函数的概念达标练习_题型归纳
第三章：函数的概念与性质重点题型复习-【题型分类归纳】(解析版)
第三章：函数的概念与性质重点题型复习题型一函数的概念辨析【例1】下列关于函数与区间的说法正确的是（）A．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集B．函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了C．数集都能用区间表示D．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应【答案】D【解析】对于A，函数的定义域和值域均为非空数集，A错误；对于B，若函数的定义域和值域均为R，对应法则可以是y x=，也可以是2=，B错误；y x对于C，自然数集无法用区间表示，C错误；对于D，由函数定义可知，一个函数值可以有多个自变量值与之对应，D正确.【变式1-1】下列对应关系或关系式中是从A 到B 的函数的是（ ） A ．A ⊆R ，B ⊆R ，221x y +=B ．{}1,0,1A =-，{}1,2B =，:1f x y x →=+C ．A =R ，B =R ，1:2→=-f x y x D ．A =Z ，B =Z ，:21→=-f x y x 【答案】B【解析】对于A ，221x y +=可化为21y x =±-显然对任意x A ∈（1x =±除外），y 值不唯一，故不符合函数的定义； 对于B ，符合函数的定义；对于C ，当2x =时，对应关系无意义，故不符合函数的定义； 对于D ，当x 为非正整数时，对应关系无意义，故不符合函数的定义. 故选：B【变式1-2】已知集合{0,1,2}A =，{1,1,3}B =-，下列对应关系中，从A 到B 的函数为（ ）A ．f ：x y x →=B ．f ：2x y x →=C ．f ：2x y x →=D ．f ：21x y x →=-【答案】D【解析】对A ：当0,1,2x =时，对应的y x =为0,1,2，所以选项A 不能构成函数；对B ：当0,1,2x =时，对应的2y x 为0,1,4，所以选项B 不能构成函数；对C ：当0,1,2x =时，对应的2y x =为0,2,4，所以选项C 不能构成函数； 对D ：当0,1,2x =时，对应的21y x =-为1-,1,3，所以选项D 能构成函数；故选：D.【变式1-3】如图所示，下列对应法则，其中是函数的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】A【解析】①②③这三个图所示的对应法则都符合函数的定义，即A 中每一个元素在对应法则下，在B 中都有唯一的元素与之对应， 对于④⑤，A 的每一个元素在B 中有2个元素与之对应，∴不是A 到B 的函数，对于⑥，A 中的元素3a 、4a 在B 中没有元素与之对应，∴不是A 到B 的函数，综上可知， 是函数的个数为3.故选：A.【变式1-4】下列关系中是函数关系的是（ ）A ．等边三角形的边长和周长关系B ．电脑的销售额和利润的关系C ．玉米的产量和施肥量的关系D ．日光灯的产量和单位生产成本关系 【答案】A【解析】根据函数关系的定义可得，选项A 中，当等边三角形的边长取一定的值时，周长有唯一且确定的值与其对应，所以等边三角形的边长和周长符合函数关系；其他选项中，两个量之间没有明确的对应关系，所以不是函数关系故选：A【变式1-5】若函数()y f x =的定义域M ＝{x |22x -≤≤}，值域为N ＝{y |02y ≤≤}，则函数()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】A 中定义域是{x |－2≤x ≤0}，不是M ＝{x |－2≤x ≤2}，故错误；C 中图象不表示函数关系，因为存在一个x 对应两个y ，不满足函数定义；D 中值域不是N ＝{y |0≤y ≤2}.只有B 中的定义域和值域满足题意，且表示函数关系，符合题意.故选：B.题型二 判断是否为同一个函数【例2】下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．()()21,11x f x g x x x -==+- B ．()()22,f x x g x x ==C ．()()2,f x x g x x =D ．()()211,1f x x x g x x +--【答案】C【解析】A. 函数()211x f x x -=-的定义域为{}|1x x ≠，()1g x x =+的定义域为R ，故不是同一函数；B. ()2f x x R ，()2g x x =的定义域为[0,)+∞，故不是同一函数；C. ()()2,f x x g x x x=的定义域都是R ，且解析式相同，故是同一函数；D. ()11f x x x +-{}|1x x ≥，()21g x x =-{|1x x ≥或1}x ≤-，故不是同一函数，故选：C【变式2-1】下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．()0f x x =，()xg x x = B ．()211x f x x -=-，()1g x x =+C ．()11f x x x -+()21g x x =-D ．()f x x =，()2g x x =【答案】A【解析】A 中，()0f x x =，()xg x x= 定义域都为{|0}x x ≠ ，对应关系以及值域相同，故为同一函数；B 中，()211x f x x -=-，定义域为{|1}x x ≠，()1g x x =+定义域为R ，故不是同一函数；C 中，()11f x x x =-+定义域为{|1}x x ≥，()21g x x -{|1x x ≥或1}x ≤- ，故不是同一函数；D 中，()f x x =，定义域为R ，()2g x x =定义域为{|0}x x ≥，故不是同一函数；故选：A【变式2-2】下列各组函数是同一函数的是（ ）A ．2()f x x =与2()(1)g x x =+B ．3()f x x -与()g x x =-C ．()xf x x =与01()g x x=D ．()33f x x x =+-2()9g x x =-【答案】C【解析】对于A ，()2f x x =，()()21g x x =+，对应关系不同，即不是同一函数，故A 不正确；对于B ，3()f x x x x -=--(,0]-∞，()g x x =-(,0]-∞， 定义域相同，对应关系不同，函数不是同一函数，故B 不正确； 对于C ，()1xf x x==，定义域为()(),00,∞-+∞，01()1g x x ==，定义域为()(),00,∞-+∞，定义域、对应关系相同，故为同一函数，故C 正确；对于D ，()33f x x x =+-[)3,+∞，2()9g x x =-(][),33,∞∞--⋃+，定义域不同，函数不是同一函数，故D 不正确；故选：C【变式2-3】下列各组函数是同一函数的是（ ）A ．321x x y x +=+与y x = B ．2x y x =与y x =C ．||x y x=与1y = D ．()21y x =-1y x =-【答案】A【解析】对于A ，321x xy x x +==+的定义域为R ，y x =的定义域为R ，则两个函数的定义域和对应关系都相同，是同一函数；对于B ，2x y x x==的定义域为{}0x x ≠，y x =的定义域为R ，则两个函数的定义域不同，不是同一函数； 对于C ，||x y x=的定义域为{}0x x ≠，1y =的定义域为R ，则两个函数的定义域不同，不是同一函数；对于D ，()211y x x =-=-和1y x =-的对应关系不同，故不是同一函数.故选：A.题型三 求函数的定义域【例3】函数()1321f x x x =--的定义域为（ ） A ．2{|3x x >且1}x ≠ B ．2{|3x x <或1}x >C ．2{|1}3x x ≤≤ D ．2{|3x x ≥且1}x ≠ 【答案】D 【解析】由题得3202,103x x x -≥⎧∴≥⎨-≠⎩且1x ≠.所以函数的定义域为2{|3x x ≥且1}x ≠故选：D【变式3-1】函数()20213y x x=--的定义域为（ ）A ．1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．11,,322⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11,,322⎛⎫⎛⎤-∞⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦【答案】C【解析】要使函数()20213y x x=--有意义， 则有30210x x ->⎧⎨-≠⎩，解得3x <且12x ≠，所以其定义域为11,,322⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C.【变式3-2】已知函数(+1)f x 的定义域为[1,2]，则(23)f x -+的定义域为（ ） A ．[1,2] B ．1[0,]2 C ．[1,1]- D ．1[,1]2【答案】B【解析】因为函数(+1)f x 的定义域为[1,2]，所以12x ≤≤，则2+13x ≤≤， 所以22+33x ≤-≤，解得102x ≤≤， 所以(23)f x -+的定义域为1[0,]2，故选：B【变式3-3】已知函数()y f x =的定义域为[2,3]-，则函数(21)1f x y x +=+的定义域为( )A ．3[,1]2- B ．3[,1)(1,1]2--⋃- C ．[3,7]- D ．[3,1)(1,7]--⋃- 【答案】B【解析】由题意得：2213x -≤+≤，解得：312x -≤≤，由10x +≠，解得：1x ≠-，故函数的定义域是(]3,11,12⎡⎫---⎪⎢⎣⎭，故选：B ．【变式3-4】函数f （x ）221mx x --+R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（﹣∞，﹣1] C ．[1，+∞） D ．（﹣∞，﹣1） 【答案】B【解析】f （x ）的定义域是R ，则2210mx x --+≥恒成立，即2+210mx x -≤恒成立，则0Δ0m ⎧⎨≤⎩＜，解得1m ≤-，所以实数m 的取值范围为(],1-∞-.故选：B.【变式3-5】若函数2()1f x ax ax =++R ，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】[0,4)【解析】()f x 的定义域是R ，则210ax ax ++>恒成立，0a =时，2110ax ax ++=>恒成立， 0a ≠时，则2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<， 综上，04a ≤<． 故答案为：[0,4)．题型四 求函数的解析式【例4】已知函数()f x 是一次函数，且()45f f x x -=⎡⎤⎣⎦恒成立，则()2f =（ ） A ．1 B ．3 C ．7 D ．9 【答案】D【解析】因为函数()f x 是一次函数，且()45f f x x -=⎡⎤⎣⎦恒成立，令()4f x x t -=，则()4f x x t =+， 所以()45f t t t =+=，解得1t =，所以()41f x x =+，(2)2419f =⨯+=，故选：D【变式4-1】已知二次函数()f x 满足()221465f x x x +=-+，求()f x 的解析式； 【答案】()259f x x x =-+【解析】设二次函数()()20f x ax bx c a =++≠，则()()()2212121f x a x b x c+=++++()()22442465ax a b x a b c x x =+++++=-+，故44,426,5a a b a b c =+=-++=，解得1,5,9a b c ==-=，故()259f x x x =-+.【变式4-2】若函数()63f g x x ⎡⎤=+⎣⎦，且()21g x x =+，则()f x 等于（ ） A ．129x + B ．61x + C ．3 D ．3x 【答案】D【解析】令()21g x x t =+=，则12t x -=()63132f t t t -∴=⨯+=，即()3f x x =故选：D.【变式4-3】设函数1121f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的表达式为（ ）A ．()111x x x +-≠B ．()111x x x +-≠C ．()111xxx +≠-- D ．()211xx x ≠-+ 【答案】B【解析】令()111t t x=+≠，则可得11xt 1t所以()()211111t f t t t t +=+=-≠-，所以()()111x f x x x +-≠=，故选：B【变式4-4】若对任意实数x ，均有()2()92f x f x x --=+，求()f x . 【答案】32x -.【解析】利用方程组法求解即可；∵()2()92f x f x x --=+（1） ∴()()()292f x f x x --=-+（2） 由(1)2(2)+⨯得3()96f x x -=-+， ∴()32()f x x x R =-∈. 故答案为：32x - .【变式4-5】设函数()f x 是R →R 的函数，满足对一切x ∈R ，都有()()22f x x f x +-=，则()f x 的解析式为()f x =______．【答案】2,111,1x x x ⎧≠⎪-⎨⎪=⎩ 【解析】由()()22f x x f x +-=，得()()()222f x x f x -+-=，将()f x 和()2f x -看成两个未知数，可解得()()211f x x x=≠-， 当1x =时，()()()212112f f -+-=，解得()11f =，综上，()2,1,11, 1.x f x x x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩ 故答案为：2,111,1x xx ⎧≠⎪-⎨⎪=⎩.题型五 定义法证明函数的单调性【例5】已知函数()218x f x x -=+，判断并证明()f x 在区间[]22-,上的单调性． 【答案】单调递增，证明见解析【解析】()f x 在区间[]22-,上单调递增，理由如下： 任取1x ，[]22,2x ∈-，且12x x <，()()()()()()()()()()()()22122112121212122222221212121818811888888x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x -+--+-++----=-==++++++．因为1222x x -≤<≤，所以120x x -<，1244x x -<+<，1244x x -<<， 所以12128x x x x +->- 所以121280x x x x ++->，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在区间[]22-,上单调递增．【变式5-1】已知函数()1f x x =-()f x 在区间[)1,+∞上的单调性，并证明你的结论．【答案】增函数，证明见解析【解析】()f x 在区间[)1,+∞上是增函数．证明如下：设[)12,1,x x ∀∈+∞，且12x x <， 则()()121212121111f x f x x x x x -=---+-， 因为[)12,1,x x ∈+∞，所以110x -≥210x -≥，又12x x <，所以120x x -<11x -21x -0， 12110x x -->，故()()120f x f x -<， 故()f x 在区间[)1,+∞上是增函数．【变式5-2】证明：函数31()2f x x x=-在区间(0,)+∞上是增函数.【答案】证明见解析.【解析】设12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，而3312121211()()22f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3312211122x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()()2212121122122x x x x x x x x x x -=-+++()()221211221212x x x x x x x x ⎡⎤=-+++⎢⎥⎣⎦因为221211221210,0,0x x x x x x x x -<++>>，则()()2212112212120x x x x x x x x ⎡⎤-+++<⎢⎥⎣⎦， 所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数31()2f x x x=-在区间(0,)+∞上是增函数.【变式5-3】已知函数()f x 对任意的a ，∈b R ，都有()()()1f a b f a f b +=+-，且当0>x 时，()1f x >，判断并证明()f x 的单调性； 【答案】函数()f x 在R 上为增函数；（2）4(1,)3m ∈-．【解析】设12,x x 是R 上任意两个不等的实数，且12x x <，则210x x x ∆=->，()()()()()()()()212111211111y f x f x f x x x f x f x x f x f x f x ⎡⎤∆=-=-+-=-+--=∆-⎣⎦，由已知条件当0x >时，()1f x >， 所以()1f x ∆>，即0y ∆>， 所以函数()f x 在R 上为增函数；题型六 利用函数的单调性求参数【例6】若函数()1f x ax =+[]1,1-内单调递减，则实数a 的取值范围是______． 【答案】[)1,0-【解析】由题意知，第一步函数单调递减，由复合函数同增异减可知0a <，第二步考虑函数定义域，10ax +≥ 在[]1,1-恒成立，(1)0a f <⎧⎨≥⎩得到10a -≤< 故答案为：10a -≤<.【变式6-1】若1()1ax f x x +=-在区间(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______．【答案】1a <- 【解析】函数()111+1()=111a x a ax a f x a x x x -+++==+---， 由复合函数的增减性可知，若1()1a g x x +=-在(1,)+∞为增函数，10a ∴+<，1a <-，【变式6-2】（多选）函数2()(21)3f x x a x =+-+在(2,2)-上为单调函数，则实数a的取值范围可以是（ ）A ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．35,42⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．35,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】AD【解析】二次函数2()(21)3f x x a x =+-+图象对称轴为：212a x -=-， 因函数()f x 在(2,2)-上为单调函数，于是有： 当函数()f x 在(2,2)-上递减时，2122a --≥，解得32a ≤-， 当函数()f x 在(2,2)-上递增时，2122a --≤-，解得52a ≥， 所以实数a 的取值范围是：32a ≤-或52a ≥.故选：AD【变式6-3】已知函数21,22(),12x mx x f x m x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩对于12,[1,)x x ∀∈+∞且12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x -->，则m 的取值范围为 ______．【答案】40,3⎛⎤⎥⎝⎦【解析】由题意可知，()f x 在[1,)+∞上为单调增函数，要使my x =-在[1,2)上单调递增，则0m -<，即0m >， 要使21()2f x x mx =-在[2,)+∞上单调递增，则2m ≤， 同时2112222m m ⨯-≥-，解得：43m ≤，综上可知：403m <≤.题型七 求函数的最值或值域【例7】求函数4y x x =+，142x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值.【答案】最大值172，最小值4 【解析】函数4y x x=+，根据对勾函数的性质可得：4y x x =+在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，[]2,4上单调递增. 当2x =时取到最小值4. 又当12x =时，117822y =+=，当4x =时，415y =+= 所以当12x =时取到最大值172， 所以函数4y x x=+的最大值172，最小值4【变式7-1】312y x x =+- ）A ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】因为312y x x =+-所以1120,2x x -≥∴≤，又312y x x =+-12x ≤时单调递增， 所以当12x =时，函数取得最大值为72，所以值域是7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选：A.【变式7-2】函数23()31x f x x -=+的值域（ ） A ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】依题意，2112112(31)2321113333()3131313331x x x f x x x x x +-+--====-⋅++++，其中111331y x =-⋅+的值域为()(),00,∞-+∞，故函数()f x 的值域为22,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．【变式7-3】若函数()f x 的值域是132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则函数()()()1F x f x f x =+的值域是（ ） A ．132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．1023⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．51023⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．556⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【答案】B【解析】令()f x t =，1y t t =+，则132t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，． 当112t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，时，1y t t=+单调递减， 当[]13t ∈，时，1y t t=+单调递增，又当12t =时，52y =，当1t =时，2y =，当3t =时，103y =，所以函数()F x 的值域为1023⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故选：B ．【变式7-4】已知{},min ,,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩设()f x {}2min 2,42x x x =--+-，则函数()f x 的最大值是（ ）A ．2-B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】当2242x x x -≤-+-，即[]0,3x ∈时，()2f x x =-在[]0,3x ∈上单调递增，所以()max ()3321f x f ==-=， 当2242x x x ->-+-，即()(),03,x ∈-∞+∞时，()()224222f x x x x =-+-=--+在(),0x ∈-∞上单调递增，在()3,+∞上单调递减，因为()02f =-，()31f =，所以()()31f x f <=； 综上：函数()f x 的最大值为1，故选：B题型八 函数奇偶性的判断【例8】判断下列函数的奇偶性．（1）()31f x x x=-； （2）()(111x f x x x+=--（3）()2233f x x x -- （4）()2,12,112,1x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩．【答案】（1）奇函数；（2）既不是奇函数也不是偶函数（3）既是奇函数又是偶函数；（4）偶函数【解析】（1）()f x 的定义域是()(),00,∞-+∞，关于原点对称，又()()()3311f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭，所以()f x 是奇函数．（2）因为()f x 的定义域为[)1,1-，不关于原点对称，所以()f x 既不是奇函数也不是偶函数． （3）因为()f x 的定义域为{}3,3-，所以()0f x =，则()f x 既是奇函数又是偶函数．（4）方法一（定义法）因为函数()f x 的定义域为R ，所以函数()f x 的定义域关于原点对称．①当x ＞1时，1x -<-，所以()()()()22f x x x f x -=-⨯-==； ②当11x -≤≤时，()2f x =；③当1x <-时，1x ->，所以()()()22f x x x f x -=⨯-=-=． 综上，可知函数()f x 为偶函数．方法二（图象法） 作出函数()f x 的图象，如图所示，易知函数()f x 为偶函数．【变式8-1】函数()2433x f x x -=+-的图象关于_________对称．【答案】原点【解析】要使函数有意义，则240330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩，得2206x x x -≤≤⎧⎨≠≠-⎩且，解得20x -≤<或02x <≤，则定义域关于原点对称．此时33x x +=+，则函数()22244433x x x f x x ---===+-， ()()24x f x f x --==-，∴函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称故答案为：原点【变式8-2】判断()||||()f x x a x a a R =+--∈的奇偶性.【答案】当0a =时，()f x 既是奇函数，又是偶函数；当0a ≠时，()f x 是奇函数 【解析】因为x ∈R ，所以定义域关于原点对称，当0a =时，则()||||0f x x x =-=，所以()f x 既是奇函数，又是偶函数； 当0a ≠时，因为()||||||||()f x x a x a x a x a f x -=-+---=--+=-， 所以()f x 是奇函数.综上所述，当0a =时，()f x 既是奇函数，又是偶函数；当0a ≠时，()f x 是奇函数.【变式8-3】设函数2()1f x x =+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()1f x + B ．(1)f x + C ．()1f x - D ．(1)f x - 【答案】D 【解析】因为()21f x x =+ . 选项A ：()2111f x x +=++，定义域为()()11-∞-⋃-+∞，，，定义域不对称，故A 错.选项B ：()221112f x x x +==+++，定义域为()()22-∞--+∞，，，定义域不对称，故B 错.选项C ：()2111f x x -=-+，定义域为()()11-∞-⋃-+∞，，，定义域不对称，故C 错.选项D ：()22111f x x x-==-+，定义域为()()00-∞∞，，+，定义域对称，为奇函数.故D 正确.故选：D.【变式8-4】设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）A ．()()f x f x -是奇函数B ．()()f x f x -是奇函数 C ．()()f x f x --是奇函数 D ．()()f x f x +-是奇函数 【答案】C【解析】A 选项：设()()()F x f x f x =-，()()()()F x f x f x F x -=-=，则()()f x f x -为偶函数，A 错误；B 选项：设()()()G x f x f x =-，则()()()G x f x f x -=-，()G x 与()G x -关系不定，即不确定()()f x f x -的奇偶性，B 错误；C 选项：设()()()M x f x f x =--，则()()()()M x f x f x M x -=--=-， 则()()f x f x --为奇函数，C 正确；D 选项：设()()()N x f x f x =+-，则()()()()N x f x f x N x -=-+=， 则()()f x f x +-为偶函数，D 错误．故选：C.题型九 利用函数的奇偶性求值或求参【例9】若函数32()=-+f x x bx ax 在[3,2]+a a 上为奇函数，则a b +=___________.【答案】12-【解析】因为函数32()=-+f x x bx ax 在[3,2]+a a 上为奇函数，所以320a a ++=，得12a =-，又()()f x f x -=-，即323211()()()22x b x x x bx x -----=-++，即220bx =恒成立，所以0b =，所以12a b +=-. 故答案为：12-.【变式9-1】若函数()()()325x x a f xx +-=为奇函数，则=a （ ）A ．12 B ．23 C ．34D ．1 【答案】B【解析】根据题意得()()()()()323255x x a x x a f x xx-+---++==--，因为函数()()()325x x a f xx +-=为奇函数，所以()()f x f x -=-，即()()()()323255x x a x x a x x-+++-=-，整理得：()640a x -=，所以640a -=，解得23a =.故选：B【变式9-2】已知函数()()32121f x a x x =-+-是偶函数，则a ＝______．【答案】1【解析】函数()()32121f x a x x =-+-是偶函数，则()()11f f -=，即()121121a a -+-=-+--，解之得1a = 经检验符合题意. 故答案为：1【变式9-3】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =+，那么()1f -等于（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．2 【答案】A【解析】因为0x >时，()(1)f x x x =+，可得()1122f =⨯=，又因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得()()112f f -=-=-.故选：A.【变式9-4】设()f x 是定义域为()2,2-的奇函数，当02x ≤<时，()122f x x m x =++-（m 为常数），则()1f -=（ ）A ．53- B ．53 C ．32- D ．32【答案】C【解析】因为()f x 是定义域为()2,2-的奇函数，所以()00f =，因为当02x ≤<时，()122f x x m x =++-， 所以()1002f m =-+=，解得12m =， 所以当02x ≤<时，()11222f x x x =++-，所以()()13111222f f ⎛⎫-=-=--++=- ⎪⎝⎭.故选：C.【变式9-5】设函数()()23211x x f x x ++=+在区间[]22-,上的最大值为M ，最小值为N ，则()20221M N +-的值为______.【答案】1【解析】由题意知，()32211x xf x x +=++（[]2,2x ∈-）， 设()3221x xg x x ++=，则()()1f x g x =+，因为()()3221x xg x g x x ---==-+，所以()g x 为奇函数， ()g x 在区间[]22-,上的最大值与最小值的和为0， 故2M N +=，所以()()202220221211M N +-=-=.题型十 利用函数的奇偶性求解析式【例10】设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，2()f x x x =+，则当0x <时，()f x =（ ）A ．2x x +B ．2x x -+C ．2x x -D ．2x x -- 【答案】B【解析】设0x <，则0x ->，所以()2f x x x -=-，又()f x 为奇函数，所以()()()22f x f x x x x x =--=--=-+， 所以当0x <时，()2f x x x =-+.故选：B.【变式10-1】函数()f x 为偶函数，当()0,x ∈+∞时，()227f x x x =-，则当(),0x ∈-∞时，()f x =（ ）A ．()227f x x x =-+B ．()227f x x x =--C ．()227f x x x =-D ．()227f x x x =+ 【答案】D【解析】设(),0x ∈-∞，则()0,x -∈+∞，则()()()222727f x x x x x -=---=+，因为函数()f x 为偶函数，则当(),0x ∈-∞时，()()227f x f x x x =-=+.故选：D.【变式10-2】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()21x a x a f x =+++，则当0x <时，()f x =（ ）A ．2x x -B ．2x x +C ．2x x -+D ．2x x -- 【答案】D【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，即()010f a =+=，解得1a =-，当0x ≥时，()2f x x x =-，当0x <时，0x ->，则()()22f x x x x x -=-+=+，因为()f x 是奇函数，所以()()2f x f x x x =--=--．故选：D ．【变式10-3】若定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()e xf xg x +=（e为无理数， 2.71828e =⋅⋅⋅），则()g x =（ ）A ．e e x x --B ．()1e e 2x x -+ C ．()1e e 2x x -- D ．()1e e 2x x -- 【答案】D【解析】由()()e xf xg x +=可得()()e x f x g x --+-=，根据()f x 与()g x 的奇偶性可得()()()()e xf xg x f x g x --+-=-=，故()()()()e e x xf xg x f x g x ---+=-⎡⎤⎣⎦.整理得()2e e x xg x --=-，即()()1e e 2x xg x -=-.故选：D.题型十一 利用单调性奇偶性解不等式【例11】定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若()()1f m f m -<，则实数m 的取值范围是（ ）A ．12m <- B ．12m > C ．112m -≤< D ．122m <≤ 【答案】C【解析】∵()f x 是偶函数，()()()f x f x f x ∴=-=，故(1)()f m f m -<可变形为(1)()f m f m -<，∵()f x 在区间[]0,2上单调递减，故212131222212112m m m m m m m m ⎧⎧⎪⎪-≤-≤-≤≤⎪⎪-≤≤⇒-≤≤⇒-≤<⎨⎨⎪⎪->⎪⎪<⎩⎩.故选：C.【变式11-1】若偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，且()10f =，则不等式()2330f x x -+≥的解集是__________.【答案】[]1,2【解析】因为偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，所以()f x 在(),0∞-上单调递增，又()10f =，所以()()110f f -==，所以当11x -≤≤时()0f x ≥，则不等式()2330f x x -+≥等价于21331x x -≤-+≤，解得12x ≤≤，所以原不等式的解集为[]1,2. 故答案为：[]1,2【变式11-2】函数()f x 是定义在()1,1-上的奇函数且单调递减，若2(2)(4)0,f a f a -+-<则a 的取值范围是（ ）A ．)5,3 B ．(3)(2,)-∞⋃+∞ C ．()3,2 D ．()3,2-【答案】C【解析】函数()f x 是定义在()1,1-上的奇函数且单调递减，2(2)(4)0f a f a -+-<可化为2(2)(4)f a f a -<-则2212114124a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩32a <故选：C【变式11-3】奇函数()2f x +是定义在()3,1--上的减函数，若()()1320f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为______． 【答案】()1,2【解析】由题意知，函数()2f x +的定义域为()3,1--，所以函数()f x 的定义域为()1,1-，所以1111321m m -<-<⎧⎨-<-<⎩，解得12m <<．又奇函数()2f x +是()3,1--上的减函数，所以()f x 是()1,1-上的奇函数，且在()1,1-上单调递减． 由()()1320f m f m -+-<，得()()132f m f m -<--， 所以()()123f m f m -<-，所以123m m ->-，解得2m <．综上，12m <<． 故答案为：()1,2．【变式11-4】已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若1x ∀，[)20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()1122120x f x x f x x x -<-成立，则不等式()()()21210mf m m f m --->的解集为（ ）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()1,-+∞ 【答案】C【解析】令()()g x xf x =，因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()()()g x xf x xf x g x -=--=-=-，即()g x 是定义在R 上奇函数．又1x ∀，[)20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()()()11221212120x f x x f x g x g x x x x x --=<--成立，所以()g x 在[)0,∞+上单调递减，又()g x 是定义在R 上奇函数，所以()g x 在R 上单调递减，所以()()()()()2121210mf m m f m g m g m ---=-->，即()()21g m g m >-， 所以21m m <-，解得1m．故A ，B ，D 错误.故选：C ．题型十二 利用单调性奇偶性比较大小【例12】定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，则下列判断正确的是（ ）A ．311224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．113422f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C ．311242f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．131224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】因为()f x 为偶函数，所以11()()22f f -=，33()()22f f -=，又113422<<，且()f x 在(0,)+∞上是减函数， 所以311224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A【变式12-1】已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①()(),x f x f x ∀∈-=R ；②()12,0,x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，()()2112120x f x x f x x x ->-．记()1a f =，()33f b -=，()55f c =，则（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a << 【答案】B【解析】依题意，12,(0,)x x ∀∈+∞，12x x ≠，()()2112120x f x x f x x x ->-，即()()1212120f x f x x x x x ->-，所以函数()f x x 在(0,)+∞上单调递增． 又x ∀∈R ，()()f x f x -=，所以函数()f x 是R 上的偶函数， 所以()()3333f f -=,则有()()()135135f f f <<，所以a b c <<，故选：B ．【变式12-2】已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(2)b f =，(3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c << 【答案】B【解析】∵当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，∴当121x x <<时，()()210f x f x ->，即()()21f x f x >， ∴函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数， ∵函数(1)f x +是偶函数，即()()11f x f x +=-，∴函数()f x 的图象关于直线1x =对称，∴1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数，∴5(2)(3)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即1(2)(3)2f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，∴b a c <<，故选：B ．【变式12-3】已知()f x 对于任意R x ∈都有(2)()f x f x +=，且()f x 在区间[)0,2上是单调递增的，则( 6.5),(1),(0)f f f --的大小关系是（ ） A ．(1)(0)( 6.5)f f f -<<- B ．( 6.5)(0)(1)f f f -<<- C ．(1)( 6.5)(0)f f f -<-< D ．(0)(1)( 6.5)f f f <-<- 【答案】D 【解析】()f x 对于任意R x ∈都有(2)()f x f x +=，∴()f x 周期为2，偶函数()f x 在区间[)0,2上是单调递增，( 6.5)(1.5)f f ∴-=，(1)(1)f f -=，(0)(1)(1.5)f f f ∴<<，即(0)(1)( 6.5)f f f <-<-故选：D题型十三 利用函数的周期性求值【例13】已知()f x 是R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当()0,2x ∈时，()22f x x x =+，则()15f =（ ）A ．3B ．3-C ．255D ．255- 【答案】B【解析】由()()2f x f x +=-可得，()()42=()f x f x f x +=-+，故()f x 是以4为周期的周期函数，故(15)(1)(1)3f f f =-=-=-，故选：B【变式13-1】已知()f x 是定义域为R 的奇函数，满足(2)()f x f x -=，若(1)2f =，则(1)(2)(3)(2022)f f f f ++++=（ ）A ．2B ．2022-C ．0D ．2022 【答案】A【解析】(2)()(2)()x f x f f f x x -=∴+=-,又()()f x f x -=-，(2)()()f x f x f x ∴+=-=-，∴函数的周期4T =.又函数()f x 是定义域为R 的奇函数，(0)0f ∴=，(2)(0)0f f ∴==，(3)(1)(1)2f f f =-=-=-，(4)(0)0f f ==(1)(2)(3)(4)20200f f f f +++=+-+=∴，又202250542=⨯+(1)(2)(3)(2022)5050(1)(2)2f f f f f f ∴++++=⨯++=.故选：A.【变式13-2】已知函数()1y f x =+的图象关于直线3x =-对称，且对R x ∀∈都有()()2f x f x +-=当(]0,2x ∈时，()2f x x =+.则()2022f =（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．2- 【答案】D【解析】函数()1y f x =+的图象关于直线3x =-对称，∴函数()y f x =的图象关于直线2x =-对称，()()22f x f x ∴-+=--，取2x x =+可得()()2222f x f x -++=--+⎡⎤⎣⎦， ∴()()4f x f x =--又对x ∀∈R 有()()2f x f x +-=， 取4x x =--可得()()442f x f x --++=，所以()()()42f x f x f x =--=--.，()()424f x f x --=-+，()()4f x f x ∴+=-，()()()444f x f x f x ⎡⎤∴++=--=⎣⎦，即()()8f x f x +=，()f x ∴的周期8T =()()()()()()()2022252866242222222f f f f f f ∴=⨯+==+=-=-=-+=-.故选：D.【变式13-3】设函数()f x 的定义域为R ，()12f x +-为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，()2f x ax b =+.若()()011f f -+=，则20232⎛⎫= ⎪⎝⎭f ________. 【答案】34【解析】由()12f x +-为奇函数，可得()()1212f x f x +-=--++，函数()f x 关于点()1,2对称，又定义域为R ，则有()12f =；又()2f x +为偶函数，可得()()22f x f x +=-+，函数()f x 关于直线2x =对称，()()()4242f x f x f x =--=-+，又()()24f x f x +=--，则()()f x f x =-，则()()()222f x f x f x +=-+=-，函数()f x 周期为4，则202311131012422222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 由上可得()()()()1,041424f f a b f f a b ==+=-=---，则2441a b a b a b +=⎧⎨++--=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，则39131244f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则2023334224f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：34.题型十四 抽象函数综合问题【例4】函数f （x ）对于任意的实数x ，y 都有f (x+y )=f （x ）+f （y ）成立，且当x ＞0时f （x ）＜0恒成立． （1）证明函数f （x ）的奇偶性；（2）若f （1）= －2，求函数f （x ）在[－2，2]上的最大值；（3）解关于x 的不等式211(2)()(4)(2) 22f x f x f x f -->-- 【答案】（1）证明见解析；（2）4；（3）{|2x x <-或1}x >-【解析】（1）令x =y =0得f (0)=0,再令y =—x 即得f (－x )=－f (x ）, ∴()f x 是奇函数.（2）设任意12,R x x ∈，且12x x <，则210x x ->，由已知得21()0f x x -<①，又212121()()()()()f x x f x f x f x f x -=+-=-②， 由①②可知12()()f x f x >，由函数的单调性定义知f (x )在(-∞，+∞)上是减函数，∴x ∈[－2，2]时，[]max ()(2)(2)(11)2(1)4f x f f f f =-=-=-+=-=， ∴f (x )当x ∈[－2，2]时的最大值为4．（3）由已知得：[]2(2)(4)2()(2)f x f x f x f -->--，由（1）知f (x ）是奇函数， ∴上式又可化为：[]2(24)2(2)(2)(2)(24)f x x f x f x f x f x -->+=+++=+，由（2）知f (x ）是R 上的减函数， ∴上式即：22424x x x --<+， 化简得(2)(1)0x x ++>，∴ 原不等式的解集为{|2x x <-或1}x >-.【变式14-1】已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，对定义域内的任意12x x , 都有()()()1212f x x f x f x =+，且当01x <<时，()0f x >.（1）证明：当1x >时，()0f x <； （2）判断()f x 的单调性并加以证明；（3）如果对任意的()12,0,x x ∈+∞ ，()()()221212f x x f a f x x +≤+恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）函数()f x 单调递减，证明见解析；（3）(]0,2a ∈ 【解析】（1）(1)(1)(1)(1)0f f f f =+⇒=；1(1)()()0f f x f x=+=；当()0,1x ∈时，()11,x ∈+∞；()10()0f x f x>⇒<； ∴当1x >时，()0f x <.（2）单调递减.证明：()1212,0,x x x x ∀∈+∞<,且()()2211x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭12x x <，211x x ∴>，210x f x ⎛⎫∴< ⎪⎝⎭，即()()12f x f x > ∴()f x 单调递减（3）函数()f x 的定义域是()0,∞+0a ∴>；()()()()()222212121212f x x f a f x x f x x f ax x +≤+⇒+≤恒成立；由（2），()f x 单调递减，221212x x ax x +≥恒成立，221212x x a x x +≤恒成立，因为22121212212x x x x x x x x +=+≥，当且仅当12x x =时等号成立，所以2a ≤； 又()f a 有意义，所以0a > 综上：(]0,2a ∈.【变式14-2】已知函数()f x 对任意,R x y ∈，都有()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时，()1f x >．（1）求证：()f x 在R 上是增函数；（2）若关于a 的方程2(75)2f a a +-=的一个实根是1，求(6)f 的值；（3）在（2）的条件下，已知R m ∈，解关于x 的不等式()(2)3f mx f x ->+． 【答案】（1）证明见解析；（2）3；（3）详见解析【解析】（1）依题意()()()1f x y f x f y +=+-，且0x >时，()1f x >，令0x y ==，则()()()()0001,01f f f f =+-=，()()()()()1,2f x x f x f x f x f x -+=-+--+=，任取12x x <，()()()()121211f x f x f x f x x x -=--+()()()()12112111f x f x x f x f x x =--+-=--+⎡⎤⎣⎦，由于210x x ->，所以()211f x x ->，所以()()()()12120,f x f x f x f x -<<，所以()f x 在R 上递增. （2）由（1）知，()f x 在R 上递增，()()217532f f +-==，()()()()6333313f f f f =+=+-=.（3）依题意()()()1f x y f x f y +=+-，()f x 在R 上递增，()(2)3f mx f x ->+.()(2)12f mx f x -->+，()()()22,23f mx x f mx x f +->+->，()23,15mx x m x +->+>，当1m =-时，不等式的解集为空集. 当1m <-时，不等式的解集为5|1x x m ⎧⎫<⎨⎬+⎩⎭. 当1m >-时，不等式的解集为5|1x x m ⎧⎫>⎨⎬+⎩⎭.【变式14-3】设函数()y f x =的定义域为R ，并且满足()()()f x y f x f y -=-，且1()12f =-当0x >时，()0.f x < （1）求(0)f 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并给出证明； （3）如果()(2)2f x f x >-，求x 的取值范围；【答案】（1）0；（2）函数()f x 是定义在R 上的减函数，详见解析；（3）1x >-. 【解析】（1）令0x y ==，则()()()0000f f f -=-，∴()00f =；（2）函数()f x 是定义在R 上的减函数，设12,R x x ∀∈，且12x x >，则120x x ->， ∴()()()1212f x x f x f x -=-， ∵当0x >时，()0.f x <∴()120f x x -<，即()()120f x f x -< ∴()()12f x f x <，∴函数()f x 是定义在R 上的减函数；（3）∵()()()f x y f x f y -=-∴()()()00f x f f x -=-,又()00f =， ∴()()f x f x =--， ∴函数()f x 是奇函数，∵()()()f x y f x f y -=-，1()12f =-∴111112222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴()()(2)2(2)1(21)f x f x f x f f x >-=--=+， 又函数()f x 是定义在R 上的减函数， ∴21xx ，即1x >-，∴x 的取值范围为1x >-.题型十五 幂函数的图象性质【例15】现有下列函数：①3y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③24y x =；④51y x =+；⑤()21y x =-；⑥y x =；⑦(1)x y a a =>，其中幂函数的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B【解析】幂函数满足ay x =形式，故3y x =，y x =满足条件，共2个故选：B【变式15-1】（多选）已知幂函数232()(21)m m f x a x -+=-，其中,a m R ∈，则下列说法正确的是（ ）A ．1a =B ．()f x 恒过定点(1,1)C ．若3m =时，()y f x =关于y 轴对称D ．若112m <<时，(2)(1)f f < 【答案】ABC【解析】因为232()(21)m m f x a x -+=-为幂函数，所以211a -=，解得1a =，故A 正确；则232()m m f x x -+=，故恒过定点(1,1)，故B 正确；当3m =时，2()f x x =，22()()()f x x x f x -=-==，所以()y f x =为偶函数，则()y f x =关于y 轴对称，故C 正确； 当112m <<时，2320m m -+>，则()f x 在(0,)+∞上为增函数， 所以(2)(1)f f >，故D 错误.故选：ABC【变式15-2】图中1C ，2C ，3C 分别为幂函数1y x =α，2y x =α，3y x α=在第一象限内的图象，则1α，2α，3α依次可以是（ ）A ．12，3，1-B ．1-，3，12C ．12，1-，3 D ．1-，12，3【答案】D【解析】由题图知：10α<，201α<<，31α>，所以1α，2α，3α依次可以是1-，12，3．故选：D【变式15-3】当()0,x ∈+∞时，幂函数()22231m m y m m x --=--为减函数，则m =_________． 【答案】2【解析】函数为幂函数，则211m m --=，解得1m =-或2m =，又因为函数在(0,)+∞上单调递减， 可得2230m m --<，可得2m =， 故答案为：2【变式15-4】已知幂函数()233my m m x =--在()0,∞+上单调递增，则m ＝______．【答案】4【解析】由题意可得23310m m m ⎧--=⎨>⎩，解得4m =故答案为：4.【变式15-5】已知幂函数()()23122233m m f x m m x++=-+为奇函数.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()132f a f a +<-，求a 的取值范围.【答案】（1）()3f x x =；（2）2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】（1）由题意，幂函数()()23122233m m f x m m x++=-+，可得2331m m -+=，即2320m m -+=，解得1m =或2m =， 当1m =时，函数()311322f x x x ++==为奇函数，当2m =时，()21152322f x xx ++==为非奇非偶函数，因为()f x 为奇函数，所以()3f x x =.（2）由（1）知()3f x x =，可得()f x 在R 上为增函数，因为()()132f a f a +<-，所以132a a +<-，解得23<a ， 所以a 的取值范围为2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.题型十六 简单函数模型的应用【例16】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）表示为养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数.当04x <≤时，v 的值为2；当420x <≤时，v 是关于x 的一次函数.当x ＝20时，因缺氧等原因，v 的值为0.（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；。
函数试题及答案初二
函数试题及答案初二一、选择题1. 函数的概念是什么？A. 变量之间的关系B. 变量的值C. 变量的集合D. 变量的映射答案：D2. 函数的自变量和因变量分别代表什么？A. 自变量是函数的输入，因变量是函数的输出B. 自变量是函数的输出，因变量是函数的输入C. 自变量和因变量都是函数的输入D. 自变量和因变量都是函数的输出答案：A3. 下列哪个选项是函数的表示方法？A. 列表B. 表格C. 公式D. 图像答案：C4. 函数的值域是指什么？A. 函数的所有可能输入值B. 函数的所有可能输出值C. 函数的自变量范围D. 函数的因变量范围答案：B5. 如果一个函数的自变量是x，因变量是y，那么函数可以表示为：A. y = f(x)B. x = f(y)C. f = y(x)D. f = x(y)答案：A二、填空题1. 函数是定义在某个非空数集上的一个______到另一个非空数集上的一个______。
答案：映射2. 函数的自变量可以取任意实数，那么这个函数的定义域是______。
答案：全体实数3. 如果一个函数的图像是一条直线，那么这个函数是______函数。
答案：线性4. 函数y = 2x + 3的值域是______。
答案：全体实数5. 函数y = x^2的图像是一个______。
答案：抛物线三、解答题1. 已知函数f(x) = 3x - 2，求f(5)的值。
答案：将x=5代入函数f(x) = 3x - 2，得到f(5) = 3*5 - 2 = 15 - 2 = 13。
2. 已知函数g(x) = x^2 - 4x + 3，求g(2)的值。
答案：将x=2代入函数g(x) = x^2 - 4x + 3，得到g(2) = 2^2 -4*2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1。
3. 已知函数h(x) = 2x + 1，求h(-3)的值。
答案：将x=-3代入函数h(x) = 2x + 1，得到h(-3) = 2*(-3) + 1 = -6 + 1 = -5。
函数基本概念常考题型含详解
函数概念常考基础题型题型一：函数概念1、下列各曲线中，不能表示y是X的函数的是（）2、下列对应关系是从集合A到集合3的函数的是()A. A = R, B = {x∣x>O∣, f：x→γ = ∣xB. A = R, B = {x∣x>0∣, f：x→ y = lnxC. A = Z 9 B = N , f：x → y = y[xD. A = Z, B = N, /：x→y 二∕3、判断下列对应是否为函数：(1) /：x→j=x, x∈{x∣0<x<6), j∈{j∣O<y≤3}5(2) /：x→y=-x f x∈{x∣0≤x≤6}, j∈{j∣0<y≤3}j6(3) f：x→βy=3x+L χGR, y∈R题型二：区间表示1、用区间表示下列集合:(1) {x∣-l ≤x≤3} ； (2) {x∣0<x≤ 1} ； (3) {x∖2≤x<5}；(4) {x∣0<x<2}∙ (5) [x∖x<3}； (6) {x∖x≥2}.2、若［a, 3a—1］为一确定区间，则a的取值范围是题型三：求函数的定义域1、求下列函数的定义域：(1) y — 2x÷3H ---------- ；(2) y —>∕x + 3 H—；(3) y —>∕x+^3 ÷ V—% —3.x-∖x2、解下列各题：(1)已知函数∕(x)的定义域是［1,2］,求函数/(X+1)的定义域.(2)已知函数/(X+1)的定义域是［L2］,求函数/(九)的定义域.(3)已知函数∕(x+l)的定义域为［一2』，求函数g(χ) =―二+ f(χ-2)的定义域。
x — 2(4)已知函数y=，〃优2 _6〃›+加+8的定义域是R,求实数机的取值范围.3、若y = ∕(χ)的定义域为［-1」，则函数y = ∕(3χ) + ∕ -的定义域为\ 3 )。
函数的概念练习题
函数的概念练习题一、选择题1. 下列哪个选项不是函数的三要素？A. 定义域B. 值域C. 对应法则D. 自变量2. 设f(x) = x²，那么f(2)的值为：A. 2B. 4C. 0D. 83. 下列哪个函数是增函数？A. y = xB. y = x²C. y = 1/xD. y = x²4. 若函数f(x) = 2x + 3的定义域为[1, 3]，则f(x)的值域为：A. [5, 9]B. [3, 7]C. [2, 8]D. [4, 6]二、填空题1. 设f(x) = 3x 1，则f(1) = _______。
2. 若函数g(x) = x² 2x + 1的定义域为[0, 2]，则g(x)的值域为 _______。
3. 已知函数h(x) = |x|，那么h(3) = _______。
4. 若函数f(x) = 2x² 4x + 3，求f(x)在x = 2时的函数值_______。
三、判断题1. 函数的定义域和值域都可以是全体实数。
_______2. 两个函数的定义域和对应法则相同，则这两个函数一定相等。
_______3. 函数y = x³是奇函数。
_______4. 函数y = |x|是偶函数。
_______四、解答题1. 设f(x) = (x 1) / (x + 2)，求f(x)的定义域。
2. 已知函数g(x) = √(4 x²)，求g(x)的定义域和值域。
3. 判断函数h(x) = x² 2x是否为单调函数，并说明理由。
4. 已知函数f(x) = 2x² 4x + 3，求f(x)在x = 1时的函数值。
5. 设函数g(x) = (1/2)²x，求g(x)的值域。
五、应用题2. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，其油耗量（升/小时）与行驶时间（小时）的关系可以用函数g(t) = 0.05t + 1表示。
20.1一次函数的概念(4种题型基础练+提升练)(原卷版)
20.1一次函数的概念（4种题型基础练+提升练）
题型一：识别一次函数
题型二：根据一次函数的定义求参数
题型三：求一次函数自变量或函数值
一、单选题
1．（2023下·上海·八年级专题练习）已知点()1，2A 在一次函数3y x m =-的图象上，则m 等于（ ）A ．3
-B ．2-C ．0D ．1
二、填空题
题型四：列一次函数解析式并求值
一、填空题
二、解答题
一、单选题
二、填空题
三、解答题
(1)求A，C坐标；
(2)若点Q（a，2a﹣6）位于第一象限内，问点
若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由．
(1)当△ABC是以BC为底的等腰三角形时，求点A的坐标；
(2)当△ABC的面积为4时，求点A的坐标；
(3)在直线l上是否存在点A，使∠BAC＝90°？若存在，求出点A的坐标；若不存在请说明理由．。
函数的概念经典题型
第 1 页/共 6 页 函数的概念经典例题【单选题】【难度1星】1. 下列函数中与y x =为同一函数的是（ ）A. 2x y x =B. 3log 3x y =C. 2y =D. y【答案】B【知识点】判断是否为同一函数【解答】A ．2x y x =的定义域为{}0x x ≠，与y x =的定义域不相同B ．3log 3xy x ==的定义域和对应法则与y x =相同，所以准确C．2y =的定义域为{}|0x x ，与y x =的定义域不相同D．y x ==与y x =的对应法则不相同故选：B ．【单选题】【难度2星】2. 若函数()21f x +的定义域为[)2,1-，则()f x 的定义域为（）A. []2,5B. []1,5C. []1,2D. (]2,5第 2 页/共 6 页【答案】B【知识点】抽象函数的定义域 【解答】函数()21f x +的定义域为[)2,1-2115x ∴+则()f x 的定义域是[]1,5故选：B ．【填空题】【难度3星】3. 函数2e 1e 2x x y -=+的值域为________． 【答案】1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【知识点】分离常数法求函数值域【解答】e 0x >，2e 152e 2e 2x x x y -==-++ e 22x ∴+>110e 22x ∴<<+ 5502e 2x ∴-<-<+ 15222e 2x ∴-<-<+ ∴函数2e 1e 2x x y -=+的值域为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【大招】e x t =，21(t 0)2t y t -=≥+第 3 页/共 6 页0t =，12y =- t →∞，2y =∴函数2e 1e 2x x y -=+的值域为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.【主观题】【难度2星】4. 求函数的值域：22221x x y x x -+=++【答案】[1,5]【知识点】判别式法求函数值域【解答】判别式法210x x ++>恒成立∴函数的定义域为R 由22221x x y x x -+=++得：()()22120y x y x y -+++-=① ①当20y -=即2y =时，①即300x +=0x ∴=∈R②当20y -≠即2y ≠时x ∈R 时，方程()()22120y x y x y -+++-=恒有实根()()22Δ1420y y ∴=+-⨯-15y ∴且2y ≠∴原函数的值域为[]1,5第 4 页/共 6 页【填空题】【难度3星】5.函数2y x =+的值域是 ______ ．【答案】(],4-∞【知识点】换元法求函数值域【解答】令t =0t ≥则21x t =-由2y x =+()2214y t t =-+()2214t =--+，0t ≥ 当1t =时，函数取最大值4，无最小值故函数2y x =+(,4]-∞故答案为：(,4]-∞．【主观题】【难度2星】6. 已知()f x 是二次函数，若()00f =，且()()11f x f x x +=++，试求()f x 的表达式．【答案】()21122f x x x =+ 【知识点】待定系数法求解析式【解答】设()2f x ax bx c =++（0a ≠）()00f =0c ∴=即()2f x ax bx =+第 5 页/共 6 页()()11f x f x x +=++()()22111a x b x ax bx x ∴+++=+++ 即2221ax ax a bx b ax bx x ++++=+++ 则21ax a b x ++=+即21a =且1a b += 即12a =，且12b = 则()21122f x x x =+【填空题】【难度2星】7. 已知函数2211f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x =_______． 【答案】(][)22,,22,x x -∈-∞-+∞⋃【知识点】配凑法求解析式【解答】2221112f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令1t x x=+，则(][),22,t ∈-∞-⋃+∞ ()22f t t ∴=-，(][),22,t ∈-∞-⋃+∞ ()22f x x ∴=-，(,2][2,)x ∈-∞-⋃+∞ 故答案为：22,(,2][2,)x x -∈-∞-⋃+∞【填空题】【难度2星】8. 已知函数()f x 满意2()2(3)f x f x x +-=，则()f x = ______ ．第 6 页/共 6 页 【答案】21463x x -+ 【知识点】构造方程组求解析式【解答】()22(3)f x f x x +-=① ()2(3)2(3)f x f x x -+=-② 2-⨯②①得()()22323f x x x =-- 所以21()463f x x x =-+ 故答案为：21463x x -+．。
函数的概念及表示题型归纳
1.函数的概念及表示题型一：函数的概念技巧：只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一函数,换言之就是:①定义域不同,两个函数也就不同.②对应法则不同,两个函数也是不同的.③即使定义域和值域都分别相同的两个函数 , 它们也不一定是同一函数 , 因为函数 的定义域和值域 不能唯一地确定函数的对应法则.例1、下列四组函数中,判断是否为同一函数,为什么?(1)f(x)=1-x 2x 2+, g(t)=1t 2t 2-+; (2) f(x)=x, g(x)=2x ;（3）f (x )＝(x )2，g (x )＝x 2；（4）f (u )＝ 1＋u 1－u ，g (v )＝ 1＋v 1－v变式训练：1、设有函数组：①21()1x f x x -=-，()1g x x =+；②()11f x x x =+⋅-，2()1g x x =-；③2()21f x x x =-+，()1g x x =-；④()21f x x =-，()21g t t =-．其中表示同一个函数的有_________题型二：映射的概念技巧：欲判断对应法则 f : A →B 是否是从 A 到 B 的映射，必须做两点工作：①明确集合A ，B 中的元素.②根据对应法则判断 A 中的每个元素是否在 B 中能找到唯一确定的对应元素. 例1、下列对应是否为从A 到B 的映射？(1)A=R ，B=R ，f:x →y= 1x 1+ ; (2) A={x|x ≥0},B=R,f:x →y,2y =x;(3)A={平面α内的矩形}，B={平面α内的圆}，f:作矩形的外接圆.变式训练：1.设A={0,1,2,4},B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧8,6,2,1,021，下列对应法则能构成A 到B 的映射的是 （ ）A.f:x →x3-1B.f:x →(x-1)2C.f:x →2x-1D.f:x →2x题型三：求函数解析式方法一：待定系数法方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。
函数概念练习题(含解析)
2
， y
2x 1 的值域为 , 2
x3
2,
.
（4）令
x 1 t ，则 t 0 且 x t2 1， y 2
t2 1
t 2t 2 t 2 2 t
1 4
2
15 ， 8
则当 t
1 4
时，
ymin
15 8
，
y
2x
x
1
的值域为
15 8
,
.
18．(1) R
(2){x∣1 x 4}
A． f (x) x0 与 g(x) 1
B． f (x) x 与 g(x) x2 x
C．
f
x
1，x 0， 1，x 0 与
g
x
x x
，x
1，x
0
0， D．
f
(x)
(x 1)2 与 g(x) x 1
6．若函数
f
2x 1 的定义域为1,1 ，则函数 y
f
x 1
的定义域为（
）
x 1
A． 1, 2
x 不是同一函数. 故选：C. 9．A 【分析】根据题意，由换元法，结合二次函数的最值，即可得到结果.
【详解】设 t 3 x ，则 t 0 ，即 x 3 t2 ，所以 y f t 2 3 t2 4t 2 t 12 8，
因为 t 0 ，所以当 t 1时，函数取得最大值为 8 . 故选：A 10．C 【分析】把自变量直接代入解析式即可求解.
x 1
故选：D
7．C
【分析】逐个求解函数的定义域判断即可
【详解】对于 A，由 x 0 ，得函数的定义域为[0, ) ，所以 A 错误，
答案第 2页，共 6页
对于 B，由 x 1 0 ，得 x 1 ，所以函数的定义域为 (,1) (1,) ，所以 B 错误，
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函数的概念达标练习_题型归纳
1．下列说法中正确的为()
A．y＝f(x)与y＝f(t)表示同一个函数
B．y＝f(x)与y＝f(x＋1)不可能是同一函数
C．f(x)＝1与f(x)＝x0表示同一函数
D．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数
解析：选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关，判断两个函数是否相同，主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同．
2．下列函数完全相同的是()
A．f(x)＝|x|，g(x)＝(x)2
B．f(x)＝|x|，g(x)＝x2
C．f(x)＝|x|，g(x)＝x2x
D．f(x)＝x2－9x－3，g(x)＝x＋3
解析：选B.A、C、D的定义域均不同．
3．函数y＝1－x＋x的定义域是()
A．{x|x1}B．{x|x0}
C．{x|x1或x D．{x|01}
解析：选D.由1－x0，得01.
4．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有________．
解析：由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－11时，直线x＝a与函数的图象仅有一个交点，当a＞1或a＜－1时，直线x ＝a与函数的图象没有交点．从而表示y是x的函数关系的有(2)(3)．
答案：(2)(3)
1．函数y＝1x的定义域是()
A．R B．{0}
C．{x|xR，且x D．{x|x1}
解析：选C.要使1x有意义，必有x0，即y＝1x的定义域为{x|xR，且x0}．
2．下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是()
A．x＝y2＋1 B．y＝2x2＋1
C．x－2y＝6 D．x＝y
解析：选A.一个x对应的y值不唯一．
3．下列说法正确的是()
A．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域可以是空集
C．函数的定义域和值域一定是数集
D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了
解析：选C.根据从集合A到集合B函数的定义可知，强调A中元素的任意性和B中对应元素的唯一性，所以A中的多个元素可以对应B中的同一个元素，从而选项A错误；同样由函数定义可知，A、B集合都是非空数集，故选项B错误；选项C正确；对于选项D，可以举例说明，如定义域、值域均为A＝{0,1}的函数，对应关系可以是xx，xA，可以是xx，xA，还可以是xx2，xA.
4．下列集合A到集合B的对应f是函数的是()
A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值
解析：选A.按照函数定义，选项B中集合A中的元素1对应集合B中的元素1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求；选项D中，集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义，只有选项A符合函数定义．
5．下列各组函数表示相等函数的是()
A．y＝x2－3x－3与y＝x＋3(x3)
B．y＝x2－1与y＝x－1
C．y＝x0(x0)与y＝1(x0)
D．y＝2x＋1，xZ与y＝2x－1，xZ
解析：选C.A、B与D对应法则都不同．
6．设f：xx2是集合A到集合B的函数，如果B＝{1,2}，则AB一定是()
A．B．或{1}
C．{1} D．或{2}
解析：选B.由f：xx2是集合A到集合B的函数，如果B＝{1,2}，则A＝{－1,1，－2，2}或A ＝{－1,1，－2}或A＝{－1,1，2}或A＝{－1，2，－2}或A＝{1，－2，2}或A＝{－1，－2}或A ＝{－1，2}或A＝{1，2}或A＝{1，－2}．所以AB＝或{1}．
7．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
解析：由题意3a－1＞a，则a＞12.
答案：(12，＋)
8．函数y＝x＋103－2x的定义域是________．
解析：要使函数有意义，
需满足x＋103－2x＞0，即x＜32且x－1.
答案：(－，－1)(－1，32)
9．函数y＝x2－2的定义域是{－1,0,1,2}，则其值域是________．
解析：当x取－1,0,1,2时，
y＝－1，－2，－1,2，
故函数值域为{－1，－2,2}．
答案：{－1，－2,2}
10．求下列函数的定义域：
(1)y＝－x2x2－3x－2；(2)y＝34x＋83x－2.
解：(1)要使y＝－x2x2－3x－2有意义，则必须
－x0，2x2－3x－20，解得x0且x－12，
故所求函数的定义域为{x|x0，且x－12}．
(2)要使y＝34x＋83x－2有意义，则必须3x－2＞0，即x＞23，故所求函数的定义域为{x|x ＞23}．
11．已知f(x)＝11＋x(xR且x－1)，g(x)＝x2＋2(xR)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值．
解：(1)∵f(x)＝11＋x，
f(2)＝11＋2＝13，
又∵g(x)＝x2＋2，
g(2)＝22＋2＝6.
(2)由(1)知g(2)＝6，
f(g(2))＝f(6)＝11＋6＝17.
12．已知函数y＝ax＋1(a＜0且a为常数)在区间(－，1]上有意义，求实数a的取值范围．解：函数y＝ax＋1(a＜0且a为常数)．
∵ax＋10，a＜0，x－1a，
即函数的定义域为(－，－1a]．
∵函数在区间(－，1]上有意义，
(－，1](－，－1a]，
－1a1，而a＜0，－1a＜0.
即a的取值范围是[－1,0)．。