解析函数概念及其教学特点分析
初中数学教案设计：解析函数的概念及性质
初中数学教案设计：解析函数的概念及性质一、前言解析函数是数学分析中的重要概念之一，被广泛应用在物理学、工程学等领域中。
在初中阶段，介绍解析函数有助于提高学生对函数的理解和掌握程度，增强学生的数学素养和实际应用能力。
本文将介绍初中数学教师如何设计关于解析函数概念及性质的教案，以期对广大教师有所帮助。
二、教学目标1.能够正确理解解析函数的概念，并知道解析函数的定义域和值域；2.能够掌握解析函数的基本性质，包括连续性、可导性、可微性等；3.能够应用解析函数求函数的导数或高阶导数；4.能够用解析函数解决实际问题。
三、教学重点和难点1.教学重点：解析函数的定义及基本性质；2.教学难点：解析函数求导数的过程和应用。
四、教学策略1.将解析函数概念引入数学课程中，通过多组数学例子和问题的解答，使学生能够清晰地理解解析函数的含义和定义；2.通过授课、讲解、讨论和实际操作等多种教学方式，帮助学生逐步掌握解析函数的基本性质和求导过程；3.通过讲解和练习实例，引导学生理解解析函数的实际应用，并帮助他们思考解决问题的方法。
五、教案设计一、导入1.情境引入：设计一张图片或漫画，让学生从中感受什么是“解析函数”。
2.举例引入：列举一个具体的例子，比如“某商场销售走势曲线可以用一元二次函数表示，试问，这个函数是解析函数吗？”二、概念讲解1.解析函数的定义：当某一复变量z的某个领域内，对于给定的z值，函数w=f（z）有唯一的导数，称该函数在该领域内是解析函数。
2.解析函数的定义域和值域：对于复数z的某个非空集合D，若在D内任意一点处解析，则称f(z)在D上解析，D称为f(z)的定义域。
如果值域也是复平面上的非空开集，且f(z)的每个取值都在值域内，则称f(z)为解析函数。
3.解析函数的基本性质（授课）（1）连续性：解析函数在其定义域内连续。
（2）可导性：解析函数在其定义域内可导。
（3）可微性：解析函数在其定义域内可微。
（4）泰勒级数展开：若f(z)在z_0处解析，则f(z)在z_0处的Taylor 展开式唯一存在，即f(z)=∑(k≥0) {f的(k)次导数在z0处的值/k!} ×(z-z0)的k次幂。
解析函数教学探析
解析函数教学探析作者：曹海涛张伟杰来源：《黑龙江教育·高校研究与评估》2013年第07期摘要：解析函数是复变函数研究的主要内容，它具有重要的性质和广泛应用。
如何透彻理解和掌握解析函数的相关概念和性质，是学生在学习复变函数这门课程的关键所在，也是教师在教学过程中的重要工作。
笔者透析了解析函数的相关概念、性质及应用，并阐述了如何在教学中贯穿这些内容的讲授。
关键词：复变函数；解析函数；调和函数；教学透析中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1002-4107（2013）07-0023-02复变函数课程是工科专业尤其是电子、计算机、机电等专业的必修课。
它是高等数学课程的发展和延续，它将函数定义域的范围从高等数学里的实数域推广到了复数域。
复变函数与实变函数之间有许多相似之处，但是又有许多不同之点。
在学习过程中学生往往觉得复变函数比实变函数更抽象，原理、规律更加繁多。
加之教学安排课时往往比高等数学少得多，因此在课程结束后很多学生仍是一无所获。
如何从根本上解决复变函数教学中的诸多类似问题，是教师需要解决的问题。
复变函数的主要内容是研究解析函数，这类函数有着重要的性质和广泛的运用。
因此，如何透彻理解和掌握解析函数的相关概念和性质，是学生学习复变函数这门课程的关键所在，也是教师在教学过程中的重要工作。
针对工科学生，本文从以下几个方面透析了解析函数的相关概念、性质及应用，并结合本人在教学中的体验，阐述了如何在教学工作中贯穿这些内容的讲授。
一、理解解析函数的定义及判别四、解析函数的级数性质复变函数若在某个圆域或者圆环域内处处解析，那么该函数在圆域或者圆环域内任意一点的函数值，可以写成以圆（环）心为中心的级数形式。
由函数不同的解析性，对应有泰勒级数或者洛朗级数。
这章节对于很多学生来说是个难点。
首先，在教学过程中要让学生能够确定函数展开所对应的中心点以及相应的圆（环）域，必须让他们知道函数在所确定的圆（环）域内是处处解析的。
高中数学_函数的概念教学设计学情分析教材分析课后反思
函数的概念（第二课时）——抽象函数定义域教学目标：1、进一步加深对函数概念的理解；2、能准确判断两个函数是否相等；3、进一步掌握简单函数定义域的求法；4、掌握抽象函数的定义域求法教学重点：对函数概念的理解，以及求简单函数的定义域。
教学难点：抽象函数定义域的求法。
教学过程：（一）复习旧知：1、函数的概念：①A、B为非空数集②A中元素的任意性③B中元素的唯一确定性2、函数的三要素：①定义域②对应关系③值域3、两个函数相等的条件：①定义域②对应关系4、简单函数定义域的求法：①若f（x）为整式，则定义域为全体实数②若f（x）为分式，则分母不等于零③若f（x）是偶次根式，则被开方式大于等于零④若f（x）=x0，则x≠0（二）巩固练习：多媒体出示练习题，学生利用刚复习过的知识思考问题并做解答，进一步巩固第一课时所学知识，老师纠正学生回答，并联系所学知识，进行点评。
||:},0|{,1,1x y x f x x B R A B A =→>==）（并说明理由。
的函数到集合集合、判断下列对应是否为x y y x f R B x x A =→=≥=2,:,},0|{2）（ xy x f Z B Z A =→==:,,3）（0:},0{},11|{4=→=≤≤-=y x f B x x A ）（函数图象的是、判断下列图象能表示2并说明理由。
是否表示同一函数，与、判断下列函数)()(3x g x f 1)(,)1()()1(0=-=x g x x f2)(,)()2(x x g x x f ==4-x ,22)3(2=+⋅-=y x x y362)(,)()4(x x g x x f ==（三）巩固练习并导入新课4、求下列函数的定义域95)2(14)1(203--=-+-=x x y x x x y5、已知f （x ）的定义域是［2，+∞）（1） 求函数f （x+1）的定义域（2） 求函数f （2x -3）的定义域出示第5的习题后，领导学生分析与第4题的不同点，并给出抽象函数的概念，引出本节研究的新课题——抽象函数的定义域，即复合函数的定义域，板书课题。
高一数学(函数的概念)教学设计 教案
1.2.1 函数的概念一、内容与解析函数是中学数学中最重要的基本概念之一.在中学,函数的学习大致可分为三个阶段.第一阶段是在义务教育阶段,学习了函数的描述性概念,接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数,了解了它们的图象、性质等.本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段,这是对函数概念的再认识阶段.第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习,这是函数学习的进一步深化和提高.在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前,学生已经把函数看成变量之间的依赖关系;同时,虽然函数概念比较抽象,但函数现象大量存在于学生周围.因此,课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念.二、教学目标及解析1.会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号y=f(x)的含义;通过学习函数的概念,培养学生观察问题、提出问题的探究能力,进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力;启发学生运用函数模型表述、思考和解决现实世界中蕴涵的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯,学会数学表达和交流,发展数学应用意识.2.掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的作用,使学生感受到学习函数的必要性和重要性,激发学生学习的积极性.三、问题诊断分析教学重点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数.教学难点:符号“y=f(x)”的含义,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一地理解成对应关系,甚至认为函数就是函数值.四、教学支持条件分析在本节课()的教学中,准备使用(),因为使用(),有利于().五、教学过程第一课时导入新课问题:已知函数1,0,Rx Qyx Q∈⎧=⎨∈⎩,请用初中所学函数的定义来解释y与x的函数关系？先让学生回答后,教师指出:这样解释会显得十分勉强,本节将用新的观点来解释,引出课题.推进新课新知探究提出问题1.给出下列三种对应:(幻灯片)（1）一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度为h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律是h=130t-5t2.请回答：①该问题中的自变量与因变量分别是什么？它们的取值范围用集合如何表示？②请得出炮弹飞行1s，5s，10s，20s时距地面的高度③请用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系④用符号语言描述上述的依赖关系时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}.则有对应f:t→h=130t-5t2,t∈A,h∈B.（2）近几十年来,大气层的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧洞问题.图1-2-1-1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位:106 km2)随时间t(单位:年)从1979~2001年的变化情况.图1-2-1-1请回答：①该问题中的自变量与因变量分别是什么？它们的取值范围用集合如何表示？②从图中可以看出哪一年臭氧空洞面积最大？哪些年的臭氧空洞的面积大约为1500万平方千米？③请用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系④用符号语言描述上述的依赖关系根据图1-2-1-1中的曲线,可知时间t的变化范围是数集A={t|1979≤t≤2001},空臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B={S|0≤S≤26},则有对应:f:t→S,t∈A,S∈B.（3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表中的恩格尔系数y 随时间t(年)变化的情况表明,“八五”计划以来,我国城镇居民的生活质量发生了显著变化. “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况时间 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 恩格尔系数y 53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9请回答：①恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？如何用集合与对应的语言来描述这个关系？②用符号语言描述上述的依赖关系根据上表,可知时间t 的变化范围是数集A={t|1991≤t≤2001},恩格尔系数y 的变化范围是数集B={S|37.9≤S≤53.8}.则有对应: f:t→y,t∈A,y∈B.（2）以上三个实例有什么共同特点？（3）请用集合的观点给出函数的定义. 函数f:A→B 的值域为C,那么集合B=C 吗？初中函数定义：在某一变化过程中，有两个变量x ，y 。
《函数的概念》教学设计
3.1函数的概念及其表示（第一课时）一、教学内容解析函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具.在高中阶段，函数不仅贯穿数学课程的始终，而且是学习方程、不等式、数列、导数等内容的工具和基础.在初中，函数定义采用“变量说”，高中阶段要建立函数的“对应关系说”，与初中的“变量说”相比，高中用集合语言与对应关系表述函数概念，明确了定义域、值域，引入抽象符号f(x).函数概念的核心是“对应关系”：两个非空数集A、B间有一种确定的对应关系f，即对于数集A中每一个x，数集B中都有唯一一个确定的y和它对应.基于以上分析，确定本节课的教学重点和难点.二、重、难点分析1.教学重点：用集合语言与对应关系建立函数概念，培养学生的数学抽象素养.2.教学难点：从不同的问题情境中提炼出函数要素，并由此抽象出函数的概念，理解函数的对应关系f.三、教学目标分析1.目标（1）在“变量说”的基础上，理解函数的“对应关系说”；（2）经历函数概念的抽象过程，培养学生的数学抽象素养；（3）从数学模型构成要素的角度认识具体函数，并通过函数的表示，进一步加深对函数概念的认识.2.目标达成（1）学生从具体实例出发，能在初中“变量说”的基础上，进一步抽象对应关系、定义域与值域等三个要素，构建函数的一般概念；（2）学生能在确定变量变化范围的基础上，通过解析式、图象、表格等形式表示对应关系，理解函数对应关系的本质，体会引入符号f表示对应关系的必要性；（3）学生能在不同实例的比较、分析基础上，归纳共性进而抽象出函数概念，体验用数学的眼光看待事物，发展数学抽象素养.四、学情分析由于初中函数的概念是“变量说”定义，学生对这种定义已经很熟悉，应用起来得心应手，受先入为主思想的影响对“对应关系说”定义引入的必要性认识不足，对函数的“对应关系说”定义接受起来多少有一种排斥心理；学生初中对函数的理解仅停留在一些具体函数的层面上，更确切的说是局限于对函数具体解析式的理解，初中数学学习学生重计算、重例题，对抽象的函数概念的理解有一定困难.不过，学生生活中已经积累了丰富的函数的实例素材，这为函数教学做好了准备.从学生的学习习惯上看，学生初入高中自主学习的目的性、主动性还不够，知识的接受基本在课堂，有的学生甚至还不会听课.所以高中数学教学还肩负着教会学生学习的任务.在课堂教学中采用课前预习、引导发现、学生合作交流的教学方法，通过课前预习，实现课堂教学效益的最大化.五、教学方法归纳法教学六、教学过程设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，计划将教学过程设计为六个阶段：（一）引入1.回顾初中学过的函数及其表示（1）一次函数y=ax+b(a ≠0)（2）二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)（3）反比例函数y=xk (k ≠0) 提问：这些函数的共性是什么？如何描述？2.初中函数的概念（变量说）一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，则称y 是x 的函数.[师生活动] 教师提出问题，学生自主回答，教师归纳总结.[设计意图] 让学生再次归纳，复习巩固“变量说”.3.思考：正方形的周长l 与边长x 的对应关系是l=4x ，l 是x 的函数吗？若是，它与正比例函数y=4x 相同吗？你能用已有的函数知识判断y=x 与y=x x 2是否相同吗？[师生活动] 教师提出问题，让学生产生疑惑.[设计意图] 说明学习函数概念的“对应关系说”的必要性.（二）函数概念的构建问题1 阅读教材中的实例1，回答下列问题：(1)这段时间内，列车行进的路程S （单位：km ）与运行时间t （单位：h ）的关系如何表示？这是一个函数吗？为什么？(2)有人说：“根据对应关系S=350t ，这趟列车加速到350km/h 后运行1h 就前进了350km.”这个说法正确吗？为什么？(3)时间t 的变化范围是什么？(4)能根据现有条件回答0.6h 时对应的距离是多少吗？(5)你认为如何描述才能准确反映问题情境？[师生活动] 教师给出问题，学生先思考并将问题的要点写出，然后小组交流，收集并归纳问题的回答要点，教师点评.[设计意图] 问题（1）是为了让学生回顾初中所学函数的概念用“是否满足定义要求”来回答问题；问题（2）（3）（4）是要激发学生认知冲突，发现其中的不严谨；问题（5）是为了让学生关注到t 的变化范围，并尝试用精确的语言表述.问题2 阅读教材中的实例2，回答下列问题：(1)你认为该怎样确定一个工人的每周所得？(2)一个工人的工资w 是他工作天数d 的函数吗？(3)你以仿照问题1对S 与t 的对应关系的精确表示，给出这个问题中w 与d 的对应关系的精确表示吗？(4)问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？[师生活动] 学生阅读题目后，自主回答.[设计意图] 问题（1）是引导学生使用不同的表示方法；问题（3）是让学生模仿问题1的方法给出描述，既让他们熟悉表述方法，又训练抽象概括能力；问题（4）是使学生进一步关注到对于函数而言，解析式与自变量的变化范围都是确定函数的要素.问题3 阅读教材中的实例3，回答下列问题：(1)I是t的函数吗？为什么？①给定t的值，怎么给？（在0~24小时内给定一个时该t）②通过图形能确定唯一的I与t0对应，怎么找？（在横轴上，过t作垂线交曲线于点（t0，I），I就是与t对应的值.）(2)从所给的图中能回答11月24日8:00的AQI值吗？为什么？(3)11月23日这一天AQI的值的变化范围是什么？(4)这是一个函数，有解析式吗？如果让你表示出这个函数，你会怎么做？(5)模仿问题1，你能用准确的集合语言和对应关系描述这个问题情境吗？[师生活动] 给学生适当的时间阅读思考，教师引导学生一起分析上述问题，并归纳出结果.[设计意图] 问题（1）是让学生认可图象表示一个函数；问题（2）再次强调自变量的取值集合；问题（3）让学生意识到函数值构成集合；问题（4）（5）通过教师讲解，给出对应,关系的描述方法，化解难点. 问题4阅读教材中的实例4，回答下列问题：(1)这个表格中，时间的变化范围是什么？能不能用[2006，2015]表示？恩格尔系数的变化范围是什么？(2)由这个表格，恩格尔系数是不是年份的函数？你能说清楚到底是怎么对应的吗？(3)由这个表格，能得到2005年的恩格尔系数吗？(4)这个函数有解析式吗？如果让你表示出这个函数，你会怎么做？(5)模仿问题1，你能用准确的集合语言和对应关系描述这个问题情境吗？[师生活动] 先让学生思考，然后师生一起归纳结果.[设计意图] 与问题3的情况类似，学生对用表格表示的对应关系是否为函数关系的判断存在疑惑，通过问题引导学生思考，教师再作适当讲解，从而使学生接受.问题5上述问题1~问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？[师生活动] （1）给学生充分的思考时间，引导学生重新回顾用集合与对应语言刻画函数的过程，小组合作完成上述表格.（2）教师引导学生得出：①都包含两个非空实数集；②都有一个对应关系；③尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特征：对于数集A中的任意一个x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的y和它对应.（3）归纳得出，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法，为了表示方便，引入符号f统一表示对应关系，进而给出函数的一般性定义.教师解释函数记号y=f(x)，x∈A.[设计意图] 让学生通过归纳四个实例中的函数的共同特征，体会数学抽象过程，概括出用集合对应语言刻画的一般性函数概念.在此过程中，要突破“如何在四个实例基础上让学生进行归纳、概括、抽象函数的概念，并以此培养学生的数学抽象素养”这一难点，突出“在学生初中已有函数的认识基础上，通过实例归纳概括出函数的基本特征（要素），用集合与对应的语言建立函数的概念”这一教学重点.（三）函数概念的理解1.函数的概念：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个函数，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.其中，x 叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集.2.理解：（1）集合A,B及对应关系f是一个整体，函数是两个集合的元素间的一种对应关系；（2）y=f(x)的意义：把对应关系f作用到x就得到一个y；（3）f可以是一个解析式，也可以是一个图象，还可以是一个表格.从图表中可以比较直观地看出x与y之间的对应关系.[师生活动]师生一起归纳出函数的概念，教师再逐一解读.[设计意图]理解函数的概念，培养学生的归纳整理能力.（四）函数概念的初步应用问题6如果让你用函数的定义重新认识一次函数、二次函数与反比例函数，那么你会怎样表述这些函数？随堂练习：教材63页练习1，练习3[师生活动] 在学生思考后，教师用一次函数与二次函数进行示范，学生用反比例函数进行练习，之后让学生独立完成上述表格，最后让学生完成教材63页练习1，练习3，教师进行点评.[设计意图] 用函数定义重新认识已学函数，加深对函数定义的理解，进一步体会定义域，对应关系与值域是函数的三个要素.问题7试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y=x(10-x)来描述.随堂练习：教材64页练习4[师生活动] 在学生思考后，教师以例1进行示范，学生完成教材64页练习4.[设计意图] 让学生在完成例1的过程中，进一步体会函数模型应用的广泛性，加深对函数概念的理解. （五）课堂小结教师引导学生回顾本节课的学习内容，并引导学生回答问题：（1）什么是函数？其三要素是什么？（2）对于对应关系f，你有哪些认识？（3）与初中学习过的函数概念相比，你对函数又有什么新的认识》（4）本节课我们是怎样得到函数概念的？结合本节课的学习，你对如何学习数学又有什么体会？[师生活动] 教师出示问题后，先由学生思考，再由全班交流，最后教师再进行总结，要强调如下几点：（1）函数的定义是判断一个对应关系是不是函数的标准；（2）要通过具体例子理解函数的对应关系f 的特征，特别是对于“A 中任意一个数”“B 中都有唯一 确定的数”等关键词含义要认真体会；（3）对应关系f 的表示形式可以是解析式、图象、表格等多种形式，但它们的实质相同.[设计意图] 引导学生从函数概念的内涵、要素的归纳过程，关键词的理解角度进行小结，进一步加深对函数概念的理解.（六）布置作业1.复习巩固设集合A={x|0≤x ≤6}，B={y|0≤y ≤2}，下列对应关系f:A →B 上从A 到B 的函数的是（ ）A. f:x →y=21xB.f:x →y=31x C.f:x →y=x D.f:x →y=x+1[设计意图]考查学生对函数概念的认识，巩固函数概念.2.综合运用（1）教材73页习题3.1第8题和第11题；（2）试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式22⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=ππx y 来描述. [设计意图]考查学生运用函数概念刻画实际问题的能力. 七、板书设计[设计意图] 强调函数的概念集合对应说中的关键词八、课后反思本节课是在初中的已有知识的基础上对函数从集合对应说这个角度做了一个诠释，引导学生结合实例归纳总结出函数的概念，并会用函数的集合对应说解释一次函数、二次函数和反比例函数.本节课的成功之处是对4个实例的分析，通过对这4个实例的一步步分析，引导学生进一步认识函数、了解函数、掌握函数；而败笔之处是对对应关系的解读不够清楚，学生仍然带有疑惑，对符号y=f(x)没有一个清晰的认识，这一点需要在今后的课堂中加以重视，多次讲解.。
《函数的概念》教学设计
《函数的概念》教学设计人教版《普通高中课程标准实验教科书数学Ⅰ必修本（A 版）》第一章概述：《函数的概念》的教学需要两课时，本节课是第一课时，是一节函数的概念课.如何上好一节概念课，概念不是由老师讲出，而是让学生去发现，并归纳概括出概念呢？从而让学生更好的理解概念，熟练的去应用概念解决问题.在本节课的教学中，我以学生作为活动的主体，创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，大胆探索，从而去发现问题、提出问题和解决问题.注重培养他们的观察、分析和解决问题的能力，培养他们的逻辑思维能力及抽象概括能力.运用新课标的理念，我从以下几个方面加以说明：教材内容分析、教学目标分析、教法学法分析、教学过程分析、教学评价分析【教材内容分析】1.教材的地位及作用函数的概念是人教版数学必修①第一章第二节的内容，它不仅对前面研究的集合作了巩固和发展，而且是学好后继知识的基础和工具．本节的主要内容就是函数的概念和函数的三个要素，研究了本小节后，为以后研究其他类型的函数打下扎实的基础。
由于函数反映出的数学思想渗透到数学的各个领域并且它在物理﹑化学及生物等其他领域也有广泛的应用．因此，函数概念是中学数学最重要的基本概念之一。
2.学情分析在学生研究用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系，且比较惯的用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识。
由于函数的概念比较抽象，学生思维不成熟、不严密，故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力。
【教学目标分析】根据上述教材内容分析，并结合学生的研究心理和认知结构，我将教学目标分成三部分进行说明：知识与技能：1、从集合与对应的观点动身，加深对函数观点的理解2、理解函数的三要素：定义域、值域和对应法则3、理解函数符号的含义。
过程与方法：在丰富的实例中，通过关键词的强调和引导，使学生发现、概括出它们的共同特征，在此基础上再用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。
高一数学教案《函数概念》
高一数学教案《函数概念》高一数学教案《函数概念》作为一名专为他人授业解惑的人民教师，可能需要进行教案编写工作，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。
教案应该怎么写才好呢？下面是店铺为大家收集的高一数学教案《函数概念》，仅供参考，欢迎大家阅读。
高一数学教案《函数概念》1教学目标：使学生理解函数的概念，明确决定函数的三个要素，学会求某些函数的定义域，掌握判定两个函数是否相同的方法;使学生理解静与动的辩证关系.教学重点：函数的概念，函数定义域的求法.教学难点：函数概念的理解.教学过程：Ⅰ.课题导入[师]在初中，我们已经学习了函数的概念，请同学们回忆一下，它是怎样表述的?(几位学生试着表述，之后，教师将学生的回答梳理，再表述或者启示学生将表述补充完整再条理表述).设在一个变化的过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有惟一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.[师]我们学习了函数的概念，并且具体研究了正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，请同学们思考下面两个问题：问题一：y=1(xR)是函数吗?问题二：y=x与y=x2x 是同一个函数吗?(学生思考，很难回答)[师]显然，仅用上述函数概念很难回答这些问题，因此，需要从新的高度来认识函数概念(板书课题).Ⅱ.讲授新课[师]下面我们先看两个非空集合A、B的元素之间的一些对应关系的例子.在(1)中，对应关系是乘2，即对于集合A中的每一个数n，集合B 中都有一个数2n和它对应.在(2)中，对应关系是求平方，即对于集合A中的每一个数m，集合B中都有一个平方数m2和它对应.在(3)中，对应关系是求倒数，即对于集合A中的每一个数x，集合B中都有一个数 1x 和它对应.请同学们观察3个对应，它们分别是怎样形式的对应呢?[生]一对一、二对一、一对一.[师]这3个对应的共同特点是什么呢?[生甲]对于集合A中的任意一个数，按照某种对应关系，集合B中都有惟一的数和它对应.[师]生甲回答的很好，不但找到了3个对应的共同特点，还特别强调了对应关系，事实上，一个集合中的数与另一集合中的数的对应是按照一定的关系对应的，这是不能忽略的. 实际上，函数就是从自变量x的集合到函数值y的集合的一种对应关系.现在我们把函数的概念进一步叙述如下：(板书)设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f︰AB为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，xA其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y(或f(x))值叫做函数值，函数值的集合{y|y=f(x)，xA}叫函数的值域.一次函数f(x)=ax+b(a0)的定义域是R，值域也是R.对于R中的任意一个数x，在R中都有一个数f(x)=ax+b(a0)和它对应.反比例函数f(x)=kx (k0)的定义域是A={x|x0}，值域是B={f(x)|f(x)0}，对于A中的任意一个实数x，在B中都有一个实数f(x)= kx (k0)和它对应.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的定义域是R，值域是当a0时B={f(x)|f(x)4ac-b24a };当a0时，B={f(x)|f(x)4ac-b24a }，它使得R中的任意一个数x与B中的数f(x)=ax2+bx+c(a0)对应.函数概念用集合、对应的语言叙述后，我们就很容易回答前面所提出的两个问题.y=1(xR)是函数，因为对于实数集R中的任何一个数x，按照对应关系函数值是1，在R中y都有惟一确定的值1与它对应，所以说y是x的函数.Y=x与y=x2x 不是同一个函数，因为尽管它们的对应关系一样，但y=x的定义域是R，而y=x2x 的定义域是{x|x0}. 所以y=x与y=x2x 不是同一个函数.[师]理解函数的定义，我们应该注意些什么呢?(教师提出问题，启发、引导学生思考、讨论，并和学生一起归纳、总结)注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.②符号f:AB表示A到B的一个函数，它有三个要素;定义域、值域、对应关系，三者缺一不可.③集合A中数的任意性，集合B中数的惟一性.④f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样.⑤f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积.[师]在研究函数时，除用符号f(x)表示函数外，还常用g(x) 、F(x)、G(x)等符号来表示Ⅲ.例题分析[例1]求下列函数的定义域.(1)f(x)=1x-2 (2)f(x)=3x+2 (3)f(x)=x+1 +12-x分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域.那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合.解：(1)x-20，即x2时，1x-2 有意义这个函数的定义域是{x|x2}(2)3x+20，即x-23 时3x+2 有意义函数y=3x+2 的定义域是[-23 ，+)(3) x+10 x2这个函数的定义域是{x|x{x|x2}=[-1，2)(2，+).注意：函数的定义域可用三种方法表示：不等式、集合、区间.从上例可以看出，当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R;(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合;(3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合;(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集);(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.例如：一矩形的宽为x m，长是宽的2倍，其面积为y=2x2，此函数定义域为x0而不是全体实数.由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定.[师]自变量x在定义域中任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示.例如，函数f(x)=x2+3x+1，当x=2时的函数值是f(2)=22+32+1=11注意：f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值.下面我们来看求函数式的值应该怎样进行呢?[生甲]求函数式的值，严格地说是求函数式中自变量x为某一确定的值时函数式的值，因此，求函数式的值，只要把函数式中的x换为相应确定的数(或字母，或式子)进行计算即可.[师]回答正确，不过要准确地求出函数式的值，计算时万万不可粗心大意噢![生乙]判定两个函数是否相同，就看其定义域或对应关系是否完全一致，完全一致时，这两个函数就相同;不完全一致时，这两个函数就不同.[师]生乙的回答完整吗?[生]完整!(课本上就是如生乙所述那样写的).[师]大家说，判定两个函数是否相同的依据是什么?[生]函数的定义.[师]函数的定义有三个要素：定义域、值域、对应关系，我们判定两个函数是否相同为什么只看两个要素：定义域和对应关系，而不看值域呢?(学生窃窃私语：是啊，函数的三个要素不是缺一不可吗?怎不看值域呢?)(无人回答)[师]同学们预习时还是欠仔细，欠思考!我们做事情，看问题都要多问几个为什么!函数的值域是由什么决定的，不就是由函数的定义域与对应关系决定的吗!关注了函数的定义域与对应关系，三者就全看了!(生恍然大悟，我们怎么就没想到呢?)[例2]求下列函数的值域(1)y=1-2x (xR) (2)y=|x|-1 x{-2，-1，0，1，2}(3)y=x2+4x+3 (-31)分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域.对于(1)(2)可用直接法根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域.对于(3)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即图象法.解：(1)yR(2)y{1，0，-1}(3)画出y=x2+4x+3(-31)的图象，如图所示，当x[-3，1]时，得y[-1，8]Ⅳ.课堂练习课本P24练习17.Ⅴ.课时小结本节课我们学习了函数的定义(包括定义域、值域的概念)、区间的概念及求函数定义域的方法.学习函数定义应注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视.(本小结的内容可由学生自己来归纳) Ⅵ.课后作业课本P28，习题1、2. 文章来高一数学教案《函数概念》2教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：我国xxxx年4月份非典疫情统计：日期222324252627282930新增确诊病例数10610589103113126981521013.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的'有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题1．求函数定义域课本P20例1解：（略）说明：○1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．巩固练习：课本P22第1题2．判断两个函数是否为同一函数课本P21例2解：（略）说明：○1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
中职教材《函数的概念》
《函数的概念》类别公共课设计编号专业名称数学课程名称数学作品题目函数的概念课时1课时教学对象一年级一、教材分析函数思想是整个中职数学最重要的数学思想之一，与方程﹑不等式﹑数列、三角函数、解析几何联系非常密切，而函数概念是函数思想的基础，是初中变量说向中职对应说的发展，函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域，它不仅是进一步学好数学的关键，也是学好会计等专业课的重要基础。
二、学情分析1.从知识层面看：学生在初中储备了一些函数的相关知识，对集合思想的认识也日渐提高，为重新定义函数，从根本上揭示函数的本质提供了知识保证。
2.从思维层面看：通过以前的学习，学生具备了一定的类比分析、推理和概括的数学思维能力，有助于借助问题情境发现解决数学问题。
三、学习目标（一）课前目标：完成导学案，复习回顾初中函数的相关概念，观看微课，为新课学习做好知识储备。
（二）课中目标：1.了解函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，理解函数概念的本质，掌握函数值及定义域的求法；2.能够通过类比迁移、分析，深刻理解函数的三要素；3.培养学生的数学兴趣，提升数学素养，培养学生的实践、协作及创新意识。
（三）课后目标：独立完成课后作业，巩固定义域及函数值的求解方法，根据对函数概念的理解，解决会计专业中的供需模型的本质。
四、教学策略本堂课的特点是概念教学,根据学生的心理特征和认知规律，我主要采用情境式教学，通过设置机器加工的情境，让学生进行类比迁移、讨论探究，寻找和函数概念结构上的相似点，逐个匹配，这刚好也符合结构图映的教学理论，进而教师引导学生归纳、概括出函数概念的本质,加以练习巩固，从而让学生由“被动学会”变成“主动会学”。
这节课以现实情境为主线，讲练结合，合理利用信息化教学手段；融合专业，以更好的发挥学生的主体作用，从而突破重难点。
五、教学资源1.学习环境：多媒体教室；2.课前：博智智慧课堂、微课；3.课中：视频、ppt；4.课后：智慧课堂六、教学活动基本流程教学内容环保塑料垃圾处理机设置四个问题：类比机器处理过程，化问题为数学情境提出问题：1.x、y、f分别与前例的哪个部分进行匹配？2.定义域、值域、对应法则如何与前例进行匹配？3.定义域、对应法则、值域都是函数的要素，为什么课本中只提函数的两要素？塑料类匹配定义域；粉碎、热熔的处理过程匹配对应法则的运算过程；不同燃值的油类物质匹配值域，进而归纳总结出函数三要素的概念及其对应的关系、函数关系实质上是表示两数集的元素之间按照某种法则确定的一种对应关系。
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解析函数的概念探究及其教学特点分析【摘要】文章论述了解析概念的产生，介绍了解析函数研究的背景及其发展过程；细致分析了函数解析的本质，总结了若干解析的等价条件；然后具体剖析了解析概念在课程教学中的重要性；接着指出了现行课程教学中存在的突出问题；最后，针对问题分析了解析函数内容教学的特点并给出了相应的教学建议.
【关键词】复变函数；解析函数；概念探究；教学特点；教学建议
【中图分类号】g642
引言
复变函数论是现行大学本科数学专业的核心课程，主要学习经典的解析函数理论.早在19世纪，有关解析函数的研究就已经形成了非常系统的理论.这一数学分支是19世纪最为独特的创造，几乎统治了整个19世纪，曾被认为是抽象科学中最和谐的理论之一.自其形成以来，一方面，它深刻地渗透到了代数学、解析数论、微分方程、概率统计、计算数学等数学分支；另一方面，它又被广泛地应用于理论物理、弹性理论、流体力学、电学以及天体力学等方面.它和数学其他分支的联系也日益密切.并且，对它的研究还发展出了一些新的数学分支.因而，在大学数学专业的课程学习中，解析函数的理论占有十分重要的地位.
一般而言，在本科阶段该课程包含的主要内容有：解析函数及其性质、复函数的积分理论、解析函数的taylor展式、解析函数
的laurent展式、留数理论、共形映射以及解析延拓等.这些内容都围绕解析函数这个中心概念展开.要学好复变函数理论，弄清解析函数是一个关键.然而，在教学的过程当中，针对学生而言，对于解析函数概念的学习，尤其是对其本质的认识，仍然是一个薄弱的环节.所以，在教学的过程当中，有必要对解析函数的概念在深层次上作一定的剖析和探究，同时对其教学特点作一定的分析和总结.这样一来，有利于教学活动的有效展开，起到事半功倍的作用.
文章首先论述了解析概念的产生，介绍了解析函数研究的背景及其发展过程；其次深刻分析了函数解析的本质，总结了若干解析的等价条件；然后具体剖析了解析概念在课程教学中的重要性；接着指出了现行课程教学中存在的突出问题；最后，针对问题分析了解析函数内容教学的特点并给出了相应的教学建议.
一、解析概念的产生
1.研究的历史
复数以及复变函数的研究是与部分分式积分法，确定复数与复数的对数，保形映射，以及实系数多项式的分解等研究相联系而被引入数学的.
三、解析概念教学的重要性
1.解析概念的地位
解析函数是复变函数论研究的中心对象，因而复变函数论常常又称为解析函数论.解析函数是整个复变函数论最基本最重要的概念.
其重要性体现在：首先，通过解析函数的定义，将复变函数论的中心研究对象作了界定，使课程主题对象明确化.其次，由解析函数论研究的历史，许多相关的数学和实际问题的研究其对应的对象都是解析函数，这在课程中有重要的体现.最后，在课程中，由不同时期关于复变函数的研究得到的结果是由解析这个概念系统
组织在一起的.
2.解析概念的纽带作用
现行大学复变函数论课程的内容因要求不同而有所区别.一般
在本科阶段该课程包含的主要内容有：解析函数及其性质、复函数的积分理论、解析函数的taylor展式、解析函数的laurent展式、留数理论、共形映射以及解析延拓等.如上所言，解析函数是该课程研究的中心对象，而解析又是该课程最基本最重要的概念.实际上，在课程教学中，解析概念还起着关键的纽带作用.
除去复数与复变函数的基本概念外，课程其他部分的内容均围绕解析函数而展开.在讨论复积分时，由函数解析得到著名的柯西积分定理和柯西积分公式等结论；在复级数的讨论中，得到幂级数的解析性和解析函数的级数性质；随后对环状区域内函数的解析与级数展开讨论了条件与性质；在讨论留数理论时，虽然是针对奇点（不解析点），但还是利用去心邻域内函数的解析性；共形映射则从几何的角度讨论解析的性质与应用.所以，课程的各部分内容都是由解析概念联系在一起的.
四、教学中的问题
1.背景知识教学的缺乏
目前，大学数学专业课程的教学中普遍存在概念背景知识教学的缺乏.通常直接给出概念以及公理、引理，接下来，大部分时间在做推理论证.这种教学和学习的方式使学生感到课程枯燥乏味，大大降低了学习效率.复变函数论课程的教学中当然也存在类似问题.
关于解析函数的概念，大多数教材都未给出相应的背景知识，教师教学时也不太重视这个问题.通常是给出定义后，仅将定义本身解释一遍，而如此定义的原因、过程等等却未给出相应的必要说明.如忽视了解析概念的研究的起源、解析函数研究的发展变化以及概念形成的背景等等.致使学生在学习中感到突兀和茫然，对概念没有深刻的体会和把握，只能低效机械地学习.
2.概念本质的强化不够
在通常的课程教学中，对解析概念的本质强化不够.实际上，在学完了解析的概念（定义）后，学生对解析几乎不可能有任何深层的体会.而在稍后几部分重要内容即复函数的积分理论、解析函数的taylor展式、解析函数的laurent展式、留数理论、共形映射以及解析延拓等的学习中，教师和学生又会更加注重于数学逻辑的推导和技巧的锻炼，往往忽视了在这些内容的教学和学习中去深化对“解析”的认识.
这样一来，削弱了学生对解析概念的认识和体会，一定程度上使其降低了对各部分内容关联度的认识，不能从更高的视野下来系
统把握整个课程的内容.
五、教学的特点及建议
1.教学特点分析
由上述对解析概念的剖析探究以及复变函数论课程内容的特点，结合数学教育的内在规律，对于解析概念的教学，总结如下几个特点：
（1）背景知识的教学，如研究的起源、发展、形成等对于解析概念的教学是必要的.恰当的背景知识的引入会使学生更为自然和轻松地接受概念，并且对知识的发展会有一定的历史的把握.
（2）解析概念对应的实际意义，如映射的保形性、场的无源无旋性等内容的教学对加深学生在概念理解和接受上有很大的作用.它会在一定程度上将概念形象化，使学生易于接受.
（3）解析概念在整个复变函数论课程各部分内容的教学中具有纽带作用，充分发挥并适时强化这一纽带作用有利于学生对课程内容的全面把握.
（4）解析及其性质与实函数的对比在教学上有利于深化学生对解析概念的理解.函数的解析特性导致复函数在性质上与一元实函数有本质差异，在教学中特意比较这种差异有利于学生深刻领会解析的含义.
（5）解析的多种不同等价形式也有利于学生对概念的理解和掌握.熟悉并领会多种不同的等价形式不仅有助于理解概念，还有助于对整体内容的把握.
2.相应的教学建议
基于现行大学复变函数论课程的教学要求，根据上述解析函数概念的特征，结合教学过程中的典型问题以及解析概念教学的特点分析，对复变函数论课程中解析函数概念的教学给出如下建议：（1）选取恰当的教材以及教学参考书，有目的和针对性地在教学过程中增强关于解析概念背景知识的教学.同时注重对解析给予恰当的实际解释.一句话，就是要使解析这个概念在教学中不要太抽象.
（2）充分发挥解析概念在复变函数论课程中的纽带作用.通过总结、展示各种不同形式的解析等价条件，强化学生对解析概念的理解.同时加强学生对整体内容的全面把握.
（3）在教学过程中，重视解析函数与一元实函数在性质上的比较.可引导学生通过比较二者的性质差异性，深化学生对解析内涵的认识.
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