2017-2018年广东省中山市高一上学期期末数学试卷带答案
20172018学年广东省中山市高三(上)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年广东省中山市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若集合，B={1，m}，若A⊆B，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．2或2．（5分）若复数（i是虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为（）A．2 B．C．D．﹣23．（5分）已知实数，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a4．（5分）阅读如图所示的程序框图，输出的结果S的值为（）A．0 B．C．D．5．（5分）若x，y满足，若z=x+2y，则z的最大值是（）A．1 B．4 C．6 D．86．（5分）李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步、50步B．20步、60步C．30步、70步D．40步、80步7．（5分）若二项式（3﹣x）n（n∈N*）中所有项的系数之和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则+的最小值为（）A．2 B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（）A．（0，4） B．C． D．（0，1），（4，+∞）9．（5分）已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A．48种B．72种C．78种D．84种10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是（）A．{t|}B．{t|≤t≤2}C．{t|2} D．{t|2}11．（5分）已知≤k＜1，函数f（x）=|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g（x）=|2x﹣1|﹣的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则x4+x2﹣（x3+x1）的最小值为（）A．1 B．log23 C．log26 D．312．（5分）已知函数f（x）=3sinωxcosωx﹣4cos2ωx（ω＞0），其周期为π，f（θ）=，则f（θ+）+f（θ﹣）=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣D．﹣二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知cos（α+）=，则sin2α=．14．（5分）已知=（1，﹣2），+=（0，2），则||=．15．（5分）某班运动队由足球队员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n+1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为．16．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=，且对任意正整数m，n，都有a m=a m a n，若对任意n∈N*，S n＜t恒成立，则实数t的取值范围是．+n三、解答题（本大题共7小题，共70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=a5+a6=25．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若不等式2S n+8n+27＞（﹣1）n k（a n+4）对所有的正整数n都成立，求实数k的取值范围．18．（12分）如图，在△ABC中，AB=2，cosB=，点D在线段BC上．（1）若∠ADC=π，求AD的长；（2）若BD=2DC，△ACD的面积为，求的值．19．（12分）某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y 关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？20．（12分）某市小型机动车驾照“科二”考试共有5项考察项目，分别记作①，②，③，④，⑤．（Ⅰ）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3（≤3）项的概率．项目/学号编号①②③④⑤（1）T T T（2）T T T（3）T T T T（4）T T T（5）T T T T（6）T T T（7）T T T T（8）T T T T T（9）T T T（10）T T T T T注：“T”表示合格，空白表示不合格（Ⅱ）“科二”考试中，学员需缴纳150元报名费，并进行1轮测试（按①，②，③，④，⑤的顺序进行），如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第1轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若补考则需缴纳300元补考费，并获得最多2轮补测机会，否则考试结束．每1轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序进行．学员在任何1轮测试或补测中5个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多只能补考1次．某学员每轮测试或补测通过①，②，③，④，⑤各项测试的概率依次为1，1，1，，，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考．①求该学员能通过“科二”考试的概率．②求该学员缴纳的考试费用X的数学期望．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．22．（12分）已知函数．（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明．23．（10分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．2017-2018学年广东省中山市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若集合，B={1，m}，若A⊆B，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．2或【解答】解：∵集合={2}又∵B={1，m}若A⊆B则m=2故选A2．（5分）若复数（i是虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为（）A．2 B．C．D．﹣2【解答】解：复数==+为纯虚数，∴=0，≠0，解得a=2．故选：A．3．（5分）已知实数，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：log22＜log23＜log24=2⇒a∈（1，2），b=（x+）dx=（+lnx）|=ln2+，故选：D4．（5分）阅读如图所示的程序框图，输出的结果S的值为（）A．0 B．C．D．【解答】解：本框图为“当型“循环结构当满足n≤2010时，执行循环体：s=s+sin根据s=0，n=1第1次循环：s=0+sin =第2次循环：s=+=第3次循环：s=+0=第4次循环：s=+（﹣）=第5次循环：s=+2（﹣）=0第6次循环：s=0+0=0第7次循环：s=…当n为6的倍数时，s的值为0n=2010时，为6的倍数，故此时s=0n=2011时，s=故选B5．（5分）若x，y满足，若z=x+2y，则z的最大值是（）A．1 B．4 C．6 D．8【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）；由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大；由，解得，即A（2，2），代入目标函数z=x+2y得z的最大值是2+2×2=6．故选：C．6．（5分）李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步、50步B．20步、60步C．30步、70步D．40步、80步【解答】解：由题意，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．方田面积减去水池面积为13.75亩，∴（40+m）2﹣=13.75×240．解得：m=20．即圆池直径20步那么：方田边长为40步+20步=60步．故选B．7．（5分）若二项式（3﹣x）n（n∈N*）中所有项的系数之和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则+的最小值为（）A．2 B．C．D．【解答】解：令x=1，可得a=2n，令x=﹣1，可得b=4n．∴+=≥2+=．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（）A．（0，4） B．C． D．（0，1），（4，+∞）【解答】解：结合图象：x∈（0，1）和x∈（4，+∞）时，f′（x）﹣f（x）＜0，而g′（x）=，故g（x）在（0，1），（4，+∞）递减，故选：D．9．（5分）已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A．48种B．72种C．78种D．84种【解答】解：由题意知先使五个人的全排列，共有A55=120种结果．穿红色相邻或穿黄色相邻两种情况，有2A22A44=96种，穿红色相邻且穿黄色也相邻情况，有A22A22A33=24种，故：穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是120﹣96+24=48，故选：A10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是（）A．{t|}B．{t|≤t≤2}C．{t|2} D．{t|2}【解答】解：设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，则∵A1M∥D1E，A1M⊄平面D1AE，D1E⊂平面D1AE，∴A1M∥平面D1AE．同理可得MN∥平面D1AE，∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线∴平面A1MN∥平面D1AE，由此结合A1F∥平面D1AE，可得直线A1F⊂平面A1MN，即点F是线段MN上上的动点．设直线A1F与平面BCC1B1所成角为θ运动点F并加以观察，可得当F与M（或N）重合时，A1F与平面BCC1B1所成角等于∠A1MB1，此时所成角θ达到最小值，满足tanθ==2；当F与MN中点重合时，A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值，满足tanθ==2∴A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围为[2，2]故选：D11．（5分）已知≤k＜1，函数f（x）=|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g（x）=|2x﹣1|﹣的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则x4+x2﹣（x3+x1）的最小值为（）A．1 B．log23 C．log26 D．3【解答】解：函数y=|2x﹣1|的图象如图：∵x1＜x2，∴=1﹣k，=1+k，又∵x3＜x4，∴=1﹣，=1+，∴，=．则==﹣3+．又k∈[，1），∴﹣3+∈[3，+∞）．∴x4+x2﹣（x3+x1）=x4﹣x3+x2﹣x1∈[log23，+∞），即x4+x2﹣（x3+x1）的最小值为log23．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=3sinωxcosωx﹣4cos2ωx（ω＞0），其周期为π，f（θ）=，则f（θ+）+f（θ﹣）=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣D．﹣【解答】解：f（x）=3sinωxcosωx﹣4cos2ωx===，（tanα=）．由T==π，得ω=1．∴f（x）=．由f（θ）=，得sin（2θ﹣α）﹣2=，∴sin（2θ﹣α）=1；∴f（θ+）=sin[2（θ+）﹣α]﹣2=sin（2θ+π﹣α）﹣2=﹣sin（2θ﹣α）﹣2=﹣×1﹣2=﹣；f（θ﹣）=﹣2=﹣2=﹣2．∴f（θ+）+f（θ﹣）=．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知cos（α+）=，则sin2α=﹣．【解答】解：∵，∴（cosα﹣sinα）=，可得：cosα﹣sinα=，∴两边平方可得：1﹣sin2α=，∴可解得：sin2α=﹣．故答案为：﹣．14．（5分）已知=（1，﹣2），+=（0，2），则||=．【解答】解：因为=（1，﹣2），+=（0，2），所以=（﹣1，4），所以；故答案为：15．（5分）某班运动队由足球队员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n+1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为6．【解答】解：由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，∵总体容量为6+12+18=36．当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为，分层抽样的比例是，抽取的乒乓球运动员人数为•6=，篮球运动员人数为•12=，足球运动员人数为•18=，∵n应是6的倍数，36的约数，即n=6，12，18．当样本容量为（n+1）时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为，∵必须是整数，∴n只能取6．即样本容量n=6．故答案为：616．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=，且对任意正整数m，n，都=a m a n，若对任意n∈N*，S n＜t恒成立，则实数t的取值范围是有a m+n．=a m•a n，【解答】解：由题意得，对任意正整数m，n，都有a m+n令m=1，得到a n=a1•a n，所以=a1=，+1则数列{a n}是首项、公比都为的等比数列，所以S n==（1﹣）＜，因为S n＜t对任意n∈N*恒成立，所以t≥，故答案为：三、解答题（本大题共7小题，共70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=a5+a6=25．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若不等式2S n+8n+27＞（﹣1）n k（a n+4）对所有的正整数n都成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则，∴a1=﹣1，d=3．∴{a n}的通项公式为a n=3n﹣4．（Ⅱ）由（I）可知，，a n+4=3n；则原不等式等价于对所有的正整数n都成立．∴当n为奇数时，恒成立；当n为偶数时，恒成立．又∵，当且仅当n=3时取等号，所以当n为奇数时，的最小值为7，当n为偶数且n=4时，的最小值为，∴不等式对所有的正整数n都成立时，实数k的取值范是{k|}．18．（12分）如图，在△ABC中，AB=2，cosB=，点D在线段BC上．（1）若∠ADC=π，求AD的长；（2）若BD=2DC，△ACD的面积为，求的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=．∵∠ADC=π，∴∠ADB=．△ABD中，由正弦定理可得，∴AD=；（2）设DC=a，则BD=2a，∵BD=2DC，△ACD的面积为，∴4=，∴a=2∴AC==4，由正弦定理可得，∴sin∠BAD=2sin∠ADB．=，∴sin∠CAD=sin∠ADC，∵sin∠ADB=sin∠ADC，∴=4．19．（12分）某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y 关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？【解答】解：（1）由题意，30=xθ+10θ+2（10﹣x），∴θ=（0＜x＜10）；（2）花坛的面积为﹣==（10﹣x）（5+x）；装饰总费用为xθ•9+10θ•9+2（10﹣x）•4=9xθ+90θ+8（10﹣x）=170+10x，∴花坛的面积与装饰总费用的比为y=．令17+x=t，则y=，当且仅当t=18时取等号，此时x=1，θ=，∴当x=1时，y取得最大值．20．（12分）某市小型机动车驾照“科二”考试共有5项考察项目，分别记作①，②，③，④，⑤．（Ⅰ）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3（≤3）项的概率．项目/学号编号①②③④⑤（1）T T T（2）T T T（3）T T T T（4）T T T（5）T T T T（6）T T T（7）T T T T（8）T T T T T（9）T T T（10）T T T T T注：“T”表示合格，空白表示不合格（Ⅱ）“科二”考试中，学员需缴纳150元报名费，并进行1轮测试（按①，②，③，④，⑤的顺序进行），如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第1轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若补考则需缴纳300元补考费，并获得最多2轮补测机会，否则考试结束．每1轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序进行．学员在任何1轮测试或补测中5个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多只能补考1次．某学员每轮测试或补测通过①，②，③，④，⑤各项测试的概率依次为1，1，1，，，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考．①求该学员能通过“科二”考试的概率．②求该学员缴纳的考试费用X的数学期望．【解答】解：（1）根据题意，学员（1），（2），（4），（6），（9）恰有两项不合格，从中任意抽出2人，所有可能的情况如下：学员编号补测编号项数（1）（2）②③⑤3（1）（4）②③④⑤4（1）（6）③④⑤3（1）（9）①③⑤3（2）（4）②④⑤3（2）（6）②③④⑤4（2）（9）①②⑤3（4）（6）②③④3（4）（9）①②④⑤4（6）（9）①③④⑤4由表可知，全部10种可能的情况中，有6种情况补测项数不超过3，故所求概率为=；（2）由题意可知，该学员顺利完成每1轮测试（或补测）的概率为1×1×1××=．①由题意，该学员无法通过“科二”考试，当且仅当其测试与3次补测均未能完成5项测试，相应概率为=．故学员能通过“科二”考试的概率为1﹣=．②根据题意，当且仅当该学员通过测试，或未通过测试但通过第1轮补测时X=150，其他情况时均有X=450，而P（X=150）=+×=，故X的分布列为：X150450P故E（X）=150×+450×=126+72=198（元）．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，又∵AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，∴AB∥面PCD，…（2分）又∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，∴AB∥EF；…（4分）（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB，∵PA=PD，∴PG⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥GB，在菱形ABCD中，∵AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中点，∴AD⊥GB，…（6分）如图，建立空间直角坐标系G﹣xyz，设PA=PD=AD=2，则G（0，0，0），A（1，0，0），，，D（﹣1，0，0），，又∵AB∥EF，点E是棱PC中点，∴点F是棱PD中点，∴，，，，…（8分）设平面AFE的法向量为，则有，∴，不妨令x=3，则平面AFE的一个法向量为，…（10分）∵BG⊥平面PAD，∴是平面PAF的一个法向量，∵，∴平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为．…（12分）22．（12分）已知函数．（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣ax2+x，f（1）=0，∴a=2，且x＞0．∴f（x）=lnx﹣x2+x，∴f′（x）=﹣2x+1=﹣，当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）的单调递减，∴函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．（2）令F（x）=f（x）﹣ax+1=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，则F′（x）=﹣ax+1﹣a=﹣=﹣a ，当a≤0时，在（0，+∞）上，函数F（x）单调递增，且F（1）=2﹣a＞0，不符合题意，当a＞0时，函数F（x）在x=时取最大值，F（）=ln+，令h（a）=ln+=﹣lna，则根据基本函数性质可知，在a＞0时，h（a）单调递减，又∵h（1）=＞0，h（2）=﹣ln2＜0，∴符合题意的整数a的最小值为2．（3）∵a=﹣2，∴f（x）=lnx+x2+x，∴f（x1）+f（x2）+x1x2=lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x1x2+x2=（x1+x2）2+x1+x2+lnx1x2﹣x1x2令g（x）=lnx﹣x，则g′（x）=﹣1，∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）max=g（1）=﹣1，∴f（x1）+f（x2）+x1x2≤（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1，即（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1≥0，又∵x1，x2是正实数，∴x1+x2≥．23．（10分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，∴所求椭圆方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴，．∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=====．当且仅当，即时等号成立．当k=0时，，综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．。
2017-2018学年高一数学上学期期末统一考试试题及答案(新人教A版 第34套)
中山市高一级2017-2018学年度第一学期期末统一考试数学科试卷本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间100分钟。
注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上.3、不可以使用计算器.4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.5、参考公式：球的体积公式34,3V R π=球，其中R 是球半径． 锥体的体积公式V锥体13Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 台体的体积公式V台体1()3h S S '=+，其中,S S '分别是台体上、下底面的面积，h 是台体的高．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的)1．已知集合{|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是矩形}，{|C x x =是正方形}，{|D x x =是菱形}，则A ．AB ⊆ B ．C B ⊆ C ．D C ⊆ D ．A D ⊆ 2．下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是（ ）A ．x y =B ．x y -=3C ．xy 1=D ．42+-=x y3．在同一坐标系中，函数y ＝x-2与y ＝log 2 x 的图象是( )．ABCD4．如左图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列几何 体中的（ ）正视图左视图俯视图5．已知lg 2,lg3,a b ==则lg 45的值用a ，b 表示为 （ ） A ．21b a +-B ．12b a +-C ．3a b +D ．2a b b ++6．若函数22)(23--+=x x x x f 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，得到如下参考数据： 那么方程02223=--+x x x 的一个近似根（精确到0.1）为A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.57．若213211()(),22a a +-<则实数a 的取值范围是 A ．(1,)+∞B ．1(,)2+∞C ．(,1)-∞D ．1(,)2-∞8．已知直线b kx y +=经过一、二、三象限，则有（ ）A ．k<0，b <0B ．k<0，b>0C ．k>0，b>0D ．k>0，b<09．已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是（ ） A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③10．若()21231log log log 0a a a x x x ++==>，则123,,x x x 之间的大小关系为（ ）.A ．3x <2x <1xB ．2x <1x <3xC ．1x <3x <2xD ．2x <3x <1x第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上） 11．点(1,1) 到直线:3430l x y ++=的距离为 . 12．某同学利用TI-Nspire 图形计算器作图作出幂函数34()f x x =的图象如右图所示. 结合图象，可得到34()f x x =在区间[1,4]上的最大值为 .ABCD（结果用最简根式表示）13．已知⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ，若()10f x =，则x = .14．过点P （3，0）的直线m ，夹在两条直线03:1=++y x l 与022:2=--y x l 之间的线段恰被点P 平分，那么直线m 的方程为三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分12分） （Ｉ）求值：022*******log 9log 3log 3log --+；（Ⅱ）设函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且)2()(-=x f x f ，当x∈[0，1]时，1)(+=x x f ，求)23(f 的值.16．（本小题满分14分）（Ｉ）求两条平行直线01243=-+y x 与068=++y mx 之间的距离； （Ⅱ）求两条垂直直线022=++y x 与024=-+y nx 的交点坐标.17．（本小题满分13分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点（Ｉ）证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.18．（本小题满分13分）A 、B 两城相距100km ，在两地之间距A 城x km 处D 地建一核电站给A 、B 两城供电，为保证城市安全.核电站距市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数25.0=λ.若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月.（Ｉ）把月供电总费用y 表示成x 的函数，并求定义域；B 1 CB A DC 1A 1。
【优质文档】2017-2018年度高一年级期末综合检测(含参考答案)
⊥底面 ABC，垂足为 H，则点 H在 ( ).
A．直线 AC上 B ．直线 AB上
C．直线 BC上 D ．△ ABC内部
12. 已知 ab
0
,
点
P(a,b)
是圆
2
x
2
y
2
r 内一点 , 直线 m是以
点 P 为中点的弦所在的直线 , 直线 L 的方程是 ax by r 2 , 则下列结论正确的是 ( ).
1 D .m
2
3. 如图，矩形 O′ A′B′ C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中
O′ A′＝ 6 cm， C′D′＝ 2 cm，则原图形是 ( ).
A．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．梯形
4. 已知 A 2, 3 ， B 3, 2 ，直线 l 过定点 P 1,1 ，且与线段 AB 相交，
C． 3x 6y 5 0
D
． x 3或3x 4 y 15 0
8. 三视图如图所示的几何体的表面积是 (
)．
A．2＋ 2 B ．1＋ 2 C ．2＋ 3 D ．1＋ 3
9. 设 x0 是方程 ln x＋ x＝ 4 的解，则 x0 属于区间 ( ).A． (0 ，1)B ． (1 ，2)C
． (2 ， 3)
C．若 l ∥ β ，则 α∥ β D ．若 α ∥ β，则 l ∥ m
6. 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的
主视图与左视图分别如右图所示，则该几何
体的俯视图为 ( ).
7. 一条直线经过点
M ( 3,
3)
,
被圆
2
x
2
y
25 截得的弦长等于 8, 这条直线的方
2
程为 ( ).
中山市高三级2017-2018学年度第一学期期末统一考试(理科)答案
中山市高三级2017—2018学年度第一学期期末统一考试数学（理科）参考答案及评分标准13. 725-14. 15. 6 16. 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭17.解：（Ⅰ）设公差为d ，则11154545252a d a d a d ⨯+=+++=，∴1 1 3a d =-=，． ∴{}n a 的通项公式为34n a n =-． …………3分（Ⅱ）()312n n n S n -=-+，228273327n S n n n ++=++，43n a n +=；则原不等式等价于()911nk n n-<++对所有的正整数n 都成立． ∴当n 为奇数时，91k n n ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭； 当n 为偶数时，91k n n <++恒成立…6分又∵917n n++≥，当且仅当3n =时取等号， 所以当n 为奇数时，91n n++的最小值为7， 当n 为偶数时，4n =时，91n n ++的最小值为294， ∴不等式对所有的正整数n 都成立时，实数k 的取值范是2974k -<<…………10分18．解:（Ⅰ）在三角形中，∵1cos 3B =，∴sin 3B =． ………………2分 在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠，又2AB =，4ADB π∠=，sin 3B =．∴83AD =． ………………5分（Ⅱ）∵2BD DC =，∴2ABD ADC S S ∆∆=，3ABC ADC S S ∆∆=，又ADC S ∆=ABC S ∆= ………………7分∵1sin 2ABC S AB BC B ∆=⋅，∴6BC =， 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠．∴AC = ………………9分 ∵1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠， 且2ABD ADC S S ∆∆=，∴sin 2sin BAD AC CAD AB∠=⋅=∠ ………………12分19． 解: (1)由弧长计算及扇环面的周长为30米，得()30102(10)x x θ=++-，所以10210xxθ+=+， 100<<x ……3分 (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<．………5分装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+， …………………………7分 所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++， …………9分令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号，此时121,11x θ==． 答：当x ＝１时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．……………………………12分 (注：对y 也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分)20． 解：(1)根据题意，学员(1)，(2)，(4)，(6)，(9)恰有两项不合格，从中任意抽出2人，所有可能的情况如下：由表可知，全部，故所求概率为610＝35． ………………6分(2)由题意可知，该学员顺利完成每1轮测试(或补测)的概率为1×1×1×910×23＝35．①由题意，该学员无法通过“科二”考试，当且仅当其测试与3次补测均未能完成5项测试，相应概率为42()5＝16625．故学员能通过“科二”考试的概率为1－16625＝609625． ………………9分②根据题意，当且仅当该学员通过测试，或未通过测试但通过第1轮补测时X ＝150，其他情况时均有X ＝450，而P (X ＝150)＝35＋25×35＝2125，故X 的分布列为故E (X )＝150×2125＋450×425＝126＋72＝198(元)． ………………12分21． 解：（1）∵底面ABCD 是菱形，∴//AB CD ，又∵AB ⊄面PCD ，CD ⊂面PCD ， ∴//AB 面PCD ，又∵A ，B ，E ，F 四点共面，且平面ABEF 平面PCD EF =，∴//AB EF ； ………………4分 （2）取AD 中点G ，连接PG ，GB ，∵PA PD =，∴PG AD ⊥， 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =，∴PG ⊥平面ABCD ，∴PG GB ⊥， ………………5分 在菱形ABCD 中，∵AB AD =，60DAB ∠=︒，G 是AD 中点，∴AD GB ⊥， ………………6分 如图，建立空间直角坐标系G xyz -，由2PA PD AD ===，得(0,0,0)G ，(1,0,0)A ，B (C -，(1,0,0)D -，P ，又∵//AB EF ，点E 是棱PC 中点， ∴点F 是棱PD 中点，∴(1,22E-，1(,0,)22F -，3(2AF =-uu u r ,1(,2EF =uu u r ，设平面AFE 的法向量为(,,)n x y z =r ，则有00n AF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uu u r ，∴z y x⎧=⎪⎨=⎪⎩，不妨令3x =，则平面AFE的一个法向量为n =r， …………9分∵BG ⊥平面PAD ，∴GB =uu u r是平面PAF 的一个法向量，……10分∵cos ,n GB <n GB >n GB⋅===⋅r uu u rr uu u r r uuu r ， ………………11分 ∴平面PAF 与平面AFE ．………………12分 22．解：（1）因为(1)102af =-=，所以2a =，此时2()ln ,0f x x x x x =-+>， 2121()21(0)x x f x x x x x-++'=-+=> 由()0f x '<，得2210x x -->，又0x >，所以1x >．所以()f x 的单调减区间为(1,)+∞．………………3分（2）方法一：令21()()1)ln (1)12g x f x ax x ax a x =-=-+-+-(， 所以21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x-+-+'=-+-=．当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>． 所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数， 又因为213(1)ln11(1)12022g a a a =-⨯+-+=-+>，所以关于x 的不等式()1f x ax ≤-不能恒成立．当0a >时，21()(1)(1)1()a x x ax a x a g x x x-+-+-+'==-， 令()0g x '=，得1x a=． 所以当1(0,)x a∈时，()0g x '>；当1(,)x a∈+∞时，()0g x '<，因此函数()g x 在1(0,)x a ∈是增函数，在1(,)x a∈+∞是减函数．故函数()g x 的最大值为2111111()ln ()(1)1ln 22g a a a a a a a a=-⨯+-⨯+=-． 令1()ln 2h a a a=-， 因为1(1)02h =>，1(2)ln 204h =-<，又因为()h a 在(0,)a ∈+∞是减函数． 所以当2a ≥时，()0h a <．所以整数a 的最小值为2． ………………8分方法二：（2）由()1f x ax -≤恒成立，得21ln 12x ax x ax -+-≤在(0,)+∞上恒成立， 问题等价于2ln 112x x a x x +++≥在(0,)+∞上恒成立． 令2ln 1()12x x g x x x ++=+，只要max ()a g x ≥． 因为221(1)(ln )2()1()2x x x g x x x +--'=+，令()0g x '=，得1ln 02x x --=．设1()ln 2h x x x =--，因为11()02h x x '=--<，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，不妨设1ln 02x x --=的根为0x ． 当0(0,)x x ∈时，()0g x '>；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '<， 所以()g x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数．所以000max 020000011ln 112()()11(1)22x x x g x g x x x x x x +++====++． 因为11()ln 2024h =->，1(1)02h =-<所以0112x <<，此时0112x <<，即max ()(1,2)g x ∈．所以2a ≥，即整数a 的最小值为2． ………………8分 （3）当2a =-时，2()ln ,0f x x x x x =++>由1212()()0f x f x x x ++=，即2211122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=从而212121212()()ln()x x x x x x x x +++=⋅-⋅ 令12t x x =⋅，则由()ln t t t ϕ=-得，1()t t tϕ-'=可知，()t ϕ在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增． 所以()(1)1t ϕϕ=≥， 所以21212()()1x x x x +++≥，因此12x x + ………………12分。
【全国市级联考】广东省中山市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
中山市高一级2017-2018学年度第一学期期末统一考试数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列四组函数，表示同一函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：A.，对应法则不同；B.，定义域不同；C.，定义域不同；故选D。
考点：本题主要考查函数的概念，构成函数的要素。
点评：解答题，构成函数的要素有定义域、对应法则。
2. 平行于同一平面的两条直线的位置关系是（）A. 平行B. 相交C. 异面D. 平行、相交或异面【答案】D考点：平面的基本性质及推论．3. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，∴故选：C点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．4. 图中的直线的斜率分别是，则有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由图可知：，，，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，所以，综上可知：，故选．5. 设，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴故选：A点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．6. 方程在下面哪个区间内有实根（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，则在上单调递增，且图象是连续的，又,,,即，由零点定理可知：的零点在内，故选：C7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可知对应的几何体为一个底面为等腰直角三角形的直棱柱截去以上底面为底，高为一半的一个三棱锥.......................8. 一圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线与底面所成角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设圆锥的母线长为R，底面半径为r，则：πR=2πr，∴R=2r，∴母线与底面所成角的余弦值==，∴母线与底面所成角是60°．故选：C．9. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的值域为，则g（x）=mx2+2（m﹣2）x+1的值域能取到（0，+∞），①当m=0时，g（x）=﹣4x+1，值域为R，包括了（0，+∞），②要使f（x）能取（0，+∞），则g（x）的最小值小于等于0，则，解得：0＜m≤1或m≥4．综上可得实数m的取值范围是故选：D．10. 如图，二面角的大小是，线段，，与所成的角为，则与平面所成的角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足为D连结AD，易知AD⊥l，故∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角为60°又由已知，∠ABD=30°连结CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角，设AD=2，则AC=，CD=1AB==4，BC=，∴cos∠ABC=．故选：B点睛：（1）求二面角大小的过程可总结为：“一找、二证、三计算。
广东省中山市第一中学2017_2018学年高一数学上学期第一次段考试题(含解析)
广东省中山市第一中学学年高一数学上学期第一次段考试题（含分析）一、选择题（每题分，共分）.设，则....【答案】【分析】由题意，易得：，又∴应选：.设会合，则....【答案】【分析】，∴应选：.设会合，则图中暗影部分表示的会合是....【答案】【分析】略.已知会合，则....【答案】【分析】试题剖析：依据题意是的子集，所以有或，联合，解得或，应选．考点：会合的性质．.以下四个函数中，在上为增函数的是....【答案】【分析】项,在上为减函数,故项错误;项,在上为减函数 , 故项错误项 ,在上为增函数,故项正确项,在上为减函数 , 故项错误 ; 所以此题应选 ..已知，则....【答案】【分析】∵∴应选：. 已知，则三者的大小关系是. . . .【答案】【分析】由函数的图象与性质可知：；由函数的图象与性质可知：；∴应选：. 已知函数，则. 是偶函数，且在上是增函数. 是奇函数，且在上是增函数. 是偶函数，且在上是减函数. 是奇函数，且在上是减函数【答案】【分析】试题剖析：，所以该函数是奇函数，而且是增函数，是减函数，依据增函数- 减函数增函数，可知该函数是增函数，应选.【名师点睛】此题属于基础题型，依据与的关系就能够判断出函数的奇偶性，判断函数单一性的方法：（）利用平常学习过的基本初等函数的单一性；（）利用函数图象判断函数的单一性；（）利用函数的四则运算判断函数的单一性，如：增函数增函数增函数，增函数- 减函数增函数；（）利用导数判断函数的单一性..已知函数若，则....【答案】【分析】∵函数∴或解得：应选：. 设函数是上的奇函数，已知，则在上是（）. 增函数且. 减函数且. 增函数且. 减函数且【答案】【分析】因为函数是上的奇函数，所以图象对于原点中心对称，在对称区间上单一性相同，函数值符号相反，所以在上是增函数且.应选：.函数的图象的大概形状是....【答案】【分析】函数，因为，所以在上单一递加，且函数值为正；在上单一递减，且函数值为负 ,应选：点睛：识图常用的方法() 定性剖析法：经过对问题进行定性的剖析，从而得出图象的上涨( 或降落 ) 的趋向，利用这一特色剖析解决问题；() 定量计算法：经过定量的计算来剖析解决问题；() 函数模型法：由所供给的图象特色，联想有关函数模型，利用这一函数模型来剖析解决问题．.对于函数的定义域中随意的，有以下结论：①；②；③.当时，上述结论中正确的有个．. . ..【答案】【分析】当时，①①正确；由①可知②；不正确；③; 说明函数是增函数, 而是增函数，所以③正确；应选： .二、填空题（每题分，共分）.函数的定义域是．【答案】【分析】由题意，易得：，解得：∴函数的定义域是.若函数在[]上的最大值为，最小值为，则．【答案】或【分析】当时，函数在[]上单一递加，∴，解得：当时，函数在[]上单一递减，∴，解得：故或.已知函数为上的奇函数，则数．【答案】【分析】∵函数为上的奇函数∴，即，∴.点睛：函数为上的奇函数，易得：，在对称区间上单一性相同，函数值互为相反数，利用特例及性质此题能够速解，也能够利用函数的奇偶性定义来办理，相同能够获得结果 ..函数的定义域为，若且时总有，则称为单函数．比如，函数是单函数．以下命题：① 函数是单函数；② 若为单函数，且，则；③ 若为单函数，则对于随意，它至多有一个原象；④ 函数在某区间上拥有单一性，则必定是单函数．此中的真命题是．（写出全部真命题的编号）【答案】②③【分析】②是原命题的逆否命题，故正确；③切合函数的观点，正确；取特别值，当时，故①不正确；④混杂区间和定义域，不正确。
2017-2018学年广东省中山市高三(上)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年广东省中山市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若集合，B={1，m}，若A⊆B，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．2或2．（5分）若复数（i是虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为（）A．2 B．C．D．﹣23．（5分）已知实数，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a4．（5分）阅读如图所示的程序框图，输出的结果S的值为（）A．0 B．C．D．5．（5分）若x，y满足，若z=x+2y，则z的最大值是（）A．1 B．4 C．6 D．86．（5分）李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步、50步B．20步、60步C．30步、70步D．40步、80步7．（5分）若二项式（3﹣x）n（n∈N*）中所有项的系数之和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则+的最小值为（）A．2 B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（）A．（0，4） B．C． D．（0，1），（4，+∞）9．（5分）已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A．48种B．72种C．78种D．84种10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是（）A．{t|}B．{t|≤t≤2}C．{t|2} D．{t|2}11．（5分）已知≤k＜1，函数f（x）=|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g（x）=|2x﹣1|﹣的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则x4+x2﹣（x3+x1）的最小值为（）A．1 B．log23 C．log26 D．312．（5分）已知函数f（x）=3sinωxcosωx﹣4cos2ωx（ω＞0），其周期为π，f（θ）=，则f（θ+）+f（θ﹣）=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣D．﹣二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知cos（α+）=，则sin2α=．14．（5分）已知=（1，﹣2），+=（0，2），则||=．15．（5分）某班运动队由足球队员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n+1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为．16．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=，且对任意正整数m，n，都有a m+n=a m a n，若对任意n∈N*，S n＜t恒成立，则实数t的取值范围是．三、解答题（本大题共7小题，共70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=a5+a6=25．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若不等式2S n+8n+27＞（﹣1）n k（a n+4）对所有的正整数n都成立，求实数k的取值范围．18．（12分）如图，在△ABC中，AB=2，cosB=，点D在线段BC上．（1）若∠ADC=π，求AD的长；（2）若BD=2DC，△ACD的面积为，求的值．19．（12分）某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y 关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？20．（12分）某市小型机动车驾照“科二”考试共有5项考察项目，分别记作①，②，③，④，⑤．（Ⅰ）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3（≤3）项的概率．（Ⅱ）“科二”考试中，学员需缴纳150元报名费，并进行1轮测试（按①，②，③，④，⑤的顺序进行），如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第1轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若补考则需缴纳300元补考费，并获得最多2轮补测机会，否则考试结束．每1轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序进行．学员在任何1轮测试或补测中5个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多只能补考1次．某学员每轮测试或补测通过①，②，③，④，⑤各项测试的概率依次为1，1，1，，，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考．①求该学员能通过“科二”考试的概率．②求该学员缴纳的考试费用X的数学期望．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．22．（12分）已知函数．（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明．23．（10分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．2017-2018学年广东省中山市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若集合，B={1，m}，若A⊆B，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．2或【解答】解：∵集合={2}又∵B={1，m}若A⊆B则m=2故选A2．（5分）若复数（i是虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为（）A．2 B．C．D．﹣2【解答】解：复数==+为纯虚数，∴=0，≠0，解得a=2．故选：A．3．（5分）已知实数，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：log22＜log23＜log24=2⇒a∈（1，2），b=（x+）dx=（+lnx）|=ln2+，故选：D4．（5分）阅读如图所示的程序框图，输出的结果S的值为（）A．0 B．C．D．【解答】解：本框图为“当型“循环结构当满足n≤2010时，执行循环体：s=s+sin根据s=0，n=1第1次循环：s=0+sin =第2次循环：s=+=第3次循环：s=+0=第4次循环：s=+（﹣）=第5次循环：s=+2（﹣）=0第6次循环：s=0+0=0第7次循环：s=…当n为6的倍数时，s的值为0n=2010时，为6的倍数，故此时s=0n=2011时，s=故选B5．（5分）若x，y满足，若z=x+2y，则z的最大值是（）A．1 B．4 C．6 D．8【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）；由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大；由，解得，即A（2，2），代入目标函数z=x+2y得z的最大值是2+2×2=6．故选：C．6．（5分）李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步、50步B．20步、60步C．30步、70步D．40步、80步【解答】解：由题意，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．方田面积减去水池面积为13.75亩，∴（40+m）2﹣=13.75×240．解得：m=20．即圆池直径20步那么：方田边长为40步+20步=60步．故选B．7．（5分）若二项式（3﹣x）n（n∈N*）中所有项的系数之和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则+的最小值为（）A．2 B．C．D．【解答】解：令x=1，可得a=2n，令x=﹣1，可得b=4n．∴+=≥2+=．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（）A．（0，4） B．C． D．（0，1），（4，+∞）【解答】解：结合图象：x∈（0，1）和x∈（4，+∞）时，f′（x）﹣f（x）＜0，而g′（x）=，故g（x）在（0，1），（4，+∞）递减，故选：D．9．（5分）已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A．48种B．72种C．78种D．84种【解答】解：由题意知先使五个人的全排列，共有A55=120种结果．穿红色相邻或穿黄色相邻两种情况，有2A22A44=96种，穿红色相邻且穿黄色也相邻情况，有A22A22A33=24种，故：穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是120﹣96+24=48，故选：A10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是（）A．{t|}B．{t|≤t≤2}C．{t|2} D．{t|2}【解答】解：设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，则∵A1M∥D1E，A1M⊄平面D1AE，D1E⊂平面D1AE，∴A1M∥平面D1AE．同理可得MN∥平面D1AE，∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线∴平面A1MN∥平面D1AE，由此结合A1F∥平面D1AE，可得直线A1F⊂平面A1MN，即点F是线段MN上上的动点．设直线A1F与平面BCC1B1所成角为θ运动点F并加以观察，可得当F与M（或N）重合时，A1F与平面BCC1B1所成角等于∠A1MB1，此时所成角θ达到最小值，满足tanθ==2；当F与MN中点重合时，A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值，满足tanθ==2∴A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围为[2，2]故选：D11．（5分）已知≤k＜1，函数f（x）=|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g（x）=|2x﹣1|﹣的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则x4+x2﹣（x3+x1）的最小值为（）A．1 B．log23 C．log26 D．3【解答】解：函数y=|2x﹣1|的图象如图：∵x1＜x2，∴=1﹣k，=1+k，又∵x3＜x4，∴=1﹣，=1+，∴，=．则==﹣3+．又k∈[，1），∴﹣3+∈[3，+∞）．∴x4+x2﹣（x3+x1）=x4﹣x3+x2﹣x1∈[log23，+∞），即x4+x2﹣（x3+x1）的最小值为log23．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=3sinωxcosωx﹣4cos2ωx（ω＞0），其周期为π，f（θ）=，则f（θ+）+f（θ﹣）=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣D．﹣【解答】解：f（x）=3sinωxcosωx﹣4cos2ωx===，（tanα=）．由T==π，得ω=1．∴f（x）=．由f（θ）=，得sin（2θ﹣α）﹣2=，∴sin（2θ﹣α）=1；∴f（θ+）=sin[2（θ+）﹣α]﹣2=sin（2θ+π﹣α）﹣2=﹣sin（2θ﹣α）﹣2=﹣×1﹣2=﹣；f（θ﹣）=﹣2=﹣2=﹣2．∴f（θ+）+f（θ﹣）=．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知cos（α+）=，则sin2α=﹣．【解答】解：∵，∴（cosα﹣sinα）=，可得：cosα﹣sinα=，∴两边平方可得：1﹣sin2α=，∴可解得：sin2α=﹣．故答案为：﹣．14．（5分）已知=（1，﹣2），+=（0，2），则||=．【解答】解：因为=（1，﹣2），+=（0，2），所以=（﹣1，4），所以；故答案为：15．（5分）某班运动队由足球队员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n+1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为6．【解答】解：由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，∵总体容量为6+12+18=36．当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为，分层抽样的比例是，抽取的乒乓球运动员人数为•6=，篮球运动员人数为•12=，足球运动员人数为•18=，∵n应是6的倍数，36的约数，即n=6，12，18．当样本容量为（n+1）时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为，∵必须是整数，∴n只能取6．即样本容量n=6．故答案为：616．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=，且对任意正整数m，n，都=a m a n，若对任意n∈N*，S n＜t恒成立，则实数t的取值范围是有a m+n．【解答】解：由题意得，对任意正整数m，n，都有a m=a m•a n，+n=a1•a n，所以=a1=，令m=1，得到a n+1则数列{a n}是首项、公比都为的等比数列，所以S n==（1﹣）＜，因为S n＜t对任意n∈N*恒成立，所以t≥，故答案为：三、解答题（本大题共7小题，共70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=a5+a6=25．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若不等式2S n+8n+27＞（﹣1）n k（a n+4）对所有的正整数n都成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则，∴a1=﹣1，d=3．∴{a n}的通项公式为a n=3n﹣4．（Ⅱ）由（I）可知，，a n+4=3n；则原不等式等价于对所有的正整数n都成立．∴当n为奇数时，恒成立；当n为偶数时，恒成立．又∵，当且仅当n=3时取等号，所以当n为奇数时，的最小值为7，当n为偶数且n=4时，的最小值为，∴不等式对所有的正整数n都成立时，实数k的取值范是{k|}．18．（12分）如图，在△ABC中，AB=2，cosB=，点D在线段BC上．（1）若∠ADC=π，求AD的长；（2）若BD=2DC，△ACD的面积为，求的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=．∵∠ADC=π，∴∠ADB=．△ABD中，由正弦定理可得，∴AD=；（2）设DC=a，则BD=2a，∵BD=2DC，△ACD的面积为，∴4=，∴a=2∴AC==4，由正弦定理可得，∴sin∠BAD=2sin∠ADB．=，∴sin∠CAD=sin∠ADC，∵sin∠ADB=sin∠ADC，∴=4．19．（12分）某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？【解答】解：（1）由题意，30=xθ+10θ+2（10﹣x），∴θ=（0＜x＜10）；（2）花坛的面积为﹣==（10﹣x）（5+x）；装饰总费用为xθ•9+10θ•9+2（10﹣x）•4=9xθ+90θ+8（10﹣x）=170+10x，∴花坛的面积与装饰总费用的比为y=．令17+x=t，则y=，当且仅当t=18时取等号，此时x=1，θ=，∴当x=1时，y取得最大值．20．（12分）某市小型机动车驾照“科二”考试共有5项考察项目，分别记作①，②，③，④，⑤．（Ⅰ）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3（≤3）项的概率．（Ⅱ）“科二”考试中，学员需缴纳150元报名费，并进行1轮测试（按①，②，③，④，⑤的顺序进行），如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第1轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若补考则需缴纳300元补考费，并获得最多2轮补测机会，否则考试结束．每1轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序进行．学员在任何1轮测试或补测中5个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多只能补考1次．某学员每轮测试或补测通过①，②，③，④，⑤各项测试的概率依次为1，1，1，，，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考．①求该学员能通过“科二”考试的概率．②求该学员缴纳的考试费用X的数学期望．【解答】解：（1）根据题意，学员（1），（2），（4），（6），（9）恰有两项不合格，从中任意抽出2人，所有可能的情况如下：由表可知，全部10种可能的情况中，有6种情况补测项数不超过3，故所求概率为=；（2）由题意可知，该学员顺利完成每1轮测试（或补测）的概率为1×1×1××=．①由题意，该学员无法通过“科二”考试，当且仅当其测试与3次补测均未能完成5项测试，相应概率为=．故学员能通过“科二”考试的概率为1﹣=．②根据题意，当且仅当该学员通过测试，或未通过测试但通过第1轮补测时X=150，其他情况时均有X=450，而P（X=150）=+×=，故X的分布列为：故E（X）=150×+450×=126+72=198（元）．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，又∵AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，∴AB∥面PCD，…（2分）又∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，∴AB∥EF；…（4分）（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB，∵PA=PD，∴PG⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥GB，在菱形ABCD中，∵AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中点，∴AD⊥GB，…（6分）如图，建立空间直角坐标系G﹣xyz，设PA=PD=AD=2，则G（0，0，0），A（1，0，0），，，D（﹣1，0，0），，又∵AB∥EF，点E是棱PC中点，∴点F是棱PD中点，∴，，，，…（8分）设平面AFE的法向量为，则有，∴，不妨令x=3，则平面AFE的一个法向量为，…（10分）∵BG⊥平面PAD，∴是平面PAF的一个法向量，∵，∴平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为．…（12分）22．（12分）已知函数．（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣ax2+x，f（1）=0，∴a=2，且x＞0．∴f（x）=lnx﹣x2+x，∴f′（x）=﹣2x+1=﹣，当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）的单调递减，∴函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．（2）令F（x）=f（x）﹣ax+1=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，则F′（x）=﹣ax+1﹣a=﹣=﹣a ，当a≤0时，在（0，+∞）上，函数F（x）单调递增，且F（1）=2﹣a＞0，不符合题意，当a＞0时，函数F（x）在x=时取最大值，F（）=ln+，令h（a）=ln+=﹣lna，则根据基本函数性质可知，在a＞0时，h（a）单调递减，又∵h（1）=＞0，h（2）=﹣ln2＜0，∴符合题意的整数a的最小值为2．（3）∵a=﹣2，∴f（x）=lnx+x2+x，∴f（x1）+f（x2）+x1x2=lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x1x2+x2=（x1+x2）2+x1+x2+lnx1x2﹣x1x2令g（x）=lnx﹣x，则g′（x）=﹣1，∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）max=g（1）=﹣1，∴f（x1）+f（x2）+x1x2≤（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1，即（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1≥0，又∵x1，x2是正实数，∴x1+x2≥．23．（10分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，∴所求椭圆方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴，．∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=====．当且仅当，即时等号成立．当k=0时，，综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．。
广东省中山市2017-2018学年高一上学期期末数学试卷(有答案)
广东省中山市2017-2018学年高一上学期期末数学试卷第Ⅰ卷(选择题共60分一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分,每小题给出的4个选项中,只有 选项是符合题目要求的)1.下列四组函数,表示同一函数的是( ) A.x x g x x f ==)(,)(2 B. 22)(,4)(2-⋅+=-=x x x g x x fC. x x x g x x f 2)(,)(== D .⎩⎨⎧-<---≥+=+=1111)(|,1|)(x x x x x g x x f2.平行于同一平面的两条直线的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面3.已知集合M={x|y=)34(log 5.0-x },N={y|y=)34(log 5.0-x }, 则M ∩N =( )A. [43,+∞) B.[0,+∞) C. (43, 1] D.[ 43, 1] 4.图中的直线l 1,l 2,l 3的斜率分别是k 1,k 2,k 3,则有( )A. k 1<k 2<k 3B. k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 2<k 3<k 1 5.设a=log 0.70.8,b= log 0.50.4,则( )A. b>a>0B. a>c>bC. a>b>0D. b>a>1 6.方程x=3-lgx 在下面哪个区间内有实根( )A. (0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)7.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( ) A.332 B.350 C.364 D.3808.一圆锥的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的母线与底面所成角是( )A.30°B.45°C.60°D.75° 9.若函数f(x)=1)2(212+-+x m mx 的值域为(0,+∞),则实数m 的取值范围是( )A.(1,4)B.(-∞,1)∪(4,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.[0,1]∪[4,+∞)10.如图,二面角α-l -β的大小是60°,线段AB ⊂α.B ∈l ,AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的余弦值是( ) A.43B. 413C. 415D.4111.正四面体ABCD 中,M 是棱AD 的中点,O 是点A 在底面BCD 内的射影,则异面直线BM 与AO 所成角的余弦值为( ) A.62 B. 32 C. 42 D.52.12.已知函数y=x 2+2x 在闭区间[a,b]上的值域为[-1,3],则满足题意的有序实数对(a,b)在坐标平面内所对应点组成图形为( )A. B.C D.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的横线上.13.已知x+x1-=310,则x 2+x 2-=__________ 14.已知两条平行直线l 1,l 2分别过点P 1(1,0),P 2(0,5),且l 1, l 2的距离为5,则直线l 1的斜率是___________ 15.已知函数f(x)=⎩⎨⎧≤-->+020)1(log 22x x x x x ,若函数g(x)=f(x)-m 有3个零点,则实数m 的取值范围是__________16.如图,将一边长为1的正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥B-A 1BC 1,则三棱锥B 1-ABC 1的内切球半径是___________三、解答题:(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本题每小题5分,满分10分) 求值或化简(Ⅰ)log 22+log 927+3(Ⅱ)0.252-+31)278(-21-lg162-1g 5+0)21(18.(本小题满分12分)如图,正三角形ABC 边长为6,B(-3,0),C(3,0),点D,E 分别在边BC,AC 上, 且|BD|=BC|,|CE|=|CA|,AD,BE 相交于P.(Ⅰ)求点P 的坐标;(Ⅱ)判断AD 和CP 是否垂直,并证明.19.(本题满分12分)已知函数f(x)=x xxx +-++-11lg 101101 (Ⅰ)求函数的定义域;(Ⅱ)判断函数的奇偶性,并证明你的结论(III)在函数f(x)图象上是否存在两个不同的点A 、B,使直线AB 垂直y 轴.若存在,求出A 、B 两点坐标;若不存在,说明理由20.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥底面ABCD,AB ∥DC,CD=2AB,AD ⊥CD,E 为棱PD 的中点(I)求证:CD ⊥AE;(Ⅱ)试判断PB 与平面AEC 是否平行?并说明理由21.(本题满分12分)《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金(扣除三险一金后)所得不超过3500元的部分不必纳税,超过3500元的部分为全月应纳税所得额个人所得税计算公式:应纳税额=工资-三险一金一起征点.其中,三险一金标准是养老保险8%、医疗保险2%、失业保险1%、住房公积金8%)此项税款按下表分段累计计算:(I)某人月收入15000元(未扣 金),他应交个人所得税多少元?(Ⅱ)某人一月份已交此项税款为1094元,那么他当月的工资(未扣三险一金)所得是多少元22.(本小题满分12分)设a ≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,2422-+-a ax x },其中min{p,q}=⎩⎨⎧>≤qp q qp p ,, (I)求F(x)的最小值m(a)(Ⅱ)求使得等式F(x)=x 2-2ax+4a-2成立的x 的取值范围.。
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2017-2018学年广东省中山市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）下列四组函数，表示同一函数的是（）A．，g（x）=xB．C．D．f（x）=|x+1|，g（x）=2．（5.00分）平行于同一个平面的两条直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．平行或相交或异面3．（5.00分）已知集合，，则M∩N=（）A．B．[0，+∞）C． D．4．（5.00分）图中的直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则有（）A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k2＜k3＜k15．（5.00分）设a=log0.70.8，b=log0.50.4，则（）A．b＞a＞0 B．a＞0＞b C．a＞b＞0 D．b＞a＞16．（5.00分）方程x=3﹣lgx在下面哪个区间内有实根（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）7．（5.00分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．（5.00分）一圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线与底面所成角是（）A．300B．450C．600D．7509．（5.00分）若函数的值域为（0，+∞），则实数m的取值范围是（）A．（1，4） B．（﹣∞，1）∪（4，+∞）C．（0，1]∪[4，+∞）D．[0，1]∪[4，+∞）10．（5.00分）如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l 所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．11．（5.00分）正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内的射影，则异面直线BM与AO所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5.00分）已知函数y=x2+2x在闭区间[a，b]上的值域为[﹣1，3]，则满足题意的有序实数对（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5.00分）已知，则x2﹣x﹣2=．14．（5.00分）已知两条平行直线l1，l2分别过点P1（1，0），P2（0，5），且l1，l2的距离为5，则直线l1的斜率是．15．（5.00分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．16．（5.00分）如图，将一边为1的正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥B1﹣A1BC1，则三棱锥B1﹣A1BC1的内切球半径是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10.00分）求值或化简：（1）；（2）．18．（12.00分）如图，正三角形ABC的边长为6，B（﹣3，0），C（3，0），点D，E分别在边BC，AC上，且，，AD，BE相交于P．（1）求点P的坐标；（2）判断AD和CP是否垂直，并证明．19．（12.00分）已知函数．（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（3）在函数f（x）图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB垂直y轴，若存在，求出A，B两点坐标；若不存在，说明理由．20．（12.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，CD=2AB，AD⊥CD，E为棱PD的中点．（1）求证：CD⊥AE；（2）试判断PB与平面AEC是否平行？并说明理由．21．（12.00分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金（扣除三险一金后）所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额个人所得税计算公式：应纳税额=工资﹣三险一金=起征点．其中，三险一金标准是养老保险8%、医疗保险2%、失业保险1%、住房公积金8%，此项税款按下表分段累计计算：（1）某人月收入15000元（未扣三险一金），他应交个人所得税多少元？（2）某人一月份已交此项税款为1094元，那么他当月的工资（未扣三险一金）所得是多少元？22．（12.00分）设a≥3，函数F（x）=min{2|x﹣1|，x2﹣2ax+4a﹣2}，其中．（1）求F（x）的最小值m（a）；（2）求使得等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围．2017-2018学年广东省中山市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）下列四组函数，表示同一函数的是（）A．，g（x）=xB．C．D．f（x）=|x+1|，g（x）=【解答】解：对于A，f（x）==|x|，与g（x）=x的对应关系不同，∴不是同一函数；对于B，f（x）=（x≥2或x≤﹣2），与g（x）==（x≥2）的定义域不同，∴不是同一函数；对于C，f（x）=x（x∈R），与g（x）==x（x≠0）的定义域不同，∴不是同一函数；对于D，f（x）=|x+1|=，与g（x）=的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．2．（5.00分）平行于同一个平面的两条直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．平行或相交或异面【解答】解：若a∥α，且b∥α则a与b可能平行，也可能相交，也有可能异面故平行于同一个平面的两条直线的位置关系是平行或相交或异面故选：D．3．（5.00分）已知集合，，则M∩N=（）A．B．[0，+∞）C． D．【解答】解：集合={x|0＜4x﹣3≤1}={x|＜x≤1}，={y|y≥0}，则M∩N=（，1]，故选：C．4．（5.00分）图中的直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则有（）A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k2＜k3＜k1【解答】解：设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为：θ1，θ2，θ3．则，∴k2＜k3＜0＜k1．即k2＜k3＜k1．故选：D．5．（5.00分）设a=log0.70.8，b=log0.50.4，则（）A．b＞a＞0 B．a＞0＞b C．a＞b＞0 D．b＞a＞1【解答】解：∵0＜a=log0.70.8＜log0.70.7=1＜log0.50.5＜b=log0.50.4，∴b＞a＞0．故选：A．6．（5.00分）方程x=3﹣lgx在下面哪个区间内有实根（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：方程x=3﹣lgx，对应的函数为：f（x）=x+lgx﹣3，函数是连续单调增函数，f（2）=2+lg2﹣3=lg2﹣1＜0，f（3）=lg3＞0，f（2）f（3）＜0，由零点判定定理可知，函数的零点在（2，3）内，所以方程x=3﹣lgx在（2，3）内有实根．故选：C．7．（5.00分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图还原几何体如图，是底面为等腰直角三角形的直三棱柱截去一个三棱锥．直三棱柱的体积为．截去的三棱锥的体积为．∴几何体的体积为32﹣．故选：D．8．（5.00分）一圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线与底面所成角是（）A．300B．450C．600D．750【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，∴2πr=πl，即l=2r，设圆锥的母线与底面所成角为α，则co sα==，∴α=60°．故选：C．9．（5.00分）若函数的值域为（0，+∞），则实数m的取值范围是（）A．（1，4） B．（﹣∞，1）∪（4，+∞）C．（0，1]∪[4，+∞）D．[0，1]∪[4，+∞）【解答】解：函数的值域为（0，+∞），则g（x）=mx2+2（m﹣2）x+1的值域能取到（0，+∞），①当m=0时，g（x）=﹣4x+1，值域为R，包括了（0，+∞），②要使f（x）能取（0，+∞），则g（x）的最小值小于等于0，则，解得：0＜m≤1或m≥4．综上可得实数m的取值范围是{m|0≤m≤1或m≥4}故选：D．10．（5.00分）如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l 所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：过A作AO⊥β，垂足为O，作AC⊥l，垂足为C，连结OC．则l⊥平面AOC，故∠ACO为α﹣l﹣β的平面角，即∠ACO=60°，设AB=a，则AC=AB=，∴AO=ACsin∠ACO=．∴OB==．∴cos∠ABO==．故选：B．11．（5.00分）正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内的射影，则异面直线BM与AO所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：取BC中点E，DC中点F，连结DE、BF，则由题意得DE∩BF=O，取OD中点N，连结MN，则MN∥AO，∴∠BMN是异面直线BM与AO所成角（或所成角的补角），设正四面体ABCD的棱长为2，由BM=DE=，OD=，∴AO==，∴MN=，∵O是点A在底面BCD内的射影，MN∥AO，∴MN⊥平面BCD，∴cos∠BMN===，∴异面直线BM与AO所成角的余弦值为．故选：B．12．（5.00分）已知函数y=x2+2x在闭区间[a，b]上的值域为[﹣1，3]，则满足题意的有序实数对（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数y=x2+2x的图象为开口方向朝上，以x=﹣1为对称轴的抛物线当x=﹣1时，函数取最小时﹣1若y=x2+2x=3，则x=﹣3，或x=1而函数y=x2+2x在闭区间[a，b]上的值域为[﹣1，3]，则或则有序实数对（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形为故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5.00分）已知，则x2﹣x﹣2=或﹣．【解答】解：∵，∴3x2﹣10x+3=0，解得x=3或．∴x2﹣x﹣2=或﹣．故答案为：或﹣．14．（5.00分）已知两条平行直线l1，l2分别过点P1（1，0），P2（0，5），且l1，l2的距离为5，则直线l1的斜率是0或．【解答】解：∵两条平行直线l1，l2分别过点P1（1，0），P2（0，5），且l1，l2的距离为5，设直线l1的斜率为k，则线l1的方程为y﹣0=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0，l2的方程为y﹣5=k（x﹣0），即kx﹣y+5=0，故它们之间的距离为5=，求得k=0，或k=，故答案为：0，或．15．（5.00分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣m=0，得m=f（x）作出y=f（x）与y=m的图象，要使函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则y=f（x）与y=m的图象有3个不同的交点，所以0＜m＜1，故答案为：（0，1）．16．（5.00分）如图，将一边为1的正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥B1﹣A1BC1，则三棱锥B1﹣A1BC1的内切球半径是．【解答】解：设三棱锥的内切球的半径为r，由题意可得：=+++，r==．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10.00分）求值或化简：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式++16=+16=18．（2）原式=+﹣lg（4×52）+1=﹣2+1=．18．（12.00分）如图，正三角形ABC的边长为6，B（﹣3，0），C（3，0），点D，E分别在边BC，AC上，且，，AD，BE相交于P．（1）求点P的坐标；（2）判断AD和CP是否垂直，并证明．【解答】解：（1）如图A（0，3），E（2，）．由l AD：y=3x+3，l BE：y=（x+3），解得P（﹣，）；（2）k AD=k AP=3，k PC=﹣k AD•k PC=﹣1，∴AD⊥CP．19．（12.00分）已知函数．（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（3）在函数f（x）图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB垂直y轴，若存在，求出A，B两点坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由⇔﹣1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域为（﹣1，1）；（2）∵f （﹣x）=+lg=﹣lg=﹣f （x），∴f （x）是奇函数；（3）假设函数f（x）图象上存在两点A（x1，y1），B（x2 y2），使直线AB恰好与y轴垂直，其中x1，x2∈（﹣1，1）．即当x1≠x2时，y1=y2，不妨设x1＜x2，于是则y1﹣y2=f（x1）﹣f（x2）=lg﹣，由（1+x2）（1﹣x1）﹣（1﹣x2）（1+x1）=2（x2﹣x1）＞0，∴0＜＜1，∴lg＜0，又＞0∴y1﹣y2＜0，∴y2＜y1，与y1=y2矛盾．故函数f（x）图象上不存在两个不同的点A、B，使直线AB垂直y轴．20．（12.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，CD=2AB，AD⊥CD，E为棱PD的中点．（1）求证：CD⊥AE；（2）试判断PB与平面AEC是否平行？并说明理由．【解答】（1）证明：因为PD⊥底面ABCD，DC⊂底面ABCD，所以PD⊥DC．又AD⊥DC，AD∩PD=D故CD⊥平面PAD．又AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE．（2）PB与平面AEC不平行．假设PB∥平面AEC，设BD∩AC=O，连结OE，则平面EAC∩平面PDB=OE，又PB⊂平面PDB﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）所以PB∥OE．所以，在△PDB 中有=，由E是PD中点可得==1，即OB=OD．因为AB∥DC，所以==，这与OB=OD 矛盾，所以假设错误，PB与平面AEC不平行．21．（12.00分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金（扣除三险一金后）所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额个人所得税计算公式：应纳税额=工资﹣三险一金=起征点．其中，三险一金标准是养老保险8%、医疗保险2%、失业保险1%、住房公积金8%，此项税款按下表分段累计计算：（1）某人月收入15000元（未扣三险一金），他应交个人所得税多少元？（2）某人一月份已交此项税款为1094元，那么他当月的工资（未扣三险一金）所得是多少元？【解答】解：（1）本月应纳税所得额为（15000﹣15000×19%）﹣3500=8650 元，由分段纳税：8650=1500+1300+4150，应交税款为：1500×3%+3000×10%+4125×20%=45+300+830=1175元，（2）1049元=45元+300元+749元，所以应纳税额为1500+3000+=8245 元，设工资是x元，则x•81%﹣3500=8245，解得x=14500 元，所以该人当月收入工资薪酬为14500元．22．（12.00分）设a≥3，函数F（x）=min{2|x﹣1|，x2﹣2ax+4a﹣2}，其中．（1）求F（x）的最小值m（a）；（2）求使得等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围．【解答】解：（1）设函数f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2，则f（x）min=f（1）=0，g（x）min=g（a）=﹣a2+4a﹣2，所以，由F（x）的定义知m（a）=min{f（1），g（a）}，即m（a）=；（2）由于a≥3，故当x≤1时，x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x2+2（a﹣1）（2﹣x）＞0，等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2不成立；当x＞1时，x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=（x﹣2a）（x﹣2）≤0，即为2≤x≤2a．所以，使得等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围为[2，2a]．。