函数及其表格示 知识点与题型归纳

●高考明方向1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单地应用.★备考知考情从近三年的高考试题看，函数的表示方法多以选择题、填空题形式出现，高考命题仍将集中在理解函数的概念，会求一些简单函数的定义域，而且经常与其他知识结合考查，如解不等式、能够利用解析式求函数值，并且多以分段函数形式给出.函数的图象主要体现在选择与填空题中用数形结合法解题和识图能力，大题常在应用题中给出图象求解析式．一、知识梳理《名师一号》P10知识点一函数的基本概念1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．从映射的角度看，函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射．温馨提示：(1)A、B都是非空数集，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在．(2)函数关系的判断要注意“每一个”、“都有”、“唯一”等关键词．(3)注意f(x)与f(a)的区别，f(a)表示当x＝a时的函数值，是一个常量；而f(x)是关于x的函数，一般情况下是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．2、函数的构成要素：定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．3、函数的表示法有：解析法、列表法、图像法知识点二映射映射的概念：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B .（补充）象和原象：给定一个集合A 到B 的映射，且a ∈A ，b ∈B ，如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．注意：《名师一号》P11 问题探究 问题2函数与映射的区别与联系(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合A 与集合B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射；(2)映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，若A ，B 不是数集，则这个映射便不是函数．知识点三 分段函数若函数在其定义域，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．（补充）复合函数()()=y f g x二、例题分析：（一) 映射与函数的概念例1．（1）(补充)（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；（2）*{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2:22f x y x x →=-+；（3）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y x →=±． 上述三个对应 是A 到B 的映射．答案：（2）注意：(补充)判断对应是否为映射，即看A 中元素是否满足“每元有像”且“像唯一”；即要注意：①允许一对一、多对一，但不允许一对多；②B 中元素可有剩余（即允许B 中有的元素没有原象）.例1．（2）(补充)点(),a b 在映射f 的作用下的象是(),a b a b -+，则在映射f 的作用下点()3,1的原象是答案：()2,1-例2.《名师一号》P11 高频考点 例1有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎨⎧1 x ≥0－1 x <0表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．答案: ②③.解析：对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎨⎧1 x ≥0，－1 x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.注意：《名师一号》P11 高频考点 例1 规律方法 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数，值得注意的是，函数的对应关系是就效果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．简而言之1、函数是一类特殊的映射，是由一个非空数集到另一个 非空数集的映射。

:f x y →是一对一或多对一2、函数的三要素（定义域、值域、对应法则）可简化为两要素（定义域、对应法则）练习：《名师一号》P10 对点自测1---图像练习：温故知新P11 第9题解析式为2=y x ，值域为{}1,4的函数共有 个。

答案：9（二）求函数解析式例1. （1）《名师一号》P11 高频考点 例2(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式．解析：(1)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)．注意：《名师一号》P11 高频考点 例2 规律方法求函数解析式常用以下解法：(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式．例1. （2）《名师一号》P11 高频考点 例2(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )；解析：(2)令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1， ∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1. 注意：《名师一号》P11 高频考点 例2 规律方法求函数解析式常用以下解法：(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值围．例1. （3）《名师一号》P11 高频考点 例2(3)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )；解析：(3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2， 得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1.∴⎩⎨⎧ 2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.注意：《名师一号》P11 高频考点 例2 规律方法求函数解析式常用以下解法：(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)可用待定系数法．（补充）（1） 一次函数解析式：()()0f x kx b k =+≠（2） 二次函数解析式：① 一般式：()2()0f x ax bx c a =++≠ ② 顶点式：()()2()0f x a x h k a =-+≠(顶点为(),h k )③ 两根式：()()()12()0f x a x x x x a =--≠（12x x 、为相应方程()0f x =的两根）例1. （4）《名师一号》P11 高频考点 例2(4)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )．解析：(4)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ f x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，得f (x )＝23x －x 3(x ≠0)． 注意：《名师一号》P11 高频考点 例2 规律方法求函数解析式常用以下解法：(4)方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．例1. （5）（补充）已知函数f (x )满足f (0)＝1，f (a －b )＝f (a )－b (2a －b ＋1)(a 、b ∈R)，求f (x )．解析：解法1：令a ＝0，则f (－b )＝f (0)－b (－b ＋1)＝1＋b (b －1)＝b 2－b ＋1，再令－b ＝x 得，f(x)＝x2＋x＋1.解法2：令b＝a，则1＝f(0)＝f(a)－a(2a－a＋1)＝f(a)－a(a＋1)，∴f(a)＝a(a＋1)＋1＝a2＋a＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.注意：（补充）求函数解析式常用以下解法：赋值法此类解法的依据是：如果一个函数关系式中的变量对某个围的一切值都成立，则对该围的某些特殊值必成立，结合题设条件的结构特点，给变量适当取值，从而使问题简单化，具体化，从而获解。

（三)分段函数、复合函数例1.（1）《名师一号》P11 对点自测4已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出则f[g(1)]满足f [g (x )]＞g [f (x )]的x 的值是__________．解析 f [g (1)]＝f (3)＝1. x 1 2 3f [g (x )] 1 3 1g [f (x )] 3 1 3故f [g (x例1.（2）《名师一号》P11 对点自测6(2014·卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值围是________．解析 由题意得⎩⎨⎧f a <0，f 2a ＋f a ≤2，或⎩⎨⎧ f a ≥0，－f 2a ≤2，解得f (a )≥－2.由⎩⎨⎧ a <0，a 2＋a ≥－2，或⎩⎨⎧ a ≥0，－a 2≥－2，解得a ≤ 2.例2.《名师一号》P12 高频考点 例3(2014·卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0， 则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)A 项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π22＋1＝π2＋44，显然f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，所以函数f (x )不是偶函数，排除A. B 项，当x >0时，函数f (x )单调递增，而f (x )＝cos x在区间(－2π，－π)上单调递减，故函数f (x )不是增函数，排除B.C 项，当x >0时，f (x )＝x 2＋1，对任意的非零实数T ，f (x ＋T )＝f (x )均不成立，故该函数不是周期函数，排除C.D 项，当x >0时，f (x )＝x 2＋1>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x∈[－1，1]．故函数f(x)的值域为[－1,1]∪(1，＋∞)，即[－1，＋∞)，所以该项正确，选D.注意：《名师一号》P12 高频考点例3 规律方法(1)处理分段函数问题时，首先要明确自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应关系，代入求解．(2)如果分段函数中每一段上的解析式都是我们常见的基本初等函数，通常可以将这个分段函数的图象画出来，然后结合图象解决一些函数单调性问题、函数零点个数的判断问题、参数取值围的讨论等问题．例3《名师一号》P12 特色专题典例设x≥0时，f(x)＝2；x<0时，f(x)＝1，又规定：()()()() 3122---=>f x f xg x x，试写出y＝g(x)的表达式，并画出其图象．【规解答】对于x>0的不同区间，讨论x－1与x －2的符号可求出g(x)的表达式．当0<x <1时，x －1<0，x －2<0， ∴g (x )＝3－12＝1； 当1≤x <2时，x －1≥0，x －2<0，∴g (x )＝6－12＝52； 当x ≥2时，x －1>0，x －2≥0，∴g (x )＝6－22＝2. 故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 0<x <1，52 1≤x <2，2 x ≥2.其图象如下图．注意：分段函数意义理解不清致误【易错分析】①对函数的对应法则不理解，误认为f(x－1)＝f(x－2)＝2，虽然都是x>0但已知函数y＝f(x)，x是作为对应法则f下的自变量，而函数y＝f(x－1)是复合函数，对应法则f不是直接作用于x，而是作用于x－1只有x≥1时，x－1≥0，此时f(x－1)＝2才成立．②不理解分段函数的概念，不会对x－1，x－2的符号进行讨论或讨论时易遗漏1≤x<2这种情况．③忽视分段函数中每一段自变量取值围端点处等号是否取得，表现在图象上为端点的虚实与衔接，如x＝1和x ＝2时对应的两点不能同时为实点，否则x与y的对应是一对二，不是映射也就构不成函数关系了，另本题中已知条件x>0也是容易忽视的．【名师点评】对于分段函数问题是高考的热点，在解决分段函数问题时，要注意自变量的限制条件．课后作业计时双基练P213 基础1-11、培优1-4课本P11-12变式思考1、2、3；对应训练1、2、3预习 第二章 第二节 函数的定义域与值域补充：练习1：已知2(21)465f x x x +=-+，求()f x 。