第一节二重积分的概念与性质
第一节二重积分的概念与性质
第一篇：第一节二重积分的概念与性质
第九章重积分
第一节二重积分的概念与性质
与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”.所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域.它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算.内容分布图示
★ 曲顶柱体的体积
★ 非均匀平面薄片的质量
★ 二重积分的概念
★ 二重积分的性质
★ 例
1★ 例
4★ 内容小结
★习题9-1
★ 返回
★ 二重积分的中值定理★ 例2★ 例3 ★ 例5 ★ 课堂练习
内容要点：
一、二重积分的概念
引例1 求曲顶柱体的体积；引例2 求非均匀平面薄片的质量二重积分的定义二、二重积分的性质
性质1—性质6
二重积分与定积分有类似的性质.性质 1 ⎰⎰[αf(x,y)±βg(x,y)]dσ=α⎰⎰f(x,y)dσ±β⎰⎰g(x,y)dσ.DDD
性质2 如果闭区域D可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域D1和D2, 则
⎰⎰f(x,y)dσ=⎰⎰f(x,y)dσ+⎰⎰f(x,y)dσ.DD1D
2这个性质表明二重积分对积分区域具有可加性.性质3 如果在闭区域D上, f(x,y)=1,σ为D的面积, 则
⎰⎰1⋅dσ=⎰⎰dσ=σ.DD
这个性质的几何意义是: 以D为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积.性质4 如果在闭区域D上, 有f(x,y)≤g(x,y),则⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰g(x,y)dσ.DD
特别地, 有⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰|f(x,y)|dσ.DD
性质5 设M,m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值, σ为D的面积, 则
mσ≤⎰⎰f(x,y)dσ≤Mσ.D
这个不等式称为二重积分的估值不等式.例题选讲：
二重积分的性质
(x例1不作计算，估计I=⎰⎰e
D2+y2)dσ的值，其中D是椭圆闭区域：
x2
a2+y2b2≤1(0 闭区域{(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤2}.例3判断 r≤x+y≤1ln(x2+y2)dxdy的符号.例4积分⎰⎰D-x2-y2dxdy有怎样的符号, 其中D:x2+y2≤4.例5（讲义例2）比较积分⎰⎰ln(x+y)dσ与⎰⎰[ln(x+y)]2dσ的大小，其中区域D是三 DD 角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).课堂练习 1.将二重积分定义与定积分定义进行比较, 找出它们的相同之处与不同之处. 2.试用二重积分表示极限lim ∑∑en→+∞n2i=1j=11nni2+j2n2. 第二篇：第一节二重积分的概念与性质09-3-30 第九章重积分 第一节二重积分的概念与性质 教学目的:理解并掌握二重积分的概念;几何意义;二重积分存在的条件.熟练掌握二重积分的性质; 能正确运用性质进行判断、计算与证明.重点: 二重积分的性质的运用.难点: 运用性质判断与计算.教学方法:直观教学,讲练结合.教学过程: 一、二重积分的概念与几何意义 1、【定义】: 设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域 其中∆σi表示D D任意分成n个小闭区域∆σ1，∆σ2,Λ，∆σn，第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个∆σi上任取一点(ξi,ηi)，作乘积f(ξi,ηi)⋅∆σi，(i=1,2,Λ,n)，并作和n∑f(ξ,η)∆σii i=1i，如果当各小闭区域的直径di中的最大值λ=max{di}→0时，这和 1≤i≤n 式limλ→0∑f(ξ,η)∆σ的极限存在，且此极限与小区间∆σiii i=1ni的分法 以及点(ξi,ηi)的取法无关，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D 上的二重积分，记为 f(x,y)dσ，即 D ∑f(ξ,η)∆σ.⎰⎰f(x,y)dσ=limλ D →0 i i i i= 1n 其中：① f(x,y)称为被积函数, ② f(x,y)dσ称为被积表达式,③ x,y称为积分变量, ④ dσ称为面积元素, ⑤ D称为积分区域,⑥ n ∑f(ξ,η)∆σ称为积分和.i i i i=12、面积元素dσ 在直角坐标系下用平行于坐标 轴的直线网来划分区域D,则面积元素为 dσ=dxdy 故二重积分可写为 D D ⎰⎰f(x,y)dσ 3、【二重积分存在定理】设f(x,y)是有界闭区域D上的连续函数,则二重积分 ⎰⎰f(x,y)dσ存在.D4、二重积分的几何意义 ≥0时,二重积分(1)当被积函数f(x,y) ⎰⎰f(x,y)dσ D 表示以 f(x,y)为顶,以D为底面的曲顶柱体的体积． (2)当被积函数f(x,y)≤0时,二重积分表示曲顶柱体体积的相反数． 二、二重积分的性质 假设被积函数在有界闭区域D上连续.1．2． ⎰⎰kf(x,y)dσ=k⎰⎰f(x,y)dσ,k为常数.D D ⎰⎰[f(x,y)±g(x,y)]dσ=⎰⎰f(x,y)dσ±⎰⎰g(x,y)dσ.D D D 二重积分的线性性：设α,β为常数则上述两式合并为 ⎰⎰[αf(x,y)+βg(x,y)]dσ D =α⎰⎰f(x,y)dσ+β⎰⎰g(x,y)dσ.D D 3．(二重积分对区域可加性) ⎰⎰f(x,y)dσ=⎰⎰f(x,y)dσ+⎰⎰f(x,y)dσ,(D=D+D D D 1D 2).4． ⎰⎰dσ=σ, σ为D的面积.D ．(积分不等式)若f(x,y)≤g(x,y),则 ⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰g(x,y)dσ.D D 注意：若在D上f(x,y)≤g(x,y)但等号不是恒成立，则有 ⎰⎰f(x,y)dσ<⎰⎰g(x,y)dσ.D D 推论: ⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰ D D f(x,y)dσ.6.【积分估值定理】设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大 值和最小值，则 mσ≤ ⎰⎰f(x,y)dσ≤Mσ.其中σ为D的面积.D 7.【积分中值定理】设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则在D上至少存在一点(ξ,η)使得 d=⎰⎰f(x,y)σ D .σ为D的面积.fξ(η,⋅)σ 8．设区域D=D1+D2，且D1与D2关于x轴对称； （1）当f(x,y)关于y是偶函数即 f(x,－y)＝f(x,y)时，有 ⎰⎰f(x,y)dσ=2⎰⎰f(x,y)dσ.D D 1当f(x,y)关于y是奇函数时即f(x,－y)＝-f(x,y)时，有 ⎰⎰f(x,y)dσ=0.D (2)类似有设区域D=D1+D2，且D1与D2关于y轴对称；当f(x,y)关于x是偶函数时即f(-x,y)＝f(x,y)时，有 ⎰⎰f(x,y)dσ=2⎰⎰f(x,y)dσ.D D1 当f(x,y)关于x是奇函数时即f(-x,y)＝-f(x,y)时，有 ⎰⎰f(x,y)dσ=0.D 三、应用举例例1 比较 3与(x+y)dσ(x+y)dσ⎰⎰⎰⎰D D的大小,其中 D={(x,y)|(x-2)+(y-1)≤2}.2 2解：如图,由于点A(1,0)在(x-2)+(y-1)≤2上,过点A的切线 为x+y=1,那么在D上有 1≤x+y≤(x+y)≤(x+y),23 (x+y)dσ<(x+y)dσ.⎰⎰⎰⎰D D 2222 cosx+ydσ,I=cos(x+y)dσ, 2⎰⎰⎰⎰D 例2(05.4)设I1= I3=⎰⎰cos(x2+y2)2dσ,其中D={(x,y)|x+y2≤1},则 D D (A)I3>I2>I1(B)I1>I2>I3(C)I2>I1>I3(D)I3>I1>I2 答(A).因为在区域D上，0≤x+y≤1<所以 π,且cosz∈[0,π ]为减函数，π >1≥x2+y2≥x2+y2≥(x2+y2)2≥0,2222222 从而cos(x+y)≤cos(x+y)≤cos(x+y),故I3>I2>I1.例3设D:x2+y2≤a2,当a=()时,(a)1(b)3 ⎰⎰ D a2-x2-y2dxdy=π.331(c)3(d)3 242 答(b).根据二重积分的几何意义,此积分表示半径为a的上半球体1433的体积.由⋅aπ=π得a=3⇒选(b).232 例4当D是由()围成的区域时,⎰⎰dxdy=1.D (a)x轴,y轴及2x+y-2=0(b)x=1,x=2及y=3,y= 1,y=(d)x+y=1,x-y=1 22 答(a,b,c).因为⎰⎰dxdy=1表示积分区域的面积为1,故只需考察哪 (c)x= D 些选项积分区域的面积为1.例5 判断 x+y≤1 ln(x2+y2)dσ的正负.解：在区域D={(x,y)|x+y≤1 }上有x+y≤1且等号不恒成立，所以ln(x+y)≤ln1=0且等号不能恒成立，故 x+y≤1 ln(x2+y2)dσ< x+y1 (ln1)dσ=0.例6估计积分值I= ⎰⎰xy(x+y)dσ,D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤2}.D 解：0≤xy(x2+y2)≤6⇒0≤I≤12.（注意：积分区域为矩形SD=2）例7D1={(x,y)|x+y≤1,x,y≥0} D2={(x,y)|(x-2)+(y-1)≤ 2}I1=⎰⎰(x+y)2dσ,I2=⎰⎰(x+y)3dσ,D1 D1 I3=⎰⎰(x+y)2dσ,I4=⎰⎰(x+y)3dσ D2 D2 试用适当符号连接I1,I2,I3,I4.解：在D1上有I1>I2(0≤x+y≤1),在D2上I4>I3(x+y≥1).又由(x+y)2≤1⇒I1≤由(x+y)2≥1⇒I3≥故I4>I3>I1>I2.22 例8 设D={(x,y)|1≤x+y≤4}，证明 3πe≤ xe⎰⎰D ⎰⎰dσ= D1，2 >I1，2 +y2 ⎰⎰dσ=2π> D2 dσ≤3πe4.证明因为SD=σ=4π-π=3π，又因为e≤e由积分的估值性质得 3πe≤ xe⎰⎰D x+y2 ≤e4，+y2 dσ≤3πe4.例9设D={(x,y)|x+y≤R}（1）若f(x,y)在D上有界且可积，则lim R→0 ⎰⎰f(x,y)dσ=0.D f(x,y)dσ=πf(0,0).R→0R2⎰⎰D （1）证明：设m,M分别为函数f(x,y)在D上的最小值与最大值，则 （2）若f(x,y)在D上连续，则lim m≤f(x,y)≤M，由积分估值定理知⎰⎰mdσ≤⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰Mdσ 又D={(x,y)|x+y≤R}所以πmR≤ D2 D ⎰⎰f(x,y)dσ≤πMR D D2，lim R→0⎰⎰f(x,y)dσ=0.D D （2）解：由积分中值定理知f(x,y)在D上连续 ⇒∃(ξ,η)∈D,s..t⎰⎰f(x,y)dσ=πR2⋅f(ξ,η)，所以lim 112 f(x,y)dσ=lim⋅πRf(ξ,η) R→0R2⎰⎰R→0R2 D =πlimf(ξ,η)=πlimf(ξ,η)=πf(0,0).R→0 (ξ,η)→(0,0) 小结：1.定义 ∑f(ξ,η)∆σ为二重积分.⎰⎰f(x,y)dσ=limλ D →0 i i i i=1 n 2.二重积分几何意义:表示曲顶柱体的体积. 3.正确运用各条性质进行判断、计算、证明.课后记：比较大小与证明问题下手较困难. 第三篇：6.7 二重积分的概念与性质 第6章多元函数微积分6.7二重积分的概念与性质习题解 1．利用二重积分定义证明： ⎰⎰kf(x,y)dσ=k⎰⎰f(x,y)dσ。 D Dn→0 i i i 【证明】由二重积分定义 ∑f(ξ,η)∆σ⎰⎰f(x,y)dσ=limλ D i= 1n，得 ∑kf(ξ,η)∆σ⎰⎰kf(x,y)dσ=limλ D →0 i i i=1 i =limk∑f(ξi,ηi)∆σi λ→0 i=1 n =klim∑f(ξi,ηi)∆σi=k⎰⎰f(x,y)dσ，λ→0 i=1 n D 证毕。 2．利用二重积分的几何意义说明：kdσ=kσ（k∈R为常数，σ为积分区域D的面积）。 D ⎰⎰ 【说明】二重积分的几何意义，就是说，二重积分的柱体体积，于是知，二重积分 ⎰⎰f(x,y)dσ就是以z=f(x,y)为曲顶 D ⎰⎰kdσ表示以平面z=k为顶的柱体体积，D 而以平面z=k为顶的柱体体积，等于其底面积乘上其高z=k，但该柱体的底面积就是积分区域D的面积σ，从而得，⎰⎰kdσ=kσ。 D 3．利用二重积分的性质估计下列积分的值：⑴ ⎰⎰xy(x+y)dσ，其中积分区域D={(x,y)0≤x≤1,0≤y≤1}； D 【解】由于区域D=(x,y)0≤x≤1,0≤y≤1，可知区域D的面积为 而由于0≤x≤1，0≤y≤1，可得0≤xy≤1，0≤x+y≤2，从而有0≤xy(x+y)≤2，由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得 {} ⎰⎰dσ=1⨯1=1，D ⎰⎰0dσ≤⎰⎰xy(x+y)dσ≤⎰⎰2dσ D D D 亦即为0≤⑵ ⎰⎰xy(x+y)dσ≤2。 D ⎰⎰(x+y+1)dσ，其中积分区域D={(x,y)0≤x≤1,0≤y≤2}； D 【解】由于区域D=(x,y)0≤x≤1,0≤y≤2，可知区域D的面积为 {} ⎰⎰dσ=1⨯2=2，D 而由于0≤x≤1，0≤y≤2，可得0≤x+y≤3，从而1≤x+y+1≤4，由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得 ⎰⎰1dσ≤⎰⎰(x+y+1)dσ≤⎰⎰4dσ D D D 亦即为2≤⑶ ⎰⎰(x+y+1)dσ≤4⨯2，整理得2≤⎰⎰(x+y+1)dσ≤8。 D D ⎰⎰(x D +4y2+9)dσ，其中积分区域D={(x,y)x2+y2≤4}。 【解】由于区域D=(x,y)x+y≤4，可知区域D的面积为 {} dσ=π⨯2=4π，⎰⎰D 下面求函数f(x,y)=x+4y+9在条件x+y≤4下的最大、最小值，亦即椭圆抛物面z=x+4y+9在圆柱x+y=4内部的最大、最小值，易见x+4y≥0，可知z=x+4y+9≥9，当x=y=0时等号成立，又可知，椭圆抛物面z=x+4y+9与圆柱x+y=4的交线，在椭圆簇的短轴上 达到最高，亦即当x=0，y=±2时，函数f(x,y)=x+4y+9取得最大值，最大值为 f(0,±2)=0+4⨯4+9=25，因此得，9≤x+4y+9≤25，由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得 ⎰⎰9dσ≤⎰⎰(x D D +4y2+9)dσ≤⎰⎰25dσ D 亦即为9⨯4π≤整理得36π≤ ⎰⎰(x+y+1)dσ≤25⨯4π，DD ⎰⎰(x+y+1)dσ≤100π。 4．利用二重积分的性质比较下列积分的大小：⑴ ⎰⎰(x+y)dσ与⎰⎰(x+y)dσ，其中积分区域D由x轴，y轴与直线x+y=1所围成。 D D 【解】积分区域D如图 由图可见，在区域D中，0≤x+y≤1，于是由于函数y=a（0 (x+y)>(x+y)，于是，由二重积分性质6.7.4（不等式性）即得⑵x ⎰⎰(x+y)dσ>⎰⎰(x+y)dσ。 D D 与ln(x+y)dσ[ln(x+y)]dσ，其中D={(x,y)3≤x≤5,0≤y≤1}。⎰⎰⎰⎰D D 【解】积分区域D如图 由于在区域D中有3≤x≤5，0≤y≤1，可得3≤x+y≤6，于是1=lne 5．若 。⎰⎰1dσ=1，则积分区域D可以是（） D ln(x+y)dσ<[ln(x+y)]dσ。⎰⎰⎰⎰D D x （A）由x轴，y轴与直线x+y=2所围成的区域；（B）由x=1，x=2及y=2，y=4所围成的区域；（C）由x= 11，y=所围成的区域； 22 （D）由x+y=1，x-y=1所围成的区域。【解】应填“（C）”。因为 ⎰⎰1dσ=S D D =1，而下面各区域D的面积为： （A）由x轴，y轴与直线x+y=2所围成的区域如图 得SD= 2⨯2 =2≠1； 2 （B）由x=1，x=2及y=2，y=4所围成的区域如图 得SD=(2-1)(4-2)=2≠1；（C）由x= 11，y=所围成的区域如图 得SD=[-(-)][-(-)]=1；至此，可以终止判断了。事实上有： （D）由x+y=1，x-y=1所围成的区域如图 12121212 得SD= =2≠1。 第四篇：第一节比较文学的名称与性质 第一节比较文学的名称与性质 韦勒克曾专门著文(《比较文学的名称和性质》①)清理过“比较文学” (ocmParativelite仆由叮e)一词的来源。在《文学理论》和其它几篇文章中他也对比较文学的任务和性质进行过探索。下面,我们来讨论一下他提出的主要观点。一比较文学的名称 “比较文学”(ocmpaartiveliteratUre)是一个让人非常疑惑的术语。前不久, 还有人提出要将“比较文学”更名为“国别文学比较研究”。在汉语中如此英语中同样如此。康奈尔大学的雷恩·库柏(LnaeCo叩er)就认为“比较文学”是一个既无意义而又不符合句法的“杜撰术语”。他因此拒绝把他的系叫做“比较文学”系,而执意叫做“文学的比较研究”系。韦勒克指出,这是因为“文学” 一词的意思是泛指一切“文学作品”,而不是指“对文学的研究”。“文学”既然是用来指文学作品,指诗歌又小说等文学作品,那么,显然不会存在一种用“比较”的方法写成的“文学作品”,因此,我们当然也就不能用“比较文学”一词 。Th。Namoo)讨Na帆了C。即。ar触Litera翻er,收入论文集Rne6wellke:。留喇m正na自此凡洲为巴。CoCnPe台of 0在记台m,NweHavenand助ndon:Y目eUnivesriytPSSerll970,PI一360 228 或几个国家的作家创作的影响。但是,法国学派的这种观点根本不具有 方法论和逻辑学的基础,也就根本无法界定比较文学。举例来说,按法国学派的观点,研究莎士比亚对法国作家的影响是“比较文学”,而研究莎士比亚在英国本土的影响则不属于“比较文学”。韦勒克坚决反对法国学派的这一比较文学观。在韦勒克看来,“比较文学在只研究两种文学关系的狭窄含义上也不能成为一门有意义的学科,因为那样,它就必然变成两种文学之间的`外贸’,变成对文学作品支离破碎的探讨,就不可能对个别艺术品进行深入研究,就会使比较文学成为文学史一个附属的学科,使它处理的散乱无章,使它无法形成自己独特的方法。”①不仅如此,法国学派的比较文学观由于专注于国家文学之间的影响,就非常重视文 献、来源、声誉和传记材料等的研究,这就落入了韦勒克所谓的文学“外部研究`’ 的案臼。韦勒克从他的文学本体论来看,文学批评和理论的研究对象应该是一部作品的内在审美“结构”。所以,法国学派的文学研究只是十九世纪文学研究中的“实证主义”。在《文学理论》中,韦勒克说:“文学之间的比较,如果与总的民族文学相脱节,就会趋向于把`比较’局限于来源和影响、威望和声誉等一些外部问题上。这类研究不允许我们分析和判断个别的文艺作品,甚至还不允许我们考虑其整个复杂的起源问题,而是把主要精力或者用于研究一篇杰作引起的反响,如翻译及模仿,而这些仿作又往往出自二流作家之手,或者用于研究一篇杰作产生前的历史及其主题和形式的演变和传播。”②也就是,法国学派的“影响研究”往往将研究的重点放在文学的审美“结构”研究之外,只涉及文学作品的外部事实,而这些研究根本无法解决作品的优劣、意义和特征等问题,也就不是对文学作品的分析和评判。就象索绪尔所打的比方,法国学派所研究的只不过是国际象棋从法国流传到英国这样的、与国际象棋内部规则和特性无关的外部事实, 只不过是一种外部研究。这样,韦勒克把对比较文学法国学派的反驳逐渐引导到自己对比较文学实质的阐述上来。卜 韦勒克在反驳了几种对比较文学的错误认识后提出了自己的比较文学观。现在,我们可以非常清晰地看到韦勒克比较文学观的两大特点。一是把比较文学与“总体文学”等同起来,二是重视从他的文学本体论 出发,认为比较文学不应该研究文学影响与交流的外部事实,而要研究文学作品的内在审美“结构”。 。韦勒克:《比较文学的名称和实质》,《比较文学研究资料》,北京师范大学出版社1986年2月第1版, 第27页。 李韦勒克、沃伦:《文学理论》,刘象愚等译,三联书店,1984,第43页。232 首先,比较文学不能用“比较”这一研究文学的“特殊方法”来定义。在有些学者看来,比较文学的研究对象与文学研究的其它学科一样,就是文学。而其特殊性表现在研究方法上,它特殊性是用“比较”的方法。其实,正如韦勒克在《文学理论》中所指出的,“比较是所有的批评和科学都使用的方法,它无论如何也不能充分地叙述文学研究的特殊过程。”①在《比较文学的名称和实质》一文中,韦勒克再次指出:“比较的方法并不是比较文学独有的:它在文学研究所有的分支、社会科学与自然科学所有的领域中都被普遍运用着。进一步说,比较也不是研究中唯一的方法,就是最正统的比较文学家也不会仅仅动用比较这样一种方法。所有的文学研究才在每一页的研究中都不仅要进行比较,还要动用再现、分析、解释、推导、评价、概括等等方法。”②所以,单单从“比较”的方法论角度无法准确地确立比较文学的性质。 其次,比较文学过去曾经是关于口头文学、民间文学与“高级文学”、“艺术 性文学”关系的研究。民间文学和口头文学的主题、内容、流传情况如何,它们是如何、何时进入高雅文学的,这些问题在今天的意义上根本不属于比较文学的范畴。在韦勒克看来,这一问题在很大程度上属于民俗学,即使研究口头文学也只是整个文学学科的组成部分,也不可能和书面作品分割开来。口头文学和民间文学有自己的研究方法和对象,把它归属于比较文学实在太不确切。 比较文学现在非常通行的含义是由法国比较文学学派界定的。比较文学的法国学派以梵·第根(、恤1Tiehgem)、伽列(J·M·C盯e,又译卡瑞)、基亚(M·.FGuydar)和巴登斯贝格(F·BaldenPsegrer)为代表。梵·第根就指出: “比较文学的目的实质上研究不同文学之间的关系。”基亚在他那本紧趋梵·第根的方法和内容的小册子里明确称比较文学为 “国际文学关系史”。伽列在他为基亚的这本书写的前言中,就明确指出:“比较文学不是文学的比较”,而是“文学史的一个分支”③。在他看来,它是对国际精神关系的研究,是对拜伦和普希金、歌德和卡莱尔、瓦尔特·司各特和维尼之间的事实联系的研究。法国比较文学学派的观点因此又被称为“影响研究”。在法国学者看来,比较文学是一种跨国别的文学研究,如上所说,主要研究某个国家的某个作家的创作对别一个国家 ,韦勒克、沃伦:《文学理论》,刘象愚等译,三联书店,1984,第40页。 ②韦勒克:让匕较文学的名称和实质》,长比较文学研究资料》,北京师范大学出版社、986年2月第l版, 第27页。,伽列:《<比较文学)初版序言》,见《比较文学研究资料》,北京师范大学出版社1986年2月第1版, 第42页。231 来指一种文学研究的方法和学科。否则的话,正如雷恩·库柏所说的,我们就可以生造出“比较土豆或比较果壳”·的词语。韦勒克通过对“文学”一词语义学的梳理,向我们指出“文学”一词除了有“文学作品”、“想象性的文学”含义之外,还有“对文学的知识与研究”的意思。拉丁文早期的“文学”一词译自希腊文,它有时意指阅读和书写的知识,有时甚至还指“刻写”或“文字”本身。十八世纪以后,“文学”一词的含义在仍然与“文献”、“学识”、“作品”等交织在一起的时候,也逐渐更多地指“想象性的文学作品”。但是,韦勒克又指出,英语中的“文学”一词今天仍然难以把其所包含的“作品”与“对文学的知识与研究”的意义区分开来。比如,“xx文学年鉴”既包括文学创作的成果,即文学作品,也包括对文学的批评和研究等内容。而“文学教授”也并不是指教人如何写作,而是指对文学进行研究的专家和教师。所以,“比较文学”这一术语当然不是文学的一种类型,而是指一种文学研究的特殊方法和特定学科,也就是说,“比较文学”也就等于“文学的比较研究”。韦勒克在《比较文学的危机》一文中就把“比较文学”当作“文学的比较研究”的“省略用法”。他为这一术语正名说:“抱怨这一术语在语法上有毛病,坚持它应当称为`文学的比较研究’是没有什么用处的,因为每个人都知道这是一种省略的用法。”①显然,韦勒克通过对“文学”一词的语义学考察,“文学”本来就有对文学的“知识”和“研究”的原义,因此,将“文学的比较研究” 省略为“比较文学”也就不仅是约定俗成而且是有根有据的。 韦勒克还把法语的“文学”的含义与英语的“文学”的含义进行了对比。在法国,“文学”一词长期用来指文学研究。韦勒克举了两个例子。伏尔泰的《哲学辞典》关于“文学”的条目给文学下的定义是“有关高雅作品方面的知识,对历史、诗歌、修辞和批评的了解”。马蒙代尔在他为大百科全书所写的名为“文学的基本要素”的那一部分里,用“文学”一词来指对“纯文学的知识”,并且把它与学部对照起来。他宣称:“只要具备机智、天才和鉴赏能力,不用什么学问,甚至几乎不需要什么文学修养,便可以写出好作品。”正是在法语“文学” 的这一语义学基础上,“比较文学”一词才最早在法国诞生。 韦勒克引用了大量的文献材料来研究“比较文学”这一术语的诞生情况。韦力韦勒克《比较文学的危机》:,见干水昌等编选《比较文学研究译文集》,上海译文出版社1985年7月第 i版,第130页。 首先,韦勒克明确指出:“比较文学”和“总体文学”不可避免地会合而为一。“总体文学”是法国学派梵·第根用以与“比较文学”相对立的一个概念。梵·第根认为,“比较文学”研究两种或两种以上的文学之间的相互关系,而“总体文学”研究超越民族界限的那些文学运动和文学风尚。前面我们已经介绍了韦勒克对法国比较文学学派的态度。他认为这种区别完全站不住脚。为什么莎士比亚对法国文学的影响属于“比较文学”研究的范围,而莎士比亚在世界文学史上的地位和意义以及莎士比亚的艺术风格问题就应该属于“总体文学”研究的范围呢?在《文学理论》第五章中,韦勒克的论点是“比较文学”与“总体文学”是一致的,“比较文学”是“把文学看作一个整体,并且不考虑各民族语言上的差别,去探索文学的发生和发展。”① 韦勒克一贯反对将世界文学按民族和语言做出国别文学或民族文学的区分。在韦勒克的眼里,世界各国和各种语言的文学都是一个整体,所有的“民族文学” 或“国别文学”构成的就是一个“总体文学”的概念。正是在这个意义上,韦勒克才多次说:“`比较’文学和`总体’文学之间的人为界线应当废除。`比较’ 文学已经成为一个确认的术语,指 的是超越了国别文学局界的文学研究。”②韦勒克一向致力于摧毁文学研究中的民族和语言樊篱。在语言问题上,这并不与文学的语言基础相冲突。文学是一种语言的事实,所以文学总是与某种特定的语言密不可分。但这只是问题的一个方面。如果从这个角度出发,仅仅将文学与语言层面联系起来,就只会得出文学就是语言,或诗学就等于语言学的观点。韦勒克从他的文学作品现象学层次分析法来看却是错误的。因为,文学作品可以分为四个层次,即语音层面、意义单元、世界层面和形而上学层面。前两个层面与语言的关系较大,但后两个层面是在语言的基础之上产生出来的,基本上与之无关。所以,韦勒克非常激烈地反对将文学研究与语言研究等同起来,顽强抵制20世纪 西方文学研究中的“语言学帝国主义”倾向。这个问题我们在本书第五章有深入的讨论,此处不再重复。即使在语言问题上,韦勒克也仍然认为世界各语种的文学,至少欧洲文学在格律上也是互相影响,存在相似之处的。文学超语言的观点必然得出这样的结论,即“文学研究应视为不受语言限制的统一学科”。我们已经知道,在韦勒克文论的文学史和批评史内容中,他广泛考察了现代欧洲的伟大。韦勒克、沃伦:《文学理论》,刘象愚等译,三联书店,1984,第44页。韦勒克《:比较文学的危机》,见干永昌等编选《比较文学研究译文集》.上海译文出版社1985年7月第 1版,第130页D 勒克认为,在“比较文学”一词产生之前,早就有对“比较”一词的用法和用“比较’,来研究文学的提法。“比较”一词肇源于拉丁文“。omParatiuvs”(比较)。莎士比亚在《亨利四世》一剧中就用了此词。剧中福斯塔夫在指责亨利王子时说他是“最爱比较、坏透了的可爱的王子。”汤姆斯·沃顿(ThomasWarton)在其开拓性的著作《英国诗歌史》第一卷前言中宣称他将对“其它民族的诗歌做一比较的考察。”但是真正将“比较文学”二词结合在一起使用首见于马瑟·阿诺德(Mhatew为劝old)。他在一封信中说:“现在己经一清二楚:虽然在过去五十年内,只要对比较文学稍加注意便会使任何人对此有所了解,但英国在某种程度上仍远远落后于欧洲大陆。”在法国,学者们写有《比较解剖学》和《哲学体系比较史》。此后1816年有两 位编著者出版了一部法国和英国古典文学选集叫做《比较文学教材》,另外,查理斯·泊让斯P(ougens)也提到过他希望写“一本关于比较文学的书。”但是,这些“比较文学”究竟是什么含义并未得到解释。韦勒克有力地证明了现代意义上的“比较文学”术语最先产生于法国。韦勒克考证认为,法语中最早使用“比较文学”一词的是两位编辑家。早在1816年, 努尔(N成)l和拉普拉斯(LPalace)出版了一部法国、英国文学选集,标题就叫《比较文学教程》(CuolsdeLitt6rattrjeCompar`e)。而“使`比较文学’这一术语在法国流传开来的人无疑是A·F·维耶曼(A·F·Vinmeain)。”①韦勒克对此进行了详细的考证。维耶曼于1828一1829年出版了他在索尔本大学讲授十八世纪文学的讲稿《十八世纪法国文学图示》。书中他多次作用`比较图表’,`比较研究’,`比较历史’这类词语,而且在赞扬一位学者时,即用了`比较文学’(Litt 己ratureComPar朗)一词。在陌生的一系列讲座和书中,他又多次谈到.`比较文学’。自维耶曼以后,这一词在法语中的使用便日趋频繁了。这就是现代意义上的“比较文学”术语的最初源起。二比较文学的性质比较文学的名称是一个很有争议的问题,它的实质、范围等问题同样存在争议。韦勒克批驳了几种对比较文学实质的错误认识,并指出了自己的见解。 ①韦勒克:《比较文学的名称和实质》,见《比较文学研究资料芳,北京师范大学出版社1986年2月第!版, 第22页。 文学运动、时期和风格以及批评历程(如文艺复兴、巴洛克、古典主义、浪漫主义、现实主义、象征主义等),有力地证明了它们是超越了语言、民族与国别界线的。韦勒克的其它一些著述也贯注着这一根本学术立场。比如,德国哲学和批评思想向英国和美国的扩张长期以来都是韦勒克学术研究的主题之一。在他看来,理解19世纪思想史的首要前提就是对这些国家之间的上述关系进行深入研讨。在《面对》一书的序言中,韦勒克曾高度凝炼地概括过自己的学术旨趣。韦勒克认为自大对德英美文学与文论关系的比较研究与民族主义毫无关联。用他自己的话来说,“绝无任何民族主义的非分之想。”wihtouthtehgndngiofnaynational xae)“在我所有的著作里, 第25，26讲 第八章 重 积 分 上一章把一元函数微分学推广到多元函数情形.现在要把一元函数定积分推广为多元函数的多重积分、曲线积分和曲面积分. 定积分（特定构造的和式极限，“高级和”）所讨论的是分布在某区间上的几何量（曲边梯形面积）或物理量（变速直线运动路程）的积累问题.而多重积分，曲线、曲面积分则能求出分布在平面区域，平面曲线，空间曲面上的整体量，以扩大积分学的应用范围. 第一节 二重积分的概念和性质 一、二重积分的概念 1.两个实例 例1 求曲顶柱体的体积. 曲顶柱体是指：以平面上的有界闭区域D 为底，以D 上方的曲面S 为顶，周围是母线平行于z 轴的柱面（见P.306图8-1） 今设曲顶方程为(,),(,)z f x y x y D =∈，且设(,)f x y 连续，，(,)0f x y ≥，求该曲顶柱体的体积.V 解 第一步 ：“分割”— 化整为零. 用一组曲线网将区域D 分成n 个小区域：12,,,n σσσ∆∆∆ ，并用它们记各小区域的面积.，于是大体积相应被分割为n 个曲顶柱体，记体积为：12,,,n v v v ∆∆∆ （见P.306图8-2）. 第二步：“近似代替”— 以平代曲. i σ∆上任意取一点（,)i i ξη，(,)f x y 在D 上连续，∴当分割充分细小时，可用小平顶柱体体积,()i i i f ξησ∆近似代替小曲顶柱体的体积(,)(1,2,,).i i i i v f i n ξησ∆≈∆= 第三步：“求和”— 积零为整. 1 1 (,)n n i i i i i i V v f ξησ===∆≈∆∑∑. 第四步：“取极限”— 由近似到精确. 1 l i m (,)n i i i i V f λξησ→==∆∑， 其中λ是n 个小区域i σ∆的直径最大者，即 1max ()i i n d λσ≤≤=∆. 例2 求不均匀平面薄板的质量（薄即厚度可忽略不计）. 设有一块质量分布不均匀的薄板，在xoy 平面上占有区域D （见P.307图8-3）， 面密度为ρ（,)x y ，求该薄板 的质量M . 第二十一章 重积分 1二重积分的概念 一、平面图形的面积 引例：若构成平面图形P 的点集是平面上的有界点集， 即存在矩形R ，使P ⊂R ，则称平面图形P 有界. 用某一平行于坐标轴的一组直线网T 分割P(如图)，这时 直线网T 的网眼——小闭矩形△i 可分为三类： (1)△i 上的点都是P 的内点； (2)△i 上的点都是P 的外点，即△i ∩P=Ø； (3)△i 上含有P 的边界点. 将所有属于直线网T 的第(1)类小矩形(图中阴影部分)的面积加起来， 记和数为s p (T)，则有s p (T)≤△R (矩形R 的面积)； 将所有第(1)类与第(3)类小矩形(图中粗线所围部分)的面积加起来， 记作S p (T)，则有s p (T)≤S p (T). 由确界存在定理知， 对于平面上所有直线网，数集{s p (T)}有上确界，数集{S p (T)}有下确界， 记T p I sup ={s p (T)} ,T p I inf ={S p (T)}. 显然有0≤p I ≤p I . p I 称为内面积，p I 称为外面积. 定义1：若平面图形P 的内面积p I 等于它的外面积p I , 则称P 为可求面积，并称其共同值I p =p I =p I 为P 的面积. 定理21.1：平面有界图形P 可求面积的充要条件是：对任给ε>0, 总 存在直线网T ，使得S p (T)-s p (T)< ε. 证：[必要性]设P 的面积为I p , 由面积的定义知, I p =p I =p I . ∀ε>0, 由p I 及p I 的定义知，分别存在直线网T 1与T 2，使得 s p (T 1)>I p -2ε, S p (T 2)I p -2ε, S p (T)0, 存在某直线网T ，使得S p (T)-s p (T)<ε. 但s p (T)≤p I ≤p I ≤S p (T)，∴p I -p I ≤S p (T)-s p (T)<ε. 由ε的任意性知， p I =p I ，∴平面图形 P 可求面积. 推论：平面有界图形P 的面积为零的充要条件是它的外面积p I =0，即对任给的ε>0, 存在某直线网T ，使得S p (T)<ε，或 平面图形P 能被有限个其面积总和小于ε的小矩形所覆盖. 定理21.2：平面有界图形P 可求面积的充要条件是：P 的边界K 的面积为0. 证：由定理21.1，P 可求面积的充要条件是：∀ε>0, ∃直线网T ， 使得S p (T)-s p (T)<ε. 即有S K (T)=S p (T)-s p (T)<ε， 由推论知，P 的边界K 的面积为0. 定理21.3：若曲线K 为定义在[a,b]上的连续函数f(x)的图象，则曲线K 的面积为零. 第一节二重积分的概念与性质 第一篇：第一节二重积分的概念与性质 第九章重积分 第一节二重积分的概念与性质 与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”.所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域.它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算.内容分布图示 ★ 曲顶柱体的体积 ★ 非均匀平面薄片的质量 ★ 二重积分的概念 ★ 二重积分的性质 ★ 例 1★ 例 4★ 内容小结 ★习题9-1 ★ 返回 ★ 二重积分的中值定理★ 例2★ 例3 ★ 例5 ★ 课堂练习 内容要点： 一、二重积分的概念 引例1 求曲顶柱体的体积；引例2 求非均匀平面薄片的质量二重积分的定义二、二重积分的性质 性质1—性质6 二重积分与定积分有类似的性质.性质 1 ⎰⎰[αf(x,y)±βg(x,y)]dσ=α⎰⎰f(x,y)dσ±β⎰⎰g(x,y)dσ.DDD 性质2 如果闭区域D可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域D1和D2, 则 ⎰⎰f(x,y)dσ=⎰⎰f(x,y)dσ+⎰⎰f(x,y)dσ.DD1D 2这个性质表明二重积分对积分区域具有可加性.性质3 如果在闭区域D上, f(x,y)=1,σ为D的面积, 则 ⎰⎰1⋅dσ=⎰⎰dσ=σ.DD 这个性质的几何意义是: 以D为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积.性质4 如果在闭区域D上, 有f(x,y)≤g(x,y),则⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰g(x,y)dσ.DD 特别地, 有⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰|f(x,y)|dσ.DD 性质5 设M,m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值, σ为D的面积, 则 mσ≤⎰⎰f(x,y)dσ≤Mσ.D 这个不等式称为二重积分的估值不等式.例题选讲： 二重积分的性质 (x例1不作计算，估计I=⎰⎰e D2+y2)dσ的值，其中D是椭圆闭区域： x2 a2+y2b2≤1(0 二重积分的概念及性质 前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。 二重积分的定义 设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数： (1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）； (2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积； (3)把所有这些乘积相加,即作出和数 (4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作: 即：= 其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域. 关于二重积分的问题 对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。 上述就是二重积分的几何意义。 如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分必定存在。 二重积分的性质 (1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去. (2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和. (3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末: (4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末: ≤ (5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使 其中σ是区域(σ)的面积. 二重积分的计算法 直角坐标系中的计算方法 这里我们采取的方法是累次积分法。也就是先把x看成常量，对y进行积分，然后在对x进行积分，或者是先把y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。为此我们有积分公式，如下： x 第九章 重积分 与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”． 所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而重积分的被积函数是二元函数或三元函数，积分范围是平面上的一个区域或空间中的一个区域． 它们之间存在着密切的联系，重积分可以通过定积分来计算． 第一节 二重积分的概念与性质 本节主要内容 1 引例 2 二重积分的概念 3 二重积分的性质 讲解提纲： 一、引例 引例1 求曲顶柱体的体积 设有曲顶柱体，它的底是xoy 面上的闭区域D ，侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面，顶是曲面),(y x f z =，这里0),(≥y x f 且在上D 连续，求其体积V ． 引例2 求非均匀平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xoy 面上的闭区域D ，它在点 ),(y x 处的面密度为),(y x μ，这里0),(≥y x μ且在D 上连续，求薄片的质量M ． 二、二重积分的定义： 设),(y x f 是有界闭区域D 上的有界函数．将闭区域D 任意分成n 个小闭区域： n σσσ∆∆∆,,,21 ，以i σ∆表示第i 个小闭区域的面积，以i λ表示i σ∆的直径，并令 λi λmax =．在每个i σ∆上任取一点),(i i ηξ，作和式：∑=∆n i i i i f 1 ),(σηξ．如果当0 → λ 时，该积分和的极限存在，则称此极限值为),(y x f 在区域D 上的二重积分，记作 ⎰⎰D d y x f σ),(，即 ∑⎰⎰=→∆=n i i i D i f d y x f 1 ),(lim ),(σηξσλ ． 其中),(y x f 称为被积函数，σd y x f ),(称为积分表达式，σd 称为面积元素，y x ,称为积分变量，D 称为积分区域． 三、二重积分的性质 性质1 设α，β为常数，则 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+D D D d y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα),(),()],(),([． 性质2 如果闭区域D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和．例如D 分为两个闭区域1D 与2D ，则 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=2 1 ),(),(),(D D D d y x f d y x f d y x f σσσ． 这个性质表示二重积分对于积分区域具有可加性． 性质3 如果闭区域D 上，1),(=y x f ，σ为D 的面积，则 ⎰⎰⎰⎰=⋅=D D d d σσσ1． 性质4 设在D 有),(),(y x g y x f ≤，则 ⎰⎰⎰⎰≤D D d y x g d y x f σσ),(),(． 性质5 设M 、m 分别是),(y x f 在闭区域上的最大值和最小值，σ为D 的面积，则有 σσσM d y x f m D ≤≤ ⎰⎰),(． 性质6（中值定理）设函数),(y x f 在闭区域D 上连续，σ为D 的面积，则在D 上至少存在一点),(ηξ，使 σηξσ⋅=⎰⎰),(),(f d y x f D ． 例题选讲： 例1 不作计算估计σd y x I D ⎰⎰++= )944(22 的值，其中D 是圆域：422≤+y x ． 二重积分计算方式 二重积分是微积分中的重要概念之一，用来求解平面上某个区域上的某个量的总和。在本文中，我们将介绍二重积分的计算方式和应用。 一、二重积分的定义及性质 二重积分是通过将一个二元函数在一个区域上进行积分来求解该区域上的某个量的总和。在二重积分中，被积函数的两个自变量分别为x和y，积分区域为D。 1. 定义：设函数f(x,y)在区域D上有定义，D是xy平面上的一个有界闭区域，将D分成许多小区域，记作ΔD。选取ΔD中任意一点(xi,yi)，作函数值f(xi,yi)与ΔDi的乘积f(xi,yi)ΔAi，其中ΔAi为ΔDi的面积。如果极限 $$\lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f(xi,yi) \Delta Ai$$ 存在且与D和ΔD的选取无关，那么称此极限为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作 $$\iint_D f(x,y) dxdy$$ 2. 性质：二重积分具有线性性质和可加性质，即对于任意常数a和b，函数f(x,y)和g(x,y)，以及区域D和E，有以下性质： - 线性性质：$$\iint_D (af(x,y) + bg(x,y)) dxdy = a\iint_D f(x,y) dxdy + b\iint_D g(x,y) dxdy$$ - 可加性质：$$\iint_{D \cup E} f(x,y) dxdy = \iint_D f(x,y) dxdy + \iint_E f(x,y) dxdy$$ 二、二重积分的计算方式 在实际计算二重积分时，常常使用直角坐标系和极坐标系来简化计算。 1. 直角坐标系下的计算方式 在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过迭代积分来进行。假设被积函数为f(x,y)，积分区域为D，可以将二重积分表示为以下形式： $$\iint_D f(x,y) dxdy = \int_a^b \int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y) dy dx$$ 其中a和b为x的范围，c(x)和d(x)为y的范围。 2. 极坐标系下的计算方式 在极坐标系下，二重积分的计算可以通过变量代换来进行。假设被积函数为f(r,θ)，积分区域为D，可以将二重积分表示为以下形式：$$\iint_D f(x,y) dxdy = \int_{θ_1}^{θ_2} \int_{r_1(θ)}^{r_2(θ)} f(r,θ) r dr dθ$$ 其中θ1和θ2为θ的范围，r1(θ)和r2(θ)为r的范围。 三、二重积分的应用 二重积分在物理学、经济学、统计学等领域有广泛的应用，以下列 第九章 重积分 第一节 二重积分的概念及性质 一．二重积分的概念 1．引例 引例1 曲顶柱体的体积 设有一立体的底是xy 面上的有界闭区域D ，侧面是以D 的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面，顶是有二元非负连续函数),(y x f z = 所表示的曲面， 如图9—1所示， 这个立体称为D 上的曲顶柱体，试求该曲顶柱体的体积。 图9—1 图9—2 图9—3 解 对于平柱体的体积底面积高?=V ，然而，曲顶柱体不是平顶柱体，那么具体作法如下 (1)分割 把区域D 任意划分成n 个小闭区域n σσσ???,,,2 1 ，其中i σ?表示第i 个小闭区域， 也表示它的面积。在每个小闭区域内，以它的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面，如图9—2所示。这些柱面就那原来的曲顶柱体分割成n 个小曲顶柱体。 (2)近似 在每一个小闭区域i σ?上任取一点),(i i ηξ，以),(i i f ηξ为高，i σ?为底的平顶柱体 的体积i i i f σηξ?),(近似代替第i 个小曲顶柱体的体积。 i i i f V σηξ?≈?),( (3)求和 这n 个小平顶柱体的体积之和即为曲顶柱体体积的近似值 ∑=?≈?=n i i i i f V V 1),(σηξ (4)取极限 将区域D 无限细分，且每个小闭区域趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于曲顶柱体的体积。即 ∑=→?=n i i i i f V 10 ),(lim σηξλ 其中λ表示这n 个小闭区域i σ?直径中最大值的直径（有界闭区域的直径是指区 域中任意两点间的距离）。 引例2 平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xy 面上的有界闭区域D ，它的密度为D 上的连续函数 ),(y x z ρ=，试求平面薄片的质量。 解 对于均匀平面薄片的质量薄片面积密度?=m ，然而，平面薄片并非均匀，那么具体作法如下 (1)分割 将薄片（即区域D ）任意划分成n 个小薄片n σσσ???,,,2 1 ，其中i σ?表示第i 个 小小薄片，也表示它的面积，如图9—3所示。 (2)近似 在每一个小薄片i σ?上任取一点),(i i ηξ，以),(i i ηξρ为其密度，当i σ?很小时，认 为小薄片是均匀的，则i i i σηξρ?),(近似代替第i 个小薄片的质量。即 i i i m σηξρ?≈?),( (3)求和 这n 个小薄片的质量之和即为薄片的质量的近似值 二重积分 二重积分也是由实际问题的需要而产生的。在一元函数积分学中我们已经知道，定积分是某种特定形式的和的极限，把这种和的极限的概念推广到定义在某个区域上的二元函数的形式，便可得到二重积分的概念。 一． 二重积分的概念 引例1 曲顶柱体的体积 设有一立体，它的底是xoy 平面上的有界闭区域D ，它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面，它的顶是曲面),(y x f z =，这里0),(≥y x f ，且在D 上连续（如图所示）。这种立体称为曲顶柱体。现在我们来讨论它的体积。 关于曲项柱体，当点),(y x 在区域D 上变动时，高),(y x f 是个变量，因此它的体积不能直接用体积公式来计算。不难想到，用求曲边梯形面积的方法来解这个问题。 (1) 分割：我们用一曲线网把区域D 任意分成n 个小区域 1σ∆，2σ∆，…，n σ∆ 小区域i σ∆的面积也记作i σ∆。以这些小区域的边界曲线为准线作母线平行于z 轴的柱面，这些柱面把原来的曲项柱体分为n 个细条的小曲顶柱体。它们的体积分别记作 1V ∆，2V ∆，…，n V ∆ (2) 近似代替：对于一个小区域i σ∆，当直径（i σ∆最长两点的距离）很小时，由于),(y x f 连续，),(y x f 在i σ∆中的变化很小，可以近似地看作常数。即若任意取点∈),(i i ηξi σ∆，则当i y x σ∆∈),(时，有),(y x f ),(i i f ηξ≈，从而以i σ∆为底的细条曲顶柱体可近似地看作以),(i i f ηξ为高的平顶柱体（如图所示）于是 ≈∆i V ),(i i f ηξi σ∆ ),,3,2,1(n i = (3) 求和：把这些细条曲顶柱体体积的近似值),(i i f ηξi σ∆加起来，就得到所求的曲顶柱体体积V 的近似值，即 ∑∑==∆≈∆=n i i i i n i i f V V 11),(σηξ §6 二重积分的概念与计算 提出问题 定积分是计算与一元函数有关的总量的数学模型，但在实践中，常会遇到需计算与多元函数有关的总量的问题，这就需要将一元函数的定积分概念推广到多元函数的重积分. 学习过程 6.1 二重积分的概念与性质 1. 二重积分的概念 （1）求曲顶柱体的体积 设有一立体，它的底是xOy 面上的闭区域 D ，它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面，它的顶面是曲面),(y x f z =.这里0),(≥y x f 且在D 上连续，这种立体叫做曲顶柱体（图10.10）. 我们采用类似于求曲边梯形面积的思想方法来求曲顶柱体的体积 V . ①分割.用任意有限条相交曲线把区域D 分成n 个小区域，即 ,,,,21n δδδ∆∆∆ 同时也用),,2,1(n i i =∆δ表示第i 个小区域的面积.相应地，过每个小区域的边界作垂直于xOy 平面的柱面，则可把曲顶柱体分为n 个小曲顶柱体； ②近似求和.在每个小区域i δ∆上任取一点i i y x ,，用高为),(i i y x f 、底为i δ∆的平顶柱体的体积 i i i y x f δ∆),(来作为第i 个小曲顶柱体体积的近似值.这n 个小平顶柱体体积之和 ∑=n i i yi x f 1 ) ,( 就是曲顶体体积的近似值； ③取极限.当n 个小区域中的最大直径λ（一个闭区域的直径是指区域上任意两点间距离中的最大者）趋于零时，上述和式的极限就是曲顶柱的体积V ，即 . ),(lim 1 )0(∑==∞ →∆=n i i i i n y x f V δλ 这种思想正是定积分的基本思想. （2）二重积分的定义 定义 设函数),(y x f 在有界闭区域D 上有定义.将区域D 任意分成n 个小区域),,,1(n x i i =∆δ， i δ∆也表示第i 个小区域的面积，在每个小区域i δ∆上任取一点),,2,1)(,(n i y x i i =，作和式 ∑=∆n i i i i y x f 1 ),(δ 当,∞→n 同时0→λ时（λ表示所有i δ∆的最大直径），若上述和式的极限 ∑=→∞ →∆n i i i i n y x f 1 )0(),(lim δ λ 存在，并且此极限与区域的分法及点),(i i y x 的取法无关，则称此极限为函数),(y x f z =在区域D 上的二重积分，记作 ⎰⎰∑=→∞ →∆=D n i i i i n y x f d y x f 1 )0(),(lim ),(δ δλ. 其中D 叫做积分区域，),(y x f 叫做被积函数，δd 叫面积元素.此时也称函数),(y x f 在D 上可积. (3) 二重积分的几何意义 如果0),(≥y x f ，则二重积分 ⎰⎰D d y x f δ ),(的几何意义就是以曲面),(y x f z =为顶面，以D 为底面 的曲顶柱体的体积。特别地，当1),(=y x f 时，平顶柱体的体积⎰⎰⎰⎰=⋅=D D d d V δ δ1，在数值上等于区 域D 的面积，于是得计算平面区域D 的面积公式 ⎰⎰=D d δ δ 第九章 重积分 Chapter 9 Multiple Integrals 9.1 二重积分的概念与性质 (The Concept of Double Integrals and Its Properties) 一、二重积分的概念 (Double Integrals) 定义 ( 二重积分的定义 ) 设 D 是xy 平面的有界闭区域 ,f 是定义在 D 上的函数。将 D 任意分成 n 个小区域i σ,它们的面 积用(1,2,)i i n σ∆= 表示。在每个(1,2,)i i n σ=上任取一点(,)i i ξη，并作和1 (,)n i i i i f ξησ=∆∑。假设存在一个确定的数I 满 足：任给0ε>，存在0δ>，使得当各小区域 i σ的直径中的最大值λ小于δ时，就有 1 (,)n i i i i f I ξησε=∆-<∑ 不管区域D 的分法如何，(,)i i ξη的取法如何。这样就称f 在D 上可积，I 称为f 在D 上的二重积分，记作(,)D f x y d I σ=⎰⎰或0 1 (,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰n i i i i D f x y d f Definition (The Double Integral) Let D be a bounded closed region in the 巧 1 plane and f a function defined on D. Partition D arbitrarily into ｎsubregions i σ，whose area is denoted by (1,2,)i i n σ∆= Choose arbitrarily a point (,)i i ξη in (1,2,)i i n σ= and then form the sum 1 (,)n i i i i f ξησ=∆∑。Suppose that there exists a fixed number I such that for any 0ε>, there exists a 0δ>such that if the length λ of the longest diameter of those subregions i σ in a partition of D is less than δ, then 1 (,)n i i i i f I ξησε=∆-<∑， no matter how the partition is and how those points (,)i i ξηare chosen from (1,2,)i i n σ= Then f is said to be integrable over D and I is the double integral of f over D ,written (,)D f x y d I σ=⎰⎰,or 1 (,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰ n i i i i D f x y d f 二、二重积分的性质 (Properties of Double Integrals) 性质 1 两个函数和 ( 或差 ) 的二重积分等于它们二重积分的和 ( 或差 ), 即 ((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰. Property 1 The double integral of the sum(or difference) of two functions is equal to the sum( or difference) of their double integrals, that is ((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 性质 2 被积函数前面的常数因子可以提到积分号前面 , 即 (,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰,若k 为常数。 Property 2 The constant factor in the integrand function can be taken out of the double integral, that is (,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ =⎰⎰⎰⎰,if k is a constant. 性质 3 二重积分关于积分区域具有可加性 , 即如果D 被 分成两个区域 1D 和 2D ,1 2D D 的面积为 0, 则有 12 (,)(,)(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰. Property 3 The double integral is additive with respect to the integration 第二十一章 重积分 §1二重积分概念 1.把重积分D xyd s 蝌作为积分和的极限，计算这个积分值，其中[0,1][0,1]D =?并 用直线网,(,1,2,1)i i x y i j n n n = ==-分割这个正方形为许多小正方形， 每一小正方形取其右上顶点为其节点。 证明：22n 24i=1 j=1 11(1)1lim lim 44 n x x D i j n n xydxdy n n n n +=鬃==邋 蝌 2.证明：若函数(,)f x y 在有界闭区域D 上可积，则(,)f x y 在D 上有界。 证明：假设(,)f x y 在D 上可积，但在D 上无界。则对D 的任一分割T={}n 12s ,s , s ,(,)f x y 必在某个小区间k s 上无界。 当i k ¹时，任取i i p 蝧，令G= (),(,),i i i k D f p I f x y dxdy ¹s = å 蝌 由于(,)f x y 在k s 上无界，即存在k k p 蝧使得1()k k I G f p ++> s 。从而 1 () ())()() ()2 1. (*) n i i i i k k k k i k i i k i k f p f p f p f p f p =构s = s +s 硈- s >+邋? 另一方面，由于(,)f x y 在D 上可积，取1e =，故存在0d >，对任意D 的分割 n {}T 12=s ,s , s 当T <δ时， i 1 i=1 1 *f x y D n T I ¹-<åå n i i i i 的任一分f(p σ)都满足 f(p )σ而（）式与此矛盾，所以，(,)在上有界 3.证明二重积分中值定理（性质7）。 证明：函数(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，则(,)f x y 在D 上存在最大值M 与最小值m ，且对D 中一切(,)x y 点，有(,).m f x y M ＃ 有性质6知，,(,)D D D mS f x y d MS ££蝌σ 第九单元 二重积分 一、概念与性质 1、定义：设二元函数z=f(x,y)在平面有界闭区域D 上有定义，将D 任意分成n 个小区域,,,21n σσσ∆∆∆Λ第i 个小区域的面积也记为 ,i σ∆在每个小区域i σ∆上任取一点P i (x i ,y i ),当小区域的最大直径 0→λ时，i i n i i y x f σ λ∆∑=→),(lim 1 存在，且极限值与区域D 的 分法和点P i (x i ,y i )的取法无关，则称这个极限值为f(x,y)在D 上的二重积分，记为)(),(lim ),(10 面积元素σσσλd y x f d y x f D i i n i i ⎰⎰∑∆==→ 2、几何意义：以z=f(x,y)为曲顶，D 为底，母线平行于z 轴的曲顶 柱体的体积。 3、物理意义：D 为平面薄片，),(y x f =μ为点（x,y ）处的密度时， ⎰⎰D d y x f σ),(为平面薄片的质量。 4、二重积分存在定理：如果f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则 ⎰⎰D d y x f σ),(存在。 5、基本性质：设f(x,y)在有界闭区域D 上可积，则有： ①⎰⎰⎰⎰=D D d y x f k d y x kf σσ),(),( ②⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±D D D d y x g d y x f d y x g y x f σσσ),(),()],(),([ ③在D 上，若f(x,y)=1，且D 的面积为σ，则有σσ=⋅⎰⎰D d 1 ④如果可以用有限条曲线将D 分成两个区域D 1，D 2，则 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=2 1 ),(),(),(D D D d y x f d y x f d y x f σσσ ⑤若在D 上有f(x,y)≤g(x,y),则有⎰⎰⎰⎰≤D D d y x g d y x f σσ),(),( 二重积分的概念 如果一个向量可以由基向量和一个法向量构成，那么称这两个向量叫做共线向量。显然，共线向量的方向决定于这两个向量之间的关系。例如，如果将一个平面绕基向量旋转180°，则所得到的两个向量与原平面上的两个向量不共线，但它们的方向依旧相同。同样，一个平面绕其法向量旋转180°，所得到的两个向量与原平面上的两个向量也不共线，但它们的方向依旧相同。因此，共线向量必须满足四个条件：①共线向量的方向始终取决于两个向量的关系；②共线向量的方向不随两个向量的变化而变化；③共线向量的方向保持不变； ④共线向量在两个向量之间的夹角范围内。 但是在不考虑通过基向量来改变它们方向的情况下，只需要满足三个条件：①共线向量的方向始终取决于两个向量的关系；②共线向量的方向不随两个向量的变化而变化；③共线向量的方向保持不变。 一、定义1、定义在向量空间S上，如果把S分成a个小区域，这些小区域可以用公共的向量表示，我们就说这些小区域构成一个向量空间S的子空间。这个定义的结论可以由定理推出。设有两个不同的向量分别是，和，它们之间的关系为，我们就说这两个向量为同一向量空间S上的向量，简称向量。记为。 2、性质1)有向线段：有两个向量A和B组成的向量叫有向线段。有向线段的长度等于两[gPARAGRAPH3]之间的距离。例如，和的有向线段为和，即有两种情况，①若和=则两个向量互相垂直，②若和=则两个向量共线。 2、如果在某向量空间S，定义了正数的有向线段，那么S中所有向量都有至少一条有向线段，而且所有有向线段的和都等于1。 3、有向线段的和与单位向量的和相同。如果两个向量都是单位向量，那么两个有向线段的和等于单位向量的和；如果两个向量都不是单位向量，那么两个有向线段的和等于0。 3、两个向量A和B，通过向量加法，可以合并成一个向量C；反过来，如果一个向量可以由另外一个向量和基向量构成，那么这两个向量可以用基向量加上任意两个向量的差来表示，这种两个向量间的运算被称为向量的“加法”或“合成”。 二重积分的概念和计算方法 在数学中，我们经常遇到需要对二维区域上的函数进行求和或求平 均的情况。为了解决这类问题，人们引入了二重积分的概念。本文将 探讨二重积分的概念以及常见的计算方法。 一、二重积分的概念 二重积分是对二维平面上的函数进行求和的操作。它可以看作是将 一个二维区域分割成无穷多个小的矩形，然后对每个小矩形内的函数 值进行求和的过程。一般来说，我们通过累次积分的方法来计算二重 积分。 对于函数f(x, y)在区域D上的二重积分，可以表示为： ∬f(x, y)dA 其中，D表示二维区域，dA表示微元面积。二重积分的结果是一 个数值，代表了函数f(x, y)在区域D上的总体特征。 二、二重积分的计算方法 1. 直角坐标系下的二重积分 在直角坐标系下，计算二重积分需要先确定积分范围。一般情况下，我们将区域D分割成一个个小矩形或小三角形，根据积分的性质进行 求和。 对于给定的函数f(x, y)，其在区域D上的二重积分可以表示为： ∬f(x, y)dA = ∫∫f(x, y)dxdy 其中，积分区域D的边界可以表示为[a, b]和[c(x), d(x)]，其中c(x)和d(x)是关于x的函数。 通过确定积分的次序和边界，我们可以将二重积分转化为一重积分的形式，然后按照一重积分的计算方法进行求解。 2. 极坐标系下的二重积分 在某些情况下，使用极坐标系进行二重积分的计算更为方便。特别是当积分区域具有简单的几何形状，如圆形、扇形或圆环等情况下， 使用极坐标系可以简化计算过程。 对于给定的函数f(x, y)，在极坐标系下的二重积分可以表示为： ∬f(x, y)dA = ∫∫f(r, θ)rdrdθ 其中，积分区域D的边界可以表示为[r1(θ), r2(θ)]和[a, b]，其中r1(θ)和r2(θ)是关于θ的函数。 通过确定积分的次序和边界，我们可以将二重积分转化为一重积分的形式，然后按照一重积分的计算方法进行求解。 3. 格林公式的应用 在某些情况下，利用格林公式可以简化二重积分的计算。格林公式是一种与闭曲线和曲面积分相关的重要公式，它将曲面积分转化为曲 线积分的形式。 根据格林公式，对于给定的函数f(x, y)和区域D，利用曲面积分可以计算二重积分的结果，即： CH 19 积分（二重，三重积分，第一类曲线，曲面积分）的定义和 性质 1．重积分的概念 （1） 定义：二重积分表示一种类型和式的极限 σd y x f D ⎰⎰ ),(∑ =→∆=n i i i i f 1 ),(lim σηξλ，三重积分表 示 ⎰⎰⎰ D dV z y x f ),,(∑ =→∆=n i i i i i v f 1 ),,(lim ςηξλ,其值均取决于被积函数的对应规则和积分区 域，而与积分变量的记号无关。连续是可积的充分条件，二者的不同点是：二重积分的被积函数是定义在平面区域D 上的二元函数，而三重积分的被积函数是定义在空间区域Ω上的三元函数。 （2） 几何与物理意义：当0),(≥y x f 时， σd y x f D ⎰⎰ ),(表示以曲面),(y x f z =为曲顶，以D 为 底的柱体体积，或表示以面积密度),(y x f =μ的平面薄片D 的质量。当0),,(≥z y x f ， ⎰⎰⎰ D dV z y x f ),,(表示体密度),,(z y x f =μ的空间立体Ω的质量。 （3） 性质：重积分具有与定积分类似的线性性质，对区域的可加性，积分不等式，以及积分中值定理。 2．第一类曲线积分与第二类曲线积分的定义 （1） 由曲线形构件的质量问题引入对弧长的曲线积分，其定义简记为 ⎰ l ds y x f ),(∑ =→∆=n i i i i S f 1 ),(lim ηξλ 其中函数),(y x f 在曲线l 上有定义切有界，i S ∆是对l 的任意分割下的i 段的长度0≥i S ， }{max 1i n i S ∆=≤≤λ。 （2） 由求变力沿曲线所作功等问题，可引入对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）的概念，其定义简记为 ⎰l dx y x P ),(∑=→∆=n i i i i x P 10 ),(lim ηξ λ ⎰l dy y x Q ),(∑=→∆=n i i i i y Q 1 ),(lim ηξ λ l ，λ的意义同前，i x ∆，i y ∆为小弧段在坐标轴上的投影，其正负与l 的方向有关。 3．两类曲面积分的定义 （1） 由计算曲面片的质量问题引入对面积的区面积分，其定义简记为 7.1二重积分的基本概念（教案） 主讲人：孙杰华 教学目的：理解二重积分的概念、性质 教学重难点：二重积分的概念、二重积分的几何意义. 教学方法：讲授为主 教学内容： 一、二重积分的概念 1．曲顶柱体的体积 设有一空间立体Ω,它的底是xoy 面上的有界区域D ,它的侧面是以D 的边界曲线为准线,而母线平行于z 轴的柱面,它的顶是曲面(.)z f x y =，称这种立体为曲顶柱体. 与求曲边梯形的面积的方法类似，我们可以这样来求曲顶柱体的体积V : (1)用任意一组曲线网将区域D 分成n 个小区域1σ∆，2σ∆，L ，n σ∆，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n 个小曲顶柱体1∆Ω，2∆Ω，L ，n ∆Ω. （假设i σ∆所对应的小曲顶柱体为i ∆Ω,这里i σ∆既代表第i 个小区域,又表示它的面积值, i ∆Ω既代表第i 个小曲顶柱体,又代表它的体积值.)，从而1 n i i V ==∆Ω∑． 图7.1 (2)由于(,)f x y 连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大．因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是 (,),((,))i i i i i i i f ξησξησ∆Ω≈∆∀∈∆. (3)整个曲顶柱体的体积近似值为 1 (,)n i i i i V f ξησ=≈∆∑. (4)为得到的精确值,只需让这个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩．为此,我们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者. 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零. 设n 个小区域直径中的最大者为λ,则 1 lim (,),(,)n i i i i i i i V f λξησξησ→==∆∀∈∆∑. 2．二重积分的定义 设(),f x y 是闭区域D 上的有界函数, 将区域D 分成个小区域 12,,,,n σσσ∆∆∆L 其中,i σ∆既表示第i 个小区域,也表示它的面积, i λ表示它的直径. 1max{}(,)i i i i i n λλξησ≤≤=∀∈∆， 作乘积(,)(1,2,)i i i f i n ξησ∆=L ， 作和式 1 (,)n i i i i f ξησ =∆∑， 若极限()0 1 lim ,n i i i i f λξησ →=∆∑存在,则称此极限值为函数(),f x y 在区域D 上的二重积分,记 作 (),D f x y d σ⎰⎰.即 (),D f x y d σ=⎰⎰()0 1 lim ,n i i i i f λξησ →=∆∑． 其中:(),f x y 称之为被积函数,(),f x y d σ称之为被积表达式,d σ称之为面积元素, ,x y 称之为积分变量,D 称之为积分区域. V n ) ,(y x f z =D 1.曲顶柱体的体积 1)“分割” 用任意曲线网分D 为n 个区域 n σσσ∆∆∆,,,21 2求非均匀平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xoy 面上的闭区域 D ，它在点),(y x 处的面密度为),(y x μ， 这里0),(≥y x μ且在D 上连续，求薄片的质量M ． 令 2)“近似” 在每个 k σ∆中任意取一点 ,),(k k ηξ则 ) ,,2,1(),(n k f V k k k k =∆≈∆σηξ3)“求和” ∑=∆≈n k k k k f 1 ),(σηξ∑=∆=n k k V V 1 4)“取极限” 的直径为定义k σ∆{} k k ,P P P P σσλ∆∈=∆2121max )({} )(max 1k n k σλλ∆=≤≤∑=→∆=n k k k k f V 1 ),(lim σηξλ对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以 将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,以不变之高代替 变高, 求 k σ∆近似值 积零为整, 得曲顶柱体体积之近似值 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大 者。所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。 取极限让近似值向精 确值转化 令 2)“近似” 在每个 k σ∆中任意取一点 ,),(k k ηξ则 ) ,,2,1(),(n k M k k k k =∆≈∆σηξμ3)“求和” 4)“取极限” 的直径为定义k σ∆{} k k ,P P P P σσλ∆∈=∆2121max )({} )(max 1k n k σλλ∆=≤≤1)“分割” 用任意曲线网分D 为n 个区域 n σσσ∆∆∆,,,21 相应把薄片也分成小区域 ) ,,2,1(),(1 1 n k M M k n k k k n k k =∆≈∆=∑∑==σηξμ∑=→∆=n k k k k M 1 ),(lim σηξμλ两个问题的共性：高数第八章
数学分析21.1二重积分的概念(含习题及参考答案)
第一节二重积分的概念与性质
二重积分的概念及性质
二重积分单独讲解
二重积分计算方式
第一节二重积分的概念及性质教案
二重积分
双重积分
二重积分的概念与性质
第二十一章二重积分
第九单元----二重积分
二重积分的概念
二重积分的概念和计算方法
19积分(二重,三重积分,第一类曲线,曲面积分)的定义和性质
二重积分的概念与性质教案
二重积分的定义