2021-2022学年广东省中山市高二上学期期末考试数学试卷含详解
四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知圆 过三个点 .
（1）求圆 的方程；
（2）过原点 的动直线 与圆 相交于不同的 两点，求线段 的中点 的轨迹.
18.如图，在四棱锥 中，底面四边形 为直角梯形， ， ， ， ， ， .
（1）求证：平面 平面 ；
C
【分析】利用向量的数量积运算可得 ，利用 ，进一步利用椭圆的定义可转化为 ，进而得解.
【详解】连接 ,设椭圆的基本量为 ，
,
故答案为：3.
【点睛】本题考查椭圆 定义与平面向量的数量积的运算，属中档题，关键是利用向量的数量积运算进行转化，并结合椭圆的定义计算.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
11.已知空间四点 ，则下列说法正确的是（）
A. B.
C.点O到直线 的距离为 D.O，A，B，C四点共面
ABC
【分析】
计算数量积判断A，求向量夹角判断B，利用向量垂直判断C，根据空间向量共面定理判断D．
【详解】 ，
，A正确；
，B正确；
， ，所以 ， ，所以点O到直线 的距离为 ，C正确；
，
假设若O，A，B，C四点共面，则 共面，设 ，
【详解】因为 ，
所以 ，所以 ，
故选：D
3.已知数列 满足 ，若 ，则 （）
A.-1B. C.1D.2
A
【分析】由 ，且 ，得到所以数列 是以3为周期的周期数列求解.
【详解】解：因为数列 满足 ，且 ，
所以 ，
所以数列 是以3为周期的周期数列，
所以 ，
故选：A
4.过点 引直线，使 ， 两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（）
A.-1B. C.1D.2
4.过点 引直线，使 ， 两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（）
A. B.
C. 或 D. 或
5.已知 是抛物线 ： 的焦点，过 上一点 作其准线的垂线，垂足为 ，若 ，则点 的横坐标是（）
A. B. C. D.1
6.将边长为 的正方形 （及其内部）绕 旋转一周形成圆柱，如图， 长为 ， 长为 ，其中 与 在平面 的同侧.则异面直线 与 所成的角的大小为（）
C
【分析】通过 ，求出数列的通项公式，代入计算即可.
【详解】由 ，①
所以 ，②
②-①：
所以
当 时，
所以 ，
所以数列 以首项为 ，公比 的等比数列
所以
所以
故选：C.
8.已知 、 是椭圆 的左、右焦点，点 是椭圆上任意一点，以 为直径作圆 ，直线 与圆 交于点 （点 不在椭圆内部），则
A. B. 4C. 3D. 1
（2）请指出（1）中的曲线 的如下两个性质：①范围；②对称性.并选择其一给予证明.
（3）设（1）中的曲线 除了经过坐标原点 ，还与 轴交于另一点 ，经过点 的直线 交曲线 于 ， 两点，求证： .
中山市高二级2021-2022学年度第一学期期末统一考试
数学试卷
本试卷满分150分.考试时间120分钟.
1.直线 的倾斜角为（）
A. B. C. D.
C
【分析】先求出直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】由 得，直线的斜率为 ，根据倾斜角 与斜率的关系得 ，则 .
故选：C
2.已知复数z满足 （i为虚数单位），则复数z的共轭复数 （）
A. B. C. D.
D
【分析】由复数的除法运算与共轭复数的定义求解即可
A B. C. D.1
A
【分析】利用抛物线的定义，结合已知条件，求出 的长，进而求得 ，再结合抛物线的定义，即可求解.
【详解】如图所示，抛物线 的焦点坐标为 ，
过 上一点 作其准线的垂线，垂足为 ，若 ，
可得 ,
又由 ，所以 ，
在等腰 中，可得 ，
设 ，根据抛物线的定义，可得 ，解得 ，
即点 的横坐标为 .
【详解】以O为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 、 、 、 .
所以 ， ，则 ，
所以 .
因此，异面直线 与 所成的角为 .
故选：B.
【点睛】本题考查利用空间向量法求解异面直线所成角的大小，考查计算能力，属于中等题.
7.设数列 的前n项和为 ，若 ，则 （）A.243B.244C.486D.488
9.设数列 ， 的前 项和分别为 ， ，则下列命题正确的是（）
A.若 ，则数列 为等差数列
B.若 ，则数列 为等比数列
C.若数列 是等差数列，则 ， ， 成等差数列
D.若数列 是等比数列，则 ， ， 成等比数列
AC
【分析】对于A，C，利用等差数列的定义判断即可，对于B，D，通过举反例判断
【详解】解：对于A，由等差数列的定义可知当 时，数列 为等差数列，所以A正确；
对于B，当 时，满足 ，但数列 不是等比数列，所以B错误；
对于C，数列 是等差数列，数列 的前 项和为 ，
Байду номын сангаас则 ，
，
所以 ，所以 ， ， 成等差数列，所以C正确；
对于D，当等比数列 的公比 ， 为偶数时， ， ， 均为零，所以 ， ， 不成等比数列，所以D错误，
故选：AC
10.（多选）已知圆 ，直线 .则以下几个命题正确的有（）
中山市高二级2021-2022学年度第一学期期末统一考试
数学试卷
本试卷满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号写在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上.
3.不可以使用计算器.
21.容器A内装有6升浓度为20%的酒精水溶液，容器B内装有4升浓度为5%的酒精水溶液，先将A内的酒精水溶液倒1升进入B内，再将B内的酒精水溶液倒1升进入A内，称为一次操作；这样反复操作n次，A、B容器内的酒精水溶液浓度分别为 ， .（酒精水溶液浓度=（酒精水溶液中乙醇体积/酒精水溶液总体积）×100%）
（1）请计算 ， ，并判断数列 否为等比数列?若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由；
（2）至少要经过几次操作，A、B两容器中溶液浓度之差小于1%?（ ， ）
（3）求 ， 的表达式.
22.如图所示，定点 到定直线 距离 .动点 到定点 的距离等于它到定直线 距离的2倍.设动点 的轨迹是曲线 .
（1）请以线段 所在的直线为 轴，以线段 上的某一点为坐标原点 ，建立适当的平面直角坐标系 ，使得曲线 经过坐标原点 ，并求曲线 的方程；
A. B.
C. 或 D. 或
D
【分析】就直线与 平行或过 的中点可求直线的方程.
【详解】若过 的直线与 平行，因为 ，
故直线 的方程为： 即 .
若过 的直线过 的中点，因为 的中点为 ，此时 ，
故直线 的方程为： 即 .
故选：D.5.已知 是抛物线 ： 的焦点，过 上一点 作其准线的垂线，垂足为 ，若 ，则点 的横坐标是（）
A.直线 恒过定点 B.圆 被 轴截得的弦长为
C.直线 与圆 恒相交D.直线 被圆 截得最长弦长时，直线 的方程为
ABC
【分析】
求出直线所过定点坐标，再根据直线与圆的位置关系判断．
【详解】直线 方程整理得 ，由 ，解得 ，∴直线 过定点 ，A正确；
在圆方程中令 ，得 ， ，∴ 轴上的弦长为 ，B正确；
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
13.已知圆 与圆 相交于 ， 两点，则直线 的方程为______．
14.若数列 的通项公式是 ，则 等于___________.
15.空间直角坐标系 中，过点 且一个法向量为 的平面 的方程为 ，过点 且方向向量为 的直线 的方程为 ，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面 的方程为 ，直线 是两个平面 与 的交线，则直线 与平面 所成角的正弦值为___________.
4.考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线 的倾斜角为（）
A B. C. D.
2.已知复数z满足 （i为虚数单位），则复数z 共轭复数 （）
A. B. C. D.
3.已知数列 满足 ，若 ，则 （）
C.直线 与圆 恒相交D.直线 被圆 截得最长弦长时，直线 的方程为 11.已知空间四点 ，则下列说法正确的是（）
2021-2022学年广东省茂名市五校联盟高二(创新班)上学期期末考试联考数学试卷带讲解
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
A.把C上各点横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)后，再向左平移 个单位长度得到曲线E
B.把C.上各点横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)后，再向右平移 个单位长度得到曲线E
C.把C上各点横坐标缩短到原来 倍(纵坐标不变)后，再向右平移 个单位长度得到曲线E
D.把C上各点横坐标缩短到原来 倍(纵坐标不变)后，再向左平移 个单位长度得到曲线E
对B，容易判断点E在抛物线外，设点P在准线上的投影为点 ，由抛物线的定义可知， ，则当 三点共线时，其最小值为 .B正确；
对C，设 ，易知直线l的斜率为1，将 代入抛物线方程化简得： ，则 ，由抛物线焦点弦公式可得： .C错误；
对D，由 可知， ，所以 .D正确.
故选：ABD.
12.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BC，CD，CC1的中点，P是线段A1C1上的动点(含端点)，则下列说法正确的有（）
过EF作该正方体外接球的截面，截面的面积最小者是直径过EF的圆面，
OH垂直于此圆面，设其半径为r，AC∩BD=Q，
因为OH2=OQ2+HQ2，所以r=R2－OH2=R2－OQ2－HQ2= ，
截面面积为 ，所以D对.
故选：ACD
三、填空题
13.椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程 ，点A，B是它的两个焦点.当静止的小球从点A开始出发，沿60°角方向作直线运动，经椭圆内壁反射后再回到点A时，小球经过的路程为___________.
2021-2022学年湖北省新高考联考高二上学期期末考试数学试题带讲解
解：以点 作坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，2， ， ，0， ， ，0， ，
设平面 的一个法向量为 ，又 ，
则 ，则可取 ，
又 ，设直线 与平面 的夹角为 ，则 ，
直线 与平面 的正弦值为 ；
【小问2详解】
解：因为
所以点 到平面 的距离为 ，
点 到平面 的距离为 ．
17.已知数列 是递增的等差数列， ，若 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，数列 的前 项和 ，求 .
（1） ；（2） .
【分析】
（1）设等差数列 的公差为 ，根据题意列出方程组，求得 的值，即可求解；
（2）由（1）求得 ，结合“裂项法”即可求解.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，
【详解】抛物线 ： ( )的焦点 ，
∵P为 上一点， 与 轴垂直，所以P的横坐标为 ，代入抛物线方程求得P的纵坐标为 ，不妨设 ，
因为Q为 轴上一点，且 ，所以Q在F的右侧，
又 ， ， ，
因为 ，所以 ，
，所以 3
故答案为：3.
16.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如下图（1）所示.如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为 ，直角三角形EMQ面积为 ，后续各直角三角形面积依次为 ，…， ，若数列 的前n项和 恒成立，则实数 的取值范围为______.
2021-2022学年广东省揭阳市揭东区高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2021-2022学年广东省揭阳市揭东区高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设集合或，，则( )A. B.C. D.2.若复数，则( )A. B. C. D.3.已知数列的通项公式为，则( )A. 12B. 14C. 16D. 184.为调查参加考试的高二级1200名学生的成绩情况，从中抽查了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法正确的是( )A. 1200名学生是总体B. 每个学生是个体C. 样本容量是100D. 抽取的100名学生是样本5.倾斜角为，在y轴上的截距为2022的直线方程是( )A. B.C. D.6.棱长均为1的正四面体的表面积是( )A. B. C. D.7.已知，则( )A. B. C. D.8.已知点到直线l：的距离为1，则a等于( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.下列四个选项中，正确的是( )A. 数列的图象是一群孤立的点B. 数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列C. 数列，，，，…的一个通项公式是D. 数列，，…，是递减数列10.已知直线a，b和平面，若，，则直线b与平面的位置关系可能是( )A. B. b与相交 C. D.11.已知双曲线C：，下列对双曲线C判断正确的是( )A. 实轴长是虚轴长的2倍B. 焦距为2C. 离心率为D. 渐近线方程为12.已知正方体，则下列说法正确的有( )A.B.C. 与的夹角为D. 在面对角线中与直线所成的角为的有8条三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.若函数的增区间是则实数__________.14.等比数列中，，，则数列的公比为__________.15.若抛物线C：上的一点到它的焦点的距离为3，则__________.16.已知三棱锥中，平面BCD，，，，则三棱锥的外接球的表面积为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
2021-2022学年广东省珠海市高二上学期期末考试化学试卷带讲解
【详解】A．0.1mol·L-1HX溶液的pH=4，说明该溶液中c(H+)=10−4mol/L＜c(HX)，则HX部分电离，能说明一元酸HX是弱酸，A错误；
B．0.1mol·L-1NaX溶液pH＞7，溶液显碱性，说明NaX是强碱弱酸盐，能说明一元酸HX是弱酸，B错误；
C．0.1mol·L-1HX溶液比0.1mol·L-1硝酸导电能力弱，说明HX的酸性弱于硝酸，能说明一元酸HX是弱酸，C错误；
A
【详解】反应①N2(g)+O2(g)=2NO(g)△H1=+180.5 kJ·mol-1
反应②2H2(g)+O2(g) = 2H2O(l)△H2= -571.6 kJ·mol-1
反应②-反应①得：2H2(g)+2NO(g)=2H2O(l)+N2(g)△H=△H2-△H1=(-571.6 kJ·mol-1)-( +180.5 kJ·mol-1)=-752.1kJ·mol-1；22.4L(标准状况下)NO的物质的量为1mol，则该温度下H2催化还原22.4L(标准状况下)NO放出752.1 kJ÷2=376.05kJ的能量，A符合题意；
N2(g)+O2(g)=2NO(g)△H=+ 180.5 kJ·mol-1
2H2(g)+O2(g) = 2H2O(l)△H= -571.6 kJ·mol-1
则该温度下H2催化还原22.4L(标准状况下)NO达到消除环境污染目的的能量变化为
A.放出376. 05 kJB.放出752.1 kJ
C.吸收376.05 kJD.吸收752.1kJ
选A。
10.下列实验装置，不H溶液 反应热
B.用乙装置验证纯水具有微弱 导电性
C.用丙装置制取少量Fe(OH)2沉淀
2021-2022学年广东省珠海市高一上学期期末考试数学试卷含详解
C
【分析】根据奇偶性的定义判断即可；
【详解】解：因为函数 是偶函数，函数 是奇函数，所以 、 ，
对于A：令 ，则 ，故 是非奇非偶函数，故A错误；
对于B：令 ，则 ，故 为奇函数，故B错误；对于C：令 ，则 ，故 为偶函数，故C正确；
对于D：令 ，则 ，故 为偶函数，故D错误；
（2）求出 整体的范围，再结合正弦函数的单调性求解单调区间和值域.
【小问1详解】
；
函数 的最小正周期为 ，
函数 的对称轴方程为 ；
【小问2详解】 ，
，
时，函数 单调递减，即 时，函数 在 上单调递减；
时，函数 在单调递增，即 时，函数 在 上单调递增.
，
函数 的值域为 .
21.果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本 （万元）与果树数量 （百棵）之间的关系如下表所示.
【小问1详解】
，
.【小问2详解】
，
.
，
.
.
20.已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期及函数 的对称轴方程；
（2）若 ，求函数 的单调区间和值域.
（1）最小正周期为 ，对称轴方程为
（2）函数 在 上单调递减，在 上单调递增；值域为
【分析】（1）先通过降幂公式化简成 ，再按照周期和对称轴方程进行求解；
1.已知集合 ，下列选项正确的是（）
A. B. C. D.
B
【分析】由已知集合，判断选项中的集合或元素与集合A的关系即可.
【详解】由题设， 且 ，
所以B正确，A、C、D错误.
故选：B
2.已知集合 ， 或 ，则 （）
广东省中山市2021-2022学年高二上学期期末考试语文卷答案
中山市高二年级2021—2022学年度第一学期期末统一考试语文评分细则1.书写总分6分。
根据学生卷面和书写情况，按照等级，酌情给分，最低1分，最高6分。
2.A（“没有体现出”理解错误，而是“体现出了”）3.D（无比喻论证）4.①文章采用递进（层进）结构；②首先提出“汉语哲学”和“中国哲学”的区别这一问题；③然后分析强调“汉语哲学”的研究内容问题；④最后通过对比，明确“汉语哲学”这一称谓的内涵与价值。
评分细则：总体概括行文结构，给1分；后面三点，一点1分。
评分细则：总体概括行文结构，给1分；后面三点，一点1分。
补充：如下作答思路也可以①提出“汉语哲学”和“中国哲学”有何区别这一问题1分；②首先阐述中国哲学这一概念存在的局限性1分；③④然后说明汉语哲学研究的范畴或内容1分；最后明确汉语哲学这一称谓内涵和价值或意义（文中普遍性、创造性、本原性这些关键词都可给分吧？）1分5.C（“动了恻隐之心”与孙少平无关）6.①为情节的发展作铺垫（使情节紧凑、波澜起伏）。
（1分）少平想到郝红梅会因这件事毁掉一生，便急着去到二门市并有解人之困得举措。
（1分）（结合其他内容言之成理即可）②刻画出人物形象。
（1分）写出了少平对郝红梅的同情，担忧及焦灼的心态，刻画出少平仁爱宽恕等人格特征。
（1分）（结合侯主任形象言之成理即可）③强化审美效果。
（1分）对侯主任心理前后冷暖变化得对比描写，使小说对人性的刻画更深入更丰富。
（1分）④突出主旨。
（1分）通过侯主任、孙少平同情宽恕郝红梅的心理活动讴歌普通劳动者宅心仁厚温暖如春的美好心灵。
评分细则：（一点2分，两点4分，答对其中任意两点即可；如果有其他答案，言之成理，即可酌情给分）7.①重视名誉。
少平知道名誉对于一个人的重要性甚乎于生命，所以心急如焚去救人。
②人皆有恻隐之心（仁爱之心、善心）。
少平不计前嫌，对陷于困境的郝红梅给予了最大的同情与理解。
③直在其中。
少平用掩盖事情真相的处理方式貌似不公正，但其中包含更多人性的关怀与悲悯。
2021-2022学年广东省珠海市高二上学期期末考试数学试卷带讲解
A
【分析】根据 将 最小值问题转化为d取得最大值问题，然后结合图形可解.
【详解】将 ，变形为 ，故直线 恒过点 ，
圆心 ，半径 ，已知点P在圆内，
过点 作直线与圆 相交于A， 两点，记圆心到直线的距离为d，则 ，所以当d取得最大值时， 有最小值，
结合图形易知，当直线与线段 垂直的时候，d取得最大值，即 取得最小值，
【分析】利用基本量结合已知列方程组求解即可.
【详解】设等差数列 的公差为
由题可知
即
因为 ，所以解得：
所以 .
故答案为：
15.已知四面体 中， ， 分别在 ， 上，且 ， ，若 ，则 ________.
【分析】连接 ，根据题意，结合空间向量加减法运算求解即可.
【详解】解：连接
∵四面体 中， ， 分别在 ， 上，且 ，
（2）
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，由 ，得到 ，选① ，联立求解；选② ，联立求解；选③ ，联立求解；
（2）由（1）知 ，令 求解.
【小问1详解】
解：设等差数列 的公差为 ，
得 ，
选① ，得 ，
故 ，
∴ .
选② ，
得 ，得 ，
故 ，
∴ .
选③ ，
，得 ，
故 ，
∴ ；
【小问2详解】
由（1）知 ， ， ，
（1）
（2）
【分析】（1）由条件因式分解可得 ，从而得到 ，即可得出答案.
（2）由（1）可得 ，由错位相减法求和得到 ，由题意即即 对 恒成立，分析数列 的单调性，得出答案.
【小问1详解】由 ，得
∵ ∴ ∴
∴数列 是公比为2的等比数列.
∵ ，∴ .
广东省中山市2021-2022学年高二上学期期末统一考试物理试卷含答案
广东省中山市2021-2022学年高二上学期期末统一考试注意事项：1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．满分100分，考试时间90分钟．2．所有题目的答案和解答过程均需写在答题卡上，否则无效．答第Ⅰ卷时用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案． 3．考试结束后，只需提交答题卡．第Ⅰ卷（共48分）一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。
每小题给出的四个选项中只有一项满足题设要求，选对得4分；不选、错选或多选不得分）1．对下列电器或设备的工作原理的描述，正确的是（ ） A ．微波炉是利用电磁感应原理使食物温度升高的 B ．手机无线充电的过程利用了电磁感应原理C ．雷达是利用超声波的多普勒效应进行测距和定位的D ．红外体温计是通过接收人体发射的X 射线来测体温的2．在如图所示的水平匀强电场中，将两个带电粒子M 和N （可视为点电荷）移至同一水平线上的不同位置，释放后，M 、N 恰好保持静止，不计粒子的重力，忽略M 、N 对匀强电场的影响，则（ ） A ．M 带正电荷，N 带负电荷 B ．M 、N 所带电荷量大小一定相等 C ．静止时M 受到的合力比N 的大D ．将M 、N 分开一些，释放后M 、N 仍保持静止3．用如图所示的电路来描绘小灯泡L 的伏安特性曲线，变阻器R 接于恒压电源（带开关），电源的输出电压为U ，接通电路（ ）A ．接通电路前，滑动变阻器的滑片P 应置于a 端B ．滑片P 置于R 的中点时，电压表的示数为C ．滑片P 由R 的中点向b 端滑动，电压表的示数可能为D ．滑片P 由R 的中点向a 端滑动，灯泡L 的功率将变大4．如图是某同学用“双缝干涉法”做测定某单色光的波长实验示意图。
图中，单缝到双缝的距离为L 1，双缝到墙壁的距离为L 2，双缝间距为d ，墙壁上的干涉图样及尺寸如图，则该单色光的波长为（ ） A ．1dx L B ．2dxL AVUa bR PL第3题图· ·MNE第2题图C．212dxL D ．212xL d5．铺设铁轨时,每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙,匀速运行的列车经过钢轨接缝处时,车轮就会受到一次冲击。
广东省中山市2020至2021学年度第一学期期末统一考试高二数学试卷真题
xyO'()y f x =3 4-2 -4广东省中山市2020-2021学年度第一学期期末统一考试高二数学试卷（理科）本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．不等式25x x ≥的解集是 A ．[0,5]B ．[5,)+∞C ．(,0]-∞D ．(,0][5,)-∞+∞2．已知一个数列的前四项为22221357,,,24816--，则它的一个通项公式为 A ．221(1)(2)nn n -- B ．1221(1)(2)n n n --- C ．221(1)2nn n -- D ．1221(1)2n nn --- 3．椭圆221625400x y +=的离心率为A ．35B ．45C ．34D ．16254．函数f (x )的导函数'()f x 的图象如右图所示， 则下列说法正确的是A ．函数()f x 在(2,3)-内单调递增B ．函数()f x 在(4,0)-内单调递减C ．函数()f x 在3x =处取极大值D ．函数()f x 在4x =处取极小值5．等差数列{}n a 的前n 项和12...n n S a a a =+++， 若1031S =，20122S =，则40S =A ．182B ．242C ．273D ．4846．长为3.5m 的木棒斜靠在石堤旁，木棒的一端在离堤足1.4m 的地面上，另一端在沿堤上2.8m 的地方，堤对地面的倾斜角为α，则坡度值tan α等于[3,)+∞(1,2]分）16．（13分）已知某精密仪器生产总成本C （单位：万元）与月产量x （单位：台）的函数关系为1004C x =+，月最高产量为150台，出厂单价p （单位：万元）与月产量x 的函数关系为21125801800p x x =+-. （1）求月利润L 与产量x 的函数关系式()L x ；（2）求月产量x 为何值时，月利润()L x 最大？最大月利润是多少？17．（13分）第四届中国国际航空航天博览会于2010年11月在珠海举行，一次飞行表演中，一架直升飞机在海拔800m 的高度飞行，从空中A 处测出前下方海岛两侧海岸P 、Q 处的俯角分别是45°和30°（如右图所示）. （1）试计算这个海岛的宽度PQ .（2）若两观测者甲、乙分别在海岛两侧海岸P 、Q 处同时测得飞机的仰角为45和30，他们估计P 、Q 两处距离大约为600m ，由此试估算出观测者甲（在P 处）到飞机的直线距离.18．（14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一直角梯形，其中,BA AD CD AD ⊥⊥，2,CD AD AB PA ==⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．（1）试用,,AD AP AB 表示BE ，并判断直线BE 与平面PAD 的位置关系； （2）若BE ⊥平面PCD ，求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值．19．（14分）已知函数3221()(2)3f x x ax a a x =-++，a R ∈.（1）当2a =-时，求()f x 在闭区间[]1,1-上的最大值与最小值；（2）若线段AB ：()2302y x x =+≤≤与导函数()y f x '=的图像只有一个交点，且交点在线段AB 的内部，试求a 的取值范围．20．（13分）过直角坐标平面xOy 中的抛物线()220y px p =>的焦点F 作一条倾斜角为4π的直线与抛物线相交于A 、B 两点.（1）求直线AB 的方程；（2）试用p 表示A 、B 之间的距离； （3）证明：AOB ∠的大小是与p 无关的定值. 参考公式：()()()2222224A A BB A B A B A B x y xy x x x x p x x p ⎡⎤++=+++⎣⎦中山市高二级2020-2021学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）答案一、选择题：DDAB DA C B二、填空题：9. －79； 10. 22188y x -=； 11. －3； 12. 222a b r +=；13. 83； 14. 613t t ++∆，61t +.三、解答题：15. 解：（1）由题可知，8252a a a =+， ……（1分） 即741112a q a q a q =+， ……（3分）由于10a q ≠，化简得6321q q =+，即63210q q --=， ……（4分）121q -，81q -，[1(11q q----.能构成等差数列sin(4530)sin 45cos30cos45sin30==︒-︒︒︒-︒︒xzy18. 解：设,AB a PA b ==，建立如图所示空间直角坐标系，(0,0,0),(,0,0)A B a ，(0,0,)P b ,(2,2,0),(0,2,0)C a a D a ，(,,)2bE a a . ……（2分）（1）(0,,)2bBE a =，(0,2,0),(0,0,)AD a AP b ==，所以1122BE AD AP =+， ……（5分） BE ⊄平面PAD ，//BE ∴平面PAD . ……（7分）（2）BE ⊥平面PCD ，BE PC ∴⊥，即0BE PC ⋅=.(2,2,)PC a a b =-，22202b BE PC a ∴⋅=-=，即2b a =. ……（10分）(0,2,2),(,2,0)PD a a BC a a =-=， ……（11分）2410cos ,5225a PD BC a a<>==⋅， 所以异面直线PD 与BC 所成角的余弦值为105. ……（14分）19. 解：（1）当2a =-时，321()23f x x x =+. ……（1分）求导得2()4(4)f x x x x x '=+=+. ……（2分） 令()0f x '=，解得：4x =-或0x =． ……（3分）列表如下： ……（6分）x－1 （-1，0） 0 （0，1） 1 ()f x '－ 0 +()f x53 ↘↗73所以，()f x 在闭区间[]1,1-上的最大值是73，最小值是0． ……（7分） （2）22()22y f x x ax a a '==-++. ……（8分） 联立方程组2222,2 3.y x ax a a y x ⎧=-++⎨=+⎩……（9分）得()2221230.x a x a a -+++-= ……（10分）设22()2(1)23g x x a x a a =-+++-，则方程()0g x =在区间()0,2内只有一根, 相当于(0)(2)0g g ⋅<，即()()2223230,a a a a +-⋅--< ……（12分）。
2020-2021学年广东省中山市高二(上)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知0<x<1，0<y<1，记M=xy，N=x+y−1，则M与N的大小关系是()A. M<NB. M>NC. M=ND. M与N的大小关系不确定2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=2√2，A=45°，B=60°，则b=()A. 2√3B. √2C. 1D. 23.在等差数列函数{a n}中，a4+a5+a6=15，则a2+a8=()A. 5B. 10C. 12D. 154.音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的32，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”；…….依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得()A. “宫、商、角”的频率成等比数列B. “宫、徵、商”的频率成等比数列C. “商、羽、角”的频率成等比数列D. “徵、商、羽”的频率成等比数列5.已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x，且经过点(2,2√5)，则该双曲线的标准方程为()A. x24−y2=1 B. y24−x2=1 C. x2−y24=1 D. y2−x24=16.测量河对岸某一高层建筑物AB的高度时，可以选择与建筑物的最低点B在同一水平面内的两个观测点C和D，如图，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30m，并在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，则建筑物AB的高度为()A. 30√6mB. 15√6mC. 5√6mD. 15√2m7.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=1，AA1=2，D是BB1的中点，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值等于()A. √22B. √64C. √32D. √1048.已知平面向量a⃗,b⃗ ,e⃗满足：|b⃗ |=|e⃗|=1，b⃗ ⋅e⃗=0，|a⃗+e⃗|+|a⃗−e⃗|=4，则|a⃗−b⃗ |+|a⃗−e⃗|的最小值为()A. 4−√2B. 4+√2C. 5+√32D. 5+√3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知向量a⃗=(4,−2,−4),b⃗ =(6,−3,2)，则下列结论不正确的是()A. a⃗+b⃗ =(10,−5,−2)B. a⃗−b⃗ =(2,−1,6)C. a⃗⋅b⃗ =10D. |a⃗|=610.下列式子，可以是x2<1的一个充分不必要条件的有()A. x<1B. 0<x<1C. −1<x<1D. −1<x<011.设{a n}是等差数列，S n是其前n项的和，且S5<S6，S6=S7>S8，则下列结论正确的是()A. d<0B. S6与S7是S n的最大值C. S9>S5D. a7=012.下列函数中，最小值为2√2的有()A. y=x+2x (x>0) B. y=sinx+2sinx(0<x<π)C. y=e x+2e−xD. y=log2x+2log x2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题∀x∈R，x2−2x+4≤0的否定为______ ．14.抛物线y=14x2的准线方程是________．15.已知关于x的不等式(mx−m2−6)(x+4)<0(其中m∈R)的解集为A，若满足A∩Z=B(其中Z为整数集)，则使得集合B中元素个数最少时m取值范围是______．16.把半椭圆：x2a2+y2b2=1(x≥0)和圆弧：(x−1)2+y2=a2(x<0)合成的曲线称为“曲圆”，其中点F(1,0)是半椭圆的右焦点，A1，A2分别是“曲圆”与x轴的左、右交点，B1，B2分别是“曲圆”与y轴的上、下交点，已知∠B1FB2=120°，过点F的直线与“曲圆”交于P，Q两点，则半椭圆方程为______ (x≥0)，△A1PQ的周长的取值范围是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=mx2−mx−12．(1)当m=1时，解不等式f(x)>0；(2)若不等式f(x)<0的解集为，求实数m的取值范围．18.已知点P(2,m)是抛物线C：y2=2px(p>0)上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|=4，直线l：y=k(x−2)与抛物线C相交于不同的两点A，B．(1)求抛物线C的方程；(2)若|AB|=16，求k的值．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2n+1−2.{b n}为等差数列，其前n项和为T n，如图___，T n的图象经过A，B两个点．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n⋅b n}的前n项和R n.从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答．ac．20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a+c)b=125(1)若a，b，c成等差数列，求cos B的值；(2)是否存在△ABC满足B为直角？若存在，求sin A的值；若不存在，请说明理由．21.如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAB是正三角形，BC⊥AB，BC=CD=2√3，AB=AD=2．(1)若PB=3BE，求证：AE//平面PCD；(2)若PC=4，求二面角A−PC−B的正弦值．22.已知数列{a n}满足：a n a n−1+2a n−a n−1=0，(n≥2,n∈N)，a1=1，前n项和为S n的数列{b n}满足：b1=1，b n=2a n−a n a n−11−2a n a n−1(n≥2,n∈N)，又c n=S n−1b n(n≥2,n∈N)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：2≤(1+1c2)(1+1c3)…(1+1c n)<83(n≥2,n∈N)．答案和解析1.【答案】B【解析】解：M−N=xy−x−y+1=x(y−1)−(y−1)=(x−1)(y−1)，∵0<x<1，0<y<1，∴x−1<0，y−1<0，∴M−N>0，∴M>N．故选：B．利用作差法，即可比较出大小．本题考查了不等式性质，作差法是比较代数式大小的常用方法，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由正弦定理知：asinA =bsinB，从而b=a×sinBsinA =2√2×√32√22=2√3．故选：A．由正弦定理知：b=a×sinBsinA =2√2×√32√22=2√3．本题主要考察了正弦定理的应用，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由等差数列的性质可得：a4+a6=a2+a8=2a5所以a4+a5+a6=15，即3a5=15，a5=5，故a2+a8=2a5=2×5=10，故选：B．由等差数列的性质可得：a4+a6=a2+a8=2a5，代入可得a5=5，而要求的值为2a5，代入可得．本题为等差数列性质的应用，熟练掌握等差数列的性质是解决问题的关键，属基础题．4.【答案】A【解析】解：设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为32a，“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为98a，“商”经过一次“损”，可得“羽”频率为2716a，最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是8164a，由于a，98a，8164a成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，故选：A．根据文化知识，分别求出相对应的概率，即可判断．本题考查了等比数列的应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则可以设其方程方程为x2−y24=m，又由其过点(2,2√5)，则有4−4×54=m，解可得m=−1，则其方程为：x2−y24=−1，其标准方程为：y24−x2=1，故选：B．根据题意，由双曲线的渐近线方程，可以设其方程为x2−y24=m，又由其过点(2,2√5)，将点的坐标代入方程计算可得m的值，即可得其方程，最后将求得的方程化为标准方程即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意最后的答案要检验其是否为标准方程的形式．6.【答案】B【解析】解：由题意，在△BCD中，∠BCD=15°，∠BDC=30°，∴∠CBD=135°，又CD=30m，由正弦定理得BC sin∠BDC =CDsin∠CBD ， ∴BC =30×sin1350sin300=15√2；在△ABC 中，∠ABC =90°，∠ACB =60°， ∴AB =BCtan60°=15√2×√3=15√6； 则建筑物高AB 为15√6m. 故选：B ．在△BCD 中利用正弦定理求得BC 的值，在△ABC 中利用直角三角形的边角关系求得AB 的值．本题考查了正弦定理与直角三角形的边角关系应用问题，是中档题．7.【答案】B【解析】解：以C 为坐标原点，在平面ABC 中，过C 作CB 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴建立空间直角坐标系， 因为AB =1，AA 1=2，则有A(√32,12,0),C(0,0,0),C 1(0,0,2),D(0,1,1)，故CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,0),CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,12,1)， 设平面AA 1C 1C 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则有{n ⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +12y =0n ⃗ ⋅CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2z =0，取x =1，则n ⃗ =(1,−√3,0)，设直线AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为θ， 则sinθ=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√3√2×√4=√64． 故选：B ．建立合适的空间直角坐标系，然后求出需点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后利用线面角的求解公式计算即可．本题考查了空间角的计算，主要考查的是线面角的求解，对于空间角的求解，一般会运用空间向量法，解题的关键是建立合适的空间直角坐标系，将问题转化为空间向量的夹角进行研究，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：b ⃗ ⋅e ⃗ =0⇒b ⃗ ⊥e ⃗ ，所以可建立平面直角坐标系如图所示， 使OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−e ⃗ =(−1,0)，OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =e ⃗ =(1,0)，ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ =(0,1)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗⃗⃗ =(x,y)， |a ⃗ +e ⃗ |+|a ⃗ −e ⃗ |=4⇒由椭圆定义知，P 点轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆， 2a =4⇒a =2，c =1，b =√a 2−c 2=√3，所以|a ⃗ −b ⃗ |+|a ⃗ −e ⃗ |=|BP|+|PF 2|=|BP|+4−|PF 1|=4−(|PF 1|−|BP|)≥4−|BF 1|=4−√2，当P 运动到P′时等号成立，所以|a ⃗ −b ⃗ |+|a ⃗ −e ⃗ | 的最小值为4−√2． 故选：A ．通过平面向量运算几何意义，确定动点轨迹为椭圆，用不等式方法求最小值即可判断． 本题考查了平面向量运算几何意义，考查了椭圆的基本性质，考查了用不等式求最值问题，属于中档题．9.【答案】BC【解析】解：∵向量a ⃗ =(4,−2,−4),b ⃗ =(6,−3,2)， ∴a ⃗ +b ⃗ =(10,−5,−2)，故A 正确； a ⃗ −b ⃗ =(−2,1，−6)，故B 错误； a⃗ ⋅b ⃗ =24+6−8=22，故C 错误； |a ⃗ |=√16+4+16=6，故D 正确． 故选：BC ．利用向量坐标运算法则直接求解．本题考查命题真假的判断，考查空间向量坐标运算法则等基础知识，是基础题．10.【答案】BD【解析】解：对于A，x<1时，x2有可能大于1，比如−3<1，(−3)2>1，故A错误；对于B，0<x<1⇒x2<1，故B正确；对于C，−1<x<1⇔x2<1，故C错误．对于D，−1<x<0⇒x2<1，故D正确；故选：BD．对于A，x<1是x2<1的不充分不必要条件；对于B，0<x<1是x2<1的一个充分不必要条件；对于C，−1<x<1是x2<1的充要条件；对于D，−1<x<0是x2<1的一个充分不必要条件．本题考查命题的充分非必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】ABD【解析】解：设{a n}是等差数列，S n是其前n项的和，且S5<S6，S6=S7>S8，则由S5<S6得a1+a2+a3+⋯+a5<a1+a2+⋯+a5+a6，即a6>0，又∵S6=S7，∴a1+a2+⋯+a6=a1+a2+⋯+a6+a7，∴a7=0，故D正确；同理由S7>S8，得a8<0，∵d=a7−a6<0，故A正确；而C选项S9>S5，即a6+a7+a8+a9>0，可得2(a7+a8)>0，由结论a7=0，a8<0，显然C是错误的．∵S5<S6，S6=S7>S8，∴S6与S7均为S n的最大值，故B正确；故选：ABD．运用等差数列的前n项和的定义，对每一选项进行判断即可．本题考查了等差数列的前n项和的定义，是基础题．12.【答案】AC【解析】解；对于A：y=x+2x ≥2√x⋅2x=2√2，当且仅当x=2x时，即x=√2取等号，此时取得最小值2√2，故A成立；对于B：由0<x<π可得0<sinx≤1，令t=sinx∈(0,1]，y=t+2t在(0,1]上单调递减，当t=1时取得最小值3，故B不成立；对于C：令t=e x，则t>0，则y=t+2t ≥2√t⋅2t=2√2，当且仅当t=2t时，即t=√2取等号，此时取得最小值2√2，C成立；对于D，由于log2x∈R，所以设log2x=t，当t>0时，y=log2x+2log x2=log2x+2log2x =t+2t≥2√2，当且仅当t=2t时，即t=√2取等号，此时取得最小值2√2；当t<0时，y=log2x+2log x2=−[−t+(−2t)]≤−2√2，当且仅当t=2t时，即t=−√2取等号，此时取得最大值−2√2．综上述y≤−2√2或y≥2√2，故D不成立．故选：AC．由已知结合基本不等式及函数的单调性分别检验各选项即可判断．本题主要考查了基本不等式的应用条件在求解最值中的应用，属于基础题．13.【答案】∃x∈R，x2−2x+4>0【解析】解：根据全称命题的否定是特称命题，∴命题∀x∈R，x2−2x+4≤0的否定是：∃x∈R，x2−2x+4>0，故答案是∃x∈R，x2−2x+4>0．根据全称命题的否定是特称命题，写出其否定命题即可．本题考查命题的否定及全称命题与特称命题．全称命题与特称命题是互为否定命题．14.【答案】y=−1【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，进而可求抛物线的准线方程．本题的考点是抛物线的简单性质，主要考查抛物线的标准方程，属于基础题．【解答】解：由题意，抛物线的标准方程为x2=4y，∴p=2，开口朝上，∴准线方程为y =−1， 故答案为：y =−1．15.【答案】[2,3]【解析】解：对m 分类讨论：若m =0，不等式化为：x +4>0，解得x >−4.∴A =(−4,+∞).此时满足A ∩Z =B 的B 有无数个元素． 若m <0，不等式化为：(x −m 2+6m)(x +4)>0，无论m 2+6m与−4的大小关系如何，此时满足A ∩Z =B 的B 有无数个元素． 若m >0，不等式化为：(x −m 2+6m)(x +4)<0，解得−4<x <m 2+6m，此时满足A ∩Z =B的B 有有限个元素．由f(m)=m 2+6m，f′(m)=1−6m 2=m 2−6m 2，可得m =√6时，f(m)取得极小值即最小值，此时B 中只含有8个元素，令m 2+6m=5，解得m =2，3.∴2≤m ≤3．综上可得：使得集合B 中元素个数最少时m 取值范围是[2,3]． 故答案为：[2,3]．对m 分类讨论：利用一元二次不等式的解法，及其条件满足A ∩Z =B(其中Z 为整数集)，使得集合B 中元素个数最少时，即可得出．本题考查了不等式的解法、集合的运算性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】x 24+y 23=1 (6,8]【解析】解：由(x −1)2+y 2=a 2(x <0)，令y =0，可得x =1−a 以及A 1(−1−a,0)，再由椭圆的方程及题意可得A 2(a,0)，B 2(0,b)，B 1(0,−b)， 由∠B 1FB 2=120°，可得bc =√3， 由F(1,0)可得b =√3， 所以a =2，所以半椭圆及圆弧的方程分别为x 24+y 23=1(x ≥0)，(x −1)2+y 2=4(x <0)，所以A 1(−1,0),A 2(2,0),B 1(0,−√3),B 2(0,√3)， 可得A 1相当于椭圆的左焦点，△A 1PQ 的周长为PF +PA 1+A 1Q +QF ，当P 从A 2(不包括A 2)向B 2运动时，PA +PF =2a =4，当Q 在y 轴右侧时，A 1Q +QF =2a =4，所以这时三角形的周长为8，当P 从B 2向A 1运动时，Q 在第四象限，则A 1Q +QF =2a =4，PF +PA 1≤2r +A 1B 2=2+a =4，这时三角形的周长小于8，当P 运动到A 1时，Q 在A 2处，不构成三角形，三角形的周长接近2A 1A 2=6， 由曲圆的对称性可得P 运动到x 轴下方时，与前面的一样， 综上所述，△A 1PQ 的周长的取值范围为(6,8]． 故答案为：x 24+y 23=1；(6,8]．由椭圆的焦点坐标以及∠B 1FB 2=120°，可得椭圆的标准方程和圆的方程，从而得到半椭圆方程；易知A 1是椭圆的左焦点，过椭圆的右焦点F 的直线与曲圆可得P ，Q ，在直线转动的过程中由P ，Q 的位置可得三角形的周长的取值范围．本题考查了椭圆与圆的综合应用，涉及了椭圆标准方程以及圆的方程的求解，涉及了椭圆以及圆的性质的应用，解题的关键是准确分析P ，Q 的变化情况，属于中档题．17.【答案】解：(1)函数f(x)=mx 2−mx −12，当m =1时，解不等式f(x)>0，即x 2−x −12>0， 因式分解得：(x −4)(x +3)>0， 解得：x <−3或x >4，∴不等式的解集为{x|x <−3或x >4}．(2)当m =0时，此时f(x)=−12，不等式f(x)<0的解集为，恒成立，当m ≠0时，要使不等式f(x)<0的解集为，须满足：{m <0Δ=m 2+48m <0⇒−48<m <0, ∴−48<m ≤0综上可得，实数m 的取值范围是(−48,0]【解析】本题考查了不等式的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行分析，属于基础题．(1)因式分解，利用一元二次不等式的解法求解即可；(2)对二次项系数进行讨论，利用一元二次不等式的解法求解即可．18.【答案】解：(1)由抛物线的定义知，|PF|=2+p2=4，∴p =4，∴抛物线C 的方程为y 2=8x ． (2)∵抛物线C 的方程为y 2=8x ， ∴F(2,0)， ∴直线l 过点F ，设A 、B 两点的横坐标分别为x 1，x 2，联立{y =k(x −2)y 2=8x ，得k 2x 2−(4k 2+8)x +4k 2=0，∴x 1+x 2=4k 2+8k 2=4+8k 2，∴|AB|=x 1+x 2+4=4+8k 2+4=16， 解得k =±1．【解析】(1)由抛物线的定义知，|PF|=2+p2=4，解之即可；(2)易知直线l 过点F ，设A 、B 两点的横坐标分别为x 1，x 2，将直线方程与抛物线方程联立，消去y ，结合韦达定理与抛物线的定义，可得解．本题考查直线与抛物线的位置关系，利用抛物线的定义处理焦点弦长是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)由S n =2n+1−2，可得n =1时，a 1=S 1=2，n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n+1−2−(2n −2)=2n ， 上式对n =1也成立，所以数列{a n }的通项公式为a n =2n ，n ∈N ∗； (2)设等差数列{b n }的公差为d ， 选图①，可得T 1=1，T 3=−3，即有b 1=1，3×1+12×3×2d =−3，解得d =−2， 则b n =1−2(n −1)=3−2n ， a n b n =(3−2n)⋅2n ，R n =1⋅2+(−1)⋅22+(−3)⋅23+⋯+(3−2n)⋅2n ，2R n=1⋅22+(−1)⋅23+(−3)⋅24+⋯+(3−2n)⋅2n+1，两式相减可得−R n=2−2(22+23+⋯+2n)−(3−2n)⋅2n+1−(3−2n)⋅2n+1，=2−2⋅4(1−2n−1)1−2化简可得R n=(5−2n)⋅2n+1−10；选图②，可得T1=1，T3=6，×3×2d=6，解得d=1，即有b1=1，3×1+12则b n=1+(n−1)=n，a nb n=n⋅2n，R n=1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n，2R n=1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+n⋅2n+1，两式相减可得−R n=2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1−n⋅2n+1，=2(1−2n)1−2化简可得R n=(n−1)⋅2n+1+2；选图③，可得T1=−3，T3=0，×3×2d=0，解得d=3，即有b1=−3，3×(−3)+12则b n=−3+3(n−1)=3n−6，a nb n=(3n−6)⋅2n，R n=(−3)⋅2+0⋅22+3⋅23+⋯+(3n−6)⋅2n，2R n=(−3)⋅22+0⋅23+3⋅24+⋯+(3n−6)⋅2n+1，两式相减可得−R n=−6+3(22+23+⋯+2n)−(3n−6)⋅2n+1−(3n−6)⋅2n+1，=−6+3⋅4(1−2n−1)1−2化简可得R n=(3n−9)⋅2n+1+18．【解析】(1)运用数列的递推式：n=1时，a1=S1，n≥2时，a n=S n−S n−1，化简可得所求通项公式；(2)设等差数列{b n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差，再由数列的错位相减法求和，可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，以及等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)若a，b，c成等差数列，所以a+c=2b，由于(a+c)b=125ac．所以cosB=(a+c)2−2ac−b22ac =3b22ac−1，由于(a+c)b=125ac，所以cosB=3b22ac −1=32×65−1=45．(2)假设B为直角，则sinB=1，sinC=cosA，由于(a+c)b=125ac，根据正弦定理(sinA+sinC)sinB=125sinA⋅sinC，即sinA+cosA=65sin2A，上式两边平方得：1+sin2A=3625sin22A，所以(9sin2A+5)(4sin2A−5)=0，由于0<sin2A≤1，所以9sin2A+5>0，4sin2A−5<0，与(9sin2A+5)(4sin2A−5)=0矛盾，故不存在△ABC满足B为直角．【解析】(1)直接利用等差数列的性质和余弦定理的应用求出结果．(2)利用假设法的应用和关系式的变换和应用推导出矛盾，进一步说明假设不成立，进一步得出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．21.【答案】(1)证明：如图，作EF//PC ，交BC 于F ，连接AF ．因为PB =3BE ，所以E 是PB 的三等分点，可得BF =2√33．因为AB =AD =2，BC =CD =2√3，AC =AC ，所以△ABC≌△ADC ， 因为BC ⊥AB ，所以∠ABC =90°， 因为tan∠ACB =AB BC =2√3=√33，所以∠ACB =∠ACD =30°，所以∠BCD =60°，因为tan∠AFB =ABBF =2√33=√3，所以∠AFB =60°，所以AF//CD ，因为AF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AF//平面PCD ． 又EF//PC ，EF ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以EF//平面PCD ．因为AF ∩EF =F ，AF 、EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF//平面PCD ，所以AE//平面PCD ． (2)解：因为△PAB 是等边三角形，AB =2，所以PB =2．又因为PC =4，BC =2√3，所以PC 2=PB 2+BC 2，所以BC ⊥PB ． 又BC ⊥AB ，AB ，PB ⊂平面PAB ，AB ∩PB =B ，所以BC ⊥平面PAB ．因为BC ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD.在平面PAB 内作Bz ⊥平面ABCD ． 以B 点为坐标原点，分别以BC ，BA ，Bz 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B −xyz ，则C(2√3,0,0)，A(0,2，0)，P(0,1,√3)，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,0,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,√3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,−2,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,√3)． 设m ⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)为平面BPC 的法向量，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2√3x 1=0y 1+√3z 1=0，令z 1=−1，可得m ⃗⃗⃗ =(0,√3,−1)．设n ⃗ =(x 2,y 2,z 2)为平面APC 的法向量，则{n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2√3x 2−2y 2=0−y 2+√3z 2=0， 令z 2=1，可得n ⃗ =(1,√3,1)． 所以cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=2×√5=√55． 则sin〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=(√55)=2√55，所以二面角A −PC −B 的正弦值为2√55．【解析】(1)作EF//PC ，交BC 于F ，连接AF.证明AF//CD ，推出AF//平面PCD.结合EF//PC ，推出EF//平面PCD.证明平面AEF//平面PCD ，得到AE//平面PCD ． (2)以B 点为坐标原点，分别以BC ，BA ，Bz 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B −xyz ，求出平面BPC 的法向量，平面APC 的法向量，通过空间向量的数量积求解二面角A −PC −B 的正弦值即可．本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，平面与平面平行的性质，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．22.【答案】解：(1)由条件得a n a n−1+2a n −a n−1=0⇒a n−1=2a n +a n a n−1，易知a n ≠0，两边同除以a n a n−1得1a n=2×1an−1+1⇒1a n+1=2(1a n−1+1)，又1a 1+1=2，故1a n+1=2n ⇒a n =12n −1(n ∈N ∗)，(2)因为：1+1c n=1+b nSn−1=S n−1+b n S n−1=S n S n−1(n ≥2,n ∈N)，所以(1+1c 2)(1+1c 3)…(1+1c n)=S2S 1×S3S 2×…×Sn−1S n−2×S nSn−1=S n S 1=S n ，故只需证2≤S n <83， 由条件b n =22n −1−12n −1×12n−1−11−2×12n −1×12n−1−1=2n −3(2n −1)(2n−1−1)−2<2n −1(2n −1)(2n−1−1)<2n(2n −1)(2n−1−1)=2(12n−1−1−12n −1)(n ≥2,n ∈N) 一方面：当n =2时S 2=2<83当n ≥3，n ∈N 时，S n =b 1+b 2+⋯+b n ≤1+1+2(122−1−123−1)+⋯+2(12n−1−1−12n −1)=2+23−12n −1<83， 另一方面：当n ≥2，n ∈N 时，b n >0所以S n =b 1+b 2+⋯+b n ≥1+1=2 所以当n ≥2，n ∈N 时2≤(1+1c 2)(1+1c 3)…(1+1c n)<83．【解析】(1)由题意a n a n−1+2a n −a n−1=0，变形可得1a n=2×1an−1+1⇒1a n+1=2(1an−1+1)，即得数列{1a n+1}是等比数列，即可求得结论；(2)由题意可得1+1c n=1+b nSn−1=S n−1+b n S n−1=S nSn−1(n ≥2,n ∈N)，故只需证2≤S n <83，故利用放缩法求得s n 的范围，即可得出结论．本题数列与不等式的综合性问题，主要考查学生对等比数列的定义及求和公式的掌握运用能力，考查学生的运算求解能力，逻辑性强，属于难题．。