高中数学第四章数系的扩充与复数的引入4.1.1数的概念的扩展知识导航北师大版选修1-2讲义
1.1数的概念的扩展
自主整理
1.把平方等于-1的数用符号i 表示,规定i 2=-1,把i 叫作____________.
2.形如a+bi 的数叫作____________(a 、b 是实数, i 是虚数单位).记作z=a+bi(a 、b∈R ).
3.对于复数z=a+bi,a 与b 分别叫作复数z 的__________与__________,并且分别用__________与__________表示,即a=__________,b=_________.
4.复数的全体组成的集合叫作__________,记作__________,显然,_______________.
5.z=a+bi 中,当__________时,z 为实数;当b≠0时,z 为虚数;当a=0,b≠0时,z 为纯虚数. 高手笔记
1.数集之间的包含关系:N Z Q R C .可用图示表示
:
2.复数的分类:复数a+bi ⎪⎩
⎪⎨⎧⎩⎨⎧≠=≠=).0(),0()0(),0(a a b b 非纯虚数纯虚数虚数实数 3.复数a+bi=0的充要条件为a=b=0.
4.复数z=a+bi(a 、b∈R )的实部、虚部分别是a 、b,而虚部不是bi
名师解惑
如何判断含有参变量的复数是实数,虚数,纯虚数?
剖析：对于复数z=a+bi 何时为实数,虚数,纯虚数?应按定义来加以判断. 首先,应看a 、b 取值是a∈R ,b∈R ,还是a∈C ,b∈C .
若a∈R 、b∈R ,则a 为实部,b 为虚部;若a∈C ,b∈C ,则还应进一步进行运算求得z 的实部、虚部.
其次注意纯虚数应满足两条,即实部为0,虚部不为0.特别是虚部不为0,易漏掉而出错. 讲练互动
【例1】指出下列各数中,哪些为实数,哪些为虚数,哪些为纯虚数. 3+2,
97,31i,0,i,i 4,3i-2,104
1-i,i(3-5),πi2,2-2i. 解：实数有3+2,9
7,0, i 4,πi2; 虚数有3i-2,104
1-i,2-2i,3i , i, i (3-5); 纯虚数有31i, i, i (3-5). 绿色通道
把握复数的实部、虚部的概念及实数、虚数、纯虚数的定义,作出正确的分类. 变式训练
1.指出下列复数的实部和虚部.
2
1-i,3+5i,(2+3)i,-i 2,πi-1,0,5+7. 解:21-i 的实部为2
1,虚部为-1; 3+5i 的实部为3,虚部为5; (2+3)i 的实部为0,虚部为2+3;
-i 2的实部为1,虚部为0;
πi-1的实部为-1,虚部为π;
0的实部为0,虚部为0; 5+7的实部为5+7,虚部为0.
【例2】实数k 为何值时,复数z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i 分别是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)零?
分析：根据复数的分类,弄清一个复数满足什么条件分别为实数、虚数、纯虚数,分清复数的实部、虚部.
解：(1)当k 2-5k-6=0,即k=6或k=-1时,复数z 为实数.
(2)当k 2-5k-6≠0,即k≠6且k≠-1时,复数z 为虚数.
(3)当⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--)2(,065)1(,04322k k k k
由①得k=4或k=-1.
由②得k≠6且k≠-1,
∴当k=4时,z 为纯虚数.
(4)当⎪⎩⎪⎨⎧=--=--,
065,04322k k k k 即k=-1时,z=0. 绿色通道
由复数z 的实部、虚部的取值来确定复数z 是实数、虚数、纯虚数.在解题时关键是确定z 的实部、虚部,并要注意纯虚数的概念满足两条:实部为零,虚部不为零.
变式训练
2.实数m 为何值时,复数z=3
542+--m m m +(m 2-2m-15)i(1)是实数;(2)是虚数;(3)是纯虚数;(4)是零?
解:(1)当⎩⎨⎧-≠=--,
3,01522m m m
即⎩
⎨⎧-≠-==,3,35m m m 或 即m=5时,z 为实数.
(2)当⎩⎨⎧-≠≠--,
3,01522m m m
即⎩
⎨⎧-≠-≠≠,3,35m m m 且 ∴m≠5且m≠-3时,z 为虚数.
(3)当⎪⎩⎪⎨⎧≠--=+--②m m ①m m m ,0152,035422
由①得m=5或m=-1且m≠-3,即m=5或m=-1;
由②得m≠5且m≠-3.
∴当m=-1时,z 为纯虚数.
(4)当⎪⎩⎪⎨⎧≠--=+--②m m ①m m m ,0152,035422
由①得m=5或m=-1且m≠-3,
由②得m=5或m=-3.
∴当m=5时,z 为零.
【例3】复数z=log 2(x 2-5x+4)+ ilog2(x-3),当x 为何实数时,(1)z∈R ;(2)z 为虚数;(3)z
为纯虚数?
分析：依照复数分类求解此题,但要注意对数函数本身的要求.
解:(1)当⎩⎨⎧=->+-,0)3(log ,04522x x x 即⎩
⎨⎧=<>,4,14x x x 或 ∴无解.
∴不存在x 使z∈R .
(2)z 为虚数,则⎩⎨⎧≠->+-.
0)3(log ,04522x x x
∴⎪⎩
⎪⎨⎧≠><>.4,3,14x x x x 或∴x>4
当x>4时,z 为虚数.
(3)当⎪⎩
⎪⎨⎧≠->-=+-)3(,13)2(,
03)1(,1452x •x x x 由①得x=2135+或x=2
135-,由②得x>3,
由③得x≠4,
∴当x=2
135+时,z 为纯虚数. 绿色通道
本题考查了复数的分类及对数函数的定义域,解决此类题时,既要注意复数概念的要求,又要注意实数x 的范围.
变式训练
3.设复数z=lg (m 2-2m-2)+(m 2+3m+2) i,m∈R .当m 为何值时,z 是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚
数?
解:(1)当⎪⎩⎪⎨⎧=++>--②m m ①
m m ,023,02222
由②得m=-1或m=-2都满足①.
∴当m=-2或m=-1时,z 为实数.
(2)当⎪⎩⎪⎨⎧≠++>--②m m ①
m m ,023,02222
由①得m>1+3或m<1-3,
由②得m≠-1且m≠-2.
∴当m>1+3或m<1-3m≠-1且m≠-2时,z 为虚数.
(3)当⎪⎩⎪⎨⎧≠++=--②m m ①
•m m ,023,0)22lg(22
由①得m=3或m=-1,
由②得m≠-1且m≠-2,
∴当m=3时,z 为纯虚数.。
高中数学北师大版选修1-2 4.1.1 数的概念的扩展课件(31张)
则 a2＋( 3)2＝4.解得 a＝± 1.所以 z＝± 1＋ 3i.
1 2 3 4
1.已知复数 z＝a2－(2－b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3,则实数 a,b 的值分别是( C ) A. 2,1 C.± 2,5 B. 2,5 D.± 2,1
2 a ＝2， 令 ∴a＝± 2,b＝5. －2＋b＝3.
反思与感悟
按照复数和复平面内所有点所成的集合之间
的一一对应关系,每一个复数都对应着一个有序实数对,只要 在复平面内找出这个有序实数对所表示的点 ,就可根据点的
位置判断复数实部、虚部的取值.
跟踪训练 3
已知复数 z 的虚部为 3,在复平面内复数 z 对应的向
量的模为 2,求复数 z.
解 由已知,设 z＝a＋ 3i(a∈R).
2
2 a 3m － m－1＝0， 2 ∴ 10－m－2m2＝0，
71 解得 a＝11 或 a＝－ . 5
实部与
虚部,然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程,
从而可以确定两个独立参数.
跟踪训练 2 解
已知 M ＝ {1,( m 2 － 2 m ) ＋ ( m 2 ＋ m － 2)i}, P ＝
(1)分类：
复数的分类及包含关系
实数b＝0 复数(a＋bi,a,b∈R) 纯虚数a＝0 虚数b≠0 非纯虚数a≠0
(2)集合表示：
知识点三
两个复数相等
a＋bi＝c＋di当且仅当 a＝c且b＝d .
知识点四
复数的几何意义
一一对应 (1)复数 z＝a＋bi(a,b∈R)― ― ― ― ― → 复平面内的点 Z(a,b)； 一一对应 → (2)复数 z＝a＋bi(a,b∈R) ― ― ― ― ― → 平面向量OZ＝(a,b).
北师大版选修12第四章数系的扩充与复数的引入ppt课件
4.1 数系的扩充和复数的概念
2、数的发展过程
自然数 分数
有理数 无理数
实数 虚数
复数
虚数集 复数集
纯虚数集
实数集
解:令x=bi(b∈R,b≠0),则 (bi)2+[t2-t+2t(bi)]=0
即 (-b2-2bt)+(t2-t)i=0 ∴ -b2-2bt＝０ t2-t＝０
3.2.1复数代数形式的四则运算
复数 加法
复数 减法
1、规定复数的加法法则如下： 设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)I (a,b) +(c,d) =(a+c , b+d)
2、复数加法交换律、结合律： 对任意复数z1,z2,z3有
Z1+z2= z2+Z1 (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) 3、规定复数的减法法则如下： 设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
３、熟悉应用
例１实数m取什么值时，复平面内表示复数 Ｚ＝（m2_8m+15)+(m2-5m-14)i的点
（１）位于第四象限？ （２）位于第一、三象限？ （３）位于直线y=x上？
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
高中数学课件-4.1北师大版选修2251数系的扩充与复数的引入61张
学习方法指导
• 1．本节一开始展示了数系的扩充过程，回顾了数的发展， 并指出当数集扩充到实数集时，由于负数不能开平方，因 而大量的代数方程无法求解，于是自然地引入了虚数单位i， 学习时，要通过列举大量的具体的数来理解各数集，明确 各数集的联系及区别，不要死记硬背．
• 2．复数的概念，代数形式a＋bi，复数相等以及复数是实 数、虚数、纯虚数的概念是本节学习的核心，要通过例、 习题的解决加深理解，同时还要明确如果两个复数不全是 实数，就不能比较大小．
• (1)化为复数的标准形式z＝a＋bi； • (2)实部、虚部中的字母为实数，即a，b∈R.
• 4．复数与复平面内的点的一一对应
• 复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用直角坐标平 面内的一个点Z来表示，如图所示，点Z的 横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用 点Z(a，b)表示．
这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平 面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴．显然，实轴上的点都表示 实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．
3．对复数几何意义的理解，要抓住“复数z＝a＋bi一 一对应点Z(a，b)一一对应向量 O→Z ，并要牢记住复数模的计 算公式：|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2.
4．复数的有关概念的理解中需注意的问题 (1)复数的实质是有序实数对． (2)复平面内的纵轴上的单位长度是1，而不是i. (3)当a＝0时，对任何b≠0，a＋bi＝0＋bi＝bi是纯虚 数，所以纵轴上的点(0，b)(b≠0)都表示纯虚数． (4)复数z＝a＋bi中的z，书写时应小写，复平面内点 Z(a，b)中的Z，书写时应大写．
，解得m>1，即当m>1时，表示复数z的点位于
第一象限．
(3)由表示复数z的点位于第四象限，可得
北师大版必修第二册5-1-1复数的概念课件(32张)
2x－1＋i＝y－3－yi
①
2x＋ay－4x－y＋bi＝9－8i②
有实数解，则实数 a，b 的值分别为__1_,_2____．
解析：(1)因为 m∈R，z1＝z2，所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.由复数相 等的充要条件得2mm2－＋27＝＝4mm2－ ＋83， ， 解得 m＝5.
[正解] 设方程一实根为 a，则有 a2＋(k＋2i)a＋2＋ki＝0， 由复数相等的定义可得a22a＋＋kka＝＋02，＝0， 解得 k＝±2 2， 因此当 k＝±2 2时，原方程至少有一个实根. [防范措施] 对于复系数的一元二次方程，方程有实根，不能使用 Δ≥0，而应设出 实根代入，然后利用复数相 等的条件解出，这与实系数一元二次方程的解法是有区别的.
[自主记]
[解析] 因为 a，m∈R，所以由 a2＋am＋2＋(2a＋m)i＝0，可得a22a＋＋amm＝＋02，＝0，
解得am＝＝－2，2 2
或am＝＝－2
2， 2，
所以 a＝± 2.
(2)[解] 设方程的实数根为 x＝m，
则 3m2－a2m－1＝(10－m－2m2)i，
∴3m2－a2m－1＝0， 10－m－2m2＝0，
当 b≠0 时，x0＝－db存在，则 abd＝d2＋b2c. 综上可知，当 b＝d＝0，且 Δ＝a2－4c≥0 或 b≠0，且 abd＝d2＋b2c 时，方程 x2＋(a ＋bi)x＋c＋di＝0(a，b，c，d∈R)有实数根．
m2－m－6＝0， ③当m＋3≠0，
m2－2m－15≠0，
即mm＝≠－－23或，m＝3， m≠5且m≠－3，
即 m＝－2 或 m＝3 时，z 是纯虚数．
研习 2 复数相等的充要条件 [典例 2] (1)已知 a2＋(m＋2i)a＋2＋mi＝0(m∈R)成立，则实数 a＝___±___2__. (2)关于 x 的方程 3x2－a2x－1＝(10－x－2x2)i 有实根，求实数 a 的值．
北师大版数学选修12 第四章 数系的扩充与复数的引入课件38张
2．若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝( )
A．－1
B．1
C．±1
D．不存在
[答案] C
[解析] (a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)为实数的充要条件是a2－1＝0，∴a＝±1．
第四章 §1 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修1-2
A．0
B．1
C．2
D．3
第四章 §1 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修1-2
[错解] 两个复数不能比较大小，故①正确； 设z1＝mi(m∈R)，z2＝ni(n∈R) ∵z1与z2的虚部相等，∴m＝n，∴z1＝z2，故②正确． 若a、b是两个相等的实数，则a－b＝0， 所以(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，故③正确． 综上可知：①②③都正确，故选D．
实数b＝0 复数 a＋bi(a、b∈R)虚数b≠0纯非虚纯数虚数a＝a0≠ 0
第四章 §1 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修1-2
1．若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________． [答案] 1或－3
第四章 §1 第1课时
(2)∵z 为虚数，∴mm2＋－32≠m0－15≠0 ， ∴mm≠ ≠5－且3m≠－3 ，∴m≠5 且 m≠3． ∴当 m≠5 且 m≠－3 时，z 是虚数．
第四章 §1 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修1-2
m2－m－6＝0
(3)∴z 为纯虚数，∴m＋3≠0
第四章 §1 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修1-2
高中北师大数学选修1-2课件：第四章 数系的扩充与复数的引入 1 第1课时
(3)实数集 R 和虚数集都是复数集 C 的真子集，且 R∪{虚数}＝C，R∩{虚 数}＝∅.
(4)实数也是复数，但是复数不一定是实数，它也可能是虚数． 2．对于复数 a＋bi，当且仅当 b＝0 时，它是实数；当且仅当 a＝b＝0 时， 它是实数 0；当 b≠0 时，叫作虚数；当 a＝0 且 b≠0 时，叫作纯虚数．即
(2)当 k2－5k－6≠0，即 k≠6 且 k≠－1 时，z 是虚数．
(3)当kk22－－35kk－－46＝≠00 ，即 k＝4 时，z 是纯虚数．
(4)当kk22－－35kk－－46＝＝00 ，即 k＝－1 时，z 是零．
互动探究学案
命题方向1 ⇨复数的概念
(1)给出下列三个命题：①若 z∈C，则 z2≥0；②2i－1 虚部是 2i；
实数b＝0 复数 a＋bi(a、b∈R)虚数b≠0非纯纯虚虚数数a＝a≠0 0
• 1．复数1－i的A虚部是( )
• A．－1
B．1
• C．i D．－i
• [解析] 虚部是i的系数，为实数，故选A
．
• 2．若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈C R)是实数， 则a＝( )
• A．－1 B．1
• C．±1 D．不存在
• 〔跟踪练习3〕 • 已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i， • 求实数x、y的值．
[解析] 因为 x、y 为实数， 所以 2x－1、y＋1、x－y、－x－y 均为实数． 由复数相等的充要条件，
知2y＋x－11＝＝－x－x－yy ，
所以xy＝＝3－2 .
准确掌握概念
在下列命题中，正确命题的个数是( A )
• 〔跟踪练习2〕 • 实数m取什么值时，复数(m2－5m＋6)＋(m2
高中数学第四章数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入1.1数的概念的扩展课件北师大版选修1_2
z 不一定为虚数
a，b，c，d 为实数时，a＝c 且 b＝d 成
立，a、b、c、d 为 C 时，不一定成立
复数的分类
(12 分)已知复数 z＝a2－a27－a＋ 1 6＋(a2－5a－6)i(a∈ R)，试求实数 a 分别取什么值时，z 分别为：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？
[思路导引] 分清复数的分类，根据实部和虚部的取值情况 进行判断，列出关于 a 的等式或不等式进行求解．
(2)当 z 为虚数时，∵m 是实数， ∴mm22m－－m＋m2＋m3－2－6≠ 150有意义， ∴m≠－3 且 m≠－2 且 m≠3， 即当 m∈(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,3)∪(3，＋∞)时， z 为虚数．
(3)当 z 为纯虚数时，∵m 是实数， ∴mm22m－－m＋2m＋m3－2－61≠5＝0，0， 即mm＝ ≠53或 且mm＝ ≠－ －32， 且m≠－3， ∴m＝5，即当 m＝5 时，z 为纯虚数．
[规范解答] (1)当 z 为实数时，
a2－5a－6＝0，
则a2－a2－7a1＋6有意义，
2分
∴aa＝ ≠－±11，，或a＝6，
∴当 a＝6 时，z 为实数.
4分
(2)当 z 为虚数时，则有
a2－5a－6≠0， a2－a2－7a1＋6有意义，
∴aa≠ ≠－ ±11，，且a≠6，
由①得 a＝0 或 a＝－32， 由②得 a＝0 或 a＝－1， 由③得 6a－1<0， 由①②得 a＝0 代入③成立． 因此 a 的值为 0.
•
两个实数可以比较大小，但两个复数
中只要有一个为虚数，就不能比较大小，因为：
• 若任意两个复数可以比较大小，如0与i，由复数相 等的定义知0≠i，则必有0<i或0>i，这两种情况中有 且只有一种成立．若0<i⇒0·i<i2⇒0<－1这与0>－1
数系的扩充与复数的引入
复数的代数形式：
z a bi (a R, b R)
其中a —实部 , b —虚部 ,
i
称为虚数单位.
讨论:复数集 C 和实数集 R 之间有什么关系？
规定: 0i=0 ,0+bi=bi, a+0i=a
当 b 0 时，这时 z a 是实数. 复数 z a bi 当 b 0 时， z a bi 叫做虚数. 当 a 0且b 0 时，z bi 叫做纯虚数.
2
到底是怎么一回事?
x 2x 3 0 2 配方得 x 2 x 1 2 2 即 ( x 1) 2
2
负数能否开平方?又如 x 1 呢?
2
在解方程时经常会遇到这类问题.如果负数可以 开平方,那这个平方根不会是实数,是什么数呢?
问题解决:为了解决负数开平方问题，我们引入一个新数
由此可知：R
C
复数相等的充要条件： 规定：两复数：
a bi c di a c 且 b d
（其中：a, b, c, d R ）
例1 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？ 解: （1）当 m 1 0 ，即 m 1 时，复数z 是实数．
把 i 叫做虚数单位，并且规定：
(1) i 21；
i，
(2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加 法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立.
这样就会出现许多新数,如 2i 、3i 、2 i 、3 i 等. 形如 a bi (a, b R) 的数叫做复数.
x 3, y 2 ⑵ 若 3 10i y 2 i x 1 9i ,
数学1-2-4.4.1数的概念的扩展和复数相等
(2)复数集用C表示．
2.复数的分类
实数 b＝0， 复数 z＝a+bi(a,b∈R) 虚数 b≠0， 纯虚数 a＝0， 非纯虚数 a≠0，
即对于复数 z=a+bi（a，b∈R） 当 b=0 时，复数 z 是实数， 当 b≠0 时，复数 z 是虚数， 当 b≠0且a=0 时，复数 z 是纯虚数。
例1：当实数m为何值时， 复数z＝2m2－3m＋1＋(m2－5m＋4)i. (1)为实数； (2)为虚数； (3)为纯虚数； (4)为零．
，
2m2－3m＋1＝0 (4)若复数 z 为零，则有 2 m －5m＋4＝0 1 m＝ 或 m＝1 2 ∴ ，∴m＝1. m＝1 或 m＝4 即当 m＝＋2)＋(a－1)i是纯虚数， 则实数a的值为( A．1 B．2 ) D．－1 C．1或2
2．设C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚 数}，全集U＝C，那么下列结论正确的是 ( ) A．A∪B＝C B．∁UA＝B
小结：1.复数的定义 2.复数的分类 3.复数的相等 作业：书76页A组1.2.
C．A∩(∁UB)＝∅ D．B∪(∁UB)＝C
1.解析：因为复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i 是纯虚数， a2－3a＋2＝0 所以 a－1≠0
2.解析：
，解得 a＝2.故选 B.
复数系的构成为： 实数 复数 虚数 纯虚数 非纯虚数 再结合集合的运算可知 D 正确．
练习
2 3．以 3i－ 2 的虚部为实部，以 3i ＋ 2 i 的实部 为虚部的复数是________． 4．实数 m 取什么值时，复数 lg(m2－2m－2)＋(m2 ＋3m＋2)i 是(1)纯虚数；(2)实数？
• 教学重难点：
1.复数的概念．(重点) 2.复数的代数形式．(重点、难点) 3.复数与实数的关系．(易混点) 4.复数相等成立的条件．(重点)
【数学】高中数学第四章数系的扩充与复数的引入411数的概念的扩展知识导航北师大版选修12
【关键字】数学1.1数的概念的扩展自主整理1.把平方等于-1的数用符号i表示,规定i2=-1,把i叫作____________.2.形如a+bi的数叫作____________(a、b是实数, i是虚数单位).记作z=a+bi(a、b∈R).3.对于单数z=a+bi,a与b分别叫作单数z的__________与__________,并且分别用__________与__________表示,即a=__________,b=_________.4.单数的全体组成的集合叫作__________,记作__________,显然,_______________.5.z=a+bi中,当__________时,z为实数;当b≠0时,z为虚数;当a=0,b≠0时,z为纯虚数.高手笔记1.数集之间的包含关系:NZQRC.可用图示表示:2.单数的分类:单数a+bi3.单数a+bi=0的充要条件为a=b=0.4.单数z=a+bi(a、b∈R)的实部、虚部分别是a、b,而虚部不是bi名师解惑如何判断含有参变量的单数是实数,虚数,纯虚数?剖析：对于单数z=a+bi何时为实数,虚数,纯虚数?应按定义来加以判断.首先,应看a、b取值是a∈R,b∈R,还是a∈C,b∈C.若a∈R、b∈R,则a为实部,b为虚部;若a∈C,b∈C,则还应进一步进行运算求得z的实部、虚部.其次注意纯虚数应满足两条,即实部为0,虚部不为0.特别是虚部不为0,易漏掉而出错.讲练互动【例1】指出下列各数中,哪些为实数,哪些为虚数,哪些为纯虚数.3+,,i,0,i,i4,3i-2,10i,i(-),πi2,-i.解：实数有3+,,0, i4,πi2;虚数有3i-2,10i,-i,, i, i (-);纯虚数有i, i, i (-).绿色通道把握单数的实部、虚部的概念及实数、虚数、纯虚数的定义,作出正确的分类.变式训练1.指出下列单数的实部和虚部.-i,3+i,(+3)i,-i2,πi-1,0,5+.解:-i的实部为,虚部为-1;3+i的实部为3,虚部为;(+3)i的实部为0,虚部为+3;-i2的实部为1,虚部为0;πi-1的实部为-1,虚部为π;0的实部为0,虚部为0;5+的实部为5+,虚部为0.【例2】实数k为何值时,单数z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i分别是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)零?分析：根据单数的分类,弄清一个单数满足什么条件分别为实数、虚数、纯虚数,分清单数的实部、虚部.解：(1)当k2-5k-6=0,即k=6或k=-1时,单数z 为实数.(2)当k2-5k-6≠0,即k ≠6且k ≠-1时,单数z 为虚数.(3)当由①得k=4或k=-1.由②得k ≠6且k ≠-1,∴当k=4时,z 为纯虚数.(4)当即k=-1时,z=0.绿色通道由单数z 的实部、虚部的取值来确定单数z 是实数、虚数、纯虚数.在解题时关键是确定z 的实部、虚部,并要注意纯虚数的概念满足两条:实部为零,虚部不为零.变式训练2.实数m 为何值时,单数z=+(m2-15)i(1)是实数;(2)是虚数;(3)是纯虚数;(4)是零? 解:(1)当即即m=5时,z 为实数.(2)当⎩⎨⎧-≠≠--,3,01522m m m即⎩⎨⎧-≠-≠≠,3,35m m m 且 ∴m≠5且m≠-3时,z 为虚数.(3)当⎪⎩⎪⎨⎧≠--=+--②m m ①m m m ,0152,035422由①得m=5或m=-1且m≠-3,即m=5或m=-1;由②得m≠5且m≠-3.∴当m=-1时,z 为纯虚数.(4)当⎪⎩⎪⎨⎧≠--=+--②m m ①m m m ,0152,035422由①得m=5或m=-1且m≠-3,由②得m=5或m=-3.∴当m=5时,z 为零.【例3】复数z=log 2(x 2-5x+4)+ ilog2(x-3),当x 为何实数时,(1)z∈R ;(2)z 为虚数;(3)z为纯虚数?分析：依照复数分类求解此题,但要注意对数函数本身的要求.解:(1)当⎩⎨⎧=->+-,0)3(log ,04522x x x 即⎩⎨⎧=<>,4,14x x x 或 ∴无解.∴不存在x 使z∈R .(2)z 为虚数,则⎩⎨⎧≠->+-.0)3(log ,04522x x x∴⎪⎩⎪⎨⎧≠><>.4,3,14x x x x 或∴x>4当x>4时,z 为虚数.(3)当⎪⎩⎪⎨⎧≠->-=+-)3(,13)2(,03)1(,1452x •x x x 由①得x=2135+或x=2135-,由②得x>3, 由③得x≠4,∴当x=2135+时,z 为纯虚数. 绿色通道本题考查了复数的分类及对数函数的定义域,解决此类题时,既要注意复数概念的要求,又要注意实数x 的范围.变式训练3.设复数z=lg (m 2-2m-2)+(m 2+3m+2) i,m∈R .当m 为何值时,z 是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数?解:(1)当⎪⎩⎪⎨⎧=++>--②m m ①m m ,023,02222由②得m=-1或m=-2都满足①.∴当m=-2或m=-1时,z 为实数.(2)当⎪⎩⎪⎨⎧≠++>--②m m ①m m ,023,02222由①得m>1+3或m<1-3,由②得m≠-1且m≠-2.∴当m>1+3或m<1-3m≠-1且m≠-2时,z 为虚数.(3)当⎪⎩⎪⎨⎧≠++=--②m m ①•m m ,023,0)22lg(22由①得m=3或m=-1,由②得m≠-1且m≠-2,∴当m=3时,z 为纯虚数.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。