解析函数
第二章解析函数
第二章解析函数•复变函数的导数•解析函数的概念•初等解析函数复函数的求导法则由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的.例2证明()2f z x yi =+在复面内处处连续，但处处不可导.证明对复平面内任意点z , 有()()f z z f z +Δ−2.x yi =Δ+Δ()2()2x x y y i x yi =+Δ++Δ−−故0lim[()()]0.z f z z f z Δ→+Δ−=这说明()2f z x yi =+在复面内处处连续.000()()() (), f z z f z f z z z z ρ′+Δ−=Δ+ΔΔ,)()(lim 000z f z z f z =Δ+→Δ所以lim ()0,z z ρΔ→Δ=再由即()f z 在0z 处连续.反之, 由例2知, 处处不可导，()2f z x yi =+但处处连续。
例5问题：对函数f (z ) = u (x ,y ) + iv (x ,y )，如何判别其解析（可导）性？换句话说：()(),f z u v 的解析可导与的偏导数之间有什么关系？解析函数的性质：(1)两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；(2)两个解析函数的复合函数仍为解析函数；(3)一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。
证明必要性. 若存在，设0()f z ′0()f z a ib ′=+(a , b 是实常数). 因此000()()()f z z f z f z z z α′+Δ−=Δ+Δ12()()()()a ib x i y i x i y αα=+Δ+Δ++Δ+Δ12()a xb y x y αα=Δ−Δ+Δ−Δ21(,i b x a y x y αα+Δ+Δ+Δ+Δ其中12Re , Im .αααα==且当时，0z Δ→120, 0.αα→→0000(,)(,),u u x x y y u x y Δ=+Δ+Δ−0000(,)(,),v v x x y y v x y Δ=+Δ+Δ−则于是有00()().f z z f z u i v +Δ−=Δ+Δ12()u i v a x b y x y ααΔ+Δ=Δ−Δ+Δ−Δ21().i b x a y x y αα+Δ+Δ+Δ+Δ由两个复数相等的条件可得设21.v b x a y x y ααΔ=Δ+Δ+Δ+Δ12,u a x b y x y ααΔ=Δ−Δ+Δ−Δ于是，1(,),(,)..a u x y v x y C R =−−当时，满足条件，().f z z 从而在平面上处处可微，处处解析1(,),(,)0..a u x y v x y y C R ≠−=−当时，仅在直线上满足条件，().f z z 故在平面上处处不解析()00.f z y y =≠从而仅在上可微，在上不可微作业3第89页，第二章习题（一）：2；4（1）（3）；5（2）（4）；7；8（2）（4）；9; 11（1）（3）。
第二章 解析函数
在z0解析，若f (z)在区域D内每一点解析，则称f (z)在D
内解析，则称f (z)是D内的一个解析函数（全纯函数或 正则函数）。 如f (z)在 z0不解析, 则称z0为f (z)的奇点。
§1 解析函数的概念
f (z)在 z0解析
函数f (z)在z0的邻域内可导
f (z)在 z0解析 函数f (z)在z0可导 二元函数的微分 [例 ] 的解析性
§3 初等函数 3 乘幂ab与幂函数 [例 ] 求 、 和 的值。
幂函数：
形如：zb=ebLnz（z≠0，b为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ意复常数）
的函数成为幂函数。
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数
性质：
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数 性质：
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数
[例] 计算sin(3+4i) ，cosi，sin6i
|sinz|1和|cosz|1在复数范围内不再成立。 [例] 求方程cosz=0的解。
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数
[例] 求方程sinz+cosz=0的解。
其它复变数三角函数：
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数 双曲函数
性质：
§3 初等函数 4 反三角函数和反双曲函数 设z=cosw，则称w为z的反余弦函数，记作： w=Arccosz
ii) f’(z) =f(z); iii) 当Im(z)=0时, f(z) =ex, 其中x=Re(z)。
§3 初等函数 1 指数函数
为整数)
加法定理
§3 初等函数 2 对数函数
主值
[例] 求Ln1, Ln(-2) 以及它们相应的主值。
§3 初等函数 1 指数函数 总结：
第二章 解析函数
z
zw
n
v
0
w
z1 0
x
u
r
n 0
w z
n
0
26
特别：将w 平面上的角形区域 n n 变成 z 平面上除原点与负实轴的区域．
一般：将张角为
都变成 z 平面除去原点与负实轴的区域．
27
2k 2k Tk : (k 0,1,, n 1) n n n n
33
支割线：用来割破 z 平面，借以分出 z n 的单值解析分支的割线，称为 z 的支割 线．
f ( z0 z ) f ( z0 ) lim z 0 z
2
f ( z ) f ( z0 ) 注:（1）定义中极限可改为 lim0 z z ； z z 0
若 f (z ) 在D内处处可导，则称 f (z ) 在D内 可导。
（2） z z0 的方式是任意的，因此较一元 实变函数具有许多独特的性质和应用。
推论2：若函数 f ( z ) u( x, y) iv( x, y) 在区域 D内解析，且 f ( z ) 0, ( z D) ，则 u( x, y ) c1 v( x, y ) c2 （ c1 , c2 为常数） 是D内两组正交曲线族。
12
证明：由于 f ( z) 0, ( z D) ，故在D内 ( x, y ) 点 u y 与 v y 不全为0。
§3 初等多值函数
定义:设函数 f (z ) 在区域D内有定义，且 对D内任意不同的两点 z1 及 z 2 ，有 f ( z1 ) f ( z2 ) ，则称函数 f (z ) 在D内是单 叶的．并且称区域D为 f (z ) 的单叶性区 域． １、根式函数 根式函数w z 为幂函数 z 数（n是大于１的整数）．
解析函数的理解
解析函数的理解高中的函数知识点中有一块是讲解析函数，它是由不同的函数相加而得到的，具有这样特征的函数就是解析函数。
其实，解析函数应该是一类函数的统称，它的基本性质也很重要，让我们进一步认识它吧！定义：设;当x=a x^2+bx+c时，设;f(a)=x^2+bx+c，1、对于有理函数，解析式与自变量的取值无关；2、对于一般的解析函数，若自变量x的连续可导，则解析式的值域为全体实数，反之亦然。
此外，由于解析函数自变量x的取值范围是其定义域的子集，所以对于非解析函数来说，自变量x的取值范围通常都不会是整个定义域。
2、在一般意义下，解析函数满足：如果f(a)是x在[a， +∞)上的可导函数，则称f是（沿）解析函数。
3、我们把函数y=f(x)， y=f(x^n)， y=f(x^m)，y=f(x^n)+f(x)-f(x^m)， y=f(x^n)+f(x)并且图像关于y轴对称的函数叫做隐函数。
隐函数的表达式是由隐函数f=f(x)及f的定义而得到的， f=f(x)是函数，它是在一个集合X中选择一个元素y，使得f(y)=f(x)+c。
f(x)是x的函数，我们称它为f的原函数。
4、一般地，如果函数y=f(x)， y=f(x^n)， y=f(x^m)， y=f(x^n)+f(x)并且图像关于y轴对称，那么就称函数y为y=f(x)+c的一般形式。
5、设f(x)： f(x)与函数f：有两种表示法，即原函数及一般形式。
6、函数与其图像在某点有无数多对应点，并且对应点坐标满足f(x) = 0，则称此函数为可去奇点的函数，可去奇点的函数没有实际意义。
7、对于任何解析函数，当它的图像关于原点对称时，图像总过原点；反之，当它的图像关于原点的某一固定点对称时，图像总不过原点。
8、设： f：可以是不连续的，但一定是解析的。
9、设f(x)是f的图像，是f在x处的一条“虚线”。
如果图像的函数在x处可导，则称此函数为解析函数。
第二章 解析函数
[f (z)±g (z)] =f (z)±g(z)，
[f (z)g(z)] = f (z)g(z) + f (z)g(z)
f (z) f ' ( z ) g( z ) f ( z ) g' ( z ) [ ]' , ( g( z ) 0) 2 g( z ) g (z) 由以上讨论
在(x,y)处满足
u u v v 1. , , , 在( x, y )点处存在且连续； x y x y 2. 在( x, y )点处满足Cauchy Riemann 条件
那么f(z)在z=x+iy处可导。
• 2.2.2 函数解析的充要条件 • 定理１ 设函数 f ( z) u( x, y) iv( x, y) 在区域 D 内有定义，则 f ( z )在 D 内解析的充分必要条 件为 u, v 在 D 内任一点 z x iy处 （1）可微； （2）满足
ex1
试用C-R条件判定下列函数在何处可导，在何处解析：
w z
2
解 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则
u 2x x
u 2y y
v 0 x
v 0 y
仅在点z = 0处满足C-R条件，故
w z 仅在0点可导，但处处不解析 。
2
例2: 设函数f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2),问 常数a,b,c,d取何值时，f(z)在复平面内处 处解析。
例1 求函数 f ( z ) z 的导数（n 为正整数）.
n
解 因为
k k ( z z )n Cn z (z )nk k 0
高中数学的解析函数的性质及应用解析
高中数学的解析函数的性质及应用解析解析函数是高中数学中的重要概念，其性质及应用在数学学科及其他学科中具有广泛的应用。
本文将围绕解析函数的定义、性质和应用展开讨论。
一、解析函数的定义解析函数又称为复变函数，它是指在复数域上有定义的函数。
具体而言，对于一个定义在复数域上的函数f(z)，如果对于复数域上任意一个复数z，该函数都有唯一的函数值w与之对应，那么f(z)即为解析函数。
解析函数的定义可以用数学符号表示为：f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中z = x + iy，u(x, y)和v(x, y)分别表示复变函数的实部和虚部。
二、解析函数的性质1. 连续性：解析函数在其定义域上连续，即实部和虚部都是连续函数。
2. 可微性：解析函数在其定义域上可导，即满足柯西-黎曼方程的充分必要条件。
柯西-黎曼方程表示为：∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂x。
3. 奇点：解析函数在其定义域上无奇点，即没有使函数值发散或不唯一的点。
根据解析函数的性质，我们可以推导出一些重要的结论。
例如，解析函数的导函数也是一个解析函数，解析函数的连续叠加仍然是一个解析函数等。
三、解析函数的应用解析函数的应用非常广泛，不仅在数学学科中有重要意义，也被应用于其他学科中。
1. 数学学科中的应用：解析函数可以用于复数域的积分计算，例如对于沿闭合曲线C的积分∮Cf(z)dz，由于解析函数是可导的，我们可以通过柯西定理将曲线内部的积分等于曲线上的积分，简化计算。
2. 物理学中的应用：解析函数被广泛应用于物理学中的电磁场、流体力学等领域。
例如，对于电势、磁场等物理量的描述往往使用解析函数的方法，通过假设解析函数满足某些条件，可以方便地求解实际问题。
3. 工程学中的应用：解析函数在工程学中的应用也非常重要。
例如，在信号处理领域，解析函数可以用于信号的频谱分析、信号的模拟与合成等方面。
总之，解析函数作为高中数学中的重要概念，其性质和应用在数学学科及其他学科中都有广泛的应用。
解析函数和调和函数的定义
解析函数和调和函数的定义
解析函数和调和函数是数学中的两个概念，它们的定义如下：
解析函数（Analytic Function）：
一个函数f(x)在某一点x处是解析的，如果它在该点附近的某个区域内满足柯西-黎曼方程，即f'(x)=[f(x)]^n，其中n为正整数，f(x)在该点处连续。
如果一个函数在整个定义域内都是解析函数，则称它为全解析函数。
常见的解析函数包括多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等等。
调和函数（Harmonic Function）：
一个函数f(x)在某一点x处是调和的，如果它满足拉普拉斯方程，即Δf(x)=0，其中Δ为二阶拉普拉斯方程。
调和函数具有许多优良的性质，如最大值原理、最小值原理、格林公式等等，因此在物理学和工程学中有着广泛的应用。
常见的调和函数包括正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数等等。
总的来说，解析函数和调和函数都是数学中非常重要的概念，它们具有不同的性质和应用领域。
解析函数主要用于研究函数的导数和微分
方程，而调和函数主要用于研究波动现象和物理学中的振动问题。
第二章解析函数
f ( w) g ( z ), 其中 w g ( z ).
(e)
1 f ( z ) , 其中w f ( z )与z ( w)是 ( w)
两个互为反函数的单值 函数且 ( w) 0
说明
如果函数w=f(z)在区域B内的每一点可导， 则称f(z)在区域B内可导：
例2.1.4
讨论函数 w f ( z ) | Im z 2 | 在点 z0 0 处的可导性.
【解】 首先考察 C-R 条件是否满足. 根据 有
f ( z) | Im z 2 | 2 | xy | u( x, y) iv ( x, y)
u ( x, y ) 2 | xy |
两个例子：1. 求dzn/dz=nzn-1
2. 求证w= z 在z平面上处处连续，但 处处不可导
可导必连续。
例 2.1.1 用导数的定义证明公式： n nz n1 （n 为正整数） (z )
【证明】设 f ( z) z ，故
n
f ( z z ) f ( z ) ( z z ) z n(n 1) n 2 n 1 z[nz z z (z )n 1 ] 2 f ( z z ) f ( z ) lim nz n 1 z 0 z
二、复变函数导数存在的充要条件
可导条件
分析
f ( z) f ( z) lim f ' ( z0 ) lim x x0 x x0 z z y y y y
0 0
C-R条件
ux = vy vx = -uy
f ( z ) u iv u v lim i x x0 x x0 z x x x y y lim
多项式)，除去使Q(z)=0的点外处处解析。
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0
解析函数的实部或者虚部。
• 平面静电场
如果将解析函数的实部u(x,y)看作某平面静电场的电势，那么v(x,y)=C2就代 表该静电场的电力线族，因为静电场的等势线族u(x,y)=C1与电力线族也 是处处相互正交的，所以称该解析函数为该平面静电场的复势。
例：考虑解析函数f ( z ) z 2 x 2 y 2 i 2 xy, 它对应什么样的平面静电场的复势？
2
sin
2
d
2
2 d cos
2
d( 2 x c
cos
2
)
2
c
cos c
2 i 2 sin
1 2
x2 y 2 c
f ( z ) u iv
1 2
2 cos
2
2 (cos i sin ) c 2z c
例题：已知u＝2( x 1) y,f (2) i, 求解析函数
u u v u v u 解： =2y, 2( x 1),由C-R条件, ＝ 2 y, ＝－ 2(1 x) x y y x x y v v dv dx dy 2(1 x)dx 2 ydy d (2 x x 2 y 2 ) x y 积分得:v( x, y ) 2 x x 2 y 2 C f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y ) 2( x 1) y i (2 x x 2 y 2 C ) i ( x iy ) 2 2i ( x iy ) iC iz 2 2iz iC f (0) iC i, C 1 f ( z ) iz 2 2iz i
• W=1/Z=(x-iy)/(x2+y2) • 1/Z的实部为u=x/(x2+y2)
• 1/Z的虚部为v=-y/(x2+y2)
• 则u=c1为电场的等势线，v=c2为电场的
流线；是相互正交的两族曲线。下图中 最后给出的黄色十字显示了两族曲线的 正交性。
函数w＝Z2
• W= Z2 =(x2-y2)+i2xy • Z2的实部为u= x2-y2 • Z2的虚部为v=2xy • 描述两相互垂直的无穷大带电导体平面的 静电场。这里u=c1为电场的等势线， v=c2为电场的流线。图中最后给出的黄色
• 3解析函数的性质
(1)若f ( z) u iv在区域B上解析，则u( x, y) C1 , v( x, y) C2 (C1、C2是常数)是B上的两组正交曲线簇。 ˆx e ˆy , u表示u的梯度，是曲线u ( x, y ) C1 证： e x y
的法向矢量.v是曲线v( x, y ) C2的法向矢量 u u v v u v u v ˆ ˆ ˆ ˆ u v ( ex ey )( ex ey ) 0 x y x y x x y y
2
1 2sin 2
2
v cos
(1 cos ) 2 sin
1 sin , 2 2 cos
2
1 v 1 (2 ) 2 2 sin 2 2
v 1 2 cos 2 2
• 若某函数H(x,y)在区域B上有二阶连续偏导数，且满足拉普
拉斯方程 2 H 0 ，则称H(x,y)为区域B上的调和函数。 • （2）若函数f (z)= u +i v在区域B上解析，则 u , v 均为B上的 调和函数。
证：第二章将证明,解析函数具有任意阶微商 u,v的各阶偏导数存在且连续 由于f (z )=u +iv在区域B上解析，满足C-R条件 u v 2u 2 v ＝ ，对x求导： 2 ＝ x y x xy 2u 2u 2 0, 即 u0 2 2 2 2 u v u v x y ＝－ , 对y求导： 2 ＝y x y xy 2v 2v 同理： 2 2 0, 即 2 v 0 x y u ( x, y ), v( x, y )都是B上的调和函数。 又称共轭调和函数。
2 2 2 = 2 2 x y
在物理学中，许多平面场（稳定温度场，静电场，稳定电流场） 都满足拉普拉斯方程。通过高斯定理可以推导得到静电场方程： E , E 0 E V
0
V 为电势函数
V
0
2V （泊松方程） 如果在静电场的某一区域没有电荷，＝0，则 2V 0 或 （拉普拉斯方程） 2V 2V 2 0, 所以可将某个平面静电场的电势看作 2 x y
作出u x 2 y 2 常数（实线，电力线）， v= 2 xy 常数（虚线，等势线族）的图像, 可见，相互正交。 表示以实轴和虚轴为截口的两块互相垂直的 很大的带电导体平面的静电场。
解析函数实部与虚部 的物理意义
• 将显示几种常见的解析函
数的等势线与流线的图像 以及二者的正交性
W=1/Z
u u v u v u 解： =3x 2 -3y 2 , 6 xy,由C-R条件, ＝ 3x 2 -3y 2 , ＝－ 6 xy x y y x x y v (3x 2 -3y 2 )dy ( x) 3x 2 y y 3 ( x ) v u 6 xy '( x) － 6 xy, '( x) 0, ( x) C , x y v 3x 2 y y 3 C 故得解析函数f ( z ) u iv x 3 -3xy 2 i (3x 2 y y 3 C ) ( x iy )3 iC＝z 3 iC
知识点回顾
复变函数的概念 区域的概念 复变函数可导的定义 ez ,sin z, cos z, shz, chz, ln z几个初等函数定义式 sin( x+iy ) = sinxchy +icosxshy sh( x+iy ) = shxcosy +ichxsiny C R条件
• 几个初等函数定义式
• 4由于解析函数的实部与虚部通过C-R条件相联系，只要知
道解析函数的实部（或虚部），就能求出相应的虚部（或实 部）
例题：已知u＝x3 -3xy 2 ,求v u 2 2 u 解： =3x -3y , 6 xy x y v u u 2 2 v 由C-R条件, ＝ 3x -3y , ＝－ 6 xy y x x y v v dv dx dy 6 xydx (3x 2 -3y 2 )dy d (3x 2 y y 3 ) x y
e z e x iy e x eiy e x (cos y i sin y ) 1 iz iz sin z (e e ) 2i 1 iz iz cos z (e e ) 2 1 z z shz (e e ) 2 1 z z chz (e e ) 2 ln z ln(| z | eiArgz ) ln | z | iArgz ln | z | i ( 2k ) z s e s ln z ( s为复数)
2
2
由极坐标下的C-R方程： u 1 v 1 cos , 2 2 u v 1 cos d 2 2
2
sin
2
u u du d d 2 cos d 2 2 u 2 cos
积分，得：v( x, y ) 3 x 2 y y 3 C 解析函数f ( z ) u iv x 3 -3xy 2 i (3x 2 y y 3 ) iC ( x iy )3 iC＝z 3 iC 凑全微分显式法
v u ＝ ，对y积分来求（不定积分法）： y x v u v u u v dy ( x) dy ( x), dy '( x) － y x x x x y v 由上式求得 ( x)，代入v dy ( x)，可得v. y 例题：已知u＝x3 -3xy 2 ,求v 已知u求v, 可由关系
例题：已知解析函数f ( z )的虚部v( x, y) x x 2 y 2 ， 求实部u(x, y )和这个解析函数f ( z )
v v 解：求 , 比较麻烦，凡是看见有类似x 2 y 2的式子最好采用极坐标 x y x cos , y sin , x 2 y 2 2 , cos2 x2 y 2
1.4解析函数
• 重点：解析函数的概念、由解析函数的实部求虚部，或由虚
部求实部。 • 难点：解析函数的性质，解析函数的求解 • 掌握：由解析函数的实部求虚部，或由虚部求实部的方法
• 1.解析：若函数f ( z )在点z0 及其邻域上处处可导，则称f ( z )
• • • • •
在点z0 解析。 2.解析函数：若f ( z )在区域B上每一点都解析，则称f ( z )是 区域B上的解析函数。 理解：解析的前提是可导 若函数在某点解析，则必在该点可导，反过来则不一定成立。 若函数在某一区域B上解析，则函数在区域B上处处可导 在区域上可导与解析是等价的。
十字显示了两族曲线的正交性。
3 W=Z
• W =Z3 =（x3-3xy2）+i(3x2y-y3)
• Z3实部为u= x3-3xy2
• Z3虚部为v= 3x2y-y3 • 描述相互交成60°角并交于同一轴的三个无
穷大带电导体平面的静电场的等电位线和电 力线。这里u=c1为电场的等势线， v=c2为电 场的流线。图中最后给出的黄色十字显示了 两族曲线的正交性。