北师大版高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测(含答案解析)(2)
一、选择题
1．已知复数z满|12||2|22zizi（i是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线
2．设i为虚数单位，若复数z满足1zii，其中z为复数z的共轭复数，则z（ ）
A．1 B．2 C．22 D．2
3．设i是虚数单位，若复数z满足1zi，则z的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．化简 31ii＝（ ）
A．12i B．12i C．12i D．12i
5．在下列命题中，正确命题的个数是（ ）
①若z是虚数，则20z；②若复数2z满足2zR，则zR；
③若复数11zi，2zti，且12zz对应的复数位于第四象限，则实数t的取值范围是1,1；
④若2212230zzzz，则123zzz.
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知i是虚数单位，复数z满足12izi，则z的虚部是（ ）
A．1 B．i C．1 D．i
7．当复数2(32)()zxxxixR的实部与虚部的差最小时，1zi（ ）
A．33i B．33i C．13i D．13i
8．已知复数212izi，则z（ ）
A．43i B．43i C．i D．i
9．已知复数z满足|z|=1，则|z－i|（i为虚数单位）的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知复数(3)(2)zmii在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是（ ）
A．(,1) B．2,3 C．2,13 D．2,(1,)3 11．已知a∈R，复数12iza，212iz，若12zz为纯虚数，则复数12zz的虚部为( )
A．1
B．i C．25 D．0
12．已知t∈R，i为虚数单位，复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则t等于( )
A．34 B．43 C．43 D．34
二、填空题
13．复数z满足(1＋i)z＝|3－i|，则z的共轭复数z＝________．
14．设11()()()()11nniifnniNi，则集合{|()}xxfn的子集个数是___________.
15．已知复数z满足|2|1zi，则|21|z的取值范围是________.
16．复数352019iiii________.
17．i是虚数单位，复数z满足(2)34zii，则z=__________．
18．复数，则复数______．
19．设i是虚数单位，1i2ia是纯虚数，则实数a的值是________．
20．已知复数213(3)2zaia，22(31)zai（aR，i 是虚数单位）．
（1）若,求的值；
（2）若复数12zz在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围.
三、解答题
21．在复平面内，复数21izi(i为虚数单位)的共轭复数z对应点为A，点A关于原点O的对称点为B，求：
（Ⅰ）点A所在的象限；
（Ⅱ）向量OB对应的复数．
22．已知复数
（1）m取什么值时，z是实数？
（2）m 取什么值时，z是纯虚数？
23．已知复数，，为纯虚数．
（1）求实数的值；（2）求复数的平方根．
24．化简、求值
(1)3(1)(2)iii； (2)21(1)ii－21(1)ii；
(3)1()2i 2013＋1()2i2013.
25．根据12zz的几何意义讨论下列各式的几何意义.
（1）|(1)|2zi；
（2）|1||1|2zz.
26．方程21(4)02xmxm的两根为，，且||||7，求实数m的值.
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，得出等式的几何意义，结合双曲线的定义，即可求解.
【详解】
因为复数z满|12||2|22zizi（i是虚数单位），
在复平面内复数z对应的点为Z，
则点Z到点(1,2)的距离减去到点(2,1)的距离之差等于22，
而点(1,2)与点(2,1)之间的距离为32，
根据双曲线的定义，可得点Z表示(1,2)和(2,1)为焦点的双曲线的一支.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了复数的几何意义及其应用，其中解答中根据复数模的几何意义，结合双曲线的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
2．B
解析：B
【分析】
设复数zabi，则共轭复数zabi，利用复数代数形式的乘除运算化简即可.
【详解】
由题意，设复数zabi，则共轭复数zabi， 由1zii，得11ziiiabi，
所以1a，1b，即1zi，故2z.
故选：B.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的共轭复数，考查复数的摸，属于基础题.
3．B
解析：B
【分析】
设复数z在复平面内对应点,Mxy，根据已知可得点M轨迹为圆，求z的最大值即求圆上的点与坐标原点的距离的最大值.
【详解】
设复数z在复平面内对应点M,xy，
由1zi，得2211xy，即2211xy，
所以22zxy，表示圆2211xy上的点,Mxy到原点的距离，
因此，22max010112zr（其中r为圆2211xy的半径）.
故选：B.
【点睛】
本题考查复数几何意义的应用，关键是明确复数z对应点的轨迹，属于中档题.
4．A
解析：A
【解析】
分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：由复数的运算法则有：
31324121112iiiiiiii.
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．B
解析：B
【解析】
分析：利用复数的知识对每一个命题逐一分析判断.
详解：对于①,举例z=1+i ,但是22zi，但是不能说2i≥0，因为虚数和实数不能比较大小.所以①不正确.
对于②，举例z=i，所以21,zR但是iR,所以②不正确. 对于③，12zz=(1)()1(1),ititti所以10,11.10ttt所以③正确.
对于④，若2212230zzzz，举例1232,1,1,zzzi但是123zzz不成立.所以④不正确.
故答案为B
点睛：（1）本题主要考查复数的基础知识，意在考查学生对复数的基础知识的掌握能力.(2)判断命题的真假时，要灵活，可以证明，也可以举反例.
6．A
解析：A
【解析】
12izi22(1)112iiizii，所以z的虚部是1，选A.
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
实部与虚部的差为242xx。利用二次函数性质求得最值，再利用复数除法运算即可
【详解】
复数z的实部与虚部的差为222(32)42(2)2xxxxxx，
当2x时，差值最小，此时24zi，∴241311ziiii.
故选：C
【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，熟练求解二次函数最值是关键，是基础题．
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
由题意利用复数除法的运算法则计算z的值即可.
【详解】
2(2)(12)512(12)(12)5iiiiziiii，
故选C．
【点睛】
对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.
9．C 解析：C
【分析】
根据复数模的几何意义，求得题目所给表达式的最大值.
【详解】
1z表示的复数在单位圆上，而iz表示的几何意义是单位圆上的点，到0,1点距离，由于点0,1在单位圆上，故最远的距离为直径，单位圆的直径为2，故本小题选C.
【点睛】
本小题主要考查复数模的几何意义，考查化归与转化的数学思想方法，考查圆的几何性质，属于基础题.
10．B
解析：B
【分析】
根据复数的几何意义建立不等式关系即可.
【详解】
(3)(2)(32)(1)zmiimmi，
若复数在复平面内对应的点在第三象限，
则32010mm，解得23m，
所以m的取值范围是2(,)3，
故选B.
【点睛】
该题考查的是有关复数在复平面内对应的点的问题，属于简单题目.
11．A
解析：A
【分析】
先化简12zz，利用12zz为纯虚数，实部为零，可求得a的值，进而求得12zz的虚部.
【详解】
依题意可知122i12i224i2i12i12i12i5aaazaz为纯虚数，故220,1aa，故虚部为4115.
【点睛】
本小题主要考查复数的运算，考查复数的除法，考查复数实部和虚部的概念及其应用.属于基础题.
12．D
北师大版高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测(含答案解析)(2)
一、选择题
1．已知复数z满|12||2|22zizi（i是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线
2．设i为虚数单位，若复数z满足1zii，其中z为复数z的共轭复数，则z（ ）
A．1 B．2 C．22 D．2
3．设i是虚数单位，若复数z满足1zi，则z的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．化简 31ii＝（ ）
A．12i B．12i C．12i D．12i
5．在下列命题中，正确命题的个数是（ ）
①若z是虚数，则20z；②若复数2z满足2zR，则zR；
③若复数11zi，2zti，且12zz对应的复数位于第四象限，则实数t的取值范围是1,1；
④若2212230zzzz，则123zzz.
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知i是虚数单位，复数z满足12izi，则z的虚部是（ ）
A．1 B．i C．1 D．i
7．当复数2(32)()zxxxixR的实部与虚部的差最小时，1zi（ ）
A．33i B．33i C．13i D．13i
8．已知复数212izi，则z（ ）
A．43i B．43i C．i D．i
9．已知复数z满足|z|=1，则|z－i|（i为虚数单位）的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知复数(3)(2)zmii在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是（ ）
A．(,1) B．2,3 C．2,13 D．2,(1,)3 11．已知a∈R，复数12iza，212iz，若12zz为纯虚数，则复数12zz的虚部为( )
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入单元检测选修1-2讲解
1 高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入单元检测 苏教版选修1-2
(时间90分钟,满分100分)
一、选择题（每题3分，共36分）
1．复数z1=3＋i,z2=1－i,则z=z1·z2在复平面内的对应点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2．（1＋i）20－(1－i)20的值为（ ）
A.0 B.1 024 C.－1 024 D.－1 024i
3．已知复数z满足|z|=2，则复数z（ ）
A.是实数 B.是虚数
C.是纯虚数 D.对应的点在一个半径为2的圆上
4．已知复数z满足z=－|z|，则z的实部（ ）
A.不小于0 B.不大于0
C.大于0 D.小于0
5．复平面上平行四边形ABCD的四个顶点中，A、B、C所对应的复数分别为2＋3i,3＋2i,－2－3i，则D点对应的复数是（ ）
A.－2＋3i B.－3－2i C.2－3i D.3－2i
6．设z=(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i(t∈R),则以下结论正确的是（ ）
A.z对应的点在第一象限 B.z一定不为纯虚数
C.z对应的点在实轴的下方 D.z一定为实数
7．在复数集C内分解因式2x2－4x＋5等于（ ）
A.（x－1＋i3）(x－1－i3) B.(ix322)( ix322)
C.2(x－1＋i)(x－1－i) D.2(x＋1＋i)(x＋1－i)
8．(ii11)2 005等于（ ）
A.i B.－I C.22 005 D.－22 005
9．设复数ω=－i2321,则1＋ω等于（ ） 2 A.－ω B.ω2 C.－1 D.21
10．设复数z满足zz11=i,则|1＋z|等于（ ）
A.－2 B.－2 C. 2 D.2
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入教材习题点拨北师大版选修2-2资料
1 高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 1 数系的扩充与复数的引入教材习题点拨 北师大版选修2-2
教材习题点拨
练习(P101)
1.解:(1)1＋2i实部为1,虚部为2,它是虚数;
(2)21+23i实部为2121,虚部为23,它是虚数;
(3)（3-1）i实部为0,虚部为3-1,它是纯虚数;
(4)0实部为0,虚部为0,它是实数.
思路分析:依据有关复数的基本概念去判断.
2.解:(1)（-2x+3)+(y-4)i=0.4,23,4,032yxyx
(2)(3x-2y)+(x+2y)i=3-6i.852,43,62,323yxyxyx
思路分析:(1)复数为零的充要条件是它的实部和虚部都为0.(2)两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部都相等.
3.解:A点表示的复数是4+3i,B点表示的复数是-3+2i,C点表示的复数是-4-3i,D点表示的复数是-3i,E点表示的复数是3-2i.
思路分析:复平面内的点和复数是一一对应的,复平面的横轴表示实部,纵轴表示虚部.
4.答案:(1)b=0;(2)a=0;(3)b>0;(4)a<0.
思路分析:(1)点Z位于实轴上,必然是复数的虚部为零;(2)点Z位于虚轴上,必然是复数的实部为零;(3)点Z位于实轴上方,必然是复数的虚部大于零;(4)点Z位于虚轴左方,必然是复数的实部小于零.
5.解:(1)|z1|=2212)5(=13;(2)|z2|=41)5(422;(3)|z3|=22)1()3(=2.
思路分析:利用公式|z|=22ba计算即可.
习题51(P102)
A组
1.解:(1)复数（m2-2m-3)+(m2-3m-4)i为实数的充要条件是:m2-3m-4=0,可以得出m=4或m=-1;
(2)复数(m2-2m-3)+(m2-3m-4)i为纯虚数的充要条件是:m2-2m-3=0且m2-3m-4≠0,可以得出m=3; 2 (3)复数(m2-2m-3)+(m2-3m-4)i为零的充要条件是:m2-2m-3=0且m2-3m-4=0,可以得出m=-1.
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入2.2复数的乘法与除法教材习题点拨北师大选修2-2创新
1高中数学第五章数系的扩充与复数的引入2.2复数的乘法与除法
教材习题点拨北师大版选修2-2
教材习题点拨练习(P107)1.解:(1)（1+3i）（3+2i）=3+2i+9i-6=-3+11i；（2）（-1-2i）（2i+4）=-2i+4-4-8i=-10i；(3)（21+23i）2=（21+23i）（21+23i）=41-43i-43i-43=2123i；
(4)(3+2i)(-3+2i)=-9+6i-6i-4=-13.思路分析:按照复数相乘的法则分项相乘即可.2.解:(1)i·i2·i3·i4=i10=-1；(2)i+i2+i3+i4+i5+i6+i7+i8=i-1-i+1+i-1-i+1=0.思路分析:利用公式:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i分别计算即可.3.解:(1)（-2+3i）3=［(-2+3i)(-2+3i)］(-2+3i)=(-5-12i)(-2+3i）=46+9i;(2)(1+2i)4=［(1+2i)(1+2i)］2=(4i-3)2=-7-24i.思路分析:灵活利用复数相乘的法则进行计算即可.
4.解:(1)ii
iiii
ii
132
133
1323
)32)(32()32(
32;(2)1042
231
)3)(3()3)(1(
)1)(1()1)(2(
31
12ii
iiii
iiii
ii
ii
iiii
1019
107
10197
1042)31(5.
思路分析:综合应用复数的运算法则计算即可.习题5-(P107)A组1.解:(1)i+（3+4i）=3+（i+4i）=3+5i；(2)（1-i）-（1+i）=（1-1）+（-i-i）=-2i；(3)（2-i）-（3+i）=（2-3）+（-i-i）=-1-2i；(4)（1-4i）+（2-i）=（1+2）+（-4i-i）=3-5i.2.解:(1)（1+i）（3+4i）=3+4i+3i-4=-1+7i；(2)（1-2i）（1+2i）=1+2i-2i+4=5；(3)（3+i）（3-2i）（1-i）=［(3+i)(3-2i)］(1-i)=(9-6i+6i+2)(1-i)=8-14i;(4)［（5-4i）+（1+3i）］（5+2i）=（6-i）（5+2i）=32+7i.思路分析:综合应用复数的加、减、乘运算法则运算即可.3.解:(1)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=1+i-1-i=0;(2)i4n·i4n+1·i4n+2·i4n+3=1·i·(-1)·(-i)=-1.思路分析:注意利用公式i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入2.1复数的加法与减法同步练习北师大选修2-2讲解
1 高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 2.1 复数的加法与减法同步练习 北师大版选修2-2
高手支招6体验成功
基础巩固
1.如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是（ ）
A.1 B.2 C.2 D.5
答案:A
思路分析：由复数模的几何意义知|z+i|+|z-i|=2表示复平面上以点Ａ(０,1),Ｂ(０,-1)为端点的线段ＡＢ上的点,从而|z+i＋1|＝|z-(-1-i)|表示线段ＡＢ上的点Z到点C(-1,-1)的距离.∴|z+i＋1|的最小值为|BC|＝1.
2.设f(z)=1-z,z1=2+3i,z2=5-i,则f(z1-z2)的值为____________.
答案：4-4i
思路分析：f(z)=1-z可视为关于z的函数,自变量是复数,然后将z1-z2代入.f(z1-z2)=1-(z1-z2)=1-z1+z2=1-(2+3i)+(5-i)=4-4i.
3.复平面内的三点A、B、C,A点对应的复数为2+i,BA对应的复数为1+2i,向量BC对应的复数为3-i,求点C对应的复数.
解：∵BA对应的复数是1+2i,向量BC对应的复数为3-i,
∴AC对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.
又ACOAOC,∴C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.
思路分析：由复数、点及向量对应关系可知,所求复数即为向量OC对应的复数.由加减法几何意义得ACOAOC.
4.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i}.若M∪P=P,求实数m的值.
解：∵M∪P=P,∴MP,∴由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1
得,02,1222mmmm解之得m=1.
由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,
得,42,0222mmmm解之得m=2.
2021高三统考北师大版数学一轮第12章第2讲 数系的扩充与复数的引入含解析
学必求其心得，业必贵于专精
2021高三统考北师大版数学一轮课时作业：第12章第2讲 数系的扩充与复数的引入含解析
课时作业
1．(2019·陕西四校联考)已知复数z＝31－2i(i是虚数单位）,则z的实部为（ )
A．－错误! B．错误!
C．－15 D．错误!
答案 B
解析 ∵z＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i，
∴z的实部为错误!。故选B.
2．若复数(1－i)(a＋i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．（－∞，1） B．(－∞,－1）
C．（1，＋∞） D．(－1，＋∞)
答案 B
解析 ∵（1－i)(a＋i)＝a＋i－ai－i2＝a＋1＋(1－a）i，
又复数(1－i)(a＋i）在复平面内对应的点在第二象限，∴错误!解得a＜－1。故选B.
3．（2019·河南郑州模拟)已知复数z＝错误!，则z的共轭复数为（ )
A．1＋i B．1－i
C．2＋2i D．错误!－错误!i 学必求其心得，业必贵于专精
答案 B
解析 ∵复数z＝错误!＝错误!＝错误!＝1＋i，∴复数z的共轭复数＝1－i。故选B。
4．(2019·郴州模拟）设z＝1－i（i是虚数单位），若复数错误!＋z2在复平面内对应的向量为，则向量的模是（ ）
A．1 B．错误!
C．3 D．2
答案 B
解析 z＝1－i（i是虚数单位），复数错误!＋z2＝错误!＋（1－i)2＝错误!－2i＝1－i.则向量的模为错误!＝错误!。故选B.
5．(2020·南昌摸底）已知错误!＝1＋i(i为虚数单位），则复数z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
答案 D
解析 由错误!＝1＋i，
得z＝错误!＝错误!＝错误!＝－1－i.
6．(2020·山西吕梁摸底）已知复数z＝错误!，则｜｜＝( )
A．5 B．错误!
C．2错误! D．5
答案 A
高中数学选修2-2第三章数系的扩充和复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念讲义
- 1 - 3.1.1 数系的扩充和复数的概念
1．虚数单位i
在实数集R中添加新数i，规定：(1)i2＝□01－1，其中i叫做虚数单位；(2)i可与实数进行□02四则运算，且原有的加、乘运算律仍然成立．
2．复数的相关概念
集合C＝{a＋bi|a∈R，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做□03复数，其中i叫做□04虚数单位．全体复数的集合C叫做□05复数集．
复数通用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做□06复数的代数形式．其中的a与b分别叫做复数z的□07实部与虚部．
3．复数的分类
对于复数z＝a＋bi，当且仅当□08b＝0时，它是实数；当且仅当□09a＝b＝0时，它是实数 - 2 - 0；当且仅当□10b≠0时，叫做虚数；当□11a＝0，且b≠0时，叫做纯虚数．
4．复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定：a＋bi与c＋di的充要条件是□12a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
复数相等的充要条件
(1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，若忽略这一条件，则不能成立．因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用相等条件．
(2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题是重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现．利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，这一思想在解决复数问题中非常重要．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) - 3 - (1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( )
(2)若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数．( )
(3)bi是纯虚数．( )
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )
选修1-2数系的扩充与复数引入
中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉
中国教育开发网 选修1-2数系的扩充与复数引入
南海区平洲高级中学 曾庆荣
说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共150分，考试时间90分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.下面四个命题中正确的命题个数是
①0比－i大 ②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数 ③x+yi=1+i的充要条件为x=y=1 ④如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知z1=2－i,z2=1+3i，则复数5i21zz的虚部为
A.1 B.－1 C.i D.－i
3.(1－i)2·i等于
A.2－2i B.2+2i C.－2 D.2
4.复数z1=3+i,z2=1－i，则z=z1·z2在复平面内的对应点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.(i－i－1)3的虚部为
A.8i B.－8i C.8 D.－8
6.已知复数z与(z+2)2－8i均是纯虚数,则z等于
A.2i B.－2i C.i D.－i
7.i是虚数单位,3ii)2i)(1(等于
A.1+i B.－1－i
C.1+3i D.－1－3i
8.已知复数z=3+4i且z(t－i)是实数,则实数t等于
A.43 B.34 C.－34 D.－43
9.过原点和3－i对应点的直线的倾斜角是
A.6 B.－6 C.32 D.65
10.设f(n)=nniiii)11()11((n∈N*),则集合｛y|y=f(n)｝中的元素个数是
高中数学苏教版选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入》word导学案(含解析)
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第 3 章 数系的扩充与复数的引入
第1课时 数系的扩充
教学过程
随着生产和科学发展的需要数集逐步扩充,它的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.
一、 问题情境
怎样将实数集进行扩充,使得x2=-1之类方程在新的数集中有解呢?
二、 数学建构
问题1 怎样解决-1也能开平方的问题?
解 引入虚数单位i,规定:
① i2=-1;
① 实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.
i是-1的一个平方根.
问题2 根据虚数单位的规定,得到形如a+bi(a,b∈R)的数,这样的新数由两部分组成,用怎样的名词定义这样的新数?
解 ① 复数的定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,a叫复数的实部,b叫复数的虚部,全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示.
① 复数的代数形式:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),把复数表示成a+bi的形式,叫做复数的代数形式.
问题3 复数与实数有什么关系?
解 对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当b=0时,复数a+bi(a,b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0.
(图1)
学生分组活动
活动1 复数集C和实数集R之间有什么关系?
活动2 如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类? 活动3 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系,可以用韦恩图表示出来吗?
问题4 a=0是z=a+bi为纯虚数的充分条件吗?
解 是必要不充分条件. 问题5 两个复数相等的充要条件是什么?
解 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复
(好题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试卷(有答案解析)(2)
一、选择题
1．若i是虚数单位，则复数11ii（ ）
A．-1 B．1 C．i D．i
2．已知集合{|()()20,,,}AzabizabizabRzC，{|||1,}BzzzC，若AB，则a，b之间的关系是（ ）
A．1ab B．1ab C．221ab D．221ab
3．已知zC，2zizi，则z对应的点Z的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段
4．下列关于复数z的四个命题中，正确的个数是（ ）
（1）若|1||1|2zz，则复数z对应的动点的轨迹是椭圆；
（2）若|2||2|2zz，则复数z对应的动点的轨迹是双曲线；
（3）若|1||Re1|zz，则复数z对应的动点的轨迹是抛物线；
（4）若|2|3z，则||z的取值范围是[1,5]
A．4 B．1 C．2 D．3
5．在复平面内，复数12zi＝－对应的向量为OA，复数2z对应的向量为OB，则向量AB所对应的复数为( )
A． 42i＋ B． 42i C． 42i D． 42i
6．在复平面内，若复数z满足|z＋1|＝|1＋iz|，则z在复平面内对应点的轨迹是( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．抛物线
7．若(13)nx的二项展开式各项系数和为256，i为虚数单位，则复数(1)ni的运算结果为（ ）
A．16 B．16 C．4 D．4
8．已知复数z满足：32zz，且z的实部为2，则|1|z
A．3 B．2 C．32 D．23
9．设复数3422iiz，则复数z的共轭复数是( )
A．52i B．52i C．52i D．52i
10．已知i是虚数单位，复数z满足|12|zii，则z的共轭复数z在复平面上对应点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限