概率论与数理统计知识点汇编
概率论与数理统计总复习知识点归纳
概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。
-频率和概率的关系，概率的基本性质。
-古典概型和几何概型的概念。
-条件概率和乘法定理。
-全概率公式和贝叶斯公式。
-随机变量和概率分布函数的概念。
-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。
2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。
-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。
-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。
3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。
-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。
4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。
-样本统计量和抽样分布的概念。
-点估计和区间估计的概念。
-假设检验的基本思想和步骤。
-正态总体的参数的假设检验和区间估计。
5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。
-矩估计的原理和方法。
-最小二乘估计的原理和方法。
-一般参数的假设检验和区间估计。
6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。
-回归分析的一般原理。
-简单线性回归的估计和检验。
7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。
-秩相关系数的计算和检验。
8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。
-正态总体参数的拟合优度检验。
-贝叶斯估计的基本思想和方法。
9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。
-时间序列预测的方法和模型。
-质量控制的基本概念和控制图的应用。
以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。
《概率论与数理统计》知识点简单汇总
《概率论与数理统计》知识点简单汇总第一章1．事件的基本关系与运算（和事件、积事件、差事件、对立事件等）2. 加法公式和乘法公式（条件概率，结合事件的独立性）3. 全概率公式、贝叶斯公式（结合书上例题和课后习题）P17例5、例6第二章1.有关这章的概念制表格一（把握概率分布、概率密度与分布函数的关系）2．常用离散型和连续型分布制表二熟记书上P82表4-13．理解第4节随机变量函数的概念（侧重离散型，包括二维离散型）（P36例1 ；P40定理1；P41例4；P43习题1、2 ；P44例1；P46习题1等）（此章概念是重点也同时是基础，与后续3,4章紧密关联）第三章1 . 理解离散型的联合分布律和边缘分布律（结合书上P51例1、P55例1）2 . 理解连续型的联合概率密度和边缘概率密度（结合P52例3、P57例3、P59习题4）3. 理解随机变量的独立性（P60例题）4. 随机变量函数（P62 例1）第四章1. 熟练数学期望的定义、性质、计算（P71例2、例3；P74例7）2. 熟练方差的定义、性质、计算（书上例题）期望和方差两个概念与第2章和后面的统计部分紧密关联，重点掌握3. 熟悉协方差、相关系数和矩三个概念及计算公式 建议上述数字特征自制表格三第五章1. 熟练 切比雪夫不等式 （P92 定理、P92例1）2. 了解大数定律和中心极限定理（P101定理2、P102例4） 第六章1. 理解样本和总体的概念；（统计就是用样本来研究总体）2. 熟练常用统计量 109P ； 掌握P110两个例题；3. 三个重要分布自制表格四 (0,1)N ）4. 上分位点 （P42定义5、P113定义3 、P115定义5）结合2()n χ和()t n 两个的图形来理解； 注意与随机变量的分布函数()F x （特别是标准正态分布()x Φ）的区别 上述所有都是重点，必须理解加熟记，是整个统计部分的基础。
第七章1. 第一节，熟练掌握点估计的矩估计法和极大似然估计法；P127例2、3P130例62. 第二节，理解无偏性和有效性3. 区间估计P136例1，例139例2，例3（见P140表7-1）以上都结合书上例题，予以熟练掌握。
概率论与数理统计复习要点
第一章 随机事件及其概率一、随机事件及其运算 1. 样本空间、随机事件①样本点：随机试验的每一个可能结果，用ω表示； ②样本空间：样本点的全集，用Ω表示； 注：样本空间不唯一.③随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A,B,C,…表示； ④必然事件就等于样本空间；不可能事件()∅是不包含任何样本点的空集； ⑤基本事件就是仅包含单个样本点的子集。
2. 事件的四种关系①包含关系：A B ⊂，事件A 发生必有事件B 发生； ②等价关系：A B =， 事件A 发生必有事件B 发生，且事件B 发生必有事件A 发生；③互不相容（互斥）： AB =∅ ，事件A 与事件B 一定不会同时发生。
④互逆关系（对立）：A ，事件A 发生事件A 必不发生，反之也成立；互逆满足A A AA ⎧⋃=Ω⎨=∅⎩注：互不相容和对立的关系（对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。
） 3. 事件的三大运算①事件的并：A B ⋃，事件A 与事件B 至少有一个发生。
若AB =∅，则A B A B ⋃=+；②事件的交：A B AB ⋂或，事件A 与事件B 都发生； ③事件的差：-A B ，事件A 发生且事件B 不发生。
4. 事件的运算规律①交换律：,A B B A AB BA ⋃=⋃=②结合律：()(),()()A B C A B C A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃⋂⋂=⋂⋂③分配律：()()(),()()()A B C A B A C A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃⋂⋃=⋂⋃⋂ ④德摩根（De Morgan ）定律：,A B AB AB A B⋃==⋃对于n 个事件，有1111,n ni i i i nni ii i A A A A ======二、随机事件的概率定义和性质1．公理化定义：设试验的样本空间为Ω，对于任一随机事件),(Ω⊂A A 都有确定的实值P(A)，满足下列性质： (1) 非负性：;0)(≥A P (2) 规范性：;1)(=ΩP(3)有限可加性(概率加法公式)：对于k 个互不相容事件k A A A ,,21 ，有∑∑===ki i ki i A P A P 11)()(.则称P(A)为随机事件A 的概率. 2．概率的性质 ①()1,()0P P Ω=∅= ②()1()P A P A =-③若A B ⊂，则()(),()()()P A P B P B A P B P A ≤-=-且 ④()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ⋃⋃=++---+注：性质的逆命题不一定成立的. 如 若),()(B P A P ≤则B A ⊂。
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《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B A ⊂ 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅B}x x x { ∈∈=⋃或A B A 当A ，B 中至少有一个发生时，事件发生B A ⋃称为事件A 与事件B 的积事件，指当B}x x x { ∈∈=⋂且A B A A ，B 同时发生时，事件发生B A ⋂ 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅B}x x x { ∉∈=且—A B A 当A 发生、B 不发生时，事件发生B A —，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事φ=⋂B A 件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件且S =⋃B A φ=⋂B A A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃ 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃分配律)()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂徳摩根律BA B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数称为A n 事件A 发生的频数，比值称为事件A 发生的频率n n A 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率1．概率满足下列条件：)(A P （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设是两两互不相容的事件，有n A A A ,,,21 （可以取）∑===nk k n k k A P A P 11)()( n ∞2．概率的一些重要性质：（i ）0)(=φP （ii ）若是两两互不相容的事件，则有（可以取）n A A A ,,,21 ∑===nk knk kA P A P 11)()(n ∞（iii ）设A ，B 是两个事件若，则，B A ⊂)()()(A P B P A B P -=-)A ()B (P P ≥（iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P （v ） （逆事件的概率）)(1)(A P A P -=（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件A 包含k 个基本事件，即，里}{}{}{2]1k i i i e e e A =个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑=§5．条件概率（1）定义：设A,B 是两个事件，且，称为事件A 发生的0)(>A P )()()|(A P AB P A B P =条件下事件B 发生的条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件1。
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《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 A B 则称事件 B 包含事件 A ，指事件 A 发生必然导致事件 B 发生A B {x x A或x B} 称为事件 A 与事件 B 的和事件，指当且仅当 A ，B 中至少有一个发生时，事件 A B 发生A B {x x A且x B} 称为事件 A 与事件 B 的积事件，指当A，B 同时发生时，事件A B 发生A—B {x x A且x B} 称为事件A 与事件 B 的差事件，指当且仅当 A 发生、B 不发生时，事件 A — B 发生A B ，则称事件 A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件 A 与事件 B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的A B S A B ，则称事件 A 与事件 B 互为逆事件，又称事件 A 与事件 B 互为且对立事件2．运算规则交换律 A B B A A B B A结合律(A B) C A (B C) ( A B)C A(B C)分配律 A （B C）(A B) ( A C)A (B C)(A B)( A C)—徳摩根律 A B A B A B A B§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件 A 发生的次数n称为事件AA 发生的频数，比值n nA 称为事件 A 发生的频率概率：设E是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率1．概率P( A)满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件 A 0 P( A) 1（2）规范性：对于必然事件S P (S) 11（3）可列可加性：设A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，有nn nP A k ) P( A) ( （n可kk 1 k 1以取）2．概率的一些重要性质：（i ）P( ) 0（ii ）若A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，则有n Pn n( （n可以取）A k ) P( A )kk 1 k 1（iii ）设A，B 是两个事件若 A B ，则P(B A) P( B) P( A) ，P( B) P(A) （iv）对于任意事件A，P(A) 1（v）P( A) 1 P(A) （逆事件的概率）（vi）对于任意事件A，B 有P(A B) P( A) P( B) P( A B)§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件 A 包含k 个基本事件，即{e i } {e } {e }A ，里1 i i k] 2，k是，中某个不同的数，则有i1 i 2, ，i k 1,2 nP( A)j k1P { eij}knA包含的基本事件数S中基本事件的总数§5．条件概率（1）定义：设A,B 是两个事件，且P( A) 0 ，称P( A B)P(B | A) 为事件 A 发生的条P(A)件下事件 B 发生的条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点一、概率论知识点1.1 概率基本概念概率是研究事物变化规律的一门学科。
在概率学中，我们需要掌握一些基本概念：•随机试验：一种在相同条件下重复的可以观察到不同结果的试验。
•样本空间：随机试验所有可能结果的集合。
•事件：样本空间的子集。
•频率和概率：在大量重复实验中，某个事件出现的频率称为频率，其极限称为概率。
1.2 概率计算公式•加法公式：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)•乘法公式：P(A∩B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)•条件概率公式：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)•全概率公式：P(B) = Σi=1nP(Ai)P(B|Ai)•贝叶斯公式：P(Ai|B) = P(Ai)P(B|Ai)/Σj=1nP(Aj)P(B|Aj)1.3 随机变量和分布随机变量是用来描述随机试验结果的数学量。
离散型随机变量和连续型随机变量是概率论中两个重要的概念。
•离散型随机变量：在一个范围内，只有有限个或无限个可能值的随机变量。
•连续型随机变量：在一个范围内，有无限个可能值的随机变量。
概率分布是反映随机变量取值情况的概率规律，可分为离散型概率分布和连续型概率分布。
•离散型概率分布：包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
•连续型概率分布：包括正态分布、指数分布、卡方分布等。
1.4 常用概率分布概率论涉及到很多的分布，其中一些常用的分布如下：•二项分布•泊松分布•正态分布•均匀分布•指数分布1.5 统计推断在概率论中，统计推断是指根据样本数据来对总体进行参数估计和假设检验的方法。
统计推断主要涉及以下两个方面：•点估计：使用样本数据来推断总体参数的值。
•区间估计：使用样本数据来推断总体参数的一个区间。
二、数理统计知识点2.1 统计数据的描述为了更准确地描述数据，我们需要使用以下几个参数：•平均数：所有数据的和除以数据个数。
•中位数：将数据按大小排序，位于中间位置的数。
概率论与数理统计知识点
随机事件和概率第—节 根本概念1、排列组合初步〔1〕排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
(2)加法原理〔两种方法均能完成此事〕：m+n某件事由两种方法来完成，第—种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理〔两个步骤分别不能完成这件事〕：m ×n某件事由两个步骤来完成，第—个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。
(4)一些常见排列① 特别排列相邻彼此隔开顺序肯定和不可分辩② 重复排列和非重复排列〔有序〕③ 对立事件④ 顺序问题2、随机试验、随机事件及其运算〔1〕随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
〔2〕事件的关系与运算如果事件A 的组成局部也是事件B 的组成局部，〔A 发生必有事件B 发生〕：B A ⊂ 如果同时有B A ⊂，A B ⊃，则称事件A 与事件B 等价，或称A 等于B ：A=B 。
A 、B 中至少有一个发生的事件：A B ，或者A +B 。
属于A 而不属于B 的局部所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也可表示为A-AB 或者B A ，它表示A 发生而B 不发生的事件。
A 、B 同时发生：A B ，或者AB 。
A B=Ø，则表示A 与B 不可能同时发生，称事件A 与事件B 互不相容或者互斥。
根本领件是互不相容的。
-A 称为事件A 的逆事件，或称A 的对立事件，记为。
它表示A 不发生的事件。
互斥未必对立。
②运算：结合率：A(BC)=(AB)C A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪CΩA分配率：(AB)∪C=(A ∪C)∩(B ∪C) (A ∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率： B A B A =，B A B A =3、概率的定义和性质〔1〕概率的公理化定义设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P(A)，假设满足以下三个条件：1° 0≤P(A)≤1，2° P(Ω) =13° 对于两两互不相容的事件，，…有常称为可列〔完全〕可加性。
概率论与数理统计知识点总结免费超详细版
概率论与数理统计知识点总结免费超详细版概率论与数理统计是一门研究随机现象数量规律的学科，它在众多领域都有着广泛的应用，如统计学、物理学、工程学、经济学等。
以下是对概率论与数理统计知识点的超详细总结。
一、随机事件与概率（一）随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
随机事件通常用大写字母 A、B、C 等来表示。
（二）样本空间样本空间是指随机试验的所有可能结果组成的集合，通常用Ω表示。
（三）事件的关系与运算1、包含关系：若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A，记作 A⊂B。
2、相等关系：若 A⊂B 且 B⊂A，则称事件 A 与事件 B 相等，记作A ＝ B。
3、并事件：事件 A 与事件 B 至少有一个发生的事件称为 A 与 B的并事件，记作 A∪B。
4、交事件：事件 A 与事件 B 同时发生的事件称为 A 与 B 的交事件，记作A∩B 或 AB。
5、互斥事件：若事件 A 与事件 B 不能同时发生，则称 A 与 B 为互斥事件，即 AB ＝∅。
6、对立事件：若事件 A 与事件 B 满足 A∪B ＝Ω 且 AB ＝∅，则称 A 与 B 为对立事件，记作 B ＝A。
（四）概率的定义与性质1、概率的古典定义：若随机试验的样本空间Ω只包含有限个基本事件，且每个基本事件发生的可能性相等，则事件 A 的概率为 P(A) ＝n(A) ／n(Ω) ，其中 n(A) 为事件 A 包含的基本事件个数，n(Ω) 为样本空间Ω包含的基本事件个数。
2、概率的统计定义：在大量重复试验中，事件 A 发生的频率稳定在某个常数 p 附近，则称 p 为事件 A 的概率，即 P(A) ＝ p 。
3、概率的公理化定义：设随机试验的样本空间为Ω，对于Ω中的每一个事件 A，都赋予一个实数 P(A)，如果满足以下三个条件：（1）非负性：0 ≤ P(A) ≤ 1 ；（2）规范性：P(Ω) ＝ 1 ；（3）可列可加性：对于两两互斥的事件 A1，A2，，有P(A1∪A2∪）＝ P(A1) ＋ P(A2) ＋，则称 P(A) 为事件 A 的概率。
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概率论(曹显兵)
注: 若（0<P（B）<1）,则 A, B 独立 P（A|B）=P（A）
（P（B）>0）
P( A | B) P( A | B ) 1 （0<P（B）<1）.
P（A|B）=P（A| B ） （0<P（B）<1） P（ A |B）=P（ A | B ） （0<P（B）<1） （4） A, B, C 两两独立 P（AB）=P（A）P（B）; P（BC）=P（B）P（C）; P（AC）=P（A）P（C）. （5） A, B, C 相互独立 P（AB）=P（A）P（B）; P（BC）=P（B）P（C）; P（AC）=P（A）P（C）; P（ABC）=P（A）P（B）P（C）. 2. 重要公式 （1） P(A) 1 P(A)
（1） A 与 B 互斥（互不相容） AB （2） A 与 B 互逆（对立事件） AB , A B （3） A 与 B 相互独立 P（AB）=P（A）P（B）.
P（B|A）=P（B） （P（A）>0）.
P(B | A) P(B | A) 1 （0<P（A）<1）.
P（B|A） =P（B| A ） （ 0 < P（A） < 1 ）
（B）P（A B|C）＝P（A B）.
（C）P（A B| C ）＝P（A|C ）+ P（B| C ）. （D）P（A B|C ）＝P（A B）.
【例 6】 设事件 A, B, C 满足条件: P（AB）＝P（AC）＝P（BC） 1 , P（ABC）＝
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2 / 19
1 , 则事件 A, B, C 中至多一个发生的概率为
概率论与数理统计知识点汇编
第一讲 随机事件与概率
考试要求 1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算. 2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何
型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯 公式. 3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验 的概率, 掌握计算有关事件概率的方法. 一、古典概型与几何概型 1．试验，样本空间与事件. 2．古典概型：设样本空间 为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性， 则
3
【例 4】 设两两相互独立的三事件 A, B, C 满足条件: ABC＝Φ, P（A）＝P（B）
＝P（C）< 1 ,且已知 P(A B C) 9 , 则 P（A）＝
.
2
16
【例 5】 设三个事件 A、B、C 满足 P（AB）＝P（ABC）, 且 0<P（C）<1, 则 【 】
（A）P（A B|C）＝P（A|C）+ P（B|C）.
（1） 一次取 3 个； （2） 一次取 1 个, 取后不放回； （3） 一次取 1 个, 取后放回. 【例 2 】从 （0，1） 中随机地取两个数，试求下列概率： （1） 两数之和小于 1.2； （2） 两数之和小于 1 且其积小于 3 .
16
一、 事件的关系与概率的性质 1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有：
P(A) A中有利事件数 基本事件总数
3．几何概型：设 为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性， 则
P( A) A的度量（长度、面积 、体积） Ω的度量（长度、面积 、体积）
【例 1】 一个盒中有 4 个黄球, 5 个白球, 现按下列三种方式从中任取 3 个球, 试 求取出的球中有 2 个黄球, 1 个白球的概率.
i 1
i 1
（5）
若 A 1, A2 ,
…,
Байду номын сангаас
A 相互独立, n
则
n
n
n
P( Ai ) 1 P( Ai ) 1 [1P( Ai )].
i1
i1
i1
n
n
P( Ai ) P(Ai ) .
i1
i1
（6） 条件概率公式: P(B | A) P(AB) （P（A）>0）
P( A)
【例 3】 已知（A＋ B ）（ A B ）＋ A B A B ＝C, 且 P（ C ）＝ 1 , 试求 P（B ）.
（C ） A B 与 C
（D） AB 与 C
【例 9】 设 A，B 为任意两个事件，试证
P（A）P（B）－P（AB） ≤ P（A－B） P（B－A） ≤ 1 .
4
三、乘法公式，全概率公式，Bayes 公式与二项概率公式
1． 乘法公式：
P( A1 A2 ) P( A1 )P( A2 | A1 ) P( A2 )P( A1 | A2 ). P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 ) P( An | A1 A2 An1 ).
2． 全概率公式：
P(B) P(B | Ai )P( Ai ), Ai Aj ,i j, Ai .
i 1
i 1
3．Bayes 公式：
P(Aj | B)
P(B | Aj )P(Aj )
, A i Aj ,i j, Ai .
P(B | Ai )P(Ai )
i 1
i 1
4．二项概率公式:
Pn (k ) Cnk Pk (1 P)nk , k 0,1, 2, , n. ,
【例 10】 10 件产品中有 4 件次品, 6 件正品, 现从中任取 2 件, 若已知其中有一件为 次品,
试求另一件也为次品的概率. 【例 11】设 10 件产品中有 3 件次品, 7 件正品, 现每次从中任取一件, 取后不放回.
.
16
【例 7】 设事件 A, B 满足 P（B| A）＝1 则
【】
（A） A 为必然事件.
（B） P（B| A ）=0.
（C） A B .
（D） A B .
【例 8】 设 A, B, C 为三个相互独立的事件, 且 0<P（C）<1, 则不独立的事件为
【】
（A） A B 与 C .
（B） AC 与 C
（2） P( A B) P( A) P( AB)
（3） P( A B) P( A) P(B) P( AB)
P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC)
（4）
若 A1,
A2,…,An 两两互斥,
n
n
则 P( A i ) P(A i ) .