高中数学第五章数系的扩充与复数的引入2.1复数的加法与减法教材基础北师大版选修2-2资料
2.1 复数的加法与减法
随着虚数的产生,数系得到了进一步的扩充.同时,随着科学和技术的进步,逐步建立起来的复变数函数理论在应用于堤坝渗水的问题、建立巨大水电站时所提供的理论依据中越来越需要进行大量的加、减、乘、除、乘方、开方运算.早在1747年,法国著名的数学家达兰贝尔指出,如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算,那么它的结果总是a+bi的形式(a、b都是实数).他开创了复数四则运算的先河.
高手支招1细品教材
一、复数的加法
1.复数的加法法则
设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,复数的加法按照以下法则进行:
z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
两个复数和仍是一个复数,其实部为a+c,虚部为b+d.因此,两复数相加就是将两个复数的实部相加作为和的实部,虚部相加作为和的虚部.
【示例1】计算(7+5i)+(2+3i).
思路分析:实部相加作为和的实部,虚部相加作为和的虚部.
解:(7+5i)+(2+3i)=(7+2)+(5+3)i=9+8i.
【示例2】计算:①(-2+3i)+(5-i);②(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R).
思路分析:直接运用复数的加减运算法则进行计算.
解:①原式=(-2+5)+(3-1)i=3+2i.
②原式=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i.
2.复数加法的交换律、结合律
对任何z1,z2,z3∈C,复数运算律如下:
(1)交换律:z1+z2=z2+z1.
证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i.
则:z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,
而z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i,
由a1+a2=a2+a1,b1+b2=b2+b1及复数相等的定义得:
(a1+a2)+(b1+b2)i=(a2+a1)+(b2+b1)i,
∴z1+z2=z2+z1.
(2)结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i.
(z1+z2)+z3=［(a1+b1i)+(a2+b2i)］+(a3+b3i)
=a1+b1i+a2+b2i+a3+b3i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i
z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+［(a2+b2i)+(a3+b3i)］
=a1+b1i+a2+b2i+a3+b3i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i,
∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
状元笔记
因为复数可以用向量表示,而向量的加法遵循平行四边形法则,所以复数的加法遵循平行四边形法则.
3.复数加法的几何意义
复数用向量表示以后,如果复数对应的向量不在同一直线上,那么这些复数的加法就可按
向量加法的平行四边形法则来进行.
设1OZ 及2OZ 分别与复数a+bi,c+di 对应,且1OZ 、2OZ 不在同一直线上,以1OZ 及2OZ 为两条相邻边画平行四边形OZ 1ZZ 2,画x 轴的垂线PZ 1、QZ 2及RZ,并且画Z 1S⊥RS.
于是,点Z 的坐标是(a+c,b+d)，这说明就是复数(a+c)+(b+d)i 对应的向量. 由此可知,求两个复数的和,可以先画出与这两个复数对应的向量1OZ 、2OZ ,如果1OZ 、2OZ 不在同一直线上,再以这两个向量为两条邻边作平行四边形,那么与这个平行四边形的对角线OZ 所表示的向量OZ 对应的复数,就是所求两个复数的和.
如果两个复数对应的向量在同一直线上,则画一条直线,平移2OZ ,使2OZ 的起点与1OZ 的终点Z 1重合,就得向量OZ ,OZ 对应的复数就表示复数z 1与复数z 2的和.
【示例】 已知复数z 满足z+|z|=2+8i,求复数z.
思路分析:常规解法为设出z=a+bi(a,b∈R ),代入等式后,可利用复数相等的充要条件求出a 、b.也可以将复数从实部与虚部角度来理解,即将方程化为:z=(2-|z|)+8i,则其实部为2-|z|，虚部为8,然后利用复数求模运算求得|z|.
解法1:
将z=a+bi(a,b∈R )代入等式,得a+bi+22b a +=2+8i, ∴⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==++,8,15,
8,222b a b b a a 解得∴z=-15+8i. 解法2:
将方程化为:z=(2-|z|)+8i,∵|z|∈R ,
∴2-|z|是z 的实部,于是,|z|=228|)|2(+-z ,即|z|2=68-4|z|+|z|2,
∴|z|=17,∴z=(2-|z|)+8i=(2-17)+8i=-15+8i.
二、复数的减法
1.复数的减法法则
设z 1=a+bi,z 2=c+di 是任意两个复数,复数的减法按照以下法则进行:
z 1-z 2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
证明:根据复数的加法法则和复数相等的定义,有c+x=a,d+y=b,即x=a-c,y=b-d,∴(x+yi)=(a -c)+(b-d)i,∴(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
两个复数差仍是一个复数,其实部为a-c,虚部为b-d.因此,两复数相减就是将两个复数的实部相减作为差的实部,虚部相减作为差的虚部.
【示例】 计算(1-3i)-(2+5i).
思路分析:实部相减作为差的实部,虚部相减作为差的虚部.
解:(1-3i)-(2+5i)=(1-2)+(-3-5)i=-1-8i.
状元笔记
复数z 1-z 2所对应的向量，实质上就是从复数z 2所对应的点指向复数z 1所对应点的向量;而两复数z 1与z 2差的模就是这两个复数所对应的两点之间的距离.两复数的加法和减法的几何意义均可用平行四边形法则来表达.
2.复数减法的几何意义
复数减法的运算同样适应向量的平行四边形法则和三角形法则.
设OZ 与复数a+bi 对应,1OZ 与复数c+di 对应,如图以OZ 为一条对角线,1OZ 为一边画平行四边形,那么这个平行四边形的另一边2OZ 所表示的向量就与复数(a-c)+(b-d)i 对应
.
这是因为Z Z 1与2OZ 平行且相等,所以向量Z Z 1也与这个差对应,实际上,两个复数差z-z 1(即-Z 1)与连结两个终点,并指向被减数的向量对应,这是复数减法的几何意义.
【示例】 已知z-|z|=-1+i,求复数z.
思路分析:设z=x+yi(x,y∈R )将原复数方程转化为实数方程问题.
解:设z=x+yi(x,y∈R ),由题意,得x+yi-22y x +=-1+i,即(x-22y x +)+yi=-1+i,根据
复数相等的定义得: ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-,
1,122y y x x 解得⎩⎨⎧==,1,0y x ∴z=i. 高手支招2基础整理
本节内容主要阐述了复数的四则运算中的加法运算、减法运算,复数加减法的几何意义.本节的知识结构如下
:。
2018_2019学年高中数学第五章数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入课件北师大版选修2_2
7．在复平面内，求复数z，使复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m ＋2)i(m∈R)的对应点 (1)在虚轴上； (2)在实轴负半轴上．
解：(1)若复数 z 对应点在虚轴上， 则 m2－m－2＝0，∴m＝－1 或 m＝2， 此时，z＝6i 或 z＝0. (2)若复数 z 对应点在实轴负半轴上，则 m2－m－2<0， m2－3m＋2＝0， 解得 m＝1，∴z＝－2.
3．若ai＋2＝b－i(a，b∈R)，i为虚数单位，则a2＋b2＝( )
A．0
B．2
C．52
D．5
解析：由题意得2a＝ ＝－b，1， 则a2＋b2＝5.
答案：D
4．若关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实根，则实数m＝
A．112
B．112i
()
C．－112
D．－112i
解析：因为关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实根，即x2 ＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0⇔x2＋x＋3m＋(2x＋1)i＝0⇔
复平面及复数的几何意义
问题1：实数与数轴上的点一一对应，复数可以用平面内 的点表示吗？
提示：可以．
问题2：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有何 对应关系？与平面直角坐标系中的点Z(a，b)有何对应关系？
提示：一一对应，一一对应． 问题 3：在平面直角坐标系中点 Z(a，b)与向量―O→Z ＝(a， b)有何对应关系？ 提示：一一对应关系． 问题 4：复数 z＝a＋bi(a，b∈R)与―O→Z 有何对应关系？
1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明
确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数
bi(b≠0，b∈R)不要只记形式，要注意b≠0.
2020版高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.2.1复数的加法与减法课件北师大版选修2_2
【解析】(1)因为A，C对应的复数分别为3+2i，-2+4i， 由复数的几何意义，知 OA与OC 表示的复数分别为3+ 2i，-2+4i. ①因为 AO＝－OA，所以 AO 表示的复数为-3-2i.
②因为 CA＝OA－OC， 所以 CA表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. ③因为 OB＝OA＋所O以C， 表示O的B 复数为(3+2i)+ (-2+4i)=1+6i.
即(x，y)-(1，2)= (-1，-2)-(-2，1)， (x-1，y-2)=(1，-3)，
所以
x y
1 1解, 得
2 3,
x 2, y 1.
故点D对应的复数为2-i. 若BC为平行四边形的一条对角线，则AC B同D，理， 得点D对应的复数为-4-3i. 若AB为平行四边形的一条对角线，则CA B同D，理， 得点D对应的复数为5i.
所以|z|i+z= x2＋y2 i+x+yi= x＋( x2＋y2＋y)i
=1+3i，所以
x＝1，
x2 y
2＋y＝3
所以z=1+ 4 i.
3
答案：1+ 4 i
3
x＝1，
解得
y＝
4 3
,
2.原式=4i+(1-3i)=1+i.
【内化·悟】 1.若z1=a+bi，z2=c+di，则z1±z2如何计算？ 提示：根据复数运算法则：z1±z2=(a±c)+(b±d)i.
【思维·引】1.复数z=a+bi在复平面上对应的向量为 OZ =(a，b).
2.利用向量相等或对称性，求第四个顶点对应的复数.
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入课件北师大版选修2_2
解:既然两个复数可以比较大小,则这两个复数必然是实数,则有
+ = 0,
+ 2-3 = 0,解得 = -3.
= 3.
+ 2 > -5,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得两个实数可以比较大小,但是两个复数中至少有一个为虚
数时,不能比较大小,如果两个复数能比较大小,不是指实部与实部
)
A.第一象限
C.第三象限
解析:∵当
2
3
探究三
B.第二象限
D.第四象限
2
<m<1时,3m-2>0,m-1<0,
3
∴复数z对应的点在第四象限.
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
忽视虚数不能比较大小而致误
【典例】 求使x+2+(x+y)i>y-5+(x+2y-3)i成立的实数x,y的取值.
易错分析两个虚数是不能比较大小的,只有相等和不相等之分,反
§1
数系的扩充与复数的引入
课标阐释
1.了解数系的扩充过程,体会实
际需求与数学内部的矛盾在数
系扩充中的作用.
2.理解复数的有关概念及意义.
3.掌握两复数相等的充要条件.
4.了解复平面的概念,理解并掌
握复数的几何意义.
思维脉络
知识梳理
思考辨析
1.复数的概念及表示方法
(1)虚数单位:把平方等于-1的数用符号i表示,规定 i2=-1.把i叫作虚
B.-3
解析:∵
2
∴a=±3.
(3a)2+(-6)2=40,
2018_2019学年高中数学第五章数系的扩充与复数的引入本章整合课件北师大版选修2_2ppt版本
专题一 专题二 专题三
50
应用 1 计算 i2 015+( 2 + 2i)8- 2 .
1-i
25
解:原式=i503×4+3+(4i)4- 2
-2i
=-i+256-i=256-2i.
专题一 专题二 专题三
应用 2 已知|z1|=1,|z2|=1,|z1+z2|= 3,求|z1-z2|.
提示:思路一:为了表示复数的模及其加减运算,可将z1,z2设出,然 后解答.
本章整合
数系的扩充 数的概念的扩展 与复数的引入 复数的有关概念 数系的扩充与复数的引入 复数的四则运算 复数的加法与减法
复数的乘法与除法
专题一 专题二 专题三
专题一 复数的有关概念 通过学习,主要学会怎样解决问题,学会探究创新,增强“发现问 题,解决问题”的能力,在学习知识的同时增强战胜困难的信心和技 能.通过本章的学习,掌握数系的发展过程,弄清复数的分类,弄清实 部和虚部的概念及实数、虚数、纯虚数、共轭复数的概念,注意 分类讨论思想的应用. 应用1 若z∈C,且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:由已知|z-(-2+2i)|=1,得z的对应点的轨迹是以(-2,2)为圆心 ,1为半径的圆.|z-(2+2i)|表示圆上的点与点(2,2)之间的距离,最小值 为圆心与点(2,2)的距离减去半径. 答案:B
6.(2015·课标全国Ⅱ高考)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=(
)
A.-1
B.0 C.1 D.2
∴解析4���������2���:-∵=4(=20+,-a4i),解(a-之2i,)得=4aa+=0(a. 2-4)i=-4i,
高中数学课件-4.1北师大版选修2251数系的扩充与复数的引入61张
学习方法指导
• 1．本节一开始展示了数系的扩充过程，回顾了数的发展， 并指出当数集扩充到实数集时，由于负数不能开平方，因 而大量的代数方程无法求解，于是自然地引入了虚数单位i， 学习时，要通过列举大量的具体的数来理解各数集，明确 各数集的联系及区别，不要死记硬背．
• 2．复数的概念，代数形式a＋bi，复数相等以及复数是实 数、虚数、纯虚数的概念是本节学习的核心，要通过例、 习题的解决加深理解，同时还要明确如果两个复数不全是 实数，就不能比较大小．
• (1)化为复数的标准形式z＝a＋bi； • (2)实部、虚部中的字母为实数，即a，b∈R.
• 4．复数与复平面内的点的一一对应
• 复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用直角坐标平 面内的一个点Z来表示，如图所示，点Z的 横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用 点Z(a，b)表示．
这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平 面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴．显然，实轴上的点都表示 实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．
3．对复数几何意义的理解，要抓住“复数z＝a＋bi一 一对应点Z(a，b)一一对应向量 O→Z ，并要牢记住复数模的计 算公式：|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2.
4．复数的有关概念的理解中需注意的问题 (1)复数的实质是有序实数对． (2)复平面内的纵轴上的单位长度是1，而不是i. (3)当a＝0时，对任何b≠0，a＋bi＝0＋bi＝bi是纯虚 数，所以纵轴上的点(0，b)(b≠0)都表示纯虚数． (4)复数z＝a＋bi中的z，书写时应小写，复平面内点 Z(a，b)中的Z，书写时应大写．
，解得m>1，即当m>1时，表示复数z的点位于
第一象限．
(3)由表示复数z的点位于第四象限，可得
优课系列高中数学北师大版选修2-2 5.1数系的扩充与复数的引入 课件(31张)
12＋12＝
2.
法二：由 z(1＋i)＝2i，得 z＝12＋i i＝2i12－i＝i－i2＝1＋i，
所以|z|＝ 12＋12＝ 2.
[答案] (1)D (2)D (3)C
[方法技巧] 求解与复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念 都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关 的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 a＋bi(a，b∈R) 的形式，再根据题意求解．
课 堂真 题集 中演 练
1．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题： p1：若复数 z 满足1z∈R ，则 z∈R ；
p2：若复数 z 满足 z2∈R ，则 z∈R ；
p3：若复数 z1，z2 满足 z1z2∈R ，则 z1＝ z 2；
p4：若复数 z∈R ，则 z ∈R .
其中的真命题为 A．p1，p3 C．p2，p3
[即时演练]
1．(2017·山东高考)已知 a∈R，i 是虚数单位．若 z＝a＋ 3 i，
z·z ＝4，则 a＝
()
A．1 或－1 C．－ 3
B. 7或－ 7 D. 3
解析：法一：由题意可知 z ＝a－ 3i，
∴z·z ＝(a＋ 3i)(a－ 3i)＝a2＋3＝4，故 a＝1 或－1.
法二：z·z ＝|z|2＝a2＋3＝4，故 a＝1 或－1.
a＝
()
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，
∴4a＋(a2－4)i＝－4i.
∴4aa2－＝40＝，－4. 解得 a＝0. 答案：B
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复数的几何意义
高中数学第四章数系的扩充与复数的引入2复数的四则运算2.1复数的加法与减法课件北师大版选修1_2
• 3．复数的加减法可以推广到若干个复数，进行连加 连减或混合运算．
2．复数加减法的几何意义
如下图，设复数 z1，z2 对应向量分别为O→Z1，O→Z2，四边形 OZ1ZZ2 为平行四边形，则与 z1＋z2 对应的向量是O→Z，与 z1－z2 对应的向量是Z→2Z1.
复数加减法的几何意义
从几何意义上理解，复数的加减运算同平面向量的加减运
将以上 1 004 个等式累加得到
原式＝－1 004＋1 004i.
•
1.对复数进行加、减运算时，先分清
复数的实部与虚部，然后将实部与实部，虚部与虚
部分别相加减．
• 2．若有括号，先计算括号内的；若算式中出现字母， 首先要确定其是否为实数．
• 1．计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)； • (2)(－3＋2i)－(4－5i)； • (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．
•§2 复数的四则运算 •2．1 复数的加法与减法
课前预习学案
• 复 平数 面z上1＝的1对＋应2i点，是z2＝一－个2正＋方i，形z3的＝三－个1－顶2点i，(如它右们图在所复 示)，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
提示： 复数 z1、z2、z3 所对应的点为 A、B、C，设正方 形的第四个顶点 D 对应的复数为 x＋yi(x，y∈R)．
• 解析：
序号 结果
计算过程
(1) 6＋i (3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.
(2)
－7＋7i
(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋(2＋5)i ＝－7＋7i.
4．计算： (1)(5－6i)＋(2＋3i)－5i； (2)623＋i－412－34i＋2(－1－4i)； (3)(2＋3i)＋(4－5i)－(－12－i)．
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.2复数的四则运算5.2.1复数的加法与减法课件北师大版选修2_2
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二
【变式训练2】 已知x,y∈R,z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)(5x+3y)i.设z=z1-z2,且z=13-2i,求z1,z2.
=
������ + 2
+ (������2 − 3������ − 4)i.
因为 z1+z2 为虚数,所以
������2-3������-4 ≠ 0, ������ + 2 ≠ 0,
解得 m≠4,且 m≠-1,且 m≠-2.
故 m 的取值范围是{m|m∈R,且 m≠4,且 m≠-2,且 m≠-1}.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二
【变式训练1】 计算下列各题: (1)(3-2i)-(10-5i)+(2+17i); (2)(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+(2 015-2 016i). 解:(1)原式=(3-10+2)+(-2+5+17)i=-5+20i. (2)原式=(1-2+3-4+…+2 013-2 014+2 015)+(-2+3-4+5-…-2 014+2 015-2 016)i=1 008-1 009i.
(2)(-3+2i)-(4-5i)=(-3-4)+[2-(-5)]i=-7+7i. (3)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i)=(5-2-3)+[-6+(-2)-3]i=-11i.
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.2.1复数的加法与减法5.2.2复数的乘法与除法课件北师大版选修2_2
∴z＝1＋2i或－1－2i， ∴－z ＝1－2i或－1＋2i， ∴－z ＝±(1－2i).
(1＋i)2－22－＋ii＝________. 【解析】 ∵(1＋i)2－22－ ＋ii＝2i－（2－5 i）2＝－35＋154i. 【答案】 －35＋154i
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)
＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i
.
2.复数乘法的运算律
对任意复数 z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
2015-2016学年高中数学 第5章 1数系的扩充与复数的引入课件 北师大版选修2-2
1．复数的概念与复数的代数形式．
2．复数的几何意义． 3．模的有关计算． 本节难点： 1．复数相等条件的应用．
2．对复数几何意义的理解.
复数的概念
把平方等于－1 的数用 i 表示，规定 i2＝－1，我们称 i 为 虚数单位． 规定：i 可以与实数 b 相乘，再与实数 a 相加．这样就出现 了形如 a＋bi 的数． 我们把形如 a＋bi(a，b 是实数，i 是虚数单位)的数叫作复 数． 复数通常用字母 z 表示，即 z＝a＋bi(a，b∈R).
由此得到a＋bi＝0⇔a＝0，且b＝0.
用复数相等的充要条件时要注意： (1)化为复数的标准形式z＝a＋bi； (2)实部、虚部中的字母为实数，即a，b∈R.
复数与复平面内的点的一一对应
复数 z＝a＋bi(a，b∈R)可以用直角坐 标平面内的一个点 Z 来表示，如图所示， 点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 z ＝a＋bi 可用点 Z(a，b)表示． 这个建立了直角坐标系来表示复数 的平面叫作复平面，x 轴叫作实轴，y 轴叫作虚轴．显然，实轴 上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．
5．巧用复数的几何意义解题． (1)复平面|z|的意义 我们知道，在实数集中，实数 a 的绝对值，即|a|表示实数 a 的点与原点 O 间的距离．那么在复数集中，类似地，有|z|是 → 表示复数 z 的点 Z 到坐标原点间的距离，也就是向量OZ的模， → |z|＝|OZ|.
(2)复平面内任意两点间的距离 设复平面内任意两点 P、Q 所对应的复数分别为 z1、z2，则 |PQ|＝|z2－z1|. 运用以上性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题.
a＝c， 时，a＋bi＝c＋di⇔ b＝d.
但忽
略条件后，则不能成立，因此解决复数相等问题，一定要把复 数的实部与虚部分离出来，再利用复数相等的充要条件，化复 数问题为实数问题．