1)动量越大的物体，其速度越大． (2)物体的动量越大，其惯性也越大． (3)物体所受合力不变，则动量也不变． (4)物体沿水平面运动时，重力不做功，其冲量为零． (5)物体所受合外力的冲量方向与物体末动量的方向相同． (6)物体所受合外力的冲量方向与物体动量变化的方向相同．
B．0.54 Pa
C．1.5 Pa
D．5.4 Pa
解析：选 A.设雨滴受到睡莲叶面的平均作用力为 F，在Δt 时间内有质量为Δm 的雨水 的速度由 v＝12 m/s 减为零，以向上的方向为正方向，对这部分雨水应用动量定理：F Δt＝0－(－Δmv)＝Δmv，得到 F＝ΔΔmt v.设水杯横截面积为 S，对水杯里的雨水，在 Δt 时间内水面上升Δh，则有Δm＝ρSΔh，得 F＝ρSvΔΔht ，压强 p＝FS＝ρvΔΔht ＝1×103 ×12×453×61000－3 Pa＝0.15 Pa.
对动量和冲量的理解
【知识提炼】
1．动能、动量、动量变化量的比较 动能
动量
动量变化量
定义
物体由于运动而具有 物体的质量和速度的 物体末动量与初动量
的能量
乘积
的矢量差
定义式
Ek＝12mv2
p＝mv
Δp＝p′－p
标矢性 特点状态量
动量 矢量 状态量
动量变化量 矢量 过程量