小学奥数数列原理寒假课件
《数列概念》课件
《数列概念》PPT课件
数列是一系列按一定规律排列的数值。本课件将介绍数列的基本概念，不同 类型的数列，以及数列的应用。
什么是数列
数列是一系列按照特定规律排列的数值，可以通过公式或递推关系来表示。 数列的概念在数学和实际生活中都有广泛的应用。
数列的基本形式
1 等差数列
数列中的每个数与它前一个数之差相等。
等差数列的求和公式
求和公式：Sn = n/2[2A1 + (n-1)d]，其中Sn表示前n项和，A1表示第一项，d 表示公差。
等比数列
等比数列是一种数列，其中每个数与它前一个数之比相等。可使用通项公式和求和公式来计算等比数列 的任意项和总和。
等比数列的通项公式
通项公式：An = A1 * r^(n-1)，其中An表示第n项，A1表示第一项，r表示公比。
单调有界数列的极限
根据单调有界数列的性质，可以推导出单调有界数列必定存在极限。极限可以是数列的最大值或最小值。
数列的应用
数列不仅在数学中有广泛应用，还在其他学科和实际生活中有很多应用，如 物理学、经济学、生态学等。
数列在物理学中的应用
物理学中的许多自然现象可以用数列来描述和解释，如运动轨迹、震动频率、 量子力学等。数列为解决实际问题提供了重要数学工具。
斐波那契数列的递推公式
递推公式：F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n > 2)。
斐波那契数列的通项公式
通项公式：F(n) = (phi^n - (-phi)^(-n)) / sqrt(5)，其中phi = (1 + sqrt(5)) / 2。
序列的极限
极限是数列中数值随着项数无限增加时的趋势或稳定值。极限理论既是数学学科中的重要内容，也有广 泛的应用。
数列数列的概念ppt课件
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝n3n2＋1(n≥2)． 当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式， ∴an＝32n2＋n2.
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
第1讲 数列的概念
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
探究二：由 Sn 求 an
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
寒假五年级奥数-[第1讲]等比数列(一)
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寒假五年级奥数竞赛班等比数列（一）什么是等差数列？一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。
什么是等比数列？和等差数列类似，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。
找出下列数列的规律，继续写出两项，并说出哪些是等差数列，哪些是等比数列？⑴5，5，5，5⑵1，2，4，7，11⑶6，12，24，48，96⑷2，3，5，8，13⑸20，17，14，11，8世界杯期间，e度社区举办了竞猜得金币活动。
只要你竞猜成功，你的金币数就会乘以一个固定的倍数（可以是分数）。
小昊昊原来有200个e度金币，在竞猜成功两次后，金币数变成了450个。
那么小昊昊下一次竞猜成功后，会有多少金币？一个等比数列，其相邻两项的差（大减小）构成一个公比为4的等比数列，第3项比第2项小12。
那么第1项是多少？一个等比数列，第1项和第5项的和是164，第2项和第6项的和是492。
那么第1项是多少？计算：1＋2＋4＋8＋…＋1024在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！1．下列数列哪些是等差数列，哪些是等比数列？( )①99999，，，， ②41236108324，，，， ③9186817671，，，， A ．等差数列：①，等比数列：②，③B ．等差数列：①，③，等比数列：①，②C ．等差数列：①，③，等比数列：②D ．等差数列：③，等比数列：①，②2．世界杯期间，e 度社区举办了竞猜得金币活动。
只要你竞猜成功，你的金币数就会乘以一个固定的倍数(可以是分数)。
小昊昊原来有150个e 度金币，在竞猜成功两次后，金币数变成了600个。
那么小昊昊下一次竞猜成功后，会有( )金币。
A ．1000B ．1100C ．1200D ．13003．一个等比数列，其相邻两项的差(大减小)构成一个公比为6的等比数列，第3项比第2项小10。
数列ppt课件
详细描述 利用混合数列的性质进行计算； 求混合数列的前n项和。
05
数列的发展历史与未来展望
数列的发展历史
中世纪数列
随着欧洲中世纪的数学发展，数 列研究逐渐丰富，如斐机技术的发展，数列的 应用领域不断扩大，如组合数学 、概率论和统计学等。
递推公式的求解方法
可以通过迭代法、特征根法、归纳法等方法求解递推公式。
03
数列的应用
数列在数学分析中的应用
数学分析基础
数列是数学分析中的基本概念， 是研究连续函数的基础。通过数 列，可以理解函数的极限、连续 性和可微性等基本性质。
级数理论
数列在级数理论中有着重要的应 用。通过数列的收敛性，可以研 究无穷级数的和，以及其在数学 分析中的各种应用。
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判断一个数列是否为等差数列。
等比数列习题与解析
总结词：等比数列是数列中的重要类 型，其习题主要考察等比数列的定义
、通项公式和性质等知识点。
详细描述
求等比数列的通项公式；
求等比数列的前n项和； 利用等比数列的性质进行计算；
判断一个数列是否为等比数列。
混合数列习题与解析
总结词：混合数列是由等差数列和等比数列混合而成的 数列，其习题主要考察混合数列的定义、通项公式和性 质等知识点。 求混合数列的通项公式；
数列的习题与解析
等差数列习题与解析
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总结词：等差数列是数列中的基础类型，其习题主要考察 等差数列的定义、通项公式和性质等知识点。
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详细描述
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求等差数列的通项公式；
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求等差数列的项数；
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等差数列的求和公式
总结词
等差数列的求和公式是用来计算数列 中所有项的和的数学公式。
详细描述
等差数列的求和公式是 S_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)，其中 S_n 表示前 n 项的和，a_1 表示首项，d 表示公差， n 表示项数。这个公式可以帮助我们快 速计算出等差数列中所有项的和。
03 等比数列
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其中任意项与它的前一项的比值都相等。
详细描述
等比数列是一种有序的数字排列，其中任意一项与它的前一项的比值都等于同一个常数。这个常数被称为公比， 通常用字母q表示。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示数列中每一项的数学表达式。
04 数列的极限与收敛
数列的极限定义
极限的定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$ 趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个
常数$a$，则称$a$为数列${ a_{n}}$的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性 等性质。
极限的运算性质
极限具有可加性、可乘性、可分离 性等运算性质。
收敛数列的性质
在经济学中的应用
在经济学中，很多问题也可以转化为求和问题，例如计算总收益、总成本等。而求和问题 同样可以转化为数列的极限问题。因此，数列的极限和收敛的概念在经济学中也有着广泛 的应用。
05 数列的级数
级数的定义与分类
要点一
定义
级数是无穷数列的和，可分为数项级数和函数项级数。
要点二
分类
根据项的正负和收敛性，级数可分为正项级数、负项级数 、交错级数等。
正项级数的审敛法
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第一讲数列除了偶数列和等比数列，必须是从1 开始计算的才能使用下面这些公式，如果不是，必须补全了再用。
一、八个基本数列1、自然数列1+2+3+4+5+……n=n(n+1)/22、奇数列1+3+5+7+9+……+(2n-1)=n×n3、偶数列2+4+6+8+……+2n=n(n+1)4、等差列公式：1.和=（首项+末项）×项数÷2 =中间数×项数2.项数=（末项-首项）÷公差+13.末项=首项+（项数-1）×公差5、等比数列2,6,18,54,112，……6、斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21,34，……7、自然数平方数列（正方形数列）12+22+32+42+52+……+n2=n(n+1)(2n+1)/68、自然数立方数列13+23+33+43+53+……+n3=n2(n+1)2/4二、两个形数1、正方形数:1,4,9,16,……2、三角形数:1,3,6,10,……练习题1.有一等差数列，相邻的两项的差是2，第10项是37，试求出它的第5项是多少。
2. 已知一个等差数列的首相是4，公差是5，问84这个数是这个等差数列的第几项？3．2003×2+2001×2+···+3×2+1×2=4、.5.求值：① 6+11+16+...+501. ② 101+102+103+104+ (999)6.1000+999-998+997+996-995+···106+105-104+103+102—101=7、如果每一对兔子每月能生一对新兔子，而每一对新兔子在出生后的第三个月里开始生一对新兔子，在不发生死亡的情况下，一对初生的兔子1年能繁殖到多少对？8、邮局门前共有10级台阶.若规定一步只能登上一级或两级台阶，问上这个台阶共有多少种不同的上法？9、10954433221⨯++⨯+⨯+⨯+⨯10、计算：70696766131210976431+++++++++++++11、 2004×2003-2003×2002+2001×2000-2001×2000+……+2×112、10×9 - 9×8 + 8×7 - 7×6 + 6×5 - 5×4 + 4×3 - 3×2 + 2×113、 有一列数：1,2,4,7,11,16,22,29……这列数第101 个数是多少？14、计算：=-++⋯+-++-+123252627282930__________。
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数列的分类
有穷数列和无穷数列
• 有穷数列的项数是有限的，无穷数列的项数是无限的 。
等差数列和等比数列
• 等差数列的相邻两项之差是一个常数，等比数列的相 邻两项之比是一个常数。
有序数列和无序数列
• 有序数列是指各项按照一定的顺序排列的数列，无序 数列是指各项没有固定的顺序排列的数列。
数列的应用
在数学领域的应用
数列极限的性质
唯一性
如果数列$\{ a_n \}$收敛于$A$ ，则其极限是唯一的。
有界性
如果数列$\{ a_n \}$收敛于$A$ ，则存在正数$M$，使得当$n$
充分大时，有$|a_n| < M$。
保号性
如果数列$\{ a_n \}$收敛于$A$ ，且当$n$充分大时，有$a_n > 0$（或$a_n < 0$），则有$A >
数学分析
收敛数列在数学分析中有 着广泛的应用，如泰勒级 数、洛朗兹级数等。
THANKS
感谢观看
公式
03
an=a1+(n-1)d
等差数列的通项公式
通项公式的推导
由等差数列的定义可知，an=a1+(n-1)d，当n=1时，a1=a1+(1-1)d，即 a1=a1+0d=a1，当n=2时，a2=a1+d=(a1+d)，当n=3时， a3=a1+2d=(a1+d)+d=a2+d,依次类推，得出通项公式an=a1+(n-1)d。
减法
如果$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = A$且$\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = B$， 则有$\lim_{n \rightarrow \infty}(a_n - b_n) = A - B$。
数列的概念-动画讲解PPT课件
知识点二 数列的通项公式
如果一个数列{an}的第n项an 与n之间的关系可以用一个公式来
表示,那么这个公式就称为数 列 的 通 项 公 式 , 即 a n = f (n ) .
因此,如果已知一个数列的通项公式,那么只要依次
用 1 ,2 ,3 ,4 , ... 代 替 公式中的n 就可以求出这个数列的各项 。
知识点三 数列的分类
数列
特点
按照数列的项数是有限还是无限来分，数列可分为有穷数列
有穷数列、无穷数 和无穷数列.切记不要按项数的多少来分，一个数列，它的
列
项数再多，只要是有限项，就是有穷数列。
单调数列
常数列
按前后项之间的大小关系来分。
若前面的项永远小于它后面的项，即a1<a2<a3<⋯<an<⋯,这
技巧
点拨
由数列的前n项和表达式求通项公式时
但最终结果要根据具体情形一分为二，或合二为一.
典例解析
例3
已知数列{an}的通项公式为an=2n2+3
(1)试写出该数列的前3项
(2)试判断75是不是该数列的项,若是,是第几
项?
解析
技巧
点拨
(1)将n=1,2,3代入通项公式,
得a1=5,a2=11,a3=21.
(2)由75=2n2+3得n=6或n=-6(舍去),所以75是该数
列的第6项.
本题第（1）问是利用数列的通项公式求数列中的项，将n的值代入通项
公式即可求解；
第（2）问是判断一个数是否为数列中的项，把这个数代入通项公式解
关于n的方程即可，解出的n必须是正整数.
谢谢
n+2
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第一讲数列
除了偶数列和等比数列，必须是从1 开始计算的才能使用下面这些公式，如果不是，必须补全了再用。
一、八个基本数列
1、自然数列
1+2+3+4+5+……n=n(n+1)/2
2、奇数列
1+3+5+7+9+……+(2n-1)=n×n
3、偶数列
2+4+6+8+……+2n=n(n+1)
4、等差列公式：
1.和=（首项+末项）×项数÷2 =中间数×项数
2.项数=（末项-首项）÷公差+1
3.末项=首项+（项数-1）×公差
5、等比数列
2,6,18,54,112，……
6、斐波那契数列
1,1,2,3,5,8,13,21,34，……
7、自然数平方数列（正方形数列）
12+22+32+42+52+……+n2=n(n+1)(2n+1)/6
8、自然数立方数列
13+23+33+43+53+……+n3=n2(n+1)2/4
二、两个形数
1、正方形数:1,4,9,16,……
2、三角形数:1,3,6,10,……
练习题
1.有一等差数列，相邻的两项的差是2，第10项是37，试求出它的第5项是多少。
2. 已知一个等差数列的首相是4，公差是5，问84这个数是这个等差数列的第几项？
3．2003×2+2001×2+···+3×2+1×2=
4、.
5.求值：① 6+11+16+...+501. ② 101+102+103+104+ (999)
6.1000+999-998+997+996-995+···106+105-104+103+102—101=
7、如果每一对兔子每月能生一对新兔子，而每一对新兔子在出生后的第三个月里开始生一对新兔子，在不发生死亡的情况下，一对初生的兔子1年能繁殖到多少对？
8、邮局门前共有10级台阶.若规定一步只能登上一级或两级台阶，问上这个台阶共有多少种不同的上法？
9、10954433221⨯++⨯+⨯+⨯+⨯
10、计算：70696766131210976431+++++++++++++
11、 2004×2003-2003×2002+2001×2000-2001×2000+……+2×1
12、10×9 - 9×8 + 8×7 - 7×6 + 6×5 - 5×4 + 4×3 - 3×2 + 2×1
13、 有一列数：1,2,4,7,11,16,22,29……这列数第101 个数是多少？
14、计算：=-++⋯+-++-+123252627282930__________。
15、按规律排列的一串数：2,5,9,14,20,27，……………,这串数的第2008 个数是多少？
16、求：152 +162 +172 +……+ 212 =？
17、222221171615+++
18、求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差.
19、连续九个自然数的和为54，则以这九个自然数的末项作为首项的九个连续自然数之和是多少？
20、 把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？
21、 把27枚棋子放到7个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多，问能否办到，若能，写出具体方案，若不能，说明理由.
22、100到200之间不能被3整除的数之和是多少？
六、例题讲解
例1 1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+66+67+69+70
解析：对于数列求和一定先观察规律，根据所找规律就有相应的解题方法。
法一：看出是一双重等差数列，则分别求两个等差数列的和，再加起来就可以了。
则原式=（1+4+7+……+70）+（3+6+9+……+69）=1680
法二：将3+4 看为一组，6+7 看为一组……
原式=1+7+13+19+……+139=（1+139）×24÷2=1680
法三:原数列补上2,5,8……，68 后则为一自然数列
则原式=（1+2+3+……+70）-（2+5+8+……+68）=1680
例2 2004×2003-2003×2002+2001×2000-2001×2000+……+2×1
铺垫：乘法分配律的应用
（100+4）×25=100×25+4×25=2500+100=2600
37×28+63×28=（37+63）×28=100×28=2800
303×217-302×217=（303-302）×217=217
10×9 - 9×8 + 8×7 - 7×6 + 6×5 - 5×4 + 4×3 - 3×2 + 2×1
=（10-8）×9+（8-6）×7+（6-4）×5+（4-2）×3+2×1
=2×9+2×7+2×5+2×3+2×1
=2×（9+7+5+3+1）
=2×25
=50
例2 与上题规律一样
原式=2×2003+2×2001+2×1999+……+2×1
=2×（2003+2001+1999+ (1)
=2×10022 ……连续奇数求和公式
=2008008
例3 有一列数：1,2,4,7,11,16,22,29……这列数第101 个数是多少？
解析：对于数列问题，找出规律是第一步。
法一：a2=1+1
a3=1+1+2
a4=1+1+2+3
……
a101=1+1+2+3+……+100=1+5050=5051
法二：递推归纳。
发现数列中的差是有规律的，那么把各个差表示出来
a2-a1=1
a3-a2=2
a4-a3=3
……
a101-a100=100
再把所有的等式相加，大多数项都抵消了。
最后左边剩下a101-a1，右边
=1+2+3+……+100
2010 年四年级秋季班第一讲整数与数列程雪
四年级秋季班（七级下） 1.4
即a101-a1 =1+2+3+……+100=5050， a101=5050+ a1=5051。
拓展（2009 迎春杯中年级决赛题）有一个数列，从第三项起，每一项都是它前面两项的和，
已知第二项是39，第十项是2009，求前8 项的和。
解析：从第三项开始，就有了规律，把规律表示出来如下
a3=a2+a1
a4=a3+a2
a5=a4+a3
……
a10=a9+a8
a3+a4+a5+ …+a10= （a2+a3+a4+ …+a9）+（a1+a1+a3+ …+a8）
（a3+a4+a5+ …+a10）-（a2+a3+a4+ …+a9）= （a1+a1+a3+ …+a8）
a10-a2 = （a1+a1+a3+ …+a8）
所以（a1+a1+a3+ …+a8）=2009-39=1970
例4 有一数列1,4,9,16,25,36……，问第1990 个数与第1991 个数相差多少？解析：本题为平方数列，第几项就是几的平方，那么，第1990 个数就是19902 第1991 个数就是19912
两数的差就是 19912 - 19902 = 1991+1990=3981（两数相差为1，其平方差就是两数和）
拓展 314159262 - 31415925×31415927
解析：31415925×31415927 显然可以改写为平方差的形式=（31415926-1）×（31415926+1）
=314159262-1
原式=314159262-（314159262-1）=1
例5 12 - 22 + 32 - 42 + 52 - 62 + 72 - 82 + 92 - 102 + 112
解析：看见这么多平方数，且中间还有减号连接，自然想到平方差公式，但12 -
22 不够减，
则考虑从后减起。
原式=112- 102 + 92 - 82 + 72- 62 + 52 - 42 + 32 -22 + 12
=（11+10）+（9+8）+（7+6）+（5+4）+（3+2）+1
=66
例6 （22+42+62+......+1002）-（12+32+52+ (992)
解析：同上，看见平方数，又有减号，联想到平方差公式。
故拆括号，配对去减。
原式=22-12+42-32+62-52+……+1002-992
=（2+1）+（4+3）+（6+5）+……+（100+99）
=1+2+3+4+5+6+……+100
=5050。