高中数学第五章数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入例题与探究北师大选修2-2讲解
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 1 数系的扩充与复数的引入例题与探究 北师大版选修2-2高手支招3综合探究1.含有参数形式的复数何时表示实数、虚数、纯虚数.此类问题是涉及到复数的分类及各自概念,在理解的基础上注意它们的联系与区别,以此作为判断它们为实数、虚数、纯虚数的条件.复数z=a+bi 当且仅当b≠0时为虚数,当且仅当b=0时为实数,当且仅当a=0,b≠0为纯虚数,当且仅当a=0,b=0时为0.下面以3m+9+(m 2+5m+6)i,m 为何值时表示实数、虚数、纯虚数为例说明.(1)若表示实数则:m 2+5m+6=0(即虚部必须为零);(2)若表示虚数则:m 2+5m+6≠0(即虚部不能为零);(3)若表示纯虚数则:3m+9=0且m 2+5m+6≠0(即实部必须为零,虚部不能为零).2.两个复数相等的充要条件及应用时应特别注意的问题.因为复数可以用向量来表示,所以可以结合向量相等来理解.在向量坐标表示中,两个向量相等则对应坐标要相等.两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等.在两个复数相等的充要条件中,注意前提条件是a 、b 、c 、d∈R ,即当a 、b 、c 、d∈R时,a+bi=c+di ⎩⎨⎧==⇔.,d b c a 但忽略条件后,则不能成立,因此解决复数相等问题,一定要把复数的实部与虚部分离出来.再利用复数相等的充要条件,化复数问题为实数问题.3.复系数一元二次方程根的问题与实系数一元二次方程根的问题.利用复数相等可解决复系数方程根的问题,如果复系数方程有实根,我们将其中的未知数视为等式中的一个实数,将方程变形化简为a+bi=0(a,b∈R )的形式,然后利用复数相等即可解决相关问题.这里要特别注意,方程有实根务必注意不能用判别式Δ≥0来处理方程的根的问题,否则出错.如果复系数一元二次方程无实根,则同样不能用Δ<0来处理.此时,方程有复数根,可设方程的根为z=m+ni(m,n∈R ),然后,化简方程,使方程变形化简为a+bi=0(a,b∈R )的形式,然后利用复数相等即可解决相关问题.另外,当实系数一元二次方程无实根时,方程的判别式Δ<0,此时虽无实根,但有虚数根,如实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0(a,b,c∈R )无实根,则其有两个虚根,分别为:x=ai b ac b 242-±-. 当然,也可以设方程的根为z=m+ni(m,n∈R),然后,化简方程,使方程变形化简为s+ti=0(s,t∈R)的形式,然后利用复数相等即可解决相关问题.高手支招4典例精析【例1】 如果用C 、R 和I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集,其中C 为全集,那么有（ ）A.C ＝R∪IB.R∩I＝{０}C.R ＝C∩ID.R∩I＝∅ 思路分析:复数系的构成是复数z=a+bi(a,b∈R )⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧≠=≠=)0()0()0()0(a a b b 非纯虚数纯虚数虚数实数由此不难判断正确答案为D 项.答案:D【例2】 若z 1=sin2θ+icos θ,z 2=cos θ+i 3sin θ,当z 1=z 2时θ的值为（ ）A.k πB.2k π+3π C.2k π±3π D.2k π+6π(以上k∈Z ) 思路分析:由已知z 1=z 2,利用复数相等的充要条件,然后解三角方程即得.∵z 1=z 2,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==,33tan ,21sin ,sin 3cos ,cos 2sin θθθθθθ从而得θ=2k π+6π（k∈Z ）.故选D 项. 答案:D【例3】 m 为何实数时,复数z=2523222---m m m +(m 2+3m-10)i(1)是实数;(2)是虚数;(3)是纯虚数.思路分析:利用复数分类,是实数,只要令复数z 的虚部为零即可;是虚数,只要令复数z 的虚部不为零即可;是纯虚数,只要令复数z 的实部为零,虚部不为零即可.解:(1)令m 2+3m-10=0,得m=2或m=-5.∵分母m 2-25≠0,∴m≠-5.∴m=2;(2)令m 2+3m-10≠0,又分母m 2-25≠0,得m≠2,且m≠-5,且m≠5;(3)令⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=---,0103,025232222m m m m mm 2+3m-10≠0,得m=21-. 【例4】 当实数m 为何值时,复数(m 2-8m+15)+(m 2+3m-28)i 在复平面中的对应点(1)位于第四象限;(2)位于x 轴的负半轴上:思路分析:复数a+bi(a,b∈R )在复平面内的对应点：对于(1)应满足⎩⎨⎧<>;0,0b a 对于(2)应满足⎩⎨⎧=<.0,0b a解:(1)由已知⎪⎩⎪⎨⎧=-+<+-,0283,015822m m m m ∴⎩⎨⎧<<-<<.47,53m m m 或 ∴-7<m<3.(2)由已知⎪⎩⎪⎨⎧=-+<+-,0283,015822m m m m 解之得:m=4.【例5】 已知a∈R ,问复数z=(a 2-2a+4)-(a 2-2a+2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应点的轨迹是什么？思路分析:根据复数与复平面上点的对应关系知,复数z 对应的点在第几象限,与复数z 的实部和虚部的符号有关.所以本题的关键是判断a 2-2a+4与-(a 2-2a+2)的符号.而求复数z 对应点的轨迹问题,首先把z 表示成z=x+yi 的形式,然后寻求x,y 之间的关系,但要注意参数限定的条件.解:a 2-2a+4=(a-1)2+3≥3,-(a 2-2a+2)=-(a-1)2-1≤-1.由此可知,z 的实部为正数,z 的虚部为负数.∴复数z 的对应点在第四象限.设复数z=x+yi(x,y∈R ),则⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=),22(,4222a a y a a x 消去a 2-2a 得y=-x+2(x≥3),∴复数z 对应点的轨迹是一条射线,其方程为y=-x+2(x≥3).【例6】 用复数表示下图各题的阴影部分.思路分析:本题关键在于要设出复数z=x+yi(x,y∈C ),并利用其坐标在复平面内的范围写出用复数表示平面区域中阴影部分的图形.解:设复数z=x+yi(x,y∈R ),则有:(1){z|z=x+yi,1<x<3};(2){z|z=x+yi,x≤3,y≥1};(3){z|z=x+yi,1≤|z|≤2,x≥0,y≥0};(4){z|z=x+yi,|y|≤x,x≥0}.【例7】 设z 1=6-3i,z 2=22--22i,z∈C .若全集I={z||z|≤|z 1|,z∈C},A={z||z|≤|z 2|,z∈C},那么A 中所有z 在复平面上对应的点的集合是什么图形？思路分析:解决复数在复平面上对应的几何图形问题,要熟练掌握两点:①复数z=x+yi(x,y∈R )在复平面上对应点Z(x,y);②|z|的几何含义为z 在复平面上对应点Z 与原点的距离.本题关键是求出|z|的取值范围,就可确定z 在复平面上的图形.解:由已知:|z 1|=22)3()6(-+=3,|z 2|=222222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,∴I={z||z|≤3,z∈C },A={z||z|≤1,z∈C },∴A ={z|1<|z|≤3,z∈C }, ∴A 中的z 在复平面上对应的点Z 的集合应是与原点距离大于1而不大于3的所有点. ∴A 中的所有z 在复平面上对应的点的集合是以原点为圆心,以1和3为半径的圆所夹的圆环,但不包括小圆的边界(如图).【例8】 设z∈C ,满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？(1)|z|=2;(2)2<|z|<3.解:(1)因为|z|=2,即|OZ |=2,如果设z=x+yi(x,y∈R ）,所以满足|z|=2的点Z 的集合是以原点为圆心,以2为半径的圆.(2)不等式2<|z|<3可化为不等式组⎩⎨⎧<>.3||,2||z z 满足不等式|z|>2的点的集合是圆|z|=2外部所有的点组成的集合,满足不等式|z|<3的点的集合是圆|z|=3内部所有的点组成的集合,这两个集合的交集就是上述不等式组的解所对应点的集合.因此,满足条件2<|z|<3的点Z 的集合是以原点为圆心,分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环,但不包括圆环的边界.如下图所示.高手支招5思考发现1.对于复数用非标准形式给出,应先化成标准形式a+bi 的形式,使复数问题实数化,这是解复数问题的基本思想,也是化归思想的重要表现.2.对于复数分类问题的求解,主要包含四类:是实数,是虚数,是纯虚数,是零.是实数就必须使复数的虚部为零;是虚数就必须使复数的虚部不为零;是纯虚数就必须使复数的虚部不为零,同时要使复数的实部为零;是零就必须使复数的实部和虚部均为零.3.对于涉及到利用复数相等的问题,求解时关键是要抓住两个复数相等的充要条件,从而将复数问题转化为实数问题的主要方法.此外,要明确由一个复数等式可得到两个实数等式这一性质,并在解题中会运用它.4.在设复数的过程中常设为z=a+bi(a,b∈R );在有关的解决轨迹问题中常设z=x+yi 从而与解析几何联系起来;当复数的模为1时也可以设为z=cos θ+isin θ用三角函数解决相关最值等.5.复数相等是解决复数问题常用的方法,这是一个将复数问题实数化的过程,转化后再用实数范围内的相关方法来解.6.在判定复系数一元二次方程根的问题时不能用判定实系数一元二次方程根的问题的方法来解决,否则就会出错.如果复系数一元二次方程有实根,那么就将未知数视作实数,将方程化为a+bi=0(a,b∈R)的形式,然后利用复数相等的充要条件解之.。
13.6_数系的扩充与复数的引入
(3)z 是纯虚数； 1 (4) z＝ ＋4i. 2 思维启迪：若 z＝a＋bi (a，b∈R )，则 b＝0 时，z∈R ；b≠0 时， 1 z 是虚数；a＝0 且 b≠0 时，z 是纯虚数； z＝a－bi＝ ＋4i. 2
解
m 2＋2m －3＝0， (1)由z∈R ，得 m －1≠0，
数系的扩充与复数的引入
自主复习指导
1. 理解复数的基本概念． P51概念掌握：复数，实部，虚部，虚数单位；特别 注意复数a+bi什么情况下为实数，虚数，纯虚数；课 本例1. 2．理解复数相等的充要条件．P52上方 3．了解复数的代数表示法及其几何意义． P52概念掌握：复平面，实轴，虚轴;复数的几何意义： 点表示，向量表示；P53概念：模，共轭复数.课本例3 4．会进行复数代数形式的四则运算． 复数运算的加，减，乘同于常规四则运算；只重点复 习P60复数的除法. 5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． P65巩固与提高第4题 在复平面上表示的图形.
解得m ＝－3.
(2)由z是虚数，得m 2＋2m －3≠0，且m －1≠0， 解得m ≠1且m ≠－3. m m ＋2＝0， (3)由z是纯虚数，得m －1≠0， m 2＋2m －3≠0， 解得m ＝0或m ＝－2.
m m ＋2 1 1 2 (4)由 z ＝ ＋4i，得 －(m ＋2m －3) i＝ ＋4i， 2 2 m －1 m m ＋2 1 ＝ ， 2 m －1 ∴ －m 2＋2m －3＝4， 解得 m ＝－1. 2m 2＋3m ＋1＝0， 即m ≠1， m 2＋2m ＋1＝0，
§ 13.6
要点梳理
数系的扩充与复数的引入 基础知识 自主学习
1．复数的有关概念 (1)复数的概念 形如 a＋bi (a，b∈R )的数叫做复数，其中 a，b 分别是 它的 实部 和 虚部 .若 b＝0 ， a＋bi为实数， b≠0 ， 则 若 则 a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0 ，则 a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi ＝c＋di a＝c且b＝d (a，b，c， ⇔ d∈R )．
第3讲 数系的扩充与复数的引入
第3讲 数系的扩充与复数的引入一、 基础知识梳理：1．复数的有关概念：(1)复数①定义：形如a ＋b i 的数叫作复数，其中a ，b ∈R，i 叫作 ，a 叫作复数的 ，b 叫作复数的 ．②表示方法：复数通常用字母 表示，即 (a ，b ∈R)．(2)复数集①定义： 组成的集合叫作复数集．②表示：通常用大写字母C 表示．2．复数的分类及包含关系(1)分类：复数(a ＋b i ，a ，b ∈R)⎩⎨⎧ 实数b ＝0虚数b ≠0⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0(2)集合表示： .3．两个复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i 当且仅当 .4．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)Z (a ，b ) 复平面内的点 ；(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) OZ →＝(a ，b )平面向量 ．5．复数的模：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫作复数z 的模或绝对值，记作|z |，且|z |＝ .二．问题探究探究点一：复数的概念例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.跟踪训练1：符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．(1)实部为－2的虚数；(2)虚部为－2的虚数；(3)虚部为－2的纯虚数；(4)实部为－2的纯虚数．探究点二：复数的分类例2：当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．跟踪训练2：实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．探究点三：两复数相等例3：已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y .跟踪训练3：已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R)，求x 的值．探究点四：复数的几何意义例4：在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围．跟踪训练4： 已知复数z 的虚部为3，在复平面内复数z 对应的向量的模为2，求复数z .三.方法小结：1.复数a ＋b i 中，实数a 和b 分别叫作复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫作复数的虚部．2.两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．3.按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值四.练一练1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。
2020版高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.2.1复数的加法与减法课件北师大版选修2_2
【解析】(1)因为A，C对应的复数分别为3+2i，-2+4i， 由复数的几何意义，知 OA与OC 表示的复数分别为3+ 2i，-2+4i. ①因为 AO＝－OA，所以 AO 表示的复数为-3-2i.
②因为 CA＝OA－OC， 所以 CA表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. ③因为 OB＝OA＋所O以C， 表示O的B 复数为(3+2i)+ (-2+4i)=1+6i.
即(x，y)-(1，2)= (-1，-2)-(-2，1)， (x-1，y-2)=(1，-3)，
所以
x y
1 1解, 得
2 3,
x 2, y 1.
故点D对应的复数为2-i. 若BC为平行四边形的一条对角线，则AC B同D，理， 得点D对应的复数为-4-3i. 若AB为平行四边形的一条对角线，则CA B同D，理， 得点D对应的复数为5i.
所以|z|i+z= x2＋y2 i+x+yi= x＋( x2＋y2＋y)i
=1+3i，所以
x＝1，
x2 y
2＋y＝3
所以z=1+ 4 i.
3
答案：1+ 4 i
3
x＝1，
解得
y＝
4 3
,
2.原式=4i+(1-3i)=1+i.
【内化·悟】 1.若z1=a+bi，z2=c+di，则z1±z2如何计算？ 提示：根据复数运算法则：z1±z2=(a±c)+(b±d)i.
【思维·引】1.复数z=a+bi在复平面上对应的向量为 OZ =(a，b).
2.利用向量相等或对称性，求第四个顶点对应的复数.
复数讲义(含知识点和例题及解析)
数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部。
若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数。
(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )。
(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )。
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。
x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。
(5)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2。
2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )。
(2)复数z ＝a ＋b i ――→一一对应平面向量OZ →(a ，b ∈R )。
3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )则： ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i 。
②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i 。
③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 。
④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0)。
(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)。
1数系的扩充与复数的引入——数的概念的扩展 、复数的有关概念
北师大版数学选修2-2 第五章 数系的扩充与复数的引入 编号：01 编写：尹蓓蓓 审批 ： 班级： 小组： 姓名： 组内评价： 教师评价1数系的扩充与复数的引入【学习目标】1．掌握复数有关概念、复数相等的充要条件及复数代数表示法、几何意义; 2．自主学习，合作交流，探究数系的扩充历程，感受学习复数的必要性;3．激情投入，高效学习，通过类比引入、分类讨论等数学思想方法的使用，培养分析问题、解决问题的能力． 【学习重点】复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系；一、【问题导学】思考：方程210x +=在实数范围内有解吗？为什么？1．什么是虚数单位？它的引入有何意义？2．什么是复数？复数的实部和虚部分别是什么？对复数系进行分类，画出数系的分类表．3．什么是复数相等？复数能比较大小吗？4．什么是复平面？复数的几何意义是什么？复平面内的点(,)Z a b 、向量(,)OZ a b =与复数z a bi =+有何对应关系？5. 复数的模：向量OZ 的模r 叫做复数z a bi =+的模，记作=+bi a 复数模的几何意义：__________________________【学以致用】1．1i = 2i =3i = 4i=41k i+= 42k i += 43k i += 44k i +=2．下列数是否是复数？试找出它们各自的实部和虚部23i +，84i -，83i +，6，i ，29i --，7i ，0，—5，2-3i -，3i -，2- 其中是纯虚数的有 ；是虚数的有___________________________________________________． 3．若23i +=a bi +，则a =______；b =_______．二、【合作探究】例1 实数m 取什么值时，复数1(1)z m m i =++-是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？拓展1 已知i 是虚数单位，复数2(1)(23)4(2)z m i m i i =+-+-+，当m 取何实数时，z 是： （1）实数；（2） 虚数；（3）纯虚数；（4）零．例2 若()(1)(23)(21)x y y i x y y i ++-=+++，求,x y 的值．拓展2 已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程2430x x --=的两根，试求,,a b k 的值．例3 在复平面内表示下列复数，并分别求出他们的模：（1）34i -+；（2）1322i-；（3）3i +；（4）23i --；（5）3i ；（6）-5；（7）2i -．※当堂检测：1．（1+3)i 的实部、虚部分别是（ ）A ． 1，3B ．13+，0C ．0，13+D ．0，（1+3)i 2．求适合下列方程的实数x 、y 的值:(1) (32)(5)172x y x y i i ++-=-；(2)(3)(4)0x y x i +-+-= ．3．已知复数2141(23)z a a a i =-+++，复数222()z a a a i =++ a ∈R 12z z >，求实数a 的值并求出两个复数的模．。
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.1数系的扩充与负数的引入5.1.1数的概念的扩展课件北师大版
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3.若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为( A.-1 B.0 C.1 D.-1或1 ������ 2 -1 = 0, 解析:由题意知 故x=-1. ������-1 ≠ 0, 答案:A
)
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4. 以- 5+2i 的虚部为实部, 以 5i+2i2 的实部为虚部的复数是( A. 2-2i B. 2+2i
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1. 复数(1+ 5)i 的实部是(
) D.0
A.1 B. 5 C.1+ 5 解析:复数(1+ 5)i 的实部是 0, 故选 D. 答案:D
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2.若复数2-bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数,则b的值为(
)
A.2
B.3
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C.-3
2
D.-2
解析:复数2-bi的实部为2,虚部为-b,由题意知2=-(-b),所以b=2. 答案:A
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������(������+2) + ������-1
(������2 + 2������ − 3)i,
������(������+2) +2m-3=0,且 有意义,即 ������-1 ������(������+2) 有意义,即 m-1≠0, ������-1
(2)要使 z 为虚数 ,需满足 m2+2m-3≠0, 且 解得 m≠1,且 m ≠-3. (3)要使 z 为纯虚数 ,需满足 或 m=-2.
数系的扩充与复数的引入
复数的代数形式：
z a bi (a R, b R)
其中a —实部 , b —虚部 ,
i
称为虚数单位.
讨论:复数集 C 和实数集 R 之间有什么关系？
规定: 0i=0 ,0+bi=bi, a+0i=a
当 b 0 时，这时 z a 是实数. 复数 z a bi 当 b 0 时， z a bi 叫做虚数. 当 a 0且b 0 时，z bi 叫做纯虚数.
2
到底是怎么一回事?
x 2x 3 0 2 配方得 x 2 x 1 2 2 即 ( x 1) 2
2
负数能否开平方?又如 x 1 呢?
2
在解方程时经常会遇到这类问题.如果负数可以 开平方,那这个平方根不会是实数,是什么数呢?
问题解决:为了解决负数开平方问题，我们引入一个新数
由此可知：R
C
复数相等的充要条件： 规定：两复数：
a bi c di a c 且 b d
（其中：a, b, c, d R ）
例1 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？ 解: （1）当 m 1 0 ，即 m 1 时，复数z 是实数．
把 i 叫做虚数单位，并且规定：
(1) i 21；
i，
(2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加 法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立.
这样就会出现许多新数,如 2i 、3i 、2 i 、3 i 等. 形如 a bi (a, b R) 的数叫做复数.
x 3, y 2 ⑵ 若 3 10i y 2 i x 1 9i ,
(北师大版)上海市高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试题(含答案解析)
一、选择题1．设复数z 满足1z =，则1z i -+的最大值为（ ）A 1B ．2C 1D ．22．若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 3．复数34i z i -=，|z |＝（ ）A B ．3 C ．4 D ．5 4．若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则tan()θ-π的值为( ) A ．34± B ．43 C ．34- D ．43- 5．若复数z 满足(34)25i z i +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是A ．3iB ．3i -C ．3D ．-3 6．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝﹣3+i （期中i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面对应的点是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知0)z a a =>且||2z =，则z =( )A．1B ．1C ．2D ．3+ 8．已知复数33i z i --=，则z 的虚部为（ ） A ．3- B ．3 C ．3i D ．3i -9．复数z 满足(1)35i z i -⋅=+，则||z =A ．2B ．CD 10．已知复数122i z i +=- （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．i11．设i 是虚数单位，则复数734i i ++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 12．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标为 ( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)二、填空题13．设221i z i-=+，则z =_____________． 14．在复数集中分解因式：2364x x -+=________.15．已知复数zi =，i 为虚数单位，则z =____________16．设12,z z 为复数，21z =，则21121z z z z -=-___________. 17．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为_____（米）．18．已知复数z 满足21z i i=++，则z 的共轭复数z=__________. 19．已知复数z 满足(1)i z i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为_________． 20．下列四个命题中正确的有_______（填上所有正确命题的序号）①若实数,,a b c 满足3a b c ++=，则,,a b c 中至少有一个不小于1②若z 为复数，且z =1，则z i -的最大值等于2③(0,),sin x x x ∈+∞>任意都有④204π=三、解答题21．已知复数2(1)(24)33Z i m i m i =+-+-+（1）当m 为何值时 , Z 为纯虚数 ?（2） 当m 为何值时 , Z 对应的点在y x =上?22．实数m 取什么数值时，复数()2212z m m m i =-+--分别是： （1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）表示复数z 的点在复平面的第四象限？23．已知z 是复数，121z z ==，12z z +=12z z -.24．复数2(21)(1),z a a a i a R =--+-∈.（1）若z 为实数，求a 的值；（2）若z 为纯虚数，求a 的值；（3）若93z i =-，求a 的值.25．方程21(4)02x m x m --+=的两根为α，β，且||||αβ+=m 的值.26．若关于x 的方程22470x zx i -++=有实根，求复数z 的模的最小值和此时z 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】 如图所示，复数满足1z =时轨迹方程为复平面内的单位圆， 而()11z i z i -+=--表示z 与复数1i -所对应的点在复平面内的距离，结合圆的性质可知，1z i -+的最大值为()2211121+-+=+.本题选择C 选项. 2．A解析：A 【分析】设z x yi =+，得到()()22221x y ++-=，化简得到()()221212z i x y --=-+-根据其几何意义计算得到答案.【详解】设z x yi =+，则()()()()222222221z i x y i x y +-=++-=++-=， 即()()22221x y ++-=，表示圆心为()2,2-，半径为1r =的圆. ()()()()22121212z i x y i x y --=-+-=-+-，表示点(),x y 和()1,2之间的距离，故()()min 12122z i r --=---=.故选：A.【点睛】本题考查了复数的模，与圆相关距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 3．D解析：D【分析】根据复数的除法运算先把z 化成(),z a bi a b R =+∈的形式，再根据公式z =求模.【详解】 ()()()2234343443i i i i i z i i i i i----+====----，5z ∴==.故选：D .【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模，属于基础题.4．C解析：C【分析】根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果.【详解】 若复数34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数， 则3sin 05θ-=且4cos 05θ-≠， 所以3sin 5θ=，4cos 5θ=-， 所以3tan 4θ=-，故tan()θ-π=3tan 4θ=-． 故选C ．【点睛】 本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．纯虚数是一个易错概念，不能只关注实部为零的要求，而忽略了虚部不能为零的限制，属于易错题.5．C解析：C【分析】本道题目可以设出z a bi =+,然后结合待定系数法,计算参数,即可得出答案.【详解】设z a bi =+,代入原式得到()()()()34343434i z i a bi a b b a i +=++=-++结合待定系数法得到340,3425a b b a -=+=,解得3b =,故选C.【点睛】本道题目考查了待定系数法和复数的四则运算,注意虚部是指i 的系数.6．B解析：B【分析】先化简得到2z i =--，再计算2z i =-+得到答案。
新教材北师大版高中数学必修第二册第五章复数 学案(知识点考点汇总及配套习题)
第五章复数1复数的概念及其几何意义........................................................................................ - 1 - 2复数的四则运算...................................................................................................... - 14 - 3复数的三角表示...................................................................................................... - 29 -1复数的概念及其几何意义1．1复数的概念学习任务核心素养1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．(重点)2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．(重点、难点) 3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．(重点)1．通过对复数的相关概念的学习，培养学生数学抽象素养．2．借助复数的分类、复数的相等的相关运算，培养学生数学运算素养．五百年前意大利的卡尔丹遇到这样一个问题，将10分成两个部分，使它们的乘积等于40，则x(10－x)＝40即(x－5)2＝－15，该方程无实数解，那么他遇到了什么问题呢？他想：负数为什么不能开方？他是怎样解决的呢？形如a＋b i(其中a，b∈R)的数叫作复数，通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R).其中a称为复数z的实部，记作Re z, b称为复数z的虚部，记作Im z.知识点2复数的分类根据复数中a，b的取值不同，复数可以有以下的分类：复数a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数（b ＝0）；虚数（b ≠0）⎩⎨⎧纯虚数（a ＝0），非纯虚数（a ≠0）.1.在2＋7，27i, 8＋5i ，(1－3)i, 0.68这几个数中，纯虚数的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3C [27i, (1－3)i 是纯虚数，故选C.]知识点3 复数集全体复数构成的集合称为复数集，记作C .显然RC .知识点4 复数相等两个复数a ＋b i 与c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即a ＋b i ＝c ＋d i 当且仅当a ＝c 且b ＝d ． 1.两个复数一定能比较大小吗？提示：当两个复数为实数时，能够比较大小；否则不能比较大小．2．若复数a ＋2i ＝3＋b i(a ，b ∈R )，则a ＋b 的值是什么？提示：因为a ＋2i ＝3＋b i ，所以a ＝3，b ＝2，所以a ＋b ＝5.2.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)复数z ＝b i 是纯虚数． ( ) (3)若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )[提示] (1)错误．若b ＝0，则复数z ＝a ＋b i 是实数．(2)错误．若b ＝0，则复数z ＝b i ＝0是实数．(3)正确．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则这两个复数的实部和虚部分别相等，所以两个复数相等．[答案] (1)× (2)× (3)√类型1 复数的概念【例1】 (1)给出下列三个命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②2i －1的虚部是2i ；③2i 的实部是0.其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是________．(1)B (2)±2 5 [(1)对于①，当z ∈R 时，z 2≥0成立，否则不成立，如z ＝i ，z 2＝－1<0，所以①为假命题；对于②，2i －1＝－1＋2i ，其虚部是2，不是2i ，②为假命题；对于③，2i ＝0＋2i ，其实部是0，③为真命题．故选B.(2)由题意知⎩⎨⎧a 2＝2，b －2＝3，∴a ＝±2，b ＝5.](1)复数的代数形式：若z ＝a ＋b i ，只有当a ，b ∈R 时，a 才是z 的实部，b 才是z 的虚部，且注意虚部不是b i ，而是b .(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．[跟进训练]1．下列命题：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；②若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2；③实数集是复数集的真子集．其中正确说法的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3B [对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时，为纯虚数．对于①，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误．对于②，若x ＝－2，则x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i ＝0，不是纯虚数，故②错误．显然，③正确．故选B.]类型2 复数相等【例2】 (1)(教材北师版P 165例2改编)已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x ，y 的值；(2)关于x 的方程3x 2－a 2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值．[解] (1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎨⎧x 2－y 2＝0，2xy ＝2， 解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1. (2)设方程的实数根为x ＝m ，则3m 2－a 2m －1＝(10－m －2m 2)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715.复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．[跟进训练]2．复数z 1＝(2m ＋7)＋(m 2－2)i ，z 2＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i ，m ∈R ，若z 1＝z 2，则m ＝________．5 [因为m ∈R ，z 1＝z 2，所以(2m ＋7)＋(m 2－2)i ＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i.由复数相等的充要条件得⎩⎨⎧2m ＋7＝m 2－8，m 2－2＝4m ＋3，解得m ＝5.] 类型3 复数的分类【例3】 当m 为何实数时，复数z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i. (1)是虚数；(2)是纯虚数．1. 复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）何时为虚数？[提示] b ≠0．2.复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）何时为纯虚数？[提示] a ＝0，b ≠0. 3.(1)复数z 是虚数→令虚部不等于0→解方程组可得m 的值(2)复数z 是纯虚数→令虚部不等于0且实部等于0→解方程组可得m 的值[解] (1)当⎩⎨⎧m ＋3≠0，m 2－2m －15≠0，即m ≠5且m ≠－3时，z 是虚数． (2)当⎩⎨⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2－2m －15≠0，即m ＝3或m ＝－2时，z 是纯虚数．1．例3的条件不变，当m 为何值时，z 为实数？[解] 当⎩⎨⎧m ＋3≠0，m 2－2m －15＝0，即m ＝5时，z 是实数． 2．例3的条件不变，当m 为何值时，z >0.[解] 因为z >0，所以z 为实数，需满足⎩⎨⎧m 2－m －6m ＋3>0，m 2－2m －15＝0，解得m ＝5. 3．已知z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R )，若z 是虚数，求m 的取值范围． [解] ∵z 是虚数，∴log 12(3－m )≠0，且1＋m >0， 即⎩⎨⎧3－m >0，3－m ≠1，1＋m >0，∴－1<m <2或2<m <3.∴m 的取值范围为(－1，2)∪(2，3).复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )时应先转化形式．(2)注意分清复数分类中的条件,设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0.④z ＝0⇔a ＝0且b ＝0.当堂达标1．若x i －i 2＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于( )A ．－2＋iB ．2＋iC ．1－2iD ．1＋2iB [由i 2＝－1，得x i －i 2＝1＋x i ，则由题意得1＋x i ＝y ＋2i ，根据复数相等的充要条件得x ＝2，y ＝1，故x ＋y i ＝2＋i.]2．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( )A ．3－3iB ．3＋iC ．－2＋2iD ．2＋2iA [3i －2的虚部为3，3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A.]3．已知复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝3＋(a 2－7)i ，a ∈R ，若z 1＝z 2，则a ＝( )A ．2B ．3C ．－3D ．9 B [因为z 1＝a ＋2i ，z 2＝3＋(a 2－7)i ，且z 1＝z 2，所以有⎩⎨⎧a ＝3，a 2－7＝2，解得a ＝3.故选B.]4．已知复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m 的值为________． －1或2 [因为复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，所以m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2.]5．设m ∈R ，复数z ＝－1－m ＋(2m －3)i.(1)若z 为实数，则m ＝________；(2)若z 为纯虚数，则m ＝________．(1)32(2)－1[(1)若复数z＝－1－m＋(2m－3)i为实数，则2m－3＝0，所以m＝32；(2)若z为纯虚数，则－1－m＝0，所以m＝－1.]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.如何正确理解复数的概念？[提示](1)对于复数z＝a＋b i(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判断相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．2.如何解决复数相等问题？[提示]两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断．1．2复数的几何意义学习任务核心素养1．理解用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．(难点)2．掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念．(重点、难点)3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．(重点)1．通过学习复数的几何意义，培养学生直观想象素养．2．借助于复数的模和共轭复数的计算，培养学生数学运算素养．18世纪，瑞士人阿甘达注意到负数是正数的一个扩充，它是将方向和大小结合得出来的，他给出了负数的一些几何解释．而在使人们接受复数方面，高斯的工作更为有效，他不仅将复数z＝a＋b i表示为复平面的一点Z(a，b)，而且阐述了复数的几何加法和乘法，这也和向量运算是一致的，使人们对复数不再有种神秘的印象．阅读教材，结合上述情境回答下列问题．问题1：上述材料中，复平面是如何定义的？问题2：复数与复平面内的点及向量的关系如何？问题3：复数的模是实数还是虚数？问题4：复数z＝a＋b i的共轭复数是什么？知识点1复平面通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．1.虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？提示：不是．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．知识点2复数的几何意义2.象限内的点与复数有何对应关系？提示：第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负．1.在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [∵z ＝i ＋2i 2＝－2＋i ，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z 对应的点位于第二象限．]知识点3 复数的模向量OZ →的模称为复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|. 由向量模的定义可知，|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2．如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数a ，它的模等于|z |＝a 2＋b 2＝a 2＝|a |(a 的绝对值).2.已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则|z |＝________．5 [|z |＝（－1）2＋22＝ 5.]知识点4 共轭复数(1)定义：若两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，复数z 的共轭复数用z 表示．当z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )时，z ＝a －b i ．(2)几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等．另外，当复数z ＝a ＋b i 的虚部b ＝0时，有z ＝z .也就是说，任意一个实数的共轭复数仍是它本身，反之亦然．3.复数z ＝－1＋i 的共轭复数对应的点位于第________象限．三 [z ＝－1＋i 的共轭复数为z ＝－1－i ，位于第三象限．]类型1 复数与平面内的点的关系【例1】 (教材北师版P 167练习第2题改编)实数x 分别取什么值时，复数z ＝(x 2＋x －6)＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在：(1)第三象限；(2)直线x －y －3＝0上．[解] 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎨⎧x 2＋x －6<0，x 2－2x －15<0，即当－3<x <2时，点Z 在第三象限． (2)z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应点Z (x 2＋x －6，x 2－2x －15)，当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即当x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．按照复数和复平面内所有点组成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值． [跟进训练]1．在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R )的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z .[解] 若复数z 的对应点在虚轴上，则m 2－m －2＝0，所以m ＝－1或m ＝2，所以z ＝6i 或z ＝0.若复数z 的对应点在实轴负半轴上，则⎩⎨⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2＝0，所以m ＝1，所以z ＝－2.类型2 复数的模的几何意义【例2】 (教材北师版P 166例3改编)设z ∈C ，在复平面内对应点Z ，试说明满足下列条件的点Z 的集合是什么图形．(1)|z |＝3; (2)1≤|z |≤2.[解] (1)|z |＝3说明向量OZ →的长度等于3，即复数z 在复平面内对应的点Z 到原点的距离为3，这样的点Z 的集合是以原点O 为圆心，3为半径的圆．(2)不等式1≤|z |≤2可以转化为不等式组⎩⎨⎧|z |≤2|z |≥1.不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2及该圆内部所有点的集合．不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1及该圆外部所有点的集合．这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z |≤2的点的集合．如图中的阴影部分，所求点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界．解决复数的模的几何意义问题解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z |表示点Z 到原点的距离，可依据|z |满足的条件判断点Z 的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决． [跟进训练] 2．若复数z 满足|z |≤2，则z 在复平面所对应的图形的面积为________． 2π [满足|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以2为半径的圆及其内部所有的点构成的集合，∴所求图形的面积为S ＝2π.故填2π.]类型3 复数、共轭复数与复平面内的向量的关系【例3】 (1)向量OZ 1对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，则OZ →1＋OZ →2对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i(2)设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA→对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．－5－5iC ．5＋5iD ．5－5i1.复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）在复平面内对应的向量OZ →和点Z 分别是什么？[提示] 向量OZ →＝（a ，b ），点Z 的坐标为（a ，b ）.2.设复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）的共轭复数为z ，z 和z 在复平面内对应的点分别为A ，B ，则点A ，B 有什么关系？[提示] 点A ，B 关于x 轴对称．(1)C (2)D [(1)由复数的几何意义，可得OZ →1＝(5，－4)，OZ →2＝(－5，4)，所以OZ →1＋OZ →2＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)，所以OZ →1＋OZ →2对应的复数为0.(2)由复数的几何意义，得OA →＝(2，－3)，OB →＝(－3，2)，BA →＝OA →－OB →＝(2，－3)－(－3，2)＝(5，－5).所以BA →对应的复数是5－5i.] 1．在例3(2)中若BA →对应的复数是z ，求z .[解] 由例3(2)的解析可知BA →对应的复数是5－5i ，即z ＝5－5i ，所以z ＝5＋5i.2．在例3(2)中，若点A 关于实轴的对称点为点C ，求向量OC →对应的复数．[解] 复数2－3i 表示的点A (2，－3)关于实轴对称的点为C (2，3)，∴向量OC→对应的复数为2＋3i.(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．[跟进训练]3．已知O 为坐标原点，OZ 1对应的复数为－3＋4i ，OZ 2对应的复数为2a ＋i(a ∈R )，若OZ 1与OZ 2共线，求a 的值．[解] ∵OZ 1对应的复数为－3＋4i ，OZ 2对应的复数为2a ＋i ，∴OZ 1＝(－3，4)，OZ 2＝(2a ，1).又∵OZ 1与OZ 2共线，∴(－3)×1－4×2a ＝0，解之得a ＝－38.当堂达标1．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( )A ．0B ．－3C ．－3iD ．3C [OZ →对应的复数为－3i.]2．已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝1＋i ，若z 1＋z 2为纯虚数，则实数m 的值为( )A ．－1B ．1C ．4D ．－4A [z 1＋z 2＝m ＋1＋3i 为纯虚数，故m ＋1＝0，m ＝－1，故选A.]3．已知z ＝m －1＋(m ＋2)i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，2)B ．(－2，1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－2)B [∵z ＝m －1＋(m ＋2)i 在复平面内对应的点在第二象限，∴m －1<0，m ＋2>0，解得－2<m <1，则实数m 的取值范围是(－2，1).]4．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( )A ．a ≠2或a ≠1B ．a ≠2或a ≠－1C ．a ＝2或a ＝0D ．a ＝0C [由题知a 2－2a ＝0解得a ＝0或a ＝2，故选C.]5．已知复数z ＝1＋2i ，则|z |＝________．5 [∵z ＝1＋2i ，∴|z |＝ 5.]回顾本节内容，自我完成以下问题：复数的模的几何意义是什么？提示：(1)复数z在复平面内对应的点为Z，复数z0在复平面内对应的点为Z0，r表示一个大于0的常数，则：①满足条件|z|＝r的点Z的轨迹为以原点为圆心，r为半径的圆，|z|＜r表示圆的内部，|z|＞r表示圆的外部；②满足条件|z－z0|＝r的点Z的轨迹为以Z0为圆心，r为半径的圆，|z－z0|＜r 表示圆的内部，|z－z0|＞r表示圆的外部．(2)复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应．如图所示：2复数的四则运算2．1复数的加法与减法学习任务核心素养1．掌握复数代数形式的加法和减法运算．(重点、难点)2．理解复数加法和减法所满足的交换律和结合律．(重点、难点)1．通过学习复数的加法和减法运算，培养学生数学运算素养．2．通过学习复数加法和减法运算所满足的运算律，培养学生数学抽象素养．随着生产发展的需要，我们将数的范围扩展到了复数．运算是“数”的主要功能，复数不同于实数，它是由实部、虚部两部分复合构造而成的整体．阅读教材，回答下列问题问题1：复数如何进行加、减运算呢？问题2：类比多项式的加、减运算，想一想复数又如何进行加、减法运算？问题3：两个复数的和或差得到的结果是什么？问题4：复数的加法法则可以推广吗？知识点1复数的加法与减法(1)复数加法的运算法则两个复数的和仍是一个复数，两个复数的和的实部是它们的实部的和，两个复数的和的虚部是它们的虚部的和，也就是(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i．(2)复数减法的运算法则两个复数的差仍是一个复数，两个复数的差的实部是它们的实部的差，两个复数的差的虚部是它们的虚部的差，也就是(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i．(3)复数的加法运算的运算律：结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)；交换律：z1＋z2＝z2＋z1．1.两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？[提示]是复数，唯一确定．1.已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于()A．8i B．6 C．6＋8i D．6－8iB[z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.]知识点2复数加法的几何意义如图，z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)分别与向量OZ1＝(a，b)，OZ2＝(c，d)对应，根据平面向量的坐标运算，得OZ1＋OZ2＝(a＋c，b＋d)，这说明两个向量OZ1，OZ2的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意义．2.若复数z 1，z 2满足z 1－z 2＞0，能否认为z 1＞z 2?提示：不能，例如可取z 1＝3＋2i ，z 2＝2i.2.计算(3＋i)－(2＋i)的结果为________．1 [(3＋i)－(2＋i)＝3＋i －2－i ＝1.]类型1 复数的加法和减法【例1】 (教材北师版P 169例1改编)(1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－32i . (2)已知复数z 满足z ＋1－3i ＝5－2i ，求z .(3)已知复数z 满足|z |＋z ＝1＋3i ，求z .[解] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋2－43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋32i ＝1＋i. (2)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以x ＋y i ＋(1－3i)＝5－2i ，即x ＋1＝5且y －3＝－2， 解得x ＝4，y ＝1，所以z ＝4＋i.法二：因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以z ＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.(3)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，|z |＝x 2＋y 2，∴|z |＋z ＝(x 2＋y 2＋x )＋y i ＝1＋3i ，∴⎩⎨⎧x 2＋y 2＋x ＝1，y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝3，∴z ＝－4＋3i.复数代数形式的加、减法运算技巧(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．(2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减．(3)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算． [跟进训练] 1．(1)若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝________．(2)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝________(a ，b ∈R ).(1)6－2i (2)－a ＋(4b －3)i [(1)∵z ＋i －3＝3－i ，∴z ＝6－2i.(2)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝(a －2a )＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i.]类型2 复数加、减法的几何意义【例2】 (教材北师版P 170例4改编)如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别表示0, 3＋2i ，－2＋4i.求：(1)AO →表示的复数；(2)对角线CA →表示的复数；(3)对角线OB →表示的复数．确定向量对应的复数→进行向量的运算→确定向量对应的复数[解] (1)因为AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以对角线CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为对角线OB →＝OA →＋OC →，所以对角线OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.例2的条件不变，求向量AB →表示的复数．[解] 因为AB →＝AO →＋OB →，由例2的解析可知，AO →表示的复数为－3－2i ，OB→表示的复数为1＋6i ，所以向量AB →表示的复数为(－3－2i)＋(1＋6i)＝－2＋4i.复数与向量的对应关系的两个关注点(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是与以原点为起点，Z (a ，b )为终点的向量一一对应的．(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变．[跟进训练]2．△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心A [由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z 的对应点P 到△ABC 的顶点A ，B ，C 距离相等，∴P 为△ABC 的外心．]当堂达标1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( )A ．－1＋iB ．1－iC ．iD ．－iA [原式＝1－i －2－i ＋3i ＝－1＋i.]2．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( )A ．－2B ．4C ．3D ．－4B [z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B.]3．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|等于( )A ． 2B ．2C ．10D ．4B [向量AB →对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i ，所以AB →＝(0，2)，故|AB →|＝2.]4．(5－i)－(3－i)－5i ＝________．2－5i [(5－i)－(3－i)－5i ＝2－5i.]5．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________． －1＋10i [∵z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，∴z 1＋z 2＝x ＋3＋(2－y )i ＝5－6i ， ∴⎩⎨⎧x ＋3＝5，2－y ＝－6，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝8，∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ， ∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.复数代数形式的加减运算之间有怎样的关系？[提示] 复数代数形式的加法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2.复数加减法的几何意义是什么？[提示] 复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．2．2 复数的乘法与除法*2．3 复数乘法几何意义初探学习任务核心素养1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算．(重点、难点)2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(难点)3．了解复数乘法的几何意义．1．通过学习复数的乘法和除法，培养学生数学运算素养．2．通过学习复数乘法运算所满足的运算律，培养学生数学抽象素养．在研究复数的加、减法运算时，我们注意到复数的形式就像一个二项式，类比二项式乘二项式的法则，我们可以得到复数乘法的法则，让第一项与第二项的各项分别相乘，再合并“同类项”，即得到乘法的结果．阅读教材，回答下列问题．问题1：复数的乘法和除法运算法则各是什么？问题2：复数乘法的运算律有哪些？问题3：如何在复数范围内求方程的解？(1)复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么它们的积(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·_(z2·z3)乘法对加法的分配律z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3(3)对复数z，z1，z2和正整数m，n，有z m·z n＝z m＋n，(z m)n＝z mn，(z1·z2)n＝z n1·z n2．(4)虚数单位i乘方的周期性对于任意自然数n，有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．(5)共轭复数的性质：互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数(或其共轭复数)模的平方．即若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z ＝|z |2＝|z |2＝a 2＋b 2．(6)复数乘法的几何意义设复数z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )所对应的向量为OZ 1．①z 2＝(a ＋b i)·c (c >0)所对应的向量为OZ 2，则OZ 2是OZ 1与c 的数乘，即OZ 2是将OZ 1沿原方向拉伸或压缩c 倍得到的．②z 3＝(a ＋b i)·i 所对应的向量为OZ 3，则OZ 3是由OZ 1逆时针旋转π2得到的．1.复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相似？ [提示] 相似，但是运算的结果要把i 2写成－1.1.复数(1＋i)(1－i)＝________． 2 [(1＋i)(1－i)＝1－i 2＝2.] 知识点2 复数的除法 (1)复数的除法：对任意的复数z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )和非零复数z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，规定复数的除法：z 1z 2＝z 1·1z 2.即除以一个复数等于乘这个复数的倒数．因此z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i)⎝ ⎛⎭⎪⎫cc 2＋d 2－d c 2＋d 2i ＝ac ＋bd c 2＋d 2－ad －bc c 2＋d 2i ． (2)复数除法的运算： 在实际计算a ＋b ic ＋d i时，通常把分子和分母同乘分母c ＋d i 的共轭复数c －d i ，化简后就得到上面的结果：a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd c 2＋d 2－ad －bcc 2＋d 2i ．由此可见，在进行复数除法运算时，实际上是将分母“实数化”．2.类比根式除法的分母有理化，比如1＋33－2＝（1＋3）（3＋2）（3－2）（3＋2），你能写出复数的除法法则吗？提示：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i.2.设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．－i B ．i C ．－1 D ．1A [z ＝1i ＝－i.]类型1 复数的乘法及其几何意义【例1】 (1)(教材北师版P 171例5改编)计算：①(2＋i)(2－i)；②(1＋2i)2. (2)设O 是坐标原点，在矩形OABC (点O ，A ，B ，C 按逆时针排列)中，OA ＝3OC ，若A 对应的复数是3＋4i ，求点B ，C 所对应的复数．[解] (1)①(2＋i)(2－i)＝4－i 2＝4－(－1)＝5； ②(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝1＋4i ＋4i 2＝－3＋4i.(2)因为在矩形OABC 中，OA ＝3OC ，且A 对应的复数是3＋4i ， 所以点C 对应的复数为(3＋4i)·13i ＝－43＋i ，因为OA →＝(3，4)，OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1，所以OB →＝OA →＋OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53，5，所以点B 对应的复数为53＋5i.1.两个复数代数形式乘法的运算步骤 (1)首先按多项式的乘法展开； (2)再将i 2换成－1；(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2.常用公式(1)(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i(a ，b ∈R )； (2)(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )； (3)(1±i)2＝±2i.[跟进训练]1．(1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝( ) A ．2－13i B ．13＋2i C ．13－13iD ．－13－2i(2)复数(1－i)2(2－3i)的值为( )A ．6－4iB ．－6－4iC ．6＋4iD ．－6＋4i(3)设复数2＋i 对应的向量为OZ →，把OZ →沿原方向拉伸3倍所得到的向量对应的复数是( )A ．－1＋2iB ．6＋3iC ．6＋iD ．－6－3i(1)D (2)B (3)B [(1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i ＋i 2－(4－9i 2)＝－13－2i.(2)(1－i)2(2－3i)＝(－2i)(2－3i)＝－6－4i.(3)把OZ →沿原方向拉伸3倍所得到的向量对应的复数是(2＋i)·3＝6＋3i.] 类型2 复数的除法【例2】 (1)已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．MB ．NC ．PD ．Q(2)设复数z ＝1＋2i ，则z 2＋3z －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2(3)设复数z 满足1＋z1－z＝i ，则|z |等于( ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2(1)D (2)C (3)A [(1)由图可知z ＝3＋i ，所以复数z1＋i ＝3＋i 1＋i＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝4－2i2＝2－i ，表示的点是Q (2，－1).故选D.(2)z 2＋3z －1＝（1＋2i ）2＋31＋2i －1＝12＋4i ＋4i 2＋32i ＝4i 2i ＝2.故选C.(3)由1＋z 1－z ＝i ，得z ＝－1＋i 1＋i＝（－1＋i ）（1－i ）2＝2i2＝i ，所以|z |＝|i|＝1.故选A.]两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．[跟进训练] 2．(1)3＋i1＋i＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋iD ．2－i(2)已知i 为虚数单位，则1＋i3－i ＝( )A ．2－i5 B ．2＋i 5 C ．1－2i5 D ．1＋2i 5(1)D (2)D [(1)3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝4－2i2＝2－i. (2)1＋i 3－i ＝（1＋i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝1＋2i5.] 类型3 复数几何意义的综合应用【例3】 (1)已知i 是虚数单位，设复数z 1＝1＋i ，z 2＝1＋2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)1. 复数z ＝－2＋i 在复平面内对应的点在第几象限？[提示] 因为复数z ＝－2＋i 在复平面内对应的点为（－2，1），它在第二象限． 2.若复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）在复平面内对应的点在第四象限，则实数a ，b 应满足什么条件？[提示] a >0，b <0.3.(1)计算z 1z 2→求复数z 1z 2在复平面内对应的点→判断其所在的象限(2)计算（1－i ）（a ＋i ）→求复数（1－i ）（a ＋i ）在复平面内对应的点→构建方程组并求解(1)D (2)B [(1)由题可得，z 1z 2＝1＋i1＋2i ＝（1＋i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝35－15i ，对应在复平面上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，在第四象限．(2)因为z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ，所以它在复平面内对应的点为(a ＋1，1－a )，又此点在第二象限，所以⎩⎨⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a ＜－1.]1．把例3(1)中的复数“z 1z 2”换为“11＋i ”，答案是哪个？[解]11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－12i ，对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，在第四象限，故选D.2．把例3(2)中的复数“(1－i)(a ＋i)”换为“1－2ia ＋i”，其余条件不变， 求实数a 的取值范围．[解] 因为1－2i a ＋i ＝（1－2i ）（a －i ）（a ＋i ）（a －i ）＝a －2a 2＋1－2a ＋1a 2＋1i ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a －2a 2＋1<0－2a ＋1a 2＋1>0，解得a <－12.(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )Z (a ，b )OZ →＝(a ，b ).(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解法更加直观．[跟进训练]3．已知复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i(i 为虚数单位)，求z 及z z .[解] ∵(1＋2i)z ＝4＋3i ， ∴z ＝4＋3i 1＋2i ＝（4＋3i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝2－i ， ∴z ＝2＋i ，∴zz ＝2－i 2＋i ＝（2－i ）2（2＋i ）（2－i ）＝3－4i 5＝35－45i. 当堂达标1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( ) A ．6－4i B ．－6－4i C ．6＋4iD ．－6＋4iD [(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.]2．已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2＝( ) A ．－2iB ．2iC ．－2D ．2A [∵z i ＝1＋i ，∴z ＝1＋i i ＝1i ＋1＝1－i. ∴z 2＝(1－i)2＝1＋i 2－2i ＝－2i.] 3. 在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限D [11－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，∴复数11－i的共轭复数对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，位于第四象限，故选D.]4．计算：(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝________． 1＋i [(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i 2－1＋i ＝1＋i.] 5．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z ＝________．－3 [ ∵z ＝1＋2i ，∴z 2－2z ＝z (z －2)＝(1＋2i)(1＋2i －2)＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3.]回顾本节内容，自我完成以下问题： 1.如何进行复数代数形式的乘除运算？[提示] (1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．2.解决复数问题的基本思想是什么？[提示] 复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化．利用复数产生分形图以前我们学过的函数，定义域都是实数集的子集．但函数概念还可以推广：定义域是复数集的子集的函数称为复变函数．类似地，我们还可以得到多项式复变函数的概念．例如，f(z)＝z2就是一个多项式复变函数，此时f(i)＝i2＝－1，f(1＋i)＝(1＋i)2＝2i.给定多项式复变函数f(z)之后，对任意一个复数z0，通过计算公式z n＋1＝f(z n)，n∈N可以得到一列值z0，z1，z2，…，z n，….如果存在一个正数M，使得|z n|＜M对任意n∈N都成立，则称z n为f(z)的收敛点；否则，称z n为f(z)的发散点．f(z)的所有收敛点组成的集合称为f(z)的充满茹利亚集．例如，当f(z)＝z2时，如果z n＝i，则得到的一列值是i，－1，1，1，…，1，…；如果z n＝1＋i，则算出的一列值是1＋i，2i，－4，…，22n－1，….显然，对于f(z)＝z2来说，i为收敛点，1＋i为发散点．事实上，利用|z2|＝|z|2可以证明，f(z)＝z2的充满茹利亚集是一个单位圆盘(即由满足|z|≤1的所有z组成的集合).让人惊讶的是，当f(z)＝z2＋c时，对于某些复数c来说，f(z)的充满茹利亚集是非常复杂的．如果利用计算机对不同形态的收敛点和发散点进行不同的着色，就可以得到分形图．而且，如果按照一定的规则对c进行分类，并进行着色，可以得到如图所示的芒德布罗分形图．。
本章测试(第五章数系的扩充与复数的引入
本章总结知识结构专题总结专题一复数的概念1.虚数单位i 的平方等于-1,实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然成立.2.形如a+bi(a 、b ∈R )的数,叫做复数.全体复数所成的集合叫做复数集,一般用字母C 表示.3.复数表示成a+bi 的形式叫做复数的代数形式.4.对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数a;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,叫做虚数;当a=0且b≠0时,叫做纯虚数;a 与b 分别叫做复数a+bi 的实部与虚部. 【例1】 (2005天津高考，理2) 若复数iia 213++(a ∈R ,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为( )A.-2B.4C.-6D.6 思路分析:因为iia 213++是纯虚数,所以,只要使其实部为零,虚部不为零即可,因此,要先化简i i a 213++,对其进行分母实数化,即i i a 213++=i aa i i i i a 52356)21)(21()21)(3(-++=-+-+,令其实部56+a =0且虚部523a-≠0,得a=-6. 答案:C【例2】 (2006四川高考，理2) 复数(1-i)3的虚部为( )A.3B.-3C.2D.-2 思路分析:将复数(1-i)3展开,整理得1-3i+3i 2-i 3=-2-2i,其虚部为-2.答案:D【例3】 (2005福建高考，理1) 复数z=i-11的共轭复数是( ) A.21+21i B.2121-i C.1-i D.1+i 思路分析:可先求共轭复数,再化简;也可先化简,再求共轭复数.即i i i i z 21211111)11(-=+=-=-=;或者是,因为z=i -11=21)1)(1(1ii i i +=+-+,21)21(i i z -=+==2121-i.答案:B专题二复数的四则运算1.两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减),即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.2.设z 1=a+bi,z 2=c+di 是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;它们的商(a+bi)÷(c+di)=2222dc adbc d c bd ac +-+++i(c+di≠0). 3.在进行复数除法运算时,通常先把(a+bi)÷(c+di)写成dic bia ++的形式,再把分子与分母都乘分母的共轭复数(c-di).【例4】 (2007海南、宁夏高考，文15) i 是虚数单位,i+2i 2+3i 3+…+8i 8=______________.(用a+bi 的形式表示,a,b ∈R ) 思路分析:对任何n ∈N *，都有i 4n +1=i,i 4n +2=-1,i 4n +3=-i,i 4n =1.所以，i+2i 2+3i 3+…+8i 8=i-2-3i+4+5i-6-7i+8=4-4i.答案：4-4i【例5】 （2006广东高考，理10） 对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d),规定(a,b)=(c,d)当且仅当a=c,b=d;运算“⊗”为：(a,b)⊗(c,d)=(ac-bd,bc+ad),运算“⊕”为:(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d),设p,q ∈R ,若(1,2)⊗(p,q)=(5,0)则(1,2)⊕(p,q)=( )A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,-4)思路分析:这是一个新定义型的信息迁移题,通过观察,我们不难发现,这个“⊗”运算,其实就是复数的乘法运算,即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,它与(a,b)⊗(c,d)=(ac-bd,bc+ad)完全对应.因此,在解题时,就将其作为复数乘法运算来处理.由(1,2)⊗(p,q)=(p-2q,2p+q)=(5,0),得⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-.2,1,02,52q p q p p p 所以(1,2)⊕(p,q)=(1,2)⊕(1,-2)=(2,0). 答案:B【例6】 (2005山东高考，理)22)1(1)1(1i ii i -+++-=( ) A.i B.-I C.1 D.-1 思路分析:本题要充分利用速算式(1±i)2=±2i,即i ii i i i i i i i i 2112121)1(1)1(122---=-++-=-+++-=-1. 答案:D专题三复数方程解复数方程时,可以综合利用解实数方程的相关技巧和复数的特有性质.【例7】 (2006上海高考，理5) 若复数z 同时满足z-z ＝2i,z ＝iz(i 为虚数单位),则z ＝_______________.思路分析:将z ＝iz 代入z-z ＝2i,得z-iz=2i,然后,对z 进行化简,我们观察可知,式z=ii-12中分子为2i,因此,分子分母同乘以1-i,则分母立刻可得-2i.当然也可以进行分母实数化化简.z=)1)(1()1(212i i i i i i ---=-=-1+i. 答案:-1+i【例8】 (2006上海春季高考，18) 已知复数ω满足ω-4=(3-2ω)i(i 为虚数单位),z=ω5+|ω-2|,求一个以z 为根的实系数一元二次方程. 思路分析:先将ω求出并化简,并将其代入z=ω5+|ω-2|化简,发现这一虚数如果是一个实系数的一元二次方程的根,那必定还有一个共轭复数根.然后利用韦达定理即可求得以z 为根的实系数一元二次方程. 也可设ω=a+bi(a 、b ∈R ),利用复数相等的定义,求出ω=2-i,以下和前面的思路分析内容相同. 解法1:∵ω(1+2i)=4+3i,∴ω=ii 2134++=2-i,∴z=i -25+|-i|=3+i,若实系数一元二次方程有虚根z=3+i,则必有共轭虚根z =3-i,∵z+z =6,z·z =10,∴所求的一个一元二次方程可以是x 2-6x+10=0. 解法2:设ω=a+bi(a 、b ∈R ).则a+bi-4=3i-2ai+2b,得⎩⎨⎧-==-,23,24a b b a ∴⎩⎨⎧-==,1,2b a ∴ω=2-i,以下同解法一.【例9】 (2005高考全国Ⅲ，理13) 已知复数z 0=3+2i,复数z 满足z·z 0=3z+z 0,则z=_________________. 思路分析:可将z·z 0=3z+z 0中的z 用z 0表示出来,并将z 0=3+2i 代入,再进行化简,即得,z=i i i z z 231223300-=+=-. 答案:1-23i 专题四复数的几何意义复数的几何意义,有两个方面:一是用点来表示复数,复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的,即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b),这是复数的一个几何意义.二是用向量来表示复数,重点在于复数对应点的轨迹问题. 【例10】 (2005辽宁高考，理1文1) 复数z=ii++-11-1.在复平面内所对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 思路分析:将复数z=ii++-11-1化简为a+bi(a,b ∈R)的形式,从而可判断其对应点的位置.z=i i ++-11-1=)1)(1()1)(1(i i i i -+-+--1=22i -1=-1+i,可知其在复平面内所对应的点为（-1，1）,应为第二象限.答案:B【例11】 (2005浙江高考，理4) 在复平面内,复数ii+1+(1+3i)2对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 思路分析:将复数ii+1+(1+3i)2化简为a+bi(a,b ∈R )的形式,从而可判断其对应点的位置. i i +1+(1+3i)2=)1)(1()1(i i i i -+-+1+23i-3=23-+(23+21)i,显然,其所对应点在第二象限.答案:B本章测试（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.复数z 是实数的充分而不必要条件是( )A.|z|=zB.z=zC.z 2是实数D.z+z 是实数 答案:A思路分析：注意题目是求充分不必要条件而不是充要条件,即当满足条件时z 为实数,但复数z 为实数时该条件不一定成立. 当z ＝i 时,z 2=-1,故C 项不成立.当z 为虚数且非纯虚数时,z+z 是实数,故D 项不成立.若z=z ,设z=a ＋bi ，则z ＝a-bi,则复数相等得b=0,∴复数z 为实数;反之,若复数z 为实数,则必有z=z ，故B 项是充要条件.当|z|=z,设z=a ＋bi ，由复数相等得b=0,∴复数z 为实数;反之,若复数z 为实数且a<0时，得不出|z|=z.故正确答案是A 项.2.设复数z 满足关系式z ＋|z|＝2+i,那么z 等于( ) A.43-＋i B.43-i C.43--i D.43+i答案:D思路分析：设出复数由复数相等解方程组即可.设z=x+yi(x,y ∈R ),则x+yi ＋22y x +＝2＋i,∴⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==++.1,43,1,222y x y y x x 解得∴z ＝43+i,∴应选D 项. 3.若z 2＋z ＋1＝０,则z 2００2＋z 2００３＋z 2００５＋z 2００６的值是（ ）A.2B.-2C.21-+23i D.21-±23i 答案:B思路分析：由z 2＋z ＋1＝０,不难联系到立方差公式,从而将z 得出.将z 2＋z ＋1＝０两边乘以(z-1)得z ３-1＝０,即z ３＝1(z≠1).则z ４＝z,z 2００2＝(z ３)６６７·z ＝z,于是原式＝z 2００2(1＋z ＋z ３＋z ４)＝z(2＋2z)＝2(z ＋z 2)＝-2.故选B 项. 4.复数z,a,x 满足x=azza --1,且|z|=1,则|x|等于（ ） A.0 B.1 C.|a| D.21 答案:B思路分析：由|z|=1得z z =1,将分母中的1代换,便可与分子约分,否则问题很复杂. 由|z|=1得|z|2=1,即z z =1,∴x=za z z z a az z z z a 1)(-=--=--=-z,∴|x|=|-z|=1,故答案选B 项.5.以复平面内的点(0,-1)为圆心,1为半径的圆的方程是（ ） A.|z-1|=1 B.|z+1|=1 C.|z-i|=1 D.|z+i|=1 答案:D思路分析：结合复数减法的几何意义来解.设复数为z=x+yi(x,y ∈R ),则|z+i|=22)1(++y x ,∴|z+i|=1表示以(0,-1)为圆心,1为半径的圆.故答案选D 项.6.若复数z 满足|z ＋３＋４i|≤６,则|z|的最小值和最大值分别为（ ）A.1和11B.0和11C.5和6D.0和1 答案:B思路分析：由复数减法的几何意义知，满足条件的点的集合为圆面,|z|即圆面上的点对应复数的模,利用数形结合及解决圆上点的最值办法转化为到圆心的距离减加半径即可. ∵方程|z ＋３＋４i|≤６是以(-３,―４)为圆心,６为半径的圆及其内部, ∴原点满足方程,故|z|的最小值为０,而|z|的最大值为６＋|３＋４i|＝６＋５＝11.故答案选B 项. 7.设f(n)=(i i -+11)n +(ii +-11)n(n ∈N ),则集合{x|x=f(n)}中元素个数是（ ） A.1 B.2 C.３ D.无穷多个答案:C思路分析：应先将i i -+11,i i+-11化简,再根据i 的周期性来解. 化简f(n)= i i -+11)n +(ii +-11)n(n ∈N )＝i n +(-i)n .由i 4n =1,i 4n+1=i,i 4n+2=-1,i 4n+3=-i,给n 赋值发现集合{x|x=f(n)}＝{０,-2,2},故选C 项.8.若方程x 2+x+m=0有两个虚根α、β,且|α-β|＝３,则实数m 的值为…（ ） A.25 B.25- C.2 D.-2 答案:A思路分析：实系数一元二次方程不能简单地利用韦达定理来解,应由方程的根适合方程及相关知识来解. ∵方程x 2+x+m=0为实系数一元二次方程,且有两个虚根α、β,∴α、β互为共轭复数. 设α＝a+bi,则β＝a-bi, 由|α-β|＝３,得b ＝±23.当b=23时,α＝a+23i,代入方程得(a+23i)2+(a+23i)+m=0, 即(a 2+a+m-49)＋(3a+23)i ＝０,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-++.25,21.0233,0492m a a m a a 得出故选A 项.9.在复平面内,若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋iz|,则z 在复平面内对应点的轨迹为（ ） A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 答案:A思路分析：设复数z=x+yi(x,y ∈R )，求模，用几何意义来解即可.设z=x+yi(x,y ∈R),|x+1＋yi|＝22)1(y x ++,|1＋iz|＝|1＋i(x+yi)|＝22)1(x y +-,则22)1(y x ++＝22)1(x y +-.∴复数z=x+yi 对应点(x,y)的轨迹为到点(-1,０)和(０,1)距离相等的直线.故答案选A 项.10.已知|z 1|＝|z 2|＝1,|z 1-z 2|＝2,则|z 1＋z 2|＝( )A.2B.2C.3D.5答案:A 思路分析：由向量加减法的几何意义知,|z 1-z 2|是以z 1,z 2对应的向量为邻边的平行四边形的一对角线长,则|z 1＋z 2|为另一对角线长. 由向量的平行四边形法则,知∠z 1Oz 2＝９０°,∴对应的四边形为正方形.∴|z 1＋z 2|＝2.故答案选A 项.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上）11.设i yi i x -+-=+1231(x,y ∈R ),则x=_________,y=___________. 答案：53 59-思路分析：此题是复数相等的应用,将等式两边整理后列方程组求解即可. 由已知得)1)(1()1()2)(2()2(3)1)(1()1(i i i y i i i i i i x +-+++-+=-+-, 整理得:i y y i x x )253(25622+++=-. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+=.59,53,2532,2562y x y x y x 解得∴答案为x=53,y=59-. 12.设ω=21-+23i,A={x|x=ωk +ω-k ,k ∈Z },则集合A 中的元素有__________-个. 答案：2思路分析：此题是ω3=1,ω2=ω的周期性的应用.∵ω3=1,设n ∈Z ,∴k=3n 时x=2;k=3n+1时x=-1;k=3n+2时x=-1,故有2个元素. 13.(2007上海高考，理9文10) 对于非零实数a,b,以下四个命题都成立: ①a+a1≠0;②(a+b)2=a 2+2ab+b 2;③若|a|=|b|,则a=±b;④若a 2=ab,则a=b. 那么,对于非零复数a,b,仍然成立的命题的所有序号是_____________. 答案：②④思路分析：熟练掌握复数代数形式的四则运算是关键.我们也可以利用特例法进行一一验证.①不成立，例如，a=i,则a+a 1=i+i1=0;③不成立，例如，a=i,b=1,则|a|=|b|,而a≠±b. 14.(2007重庆高考，理11) 复数322ii+的虚部为_____________. 答案：54思路分析：化简542)2)(2()2(222223ii i i i i i i i +-=+-+=-=+，所以其虚部为54. 15.(2007海南、宁夏高考，理15) i 是虚数单位,ii43105++-=___________.(用a+bi 的形式表示,a,b ∈R ) 答案：25)43)(105()43)(43()43)(105(43105i i i i i i i i -+-=-+-+-=++-=1+2i. 思路分析：1+2i三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分10分）已知复数z=3232++-x x x +(x 2+2x-3)i ，求实数x,使:(1)z 是实数;(2)z 是虚数;(3)z 是纯虚数.解：解方程3232++-x x x =0得x=1或x=2;解x 2+2x-3=0得x=-3或x=1.答：x=1时z 是实数；x≠-3且x≠1时z 是虚数；x=2时z 是纯虚数.思路分析：复数z=a+bi 表示实数的条件是b=0,表示虚数的条件是b≠0,表示纯虚数的条件是a=0且b≠0.17.（本小题满分12分）已知复数z 的实部和虚部分别是a 和1,z 是z 的共轭复数,且z ·(1-2i)∈R ,求z. 解：∵z=a ＋i,z =a-i,z ·(1-2i)=(a-i)(1-2i)=(a-2)-(1+2a)i. 又z ·(1-2i)∈R ,∴1＋2a=0,a=21-,∴z=21-＋i. 思路分析：依据复数的乘法法则化简后再由复数表示实数的条件求解.18.（本小题满分12分）设方程(1+i)x 2+(1+5i)x-(2-6i)=0有实根，求这个实数根. 解：方程整理为(x 2+x-2)+i(x 2+5x+6)=0.设方程的实根为x 0，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+)2(,065)1(,02020020x x x x解方程组得⎩⎨⎧--=-=.23,2100或或x x x同时满足①②的值为x 0=-2.∴所求的根为x 0=-2.思路分析：我们将方程的实根x 0代入方程，由复数相等的充要条件可得方程组，求解即可. 19.（本小题满分12分）已知x,y ∈R ,x 2+2x+(2y+x)i 和3x-(y+1）i 是共轭复数，求复数z=x+yi 和z .解：由已知得⎩⎨⎧+=+=+,12,322y x y x x x解方程组得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0,1,1,0y x y x 或 ∴z=i 或z=1，z =-i 或z =1.思路分析：两个复数a+bi 与c+di 共轭，等价于a=c 且b=d.由此可以得到关于x 、y 的方程组.20.（本小题满分12分）解方程2102221222++=+-++x x x x x .解：原方程可化为2222223)1(1)1(2)2(++=+-++x x ,设z 1=2x+2i,z 2=1-x+i, z 1+z 2=1+x+3i, ∴原方程可化为|z 1|+|z 2|=|z 1+z 2|,显然，仅当1OZ 与2OZ 共线且同向时上式才成立，从而xx -=1122, ∴x=21时等号成立，即x=21是方程的根. 思路分析：无理方程一般解法是平方去根号转化为有理方程再求解.但平方后次数高，项数多，求解更加困难.由于本题根号里面可配方，类似复数的模，所以，可转化为复数问题来解决.21.（本小题满分12分）实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根之比为p ，求证： （1）当11+-p p 为实数时，原方程有实根； （2）当11+-p p 为纯虚数时，原方程有虚根. 证明：设α与β是实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根， 且βα=p,则α+β=a b -α·β=a c ,βαβαβαβα+-=+-=+-1111p p , （2222222224)()(4)()(4)()()()11(b ac b aa c ab p p -=---=+-+=+-=+-βααββαβαβα.① （1）当11+-p p 为实数时，(11+-p p )2≥0,则由①可得b 2-4ac≥0，故原方程有实根.（2）当11+-p p 为纯虚数时，（11+-p p )2<0，则由①可得b 2-4ac<0，故原方程有虚根. 思路分析：判定实系数一元二次方程根的实、虚，只要判定其判别式b 2-4ac 的符号就可以了.由题意，应在b 2-4ac 与11+-p p 之间建立起联系. 教材习题点拨 复习题五(P 112)A 组1.解:(1)（-4x+1)+(y+2)i=0⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=+-⇒.2,4102,014y x y x (2)（x-2y)-(3x+y)i=3-6i ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+-=--⇒.73,156)3(,32y y x y x y x 思路分析:利用复数为0或复数相等的条件先列出方程组,然后再求出未知量.2.答案:i 11=i 4×2+3=i 3=-i,i 25=i 4×6+1=i,i 26=i 4×6+2=i 2=-1,i 36=i 4×9=1,i 70=i 4×17+2=i 2=-1,i 101=i 4×25+1=i,i 355=i 4×88+3=i 3=-i,i 400=i 4×100=1.思路分析:利用公式i 4n =1,i 4n +1=i,i 4n +2=-1,i 4n +3=-i.3.解:(1)（3+4i ）+（-5-3i ）=（3-5）+（4i-3i ）=-2+i ； (2)（1-5i ）+（2+3i ）=（1+2）+（-5i+3i ）=3-2i ； (3)（-2+3i ）+（6-5i ）=（-2+6）+（3i-5i ）=4-2i ； (4)（7-i ）-（2i-3）=（7+3）+（-i-2i ）=10-3i.4.解:(1)(-8-7i)(-3i)=24i-21;(2)(4-3i)(-5-4i)=-20-16i+15i-12=-32-i; (3)(21-+23i)(1+i)= 21-21-i+23i 23-=21-23--(2123-)i; (4)(1-2i)(2+i)(3-4i)=(2+i-4i+2)(3-4i)=(4-3i)(3-4i)=-25i. 5.解:(1)(1+2i)2=1+4i-4=-3+4i;(2)(2-3i)3=(2-3i)2(2-3i)=(-5-12i)(2-3i)=-10+15i-24i-36=-46-9i; (3)(21-+23i)(21-23-i)=(21-)2-(23i)2=41+43=1;(4)ii ii ∙=1=-i;(5)222)1)(1()1(212i i i i i i i +-=+-+=-=-1+i; (6)5521024)31)(31()31)(1(311i i i i i i i i -=-=-+-+=++. 6.解:ω2-ω+1=(231i +)2-(231i +)+1=231i +--231i ++1=0. 思路分析:通过计算不难得出ω2-ω+1=0这一结果,我们可以熟记这一结论,这有利于今后的计算.B 组1.解:(1)1321331323)32)(32()32(32i i i i i i i i +=+=-+-=+； (2)5512555567)2)(2()2)(3()2)(2()2)(4(2324i i i i i i i i i i i i i i i +=-++=+---++-++=+-+-+； (3)8244)22)(22()22)(57(225722643)1(2)32(2)1(2)1)(21(132221i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i --=--+---+=+-+=+-++-=+--++-=+---=21--3i ；` (4))53)(53()53)(53()35)(35()35)(35(53533535i i i i i i i i i ii i+-++-+-++=-+--+8152281522i i +--+==21. 2.解:将原式变为15)33()(18422-+---=-+-z z z z z z z =z-3+15-z ,然后将z=2+i 代入得: z-3+15-z =2+i-3+125-+i =2+i-3+i +15=2+i-3+)1)(1()1(5i i i -+-255i -=23-23i. 思路分析:此题有两种解法,另一种解法是原式不变形,直接将z=2+i 代入也可得出结果.高效率学习决定学习成败的七个因素决定学习成败的因素可分为两大类:一类是内在因素;另一类是外部因素.内在因素归纳起来有七个方面.1.学习的动力是否强大要使学习获得成功,学习动力是第一个因素.学习活动中,有两个系统在同时进行工作,一个是认识系统,另一个是动力系统.动力系统对学习系统起着指向的作用和原动力的作用.所以,搞好学习首先要增强学习的动力.2.基础知识,基本技能是否循序作好了准备不少学习成绩优秀的同学成功的一个重要原因,就是已经学过的基础知识和基本技能掌握得比较扎实.特别是连贯性比较强的知识和技能,一定要一步一个脚印地打好基础.3.阅读、书写、计算的技巧是否已经达到自动化、半自动化的熟练程度“工欲善其事,必先利其器”.学习活动最基本的工具就是阅读技能、书写技能、计算技能,如果读、写的速度太慢,上课就会跟不上老师的讲课进度,课后复习和作业就会比别人多用时间.据有的国家对落后生的调查统计说明,这是造成部分学生学习落后的主要原因.4.好的学习方法一般说来,好的学习方法符合以下三个条件:符合认识规律;符合自己的个性特点;符合不同学习的内容和不同教师教课的特点.5.学习的才能是否强学习的才能主要指三种能力:独立获取知识的自学能力;运用知识分析和解决实际问题的能力;创造才能、发展才能比获得具体知识更重要,学习才能既是提高学习成绩的重要因素,又是通过学习要努力追求的目标.6.是否养成了良好的学习习惯学习方法经过长时期的运用,就会形成比较稳定的学习习惯.好的习惯对于获得学习上的成功极为重要,不好的习惯常常导致学习的失败.7.体力与精力是否充沛要使大脑处于积极工作的状态,必须有健壮的身体和充沛的精力.有的同学经常不吃早饭去上学,到上午第四节课已经饿得不行了,这时,听课效率就会降低.。