数学建模竞赛参考答案
数学建模试卷及参考答案
数学建模试卷及参考答案一、选择题1. 已知函数 $y = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7$，求导数函数 $y'$ 的值。
A) $6x^2 - 10x + 3$\B) $6x - 10x^2 + 3$\C) $6x - 10x + 3$\D) $6x^2 - 10x^2 + 3$答案：A2. 设矩形的长为 $x$，宽为 $y$，满足 $x^2 + y^2 = 25$。
当矩形的面积最大时，求矩形的长和宽。
A) 长为 4，宽为 3\B) 长为 5，宽为 3\C) 长为 4，宽为 2.5\D) 长为 5，宽为 2.5答案：A3. 一条直线过点 $A(1,2)$ 和点 $B(3,-1)$，与另一条直线 $2x + y - 4 = 0$ 平行。
求该直线的方程。
A) $2x - y + 3 = 0$\B) $2x - y - 3 = 0$\C) $-2x + y - 3 = 0$\D) $2x - y - 5 = 0$答案：B4. 已知函数 $y = e^x$，求 $y$ 的微分值。
A) $e^x$\B) $e^x + C$\C) $e^x - C$\D) $C \cdot e^x$答案：A5. 一辆汽车以每小时 60 公里的速度行驶，途中经过两座相距 60 公里的城市。
假设两座城市间有一辆以每小时90 公里的速度行驶的列车，两车同时出发。
求两辆车首次相遇的时间。
A) 0.5 小时\B) 1 小时\C) 1.5 小时\D) 2 小时答案：A二、填空题6. 已知函数 $f(x) = \sin(x)$，求函数 $g(x) = f^{\prime}(x)$。
答案：$g(x) = \cos(x)$7. 若直线 $3x + ky = 2$ 与直线 $2x - y = 3$ 相垂直，则 $k$ 的值为\_\_\_。
答案：$k = 6$8. 设抛物线 $y = ax^2 - 3x + 2$ 的顶点为 $(2,1)$，则 $a$ 的值为\_\_\_。
数学建模试卷及参考答案
数学建模 试卷及参考答案一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分）1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5分）答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。
2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5分)答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。
3、人工神经网络方法有什么特点？(5分)答：（1）可处理非线性；（2）并行结构．；（3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大；（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。
二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）1、 某人早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达山顶并留宿.次日早8:00沿同一路径下山,下午5:00回到旅店.证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分) 证明:记出发时刻为t=a,到达目的时刻为t=b,从旅店到山顶的路程为s.设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t),t 是一天内时刻变量，则f(t),g(t)在[a,b]是连续函数。
作辅助函数F(t)=f(t)-g(t),它也是连续的，则由f(a)=0,f(b)>0和g(a)>0,g(b)=0,可知F （a ）<0, F(b)>0,由介值定理知存在t0属于(a,b)使F(t0)=0, 即f(t0)=g(t0) 。
2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15分)解:模型构成记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ，k=1，2,........，k x ，k y =0，1，2，3。
将二维向量k s =（k x ，k y ）定义为状态。
安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做S 。
数学建模竞赛 参考答案
数学建模竞赛参考答案数学建模竞赛参考答案数学建模竞赛是一项旨在培养学生数学建模能力和创新思维的竞赛活动。
参赛者需要在规定的时间内，针对给定的问题，运用数学知识和方法进行建模、分析和求解。
本文将为大家提供一些数学建模竞赛的参考答案，希望对参赛者有所帮助。
一、问题一：汽车油耗模型该问题要求建立一个汽车油耗模型，预测在不同的驾驶条件下，汽车的油耗情况。
首先，我们需要收集一些相关的数据，如汽车的型号、发动机排量、行驶里程、驾驶时间、驾驶速度等。
然后，我们可以使用多元线性回归模型来建立汽车油耗模型。
模型的建立如下：油耗= β0 + β1 * 发动机排量+ β2 * 行驶里程+ β3 * 驾驶时间+ β4 * 驾驶速度其中，β0、β1、β2、β3、β4为待求系数。
我们可以使用最小二乘法来估计这些系数。
通过对收集到的数据进行拟合，可以得到最优的系数估计值，并进一步预测不同驾驶条件下的汽车油耗情况。
二、问题二：物流配送路径规划该问题要求设计一个物流配送路径规划模型，以最小化配送成本和时间。
首先，我们需要收集一些相关的数据，如物流中心的位置、客户的位置、货物的重量和体积、道路交通情况等。
然后，我们可以使用网络流模型来建立物流配送路径规划模型。
模型的建立如下：目标函数：最小化总配送成本和时间约束条件：1. 每个客户都必须被配送到，并且每个物流中心只能配送给特定的客户。
2. 配送路径必须满足道路交通规则和限制条件。
3. 货物的重量和体积必须满足配送车辆的载重和容量限制。
我们可以使用线性规划或整数规划方法来求解该模型。
通过对收集到的数据进行建模和求解，可以得到最优的物流配送路径规划方案，以实现最小化成本和时间的目标。
三、问题三：疫情传播模型该问题要求建立一个疫情传播模型，预测疫情在不同地区的传播情况。
首先，我们需要收集一些相关的数据，如人口数量、人口流动情况、疫情传染率、潜伏期、治愈率等。
然后，我们可以使用传染病传播模型来建立疫情传播模型。
数学建模答案（完整版）
1 建立一个命令M 文件:求数60.70.80,权数分别为1.1，1.3,1.2的加权平均数。
在指令窗口输入指令edit ，打开空白的M 文件编辑器；里面输入s=60*1.1+70*1.3+80*1.2;ave=s/3然后保存即可2 编写函数M 文件SQRT.M;函数 x=567.889与0.0368处的近似值（保留有()f x =效数四位）在指令窗口输入指令edit ，打开空白的M 文件编辑器；里面输入syms x1 x2 s1 s2 zhi1 zhi2 x1=567.889;x2=0.368;s1=sqrt(x1);s2=sqrt(x2);zhi1=vpa(s1,4)zhi2=vpa(s2,4)然后保存并命名为SQRT.M 即可3用matlab 计算的值,其中a=2.3,b=4.89.()f x >> syms a b >> a=2.3;b=4.89;>> sqrt(a^2+b^2)/abs(a-b)ans = 2.08644用matlab 计算函数在x=处的值.()f x =3π>> syms x >> x=pi/3;>> sqrt(sin(x)+cos(x))/abs(1-x^2)ans = 12.09625用matlab 计算函数在x=1.23处的值.()arctan f x x =+>> syms x >> x=1.23;>> atan(x)+sqrt(log(x+1))ans = 1.78376 用matlab 计算函数在x=-2.1处的值.()()f x f x ==>> syms x >> x=-2.1;>> 2-3^x*log(abs(x))ans =1.92617 用蓝色.点连线.叉号绘制函数在[0,2]上步长为0.1的图像.>> syms x y>> x=0:0.2:2;y=2*sqrt(x);>> plot(x,y,'b.-')8 用紫色.叉号.实连线绘制函数在上步长为0.2的图像.ln 10y x =+[20,15]-->> syms x y>> x=-20:0.2:-15;y=log(abs(x+10));>> plot(x,y,'mx-')ln 10[20,y x =+--9 用红色.加号连线 虚线绘制函数在[-10,10]上步长为0.2的图像.sin(22x y π=->> syms x y;>> x=-10:0.2:10;y=sin(x/2-pi/2);>> plot(x,y,'r+--')10用紫红色.圆圈.点连线绘制函数在上步长为0.2的图像.sin(2)3y x π=+[0,4]πsin(2)sin()[0,4]322x y x y πππ=+=->> syms x y >> x=0:0.2:4*pi;y=sin(2*x+pi/3);>> plot(x,y,'mo-.')11 在同一坐标中,用分别青色.叉号.实连线与红色.星色.虚连线绘制y=与.y =>> syms x y1 y2>> x=0:pi/50:2*pi;y1=cos(3*sqrt(x));y2=3*cos(sqrt(x));>> plot(x,y1,'cx-',x,y2,'r*--')12 在同一坐标系中绘制函数这三条曲线的图标,并要求用两种方法加234,,y x y x y x ===各种标注.234,,y x y x y x ===>> syms x y1 y2 y3;>> x=-2:0.1:2;y1=x.^2;y2=x.^3;y3=x.^4;plot(x,y1,x,y2,x,y3);13 作曲线的3维图像2sin x t y t z t ⎧=⎪=⎨⎪=⎩>> syms x y t z >> t=0:1/50:2*pi;>> x=t.^2;y=sin(t);z=t;>> stem3(x,y,z)14 作环面在上的3维图像(1cos )cos (1cos )sin sin x u v y u v z u =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩(0,2)(0,2)ππ⨯>> syms x y u v z>> u=0:pi/50:2*pi;v=0:pi/50:2*pi;>>x=(1+cos(u)).*cos(v);y=(1+cos(u)).*sin(v);z=sin(u);>> plot3(x,y,z)15 求极限0lim x +→0lim x +→>> syms x y >> y=sin(2^0.5*x)/sqrt(1-cos(x));>> limit(y,x,0,'right') ans = 216 求极限1201lim (3x x +→>> syms y x >> y=(1/3)^(1/(2*x));>> limit(y,x,0,'right') ans = 017求极限lim x >> syms x y >> y=(x*cos(x))/sqrt(1+x^3);>> limit(y,x,+inf) ans = 018 求极限21lim (1x x x x →+∞+->> syms x y >> y=((x+1)/(x-1))^(2*x);>> limit(y,x,+inf) ans = exp(4)19 求极限01cos 2lim sin x xx x →->> syms x y >> y=(1-cos(2*x))/(x*sin(x));>> limit(y,x,0) ans = 220 求极限 x →>> syms x y >> y=(sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/x;>> limit(y,x,0) ans = 121 求极限2221lim 2x x x x x →+∞++-+>> syms x y >> y=(x^2+2*x+1)/(x^2-x+2);>> limit(y,x,+inf) ans = 122 求函数y=的导数5(21)arctan x x -+>> syms x y >> y=(2*x-1)^5+atan(x);>> diff(y) ans = 10*(2*x - 1)^4 + 1/(x^2 + 1)23 求函数y=的导数2tan 1x x y x=+>> syms y x>> y=(x*tan(x))/(1+x^2);>> diff(y)ans =tan(x)/(x^2 + 1) + (x*(tan(x)^2 + 1))/(x^2 + 1) - (2*x^2*tan(x))/(x^2 + 1)^224 求函数的导数3tan x y e x -=>> syms y x >> y=exp^(-3*x)*tan(x)>> y=exp(-3*x)*tan(x) y = exp(-3*x)*tan(x) >> diff(y) ans = exp(-3*x)*(tan(x)^2 + 1) - 3*exp(-3*x)*tan(x)25 求函数y=在x=1的导数22ln sin 2x x π+>> syms x y >> y=(1-x)/(1+x);>> diff(y,x,2) ans = 2/(x + 1)^2 - (2*(x - 1))/(x + 1)^3 >> syms x y >> y=2*log(x)+sin(pi*x/2)^2;>> dxdy=diff(y) dxdy = 2/x + pi*cos((pi*x)/2)*sin((pi*x)/2)zhi=subs(dxdy,1)zhi = 226 求函数y=的二阶导数01cos 2lim sin x x x x →-11x x-+>> syms x y>> y=(1-x)/(1+x);>> diff(y,x,2) ans = 2/(x + 1)^2 - (2*(x - 1))/(x + 1)^327 求函数的导数;>> syms x y >> y=((x-1)^3*(3+2*x)^2/(1+x)^4)^0.2;>> diff(y) ans = (((8*x + 12)*(x - 1)^3)/(x + 1)^4 + (3*(2*x + 3)^2*(x - 1)^2)/(x + 1)^4 - (4*(2*x + 3)^2*(x - 1)^3)/(x + 1)^5)/(5*(((2*x + 3)^2*(x - 1)^3)/(x + 1)^4)^(4/5))28在区间()内求函数的最值.,-∞+∞43()341f x x x =-+>> f='-3*x^4+4*x^3-1';>> [x,y]=fminbnd(f,-inf,inf)x =NaN y = NaN >> f='3*x^4-4*x^3+1';>> [x,y]=fminbnd(f,-inf,inf)x = NaN y = NaN29在区间(-1,5)内求函数发的最值.()(f x x =->> f='(x-1)*x^0.6';>> [x,y]=fminbnd(f,-1,5)x =0.3750y = -0.3470>> >> f='-(x-1)*x^0.6';>> [x,y]=fminbnd(f,-1,5)x = 4.9999y = -10.505930 求不定积分(ln 32sin )x x dx -⎰(ln 32sin )x x dx -⎰>> syms x y >> y=log(3*x)-2*sin(x);>> int(y) ans = 2*cos(x) - x + x*log(3) + x*log(x)31求不定积分2sin x e xdx ⎰>> syms x y>> y=exp(x)*sin(x)^2;>> int(y)ans =-(exp(x)*(cos(2*x) + 2*sin(2*x) - 5))/1032. 求不定积分 >> syms x y >> y=x*atan(x)/(1+x)^0.5;>> int(y)Warning: Explicit integral could not be found. ans = int((x*atan(x))/(x + 1)^(1/2), x)33.计算不定积分2(2cos )x x x e dx --⎰>> syms x y >> y=1/exp(x^2)*(2*x-cos(x));>> int(y)Warning: Explicit integral could not be found. ans = int(exp(-x^2)*(2*x - cos(x)), x)34.计算定积分10(32)xe x dx -+⎰>> syms x y >> y=exp(-x)*(3*x+2);>> int(y,0,1) ans = 5 - 8*exp(-1)10(32)x e x dx -+⎰35.计算定积分0x →120(1)cos x arc xdx+⎰>> syms y x>> y=(x^2+1)*acos(x);>> int(y,0,1)ans =11/936.计算定积分10cos ln(1)x x dx +⎰>> syms x y >> y=(cos(x)*log(x+1));>> int(y,0,1)Warning: Explicit integral could not be found. ans = int(log(x + 1)*cos(x), x == 0..1)37计算广义积分;2122x x dx +∞++-∞⎰>> syms y x >> y=(1/(x^2+2*x+2));>> int(y,-inf,inf) ans = pi 38.计算广义积分；20x dx x e +∞-⎰>> syms x y>> y=x^2*exp(-x);>> int(y,0,+inf)ans =2。
专科数学建模竞赛试题及答案
专科数学建模竞赛试题及答案试题：某工厂生产一种产品，该产品由三个不同的生产阶段组成，每个阶段的生产效率和成本不同。
第一阶段的生产效率为每小时生产10个单位，成本为每个单位5元；第二阶段的生产效率为每小时生产8个单位，成本为每个单位6元；第三阶段的生产效率为每小时生产6个单位，成本为每个单位7元。
假设工厂每天工作8小时，并且每个阶段的生产能力是独立的。
问题一：如果工厂希望每天生产至少100个单位的产品，那么每个阶段每天至少需要生产多少单位？问题二：在满足问题一的条件下，工厂每天的生产成本是多少？问题三：如果工厂希望降低生产成本，但每天至少需要生产100个单位的产品，那么每个阶段的生产效率需要提高多少？答案：问题一解答：为了满足每天至少生产100个单位的产品，我们可以设第一阶段每天生产x个单位，第二阶段生产y个单位，第三阶段生产z个单位。
根据题目条件，我们有以下方程组：\[ x + y + z \geq 100 \]\[ \frac{x}{10} + \frac{y}{8} + \frac{z}{6} \leq 8 \]解这个方程组，我们可以得到第一阶段至少需要生产40个单位（因为40是10的倍数且满足总生产量至少100的条件），第二阶段至少需要生产24个单位（因为24是8的倍数且满足总生产量至少100的条件），第三阶段至少需要生产33个单位（因为33是6的倍数且满足总生产量至少100的条件）。
问题二解答：在问题一的基础上，我们可以计算每天的生产成本。
第一阶段的成本为40单位 * 5元/单位 = 200元，第二阶段的成本为24单位 * 6元/单位 = 144元，第三阶段的成本为33单位 * 7元/单位 = 231元。
因此，每天的总生产成本为200元 + 144元 + 231元 = 575元。
问题三解答：为了降低生产成本，我们需要提高每个阶段的生产效率。
假设第一阶段的生产效率提高到每小时生产a个单位，第二阶段提高到每小时生产b个单位，第三阶段提高到每小时生产c个单位。
广东第二师范学院数学建模竞赛样题参考答案
广东第二师范学院数学建模竞赛样题参考答案一．相遇概率设甲乙两人分别在12点x 分及y 分等可能的到达约定地点，显然，600,600≤≤≤≤y x .若两个人相遇，则有10≤-y x ，其中样本空间为{}600,600|),(≤≤≤≤=y x y x A构成平面直角坐标系中的正方形，见右图：相遇空间为{}10|),(≤-=y x y x G则其相遇概率为306.060605021260602≈⨯⨯⨯-⨯==A G S S P . 二．借书数量设该专任教师已借出书的册数是时间t 的函数)(t x （时间以月为单位），由于专任教师每天借一本书，即一个月借30本，而图书馆平均每月收回借出书的52.则)(t x 满足的微分方程（数学模型）是：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=0)0(3052x x dt dx这是一阶线性常微分方程满足条件0)0(=x 的初值问题，由常数变易法得到该初值问题的解为：)1(75)(52t et x --=由于75)1(75lim )(lim 52=-=-+∞→+∞→t t t et x , 故在充分长的时间内，这位专任教师大约借出了75本书.三．盐量变化设)(t x 为t 时刻容器内的盐量，开始注水时0=t ，则10)0(=x .由于每分钟注入3升0.01公斤/升的盐水，即每分钟加进0.03公斤的盐.另外由于每分钟注入3升盐水，抽出2升盐水，故在t 时刻容器内溶液量为)23(100-+t 升，所以t 时刻溶液浓度为tt x +100)(所以在t 时刻抽出盐量的速度为 tt x +100)(2从而)(t x 应满足的微分方程及初始条件为 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=10)0(100203.0x t x dt dx解得 2)100(90000)100(01.0)(t t t x +++= 当60=t 时，115625.5)60100(90000)60100(01.0)60(2=+++=x所以60分钟后，容器内尚剩5.115625公斤的盐.四．糕点产量为方便起见，设精制糕点和普通糕点的产量分别为10x 千克和10y 千克，糕点的利润为Z （千元），由题意得此问题的数学模型为： y x Z 23max +=s.t. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,01531222153y x y x y x y x这是一个线性规划问题. 模型的求解： 用图解法.可行域为：由直线,0153:1222:153:3:21===+=+=+y x y x l y x l y x l 及组成的凸五边形区域.直线C y x l =+23:在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当l 过32l l 与的交点时，Z 取最大值. 由⎩⎨⎧=+=+1531222y x y x 解得：23,29==y x 5.16232293max =⨯+⨯=Z （千元）. 故生产精制糕点和普通糕点分别为45千克和15千克，糕点的利润为16.5（千元）.由于)23,29(是直线6=+y x （糖）和直线153=+y x （蛋）的交点，所以糖和蛋无剩余，面粉的剩余量为6)23329(15=⨯+-（千克）.五．贷款选择设向建行贷款每年还x 万元，向工行贷款每年还y 万元.因为都是分10年等额还款，故只需比较x 、y 的大小即可.先计算x ：10x =%5)910(%5)210(%5)10(%51010x x x -++-+-+⨯+ 根据等差数列前项和公式，得10%5210)91010(10+⨯⨯-+=x x ， x x 25.21510-= ，于是得 2245.1≈x （万元）再计算y ：设第i 次还款后欠银行的钱为i a （万元），则y a -+=%)41(101y y y a a -+-+=-+=%)41(%)41(10%)41(212y y y y a a -+-+-+=-+=%)41(%)41(%)41(10%)41(2323…y y y y a a -+--+-+=-+=%)41(%)41(%)41(10%)41(910910而010=a ，即得)04.104.104.104.11(%)41(1093210+++++=+ y 2329.1104.1104.104.1101010≈--⨯=y （万元）y x ，向建设银行贷款更为合算.六．空投测距建立直角坐标系，原点O 为飞机所在的位置，如图： 飞机水平飞速度h km /100)/(2860601000100s m ≈⨯⨯=.物资落下的路线不考虑空气阻力，应是一条抛物线， 它的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧-==22128gt y t x 其中x 、y 的单位是m ，t 是物资下落时间，单位是s ，2/8.9s m g ≈. 设抛物线经过的目的地为P ，P 的坐标为)1000,(-x ，将1000-=y 代入上面的第2个方程，得3.148.920002000≈==g t )(s ，再将3.14≈t 代入上面的第1个方程，得4003.1428≈⨯≈x )(m .即飞机应在离目的地水平距离大约m 400处抛下救灾物资.。
2021年数学建模竞赛题参考解答
数学建模竞赛题参照解答一、原料采购某工厂正常状况下每天需要消耗某种原材料4吨，因而每隔一段时间需要购买一次原材料，原材料价格为元/吨，原材料保管费用每天2元/吨，每次购买原材料需要支付运费1600元.为了保证每天均有原材料供应生产，请给出最优原材料采购筹划. 解：设每隔t 天购买一次原材料，则总保管费用为1)t(t 4)4241(42+=⨯+⋯+⨯+⨯⨯t ---------------------（10分）支付总费用为：20004t 16001)4t(t Q(t)⨯+++=则平均每天支付费用为8004160042000416001)4(t Q(t)++=⨯+++=t t t t ---------(20分) 从而当16004t t=，即t=20时平均每天支付费用至少.于是应当20天采购一次原材料.-----------------(25分)二、运送成本某运送公司接受了向抗洪抢险地区每天至少送180t 增援物资任务.该公司有8辆载重为6tA 型卡车与4辆载重为10tB 型卡车，有10名驾驶员；每辆卡车每天来回次数 为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天来回成本费A 型车为320元，B 型车 为504元.请为该公司安排一下应当如何调配车辆，才干使公司所花成本费最低？ 解：依照题意可得：设每天调出A 型车x 辆、B 型车y 辆，公司所花成本为z 元，则数学模型为y x z 504320min += ---------------（5分）..t S ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥⋅+⋅≤+∈≤≤∈≤≤N y x y x y x Ny y N x x ,1803104610,40,80 ------------------------(15分)画出可行域（如上图），作L ：320x +504y=0， 可行域内点E 点（7.5，0）可使Z 最小.但不是整数点，近来整点是（8，0）即只调配A 型卡车8辆，所花最低成本费 z=320×8=2560（元） ------- -------------(25分)三、最短途径如下图，图中箭头方向表达可以进行移动，箭头上数字表达行走距离（单位：km ，如6号位置可以迈进到7号位置，距离为4km ；而7号无法前去6号）.现咱们所处1号位置，由于行程需要前去8号位置，求至少需要走多少路程可以到达，并且写出详细路线.解：（1）.列举法(略)（2）.运用迪杰斯特拉算法：X表达行进过区域，X={1}，第一步：min {d12,d14,d16}=min {0+2,0+1,0+3}=min {2,1,3}=1X={1,4}，p4=1第二步：min {d12,d16,d42,d47}=min {0+2,0+3,1+10,1+2}=min {2,3,11,3}=2 X={1,2,4}，p2=2第三步：min {d16,d23,d25,d47}=min {0+3,2+6,2+5,1+2}=min {3,8,7,3}=3 X={1,2,4,6}，p6=3第四步：min {d23,d25,c47,d67}=min {2+6,2+5,1+2,3+4}=min {8,7,3,7}=3 X={1,2,4,6,7}，p7=3第五步：min {d23,d25,d75,d78}=min {2+6,2+5,3+3,3+8}=min {8,7,6,11}=6 X={1,2,4,5,6,7}，p5=6第六步：min {d23,d53,d58,d78}=min {2+6,6+9,6+4,3+8}=min {8,15,10,11}=8 X={1,2,3,4,5,6,7}，p3=8第七步：min {d38,d58,d78}=min {8+6,6+4,3+7}=min {14,10,11}=10 X={1,2,3,4,5,6,7,8}，p8=101到8最短途径为{1，4，7，5，8}，长度为10km.四、隔热厚度为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用隔热层，每厘米厚隔热层建导致本为6万元．该建筑物每年能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：)100(53)(≤≤+=x x kx C （k为一未知待定系数），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设)(x f 为隔热层建造费用与能源消耗费用之和． （Ⅰ）求k 值及)(x f 表达式；（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用)(x f 达到最小，并求最小值． 解：(Ⅰ)设隔热层厚度为xcm ，由题设，每年能源消耗费用为)100(53)(≤≤+=x x kx C ，再由C(0)=8，得k=40，因而5340)(+=x x C ， -----------------------（5分）而建造费用为C 1(x)=6x ，最后得隔热层建造费用与能源消耗费用之和为)10065380065340*20)()(20)(1≤≤++=++=+=x x x x x x C x C x f （ ---（12分）(Ⅱ)2)53(24006)('+-=x x f 令f ′(x)=0，即6)53(24002=+x ，解得523,5-==x x （舍去），--------------（17分） 当0＜x ＜5时，f ′(x)＜0，当5＜x ＜10时，f ′(x)＞0， 故x=5是f(x)最小值点，相应最小值为地5158005*6)5(++=f =70 -------（25分） 五、车间通风某车间体积为1立方米,开始时空气中具有0.1%2CO ,为了减少车间内空气中2CO 含量,用一台风量为每分钟立方米鼓风机通入含0.03%2CO 新鲜空气,同步以同样风量将混合均匀空气排出，问鼓风机开动6分钟后,车间内2CO 比例减少到多少?解：设鼓风机开动后t 时刻2CO 含量为()%x t 在[], t t dt +内，气量变化关系为：220000.03CO dt =⋅⋅的通入量；22000()CO dt x t =⋅⋅的排出量；222CO CO CO =-的改变量的通入量的排出量.故可得到：1200020000.032000()dx dt dt x t =⋅⋅-⋅⋅，--------------（10分） 进一步有：1(0.03)6dx x dt =--， 求解以上微分方程得到：160.03t x Ce-=+，结合初值条件：0|0.1t x ==，得到：0.07C =，故有：160.030.07t x e -=+，---------------------（20分）计算在6分钟后，有 16|0.030.070.056t x e-==+≈,于是，鼓风机开动6分钟后，车间内2CO 比例减少到0.056%.------（25分）六、最大面积工厂里有一块半圆形铁板，其半径为R.半圆一某些有破损，破损位置如图所示，其中BC=R/2，并且破损位置在以B 所在水平线右侧.现要在半圆铁板剩余某些上切割出一种直角三角形，如图甲乙两个方案：甲方案是以半圆直径所在边作为斜边，乙方案是选用半圆直径所在边为直角边.哪种方案所切割直角三角形最大？并阐明理由.甲方案 乙方案解：咱们依照甲、乙方案，分别求出两种方案所能切割出直角三角形最大面积.对于甲方案，以AB 或者比AB 短线段作为直径半圆内接三角形.显然，选用AB 作为直径时可以保证三角形尽量大，此时内接半圆半径为，即.以O’为原点建立直角坐标系，此时O’(0,0),A(3,04R),B().设D点坐标为().则三角形面积关于求导后可知，当时，对于乙方案，以O为圆心，O(0,0).设D点坐标为().则三角形面积关于求导，令，即或时，获得极值.当时，通过比较，乙方案所切割出来三角形面积大，因而乙方案要优于甲方案.。
数学模型习题参考解答
综合题目参考答案1. 赛程安排(2002年全国大学生数学建模竞赛D 题) (1)用多种方法都能给出一个达到要求的赛程.(2)用多种方法可以证明n 支球队“各队每两场比赛最小相隔场次r 的上界”(如n =5时上界为1)是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23n ,如: 设赛程中某场比赛是i ,j 两队, i 队参加的下一场比赛是i ,k 两队(k ≠j ),要使各队每两场比赛最小相隔场次为r ,则上述两场比赛之间必须有除i ,j ,k 以外的2r 支球队参赛,于是32+≥r n ,注意到r 为整数即得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤23n r . (3)用构造性的办法可以证明这个上界是可以达到的,即对任意的n 编排出达到该上界的赛程.如对于n =8, n =9可以得到:1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A每两场比赛相隔场次数相隔场次总数 1A × 1 5 9 13 17 21 25 3,3,3,3,3,3 18 2A 1 × 20 6 23 11 26 16 4,4,4,3,2,2 19 3A5 20 × 24 10 27 15 2 2,4,4,4,3,2 19 4A 96 24 × 28 24 3 19 2,2,4,4,4,3 19 5A 13 23 10 28 × 4 187 2,2,2,4,4,4 18 6A 17 11 27 14 4 × 8 22 3,2,2,2,4,4 17 7A 21 26 15 3 18 8 × 12 4,3,2,2,2,4 17 8A25 1621972212×4,4,3,2,2,2171A2A3A 4A5A 6A 7A 8A 9A每两场比赛相隔场次数 相隔场 次总数1A × 36 6 31 11 26 16 21 1 4,4,4,4,4,4,4, 28 2A 36 × 2 27 7 22 12 17 32 4,4,4,4,4,4,3 27 3A6 2 × 35 15 30 20 25 10 3,3,4,4,4,4,4 26 4A 31 27 35 × 3 18 8 13 23 4,4,4,4,3,3,3 25 5A 11 7 15 3 × 34 24 29 19 3,3,3,3,4,4,4 24 6A 26 22 30 18 34 × 4 9 14 4,4,3,3,3,3 23 7A 16 12 20 8 24 4 × 33 28 3,3,3,3,3,3,4 22 8A 21 17 25 13 29 9 33 × 5 3,3,3,3,3,3,3, 21 9A13210231914285×3,4,3,4,3,4,324可以看到, n =8时每两场比赛相隔场次数只有2,3,4, n =9时每两场比赛相隔场次数只有3,4,以上结果可以推广,即n 为偶数时每两场比赛相隔场次数只有22-n ,12-n ,2n,n 为奇数时只有23-n ,21-n . (4)衡量赛程优劣的其他指标如平均相隔场次 记第i 队第j 个间隔场次数为ij c ,2,2,1,,,2,1-==n j n i ,则平均相隔场次为∑∑=-=-=n i n j ij c n n r 121)2(1r 是赛程整体意义下的指标,它越大越好.可以计算n =8,n =9的r ,并讨论它是否达到上界.相隔场次的最大偏差 定义||,r c Max f ij j i -=∑-=--=21|)2(|n j ij r n c Max gf 为整个赛程相隔场次的最大偏差,g 为球队之间相隔场次的最大偏差,它们都是越小越好.可以计算n =8,n =9的f ,g ,并讨论它是否达到上界.参考文献工程数学学报第20卷第5期2003 2. 影院座位设计建立满意度函数),(βαf ,可以认为α和β无关, ()()βαβαh g f -=),(,g ,h 取尽量简单的形式,如αα=)(g ;0)(=βh (030≤β),0)(h h =β)30(0>β. (1)可030≤β将作为必要条件,以α最大为最佳座位的标准.在上图中以第1排座位为坐标原点建立坐标轴x ,可以得到⎪⎭⎫⎝⎛+----⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫⎝⎛+--=d x x h c H d x x c H d x x c H θθαθβtan arctan tan arctan ,tan arctan β是x 的减函数.可得x ≈1.7m,即第3(或4)排处030=β.又通过计算或分析可知α也是x 的减函数,所以第3(或4)排处是最佳座位.(2)设定一个座位间隔l (如0.5m), x 从0(或030≤β处)到d D -按l 离散,对于)20~0(00θ计算α的平均值,得020=θ时其值最大.(3)可设地板线是x 的二次曲线2bx ax +,寻求a ,b 使α的平均值最大. 实际上,还应考虑前排不应挡住后排的视线.3.节水洗衣机(1996年全国大学生数学建模竞赛B 题)该问题不要求对洗衣机的微观机制(物理、化学方面)深入研究,只需要从宏观层次去把握.宏观上洗衣的基本原理是用洗涤剂通过漂洗把吸附在衣物上的污物溶于水中,再脱去污水带走污物;洗衣的过程是通过“加水——漂洗——脱水”程序的反复运行,使残留在衣物的污物越来越少,直到满意的程度;洗涤剂也是不希望留在衣物上的东西,可将“污物”定义为衣物上原有污物与洗涤剂的总和.假设每轮漂洗后污物均匀地溶于水中;每轮脱水后衣物含水量为常数c .0x ~初始污水量,~k u 第k 轮加水量,k x ~第k 轮脱水量),,2,1( =k .设每轮脱水前后污物在水中的浓度不变.于是cx c u x c xc u x c x u x n n n =+=+=--11221110,,, , 得到)()(210c u c u u c x x n n n ++=. 在最终污物量与初始污物量之比0/x x n 小于给定的清洁度条件下,求各轮加水量k u ),,1(n k =,使总用水量最小,即∑=nk k u u Min k 1()ε<++)(..21c u c u u c t s n n等价于)()(21c u c u u Min n u k +++++α=++)()(..21c u c u u t s na 为常数可得c u c u u n +==+= 21,即第n ~2轮加水量u u k =(常数),第1轮加水量c u u +=1.令cx u =,问题简化为nx Min u n ,ε<⎪⎭⎫ ⎝⎛+nx t s 11.. 其解为0→x ,即0→u ,而∞→n .这与实际上是不合理的.应该加上对u 的限制:21v u v ≤≤.则得max min n n n ≤≤,其中 max min n n n ≤≤,1)/1ln(2min +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=c v n α这样,n为有限的几个数,可一一比较,具体数据计算从略.参考文献:《数学的实践与认识》第27卷第1期,19974.教师工资调整方案(1995年美国大学生数学建模竞赛B 题)题目对职称提升年限表述得不甚清楚(如未提及助理教授的提升),教龄也未区分是什么职称下工作的年限,所以应该作出一些相应的简化假设.按所给信息,工资仅取决于职称和教龄.建立新方案的一种办法是将职称折合成教龄,如定义x=教龄t+7×k (对于讲师、助理教授、副教授、教授,k 分别取值0,1,2,3),然后寻求工资函数I(x),使之满足题目的要求,如I(0)=27000,I(7)=32000等,以及x 较大时022<dxId .另一种办法是职称、教龄分别对待,工资函数J(k,t)从多种函数中选择,如最简单的线性函数J(k,t)=k k k k b a t b a ,,+(k=0,1,2,3)根据一定条件确定.按照第一种办法得到的新工资方案,以职称和教龄综合指标为x 的教师的工资都应为I(x),而人们的目前工资会低于或高于它.根据题目要求,高工资不应降低,低工资则应逐渐提高,尽快达到理想值I(x).需要做的只是根据每人(目前)工资与(理想值的)差额,制定学校提供的提薪资金的分配方案.它应该是简单、合理、容易被人接受的.按以上原则可以建立不同的模型,应通过检验比较其恶劣.检验可基于题目所给数据,按照提薪计划运行若干年,考察接近理想方案的情况,即用过渡时期的情况检验模型;也可进行随机模拟,按照一定规则随机产生数据(可以包括聘用、提职、解聘、退休的人数和时间等),再按照提薪计划运行,考察接近理想方案的情况.参考文献：叶其孝，《大学生数学建模竞赛辅导教材》（四），湖南教育出版社，2001 5. 一个飞行管理问题（1995年全国大学生数学建模竞赛A 题） 设ij a 为第i 架飞机与第j 架飞机的碰撞角（即)8arcsin(ijij r a =其中ij r 为这两架飞机连线的长度），ij β为第i 架飞机相对于第j 架飞机的相对速度（矢量）与这两架飞机连线（从i 指向j 的矢量）的夹角（以连线矢量为基准，逆时针方向为正，顺时针方向为负），i θ为第架飞机飞行方向角调整量.本问题中的优化目标函数可以有不同的形式：如使所有飞机的最大调整量最小；所有飞机的调整量绝对值之和最小等.以所有飞机的调整量绝对值之和最小，可以得到如下的数学规划模型：∑=61i i Min θs.t. ,)(21ij j i ij a >++θθβ j i j i ≠=,6,,1,30≤i θ , 6,,1 =i为了利用LINGO 求解这个数学规划模型，可以首先采用其他数学软件计算出ij α和ij β.其实，ij α和ij β也是可以直接使用LINGO 来计算的，这相当于解关于ij α和ij β的方程，只是解方程并非LINDO 软件的特长，这里我们作为一个例子，看看如何利用LINGO 计算ij α，可输入如下模型到LINGO 求解ij α：MIDEL ： 1]SETS:2] PLANE/1..6/：x0,y0; 3] link(plane,plane):alpha,sin2: 4]ENDSETS5] @FOR(LINK(I,J)|I#NE#J:6] sin2(I,J)=64/((X0(I)-X0(J))*(X0(I)-X0(J))+ 7] (Y0(I)-Y0(J))*(Y0(I)-Y0(J))); 8] ）；9] @FOR(LINK(I,J)|I#NE#J:10] (@SIN(alpha*3./180.0))^2=SIN2; 11] ); 12]DATA:13] X0=150,85,150,145,130,0; 14] Y0=140,85,155,50,150,0; 15]endata END 计算结果如下：ija j=1 2 3 4 5 6i =1 0.000 0 5.391232.2315.091820.96342.23452 5.391 2 0.0000 4.804 0 6.61355.807 9 3.81593 32.2310 4.8040.000 0 4.364722.83372.12554 5.091 8 6.6135 4.364 7 0.0004.4.537 2.98985 20.9634 5.807922.83374.53770.000 0 2.30986 2.234 5 3.8159 2.125 5 2.98982.309 8 0.000ijβ也可类似地利用LINGO求得，计算结果如下：ijβj=1 2 3 4 5 6i =1 0.000109.263 6-128.250 024.179 8173.065 114.474 92 109.263 60.000 0-88.871 1-42.243 6-92.304 89.000 03 -128.250 0-88.871 10.00012.476 3-58.786 20.310 84 24.179 8-42.243 612.476 30.000 05.969 2-3.525.65 173.065 1-92.304 8-58.786 25.969 20.000 01.914 46 14.479.000.310 -3.5 1.910.04 9 0 0 8 256 4 4 00 0于是，该飞机管理的数学规划模型可如下输入LINGO求解：MODEL:1]SETS2] plane/1..6/:cita:3] link(plane,plane):alpha,beta;4]ENDSETS5] min=@sum(plane:@abs(cita));6] @for(plane(I):7] @bnd(-30,cita(I),30);8] );9] @fpr(link(I,j)|I#NE#J:10] @ABS(beta(I,J)+0.5*cit(I)+0.5*cita(J))11] >alpha(I,J);12] ）;13]DATA:14] A;[JA=0.000 0 5.391.2…..…2.309 8 0.000 020] ;21] BETA=0.000 010 9.263 6………1.914 4 0.000 027] ;28]enddataEND[注] alpha,beta中数据略去，见上面表格.求解结果如下：OPTIMUM FOUND AT STEP 197SOLUTION OBJECTIVE VALUE= 3.630V ARIABLE V ALUE REDUCED COSTCITA(1) 0.E-06 -1.000 000 CITA(2) -0.E-05 -0.715 033 4CITA(3) 2.557 866 1.000 000 CITA(4) -0.E-04 0.E+00 CITA(5) 0.E-05 -1.000 000 CITA(6) 1.071 594 0.E+00 ………. (以下略)由此可知最优解为：︒︒≈≈07.1,56.263θθ （其它调整角度为0）.评注：如果将目标改为最大调整量最小，则可进一步化简得到线形规划模型，也可用LINDO 或LINGO 求解.参考文献：《数学的实践与认识》第26卷第1期，1996 6. 降落伞的选择这个优化问题的决策变量是降落伞数量n 和每一个伞的半径r ，可先将n 和r 看作连续变量，建立优化模型，求得最优解后，再按题目要求作适当调整.目标函数之降落伞的费用，可以根据表1数据拟合伞面费用1C 与伞的半径r 的关系。
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数学建模竞赛参考答案
数学建模竞赛参考答案
数学建模竞赛是一项旨在培养学生综合运用数学知识和解决实际问题能力的竞
赛活动。
参赛者需要通过分析问题、建立数学模型、求解问题等环节，最终给
出合理的答案和解决方案。
在这篇文章中，我们将为大家提供一些数学建模竞
赛的参考答案，希望能够给参赛者们提供一些启示和帮助。
第一题：某公司的销售额预测
问题描述：某公司希望通过过去几年的销售数据，预测未来一年的销售额。
请
根据给定的销售数据，建立合适的数学模型，并给出未来一年的销售额预测值。
解答思路：根据问题描述，我们可以将销售额看作是时间的函数，即销售额随
时间变化。
可以使用回归分析的方法来建立数学模型。
首先，我们将销售额作
为因变量，时间作为自变量，通过拟合曲线来预测未来一年的销售额。
我们可以选择多项式回归模型来拟合曲线。
通过将时间作为自变量，销售额作
为因变量，进行多项式回归分析，可以得到一个多项式函数，该函数可以描述
销售额随时间变化的趋势。
然后，我们可以使用该多项式函数来预测未来一年的销售额。
将未来一年的时
间代入多项式函数中，即可得到未来一年的销售额预测值。
第二题：城市交通流量优化
问题描述：某城市的交通流量问题日益突出，如何优化交通流量成为了当地政
府亟待解决的难题。
请根据给定的交通数据和道路拓扑结构，建立合适的数学
模型，并给出交通流量优化的方案。
解答思路：根据问题描述，我们可以将城市的交通流量看作是网络中的流量分
配问题。
可以使用网络流模型来建立数学模型。
首先，我们需要将城市的道路
网络抽象成一个有向图，节点表示交叉口，边表示道路，边上的权值表示道路
的容量。
然后，我们可以使用最小费用最大流算法来求解交通流量优化的方案。
该算法
可以通过调整道路上的流量分配，使得整个网络中的流量达到最大，同时满足
道路容量的限制。
通过计算最小费用最大流，可以得到交通流量优化的方案。
最后，我们可以根据最小费用最大流算法的结果，对交通流量进行合理调控。
例如，可以调整信号灯的时长，优化交通信号控制系统，减少交通拥堵现象，
提高交通效率。
第三题：飞机航线优化
问题描述：某航空公司希望优化飞机的航线规划，以减少燃油消耗和飞行时间。
请根据给定的飞行数据和航空地图，建立合适的数学模型，并给出飞机航线优
化的方案。
解答思路：根据问题描述，我们可以将飞机的航线规划问题看作是一个最短路
径问题。
可以使用图论中的最短路径算法来建立数学模型。
首先，我们需要将
航空地图抽象成一个加权有向图，节点表示机场，边表示航线，边上的权值表
示飞行距离或飞行时间。
然后，我们可以使用迪杰斯特拉算法或弗洛伊德算法来求解最短路径。
这些算
法可以通过计算机网络中的节点之间的最短路径，找到飞机的最优航线。
最后，我们可以根据最短路径算法的结果，给出飞机航线优化的方案。
例如，
可以选择经过短距离的航线，避免绕行和冗余飞行，从而减少燃油消耗和飞行
时间。
通过以上三个问题的解答思路，我们可以看到，在数学建模竞赛中，参赛者需要综合运用数学知识和解决实际问题的能力，建立合适的数学模型，并给出合理的答案和解决方案。
希望这些参考答案能够给大家在数学建模竞赛中提供一些启示和帮助。