函数的基本概念梳理以及题型.doc
第二章 2.1函数
1．函数的基本概念 (1)函数的定义设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . (2)函数的定义域、值域函数y ＝f (x )，x ∈A 中，自变量取值的范围(数集A )叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合{y |y ＝f (x )，x ∈A }叫做这个函数的值域．(3)确定一个函数的两个要素：定义域和对应法则． 2．常见函数定义域的求法类型 x 满足的条件 2nf (x )，n ∈N ＋f (x )≥0 1f (x )与[f (x )]0 f (x )≠0 log a f (x )(a >0，a ≠1)f (x )>0log f (x )g (x ) f (x )>0，且f (x )≠1，g (x )>0tan f (x )f (x )≠k π＋π2，k ∈Z3.求函数解析式常用方法有：待定系数法、换元法、配凑法、解方程组法． 4．函数的表示法(1)函数的常用表示方法：列表法、图象法、解析法．(2)分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( × ) (2)映射是特殊的函数．( × )(3)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × ) (4)函数f (x )＝x 2＋3＋1的值域是{y |y ≥1}．( × )(5)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点最多有1个．( √ )1．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x答案 C解析 将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等． 对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )； 对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )； 对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )； 对于D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )，所以选C. 2．函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析 要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x >0，(log 2x )2－1>0，解得x >2或0<x <12.故f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)． 3．(2015·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x ＜1，2x －1， x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)等于( )A ．3B ．6C ．9D ．12 答案 C解析 因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 212×2－1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C.4．(教材改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 A 中函数定义域不是[－2,2]，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是[0,2]，故选B. 5．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合． 其中真命题的序号有________． 答案 ①②解析 对于①，函数是映射，但映射不一定是函数；对于②，f (x )是定义域为{2}，值域为{0}的函数；对于③，函数y ＝2x (x ∈N )的图象不是一条直线；对于④，函数的定义域和值域不一定是无限集合.题型一 函数的概念 例1 有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， (x ≥0)，－1， (x <0)表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________． 答案 ②③解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， (x ≥0)，－1， (x <0)的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.思维升华 函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定；当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)．(1)下列四组函数中，表示同一函数的是( )A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100(2)下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 (1)D (2)B解析 (1)A 中两函数对应法则不同；B 、C 中的函数定义域不同，答案选D.(2)①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象，故选B. 题型二 函数的定义域命题点1 求给定函数解析式的定义域 例2 (1)函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1] (2)函数f (x )＝lg (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)答案 (1)A (2)C解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ≥0，x ＋3>0，解得－3<x ≤0，所以函数f (x )的定义域为(－3,0]，故选A.(2)要使函数f (x )＝lg (x ＋1)x －1有意义，需满足x ＋1>0且x －1≠0，得x >－1，且x ≠1，故选C.命题点2 求抽象函数的定义域例3 (1)若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 016]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[0,2 015]B ．[0,1)∪(1,2 015]C ．(1,2 016]D ．[－1,1)∪(1,2 015](2)若函数f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则f (lg x )的定义域为( ) A ．[－1,1] B ．[1,2] C ．[10,100] D ．[0，lg 2]答案 (1)B (2)C解析 (1)令t ＝x ＋1，则由已知函数的定义域为[1，2 016]，可知1≤t ≤2 016.要使函数f (x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2 016，解得0≤x ≤2 015，故函数f (x ＋1)的定义域为[0,2 015]．所以使函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2 015，x －1≠0，解得0≤x <1或1<x ≤2 015.故函数g (x )的定义域为[0,1)∪(1,2 015]．故选B.(2)因为f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x ≤1，故0≤x 2≤1，所以1≤x 2＋1≤2.因为f (x 2＋1)与f (lg x )是同一个对应法则，所以1≤lg x ≤2，即10≤x ≤100，所以函数f (lg x )的定义域为[10,100]．故选C. 命题点3 已知定义域求参数范围例4 若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 答案 [－1,0]解析 因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. 思维升华 简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数①无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x 的取值集合； ②对应f 下的范围一致．(3)已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式(组)，进而求范围．(1)已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)的定义域是________．(2)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为____________________________________．答案 (1)[12，32] (2)(－1,1)解析 (1)因为函数f (x )的定义域是[0,2]，所以函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)中的自变量x 需要满足⎩⎨⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，解得12≤x ≤32，所以函数g (x )的定义域是[12，32]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，得－1<x <1.题型三 求函数解析式例5 (1)已知f (2x＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x )·x －1，则f (x )＝________.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)2x ＋7 (3)23x ＋13解析 (1)(换元法)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (2)(待定系数法) 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7， ∴f (x )＝2x ＋7. (3)(解方程组法)在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x 代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x－1，将f (1x )＝2f (x )x －1代入f (x )＝2f (1x )x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)解方程组法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝__________________. 答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－12x (x ＋1)(3)23lg(x ＋1)＋13lg(1－x ) (－1<x <1) 解析 (1)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1. 代入f (x ＋1)＝x ＋2x ， 得f (t )＝t 2－1(t ≥1)， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1， 由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1)．(3)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．2．分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．(2)(2015·山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．[1, ＋∞)解析 (1)当x <1时，e x －1≤2，解得x ≤1＋ln 2， ∴x <1.当x ≥1时，x 13≤2，解得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]．(2)由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.答案 (1)(－∞，8] (2)C温馨提醒 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式代入求解． (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围． (3)当自变量含参数或范围不确定时，要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论．[方法与技巧]1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应法则是否相同． 2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行． 3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、解方程组法． 4．分段函数问题要分段求解． [失误与防范]1．复合函数f [g (x )]的定义域也是解析式中x 的范围，不要和f (x )的定义域相混．2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．A 组 专项基础训练 (时间：25分钟)一、选择题1．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2 C ．f (x )＝x 2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x 答案 C解析 在A 中，定义域不同，在B 中，解析式不同，在D 中，定义域不同．2．已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∪(∁R N )等于( ) A ．{x |x <1} B ．{x |x ≥1} C ．∅ D ．{x |－1≤x <1}答案 A解析 M ＝(－1,1)，N ＝(－1，＋∞)，故M ∪(∁R N )＝{x |x <1}，故选A.3．已知f (x )为偶函数，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝⎛⎭⎫－π3＋f (4)等于( )A ．－3＋2B ．1C ．3 D.3＋2 答案 D解析 因为f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin π3＝3， f (4)＝log 24＝2，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＋f (4)＝3＋2. 4．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x答案 B解析 (待定系数法)设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x ，选B.5．已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝log 2xB ．f (x )＝－log 2xC ．f (x )＝2－x D ．f (x )＝x －2答案 B解析 根据题意知x >0，所以f (1x )＝log 2x ，则f (x )＝log 21x ＝－log 2x .二、填空题6．已知函数f (x )＝log 21x ＋1，f (a )＝3，则a ＝________.答案 －78解析 由题意可得log 21a ＋1＝3，所以1a ＋1＝23，解得a ＝－78.7．已知函数y ＝f (2x )的定义域为[－1,1]，则y ＝f (log 2x )的定义域是________． 答案 [2，4]解析 ∵函数f (2x )的定义域为[－1,1]， ∴－1≤x ≤1，∴12≤2x ≤2.∴在函数y ＝f (log 2x )中，12≤log 2x ≤2，∴2≤x ≤4.8．(2015·浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3解析 ∵f (－3)＝lg [(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3.三、解答题9．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .10．根据如图所示的函数y ＝f (x )的图象，写出函数的解析式．解 当－3≤x <－1时，函数y ＝f (x )的图象是一条线段(右端点除外)，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f (x )＝－32x －72； 当－1≤x <1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)，将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得f (x )＝32x －12； 当1≤x <2时，f (x )＝1.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32x －72，－3≤x <－1，32x －12，－1≤x <1，1，1≤x <2.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________． 答案 [0,3)解析 因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ， 所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点．当a ＝0时，函数y ＝13的图象与x 轴无交点； 当a ≠0时，则Δ＝(2a )2－4·3a <0，解得0<a <3.综上所述，a 的取值范围是[0,3)．12．若函数f (x )＝x 2－1x 2＋1，则 (1)f (2)f (12)＝________； (2)f (3)＋f (4)＋…＋f (2 017)＋f (13)＋f (14)＋…＋f (12 017)＝________. 答案 (1)－1 (2)0解析 (1)∵f (x )＋f (1x )＝x 2－1x 2＋1＋1－x 21＋x 2＝0， ∴f (x )f (1x )＝－1(x ≠±1)，∴f (2)f (12)＝－1. (2)∵f (3)＋f (13)＝0，f (4)＋f (14)＝0，…， f (2 017)＋f (12 017)＝0，∴f (3)＋f (4)＋…＋f (2 017)＋f (13)＋…＋f (12 017)＝0. 13．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ]，(a ，b ∈Z )，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有________个．答案 5解析 由0≤4|x |＋2－1≤1，即1≤4|x |＋2≤2，得0≤|x |≤2，满足条件的整数数对有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)，共5个．14．具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________．答案 ①③解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足； 对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x>1， 即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.15．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解(1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价．(3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．。
6函数的概念、定义域、值域求法-教师版.doc
教学内容概要教学内容【知识精讲】一、函数的概念1、函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系/,使对于集合A 中的任意一个数x,在集合3中都有唯一确定的数/(兀)和它对应，那么就称f:A^B为从集合A到集合B 的一个函数。
记作：y = /(X),XG A O其中，兀叫做自变量，兀的取值范围A叫做函数的定义域；与X的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{/(X)|XG A}叫做函数的值域。
2、函数的三要素分别指函数的定义域、值域、对应法则；当两个函数的定义域、对应法则分別相同时,那么这两个函数是同一函数。
3、函数的表示方法一般有解析法、列表法、图像法当图像满足和= 的图像最多只有一个交点时才可作为函数图像。
分段函数：在用解析法表示函数的吋候，往往在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而用几个式子来表示的函数即分段函数。
分段函数是一个函数，而不是几个函数。
在解决问题过程中，要处理好整体与局部的关系。
4、函数的运算：对于两个函数y = ./'(兀X XW DJ，y = ^(xX^e D2),设D = D}r\D2^(j)把函数/(x)+g(x)(x w Q)叫做函数『=/(xXx e £>!)与『=£(疋)(兀丘》2)的和函数把函数/(x)g(x)(xw D)叫做函数丿=/(X X A:e £>!)与y = g(xXxw£>2)的积函数6、复合函数：对于两个函数y = /(%X x w D), y = g(x)(兀w 2)，若满足<?(兀)w 9的x的取值范围为E,设D= Er>D2^(/),把函数y = /(g(x))叫做函数y = f(x\x G £>,),y = 兀w»2)的复合函数，兀是复合函数y = /(g(兀))的自变量,定义域为D，g(x)叫做内函数，/(x)叫做外函数。
高一数学函数的基本性质知识点梳理
高一数学函数的基本性质知识点梳理1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作： y=fx，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{fx| x∈A }叫做函数的值域.注意：如果只给出解析式y=fx，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合; 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.定义域补充能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：1 分式的分母不等于零;2 偶次方根的被开方数不小于零;3 对数式的真数必须大于零;4 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.5 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 . 那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 .6指数为零底不可以等于零2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等或为同一函数2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①表达式相同;②定义域一致两点必须同时具备值域补充1 、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 .2 . 应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础 . 3 . 求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等 .3. 函数图象知识归纳1 定义：在平面直角坐标系中，以函数y=fx , x ∈A中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 Px ， y 的集合 C ，叫做函数 y=f x,x ∈A的图象.C 上每一点的坐标 x ， y 均满足函数关系 y=fx ，反过来，以满足 y=fx 的每一组有序实数对 x 、 y 为坐标的点 x ， y ，均在 C 上 . 即记为 C={ Px,y | y= fx , x ∈A }图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线或直线 , 也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成 .2 画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以 x,y 为坐标在坐标系内描出相应的点 Px, y ，最后用平滑的曲线将这些点连接起来 .B、图象变换法请参考必修4三角函数常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换3 作用：1 、直观的看出函数的性质;2 、利用数形结合的方法分析解题的思路。
函数的概念知识点总结
函数的概念知识点总结(含例题和答案)(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--函数的概念总结一、知识梳理1．映射的概念：设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为，f 表示对应法则注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
2．函数的概念(1)函数的定义：设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则(3)函数的定义域、值域：在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。
3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
二、考点分析考点1：映射的概念例1．（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；（2）*{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2:22f x y x x →=-+；（3）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →=上述三个对应是A 到B 的映射．B A 、f A B A B B A f →:B A 、f A x B A B A x x f y ∈=),(A x x f y ∈=),(x x A )(x f y =x y {}A x x f ∈)()(x f y =例2．若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有个，B 到A 的映射有个，A 到B 的函数有个例3．设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是（）()A 8个()B 12个()C 16个()D 18个答案：1.（2）；2．81,64,81；3.D考点2：判断两函数是否为同一个函数方法总结：看化简后的表达式定义域值域是否完全一样。
中考数学函数知识点复习资料归纳
中考数学函数知识点复习资料归纳数学函数是中考数学中非常重要的一个知识点，也是许多学生感到困难的一个难点。
本文将梳理和总结中考数学函数知识点的基础概念、性质、图像、题型，为大家提供一份复习资料归纳，帮助大家举一反三，打好数学函数这个重要难点。
一、基本概念1. 函数的定义简单来说，函数是一种将自变量与因变量对应起来的规律。
具体来讲，函数f是集合A到集合B的一种映射，它将集合A中的每个元素x映射到集合B中的一个唯一确定的元素y。
通常用f(x)表示。
2. 定义域、值域和坐标轴定义域是指函数自变量可以取的全部实数值的集合。
值域是指函数因变量可以取的全部实数值的集合。
常用R表示实数集合。
坐标轴有两个，横坐标轴称为x轴，纵坐标轴称为y轴，坐标系是由x轴和y轴组成的。
3. 基本函数基本函数是函数的最基础的形式，学习基本函数能够更好地理解其他函数。
基本函数有：常函数，一次函数，二次函数，指数函数，对数函数。
二、函数性质1. 函数的奇偶性若对于定义域内任何实数x，有f(-x)=f(x)，则函数f称为偶函数；若对于定义域内任何实数x，有f(-x)=-f(x)，则函数f称为奇函数；若函数f既不是偶函数，也不是奇函数，则称f为既非偶函数也非奇函数的函数。
2. 函数的单调性设函数f在[a,b]上可导，若在[a,b]上f(x)>0，则f单调递增；若在[a,b]上f(x)<0，则f单调递减。
3. 函数的周期性设T>0，如果对于定义域内任何实数x，均有f(x+T)=f(x)，则函数f称为周期为T的函数。
三、函数的图像1. 常函数图像常函数的图像是一条平行于x轴的一条直线，方程为f(x)=a（a为常数）。
2. 一次函数图像一次函数的图像是一条经过原点的斜率为k的直线，方程为f(x)=kx。
3. 二次函数图像二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线（又称U 型曲线或n型曲线），方程为f(x)=ax²+bx+c（a≠0）。
函数题型总结
函数题型总结函数题是高中数学中常见的一种题型，也是相对较难的一种题型。
函数题考察的是学生对函数的理解和运用能力，需要掌握函数的基本概念、性质以及函数的应用。
函数题主要分为以下几种类型：1. 函数的定义与性质题：这类题目要求学生根据给定的函数定义或性质，判断函数的取值范围、单调性等性质，或者求函数值、函数的表达式等。
例题1：已知函数$f(x)=2x^2-3x+1$，求函数的零点。
解析：零点即函数取值为0的点，即$f(x)=2x^2-3x+1=0$。
将方程化简，得到$x=\frac{1}{2}$。
所以函数的零点为$\left\{\frac{1}{2}\right\}$。
2. 函数的图象题：这类题目要求学生根据函数的解析式或性质，画出函数的图象或根据图象，判断函数的性质。
例题2：画出函数$f(x)=x^2$的图象。
解析：首先确定图象的范围，然后确定坐标轴的刻度，根据函数的解析式，计算各个点的函数值，最后连接这些点，即可得到函数的图象。
函数$f(x)=x^2$的图象是一个抛物线，开口朝上，顶点在原点(0,0)处。
3. 函数的求最值题：这类题目要求学生根据函数的解析式或性质，求函数的最大值或最小值。
例题3：已知函数$f(x)=x^2-2x+3$，求函数的最小值。
解析：对于二次函数$f(x)=x^2-2x+3$，可以通过求导数的方法得到临界点。
首先求导得到$f'(x)=2x-2$，令导数为0，得到$x=1$。
再代入函数中计算最小值：$f(1)=(1)^2-2(1)+3=2$。
所以函数的最小值为2。
4. 函数的复合题：这类题目要求学生根据已知的函数关系，求出复合函数的表达式。
例题4：已知函数$f(x)=x+3$，$g(x)=2x-1$，求复合函数$(f\circ g)(x)$。
解析：复合函数$(f\circ g)(x)$表示先计算$g(x)$的值，再将$g(x)$的值代入$f(x)$中。
所以$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(2x-1)=(2x-1)+3=2x+2$。
专题05 函数 5.1函数的三要素 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(原卷版)
专题四《函数》讲义5.1函数的三要素知识梳理.函数的概念1．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的三种表示法解析法图象法列表法就是把变量x，y之间的关系用一个关系式y＝f(x)来表示，通过关系式可以由x的值求出y的值.就是把x，y之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量x，y的值.就是将变量x，y的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．题型一.定义域考点1.具体函数定义域1．函数f（x）＝（1﹣）−12+（2x﹣1）0的定义域是（）A．（﹣∞，1]B．（−∞，12）∪（12，1）C．（﹣∞，1）D．(12，1)2．函数op=M，g（x）＝ln（x2+3x+2）的定义域为N，则M∪∁R N＝A．[﹣2，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，+∞）D．（﹣∞，1）考点2.抽象函数定义域3．若函数f（3﹣2x）的定义域为[﹣1，2]，则函数f（x）的定义域是．4．函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，2]，则函数y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为（）A．[﹣1，3]B．[0，2]C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]考点3.已知定义域求参5．已知函数f（x）＝lg（ax2+3x+2）的定义域为R，则实数a的取值范围是．6．若函数f（x）＝（2a2+5a+3）x2+（a+1）x﹣1的定义域、值域都为R，则实数a满足（）A．a＝﹣1或a=−32B．−139＜＜−1C．a≠﹣1或a≠−32D．a=−32题型二.解析式考点1.待定系数法1．已知函数f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝9x+4，求函数f（x）的解析式．2．已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝2x，则f（x）的解析式是．考点2.换元法3．已知o−1)=−2，则函数f（x）的解析式为．4．已知f（1−1+）=1−21+2，求f（x）的解析式．考点3.凑配法5．（1）已知f（1）=1−2，求f（x）的解析式；（2）已知f（x+1）＝x2+12，求f（x）．6．已知f（3x）＝4x log23+10，则f（2）+f（4）+f（8）+…+f（210）的值等于．考点4.方程组法7．已知函数f（x）满足f（x）+2f（﹣x）＝3x，则f（1）＝．8．已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f（x）+g（x）＝2•3x，则函数f（x）＝．考点5.求谁设谁9．已知函数f（x）为奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝log2x，（1）求f（x）的解析式；（2）当f（x）＞0时．求x的取值范围．10．定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x2﹣x，则当x∈（﹣1，0]时，f（x）的值域为（）A．[−18，0]B．[−14，0]C．[−18，−14]D．[0，14]考点6.利用对称求解析式11．下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（）A．y＝ln（1﹣x）B．y＝ln（2﹣x）C．y＝ln（1+x）D．y＝ln（2+x）12．设函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）＝1，则a＝（）A．﹣1B．1C．2D．4题型三.值域考点1.利用单调性求值域1．下列函数中，与函数op=(15)的定义域和值域都相同的是（）A．y＝x2+2x，x＞0B．y＝|x+1|C．y＝10﹣x D．=+12．已知函数f（x）＝log3（x﹣2）的定义域为A，则函数g（x）＝（12）2﹣x（x∈A）的值域为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（1，+∞）考点2.换元法3．函数=2+41−的值域为（）A．（﹣∞，﹣4]B．（﹣∞，4]C．[0，+∞）D．[2，+∞）4．函数f（x）＝log2（x2﹣2x+3）的值域为（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．R D．[2，+∞）考点3.分离常数5．函数=2r1r1在x∈[0，+∞）上的值域是．6．已知函数op=2+4，则该函数在（1，3]上的值域是（）A．[4，5）B．（4，5）C．[133，5)D．[133，5] 7．函数=2+2r2r1的值域是．8．下列求函数值域正确的是（）A．函数=5K14r2，x∈[﹣3，﹣1]的值域是{U≠54}B．函数=2−3r1的值域是{U≤−1，≥−15}C．函数=sB+1K2，∈[2，2)∪(2，p的值域是{U≤4K4，≥1K2} D．函数=+1−2的值域是{U−1≤≤2}课后作业.函数的三要素1．函数op=−2+9+10−2B(K1)的定义域为（）A．[1，10]B．[1，2）∪（2，10]C．（1，10]D．（1，2）∪（2，10]2．已知函数f（x）=l2，＞03，＜0，则no14)]的值为（）A．19B．13C．﹣2D．3 3．已知o p=2−2，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）＝x4﹣2x2（x≥0）B．f（x）＝x4﹣2x2C．op=−2o≥0)D．op=−24．已知函数f（x）满足2f（x﹣1）+f（1﹣x）＝2x﹣1，求：f（x）解析式．5．已知f（x）=(1−2p+3o＜1)Bo≥1)的值域为R，那么a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，12）C．[﹣1，12）D．（0，1）6．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值设f（x）＝min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为．。
高一数学函数题型及解题技巧总结
高一数学函数题型及解题技巧总结一、基本概念函数是数学中非常重要的概念，它描述了输入和输出之间的关系。
在高中数学课程中，函数是一个重要的内容，学生需要掌握函数的基本概念以及相关的解题技巧。
1.1函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个或多个输入值映射到一个输出值。
数学上通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数可以用一个公式、一个图象、一个表格或者一段描述来表示。
1.2函数的分类函数可以根据其性质进行分类，常见的函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
每种函数都有其特定的表达式和性质。
1.3函数的性质函数有很多性质，例如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。
学生需要了解这些性质，以便在解题中灵活运用。
二、题型及解题技巧在高一数学中，关于函数的题型多种多样，接下来我们将针对常见的函数题型及解题技巧进行总结。
2.1函数的图象和性质这种题型要求学生根据函数的表达式画出函数的图象，并分析其性质。
解题时，学生需要掌握函数的图象特征，如开口方向、交点、极值点等，可以通过计算一阶导数和二阶导数来判断函数的单调性和凹凸性。
2.2函数的定义域和值域在这类题型中，学生需要根据函数的表达式确定其定义域和值域。
解题时，可以通过分析函数的分式和根式部分来确定函数的定义域和值域，需要注意的是，对于分式函数，分母不能为0。
2.3函数的性质和变化这类题型要求学生根据函数的表达式和图象，分析其性质和变化规律。
解题时，学生可以通过变换函数的参数来研究函数的性质和图象的变化。
2.4函数的应用函数在实际问题中有着广泛的应用，如匀速运动、生长模型、利润最大化等。
在解决这类问题时，学生需要将实际问题转化为数学模型，并根据函数的性质来解决问题。
2.5函数的求值与方程这类题型包括函数值的计算和方程的解法。
解题时，学生需要根据函数的表达式和条件，求出函数的值或解出方程。
在解决方程时，可以通过化简、配方、倒代入等方法来得到解。
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⑴函数的定义①传统定义：在某一个变化的过程中，有两个变量兀和y,如果对于在某一个范围内的任意一个x的值，都有唯一的值y与之对应，则称y是兀的函数。
②现代定义：设A、B是两个非空数集，如杲按照某个确定的对应关系/,使对于集合A屮任意一个数尢，在集合B屮都有唯一一个数/(x)和它对应，那么就称A T B为从集合A到集合B 中的一个函数，记作J =/(X)(XG A)其中兀叫做自变量，兀的取值集合A叫做函数的定义域；与兀的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{/(X)\XE A}叫做函数的值域。
⑵函数的理解：①A、B都是非空数集(也就是限定了范围)，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在②若y = f(x)是从集合A到集合B的函数，则应紧扣它的“任意性”和“唯一性”，即“任意性”一一对于A中的任意一个数X；“唯一性”一一在集合B中的都有唯一的确定的数/(兀)和它对应(还应该注意它的方向性、确定性)③在现代定义域中B不一定是，函数的值域，如函数y = x2+l可以称为实数集到实数集的函数。
④对应关系、定义域、值域是函数的三要素，缺一不可。
英中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系已经确定，则值域也就确定了。
探究：若y = f(x)是从A到B的函数，则集合A、B分别是函数的定义域与值域么？A定是值域，B可以是也可以不是，若函数y = f(x)的值域为C,则C是B的非空子集⑶函数符号/(兀)的含义：/(兀)表示一个整体，一个函数。
而记号“厂可以看做是对“兀” 施加的某种法则(或运算)，女U/(x) = x2-2x4-3 o当x = 2吋，课看做是对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去它与2的积，再加上3；当x是某个代数式(或某一个函数符号)时，则左右两边的x都有同一个代数式(或函数符号)代替，如/(X)=(2X-1)2-2(2X-1)+3, /(g(x)) = [gS)]2—2[gS)] + 3等等，/(a)与/(x) 的区别就在于前者是函数值，是常数；而后者是因变量，是变量。
例题：某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出100件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1 元其销售量就减少10件，则每天的销售利润是销售单价的函数吗？若是求它的定义域和对应法则若不是，则说明理由。
点评：要判断两个变量是否有函数关系，只要看他们是否具备以下两点：①看定义域与对应 法则是否给出；②看根据给出的对应法则，自变量X 在定义域中任収一个值，是否都能确定 唯一的函数值y 。
例题判断下列关系式能否确定y 是x 的函数。
点评：判断一个式子能否确定y 是x 的隊|数，关键看使式子有意义的x 的值是否可以确定唯 一的y 值与之对应，x 不存在或y 值不唯一均不能确定函数y 是x 的函数。
例题：若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“李生函 数函数解析式为y = 2/ + l,值域为｛3, 1, 9｝的李生函数共有（）个。
A 、9B 、8C 、12 例2,（1）给出下列各组函数：① f （X ）二 J （兀-I ），,g （X ）=X-l ； _______________ I --------------- / Y 2 _ 1 J 兀2 _ 1®f(X)= (VX -I)2 ,g(X)= y](X-l)2 ；④ f(X)二彳：+ ] ,g(X)二 •哪几组的两个函数为相同的函数？它们的序号为 ______________ 区间及其表示：区间是数轴上某一线段或者射线或者直线上的点所对应的实数的取值集合的又一种符号语 言，即用端点所对应的数、“*8”（正无穷大）、“-8”（负无穷大）、方括号（包含端点）、 小圆括号（不含端点）等符号来表示。
注意：区间实质上是一类特殊数集（部分实数组成的集合）的符号表示，因此我们在解题时 必须把它与集合同等对待。
例题：将下面的集合用区间表示出来：{x x< 1} = __________________ {兀 兀n5} = _________________ [x 2<x<5] = _____________________ {x x = 1 或兀>6} = ____________________________________ {x 2<x<5或x = 3} = ____________ 点评：由于区间是集合的一种符号语言，因此区间与区间Z 间，以及区间与集合之间可用集 合的运算符号来连接和运算。
映射⑴映射 设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系/,对于集合A 中的任意一个元素，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应（包括集合A 、B,以及集合A 到集合B 的对 应关系/）叫做集合A 到集合B 的映射，记作注意：映射的概念可以概括为“取元任意性，成象唯一性”，即① 映射的三要素：原彖、象、对应关系② A 中元素不可剩，B 中元素可剩③ 多对一行，一对多不行① \fx + Jy +1 = 1l （x 是有理数）0（兀是无理数） D 、4②f(X)二_1 ,g(x)=丿兀 + 1 ■ Vx -1 ;④映射具有方向性：f:A^B与/:B T A—般是不同的映射⑵映射与函数的关系①联系：映射的概念是在函数的现代定义(集合语言定义的)的基础上引申、拓展的；函数是一个特殊的映射，因此反过来，要善于用映射的语言來叙述函数的问题。
②区别：函数是非空数集A到非空数集B的映射；而对于映射而言，A和B不一定是数集。
例题：例下列对应是不是从A到B的映射？(1)A=Q, B=Q+, f： x— I x I .(2)A = B = N： f:x- I x-2 I .(3)A= {xWN I x22}, B= {yez I yMO}, f:x->y = x2-2x+l.(4)A= {x I xG(0, +8)}, B= {y I yWR}, f:x~*y= ±.解：(1)中，当x=0e A吋，lxl=OGB,即A中的元素0在B中没有象，故(1)不是映射.(2)中,当x=2WA时,I x-2 I =0^B,与⑴类似,(2)也不是映射.(3)中，因为y = (x・l)G(),所以对任意x,总有y$0；又当x^N时，x、2x+l必为整数, 即yW乙所以当xWA时，x2-2x+ieB,且对A中每一个元素x,在B屮都有唯一的y与之对应，故(3)是映射.(4)中，任一个x都有两个y与之对应，故不是映射.评析判断某对应是否为映射，严格按照映射定义中所要求的条件进行判断.本题中的对应关系都能用解析式来表示，如y = \+—等，是否所有映射的对应关系都能用解析式来表示呢？不一定，如映射A = {某校高二(2)班学生},B = {正实数}, /:学生T年龄.其对应关系就无法用一个解析式来表示。
例若A= {(x,y) I xE乙I x 丨V2, yWN, x+y<3}, B= {0, 1, 2},从A 到B 的对应关系f(x,y)~x+y,说明f是A到B的映射，并画111对应图，指出2的原象是什么？解：满足条件的集合A中的元素共有六个，用列举法表示为{(-1, 2), (-1, 3), (-1, 1), (0, 1), (0, 2), (1, 1)}.对应图为下图.・・•集合A屮的每一元素，集合B屮都有唯一的元素与它对应，所以f能构成一个映射.2的原象为(・1, 3), (0, 2), (1, 1).例已知集合A= {1,2,3,a}, B= {4,7,b4,b2+3b},其中a^N*, b^N*.若x^A, y^B, 映射f:A-*B使B 中元素y = 3x+l和A中元素x对应.求a和b的值.分析利用原象与象的关系，建立关于a和b的方程组.解：TA中元素x对应B中元素y=3x+l,・・・A中元素1的象是4, 2的象是7, 3的象是10.Z.b4=10,或b2+3b=10.又beN\/.b2+3b-10=0,解之，得b二2.Ta的象是b4=16,・・・3a+l = 16,解之，得a二5.评析正确理解映射的概念，合理处理字母问题是求解本题之关键.如果将题设屮的集合B换成{4,7,13,b4,b2+3b},那么请问a的值是多少？巩固练习：1.已知映射f： A-B,其中A二B二R,对应法则为.f:xTy = x2+2x + 3.若实数keB,在集合A中不存在原象，则k的取值范围是( )A、(一8, 0)B、［2, +8)C、(—8, 2)D、(3, +2点评：对形成映射的集合A、B,抓住映射概念内涵屮“取元任意性，成象唯一性”，B屮可以存在没有原彖的元素，但A中元素必然都有原象且唯一。
例判断下列映射是不是从A到B的一一映射，并说明理由.(1)A= {矩形}, B = R,对应法则f为矩形到它的面积的对应.(2)A = R, B = R,对应法则 f :x—y = kx+b (kHO)・1+ x(3)A= {x I xWR,且xHl}, B = R,对应法则f:x~y=l-兀.(4)A = R, B= {ylyMO},对应法则f:x->y = x2・分析一一映射是一种特殊的映射•特殊在哪里?函数定义域的求法⑴当函数是解析式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合。
具体地讲，就是考虑①分母不为零，②偶次根式，被开方数$0,零次幕底数H0,以及后面遇到的所有有意义的限制条件都是考虑的对象。
⑵当函数是实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义。
⑶求函数的定义域，一般是转化为解不等式或解不等式组的问题，但要注意逻辑连接词的运用；注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示(这是与初中的不同之处) 例题：求下列函数的定义域5/27+1y = yjx- l - A/X+1/ (x)=, =yj—x" — 2x + 3注意：⑴有函数解析式对意义来求定义域吋，不能对英解析式变形，如上列。
⑵注意定义域的逆向问题例题：函数y =』2-6kx + 9的定义域是R,则k的取值范围是()A. kWO 或kMl Bk$l C.OWkWl D.OVkWl点评：此题意思是在实数域内恒成立的问题，也就是说对于任意的自变量函数解析式都有意义。
⑶当已知函数/(X)的定义域时，要求/(g(Q)的定义域，则一方面g(x)本身要有意义，另一方面g (兀)只能在/(兀)地定义域内取值才有意义。
例题：已知函数/⑴ 的定义域为[0,3],求/(依+1)的定义域。
已知函数/(x)的定义域为[0,3],求g(兀)= /(依) + /(#)的定义域。