小学奥数数列原理寒假课件
第一讲数列
除了偶数列和等比数列，必须是从1 开始计算的才能使用下面这些公式，如果不是，必须补全了再用。
一、八个基本数列
1、自然数列
1+2+3+4+5+……n=n(n+1)/2
2、奇数列
1+3+5+7+9+……+(2n-1)=n×n
3、偶数列
2+4+6+8+……+2n=n(n+1)
4、等差列公式：
1.和=（首项+末项）×项数÷2 =中间数×项数
2.项数=（末项-首项）÷公差+1
3.末项=首项+（项数-1）×公差
5、等比数列
2,6,18,54,112，……
6、斐波那契数列
1,1,2,3,5,8,13,21,34，……
7、自然数平方数列（正方形数列）
12+22+32+42+52+……+n2=n(n+1)(2n+1)/6
8、自然数立方数列
13+23+33+43+53+……+n3=n2(n+1)2/4
二、两个形数
1、正方形数:1,4,9,16,……
2、三角形数:1,3,6,10,……
练习题
1.有一等差数列，相邻的两项的差是2，第10项是37，试求出它的第5项是多少。
2. 已知一个等差数列的首相是4，公差是5，问84这个数是这个等差数列的第几项？
3．2003×2+2001×2+···+3×2+1×2=
4、.
5.求值：① 6+11+16+...+501. ② 101+102+103+104+ (999)
6.1000+999-998+997+996-995+···106+105-104+103+102—101=
7、如果每一对兔子每月能生一对新兔子，而每一对新兔子在出生后的第三个月里开始生一对新兔子，在不发生死亡的情况下，一对初生的兔子1年能繁殖到多少对？
8、邮局门前共有10级台阶.若规定一步只能登上一级或两级台阶，问上这个台阶共有多少种不同的上法？
9、10954433221⨯++⨯+⨯+⨯+⨯
10、计算：70696766131210976431+++++++++++++
11、 2004×2003-2003×2002+2001×2000-2001×2000+……+2×1
12、10×9 - 9×8 + 8×7 - 7×6 + 6×5 - 5×4 + 4×3 - 3×2 + 2×1
13、 有一列数：1,2,4,7,11,16,22,29……这列数第101 个数是多少？
14、计算：=-++⋯+-++-+123252627282930__________。
15、按规律排列的一串数：2,5,9,14,20,27，……………,这串数的第2008 个数是多少？
16、求：152 +162 +172 +……+ 212 =？
17、222221171615+++
18、求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差.
19、连续九个自然数的和为54，则以这九个自然数的末项作为首项的九个连续自然数之和是多少？
20、 把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？
21、 把27枚棋子放到7个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多，问能否办到，若能，写出具体方案，若不能，说明理由.
22、100到200之间不能被3整除的数之和是多少？
六、例题讲解
例1 1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+66+67+69+70
解析：对于数列求和一定先观察规律，根据所找规律就有相应的解题方法。
法一：看出是一双重等差数列，则分别求两个等差数列的和，再加起来就可以了。则原式=（1+4+7+……+70）+（3+6+9+……+69）=1680
法二：将3+4 看为一组，6+7 看为一组……
原式=1+7+13+19+……+139=（1+139）×24÷2=1680
法三:原数列补上2,5,8……，68 后则为一自然数列
则原式=（1+2+3+……+70）-（2+5+8+……+68）=1680
例2 2004×2003-2003×2002+2001×2000-2001×2000+……+2×1
铺垫：乘法分配律的应用
（100+4）×25=100×25+4×25=2500+100=2600
37×28+63×28=（37+63）×28=100×28=2800
303×217-302×217=（303-302）×217=217
10×9 - 9×8 + 8×7 - 7×6 + 6×5 - 5×4 + 4×3 - 3×2 + 2×1
=（10-8）×9+（8-6）×7+（6-4）×5+（4-2）×3+2×1
=2×9+2×7+2×5+2×3+2×1
=2×（9+7+5+3+1）
=2×25
=50
例2 与上题规律一样
原式=2×2003+2×2001+2×1999+……+2×1
=2×（2003+2001+1999+ (1)
=2×10022 ……连续奇数求和公式
=2008008
例3 有一列数：1,2,4,7,11,16,22,29……这列数第101 个数是多少？
解析：对于数列问题，找出规律是第一步。
法一：a2=1+1
a3=1+1+2
a4=1+1+2+3
……
a101=1+1+2+3+……+100=1+5050=5051
法二：递推归纳。发现数列中的差是有规律的，那么把各个差表示出来
a2-a1=1
a3-a2=2
a4-a3=3
……
a101-a100=100
再把所有的等式相加，大多数项都抵消了。最后左边剩下a101-a1，右边
=1+2+3+……+100
2010 年四年级秋季班第一讲整数与数列程雪
四年级秋季班（七级下） 1.4
即a101-a1 =1+2+3+……+100=5050， a101=5050+ a1=5051。
拓展（2009 迎春杯中年级决赛题）有一个数列，从第三项起，每一项都是它前面两项的和，
已知第二项是39，第十项是2009，求前8 项的和。
解析：从第三项开始，就有了规律，把规律表示出来如下
a3=a2+a1
a4=a3+a2
a5=a4+a3
……
a10=a9+a8
a3+a4+a5+ …+a10= （a2+a3+a4+ …+a9）+（a1+a1+a3+ …+a8）
（a3+a4+a5+ …+a10）-（a2+a3+a4+ …+a9）= （a1+a1+a3+ …+a8）
a10-a2 = （a1+a1+a3+ …+a8）
所以（a1+a1+a3+ …+a8）=2009-39=1970
例4 有一数列1,4,9,16,25,36……，问第1990 个数与第1991 个数相差多少？解析：本题为平方数列，第几项就是几的平方，那么，第1990 个数就是19902 第1991 个数就是19912
两数的差就是 19912 - 19902 = 1991+1990=3981（两数相差为1，其平方差就是两数和）
拓展 314159262 - 31415925×31415927
解析：31415925×31415927 显然可以改写为平方差的形式=（31415926-1）×（31415926+1）
=314159262-1
原式=314159262-（314159262-1）=1
例5 12 - 22 + 32 - 42 + 52 - 62 + 72 - 82 + 92 - 102 + 112
解析：看见这么多平方数，且中间还有减号连接，自然想到平方差公式，但12 -
22 不够减，
则考虑从后减起。
原式=112- 102 + 92 - 82 + 72- 62 + 52 - 42 + 32 -22 + 12
=（11+10）+（9+8）+（7+6）+（5+4）+（3+2）+1
=66
例6 （22+42+62+......+1002）-（12+32+52+ (992)
解析：同上，看见平方数，又有减号，联想到平方差公式。故拆括号，配对去减。原式=22-12+42-32+62-52+……+1002-992
=（2+1）+（4+3）+（6+5）+……+（100+99）
=1+2+3+4+5+6+……+100
=5050
小学奥数数列原理寒假课件
第一讲数列 除了偶数列和等比数列，必须是从1 开始计算的才能使用下面这些公式，如果不是，必须补全了再用。 一、八个基本数列 1、自然数列 1+2+3+4+5+……n=n(n+1)/2 2、奇数列 1+3+5+7+9+……+(2n-1)=n×n 3、偶数列 2+4+6+8+……+2n=n(n+1) 4、等差列公式： 1.和=（首项+末项）×项数÷2 =中间数×项数 2.项数=（末项-首项）÷公差+1 3.末项=首项+（项数-1）×公差 5、等比数列 2,6,18,54,112，…… 6、斐波那契数列
1,1,2,3,5,8,13,21,34，…… 7、自然数平方数列（正方形数列） 12+22+32+42+52+……+n2=n(n+1)(2n+1)/6 8、自然数立方数列 13+23+33+43+53+……+n3=n2(n+1)2/4 二、两个形数 1、正方形数:1,4,9,16,…… 2、三角形数:1,3,6,10,…… 练习题 1.有一等差数列，相邻的两项的差是2，第10项是37，试求出它的第5项是多少。 2. 已知一个等差数列的首相是4，公差是5，问84这个数是这个等差数列的第几项？ 3．2003×2+2001×2+···+3×2+1×2=
4、. 5.求值：① 6+11+16+...+501. ② 101+102+103+104+ (999) 6.1000+999-998+997+996-995+···106+105-104+103+102—101= 7、如果每一对兔子每月能生一对新兔子，而每一对新兔子在出生后的第三个月里开始生一对新兔子，在不发生死亡的情况下，一对初生的兔子1年能繁殖到多少对？ 8、邮局门前共有10级台阶.若规定一步只能登上一级或两级台阶，问上这个台阶共有多少种不同的上法？ 9、10954433221⨯++⨯+⨯+⨯+⨯ 10、计算：70696766131210976431+++++++++++++ 11、 2004×2003-2003×2002+2001×2000-2001×2000+……+2×1 12、10×9 - 9×8 + 8×7 - 7×6 + 6×5 - 5×4 + 4×3 - 3×2 + 2×1 13、 有一列数：1,2,4,7,11,16,22,29……这列数第101 个数是多少？
小学奥数等差数列资料讲解
一、 等差数列的定义 定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等 差数列． 譬如： 2、5、8、11、14、17、20、L 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 100、95、90、85、80、L 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列 关键词： 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示 末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示； 公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ． 二、 三个重要的公式 ① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)?公差，11n a a n d =+-?（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)?公差，11n a a n d =--?（） 拓展公式：n m a a n m d -=-?（），n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 等差数列的基本概念及公式
11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)； 11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． ③ 求和公式：和=(首项+末项)?项数÷2 (思路1) 1239899100++++++L 11002993985051=++++++++L 1444444442444444443 共50个101 （）（）（）（）101505050=?= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 2349899100 1009998973212101101101101101101101 +++++++=+++++++=+++++++L L L 和=1+和倍和即，和 (1001)1002101505050=+?÷=?= 三、 一个重要定理：中项定理 1、项数为奇数的等差数列，和=中间项×项数． 譬如：①4+8+12+…+32+36=（4+36）×9÷2=20×9=180， 题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209?； ② 65636153116533233331089++++++=+?÷=?=L （）， 题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333?． 2、项数是偶数的等差数列，中间一项等于中间两项的平均数。和=中间项×项数． （1） 找出题目中首项、末项、公差、项数。
小学奥数自然数论——数列
小学奥数自然数论——数 列 目 录 一、等差数列 二、等比数列 三、裂减数列 四、习 题 一、等差数列 1、定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个数，这个数列就叫 做等差数列；其中，相邻两项的差叫做等差数列的公差，用d 表示。 2、条件：[公差] 相邻两项之差相同，均为d 。 [通项公式] d n a a n ）－＋（＝11 → 项数公式 11 ＋－＝ d a a n n （d ≠0） 证明：由等差数列的定义可知 d a a d a a d a a d a a d a a n n n n n n ＝－＝－＝－＝－＝－－－－－－122332211 ?? 将以上1－n 个式子叠加，得：()d n a a n 1 1－＝－ 所以 ()d n a a n 1 1－＋＝ [前n 项和] 2 1n a a S n n ?）＋（＝ 证明：（倒序相加法） 设等差数列的首项为1a ，公差为d ，项数为n ，末项为n a ，各项之和为n S ，则： 3、结构：[模型] 如果n m i k ＋＝＋，那么n m i k a a a a ＋＝＋。 凑正思想
2n 1 3n 12n 11n 1 n 131211 2n 112n 131211 2n 161412122n 112n 131211 2n 1 12n 17161514131211 ＋＋＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋－＋－＋＋＋＋＝＋＋＋＋－＋－＋＋＋＋＝－－＋－ ＋－＋－＋－???? ?????? ?? ???? ??????? ???? …… [n a a ＋1] 2－n …… 4、分类：基本的等差数列 例1： 例2： （A 级） （A 级） 例3： （A 级） 5、特征： （1）、 （2）、 （3）、 （4）、形如n n b a ＋的求和 例4： （C 级） （5）、特殊的求和 例5：求 ()()123...... 1 1 (4321) ＋＋＋＋－＋＋－＋＋＋＋＋n n n
四年级奥数第五讲-等差数列(二)-教师版
第五讲等差数列（二） 解题方法 某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。 例题1小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。这本书共有多少页？ 提示根据条件“以后每天比前一天多看2页”可以知道他每天看的页数都是按照一定规律排列的数，即20、22、24、…、76、78。要求这本书共有多少页也就是求出这列数的和。 解：由题意可知，这列数是一个等差数列，首项=20，末项=78，项数=30，所以这本书共有（20+78）×30÷2=1470（页） 答：这本书共有1470页。 引申 1、文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？ 解：文丽每天学会的单词个数是一个等差数列，即3、4、5、6、…、21。首项=3，末项=21，项数=（21-3）÷2+1=10。所以，文丽在这些天中共学会了（3+21）×10÷2=120(个)答：文丽在这些天中共学会了120个英语单词。 2、李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。这批零件共有多少个？ 答: （25+63）×20÷2=880（个） 3、小李读一本短篇小说，她第一天读了20页这个等差数列共有多少项?
答：这个等差数列共有29项。 例题2 建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。 提示：根据图可以知道，这是一个以3为首项，以1为公差的等差数列，求钢管一共有多少根其实是求这列数的和。 解：求钢管一共有多少根,其实就是求3+4+5+…+9+10的和。 项数=(10-3)÷1+1=8,根据公式求和为: 3+4+5+…+9+10 =(3+10)×8÷2 =13×8÷2 =52(根)。 答：这堆钢管一共有52根。 引申 1、一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知 最下面一层有70根。一共有多少根圆木？ 答案：2485根。 2、用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒?
数列知识点归纳总结小学奥数
数列知识点归纳总结小学奥数数列是数学中重要的概念，也是小学奥数中经常涉及的内容之一。在小学阶段，学生们开始接触数列的基本概念和性质，逐渐学习如何判断和计算数列中的各种元素。本文将对小学奥数中的数列知识点进行归纳总结，帮助学生更好地理解和掌握数列的概念和应用。 一、数列的定义和表示方法 数列由一组按照特定规律排列的数字组成，可以用一对大括号{}或者使用通项公式表示。例如，数列{1, 3, 5, 7, 9}可以表示为an = 2n-1，其中n为自然数。 二、等差数列 等差数列是最常见的数列类型之一，数列中相邻两个数之间的差值都是相等的。等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，d是公差，n是项数。 在应用等差数列的时候，常常需要求解数列中的某一项，或者计算数列的前n项和。对于已知首项和公差的等差数列，首先可以根据通项公式求出所需的值。 例题1：已知等差数列{2, 5, 8, 11, ...}的首项是2，公差是3，求该数列的第10项。 解析：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，代入已知条件，可得a10 = 2 + (10-1)3 = 2 + 27 = 29。因此，该数列的第10项为29。
例题2：已知等差数列{2, 5, 8, 11, ...}的首项是2，公差是3，求数 列的前10项的和。 解析：根据等差数列的求和公式S = (n/2)(a1+an)，代入已知条件， 可得S10 = (10/2)(2+29) = 5(31) = 155。因此，该数列前10项的和为155。 三、等比数列 等比数列是另一种常见的数列类型，数列中每一项与前一项的比值 都是相等的。等比数列的通项公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中 a1是首项，r是公比，n是项数。 在应用等比数列的时候，同样需要计算数列中的某一项或者前n项 的和。 例题3：已知等比数列{3, 6, 12, 24, ...}的首项是3，公比是2，求该 数列的第8项。 解析：根据等比数列的通项公式an = a1 * r^(n-1)，代入已知条件， 可得a8 = 3 * 2^(8-1) = 3 * 2^7 = 3 * 128 = 384。因此，该数列的第8项 为384。 例题4：已知等比数列{3, 6, 12, 24, ...}的首项是3，公比是2，求数 列的前8项的和。 解析：根据等比数列的求和公式S = (a1 * (r^n - 1))/(r - 1)，代入已 知条件，可得S8 = (3 * (2^8 - 1))/(2 -1) = (3 * (256 - 1))/1 = 3 * 255 = 765。因此，该数列前8项的和为765。
小学奥数知识点梳理-画图解等差数列问题（数学动图）
小学奥数知识点梳理-画图解等差数列问题（数学动图） 等差数列：等差数列是常见数列中的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都相等，这个数列就叫做等差数列。我们将这个差叫做等差数列的公差；等差数列的每一个数称为一项，第一项称为首项；最后一项称为末项；等差数列一共有多少项就称为项数，为了方便大家理解，请看下面例子动图。 比如，以下数列都是等差数列： ① 6，7，8，9， (75) ② 2，6，10，14，18，…，122，126； ③ 5，10，15，20，25，30，35，40。 一，等差数列求和公式 例题：计算1+2+3+4+5+…+97+98+99。 思路：我们把等差数列1到99倒过来写就组合成一个新的从99到1的等差数列，两个数列对应每一项配对求和。这也是大数学家高斯的方法，如图： 结论：等差数列求和公式→ (首项+末项)×项数÷2。对于公式不仅要知其然，更要知其所以然，要理解公式是怎么推导出来的，通过上面的图示，同学们是不是就明白了？ 中间项求和：利用中间项求和是指等差数列如果有奇数项，那么和就等于中间一项乘以项数，如果有偶数项，和就等于中间两项和乘以项数的一半。 二，外星人图 外星人图解等差数列，是通过形象的图示法清晰直观地了解等差数列里面某一项，公差，项数之间的数量关系，无论是求公差，求某一项，求项数，大家都可以通过画外星人图来轻松搞定，大家快动手画一个吧！。 项数编号及对应数填入外星人两个眼睛部位，编号相减即为两项
之间公差数，鼻子处填入公差，下巴表示左右两项差。 这里面隐藏着一个重要的等量关系：两项差=两项之间公差数×公差。下面我们举例题来应用下外星人图： 例题1：已知，等差数列 3，8，13，…。求第91项是多少？ 解题： ① 从已知可推断公差：8-3=5； ② 首项（第①项）为3，求第91项，将两个项数编号填入图中，不知道的项目填入“ ？”； ③ 项数编号相减得公差数，乘上公差就是两项数得差→ (91- 1)×5=450； ④ 第91项→ 3+450=453。 例题2：求和：1+8+15+22+ (246) 解题：首先可以判断这是个等差数列，如果按等差数列求和公式，我们需要先求出项数 ① 从已知可推断公差：8-1=7； ② 首项为1，末项（第？项）为246，带入图中； ③ 两项差为 246-1=245，→ 公差数：245÷7=35。246的编号为：35+1=36，所以项数为36； ④ 利用等差数列求和公式：原式=(1+246)×36÷2=4446。 综上所述，只需理解记住等差数列求和公式，其他如求项数，求某一项，求公差都可以一张外星人图就搞定了，完全不需要去记公式，非常适合二三年级的学生去理解等差数列，有助于培养孩子的数学兴趣；或者高年级同学偶尔忘记了公式的时候，就画图吧！赶紧去试试吧！ 一学堂，知识点视频+做题巩固，轻松学奥数。头条号菜单栏点体验课即可体验。
小学四年级奥数数列和巧算讲义
专题二运算奥秘大魔方 第四讲巧算·数列 【点击目标】 1、复习巧算技巧并熟练掌握。 2、掌握数列基本的求和公式，并会计算常见简单的数列的和。 【知识模块】 世界著名的数学家高斯年幼时代聪明过人。上小学时，有一天数学老师出了一道题让全班同学计算：1+2+3+4+….+98+99+100=？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快说出了正确答案。小朋友们，你会立刻说出答案吗？ 若干个数排成一列称为数列，数列中第一项称为首项，最后一项称为末项。从第一项开始，后项与前项之差相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差，数列中数的个数称为项数。由此，可以等差数列的求和公式为：数列和=（首项+末项）×项数÷2 【课堂回顾】（你都会做吗，试试看吧，要相信自己哟！） 例：（1）（400＋80）×25 （2）125×（800－20） （3）129×53-53×29 （4）157×29 + 29×43 （5）59×99 （6）125×82 （7）76＋76×99 （8）319×630 + 6810×63 （9）777×9+111×37（10）124×38+62 ×124+76×110-76×10 【技巧详解】（碰到难题了吧，要思考哟，要听老师讲哟，相信你会掌握方法的！） 例1（1）1+2+3+4+5+…+2009+2010+2011+2012 （观察结构特点） （2）100+99-98+97-96+…+3-2+1 点拨分析：在认真观察算式结构、数据特点的基础上，利用加法的结合律和等差数列求和公式可以使计算简便。 跃跃欲试： 小试牛刀：（1）2+4+6+8+10+12+…+2008+2010+2012 （2）1-2+3-4+5-6+7-…+99-100+101 例2（1）在等差数列2，5，8，11，…中，第108个数是多少？
寒假五年级奥数-[第1讲]等比数列(一)
寒假五年级奥数竞赛班 等比数列（一） 什么是等差数列？ 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。 什么是等比数列？ 和等差数列类似，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。 找出下列数列的规律，继续写出两项，并说出哪些是等差数列，哪些是等比数列？ ⑴5，5，5，5 ⑵1，2，4，7，11 ⑶6，12，24，48，96 ⑷2，3，5，8，13 ⑸20，17，14，11，8 世界杯期间，e度社区举办了竞猜得金币活动。只要你竞猜成功，你的金币数就会乘以一个固定的倍数（可以是分数）。小昊昊原来有200个e度金币，在竞猜成功两次后，金币数变成了450个。那么小昊昊下一次竞猜成功后，会有多少金币？ 一个等比数列，其相邻两项的差（大减小）构成一个公比为4的等比数列，第3项比第2项小12。那么第1项是多少？
一个等比数列，第1项和第5项的和是164，第2项和第6项的和是492。那么第1项是多少？ 计算： 1＋2＋4＋8＋…＋1024 在线测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！ 1．下列数列哪些是等差数列，哪些是等比数列？( ) ①99999，，，， ②41236108324，，，， ③9186817671， ，，， A ．等差数列：①，等比数列：②，③ B ．等差数列：①，③，等比数列：①，② C ．等差数列：①，③，等比数列：② D ．等差数列：③，等比数列：①，② 2．世界杯期间，e 度社区举办了竞猜得金币活动。只要你竞猜成功，你的金币数就会乘以一个固定 的倍数(可以是分数)。小昊昊原来有150个e 度金币，在竞猜成功两次后，金币数变成了600个。那么小昊昊下一次竞猜成功后，会有( )金币。 A ．1000 B ．1100 C ．1200 D ．1300 3．一个等比数列，其相邻两项的差(大减小)构成一个公比为6的等比数列，第3项比第2项小10。 那么第1项是( )。 A ．60 B ．72 C ．84 D ．96 4．一个等比数列，第1项和第5项的和是8194，第2项和第6项的和是65552。那么第1项是( )。 A ．2 B ．8 C ．12 D ．16 5．计算：1392187++++的和是( ) A ．3278 B ．3280 C ．6560 D ．6562 附送
小学奥数_等差数列
小学奥数_等差数列 四年级奥数课程部分 第八讲：等差数列 一，数列有关知识点： ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数 列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“3 1 ”是这个数列的第“3”项，等等 4．等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +）后一项减前一项为一定值，我们把这个定值叫公差，用d 表示5．等差数列的通项公式：（每一项都可用通项公式来表示） d n a a n )1(1-+= 6．数列的前n 项和： 数列{}n a 中，n a a a a ++++ 321称为数列{}n a 的前n 项和，记为n S . 求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2=等差中项×项数等差数列的前n 项和公式1：2 )
(1n n a a n S += 等差数列的前n 项和公式2：2 )1(1d n n na S n -+= 二．例题精讲 例1，认识数列：等差数列:3、6、9、 (96) 这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。 例2，有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项提示仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差都是3，所以这是一个以4为首项，以公差为3的等差数列，根据等差数列的项数公式即可解答。解：由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=(25-4)÷3+1=8,所以这个数列共有8项。 练习：1、有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。 2、有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项? 3、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项? 例3.有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？ 提示：仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差等于5，所以这是一个以2为首项，以公差为5的等差数列，根据等差数列的通项公式即可解答 解：由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得,第100项=2+(1OO-1)×5=497,所以这个等差数列的第100项是497。 练习：1、求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。 2、求等差数列2,5,8,11,…的第100项。 3. 一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少? 例4，计算2+4+6+8+…+1990的和。 提示：仔细观察数列中的特点，相邻两个数都相差2，所以可以用等差数列的求和公式来求。 解：因为首项是2,末项是1990,公差是2,昕以,项数=(1990-
四年级奥数第一讲(数列)
第一讲等差数列根底 关于第一讲等差数列，是中年级学习的一个重点。高年级的很多题虽不是直接考察等差数列，但往往中间的*一步需要用到等差数列的知识。等差数列这讲公式繁多，但希望孩子们千万不要死记硬背这些公式，一定要理解着记忆。 希望孩子们能够每天坚持练几道大数乘除法。乘法可以按照三位数×一位数，两位数×两位数，三位数×两位数，四位数×两位数，三位数×三位数，四位数×三位数。除法可以从三位数÷一位数，四位数÷一位数，三位数÷两位数，四位数÷一位数，五位数÷一位数，五位数÷三位数等等这样的顺序练起。 一、通项公式 知识点解析： ⒈第n项=首项+〔n-1〕×公差 辅助练习：等差数列5、8、11……求这个数列的第2021项是多少？ 这个公式含有四个量首项，第n项，项数n，公差，这四个其实是知三求一的。 ⒉首项=第n项-〔n-1〕×公差 辅助练习：等差数列……91,95,99共17项，求第一项为哪一项多少？ 〔此公式本讲没有涉及〕 ⒊项数n=〔第n项－首项〕÷公差+1 辅助练习：等差数列105,111,117……,567共多少项？ ⒋公差=〔第n项－首项〕÷〔项数n－1〕 辅助练习：等差数列首项为6，末项为94，共23项，求公差 〔此公式本讲例6涉及到〕 一定要注意的是，这些公式千万不要死记硬背，一定要通过理解，多练习来记忆。其中第一个和第三个是重点。 ⒌首项和公差相等的数列〔求n项或项数时不用套公式，可直接求〕： 如3，6，9，12……〔首项为3，公差也为3，首项和公差相等〕 ⑴1000项是几？ ⑵6000是这个数列的第几项？ ⒍等差数列任意两项的差： 第m项－第n项=〔m－n〕×公差 如2，5,8,11,14,17……第5项14比第1项2多5－1个公差3 所以第5项-第1项=〔5－1〕×3=12 附加练习： 对于4,7,10,13,16……
春季五年制小学奥数四年级规律性问题—数列
按照一定次序排列的一列数叫数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)、第2项、第3项、……、第n 项、…… 项数有限的数列叫做有穷数列，有穷数列的最后一项叫做这个数列的末项。 项数无穷的数列叫做无穷数列。 等差数列：如果一个数列{a n }，从第2项起的每一项a n 与它的前一项a n －1的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d 表示。 通项公式：等差数列{a n }中，第n 项＝首项＋(项数－1)×公差，即a n ＝a 1＋(n －1)×d (n 为正整数) 项数公式：项数＝(末项－首项)÷公差＋1，即n ＝(a n －a 1)÷d ＋1(n 为正整数) 求和公式：等差数列{a n }中，和＝(首项＋末项)×项数÷2，即1()2 n n a a n S +⨯=(n 为正整数) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列{a n }，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数，即当n 为正奇数时121122n n n n a a a S a a a n n +++++= == (12) n n S a n +=⨯ 常见算式公式求法：(1)123(1)2 n n n n ⨯+++++-+= (n 为正整数) 1＋3＋5＋…＋(2×n －3)＋(2×n －1)＝n 2(n 为正整数) 1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1＝n 2(n 为正整数) 一串数按下面规律排列：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6…问从左面第一个数起，数100个数，这100个数的和是多少？ 在一串分数：11211232112343211222333334444444 ，，，，，，，，，，，，，，，，… ⑴ 710 是第几个分数？⑵第400个分数是几分之几？ 例2 例1 规律性问题—数列
小学奥数数列
数列 一：数列 1.定义：按照一定的顺序排列的数叫数列 例如： （1）1,2,3,4,5； （2）1,4,9,16,25； （3）3,5,7,9,11,13 数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项，第二个数叫做第二项 以此类推，最后一个数叫做这个数列的末项， 数列中数的个数称为项数. 2.数列的一般形式可以写成 思考：下标的作用。 3.通项公式 （1）填空，找规律 项： 2， 5， 10， 17， 26, ( ) , 50 , ... （ ） 序号 1 2 3 4 5 6 7 ... n 总结：如果数列中的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，则称此公式为数列的通项公式 【巩固】（一）填空，写出通项公式 （1）1, 3, 5, 7…… 。 （二）按规律填数 （1）2,6,10,14，（ ）22,26 ， ，，，，321⋯⋯n a a a a ⋯⋯128), (,32,16), (,4,2)2(⋯⋯49), (,25,16,9,4), )(3(⋯⋯) (,6 1,51，41), (,211,)4(
（2）33,28,23，（ ）13，（ ），3 （3）3,6,12，（ ），48，（ ）192 （4）1,2,4,7，（ ），16,22 （5）23,4,20,6,17,8，（ ），（ ），11,12 （6）1,1,2,3,5,8,13，（ ），34,35 （7）34,21,13,8,5，（ ），2，（ ） （8）（100,96），（97,98），（91,75），（79，（ ）） （三）根据通项公式写出第1项，第5项 32)1(+=n a n 。 1 ＋1)2(n a n = 。 思考：数列（1）1,2,3,4,5；（3）3,5,7,9,11,13 数列（1），（3）是按照什么顺序排列起来的 。 二：等差数列： 1.定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。 注意：一定是相邻两项后一项减前一项的差 【巩固】数列：1，2，3，4，5，6，7，8 这是一个（ ）数列，首项是（ ），末项是（ ），项数是（ ）公差是（ ） 2.等差数列的通项公式： d a a +=12 d a d d a d a a 2）（1123+=++=+= d a d d a d a a 3）2（1134+=++=+= ----------- =n a 。 【 巩固】
2019-2020年小学奥数07数列问题
1.5数列问题 1.5.1相关概念 按一定次序排列的一列数称为数列。数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an ，a （n+1），…简记为｛an ｝。 数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。最后一个数叫末项。 通项公式：数列的第N 项a n 与项的序数n 之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。 1.5.2等差数列 1.5. 2.1等差数列的定义 如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，我们把这样的数列称之为等差数列。前后两项的差叫做等差数列的公差，常用字母d 表示。 1.5. 2.2公式 首项=和×2÷项数-末项 a 1=2 s n ÷n －a n 末项=首项+（项数-1）×公差=和×2÷项数-首项 a n =a 1+(n-1)×d=2 s n ÷n －a 1 项数＝（末项-首项）÷公差＋1 n=(a n －a 1)÷d ＋1 和＝（首项＋末项）×项数÷2=首项×项数+项数×（项数-1）×公差÷2 s n =(a 1+a n )×n/2=na 1+n(n-1)d /2 1.5. 2.3等差中项 如果在a 和b 中间插入一个数A ，使a 、A 、b 成等差数列，那么A 叫做a 和b 的等差中项。如a 、b 、c 三项成等差数列，则2b=(a+c),这是等差中项的基本性质。 1.5. 2.4等差数列的性质 (1)任意两项,n m a a 有()n m a a n m d =+-. (2)对于任意正整数,,,m n k l ,若m n k l +=+,则m n k l a a a a +=+.反之不行（常数列）. (3)若{},{}n n a b 均是等差数列,则{}n n ca db +也是等差数列.(c 、d 均为自然数) . 1.5.3等比数列 1.5. 2.1等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都相等，这个数列就叫做等比数列。前后两项的比值叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示。
小学奥数数论讲义1数列专题讲义适合二到六年级1
数列专题 知识目标： 1.认识数列概念以及数列在数学中的位置 2.掌握各类数列的规律以及在此根底上学会找规律的方法 3.能将实际问题转化为数列问题 4.等差数列 5.通过等差数列掌握分析数列规律的方法 6.在分析等差数列的根底上，会分析其他数列的通项以及求与问题学习目标： A类学生：掌握以上6点，尤其是第6点 B类学生：掌握1-4点，掌握等差数列通项与求与的推延过程，能解决其他简单数列的通项问题 C类学生：会分析各类数列的规律，以及等差数列的公式，根据公式解题。 附言： 数列是研究数学中数字以及数字间规律的途径，推而广之，也是研究事物以及事物见规律的途径。 数列大幅度提升观察能力，所谓分析问题，分析核心就是观察，观察-收集信息-整理信息-联系\创造-解决。观察可以从两点去看，内与外。对内，分解事物本身，看事物本身的规律；对外，跟前后左右未来过去的数据联系起来，看事物在宇宙中的规律。 数列大幅度提升归纳思想，归纳思想是研究所有问题的思想，解
决陌生问题，创造新的规律、新的定义、新的公式、全靠归纳。要全面认识归纳思想，建议对数学归纳法有深入的了解。 二年级 1.认识简单数列 二年级没那么高的要求，感性上认识各类数字规律，以及数字规律发现的过程就好，根本上所有的学生都可以掌握。 目标： 1、认识什么叫数列，一列有规律或没有规律的数 2、认识各类数列 【问题分类】 概念：按一定规律排列起来的一列数叫数列. 例〔等差数列〕找出下面各数列的规律，并填空. 〔1〕1，2，3，4，5，□，□，8，9，10. 〔2〕1，3，5，7，9，□，□，15，17，19. 〔3〕2，4，6，8，10，□，□，16，18，20. 〔4〕1，4，7，10，□，□，19，22，25. 〔5〕5，10，15，20，□，□，35，40，45. 例〔斐波那契数列〕找出下面的数列的规律并填空. 1，1，2，3，5，8，13，□，□，55，89. 例〔等比数列〕找出下面数列的生成规律并填空.